MatematicasEjercicios y problemas

Grado en Administracion y Direccion de EmpresasGrado en Economıa

Curso 2018/19

Departamento de Estadıstica, Informatica y MatematicasUniversidad Publica de Navarra

1. Operaciones con matrices

1. Determina a, b, c, d, e y f para que se satisfaga:(2 a −3b 5 −1

)+

(−1 4 c3 8 −d

)=

(e 3 8

12 f 0

) a = −1, b = 9, c = 11, d = −1,e = 1, f = 13.

2. Realiza el siguiente calculo con matrices: 2

(−2 3 5−1 2 −1

)−(

3 −1 22 1 0

). vıdeo

3. Calcula a, b y c para que la matriz

−1 2 ba 1 c3 −2 2

sea simetrica. vıdeo

4. Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:A+ 3B =

(−4 −2

3 4

)2A−B =

(−1 3−1 1

) vıdeo

5. Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:3X − 2Y =

(4 −32 5

)X + Y =

(3 −1−1 5

) X =

(2 −10 3

), Y =

(1 0−1 2

).

1

6. Realiza los siguientes productos de matrices:

a)(

2 −1 3) 3

1−1

vıdeo

b)

31−1

( 2 −1 3)

c)

2−1

1

( 5 −1 3 4) vıdeo

d)

(−2 3

1 −1

)(1 2−3 4

) vıdeo

e)

(1 2−3 4

)(−2 3

1 −1

)

f)

(−1 1 2

0 −1 −1

) 1−1

2

vıdeo

g)(

2 −3 1) 3 1

2 −20 1

vıdeo

h)

(1 11 −1

)(1 2 31 2 3

)

7. Dadas las siguientes matrices A y B

A =

1 2 32 4 61 2 3

B =

1 −1 1−3 2 −1−2 1 0

calcula: 2A− 3B, 2A2 − 3AB y 2A2B − 3AB2.

8. Una matriz A se dice idempotente si A2 = A. Prueba que la siguiente matriz esidempotente: 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3

9. Dadas las matrices A =

2 0 13 0 05 1 1

y B =

1 0 11 2 11 1 0

, calcula: A + B, A − B,

AB, BA, A2 −B2 y (A+B)(A−B).

10. Efectua el calculo matricial siguiente:

A = I4 −1

4

1111

( 1 1 1 1)

11. Una matriz A se dice antisimetrica si At = −A. Escribe una matriz antisimetrica deorden 4× 4, que ademas cumpla que, por encima de la diagonal principal, la cantidad deelementos positivos sea el doble que la cantidad de elementos negativos.

Departamento: EIM 2 Universidad Publica de Navarra

12. Escribe una matriz cuadrada cualquiera A de orden 4. Calcula con ella las matrices

S =1

2(A+ At) T =

1

2(A− At)

Comprueba que S es simetrica y T antisimetrica. ¿Que matriz resulta ser S + T? Tratade generalizar estos resultados, justificando que son validos para cualquier matriz A departida; se trata de probar que cualquier matriz cuadrada A se puede expresar como lasuma de una matriz simetrica y una antisimetrica.

13. Dadas dos matrices cualesquiera A y B, cuadradas y del mismo orden, calcula latraspuesta de las siguientes matrices:

a) C = A+ At

b) D = A+Bt

c) E = (A+Bt)(B + At).¿Alguna de las matrices C, D o E resulta ser simetrica? Razona la respuesta.

14. Escribe una matriz A cualquiera, de orden 3×4, y calcula, si es posible, los productosAAt y AtA.

15. Demuestra que para cualquier matriz A, cuadrada o no, los productos AAt y AtAson siempre posibles y que ambos resultados son matrices cuadradas simetricas.

16. La siguiente tabla muestra los contenidos vitamınicos de tres artıculos alimenticiosescogidos convenientemente (cada numero expresa la cantidad de vitamina presente enuna unidad de cada alimento):

Vit. A Vit. B Vit. C Vit. DAlimento I 0,5 0,5 0,0 0,0Alimento II 0,3 0,0 0,2 0,1Alimento III 0,1 0,1 0,2 0,5

a) Si comemos cinco unidades de alimento I, diez unidades de alimento II y ocho uni-dades de alimento III, ¿cuantas unidades de cada tipo de vitamina hemos tomado?

b) Si pagamos solo por el contenido vitamınico de cada alimento, pagando respecti-vamente 0, 1e, 0, 2e, 0, 3e y 0, 5e por unidad de cada vitamina, ¿cuanto cuestauna unidad de cada tipo de alimento? Realiza los calculos matricialmente.

(a) 6,3 unidades de vitamina A, 3,3 de B, 3,6 de C y 5 de D.(b) 0,15 e cada unidad de alimento I, 0,14 e cada unidad de II y 0,34 e cada unidad de III.

17. Una empresa informatica tiene establecimientos en Pamplona, Estella y Tudela. Lasexistencias actuales de ordenadores de sobremesa, portatiles, tabletas y telefonos movilesson las que figuran en la siguiente tabla:

Sobremesa Portatil Tableta TelefonoPamplona 12 16 20 30Estella 9 12 18 21Tudela 12 12 16 8

Muestra los productos de matrices que dan respuesta a las siguientes preguntas y realizalos calculos correspondientes:

Departamento: EIM 3 Universidad Publica de Navarra

a) Si cada ordenador de sobremesa esta valorado en 400e, cada portatil 600e, cadatableta 350e y cada movil 200e, ¿cual es el valor global de las existencias en cadaciudad?

b) El responsable de ventas de la empresa propone como objetivo al establecimientode Pamplona vender la mitad de sus existencias de todos sus aparatos; en Estellala tercera parte y en Tudela las tres cuartas partes. En total, ¿de cuantos aparatosde cada tipo estamos hablando?

18. La ebanisterıa CARCOMASA dispone de tres modelos de escritorio: Rustico, Fun-cional y Senorial. Los materiales de construccion para todos ellos son madera, metal ybarniz. Cada escritorio utiliza las cantidades de material dadas en la siguiente tabla:

Rustico Funcional SenorialMadera 3 4 7Metal 2 3 5Barniz 1 2 3

Queremos fabricar 5 escritorios estilo Rustico, 3 estilo Funcional y 4 estilo Senorial. Cadaunidad de madera cuesta 20 euros, cada unidad de metal 10 euros y cada unidad de barniz12 euros. Siendo A la matriz proporcionada por la tabla anterior, B la matriz columnade las cantidades de escritorios que queremos fabricar y C la matriz columna que reflejael coste unitario de cada material, ¿cual o cuales de los siguientes productos matricialesproporcionan el coste total de los materiales empleados?

ABCt, CtAB,CtAtB.

En cada caso razona la respuesta afirmativa o negativa. Calcula dicho coste total.

19. Una empresa produce m artıculos en n factorıas. Sea P la matriz (vector) columnade precios, es decir, pi es el precio del artıculo i. Sea Q la matriz m × n cuyo elementoqij son las unidades del artıculo i que se producen en la factorıa j. Muestra como obtenermediante un producto de matrices el valor en el mercado de la produccion de cada factorıa. QtP , o bien P tQ.

2. Matriz inversa

20. Comprueba que cada una de las siguientes matrices tiene por inversa la que se indica:

a) A =

(1 −12 3

), A−1 =

(3/5 1/5−2/5 1/5

).

b) B =

1 0 20 −2 10 1 −1

, B−1 =

1 2 40 −1 −10 −1 −2

.

c) C =

1 1 1 10 1 −1 20 0 2 10 0 0 3

, C−1 =1

6

6 −6 −6 40 6 3 −50 0 3 −10 0 0 2

.

Departamento: EIM 4 Universidad Publica de Navarra

21. Calcula, por el metodo de Gauss, la inversa de las siguientes matrices:

a)

(1 −11 0

) vıdeo

b)

(−1 1

2 −1

) vıdeo

c)

2 0 −13 1 −12 −1 −1

vıdeo

d)

−1 1 12 0 −12 −1 −1

vıdeo

22. Dada la matriz A =

(−1 1

1 −2

), calcula A−1 + 2At + A2. vıdeo

23. Resuelve la siguiente ecuacion matricial, en la que X es una matriz cuadrada deorden 2: (

−8 −11 2

)+X ·

(3 1−4 2

)=

(3 65 0

) X =

(5 10 −1

)

24. Dadas la matrices A =

(1 12 1

), B =

(1 1 01 2 1

)y C =

(0 1 11 1 3

), obten la

inversa de A y utiliza el resultado para resolver la ecuacion matricial A · X + B = C¿Existe alguna matriz Y con la que se satisfaga Y · A+B = C?

A−1 =

(−1 12 −1

), X =

(1 −1 1−2 1 0

)25. Despeja la matriz X en cada una de las ecuaciones matriciales siguientes, sabiendoque todas las matrices que intervienen son invertibles:

a) AX = B

b) XA = B

c) A−1X = B

d) X−1A = B

e) AX +BX = B

f) X tA = Bt

g) AX−1B−1 = B

h) AXB = A

26. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

a) (A+B)2 − (A−B)2 − 2A(A+B)

b) (AB−1)2(BA−1)2

c) (AB−1)−1(BA−1)−1

d) (A+B)−1(AB +B2)(A−1B)−1

27. Dada la matriz A =

(0 −11 −1

), calcula A2, A3 y A333. ¿Admite inversa la matriz

A? En caso afirmativo, calcula la matriz A−1.

28. Siendo A =

0 a b0 0 c0 0 0

, obten la matriz An para todos los exponentes enteros

no negativos n (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .) ¿Puede calcularse An para algun exponente entero nnegativo? Razona la respuesta.

Departamento: EIM 5 Universidad Publica de Navarra

29. Justifica para que valores del parametro real p la siguiente matriz Z tiene inversa ycalcula dicha inversa segun los valores de p.

Z =

1 1 23 2 10 1 p

Si p = 5, no existe inversa. Si p 6= 5: Z−1 =1

5− p

2p− 1 2− p −3−3p p 53 −1 −1

30. Los supermercados Merqueco y Mercade se disputan los clientes de una ciudad. Alo largo del tiempo ha venido ocurriendo que, cada ano, Merqueco pierde el 30 % de susclientes que gana Mercade, mientras que Mercade pierde el 10 % de los suyos, que ganaMerqueco.

a) Determina la matriz A tal que, siendo X =

(xy

)una matriz cuyos elementos

representan el numero de clientes de cada supermercado, el producto AX sea elnumero de clientes respectivos al ano siguiente.

b) Actualmente, ambos supermercados cuentan con 300 clientes, ¿cuantos tendra cadasupermercado el ano que viene?, ¿cuantos tenıan el ano pasado?

c) Si en algun momento Mercade tuviera el triple de clientes que Merqueco, ¿quepasarıa al ano siguiente?

31. Supongamos que la distribucion de la riqueza de un paıs permite dividir la pobla-cion en tres clases ((1)), ((2)), ((3)) (alta, media, baja). La proporcion de personas que seencuentran en una determinada clase en un momento dado, y ascienden, se mantienen odescienden a otra clase en el periodo de tiempo siguiente, estan dadas en la matriz

A =

0, 8 0, 1 0, 20, 2 0, 6 0, 20, 0 0, 3 0, 6

,

siendo aij la proporcion de individuos de la clase j que pasan a la clase i en el siguienteperiodo de tiempo. Si en cierto instante 280 personas pertenecen a la clase ((1)), 720 a laclase ((2)) y 600 a la clase ((3)), ¿cuantas perteneceran a cada clase el periodo siguiente?,¿cuantas pertenecıan a cada clase durante el periodo anterior? ¿como se calcularıa estadistribucion en clases para n periodos mas tarde?

Departamento: EIM 6 Universidad Publica de Navarra

3. Determinantes

32. Calcula los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣2 −1 10 −1 31 3 −1

∣∣∣∣∣∣ vıdeo

b)

∣∣∣∣∣∣0 −1 12 −1 11 −1 2

∣∣∣∣∣∣ vıdeo

c)

∣∣∣∣∣∣−1 1 0

2 −1 20 1 1

∣∣∣∣∣∣ vıdeo

d)

∣∣∣∣∣∣−1 0 1

2 1 −11 1 0

∣∣∣∣∣∣ vıdeo

33. Calcula el determinante

∣∣∣∣∣∣−1 1 0

2 −1 20 1 1

∣∣∣∣∣∣, desarrollando:

a) Por los adjuntos de la columna 3. vıdeo

b) Por los adjuntos de la fila 1. vıdeo

c) Por los adjuntos de la fila 2. vıdeo

34. Calcula

∣∣∣∣∣∣3 9 21 2 33 9 2

∣∣∣∣∣∣. Demuestra que el determinante de cualquier matriz cuadrada

con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.

35. Calcula los siguientes determinantes de orden 4:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 1 −22 2 −3 1−1 1 −1 0

4 −3 2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ −10

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1 11 −2 0 1−1 0 1 0

0 3 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ 8

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 −10 1 0 11 0 1 0−1 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 0

d)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 32 1 0 13 −1 1 22 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ vıdeo

36. Justifica que la matriz

(a 1− a

1 + a −a

)tiene inversa para cualquier valor del

parametro ((a)). Calcula dicha inversa

a) Por el metodo de la matriz adjunta.

b) Por el metodo de Gauss.

37. Determina los posibles valores del parametro ((a)) para los que la siguiente matriztiene inversa a 1 1

1 a 11 1 a

Departamento: EIM 7 Universidad Publica de Navarra

38. Calcula la inversa de las siguientes matrices, utilizando adjuntos:

a)

(−1 1

2 −1

) vıdeo

b)

2 0 −13 1 −12 −1 −1

vıdeo

c)

−1 1 12 0 −12 −1 −1

vıdeo

d)

−1 2 3−2 0 1

0 −1 −1

vıdeo

39. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = 5, calcula el valor del determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣1 h −1 0b a b ce d e fh g h i

∣∣∣∣∣∣∣∣ 10.

40. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣x y z5 0 31 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 1, calcula el valor de los siguientes determinantes, sin

desarrollarlos:

a)

∣∣∣∣∣∣3x 3y 3z5 0 31 1 1

∣∣∣∣∣∣ b)

∣∣∣∣∣∣5x 5y 5z1 0 3/51 1 1

∣∣∣∣∣∣ c)

∣∣∣∣∣∣x y z

2x+ 5 2y 2z + 3x+ 1 y + 1 z + 1

∣∣∣∣∣∣ (a) 3, (b) 1, (c) 1.

41. Dada una matriz cuadrada A, ¿se satisface en general la igualdad | − A| = −|A|?Razona la respuesta.

42. Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 tales que |A| = 2 y |B| = −3. Calcula:|3A|, |(2A)(3B)|, |BAB|, |AB−1| y |ABA−1|.

43. Consideramos una matriz cuadrada de orden n, de la que sabemos que todos loselementos de la primera fila son iguales a 1, y que su determinante vale d. Se pide obtenerrazonadamente el valor del determinante de la matriz que se obtiene en cada una de lassiguientes transformaciones de la matriz original:

a) Se suma 2 a todos los elementos de la primera fila.

b) Se resta 2 a todos los elementos de la primera fila.

c) Se suma 2 a todos los elementos de la segunda fila.

d) Se resta 2 a todos los elementos de la segunda fila.

44. Dada una matriz cuadrada A, cuyo determinante vale 5, hemos multiplicado suprimera fila por 1, la segunda por 2, la tercera por 3, y ası sucesivamente hasta la ultimafila ((n)), que hemos multiplicado por ((n)). La matriz resultante la denominaremos B.

a) Si el determinante de la nueva matriz B vale 600, ¿cual es el orden ((n)) de la matrizA?

b) ¿Cuanto vale el determinante de A+B?

c) ¿Cuanto vale el determinante de A−B?

Departamento: EIM 8 Universidad Publica de Navarra

45. Sabiendo que los numeros 143, 156 y 195 son multiplos de 13, demuestra, sin efectuarsu desarrollo, que el siguiente determinante es tambien multiplo de 13:∣∣∣∣∣∣

1 4 31 5 61 9 5

∣∣∣∣∣∣46. Justifica que, sea cual sea el valor de x, y y z, el siguiente determinante no puede sernegativo. (Para verlo, se sugiere desarrollar por los adjuntos de una fila adecuada):

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3x y z∣∣∣∣ 2 3

y z

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 1z x

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2x y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

47. Mediante transformaciones elementales, determina el rango de las matrices:

a)

1 2 31 1 12 3 6

b)

1 2 31 1 12 3 4

c)

1 2 3−1 −2 −3

2 4 6

d)

1 1 23 3 3−2 −2 2

e)

1 −1 2 13 2 0 −24 1 2 −16 4 0 −4

vıdeo

f)

1 1 1 1 12 −1 0 2 −20 1 3 0 1−1 6 6 −1 8

3 −1 5 3 −3

g)

3 5 7 −5 −4 151 1 0 −2 0 34 2 8 −6 1 121 3 2 −2 −3 7−2 −8 9 7 6 −12

h)

1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 70 1 2 4 5 62 1 0 1 1 13 2 1 4 6 8

Departamento: EIM 9 Universidad Publica de Navarra

4. Sistemas de ecuaciones lineales

48. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

−x+ y − z = 32x− y − z = −5−x+ 3y + z = 5

vıdeo

b)

x− y + z = 12x+ y − z = 1−3x+ 2y + 2z = 1

vıdeo

c)

x+ y + z = 1−2x+ y − z = 2−x+ 2y = 3

vıdeo

d)

x+ y − z = 1−2x+ y − 3z = −4−x+ 2y − 4z = −3

vıdeo

e)

{x+ y + z = 32x− y − z = 0

vıdeo

f)

x+ 3y − z = 3x− 2y + z = 0x+ 8y − 3z = 6

vıdeo

49. Discute y resuelve los sistemas de ecuaciones homogeneos:

a)

x+ y + 2z = 03x− y − 2z = 0−x+ 2y + z = 0

b)

x+ y − z − 2t+ 3u = 0−x+ 2y + 2z + 3t− 2u = 02x− y − z + t+ u = 02x+ 2y − 2z − t− 2u = 0

50. Comprueba que el siguiente sistema es incompatible−x+ y − z = −12x+ y − z = 2x+ 2y − 2z = 5

vıdeo

51. Discute y resuelve, segun los valores del parametro a ∈ R, los sistemas

a)

ax+ y + z = 1x+ ay + z = ax+ y + az = a2

b)

x+ y + az = 3x+ ay + z = 0ax+ y + z = 0

c)

ax− y − z = 1x− ay − z = 1x− y − z = 1

d)

x− 2y + z = 0−3x+ y + 2z = 15x− 5y = a

52. Cierto restaurante de comida rapida dispone de tres menus: megaguay a 10 euros,superguay a 6 euros y topeguay a 5 euros. Hoy ha servido 45 menus, por los que haingresado en total 295 euros. Si todos los clientes que han pedido topeguay hubieranpedido en su lugar superguay, los ingresos habrıan sido de 310 euros. ¿Cuantos menus decada tipo ha servido? 10 megaguay, 20 superguay y 15 topeguay.

Departamento: EIM 10 Universidad Publica de Navarra

53. Sea b1, b2, b3 el beneficio (o perdida) obtenido por cada mil euros invertidos en tresvalores bursatiles durante cierto periodo de tiempo. Un inversionista ((A)) asegura haberobtenido un beneficio total de 600e, con una inversion de 2 000e en el primer valor yde 1 000e en cada uno de los otros dos valores. Otro, ((B)), declara un beneficio totalde 200e, con una inversion de 500e en cada valor. Por ultimo, ((C)) declara 400e debeneficio total y una inversion de 1 000e, 600e y 600e respectivamente en cada valor.Se pide:

a) Demuestra que alguno de los inversionistas no esta diciendo la verdad.

b) Suponiendo que la declaracion de ((C)) es falsa, y las de ((A)) y ((B)) correctas, ¿querelacion guardan los beneficios unitarios b1, b2, b3?

c) Si el dato falso aportado por ((C)) ha sido el beneficio total obtenido, pero es ciertasu declaracion de inversiones, ¿cual ha sido realmente el beneficio de ((C)) en laoperacion?

(a) Resulta un sistema incompatible. (b) b1 = 200, b2 + b3 = 200. (c) 320e.

54. Una empresa fabrica tres productos A, B y C. Todos ellos requieren de tres procesosque se realizan en maquinas respectivas I, II y III. El tiempo en horas para procesar unaunidad de cada producto por las tres maquinas esta dado por

A B CMaquina I 3 1 2Maquina II 1 2 4Maquina III 2 1 1

a) Se dispone de la maquina I durante 850 horas, de la II durante 1200 horas y dela III durante 550 horas. ¿Cuantas unidades de cada producto deberıan producirsecon objeto de emplear todo el tiempo disponible en las maquinas?

b) Supongamos que se dispone de las maquinas I, II y III durante 1200, 900 y 1100horas, respectivamente. ¿Que sucede en este caso?

(a) 100 unidades de A, 150 unidades de B y 200 unidades de C.(b) Para emplear todo el tiempo disponible las maquinas,hay que producir −200 unidades de C, lo cual es imposible.

55. La ebanisterıa CARCOMASA utiliza en cada escritorio Rustico, Funcional y Senoriallas cantidades de material que ya conocemos (vease el problema 18). Dispone de 200unidades de madera, 100 de metal y 100 de barniz y quiere fabricar escritorios de losdiferentes estilos, sin que le sobre ni le falte nada de ese material disponible. ¿Puedeconseguirlo? Razona la respuesta.

56. Una empresa fabrica tres productos en tres plantas. Supondremos que todos los tra-bajadores de la empresa son ((iguales)), por lo que su distinta productividad solo es conse-cuencia de la capacidad tecnologica de la planta en la que trabajan. Ası, cada trabajadorde la primera planta produce mensualmente por valor de 2, 3 y 4 unidades monetarias decada uno de los productos respectivos. En la segunda planta, esta produccion mensual decada trabajador es de 5, 2 y 3 unidades monetarias para cada producto y, por ultimo, enla tercera planta es de 1, 7 y 5 unidades monetarias.

a) Si la empresa obtiene una produccion total mensual por valor de 63, 100 y 101unidades monetarias de cada producto respectivo, ¿de cuantos trabajadores disponecada planta?

Departamento: EIM 11 Universidad Publica de Navarra

b) Un trabajador de la primera planta desea trasladarse a la segunda. En terminoseconomicos, ¿resultara beneficioso o perjudicial para la empresa aceptar la peticion?

(a) 10, 7 y 8 respectivamente. (b) Es beneficioso.

57. Un almacen distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas A, B y C.La marca A lo envasa en cajas de 250 g y su precio es de 1e por caja; la marca B lo envasaen cajas de 500 g a un precio de 1, 80e por caja y la marca C lo hace en cajas de 1 Kg aun precio de 3, 30e por caja. El almacen vende a un cliente 2, 5 Kg de este producto porun importe total de 8, 90e. Sabiendo que el lote iba envasado en cinco cajas, determinael numero de envases de cada tipo que se han enviado. 2 cajas de A, 2 de B y 1 de C.

58. Una institucion concede 272 000 euros para ayudas a 100 estudiantes. Establece trescuantıas diferentes en funcion de sus niveles educativos, A, B y C: 4 000 euros para cadaestudiante del nivel A, 1 600 euros para los del B y 2 000 euros para los del C. Si para elnivel A dedica en total cinco veces mas dinero que para el B, ¿cuantos estudiantes hay encada nivel? 40 en el nivel A, 20 en el B y 40 en el C.

59. Se estima que variando el precio de tres artıculos en x, y y z unidades monetariasrespectivamente, sus correspondientes demandas variaran en:

−2x+ y + z unidades del primer artıculo,x− 3y + 2z unidades del segundo artıculo,3x+ y − 4z unidades del tercer artıculo.

Ası, por ejemplo, si no hay variacion en los precios (x = y = z = 0), tampoco hayvariacion en las cantidades vendidas. ¿Que otras variaciones en los precios mantendraninvariantes las cantidades vendidas? Las que satisfagan x = y = z.

60. Una marca comercial utiliza tres ingredientes (A, B y C) en la elaboracion de cua-tro tipos de pizzas (P1, P2, P3 y P4). P1 se elabora con 1 unidad de cada ingredien-te, P2 con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C, P3 con 2 unidades de A, 1 de B y 1de C, y P4 con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta es de 8, 75epara P1, 12e para P2, 10, 25e para P3 y 12, 25e para P4. Sabiendo que el benefi-cio obtenido con cada pizza es el mismo en cada uno de los cuatro tipos, ¿cuanto lecuesta a la empresa cada unidad de A, B y C y cual es el beneficio en cada pizza? 1, 5, 1, 25 y 2 cada unidad respectiva de A, B y C. El beneficio es 4.

61. En cierta carrera universitaria, la realizacion de cada trabajo de Matematicas requie-re 1 folio, 2 horas de trabajo y 2 litros de cafe; por su parte, cada trabajo de Economıarequiere 1 folio, 3 horas de trabajo y 1 litro de cafe; por ultimo, cada trabajo de Conta-bilidad requiere 1 folio, 1 hora de trabajo y 3 litros de cafe. ¿Cuantos trabajos de cadaasignatura podremos completar, si utilizamos para ello la totalidad de los 6 folios, las 14horas y los 10 litros de cafe disponibles? Muestra todas las soluciones posibles.

Departamento: EIM 12 Universidad Publica de Navarra

5. Funciones reales, lımites y continuidad

62. Una vendedora de programas informaticos gana 1 800e al mes. Ademas, a partir delos 175 programas vendidos, recibe una comision de 10e por cada nueva venta.

a) Determina la expresion que da la ganancia mensual en funcion de los programasvendidos.

b) Traza su grafica.

c) Si a la vendedora le dan a elegir su contrato entre la modalidad anterior o laalternativa de 1 800e al mes mas 4e por cada programa vendido desde el principio,¿cuantos programas debe vender para que le compense uno u otro contrato?

Hasta 291 programas es mejor la segunda modalidad, a partir de 292 es mejor la primera.

63. Se estima que el numero de bicicletas que se venderan en una determinada region en

el ano t sera proporcional aP (t)− t

t, donde P (t) es el numero de habitantes de la region

en dicho instante t. Tambien se ha podido determinar que, en el instante t, la poblacionsera de 8t2 + 3t habitantes. Se desea calcular el numero de bicicletas como funcion de t,sabiendo que el primer ano se vendieron 150. Si el fabricante de las bicicletas sabe que elbeneficio obtenido con cada una de ellas disminuye con el tiempo, de forma que el ano t

ganara en cada una100

t+ 1euros, expresa el beneficio total de cada ano en funcion de t y

estudia su comportamiento a largo plazo.

64. Se estima que el numero de horas de trabajo requeridas para distribuir nuevas guıastelefonicas al x por ciento de las familias en una cierta comunidad rural viene dado porla funcion:

f(x) =600x

300− xDetermina el dominio de la funcion f , en el contexto del problema. Una vez distribuidas lasguıas a la mitad de la poblacion, ¿cuantas horas de trabajo seran necesarias para acabarel trabajo? Calcula tambien el porcentaje de familias que habra recibido las nuevas guıastelefonicas tras 150 horas de trabajo. Hacen falta 180 horas para completar el trabajo.

Tras 150 horas, el 60 % de las familias han recibido las guıas.

65. La demanda de consumo para un cierto artıculo es D(p) = −200p+ 12 000 unidadespor mes, cuando el precio de mercado es de p u.m. por unidad.

a) Dibuja esta funcion de demanda.

b) Expresa el gasto total mensual de los consumidores para el artıculo como unafuncion de p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado porlos consumidores cada mes en el artıculo).

c) Dibuja la funcion gasto total mensual.

d) Discute el significado economico de la interseccion de la funcion de gasto con el ejep.

e) Usa el grafico de la parte (c) para estimar el precio de mercado que genera el mayorgasto de consumo.

Departamento: EIM 13 Universidad Publica de Navarra

66. Un fabricante con derechos exclusivos para producir una nueva y compleja maquinariaindustrial planea vender una cantidad limitada de maquinas tanto a empresas nacionalescomo extranjeras. El precio que el fabricante puede esperar recibir por las maquinas de-pendera de la cantidad de maquinas disponibles. Se estima que si el fabricante suministra

x maquinas al mercado nacional e y maquinas al extranjero, se venderan a 60 − x

5+

y

20miles de euros cada una en el paıs y a 50− y

10+x

20miles de euros cada una en el extranjero.

Expresa los ingresos R del fabricante como una funcion de x e y.

67. Un fabricante pretende vender un nuevo producto a un precio de p euros por unidady estima que si invierte x miles de euros en desarrollo e y miles de euros en promocion, los

consumidores compraran aproximadamente320y

y + 2+

160x

x+ 4unidades del producto. Si los

costes de produccion son de 50e por unidad, expresa el beneficio total como una funcionde p, x e y.

68. La utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artıculo e y unidadesde otro artıculo esta dada por la funcion u(x, y) = 2x3y2. En la actualidad el consumidordispone de x = 5 unidades del primer artıculo e y = 4 unidades del segundo. Halla elnivel de utilidad actual y traza la curva de indiferencia correspondiente.

69. La funcion de utilidad de un consumidor para cantidades x e y de dos bienes esta dadapor u(x, y) = (x + 1)(y + 2). En la actualidad el consumidor dispone de x = 5 unidadesdel primer artıculo e y = 4 unidades del segundo. Halla el nivel de utilidad actual y trazala curva de indiferencia correspondiente.

70. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→1

x2 + x− 2

x2 − 4x+ 3 vıdeo

b) lımx→1

√x− 1

x− 1 vıdeo

c) lımx→−1

√5 + x− 2

x+ 1 vıdeo

d) lımx→π

(2 + cos x)1/ cosx vıdeo

e) lımx→∞

√x√

x+√x vıdeo

f) lımx→1

x−√x

x− 1 vıdeo

g) lımy→a

y2 − (a− 1)y − ay3 − a3

vıdeo

71. Estudia la existencia de lımite en x = 0 y en x = 3 para la siguiente funcion:

f(x) =

2x2 + 1 si x < 01− x si 0 ≤ x ≤ 32 si x > 3

72. Estudia la continuidad de la siguiente funcion definida a trozos:

f(x) =

x+ 2 si x < 0

x2 + 2 si 0 < x ≤ 41

x− 4si x > 4

Departamento: EIM 14 Universidad Publica de Navarra

73. Determina el valor de ((a)) que hace continua la funcion

f(x) =

{x3 si x ≤ 2

ax2 si x > 2

74. Determina el valor de c para el que la siguiente funcion resulte continua en x = 2.

f(x) =

{ x− 2

x2 − 3x+ 2si x 6= 1, x 6= 2

c si x = 2

vıdeo

75. Determina los valores de a y b para los que la siguiente funcion resulta continua.

f(x) =

a|x|+ 1 si x ≤ −1b si − 1 < x ≤ 23x2 − 8 si 2 < x

vıdeo

76. Dibuja la funcion

f(x) =

{x2 + 2 si x 6= 11 si x = 1

Deduce del grafico el valor de lımx→1

f(x). ¿Es f continua? ¿Por que? ¿Como la definirıas

para que fuera continua?

77. Halla el valor o valores de ((a)) para los que la siguiente funcion resulta continua:

f(x) =

{a2x si x ≤ 2ax2 si x > 2

78. Dada la funcion

f(x) =

{x+ 2a si 1 < x < 3

−2x2 + a2x si x ≤ 1 o x ≥ 3

determina para que valor o valores de ((a)) resulta continua.

79. Determina A y B para que la funcion

f(x) =

x2 +B si x ≤ 2

x2 − Ax− 6

x− 2si x > 2

sea continua en x = 2.

80. Un supermercado, como promocion de primavera, descuenta a sus clientes el 20 % delo que el valor de su compra exceda de 30e. Las compras con valor inferior o igual a 30eno tienen descuento. Muestra una expresion de la funcion f(p): ((cantidad final que paganlos clientes en funcion del precio p sin descuento)). Estudia la continuidad de la funcionf(p).

Departamento: EIM 15 Universidad Publica de Navarra

6. Derivacion de funciones de una variable

81. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) y = −5x2 vıdeo

b) y = −2x6 + 2x3 + 4x− 2 vıdeo

c) y =√x3 vıdeo

d) y = 5√x vıdeo

e) y =1

x3 vıdeo

f) y = (2x− 1)4 vıdeo

g) y = (x+ 1)(2x+ 3)3 vıdeo

h) y =(x− 1)2

x+ 3 vıdeo

i) y =

(x+ 3

x− 4

)2

vıdeo

j) y =x− 1

2x+ 3 vıdeo

k) y =−23√x2

vıdeo

l) y = (√x− 3)4 vıdeo

m) y =√x+ 3

3√x2 vıdeo

n) y =2x− 1√9− x2

vıdeo

n) y = ( 3√x− 1)(2

√x+ 3) vıdeo

o) y =

√x− 1

3√x+ 2

vıdeo

p) y = e3x−1cos x vıdeo

q) y = lnx3 vıdeo

r) y =ln2 x− 1

senx vıdeo

s) y = ln3

(2x− 1

x+ 3

) vıdeo

t) y = cosx2 vıdeo

u) y = sen3 x vıdeo

v) y = cos2 x5 vıdeo

w) y = cos2 x− senx2 vıdeo

x) y =senx− 1

2 cosx+ 3 vıdeo

y) y =

√tanx− 1

sen(3x) vıdeo

82. Determina la ecuacion de la recta tangente a las graficas de las siguientes funciones,en los puntos cuya abscisa se indica.

a) f(x) = x2 − 5x+ 3, en x = 2. vıdeo

b) f(x) = 6x− 5x3, en x = −1.

c) f(x) = tan x, en x = 0. vıdeo

83. Se sabe que la recta y = 5x− 13 es tangente a la grafica de una funcion derivable f ,en el punto (3, f(3)). Halla f(3) y f ′(3). f(3) = 2, f ′(3) = 5.

84. Determina todos los puntos de la grafica de la funcion y = 2/x en los que su rectatangente tiene pendiente −2. En x = 1 y en x = −1.

85. Calcula el punto de la grafica de la funcion f(x) = x2 − 6x + 1 cuya recta tangentees paralela a la recta y = −2x+ 3. vıdeo

Departamento: EIM 16 Universidad Publica de Navarra

86. Determina el valor del parametro ((a)) para que las tangentes a la curva

f(x) = ax3 − (a+ 7)x2 − 18

en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 sean paralelas. a = 2.

87. Calcula a y b para que la recta tangente a la grafica de f(x) = ax2 + bx + 1 en elpunto (1, 2) de su grafica, sea paralela a la recta y = 3x+ 10. vıdeo

88. Para un precio p, las funciones de oferta, S(p), y demanda, D(p), de cierto artıculoen el mercado son S(p) = p− 10 y D(p) = 1200/p.

a) Halla el precio para el que la oferta y la demanda son iguales (precio de equilibrio)y el correspondiente numero de unidades ofrecidas y demandadas (cantidades deequilibrio).

b) Calcula las derivadas S ′(p) (oferta marginal) y D′(p) (demanda marginal) de lasfunciones dadas.

c) Supongamos que el mercado se encuentra en equilibrio. Utiliza las derivadas paraestimar el efecto que tendrıa sobre la oferta y la demanda el aumento de unaunidad en el precio. Compara estas estimaciones con los cambios que tendrıan lugarrealmente.

(a) p∗ = 40, S(40) = D(40) = 30.(c) S′(40) = 1, D′(40) = −0, 75.

89. El precio del agua en cierta comunidad es de 1,2 euros por cada m3 consumido, hastalos 20m3 mensuales; el agua que se consuma por encima de los 20m3 al mes es mas cara,siendo su precio de 1,5 euros el m3. Ademas de lo anterior, en cada factura mensual sepaga una cantidad fija de 5 euros, sea cual sea el consumo realizado. Determina la funcionf(x) que expresa la cantidad total a pagar cada mes, en funcion de los metros cubicos x deagua consumidos. ¿Se trata de una funcion continua? Calcula, donde exista, la derivadade la funcion f(x). Interpreta las respuestas obtenidas, en el contexto del problema.

90. El impuesto (I) sobre la renta (R) de las personas fısicas se ha disenado de la siguienteforma: la renta esta exenta de impuestos si no supera 10 000e, es del 20 % de lo que excedade 10 000e, hasta 30 000e, y es del 40 % de lo que exceda de 30 000e, mas una cantidadfija ((a)), para rentas que excedan los 30 000e.

a) Obten la expresion matematica de la funcion I = f(R).

b) Determina el valor de ((a)) para que la funcion sea continua. ¿Podrıa considerarseun impuesto ((justo)) si la funcion no fuera continua? Razona la respuesta.

c) Obten, donde exista, la derivada de la funcion ((f )). Interpreta el resultado en termi-nos de ((progresividad del impuesto)).

91. Calcula la elasticidad de las siguientes funciones:

a) y = 1

b) y = 2x

c) y = 1 + 2x

d) y = axb (a, b ∈ R)

e) y = 1/x

f) y = 1/(x+ 1)

Departamento: EIM 17 Universidad Publica de Navarra

92. La demanda de un artıculo esta dada por la funcion:

D(p) =100

p+ 1

¿Para que valores del precio la elasticidad resulta ser, en valor absoluto, mayor, menor oigual que 1? Interpreta el resultado en terminos economicos.

7. Derivacion de funciones de varias variables

93. Calcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 10(5x−9y+12)4 vıdeo

b) f(x, y) =√x2 + y2 vıdeo

c) u(x, y) = 2x2 − 3xy + 4y2 vıdeo

d) f(x, y) = x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y4

vıdeo

e) f(x, y, z) = x2 + y3 + z4

f) f(x, y, z) = 5x2 − 3y3 + 3z4

g) f(x, y, z) = xyz

h) f(x, y) = xy(x+ y + 1)

i) f(x, y, z) =x4

y z

j) f(x, y, z) = (x2 + y3 + z4)6

k) f(x, y, z) = exyz

l) f(x, y) = x2 tan(x2 + y2)

m) g(u, v) = ln(4u2 + 5v3) vıdeo

n) f(x, y) = ey senx

n) f(x, y) = 2x3 sen y+x ln y vıdeo

o) V (r, h) =1

3πr2h vıdeo

p) E(p, q) = ap2ebq

q) R(p1, p2) = αpβ1 + γep1p2

94. Halla F ′1(1, 1, 1), F ′2(1, 1, 1) y F ′3(1, 1, 1) para la funcion F (x, y, z) = x2exz + y3exy.

95. Calcula las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = 3x2 + 4y2 en el punto (5,−1). vıdeo

96. Dada la funcion z(x, y) = xy + arctan(yx

), comprueba que se verifica:

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2xy

vıdeo

97. Si A, B, a y b son constantes, halla KY ′K + LY ′L en los casos siguientes:

a) Y (K,L) = AKa +BLb

b) Y (K,L) = AKaLbc) Y (K,L) =

K2L2

aL3 + bK3

98. Sean x e y las poblaciones de dos ciudades y d la distancia entre ellas. Supongamosque el numero T de personas que viajan entre ambas esta dado por

T (x, y, d) = kxy

dn

con k y n constantes positivas. Calcula ∂T/∂x, ∂T/∂y y ∂T/∂d, estudiando sus signos.

Departamento: EIM 18 Universidad Publica de Navarra

99. Se considera una funcion de produccion agrıcola, de tipo Cobb-Douglas

Y = F (K,L, T ) = AKaLbT c

donde Y es la produccion, K el capital invertido, L el trabajo y T la superficie de la tierra,con productividades marginales dadas por las correspondientes derivadas parciales. (A, a,b y c son constantes positivas). Halla las citadas productividades marginales. Estudia sussignos. Se sabe que para los niveles actuales de K, L y T , la productividad del capitalresulta ser ∂Y/∂K = 5. ¿Que aumento en la produccion puede esperarse aumentandola entrada de capital en un euro, suponiendo que el trabajo y la superficie permanencenfijas?

100. Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa comouna funcion del tiempo t y depende tambien de la cantidad A gastada en la campanapublicitaria. Si, con t medido en meses y A en euros, es

x(t, A) = 200(1− e−t)(5− e−0,002A)

calcula ∂x/∂t y ∂x/∂A. Evalua estas derivadas cuando t = 1 y A = 400. Si en esteinstante t = 1 se gastara un euro mas en publicidad, ¿cuantas unidades estimas que seincrementaran las ventas?

101. En un mismo pueblo se venden dos marcas competidoras de cortadoras de cesped.Los precios respectivos de cada cortadora son x e y euros. La demanda local de la primeramarca esta dada por cierta funcion D(x, y).

a) ¿Como afectarıa a la demanda un incremento en x, sin variar y?, ¿y un incrementoen y, sin variar x?

b) De acuerdo con las respuestas del apartado anterior, ¿cuales son los signos de lasderivadas parciales de D(x, y)?

c) Si D(x, y) = a + bx + cy, ¿que signos cabe esperar en los coeficientes b y c, segunlas conclusiones de los apartados anteriores?

102. La demanda de un bien depende de su precio p y del nivel de renta media R, segunla funcion

D(p,R) = 12 + 3

√R

p

Calcula el ritmo de variacion de la demanda en el punto (2, 3), si solamente varıa el nivelde renta. D′R(2, 3) =

√6/4

103. Calcula las elasticidades parciales de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x+ y

b) f(x, y) = xy

c) f(x, y, z) =xy

z

d) f(x, y, z) =x

y + z

104. Calcula las elasticidades parciales de una funcion Cobb-Douglas

f(x, y) = r · xa · yb,

donde r, a y b son constantes positivas.

Departamento: EIM 19 Universidad Publica de Navarra

105. Calcula todas las derivadas parciales de segundo orden de la funcion f(x, y) =4x4y6 + 3x8y5. vıdeo

106. Calcula las derivadas parciales de primer y segundo oden de las funciones:

a) f(x, y) = 6x2 + 5x3y4 − 10y5. vıdeo

b) f(x, y) = 2x3y − xy2. vıdeo

107. Dada la funcion f(x, y) = x2y + 2xy3, calcula las derivadas:∂f

∂x,∂f

∂y,∂2f

∂x2,∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y2,∂3f

∂x3,∂3f

∂x2∂yy

∂3f

∂y2∂x. vıdeo

108. Dada la funcion f(x, y, z) = 2x2y3z2 + xyz, calcula la derivada de cuarto orden:∂4f

∂z2∂x∂y vıdeo

109. Dada la funcion f(x, y, z) = yex + x ln z, comprueba para ella las igualdades:f ′′xz = f ′′zx, f

′′′xzz = f ′′′zxz = f ′′′zzx. vıdeo

8. Funciones homogeneas

110. Demuestra, a partir de la definicion, que las siguientes funciones son homogeneas:

a) f(x, y) =x3 + y3

x

b) g(x, y, z) =(x+ y)3

x+ z

c) h(x, y, z, u) = senxyz

u3

111. Prueba que la siguiente funcion, definida en R2, es homogenea de grado 3.

f(x, y) = 3x2y − y3

Calcula sus derivadas parciales y comprueba que son homogeneas de grado 2. Compruebatambien que, para esta funcion, se satisface la formula de Euler.

112. Averigua si las siguientes funciones son homogeneas y comprueba, para las que losean, el teorema de Euler

a) f(x, y) =xy

x2 + y2 b) f(x, y, z) =x2y

z− yz c) f(x, y) =

x

x+ y+x

y

113. Razona que la funcion f(x, y) = x3 + xy no es homogenea.

114. Se sabe que cierta funcion f(x, y) es homogenea de grado 3 y que f(4, 2√

3) = 4.Calcula f(8, 4

√3) y f(2,

√3).

Departamento: EIM 20 Universidad Publica de Navarra

115. Una funcion f(x, y, z) es derivable parcialmente, homogenea de grado 1/2 y sustres derivadas parciales de primer orden son iguales a 5 en el punto (1, 2, 3). ¿Cuanto valef(1, 2, 3)? f(1, 2, 3) = 60 .

116. Se considera una funcion f(x, y) homogenea de grado 4. Calcula f(3, 4) sabiendoque f ′x(3, 4) = 2 y f ′y(6, 8) = 24. f(3, 4) = 9/2.

117. Sea f(x, y) una funcion homogenea de grado m. Sabiendo que f(1, 2) = 1, calculael valor de m en los siguientes casos:

a) f(2, 4) = 1,

b) f(2, 4) = 2,

c) f(2, 4) = 1/2,

d) f(2, 4) =√

2. (a) m = 0, (b) m = 1, (c) m = −1, (d) m = 1/2.

118. Explica por que no existe ninguna funcion homogenea f(x, y) cuyas derivadas par-ciales sean las funciones f ′x(x, y) = 2xy y f ′y(x, y) = 3x3 + y3.

119. Sabiendo que f(x, y) es una funcion homogenea de grado 2, que f(2, 3) = 3 y quef ′x(2, 3) = 3, calcula f(4, 6), f ′x(4, 6) y f ′y(4, 6). f(4, 6) = 12, f ′x(4, 6) = 6, f ′y(4, 6) = 0 .

120. De una funcion f(x, y, z), derivable parcialmente y homogenea de grado 3, se conoceque f ′x(2, 0, 3) = 6 y f ′z(4, 0, 6) = 4. Calcula f(2, 0, 3) y f(6, 0, 9). f(2, 0, 3) = 5, f(6, 0, 9) = 135.

121. Un estudio sobre la demanda de cierto producto comercializado por una companıa

demuestra que la cantidad vendida Q viene dada por: Q = f(1

p, y), donde p representa

el precio de venta de una unidad de producto e y la cantidad invertida por la companıaen publicidad. Se sabe ademas que f es una funcion homogenea de grado 1. Si se hanvendido 30 000 unidades con un precio de 4 u.m. y una inversion en publicidad de 300u.m., ¿cuantas unidades se venderan la proxima temporada, aumentando el precio hasta6 u.m., pero disminuyendo hasta 200 u.m. la inversion en publicidad? Comprueba que losingresos totales de la companıa son iguales en ambas temporadas.

9. Optimizacion de funciones de una variable

122. Estudia el crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de las siguientesfunciones:

a) f(x) = x2 − 5x+ 2 vıdeo

b) f(x) = −x2 + 3x− 2 vıdeo

c) f(x) = x3 + 3x2 − 9

d) f(x) = x3 − 3x+ 1 vıdeo

e) f(x) = 2x2 − x4

f) f(x) =x− 1

x vıdeo

g) f(x) = (x− 3)5 + 8

h) f(x) =x

1 + x2

i) f(x) = x lnx

Departamento: EIM 21 Universidad Publica de Navarra

123. Entre todos los numeros positivos, calcula aquel que sumado con su inverso da elresultado mınimo. vıdeo

124. Entre todas las parejas de numeros positivos cuya suma es 4, calcula aquella parejaque cumple que su producto es maximo. vıdeo

125. Calcula las dimensiones de un rectangulo de perımetro 4 para que su area seamaxima. vıdeo

126. Determina el valor de a para el que se verifica que la funcion f(x) =ax4 + 1

x3tiene

un mınimo relativo en el punto x = 1. Con el valor de a encontrado, calcula los extremosrelativos de la funcion f(x). vıdeo

127. Al comercializar cierto producto, el precio de venta por unidad viene dado porP = 50/

√x (siendo x > 0 el numero de unidades vendidas). Si el coste de produccion

de x unidades es C = 0, 5x+ 500, calcula el precio que proporciona el maximo beneficio. P = 1 .

128. Un vendedor de bolıgrafos ha observado que si los vende a 10 u.m. es capaz devender 1 000 unidades diarias, pero por cada unidad monetaria de aumento en el precio,disminuye en 100 unidades la venta diaria de bolıgrafos. Por otra parte, a el le cuestafabricar un bolıgrafo 5 u.m. Averigua el precio de venta para que se maximice el beneficio. 12, 5 u.m.

129. Un granjero tiene un cerdo de 150 Kg, cuya alimentacion le supone un gasto de36 u.m. al dıa. El cerdo engorda 3 Kg al dıa. En este momento podrıa venderlo a 120u.m. el Kg, pero esta bajando el precio a razon de 2 u.m. por dıa y kilogramo. ¿Cuantotiempo debera esperar el granjero para vender el cerdo, con objeto de obtener el maximobeneficio? 2 dıas.

130. Un estudio de productividad en el turno matinal de cierta fabrica indica que untrabajador medio que llega al trabajo a las 8 horas habra ensamblado f(x) = −x3 +6x2 + 15x radiotransmisores x horas despues. El estudio indica ademas que despues deun descanso de 15 minutos, el trabajador puede ensamblar g(x) = −1

3x3 + 2x2 + 21x

radiotransmisores en x horas. Determina el momento, entre las 8 y las 12 horas, en quedeberıa ser incluido el descanso de 15 minutos, para que el trabajador medio ensamble elmayor numero de aparatos hasta la hora del almuerzo, a las doce y cuarto. A las 11 de la manana.

Poner el descanso a las 8, esto es, entrar a trabajar a las 8:15, da el mismo resultado.

131. Los ingresos por la venta de un producto son funcion del numero q de unidadesproducidas y vendidas, segun la expresion R(q) = kq − q3, y el coste de fabricacion delas q unidades viene dado por C(q) = mq2 (k y m son constantes positivas). Determinael valor de k y m, sabiendo que, en las condiciones expuestas, se lograrıa un beneficiomaximo de 18 000 u.m., con q = 20 unidades. k = 1400, m = 5.

Departamento: EIM 22 Universidad Publica de Navarra

132. Un banco va a ofrecer una nueva modalidad de libretas de ahorro, estimando quela cantidad total de dinero, C, que depositaran, en conjunto, los clientes en las mismas,sera proporcional al cuadrado del tanto por uno de interes, r, ofrecido en la libreta. Porsu parte, el banco espera obtener un 12 % de interes sobre el dinero depositado. ¿Cualdebe ser el tipo de interes, r, ofrecido en las libretas, para que el beneficio del banco seamaximo? Comprueba el caracter maximo de la solucion. r = 0, 08.

133. Una empresa de plasticos ha recibido un pedido para fabricar 8 000 tablas especialesde espuma de plastico para entrenamiento de natacion. La empresa posee 10 maquinas,cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El coste deadaptacion de las maquinas para producir tablas especiales es de 20 u.m. por maquina.Una vez estas maquinas han sido adaptadas, la operacion es completamente automaticay puede ser supervisada por un solo operario, cuyo salario es de 4, 80 u.m. por hora.¿Cuantas de las maquinas deben adaptarse para reducir al mınimo el coste de produccionde dichas tablas? 8 maquinas.

134. La tasa de variacion de una poblacion P es:

dP

dt=

100− 25t

t2 − 8t+ 16, 1

donde t es el tiempo medido en anos. ¿Cuando es maxima dicha poblacion? Compruebael caracter maximo de la solucion. t = 4.

135. Un estudio realizado en una fabrica demuestra que un trabajador promedio, t horasdespues del comienzo de la jornada, ha producido

Q(t) = −t3 + 15t2 + 600t unidades.

Determina los valores de t que hacen maximas las funciones Q(t) y Q′(t). Interpreta losresultados en el contexto del problema. Q(t) es maxima en t = 20 y Q′(t) en t = 5.

136. Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podra recoger 50 toneladas metricasque le pagaran a 2 euros el kilo. Por cada dıa que espere, la cosecha disminuye en 500 kilosy su precio aumenta en 5 centimos el kilo. ¿Cuantos dıas debera esperar para obtener lamaxima cantidad de dinero? 30 dıas.

137. Una companıa de autobuses alquila un vehıculo para 50 personas a grupos de 35 omas. Si el grupo consta exactamente de 35 personas, cada una paga 60e. En grupos masnumerosos, la tarifa se reduce en 1e por cada persona extra sobre las 35.

a) Determina el tamano del grupo para el que los ingresos de la companıa seran maxi-mos.

b) ¿Cual es la solucion si la capacidad de los autobuses es de 45 personas?

138. Asterix se ha retirado de la aventura y se dedica a cuidar gallinas. El druidaPanoramix ha elaborado dos tipos de pocion magica que sirven para alimentar a lasgallinas: la pocion ((Corralın)) la vende a dos sextercios el litro, y la pocion ((Corralon)) lavende a un sextercio el litro. Con H litros de la pocion ((Corralın)) cada gallina engorda4H2 gramos, mientras que con la misma cantidad de la pocion ((Corralon)) engorda soloH2 gramos. Si Asterix ha pensado invertir 100 sextercios en la compra de pienso para susgallinas, ¿que cantidad de pocion de cada marca debe comprar para obtener el maximorendimiento posible?

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139. Estudia la concavidad, convexidad y los puntos de inflexion de las funciones:

a) f(x) = 2− x2

b) f(x) = ex

c) f(x) = x3

d) f(x) = x3 − 5x2 + 2x− 3 vıdeo

e) f(x) = e−x2

f) f(x) =x

1 + x2

10. Optimizacion de funciones de varias variables

140. Determina y clasifica los puntos crıticos de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 + 2x− 2y vıdeo

b) f(x, y) = x2 − xy + y2 + 3x− 2y + 1

c) f(x, y) = x3 + x2y + y2 + 2y + 1 Puntos de silla en (0,−1) y (2,−3).Mınimo en (1,−3/2)

d) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

e) f(x, y) = xy(1− x− y) vıdeo

141. Utiliza el metodo del multiplicador de Lagrange para resolver los problemas deoptimizacion siguientes:

a)

{opt.: f(x, y) = 1− x2 − y2suj.: x+ y = 4

b)

{opt.: f(x, y) = x+ ysuj.: x2 + y2 = 8

c)

{opt.: f(x, y) = x+ ysuj.: lnx+ ln y = 1

d)

{opt.: f(x, y) = 20

√xy

suj.: 4x+ y = 32

142. Una cadena de television oferta tiempos de publicidad en sus dos programas demaxima audiencia. Con unos precios respectivos de x e y miles de euros por minuto depublicidad emitido, las empresas anunciantes contrataran 40−50x+40y minutos de publi-cidad durante el primer programa y 20+60x−70y minutos durante el segundo. Determinalos precios x, y que maximizan los ingresos totales de la cadena. x = 1, 9, y = 1, 5.

143. Sea la funcion de produccion

Q(K,L) = 80− (K − 3)2 − 2(L− 6)2 − (K − 3)(L− 6)

Se sabe que el precio de venta del producto es de 1 u.m., el coste de cada unidad decapital (K) es de 0, 65 u.m. y el coste de cada unidad de trabajo (L) es de 1, 2 u.m. Si laempresa vende todo lo que produce, halla los valores de K y L que maximizan el beneficio. K = 2, 8, L = 5, 75.

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144. Un fabricante esta planeando vender un nuevo producto a 350 euros por unidad.Sus calculos le dicen que si gasta x miles de euros en cuestiones de desarrollo e y miles deeuros en la promocion, los compradores adquiriran, aproximadamente

A(x, y) =100x

x+ 5+

250y

y + 2unidades del producto.

Considerando que los costes de fabricacion del producto son de 150 euros por unidad,determina cuanto deberıa gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promocion si deseaque el beneficio obtenido sea maximo. Resuelve el problema en los dos casos siguientes:

a) El fabricante dispone de fondos ilimitados.

b) El fabricante dispone de 11 000e para gastar en desarrollo y promocion. (a) x = 5, y = 8, (b) x = 4, y = 7.

145. Una empresa azucarera produce azucar de dos tipos: blanca y oscura. Un restaurantele ha pedido 42 kilos de azucar pero sin especificar la clase. La empresa sabe que laproduccion de x kilos de azucar blanca junto con y kilos de azucar oscura, le suponen uncoste de

C(x, y) = 8x2 − xy + 12y2 u.m.

¿Que cantidad de cada tipo debera entregar la empresa si quiere minimizar el coste? 25 kilos de blanca y 17 de oscura.

146. Una empresa fabrica rotuladores y bolıgrafos. La produccion diaria de rotuladoresviene dada por la funcion qr = 3540 − 10pr + 2pb, y la de bolıgrafos por la funcionqb = 1200 − 14pb + 4pr, donde pr y pb son los precios de venta de los rotuladores ybolıgrafos, respectivamente. Maximiza los ingresos totales de la empresa, sabiendo quepor limitaciones estructurales, no puede producirse mas de 2 940 unidades diarias entotal, y que, debido a la gran demanda existente, la empresa funciona siempre al lımitede sus posibilidades y vende toda su produccion. pr = 180, pb = 60.

147. Discute la existencia de extremos para las funciones

a) f(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2 − 2xy + 2y + 2yz − 3 vıdeo

b) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 + 3x+ y − z − 2

148. Descompon el numero 9 en tres sumandos, de manera que la suma de los cuadradosde estos sea mınima.

149. Resuelve los siguientes problemas de optimizacion:

a)

{opt.: f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2

suj.: x− 2y − z = 30 Mınimo en (9,−9,−3)

b)

{opt.: f(x, y, z) = xy + xz + yzsuj.: xyz = 125

Mınimo en (5, 5, 5)

150. La funcion de utilidad de cierto consumidor esta dada por la expresion: u(x, y) =xy + x + 2y, donde ((x)) e ((y)) representan las cantidades consumidas de dos bienes deprecios unitarios respectivos px = 2, py = 5. Calcula como debe distribuir el consumidorun presupuesto de 51 u.m. en la adquisicion de ambos bienes, si desea que su utilidad seamaxima. Comprueba el caracter maximo de la solucion. x = 13, y = 5.

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151. Un padre va a repartir entre sus tres hijos cierta cantidad de dinero para susgastos semanales. Les ha asegurado que es la maxima cantidad total que verifique: eltriple del cuadrado de lo que recibira Juan, mas el doble del cuadrado de lo que reci-bira Pedro, mas el cuadrado de lo que recibira Luis es igual a 660 000. Calcula la canti-dad total que recibira cada hijo y comprueba que la cifra total repartida es la maxima. Juan 200 euros, Pedro 300 euros y Luis 600 euros.

152. Una empresa produce tres artıculos cuyos precios de mercado en competencia per-fecta son Px = 16, Py = 12 y Pz = 20. La funcion de costes esta dada por C(x, y, z) =x2+2y2+3z2+2xz+25, donde x, y y z representan las cantidades producidas de cada unode los tres artıculos. Calcula las cantidades de cada artıculo que maximizan el beneficiode la empresa, suponiendo que vende todo lo que produce. x = 7, y = 3, z = 1.

153. Un estudiante de Economıa gasta mensualmente 4 800 u.m. entre comida, vestido ydiversion. Los precios unitarios de cada uno de estos tres bienes son, respectivamente de20, 15 y 8 u.m. Como aventajado economista, nuestro estudiante ha definido su funcion deutilidad acerca del consumo de estos tres productos y ha estimado que tal funcion vienedada por U(x, y, z) = x y z2, siendo ((x)) el numero de platos de comida, ((y)) el numerode prendas de vestir, y ((z)) el numero de horas de diversion. Calcula cuanto consumiramensualmente de cada cosa si, como es obvio, desea maximizar su utilidad. 60 platos de comida, 80 prendas de vestir y 300 horas de diversion.

11. Integral indefinida

154. Calcula las siguientes integrales:

a)

∫5x2 dx vıdeo

b)

∫(x5 − 6x4 + 3x2 − 2x + 3) dx

vıdeo

c)

∫(x2 − 4)(2x+ 3) dx vıdeo

d)

∫x5 − 5x+ 3

xdx vıdeo

e)

∫dx

x5 vıdeo

f)

∫−53√x2

dx vıdeo

g)

∫x4 − x3 + 3x2 − 2

√x√

x3dx vıdeo

h)

∫dx

2x− 4 vıdeo

i)

∫x

x+ 1dx vıdeo

j)

∫dx

3√x− 1

vıdeo

k)

∫x+ 1

x2 + 2x+ 2dx vıdeo

l)

∫dx

x2 + 4 vıdeo

m)

∫x

x2 + 4dx

n)

∫(x5 − 5)4x4 dx vıdeo

n)

∫ √x(x− 5√x)dx vıdeo

o)

∫x√x2 − 2 dx vıdeo

p)

∫sen4 x cosx dx vıdeo

q)

∫x2

x2 + 1dx vıdeo

r)

∫e2x−1 dx vıdeo

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s)

∫tan(5x) dx vıdeo

t)

∫x2 + 1

x3 + 3xdx vıdeo

u)

∫x ex

2+2 dx vıdeo

v)

∫x cos(x2 − 2) dx vıdeo

w)

∫dx

cos2(2x− 1) vıdeo

155. Mediante la formula de integracion por partes, resuelve las siguientes integrales:

a)

∫x sen(2x) dx vıdeo

b)

∫xe2x dx vıdeo

c)

∫x2 sen(3x) dx vıdeo

d)

∫lnx dx vıdeo

e)

∫arctan(2x) dx vıdeo

f)

∫x19 lnx dx

156. Determina una funcion que pase por el punto (2, 6) y tal que la tangente a su graficaen cada punto x tenga pendiente igual a 3x2 + 1.

157. La segunda derivada de una funcion f es f ′′(x) = 6(x−1). Halla la funcion sabiendoque su grafica pasa por el punto (2, 1) y que en ese punto la recta tangente es 3x−y−5 = 0.

158. Si la propension marginal a la importacion en un paıs es funcion de la renta R segunla relacion M ′(R) = 15(3 +R)−2, y si las importaciones M valen 28 cuando la renta es 2,halla la funcion de importacion.

159. Cierto coche, comprado ahora por 18 000 euros, cambia de valor a un ritmo dadopor:

dP

dt= 1 000 (1 + t)(1− t)

donde P (t) es el precio en euros, t anos despues de la compra. ¿A que precio podravenderse dentro de 3 anos? 12 000 euros.

160. La funcion de coste marginal de un determinado producto tiene la forma f(Q) =2 + 6Q − AQ2 (con A constante). Se sabe que la funcion de coste total C(Q) es tal queC(1) = 150 y C(2) = 154. Determina la citada funcion de coste total.

161. El beneficio marginal de cierta empresa, para una produccion de q unidades, esB′(q) = 60q− 2q2 euros. Cuando se producen 9 unidades, el beneficio de la empresa es de1 000e. ¿Cual es el maximo beneficio posible para la empresa? 8 056 euros.

162. La poblacion G(t) de gamusinos, especie en extincion, evoluciona a un ritmo G′(t) =−0, 5e−0,03t, donde t es el numero de anos desde que comenzo el registro del numero deejemplares. Si la poblacion inicial era de G(0) = 500, ¿cual sera dentro de diez anos?

163. El coste marginal de fabricacion de un producto viene dado por la funcion f(q) =a + 6

√q, donde q es la cantidad producida y a un parametro. Determina la funcion de

coste total, sabiendo que el coste fijo (cuando no se fabrica nada) es de 48 u.m. y el costede fabricar 4 unidades es de 100 u.m.

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164. El precio actual del pollo es de 3e por kilogramo y se estima que dentro de tsemanas estara aumentando a razon de 3

√t+ 1 centimos por semana. ¿Cuanto costara

el pollo dentro de 8 semanas? 3,52 euros por kilogramo.

165. Determina la funcion de demanda de un bien, Q = f(P ), si sabemos que la elasti-

cidad de la demanda respecto al precio es EPQ = −3P 2 + 2P

Q, y que cuando el precio es

2 u.m. la demanda asciende a 100 unidades.

12. Integral definida

166. Calcula las siguientes integrales definidas:

a)

∫ 2

−1(9− x)dx vıdeo

b)

∫ 2

−1(x2 + 2)dx vıdeo

c)

∫ 3

1

(3x2 + 2)dx vıdeo

d)

∫ π/2

−πcos(2x) dx vıdeo

e)

∫ 1/2

−1/2

dx

1 + 4x2 vıdeo

167. Mediante integracion por partes, calcula las siguientes integrales definidas:

a)

∫ ln 2

0

xe−x dx b)

∫ 2

1

lnx

x2dx vıdeo

168. Determina el area delimitada por las curvas que se indican en cada uno de lossiguientes casos:

a) f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 2. vıdeo

b) f(x) = x3 +5x2−x−5, las rectas verticales x = −2, x = 2, y el eje OX. vıdeo

c) f(x) = 2x2 + 3x− 1 y las rectas x = 1, x = 4 e y = 0. vıdeo

169. Calcula el area bajo la grafica de la funcion y = |x−2|, sobre el eje OX, entre x = 0y x = 3. 2, 5u2

170. Halla la disminucion en el ingreso total de una empresa cuando la cantidad vendidase reduce de 10 a 5 unidades, en el supuesto de que la funcion de ingreso marginal seaf(x) = 100− 4x, donde x es la produccion vendida. 350 u.m.

171. El ingreso marginal de una empresa por la venta de x unidades de un artıculo es de7− 3x+ 4x2 cientos de euros, mientras que el correspondiente coste marginal es de 5 + 2xcientos de euros. ¿Cuanto cambia el beneficio si las ventas pasan de de 5 a 9 unidades? 2 020/3 cientos de euros.

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172. Los registros indican que t meses despues de principio de ano, el precio de ciertoartıculo alimenticio en los supermercados locales era de

P (t) = 90t2 − 20t+ 160 euros por kilo.

¿Cual fue el precio medio del producto durante los tres primeros meses del ano? 400 euros por kilogramo.

173. Despues de t meses de entrenamiento, un estudiante puede leer sus apuntes dematematicas (comprendiendo lo que lee) a un ritmo de Q(t) = 10 + 2t2 paginas por hora.¿A que ritmo de lectura promedio estudiaba durante el primer trimestre? ¿A que ritmodurante el segundo trimestre? 16 paginas por hora en el primer trimestre y 52 paginas por hora en el segundo trimestre.

174. Cierto pozo de petroleo que produce 300 barriles de petroleo crudo al mes, sesecara en 3 anos. Se estima que dentro de t meses el precio del petroleo crudo seraP (t) = 18 + 0, 3

√t dolares por barril. Si el petroleo se vende tan pronto como se extrae

del suelo, ¿cual sera el ingreso total futuro del pozo? 207 360 dolares.

175. Cuando tiene t anos, cierta maquinaria industrial genera ingresos a un ritmo deR(t) = 5 000−20 t2 euros por ano, mientras que sus costes de mantenimiento se acumulana razon de C(t) = 2 000 + 10 t2 euros por ano. ¿Durante cuanto tiempo es rentable el usode la maquinaria? ¿Que ganancias netas genera la maquinaria en ese periodo? Es rentable durante 10 anos y generara unas ganancias de 20 000 euros.

176. Despues de x horas en el trabajo, un obrero industrial esta produciendo a un ritmode q1(x) = 60− 2(x− 1)2 unidades por hora, mientras que un segundo trabajador lo hacea q2(x) = 50 − 5x unidades por hora. Si ambos llegan al trabajo a las 8 de la manana,¿cuantas unidades mas habra producido, hasta las 12 del mediodıa, el primer trabajadorque el segundo? 184/3 unidades mas.

177. Supongamos que dentro de t anos un plan de inversion generara beneficios a razonde R1(t) = 50+ t2 euros por ano, mientras que un segundo plan lo hara a R2(t) = 200+5teuros por ano. Determina durante cuanto tiempo sera mas rentable el segundo plan.Calcula el exceso de beneficio neto que se generara en este segundo plan frente al primero. Durante 15 anos con un exceso de beneficio de 1687,5 euros.

178. Despues de x horas de trabajo, un obrero puede producir 200xe−0,5x unidades porhora. Sabiendo que el obrero entra a trabajar a las ocho de la manana ¿cuantas unidades

producira entre las diez de la manana y el mediodıa? 2008e− 12

e2unidades.

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