REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ^ANTONIO JOSE DE SUCRE^

BARQUISIMETO –ESTADO LARA.

Integrante:

19.921.537 Enderson

Rodríguez

Matematica.

APLICACIÓN DE DERIVADAS: Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es

derivable en todo número del intervalo.

Velocidad

Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad

(instantánea) del objeto en el instante t esta dada por:

V(t)= ds /dt = f ´(t)

La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si

la velocidad es cero el objeto está en reposo.

Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7

Donde s se mide en centímetros y t en segundos

Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5

Solución

Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8)

Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)

y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)

Aceleración

Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración

(instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:

a(t)= dv /dt =f"(t)

Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1

Donde s se mide en metros y t en segundos.

a. ¿En qué instante la aceleración es cero?

b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.

Solución

Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t

a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0

b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg

Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv,........... , fn Tal que:

f"(x)=[f´(x)]´

f´´´(x)=[f"(x)]´

f iv (x)=[f´´´(x)]´

.

.

.

f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .

Para ver algunos ejemplos, por favor revise los libros de Cálculo con Geometría Analítica de Louis

Leithold, Calculo diferencial de Jorge Saenz, o cualquiera que encuentres en Biblioteca

Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y x2

son dos números cualesquiera en el intervalo.

Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que

x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

f(x)=3x+8

Solución f´(x)=3

Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R.

f(x)=x2+2x-3

Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f´(x)=0, donde la función f no es creciente ni

decreciente.

2x+2=0

x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento

de la derivada antes y después de x=-1 f´(x)=2(x+1).

Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que

contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo.

Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que

contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo.

Intervalo F´(X) La Función es

(- ,1) - Decreciente

(-1,+ ) + Creciente

Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):

Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].

Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos

Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x)

existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:

Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si

f´( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo,

entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si

f´( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo,

entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

Máximos y Mínimos Absolutos

Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:

F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función.

F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.

Teorema del Valor Extremo

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b].

Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.

Punto Crítico

Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:

f´(c)=0 ii). f´(c) no existe

Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función Unidad4ema4.1ecu1.gif

Solución

Unidad4ema4.1ecu2.gif

f´(x)=0 si y sólo si 2(x-1)=0 si y sólo si x=1. Además vemos que f´(x) no está definida en x=0 y en x=2.

Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1, 0 y 2.

Problema de Máximos y Mínimos

El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la

velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de

combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante:

V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos

absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares.

Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo

que primero debemos derivar para hallar la aceleración:

A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61

Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:

UIV.8.1.a.gif

entonces decimos que es indeterminada.

Si se tiene,

UIV.8.1.b.gif

En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos

expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. Teorema:

Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y

supongamos que para toda x ¹ a en I, g`(x) ¹ 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y

límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las

respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el

mismo valor.

http://saia.uft.edu.ve/uts/mod/resource/view.php?id=224618

Referencias