Matematica I (limites)(uss)

Ms. Marilyn Delgado Bernu

1

LMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

Definicin 1. ( Lmite de una Funcin )

Sea f: D una funcin. Se dice que el lmite de la

funcin f(x) cuando x tiende a a, es igual a L, lo cual

se escribe como (a puede estar o no en D).

Lf(x)ax

lim

>0 ()>0 tal que 0 < |x-a|< |f(x)-L|0 ()>0 tal que 0


2

Ejemplo 1. Demostrar que 312x1x

lim

Solucin

Dado >0 >0 tal que

|x-4|


3

|x-1|


4

Sec=b

c Csc=

a

c Sec =

x

r Csc =

y

r Sec=

x

1 Csc=

y

1

2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Senx.Cscx=1 Cosx.Secx=1 Tanx.Cotx=1

Tanx=

cosx

senx

Cotx=

x sen

x cos

Sen2x+Cos2x=1 1+Tan2x=Sec2x 1+Cot2x=Csc2x

3. IDENTIDADES DE SUMAS Y DIFERENCIAS

Sen(xy)= Senx.Cosy Seny.Cosx

Cos(x+y)= Cosx.CosySenx.Seny

Cos(xy)= Cosx.Cosy+Senx.Seny

4. FORMULAS DE REDUCCI0N

Se(-x)=Senx Cos(-x)=Cos x

Sen(-x)=Sen x Cos(-x)=-Cos x

TEOREMAS DE LMITES

Teorema 1. (Unicidad de los Lmites)

Si 1Lf(x)

axlim y

2Lf(x)

axlim , entonces L1=L2.


5

Teorema 2. ( Lmite de la suma de funciones)

Si nLxnf

axlim;;2Lx2f

axlim;1Lx1f

axlim

)()()(

, entonces

nL...2L1Lxnf...x2fx1fax

lim

)()()(

Ejemplo 1. 3e123e102xe13x1x3x

lim

Ejemplo 2. xx2

x1x

lim

=1-1+1=1

Teorema 3. ( Lmite del producto de funciones )

Si Mg(x)ax

limyLf(x)ax

lim

, entonces L.M.f(x).g(x)ax

lim

Ejemplo 3. 6379.6x72x1x

lim

Ejemplo 4. 61)(1)(3)2(3x1x1x1x20x

lim

Teorema 4. ( Lmite de la divisin de funciones )

Si 0Mg(x)

axlimyLf(x)

axlim

entonces M

L

g(x)

f(x)

axlim

Ejemplo 5.

25

13

43x

12x

7xlim

Ejemplo 6.50

1

100

2

2x

3x

1x

5xlim


6

Teorema 5.

Si Mg(x)ax

limyLf(x)ax

lim

entonces M

L

xg

f(x)ax

lim

Ejemplo 7. 481x

22x3x

lim

Ejemplo 8. 150114x

1-2x1xlim

xln= 0

Teorema 8.

n f(x)

ax

limnf(x)

ax

lim Lf(x)ax

lim

, donde para n par, L>0

Ejemplo 9. 4

342x

4x

5x

2xlim

Ejemplo 10.E2

5 342x4x5x95

1xlim

2.2. Clculo de lmites

Consideraremos lmites para los cuales nuestras propiedades de

los lmites no se aplican y no pueden evaluarse por sustitucin

directa. La tcnica consistir en realizar operaciones

algebraicas sobre f(x) de modo que obtengamos una forma en la

cual nuestras propiedades de los lmites puedan aplicarse.

2.2.1 Caso algebraico

Cuando las funciones que intervienen en los lmites son

algebraicas


7

Ejemplo 1. Calcular

7

49

lim

2

7

x

x

x

Solucin

7

492

7

x

x

xlim

=

14777

77

7

x

xlim

x

xx

xlim

Ejemplo 2. Calcular 12

1

1

x

x

xlim

Solucin

12

1

1

x

x

xlim

= 111

1

xx

x

xlim

= 2

1

1

1

1

xxlim


13

1

x

xlimx

Solucin

31

1

1

11

1

1

1

33 2133 23

3

1

3

1

xx

lim

xxx

xlim

x

xlim

xxx


24

2

34

2

x

xxlimx

Solucin

114

1212128

22

12632

4

2423

22

34

2

xx

xxxxlim

x

xxlim

xx

Ejemplo 5. Calcular

x

xx

x

4

12

lim16

Solucin


8

734

34

1616

xlim

x

xxlim

xx.

Teorema 1. (Lmite Notable)

nx-

xlim

n

x

1

1

1 (*)


210

1

x

xxlimx

Solucin

Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos

1

210

1

x

xxlimx = 1

1

1

1

1

11

1

10

1

10

1

x

xlim

x

xlim

x

xxlim

xxx

Por lo tanto 1

210

1

x

xxlimx =10+1=11


65lim

61

1

x

xx/

x

Solucin

Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos

=10


9

1

65lim

61

1

x

xx/

x=

1

15

1

1

1

551

1

61

1

61

1 x

xlim

x

xlim

x

xxlim

x

/

x

/

x

Por lo tanto 6

315

6

1

1

6561

1

x

xxlim

/

x .

2.2.2 Caso trigonomtrico

Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son

funciones trigonomtricas

Lmite Notable: 1

0

x

xSenlimx

TABLA DE EQUIVALENCIAS: cuando x0

senx x

tanx x

arcsenx x

arctanx x

1-cosx 2

2x

Ejemplo 8. Calcular x

xtanlimx

3

0

Solucin

Como tan3x= xCos

xSen

3

3

, entonces x

xtanlimx

3

0 =xCos.x

xSenlimx 3

3

0

Multiplicando por 3, tanto al numerador como al denominador,

para obtener el lmite notable x

xSenlimx 3

3

0 , resulta: xCos.x

xSenlimx 3

3

0 =

x Cos.x

x Senlimx 33

33

0=

xCoslimx 3

3

0 =3. Por lo tanto x

xtanlimx

3

0 = 3.


10


Cosxlimx

1

0

Solucin

x

Cosxlimx

1

0 =

Cosxx

CosxCosx

xlim

1

11

0= = Cosxx

xCoslimx

1

12

0 = Cosxx

Senx.Senx lim

Cosxx

xSenlim

xx

11 0

2

0

= 0

2

0

10

Cosx

xSenlimx

Ejemplo 10. Calcular xSen

xlimx

2

0

Solucin

xSen

xlimx

2

0 =

000

xxlim

x

xSen

xlimx

Ejemplo 11. Calcular xcot.xCscxlim

x222

0

Solucin

x cot.xCsc xlimx

222

0 = xx TanSen

xlimx 22

2

0=

4

1

2

2

24

2lim

0

x Tan

x.

x Sen

x

x

Por lo tanto

xcot.xCscxlimx

222

0 = 4

1

.

Ejemplo 12. Calcular xtan

xtanlimx 5

3

0

Solucin


11

xtan

xtanlimx 5

3

0 = x

xtan

x

xtan

limx 5

3

0

=

5

3

5

55

3

33

0

x

xtan

x

xtan

xlim

2.2.3 Caso exponencial

Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son

funciones exponenciales.

En este caso, para simplificar las expresiones exponenciales

y logartmicas, es necesario aplicar la equivalencia dada,

teniendo en cuenta la tendencia de x hacia cero.

ax1+xlna

si x 0.

Ejemplo 13. Calcular xx

xx

limx 56

24

0

Solucin

Aplicando la equivalencia:

414 lnxx

212 lnxx

616 lnxx

515 lnxx

resulta

5

6

2

56

24

05161

2141

0ln

ln

)lnlnx(

)lnlnx(

xlim

)lnx(lnx

)lnx(lnxlimx


12


xsen x -

limx

12

0

Solucin

Aplicando la equivalencia para x4 y senx,, resulta:

x

ln-x x-

xlim

x

xsen x -

limx

121

0

12

0

x

)ln-x(lim

x

21

0

2ln1


)x

(tanlimx

12

0

Solucin

Aplicando la equivalencia:

2ln12x

x

resulta

x

)ln(xtanlim

x

)lnx(tanlim

x

)x

(tanlim

xxx

212112

000

y por la equivalencia

22 lnx)ln(xtan

resulta

2212

00ln

x

lnxlim

x

)x

(tanlim

xx


senx

limx

12

0

Solucin

Aplicando la equivalencia, resulta


13

x

senx

limx

12

0

= x

lnsen(x) limx

121

0

= ln2


14

HOJA DE TRABAJO SESIN 1

I. Haciendo uso de la tabla de valores, hallar f(x)ax

lim

y f(a) en los puntos indicados.

1. f(x)= x-5, a=1 2. f(x)= 4x + 3, a=5

3. ,2x

2x)x(f

a=3 4.

3-x x,2

3-x,xf(x)

3 a=3

5.

5x; 2x

5x; x1

f(x) , a=5 6. ,1-

2x

3x2

xf(x)

2 a=4

7. ,1xf(x) a=3 8. f(x)=3-x+1, a=2 II. Para la funcin f(x), cuya grafica se da, encontrar el lmite indicado: .

7

2

f(x)5x

lim

= ........... f(x)5x

lim

= ............

III. Haciendo uso de los teoremas de lmites, resolver cada uno de los ejercicios dados:

1)

1x

13x2x

0xlim 2) 1x

2x

-2xlim

4

3) )2

x4

(x-4x

lim 100

4) 7)6)(x1)(x3x2

(x0x

lim

5) 5x

6x2x

3xlim

6) 43x 2xx

lim3x

7) 3

13x2

2x0x

lim

8) 72

2x1x

lim

9)

x cos

4x

5x

x

lim

2

10) 9cosxxtansenxlimx

11) 4)x2x(3sec0x

lim

5

5

6

4

5

5


15

En los ejercicios 12-14, si 2

)x(flimax

y 5

)x(glimax

, encuentre los lmites indicados:

12) )x(g)x(flimax

3

13) )x(g)x(f

)x(g)x(flim

ax 4

63

14) 7

100 2)x(g)x(f

)x(f)x(glimax

IV. Eliminando las indeterminaciones, calcular los lmites

siguientes.

12

1442

12

x

xlim

x

7132

7152

2

2

2

1

xx

xxlim

x

123

19

2

2

31

xx

xlim

x

78

14194

2

23

7

x -x

xxxlimx

472

35

23

23

1

xxx

xxxlimx

34

23

5

4

1

xx

xxlimx

182773

42632234

2345

1

xxx-x

xx-xx-xlimx

12

2

53

1517

1 -xx

xxlimx

1

1

78

13

1

x

xlimx


16

Calcular los siguientes lmites:

1. 115

17

0

x

x

xlim

2. xlim

xx

x

289

0

3. 1

2121

1

x

xlim

x

x

4.

x

44

lim

xx

0x

5. xSen

xSenxSenlimx 2

76

0

6. x

xCosxCoslim

x

43

7. xSen

xSenxtanlimx

32

0

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