Capítulo 01Lógica Proposicional

Sesión 02: Formalización y valoración de proposiciones

Mg. Oliver Vásquez Leyva

Escuela Profesional de EnfermeríaCompetencia Lógico Matemática

¿Cómo se representan simbólicamente las proposiciones?

Letras minúsculas como p, q, r, s, t, etc. Para cada p1, p2, p3 …. p(n)

Identifican a cualquier proposición simple

p: El gato es un animal mamífero. (......)q: 20 es divisible por 6. (......)r: 5 es un número primo. (......)s: César Vallejo nació en París (......)t: El ángulo recto mide 90º (......)

Valores y diagramas de árbola) Una proposición

ppVF

b) n proposiciones = 2n

p pVVFF

Ejemplo: 2 proposiciones = El número de combinaciones

posibles será 22

V

F

V

F

qV

F

qVFVF

Operaciones lógicasLa Negación

Tenemos una proposición “p” la negación es “no p”

Simbólicamente: Tenemos p la negación es p

Ejemplo:

p: 8 es un número par; (V); su negación es:~p: 8 no es un número par (F)No es cierto que 8 es un número par.q: La luna es un planeta; (F); su negación: q: La luna no es un planeta; (V)

P pV F

F V

Operaciones lógicasLa Conjunción

Es el resultado de unir proposiciones con el conector “y”.Simbólicamente: Tenemos p q se lee p y q.El resultado es verdad sólo cuando todos los valores son

V.

Ejemplo:

1. París está en Europa y Perú en América: (V) p q

(V) (V)2. 12 es múltiplo de 3 y 4 es divisor de 15: (F) (V) (F)

p q

p q

V V

V

V F

F

F V

F

F F

F

Operaciones lógicasLa Disyunción

Se conoce como suma lógica de p y q y se denota como “o”.

Establece una alternativa.Simbólicamente: Tenemos p v q se lee p o q.

Ejemplo:

a) Felipe es profesor o es estudiante de ingeniería. p v q b) Vargas LLosa nació en Perú o nació en Chile.

p v q

Operaciones lógicasLa Disyunción

Se conoce como disyunción débil.Es verdad cuando por lo menos una es verdadera.Simbólicamente: Tenemos p v q se lee p o q.

Ejemplo:

Determine el valor de verdad:12 es múltiplo de 3 o 5 es número par Sean: p: 12 es múltiplo de 3, (V)  q: 5 es número par, (F)

Luego: p q: (V)

La Disyunción incluyente

p q

p q

V V

V

V F

V

F V

V

F F

F

Operaciones lógicasLa Disyunción

Se conoce como disyunción fuerte.Es verdad cuando una es verdadera.Simbólicamente: Tenemos p q se lee p o q.

Ejemplo:

Determine el valor lógico:Gabriel García Márquez es chileno o es venezolanoSean: p: Gabriel García Márquez es chileno, (F)q: Gabriel García Márquez es venezolano, (F)Luego p q: (F)

La Disyunción excluyente

p q

p q

V V

F

V F

V

F V

V

F F

F

Operaciones lógicasEl condicional o implicación

Se denomina proposición condicional “si, …., entonces”.Simbólicamente: Tenemos p q se lee p entonces q.El resultado es falsa si y sólo si la antecedente es V y la

consecuente es F, en los demás casos es V.

Ejemplo:

Si hoy viajo a Lima entonces hoy falto a la universidad.

p qEn el caso que viajo a Lima, necesariamente no asisto a la universidad, es decir si el antecedente ocurre, el consecuente debe cumplirse. De hecho la proposición solo será falsa cuando sea verdad que viaje y no falte a la universidad; es decir si el antecedente es verdadero y el consecuente falso

p q

p q

V V

V

V F

F

F V

V

F F

V

Operaciones lógicasLa bicondicional

Se denomina doble implicación “si y sólo si”.Simbólicamente: Tenemos pq se lee p si y sólo si q.El resultado es verdad si y sólo si tengan los mismo

valores y es falsa cuando uno de las proposiciones es F.

Ejemplo:Pedro está enfermo cuando y sólo cuando tiene fiebre,p: Pedro está enfermoq: Pedro tiene fiebre

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Operaciones lógicasResumen de conectivos

CONECTIVOS LOGICOS SIMBOLOS NOMBRES

no Negación

y Conjunción

o Disyunción incluyente

O............... o Disyunción excluyente

Si......entonces........ Condicional

......si y solo si...... Bicondicional

Fórmulas o esquemas lógicosResumen de conectivos

CONECTIVOS LOGICOS SIMBOLOS NOMBRES

no Negación

y Conjunción

o Disyunción incluyente

O............... o Disyunción excluyente

Si......entonces........ Condicional

......si y solo si...... Bicondicional

Fórmulas o esquemas lógicos

Recomendaciones Los signos de agrupación: paréntesis, corchetes, llaves, etc, son usados

en la formación de las fórmulas lógicas para evitar las ambigüedades y darle mayor o menor jerarquía a los operadores lógicos.

En los operadores lógicos (conectivos lógicos) en general, la negación es el de menor jerarquía, le siguen la “” y “” que tienen igual jerarquía y, “” es el de mayor jerarquía. En cada esquema lógico sólo un operador es el de mayor jerarquía y es el que le da el nombre.

Evaluar un esquema lógico consiste construir su tabla de valores del operador principal (mayor jerarquía) a partir de la validez de cada uno de las variables proposicionales.

Ejemplo:Sean A: p (~ p q), B: [r (~ p q)] (p ~ r)

Al conjunto de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación se llama Fórmulas lógicas o esquemas lógicos. Se representa con letras mayúsculas: A, B, C, etc

Clases de esquemas moleculares

Recomendaciones Una tautología es una fórmula lógica que es verdadera

para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

Una contradicción es una fórmula lógica que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales.

Una contingencia es una fórmula lógica cuando por lo menos hay una verdad y una falsedad de su operador principal.Ejemplo:

Sean A: p (~ p q), B: [r (~ p q)] (p ~ r)

Al conjunto de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación se llama Fórmulas lógicas o esquemas lógicos. Se representa con letras mayúsculas: A, B, C, etc

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La negación puede traducirse como:

No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ...

Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que...

Nunca ... No es verdad que Es imposible que ...

No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ...

Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo …

No es el caso que… Es inadmisible que… Es incierto que…

Es refutable que… Es falaz que… En modo alguno…

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La conjunción puede traducirse como:

Pero Aun cuando No obstante

Sin embargo Al igual que Aunque

Además Tanto ….como …. Más aún

A la vez Siempre ambos…. con…..

También

Incluso No sólo….sino también….

Es compatible con

Así como A pesar de Así mismo

Del mismo modo

….con …. los dos a la vez

De la misma forma que

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:

A menos que O en todo caso

Excepto que O también

Salvo que O incluso

A no ser que O bien

Y bien o también

Al menos uno de los dos ….o ….

O sino Alternativamente

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La disyunción excluyente puede traducirse como:

O ... o ... ... no equivale a ...

O bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a...

No es equivalente ... con ...

O solo .... o solo ....

....a menos que solamente...

...salvo que únicamente...

....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente....

....o exclusivamente....

....no es idéntico a....

....no es lo mismo que...

Salvo que .... o ....

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La manera de expresar la condicional en el orden antecedente – consecuente, son las siguientes:

Si p, entonces q p por tanto q

Siempre que p entonces q

p por consiguiente q

p es suficiente para q p por ende q

p implica q p por conclusión q

Ya que p bien se ve que q

Dado que p por eso q

En cuanto p por tanto q

Porque p por eso q

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La otra forma consecuente-antecedente:

q si p q es implicada para p

q de modo que p

q siempre que p q cada vez que p q puesto que p

q es necesario para p

q en vista que p q porque p

Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q

q dado que p q ya que p q cada vez que p

q a condición de que p

q dado que p q se concluye de p

q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q

Cuadros resúmenes de conectivos lógicos:

La bicondicional puede traducirse como:

…siempre y cuando… Es suficiente para que suficiente sea

…es equivalente a… Es condición necesaria y suficiente para

…es lo mismo que… …por lo cual y según lo cual…

…cuando y sólo cuando… …cada vez que y sólo si…

Si y sólo si p, q …si de la forma…

…siempre que y sólo cuando…

…implica y está implicado por…

…es idéntico a… Siempre que … y siempre que …

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN 02

Formalice y evalúe los siguientes esquemas moleculares:Dos es un número primo porque solo es divisible por sí mismo y por la unidad.Si y sólo si “n” es par, “n” es múltiplo de 2Apruebas matemática si y solo estudias con dedicación.Decepcionado se lanzó del octavo piso y murió.hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar al teatro. Evalúe los siguientes esquemas moleculares:(p ↔ q) → ~s] ~r(p ∧ q) → (r ∨ p)(p → q) ∨ (p ∧ ~q)(p → q) ∧ (p Δ q)(p ∧ q) → (p ∨ q)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 02

Formalice y evalúe los siguientes esquemas moleculares:1. Cuando obtengan mi título ingreso a la carrera

magisterial, pero no ingreso a la magisterial, luego no obtuve mi título.

2. Viene a casa o se va de viaje, pero no viene en consecuencia se va de viaje.

3. Si vas al estadio pierdes tu dinero, si no vas al estadio, vas a la playa. Si no fuiste a la playa entonces perdiste tu dinero.

 Evalúe los siguientes esquemas moleculares:

4.5.6.7. 8.

Gracias

Bibliografía:Texto Guía – USS: Formación General para la

Asignatura Competencia Lógico Matemática.FIGUEROA GARCIA, R. (2006). “Matemática

Básica”, Ed. RFG. Lima – Perú.

Oliver Vásquez Leyva: Magister en Ciencias de la Educación por la UNPRG. MBA – Magister en Administración Estratégica de Negocios por CENTRUM - PUCP. Licenciado en Educación en la Esp. De Matemática y Computación por la

UNPRG. Ingeniero de Sistemas por la UNPRG.