MATEMATICA II 3 1 Planos en el espacio. Ingeniería Agronómica - UCV Planos en el espacio.

MATEMATICA II

3

1

Planos en el espacio

Ing

en

i erí

a A

gro

nóm

ica -

UC

V Planos en el espacio

Ing

en

i erí

a A

gro

nóm

ica -

UC

V Planos en el espacioTres puntos no alineados P, Q, R

Eje X

Eje Y

Eje Z

P R

Q

Ing

en

i erí

a A

gro

nóm

ica -

UC


v

u

Un punto P y direcciones no paralelas u, v

Eje X

Eje Y

Eje Z

P

Ing

en

i erí

a A

gro

nóm

ica -

UC


Un punto P y un vector ortogonal

Eje X

Eje Y

Eje Z

P

Ing

en

i erí

a A

gro

nóm

ica -

UC


¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto P para estar en el plano que

pasa por P0 y es ortogonal a ?

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i erí

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nóm

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UC


P0

P (x,y,z)

Eje X

Eje Y

Eje Z

P-Po

P(x,y,z) si y sólo

si P-Po

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V Planos en el espacioEcuación del plano que pasa

por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a =(a,b,c)

El punto P(x,y,z) si y sólo si P-Po, es decir si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-

zo)=0.a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo

Si d= axo+byo+czo

ax+by+cz=d Ecuación normal del

plano

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V Planos en el espacio¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las

direcciones no paralelas u, v y el punto P0?

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Po

P

u

Eje X

Eje Y

Eje Z

v

tu

sv

tu+sv

vsutOPOP o

O

vsutPPo

PoP

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por P0(xo,yo,zo) con vectores directores u=(u1,u2,u3) y

v=(v1,v2,v3) P(x,y,z) si y sólo si

(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)

Ecuaciones paramétricas

del plano

vsutOPOP o

33o

22o

11o

svtuzz

svtuyy

svtuxx

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¿Cuál es la condición geométrica que debe

satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no

alineados P,Q, R?

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P R

Q

Pasa por P con normal =(Q-

P)x(R-P)Pasa por P con vectores

directores u=(Q-P) y v=(R-P)

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por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),

R=(r1,r2,r3)ax+by+cz=d Ecuación normal

(a,b,c)= 332211

332211

prprpr

pqpqpq

kji

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UC


por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3),

R=(r1,r2,r3)

)pr(s)pq(tpz

)pr(s)pq(tpy

)pr(s)pq(tpx

33333

22222

11111


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Ejercicio Nº1

Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

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Ejercicio Nº2

Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

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Ejercicio Nº3

Sea L: 42z

2y1

6x39 y : 3x-2y+6z=-

5

Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

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Ejercicio Nº4

Sea L: y : x-y+z=1

Hallar la distancia de la recta L al plano .

t3z

t22y

t1x

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PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)

025

121

kji

=(2,5,8

)

2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.12x+5y+8z=12

Solución Nº1:

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a A

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nóm

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u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)


t1z

s2t2y

s5t2x

Vectores directores del

plano:

Solución Nº1:

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V Planos en el espacioPasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación

normal

z1t

ys2t2

x2s5t

t1z

s2t2y

s5t2x

12z8y5x200

10

z101

z101

y22

x251

2z22y

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0dcb2a3

0dc0b2a

0dcb0a2

0dczbyax

Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0

Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir:

Sistema homogéneo en la variables

a,b,c,d que debe tener infinitas

soluciones.

Solución Nº1:

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0

1123

1021

1102

1zyx

Por lo tanto, el

determinante de la matriz del sistema

debe ser nulo

123

021

102

)1(

123

121

102

z

113

101

112

y

112

102

110

x

1123

1021

1102

1zyx

2x+5y+8z-12=0

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El vector director de la recta es el vector normal al plano.

Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

Su vector director es: (4,-4,1)=(4,-4,1)

4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0

Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0

Solución Nº2:

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V Planos en el espacioSolución Nº3:

El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-

2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

t ,

t6z

t2y

t3x

t60z

t20y

t30x

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Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y

como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera

sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v

=(1,-1,6)

uv

611

213

kji

=(8,-16,-4)

Ecuación normal: 2x-4y-z=0

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Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas

uv

Ecuación paramétricas del Plano

s6t2z

sty

st3x

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Vector director de la recta u=(1,2,1)

Sustituimos las ecuaciones de L en la del

plano y obtenemos:

Vector normal del plano =(1,-1,1)(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos

d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?

21

La recta y el plano no se cortan

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Un punto de la recta Q=(1,2,3)Un punto del plano P=(1,1,1)

PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)

d

P

Q

31

)1,1,1(

)2,1,0).(1,1,1(d

PQoyPrd

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V Planos en el espacioPOSICIONES RELATIVAS

ENTRE DOS PLANOS

Paralelos: Sus vectores normales son paralelos

Ortogonales:

Sus vectores normales son ortogonales

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Un plano Son paralelos

Una recta: Son secantes

El conjunto vacío Son paralelos

La intersección de dos planos puede ser:

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Una recta La recta está incluida en el plano

Un punto: Son secantes

El conjunto vacío El vector director de la recta es

ortogonal al normal del plano

La intersección de un plano y una recta puede ser:

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El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores

El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano

ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS

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