Matemática ii

MATEMÁTICA II

1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICADERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICA

(LOGARITMO NATURAL)(LOGARITMO NATURAL)

Es igual a la derivada de la función dividida por la función o

también podemos decir que es igual a la derivada de la función

multiplicada por su recíproca. Es decir que cuando Y = lnV

podemos utilizar o aplicar dos fórmulas como veremos a

continuación.

Derivar la Función

7

dv dy dx ---- = ----- dx V

dy 1 dv ---- = ----- ------ dx V dx

Y = ln (x2 – 7)

V = (x2 – 7)

dv ---- = 2x dx

dy 1 ---- = ---------- 2x dx (x2 – 7)

dy 2x ---- = ---------- dx (x2 – 7)

Reemplazamos con la segunda fórmula:

Derivar la Función

Derivar

V =

Derivamos V

8

Y = ln (x2 – 7x + 5)

V = (x2 – 7x + 5)3

dv ---- = 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7)dx

dy 1 ---- = ------------------- 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7) dx (x2 – 7x + 5)3

dy 3 (2x – 7) ---- = ------------------- dx (x2 – 7x + 5)


x + 1 x - 1Y = ln

x + 1 x - 1

dv (x – 1) (1) - (x + 1) (1) = dx (x – 1)2

dv x – 1 – x - 1 = dx (x – 1)2

dv 2 = dx (x – 1)2

Derivar

Así tenemos que:

V =

9

Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:

dy 1 dv ---- = ----- ------ dx V dx

dy 2 = dx (x + 1) (x – 1)

dy 2 = dx (x2 – 1)

dy 1 2 = dx (x – 1)2

(x+1) (x -1)

Y = 2 ln

1 – t2

t

Y = 2 ln

1 – t2

t

1 – t2

t

Derivamos V

10

dv 1 = dx 2

(t)(-2t) – (1 – t2) (1)

t2

t

1 – t2

t

dv 1 = dx 2

-2t2 – (1 – t2)

t2

t

1 – t2

t

dv 1 = dx 2

-2t2 – 1 + t2

t2

t

1 – t2

t

dv = dx

-t2 – 1

t2

t

1

2

t 1 – t2

t

Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:

dy = dx

1 – t2

t

-t2 – 1

t2

1

2

t

1 – t2

t

12

dy = dx

1 – t2

t -t2 – 1

t2

t

1 – t2

t2

2

EJERCICIOS APLICANDO LAS PROPIEDADES

Ahora si recordamos las propiedades de los logaritmos

podemos resolver los ejercicios de una manera más fácil y

práctica abreviando pasos para una mejor comprensión.

Observe si tenemos la siguiente función:

Ahora observe como nos queda:

11

dy = dx

(-t2 – 1)

t2

t (1 – t2)

t

dy = dx

t (- t2 – 1)

t2 (1 – t2)

dy = dx

(- t2 – 1)

(1 – t2)

Y =

x + 1 x - 1

Si aplicamos propiedades debemos aplicar logaritmo natural tanto para Y como para la función

ln Y =

ln x + 1x - 1

Aplicando las propiedades tenemos:

12

ln (x +1) - ln ( x – 1)

t

1

3

t

1 dy = y dx

1 1

(x + 1) (x - 1)

1 dy = y dx

1

3

t x – 1 – (x + 1)

(x + 1) (x - 1)

1 dy = y dx

1

3

t1 dy = y dx

1

3

t

x – 1 – x - 1

(x + 1) (x - 1)1 dy = y dx

1

3

t

2

(x2 - 1) dy = dx

2y

3(x2 - 1)

dy = dx

3 (x2 - 1)

(x + 1)

(x – 1)2

dy = dx

2 (x + 1)

3(x2 - 1)(x – 1)

Y = (x2 + 2) (x – 3)

13

ln y = ln (x2 + 2) + ln (x – 3)

1 dy = y dx

1 1

2x + 1

(x2 + 2) (x - 3)

1 dy = y dx

2x 1

+

(x2 + 2) (x - 3)

2x (x - 3) + (x2 + 2)

(x2 + 2)(x - 3)

1 dy = y dx

2x2 – 6x + x2 + 2

(x2 + 2)(x - 3)

1 dy = y dx

3x2 – 6x + 2

(x2 + 2)(x - 3)

1 dy = y dx

(3x2 – 6x + 2) y

(x2 + 2)(x - 3)(3x2 – 6x + 2)(x2 + 2)(x - 3)

(x2 + 2)(x - 3)

dy = dx

dy = dx

dy = 3x2 – 6x + 2 dx

Y = (x4 – 3x2 + 9)5

14

ln y = 5 ln (x4 – 3x2 + 9)

5 (4x3 - 6x)

(x4 – 3x2 + 9)

1 dy = y dx

20x3 – 30x

(x4 – 3x2 + 9)

1 dy = y dx

(20x3 – 30x) y

(x4 – 3x2 + 9)

dy = dx

(20x3 – 30x)(x4 – 3x2 + 9)5

(x4 – 3x2 + 9)

dy = dx

1 dy = y dx

5 1

4x3 - 6x (x4 – 3x2 + 9)

1 dy = y dx

5 4x3 - 6x

(x4 – 3x2 + 9)

Derivar la Función Y =

dy = (20x3 – 30x) (x4 – 3x2 + 9) dx

15

ln y = x3 ln x

(x3)1 dy = y dx

1

+ 3x2 ln x x

( x2 + 3x2 ln x )

1 dy = y dx

dy

= ( x2 + 3x2 ln x ) y dx

dy

= ( x2 + 3x2 ln x ) X X3

dx

dy

= X 2 + x3 ( x2 + 3x2 ln x ) dx

dy

= X2 ( 1 + 3 ln x ) X X3

dx

Derivamos como producto

Y =

16

ln y = 2x4 + x ln x

1 dy = y dx

1 (2x4 + x ) + ln x ( 8x3 + 1 ) x

1 dy = y dx

(2x4 + x ) + ( 8x3 + 1 ) ln x x

x (2x3 + 1 ) + ( 8x3 + 1 ) ln x x

1 dy =

y dx

( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x

1 dy = y dx

dy

= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x y dx

dy

= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x dx


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Aplicando las Propiedades de los logaritmos naturales

derivar:

1._

17

Y =

3x 2 + 2 2 - 3x2

ln Y =

ln 3x 2 + 2 2 - 3x2

6x(2 - 3x2) + 6x(3x2 + 2)

(3x2 + 2)(2 - 3x2)

1 dy = y dx

1

5

t

1 dy = y dx

1

5

t

1 6x (-6x)

(3x2 + 2) (2 - 3x2) 6x 6x

(3x2 + 2) (2 - 3x2)

1 dy = y dx

1

5

t

1 dy = y dx

1

5

t

12x – 18x3 + 18x3 + 12x

(3x2 + 2)(2 - 3x2)1 dy = y dx

24x

5(3x2 + 2)(2 - 3x2)

2. Y = (x2 – 1) (2x3 + 3x – 2)

dy = dx

24x

5(3x2 + 2)(2 - 3x2)

y

18

dy = dx

24x

5(3x2 + 2)(2 - 3x2)

(3x2 + 2)

(2 - 3x2)

dy = dx

24x (3x2 + 2)

5(3x2 + 2)(2 - 3x2) (2 - 3x2)

dy = dx

24x (x + 1)

5(3x2 + 2) (2 -

3x2)

(x – 1)

ln y = ln (x2 – 1) + ln (2x3 + 3x – 2)

1 dy = y dx

1 1

2x + (6x2 + 3)

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

1 dy = y dx

2x (6x2 + 3)

+

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

1 dy = y dx

4x4 + 6x2 – 4x + 6x4 – 6x2 + 3x2 - 3

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

1 dy = y dx

2x (2x3 + 3x – 2) + (6x2 + 3) (x2 - 1)

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

3._ Y = ( x3 + 7x2 + 9 ) 2x

19

1 dy = y dx

10x4 + 3x2 - 4x – 3

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

(10x4 + 3x2 - 4x – 3) y

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

dy = dx

(10x4 + 3x2 - 4x – 3) (x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)

dy = dx

dy = 10x4 + 3x2 - 4x – 3

dx

ln y = 2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )

1 dy = y dx

1 2x (3x2 + 14x) + ln ( x3 + 7x2 + 9 )(2)

(x3 + 7x2 + 9)


1 dy = y dx

2x (3x2 + 14x) + 2 ln ( x3 + 7x2 + 9 )

(x3 + 7x2 + 9)

1 dy = y dx

2x (3x2 + 14x) + 2 (x3 + 7x2 + 9) ln ( x3 + 7x2 + 9 )

(x3 + 7x2 + 9)

4._ Y =

dy = dx

20

1 dy = y dx

6x3 + 28x2 + 2x3 + 14x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )

(x3 + 7x2 + 9)

1 dy = y dx

8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )

(x3 + 7x2 + 9)

dy = dx

8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) y

(x3 + 7x2 + 9)

8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) . (2x3 + 3x – 2)2x

(x3 + 7x2 + 9)

dy = dx

(8x3 + 42x2 + 18) (2x3 + 3x – 2)2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )

(x3 + 7x2 + 9)

(2x + 3) (2x - 5)(x - 1)

ln y = ln (2x + 3) + ln (2x - 5) - ln (x - 1)

1 dy = y dx

1 1 1 2 + 2 - 1 (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

1 dy = y dx

2 2 1 + - (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

21

1 dy = y dx

2(2x - 5) (x - 1) + 2 (2x + 3) (x - 1) - (2x + 3) (2x - 5)

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

1 dy = y dx

2(2x2 – 2x - 5x + 5) +2(2x2 – 2x + 3x - 3)-(4x2 - 10x + 6x - 15)

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

2(2x2 – 7x + 5) + 2 (2x2 + x - 3) - (4x2 - 4x - 15)

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

1 dy = y dx

4x2 – 14x + 10 + 4x2 + 2x - 6 - 4x2 - 4x - 15

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

1 dy = y dx

4x2 – 8x + 19

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

1 dy = y dx

(4x2 – 8x + 19) y

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)

dy = dx

(4x2 – 8x + 19) (2x + 3) (2x - 5)

(2x + 3) (2x - 5) (x - 1) (x - 1)

dy = dx

dy = dx

(4x2 – 8x + 19)

( x - 1)2

5._ Y =

22

ln y = 2x ln x - (-2x) ln x

X 2x

X-2x

1 dy = 2x ln x + 2x ln xy dx

1 dy = y dx

1 1 2x 1 + ln x 2 + 2x 1 + ln x 2 x x

1 dy = y dx

2x 2x + 2 ln x + + 2 ln x x x

1 dy = y dx

2 + 2 ln x + 2 + 2 ln x

dy = 4 + 4 ln x (y) dx

dy = 4 + 4 ln x dx

X 2x X-2x

dy = 4 + 4 ln x . (x4x) dx

Aplicando la fórmula de los logaritmos naturales

derivar:

1._

dy = dx

23

Y =

3x2 + 22 - 3x2

dy = ln (x3 – 5) - ln (x2 + 7) dx

1 1 3x2 - 2x (x3 – 5) (x2 + 7)

dy = dx

3x2 2x - (x3 – 5) (x2 + 7)

dy = dx

3x2 (x2 + 7) - 2x (x3 – 5)

(x3 – 5)(x2 + 7)

dy = dx

3x4 + 21x2 - 2x4 + 10x

(x3 – 5)(x2 + 7)

dy = dx

x4 + 21x2 + 10x

(x3 – 5)(x2 + 7)

2._ Y = ln (7x3 + 9) (3x – 5)

3._ Y = ln

24

dy = ln (7x3 + 9) + ln (3x - 5) dx

1 1 21x2 + 3 (7x3 + 9) (3x - 5)

dy = dx

21x2 3 - (7x3 + 9) (3x - 5)

dy = dx

21x2 (3x - 5) + 3 (7x3 + 9)

(7x3 + 9)(3x - 5)

dy = dx

dy = dx

84x3 - 105x2 + 27

(7x3 + 9)(3x - 5)

3x2 + 22 - 3x2

Y = 3 ln (2x – 7) - ln (2x + 7)

1 1 2 - 2 (2x - 7) (2x + 7)

dy = dx

3

4._ Y = ln

25

2 2 - (2x - 7) (2x + 7)

dy = dx

3

2(2x + 7) - 2 (2x - 7)

(2x - 7) (2x + 7)

dy = dx

3

4x + 14 - 4x + 14

(2x - 7) (2x + 7)

dy = dx

3

3 (28) (4x2 - 49)

dy = dx

dy = dx

84 (4x2 - 49)

(2x + 4x 2 + 7x 3 ) 3 x

Y = 3 ( ln (2x + 4x2 + 7x3) ) - ln x

1 1 (2 + 8x + 21x2) - (2x + 4x2 + 7x3) x

dy = dx

3

dy = dx

26

(2 + 8x + 21x2) 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x

dy = dx

3

3 (2 + 8x + 21x2) 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x

dy = dx

6 + 24x + 63x2 1 - (2x + 4x2 + 7x3) x

dy = dx

dy = dx

x (6 + 24x + 63x2) - (2x + 4x2 + 7x3)

x (2x + 4x2 + 7x3)

dy = dx

6x + 24x2 + 63x3 - 2x - 4x2 - 7x3

x (2x + 4x2 + 7x3)

dy = dx

4x (14x2 + 5x + 1)

x (2x + 4x2 + 7x3)

dy = dx

56x3 + 20x2 + 4x

x (2x + 4x2 + 7x3)

4 (14x2 + 5x + 1)

(2x + 4x2 + 7x3)

5._ Y = ln

27

Y = 6 ( ln (9x4 + 7x3 - 5x) ) - ln 6

(9x 4 + 7x 3 - 5x) 6 6

1 (36x3 + 21x2 - 5) - 0 (9x4 + 7x3 - 5x)

dy = dx

6

dy = dx

6(36x3 + 21x2 - 5)

9x4 + 7x3 - 5x

dy = dx

216x3 + 126x2 – 30

9x4 + 7x3 - 5x

Y = ln (9 - 2x2)

dy 1 ---- = ---------- - 2x (9 - 2x2) dx (9 - 2x2)


Ejercicios Complementarios

Y = ln 9 - 2x2

V = (9 - 2x2)

dv ---- = -2x (9 - 2x2)dx

Y = ln

dy = dx

dy 2x = - dx (9 - 2x2)

28

x2 1 + x2

1 1 2x - 2x x2 (1 + x2)

dy = dx

Y = ln x2 - ln (1 + x2)

2x 2x - x2 (1 + x2)

dy = dx

2 2x - x (1 + x2)

dy = dx

dy = dx

2 (1 + x2) - 2x (x)

x (1 + x2)

dy = dx

2 + 2x2 - 2x2

x (1 + x2)

2

x (1 + x2)

Y = (4x2 – 7)

29

ln y = 2 + (x2 – 5) ln (4x2 – 7)

1 dy = y dx

8x x 2+(x2 – 5) + ln (4x2 – 7) (4x2 – 7) (x2 – 5)

Derivamos como función:

u = 2 + (x2 – 5) v = ln (4x2 –

du 1 = 0 + (x2 + 5) (2x)dx 2 du x = dx (x2 + 5)

dv 1 = (8x)dx (4x2 – 7) dv 8x = dx (4x2 – 7)

Una vez obtenidas las partes reemplazamos:

1 dy = y dx

8x (2+ (x2 – 5) )

(4x2 – 7)

x ln (4x2 – 7)

(x2 – 5)+

1 dy = y dx

8x (2+ (x2 – 5) )((x2 – 5) )+(x ln (4x2 – 7))(4x2 –

7)

Y =

30

1 dy = y dx

8x(2+ (x2 – 5) )(x2 – 5) + x(4x2 – 7) ln (4x2 – 7)

(4x2 – 7) (x2 – 5)(4x2 – 7)

ln y = ln (2x - 3) + ln (x - 7) - ln (x + 1) - ln (2x + 7)

1 dy = y dx

1 1 1 1 2 + 1 - 1 - 2 (2x - 3) (x - 7) (x + 1) (2x + 7)

1 dy = y dx

2 1 1 2 + - - (2x - 3) (x + 7) (x +1) (2x + 7)

(2x - 3) (x - 7) (x + 1)(2x + 7)

1 dy = y dx

2(x - 7)(x + 1)(2x + 7) + 1 (2x - 3)(x + 1)(2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)

(2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)(x + 1)

(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)

1 dy = y dx

4x3 - 10x2 – 112x – 98 + 4x2 + 12x2 – 13x – 21 – 4x3 + 20 x2 +

77x – 141 – 4x3 + 30x2 – 8x - 42

(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)

Y =

31

52x2 + 55x – 302 (2x - 3) (x - 7)

(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7) (x + 1) (2x + 7)

dy = dx

dy = dx

52x2 + 55x – 302

( x + 1)2 (2x + 7)2

ln y = 3ln (5x - 3) + ln (3x + 5) - 2 ln (3x - 5) - ln (5x + 3)

(5x - 3) 3 (3x + 5) (3x - 5)2 (5x + 3)

1 dy = y dx

3 1 2 3 5 + 3 - 3 - 5 (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)

1 dy = y dx

15 3 6 5 + - - (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)

15 3 6 5 + - - (y) (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)

dy = dx

15 3 6 5 (5x + 3)3(3x + 5) + - - (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3) (3x - 5)2 (5x - 3)

dy = dx

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es igual a la función elevada al exponente (v) por el logaritmo

natural de a y por la derivada dv/dx; es decir la derivada del

exponente (v).

Derivar Y = 3 2x - 5

32

Y = a v dy av . ln a . dvdx dx

Cuando tenemos una función exponencial:

dy 3 2x – 5 . ln 3 . 2 dx

Si reemplazamos la fórmula tenemos:

dy 2 ln 3 . 32x – 5

dx

Ahora resolvámoslo aplicando las propiedades de los ln:

ln y = (22 – 5) ln 3

Derivar Y = 7-x

Derivar Y = 5

1 . dy (2x – 5) 0 + ln 3 (2) y dx

1 . dy 2 ln 3 y dx

dy 2 ln 3 . 3(2x – 5)

dx

dy 3 -x . ln 7 . (-1) dx


dy -7-x ln 7 dx

Aplicando las propiedades:

ln y = ln 7 -x

1 . dy - x . ln 7 y dx

dy ln 7 (-1) . 7 -x

dx dy -7 -x . ln 7 dx

33

1 . dy - x . 0 + ln 7 (-1) y dx

1 . dy ln 7 (-1) y dx

v = 2x + 3 2x - 3

du (2x – 3)(2) – (2x + 3)(2) = dx (2x – 3)2

du 12 = - dx (2x - 3)2

34

Reemplazando la fórmula tenemos:

dy 12 = 5 . ln 5 . - dx (2x – 3)2

dy 12 . 5 . ln 5 = dx (2x – 3)2


ln y = 2x + 3 . ln 5

2x - 31 dy = y dx

(2x + 3) 12 0 + ln 5 - (2x - 3) (2x - 3)2

1 dy = y dx

12 ln 5 - (2x - 3)2

dy = dx

12 ln 5 - (y) (2x - 3)2

dy = dx

12 ln 5 - . 5 (2x - 3)2

dy 12 . 5 . ln 5 = dx (2x – 3)2

Derivar Y = C

35

dy C . ln C . 3x2

dc


dy 3x2 C . ln C dc


ln y = ln C

1 . dy x3 . ln C y dc

dy 3x2 . ln C . y dc

1 . dy x3 . 0 + ln C (3x2) y dc

1 . dy 3x2 . ln C y dc

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

CON Y = CON Y = ee

La derivada de una función exponencial con Y = e es igual a la

función elevada al exponente (v) por la derivada del exponente

(v).

Derivar Y = e (2x – 5)3

dy 3x2 C . ln C dc

36

Y = e v dy ev . dvdx dx

Cuando tenemos una función exponencial con e:

V = (2x + 5)3

dv ---- = 6(2x + 5)2

dx

dy ---- = e (2x – 5)3 6(2x + 5)2

dx

dy ---- = 6(2x + 5)2 . e (2x – 5)3 dx

Reemplazamos la fórmula:

Y = e


Derivar cada una de las siguientes funciones :

1. Y = e nx

x x + 1

dv = 1 dx (x + 1)2

37


dy 1 ---- = e .

dx (x + 1)2

dy ---- =

dx (x + 1)2

V = nx

dv ---- = n dx

dy ---- = enx . n dx

Reemplazamos la fórmula:

dy ev . dvdx dx

2._ Y = 10nx

3._ Y = e

dy ---- = n enx

dx

38

V = nx

dv ---- = n dx

dy ---- = 10nx . ln 10 . n dx

dy ---- = n 10nx . ln10

dx

dy av . ln a . dvdx dx

V = x2

dv ---- = 2x dx

dy ---- = e . 2x dx

dy ev . dvdx dx

4._ Y =

5._ e

dy ---- = 2x e

dx

39

dy = dx

ex . 0 - 2 ex ( e x )2

dy = dx

2 ex - ( e x )2

dy = dx

2 - e x

U = 2 V = ex

dv ---- = ex - 1 dx

V = e

dv 1 ---- = --- t dx 2

dy = dx

1 e . t 2

dy t e

dx 2

dy e

dx 2t

dy e

dx 2

Y = ln

dy = dx

40

Ejercicios Complementarios

Y = 3 ( 5 ln (3x2 + 8) - 2 ln (2x3 – 5)

)

(3x 2 + 8) 5 (2x3 – 5)2

1 1 (5) 6x - (2) 6x (3x2 + 8) (2x3 - 5)

dy = dx

3

30 x 12x2

- (3x2 + 8) (2x3 - 5)

dy = dx

3

30 x (2x3 - 5) - 12x2 (3x2 + 8)

(3x2 + 8) (2x3 - 5)

dy = dx

3

60x4 – 150x - 36x4 - 96x2

(3x2 + 8) (2x3 - 5)

dy = dx

3

24x4 - 96x2 – 150x

(3x2 + 8) (2x3 - 5)

dy = dx

3

18x (4x3 - 16x – 25)

(3x2 + 8) (2x3 - 5)

Y =

ln (x 4 + 2x 2 – 5) x2 - 2

41

dy = dx

x . - ln x (1) ( x )2

dy = dx

ln x (1) x 2

dy = dx

1 – ln x x 2

U = ln x V = x

dv 1 ---- = --- - 1 dx x

Separamos Datos

u = ln x4 + 2x2 - 5 du 1 . (4x3 + 4x) dx x4 + 2x2 - 5

v = x2 - 2 dv 2x dx

dy = dx

(x2 – 2)(4x3 + 4x) - 2x ln (x4 + 2x2 – 5)

(x4 + 2x2 - 5)

(x2 – 2)2

dy = dx

ln 7 x2 - 5

dy = dx

1 (x2 - 2) 4x3 + 4x - ln (x4 + 2x2 – 5) (2x) (x4 + 2x2 - 5)

(x2 – 2)2

42

4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)

(x4 + 2x2 - 5)

(x2 – 2)2

dy = dx

4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)

(x4 + 2x2 - 5) (x2 – 2)2

Separamos Datos

U = ln 7 V = x2 - 5

dv ---- = 2x dx

dy = dx

(x2 – 5) (0) - ln 7 ( 2x )

(x2 – 5)2

dy = dx

ln 7 ( 2x ) -

(x2 – 5)2

dy = dx

2x ln 7 -

(x2 – 5)2

Y = ln ( 2x + x2 + 2 )

dy = dx

43

v = (2x + (x2 + 2) )

dv = dx

2x (x2 + 2) 2 + 3

2 1 2 + 3 ( x2 + 2)

((2x + (x2 + 2) )

dy = dx

2x 2 + (x2 + 2) 3

2x + (x2 + 2)

dy = dx

Resolvemos aplicando la fórmula de cociente

6 + 2x (x2 + 2)

3

2x + (x2 + 2)

dy = dx

6 + 2x (x2 + 2)

3 2x + (x2 + 2)

Y =

e x - e –x ex + e –x

44

dy = dx

x ex - ex (1) ( x )2

dy = dx

x ex - ex x2

dy = dx

ex ( x- 1) x 2

U = ex

V = x

du ---- = ex (1) dx

Datos para fácil aplicación

Y =

dy = dx

( ex + e-x ) (ex + e-x ) - ( ex - e-x ) (ex - e-x )

( ex + e-x ) 2

45

dy = dx

e2x + 2 + e-2x - e-2x + 2 - e-2x

( ex + e-x ) 2

dy = dx

4 ( ex + e-x ) 2

u = ex - e –x v = ex + e –x

du = ex + e –

xdv = ex - e –x

dx

dy = dx

e2x + 1 + 1 + e-2x - e-2x - 1 – 1 + e-2x )

( ex + e-x ) 2

Resolvemos aplicando la fórmula de cociente

ln Y = 2 ( ln (x + 7) - ln (2x – 1)

)

(x + 7)(2x – 1)

1 dy = y dx

1 1 1 - (2) (x + 7) (2x - 1)

1 dy = y dx

(2x - 1) - 2 (x + 7)

(x + 7) (2x - 1)

2

1 dy = y dx

1 2 - (x + 7) (2x - 1)

2

2

2x - 1 - 2x - 14

(x + 7) (2x - 1)

2

46

2 (-15) (x + 7) (2x - 1)

dy = dx

30 (y)- (x + 7) (2x - 1)

dy = dx

30 (x + 7)2

- . (x + 7) (2x - 1) (2x - 1)2

dy = dx

30 (x + 7)- (2x - 1)3

1 dy = y dx

1 dy = y dx

5._ e ln (x)2

Y = e

v = ln x2dv = 1 . 2x

dy ---- = e . 2x dx x2

dy ---- = 2 e dx x

dy ev . dvdx dx

47

dy ---- = e . 1 1 (4x3 + 6x) dx (x4 + 3x2 + 10)

dy 2x (2x2 + 3) . e ---- = dx x4 + 3x2 + 10

dy ev . dvdx dx

dy ---- = e . (4x 3 + 6x) ñ dx (x4 + 3x2 + 10)

Y = (x2 + 4)2 e x2 + 1

Y = log (1 – 3t)

dy ---- = (x2 + 4)2 (e ) (2x) + e (2)( x2 + 4)(2x) dx

dy ---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) + 4x ( x2 + 4) (e ) dx

Derivamos aplicando la fórmula de producto

48

dy ---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) ( x2 + 4) + 2 dx

dy ---- = 2x (x2 + 4) (e ) ( x2 + 6) dx

Derivamos como logaritmo

APLICACIONES DE LA PRIMERA APLICACIONES DE LA PRIMERA

DERIVADA EN ECONOMÍADERIVADA EN ECONOMÍA

Entre las principales aplicaciones están las que comprenden los

conceptos de costo marginal, ingreso marginal, elasticidad,

propensión marginal al ahorro y la propensión marginal al

consumo.

En los estudios económicos se describe la variación de una

cantidad (y) con respecto a otra cantidad (x) en términos de los

conceptos de valor medio (o promedio) y valor marginal.

dy log e . dudx u dx

dy log e ---- = (-3) dx (1 – 3t)

dy 3 log e ---- = - dx (1 – 3t)

49

Valor Medio o Promedio.- Nos expresa la variación de

(Y) sobre un intervalo de valores de (x), que frecuentemente

barca desde cero hasta cierto valor seleccionado.

Valor Marginal.- El concepto de marginal, por

consiguiente, es preciso solo cuando se considera en el sentido

matemático de límite, como la variación de (x) cuando ésta

tiende a cero.

Los conceptos económicos de promedio y variación marginal

corresponden respectivamente a los conceptos matemáticos

más generales de la relación de cambio media de una función

sobre un intervalo y de relación de cambio instantánea ( o sea,

la derivada) de una función.

Los mencionados conceptos de promedio y marginal en relación

con diversas cantidades, son las consideraciones esenciales en

el desarrollo de

las teorías de micro y macroeconomía. Vamos a revisar algunos

ejemplos de la aplicación de la derivada e la teoría

macroeconómica (costo, ingresos, utilidad), y en la teoría

macroeconómica ( ingreso, consumo, ahorro).

50

Maximización de Utilidades

Para encontrar la máxima utilidad hay que hallar la primera

derivada de la función y luego igualarla a cero es decir que

siempre que deseamos encontrar la máxima utilidad P’(x) = 0.


Ejercicio 1._ Suponga que la utilidad de un fabricante por la

venta de radios está dada por la función P(x) = 400(15 – x) (x – 2),

donde x es el precio a que se venden los radios. ¿Halle el

precio de venta que maximizará las utilidades?.

P(x) = 400 (15 – x) (x – 2)

P(x) = 400 (15 – 30 – x2 + 2x)

P(x) = 400 (17x – x2 – 30)

P(x) = 6.800x – 400x2 – 12.000

P(x) = – 400x2 + 6.800x – 12.000

P’(x) = – 800x + 6.800

Si P’(x) = 0 Entonces - 800x + 6.800 = 0

- 800x + 6.800 = 0

(-1) - 800x = - 6.800 (-1)

800x = 6.800

51

Encontramos la primera derivada

6.800 800

El Precio que maximizará

las utilidades es 8.5

RESPUESTA

Ejercicio 2._ Un fabricante puede producir grabadoras a un

costo de 20.00 por unidad. Se estima que si las grabadoras se

venden a (x) dólares la unidad los consumidores comprarán

(120 – x) de estas cada mes. Determinar el precio al cual la

utilidad del fabricante será la mayor.

Si decimos Pv - Pp = utilidad

x = 8.5

Grafiquemos la utilidad máxima

2468

8.510121416

08.800

14.40016.80016.90016.00

12.0004.8005.600

X Y

52

Pp 20x

Pv x (120 – x)

P(x) = x (120 – x) – 20x

P(x) = 120x - x2 - 20x

P(x) = 100x – x2

P’(x) = – 2x + 100

Si P’(x) = 0 Entonces – 2x + 100 = 0

– 2x + 100 = 0

(-1) - 2x = - 100 (-1)

2x = 100

Ejercicio 3._ Una empresa dedicada a la producción de

lentes de contacto tiene un costo de producción por unidad

de 15 dólares. Si estos lentes se vendieran x dólares por

unidad, se venderían 350 – 2x cada mes. Determinar cual es

el máximo precio para que la utilidad sea mayor.

100 2

x = 50

El Precio que maximizará las utilidades es 50

53

Si decimos Pv - Pp = utilidad

Pp 15x

Pv x (350 – 2x)

P(x) = x (350 – 2x) – 15x

P(x) = 350x - 2x2 - 15x

P(x) = 335x – 2x2

P’(x) = – 4x + 335

Si P’(x) = 0 Entonces – 4x + 335 = 0

– 4x + 335 = 0

(-1) - 4x = - 335 (-1)

4x = 335

LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIOLA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO

Las derivadas pueden representar cantidades como la razón a

la cual crece la población, el costo marginal para un fabricante,

la tasa de inflación y la razón a la cual se agotan los recursos

naturales.

335 4x = 83.75

El Precio que maximizará las utilidades es 83.75.

54

La Razón de Cambio de una función con respecto a su variable

independiente es igual a la inclinación de su gráfica, que se

mide por la pendiente de la recta tangente que está dada por la

derivada de la función.

Se estima que dentro de x meses, la población de cierta

comunidad será P(x) = x2 + 20x + 8.000.

a. Cuál será la razón de cambio de la población con

respecto al tiempo dentro de 15 meses.

b. En cuánto cambiará realmente la población durante el

mes número 16.

P’(x) = 2x + 20

P’(15) = 2(15) + 20

CAMBIO Y Y dy = = m =

CAMBIO X X dx

RAZÓN DE CAMBIO = f’(x) = dy / dx En Términos más simples

55

Literal a)

P’(15) = 30 + 20

P’(15) = 50 Resp. 50 personas al mes

Para encontrar el cambio real reemplazamos en la función inicial.

P(15) = (15)2 + 20(15) + 8.000

P(15) = 225 + 300 + 8.000

P(15) = 8.525 Cambio real.

P(16) = (16)2 + 20(16) + 8.000

P(16) = 256 + 320 + 8.000

P(16) = 8.576 Cambio real.

P(16) - P(15)

8.576 - 8.525

51

Respuesta: En el mes número 16 al población tendrá un

cambio real de 51 personas.

EJERCICIO PRÁCTICO

Literal b)

Calculamos el cambio en la población

56

Un estudio de productividad de turno matinal en ciertas

fábricas revela que un obrero medio que llega al trabajo a las 8:

AM habrá ensamblado f(x) = - x3 + 6x2 + 15x de radios x

horas más tarde.

a. Deduzca una fórmula para encontrar la razón a la cual el

trabajador ensambla radios después de x horas.

b. ¿A las 9: AM a que razón ensambla radios el trabajador?

c. ¿Cuántos radios ensamblará el trabajador realmente

entre las 9 y las 10:AM.

DESARROLLO:

f(x) = - x3 + 6x2 + 15x

Razón de Cambio = f’(x) = - 3x2 + 12x + 15

f’(1) = - 3(1)2 + 12(1) + 15

f’(1) = - 3 + 12 + 15

f’(1) = 24 Radios por hora

f(1) = - (1)3 + 6(1)2 + 15(1) = 20

f(2) = - (2)3 + 6(2)2 + 15(2) = 46

f(1) - f(2) 46 – 20 = 26

Literal a)

Literal b)

Literal c)

57

RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUALRAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL

Es conocido que en situaciones prácticas la razón de cambio de

una cantidad no es tan significativa como su razón de cambio

porcentual.

Por ejemplo una razón de cambio anual de 500 personas en la

población en una ciudad de 5’000.000 de habitantes sería

insignificante, mientras que la misma razón de cambio tendría

un efecto importante en un pueblo de 2.000 habitantes. La

razón de cambio porcentual compara la razón de cambio de una

cantidad con el tamaño de esa cantidad.

DESARROLLO

Razón de cambio de la cantidad

Razón de Cambio Porcentual = 100 .

f’(x)

R.C.P = 100 . Fórmula Práctica

500R.C.P = 100 .

5’000.000

500R.C.P = 100 .

2.000

= 0.01%

= 25%

El Producto Nacional Bruto (PNB) de cierto país era n(t) = t2 +

5t + 106 miles de millones de dólares (t) años después de 1980.

a. ¿A que razón de cambió el PNB con respecto al tiempo en

1988?

b. ¿A que razón porcentual cambia el PNB con respecto a

tiempo en 1988?

DESARROLLO:

N(t) = t2 + 5t - 106

N’(t) = 2t + 5

N’(8) = 2(8) + 5

N’(8) = 21 Miles de millones de dólares.

Se estima que dentro de (t) años la población de cierta

comunidad suburbana será: en miles.

a. Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual

cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de

t años.

b. A que razón crecerá la población dentro de un año.

c. Cuánto crecerá realmente la población durante el

segundo año.

d. A que razón crecerá la población dentro de nueve años.58

21R.C.P = 100 .

210

= 10%

P(t) = 20 – 6 t + 1

e. Que sucederá con la razón de crecimiento de población a

largo plazo.

59

Literal a)

(t + 1) (0) - 6 (1) (t + 1)2

0 – 6 . (t + 1)2

6 . (t + 1)2

Literal b)

6 . (1 + 1)2

= 1.5 x 1.000 = 1.500 Habitantes.

Literal c)

6P(1) = 20 – ---------- 1 + 1

6P(1) = 20 – ------- 2

P(1) = 20 – 3 = 17 x 1.000 = 17.000 Habitantes.

6P(2) = 20 – ---------- 2 + 1

6P(2) = 20 – ------- 3

P(2) = 20 – 2 = 18 x 1.000 = 18.000 Habitantes.

P(2) - P(1)

18.000 - 17.000 = 1.000 Habitantes ha sido el cambio real.

C O S T O SC O S T O S

Supóngase que el costo total (Y) de producir y comercializar x

unidades de un bien determinado lo d la función Y = f(x)

Esto es Costo Total. Entonces el costo promedio (costo medio)

x unidad es:

Mientras que el costo marginal es igual a la primera derivada

de la función f(x) por lo tanto el costo Marginal es = f’(x) y

60

Calculamos el cambio en la población

Literal d)

6 . (9 + 1)2

= 0.06 60 Habitantes.

6 . (10)2

6 . 100

Literal e) La Razón de crecimiento tiende a cero.

Y f(x)C.T. = ----- =

para el cálculo del costo promedio marginal utilizaremos las

siguientes fórmulas:

Consideremos la función de Costo Total Y = 20

+ 2x + 0.5x2 en la cual Y representa el costo total y X la

cantidad producida. Calcular el costo promedio y el costo

promedio marginal.

61

1 f(x)C.P.M = -------- f’(X) - ---------

Cálculo del Costo Promedio

20 2x 0.5x2

CP = + + x x x

20 CP = + 2 + 0.5x x

24681012

139

8.338.59

9.7

X Y

Cálculo del Costo Marginal

CM = f’(x)

CM = 0 + 2 + x

CM = 2 + x

62

02468101214

246810121416

X Y

Cálculo del Costo Promedio Marginal

1 20 + 2x + 0.5x2

C.P.M = -------- 2 + x - ----------------------------- X x

1 2x + x2 – 20 – 2x – 0.5x2 C.P.M = -------- -------------------------------------------

0.5x2 - 20C.P.M = ---------------------

Graficación del Costo Total

La Función del Costo Total para cierto artículo está

determinada por Y = x2 – 7x + 4. Calcule el costo

promedio, el costo marginal y el costo promedio marginal si se

venden 20 unidades, 30 y 50 unidades.

Y = x2 – 7x + 4

0246810

202636506890

X Y

63

x2 7x 4CP = - + x x x


(20) 2 – 7(20) + 4 20

400 – 140 + 4 20

= 13.20


CM = f’(x) = 2x - 7

Y = x2 – 7x + 4 Para 30 unidades

f’(20) = 2(20) - 7 = 33


1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x

1 C.P.M = -------- (33 – 13.20)

20

19.80C.P.M = ----------

= 0.99

x2 7x 4CP = - + x x x


(30) 2 – 7(30) + 4 30

900 – 210 + 4 30

= 23.13


CM = f’(x) = 2x - 7

64

Y = x2 – 7x + 4 Para 50 unidades

f’(20) = 2(30) - 7 = 53


1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x

1 C.P.M = -------- (53 – 23.13)

30

29.87C.P.M = ----------

= 0.99

65

x2 7x 4CP = - + x x x


(50) 2 – 7(50) + 4 50

2.500 – 350 + 4 50

= 43.08


CM = f’(x) = 2x - 7

Contenido

Dedicatoria…………………………………..… 3Agradecimiento ……………………………..... 4

CAPITULO I

Derivada de una función Logarítmica ……………..

… 7

Aplicando las Propiedades ……….………….

…… 11

Ejercicios de Aplicación ………………………….

…… 17

f’(20) = 2(50) - 7 = 93


1 f(x)C.P.M = -------- f’(x) - ------------ X x

1 C.P.M = -------- (93 – 43.08)

50

49.92C.P.M = ----------

= 0.99

10

Ejercicios Complementarios …………………….

…… 27

Derivada de una función exponencial …………...…

32

Derivada de una función exponencial con Y = e .….

36

Ejercicios de Aplicación ………………………….

…… 37

CAPITULO II

Aplicaciones de la 1era. derivada economía ........

… 49

Valor medio o promedio ……….……..……..

…… 49

Valor Marginal ……….……..

……………………… 49

Maximización de Utilidades ……….………..

…… 50

Ejercicios de Aplicación …………………………….

… 50

La Derivada como una razón de cambio …………...

54

Razón de Cambio Porcentual ……….

……………….. 57

Costos …….…….……………..…….

…………………… 60

Vanesa Insuasti RodriguezElizabeth Luna Espinoza

Ketty Morocho AlvesMiguel Ochoa ChuchucaJimmy Ordoñez ProcelJoffre Ordoñez BarretoRosibel Pardo AguirreTatiana Poggio VictorKaren Vera Mosquera

Rolando Romero ChicaízaRocío Villacís MatuteAndrea Zapata Alava

Materia de Matemáticas II Elaborado en el segundo parcial del Módulo de Matemática II

Ing. Rafael Salcedo

Matemática ii

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