Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones ... · MATEMÁTICA UNIVERSITARIA: Conceptos y...

MATEMÁTICA UNIVERSITARIA: Conceptos y Aplicaciones Generales Volumen 2 (1ª edición revisada)

Ana Patricia Ramírez V. Juan Carlos Cárdenas A.

(Mayo 2012)

Contenido temático:

1. Matrices Definición y operaciones básicas Determinantes Sist. de ecuaciones: Método de Cramer Sist. de ecuaciones: Métodos de Gauss Matriz Inversa y Sist. de ecuaciones

2. Función Exponencial y Logarítmica

Definiciones Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas Desigualdades no-lineales Interés compuesto: aplicación

3. Funciones trigonométricas

Conceptos básicos Razones trigonométricas Triángulos rectángulos Aplicación de los triángulos rectángulos Identidades trigonométricas Círculo trigonométrico Ecuaciones trigonométricas

4. Introducción al Cálculo

Interpretación de límites en gráficas Interpretación de límites en forma analítica

Prefacio al estudiante He aquí algunas sugerencias para iniciar este curso y terminarlo con éxito:

� Lea el material antes de cada clase. Si usted conoce de la materia que se verá en clase y lo que contiene el libro, podrá ocupar más tiempo en escuchar y comprender la exposición del profesor.

� Después de la clase reescriba sus notas mientras vuelve a leer el tema tratado, remarcando los conceptos adicionales que parezcan útiles. Resuelva los ejercicios asignados cada lección.

� Si algo le confunde es aconsejable que consulte a su profesor antes de atrasarse. En ese caso lleve sus tentativas de solución a los ejercicios para que el profesor ubique con claridad sus puntos problemáticos.

Trate de cumplir estas 5 Reglas de Oro: 1. ¡NO SE ATRASE! El curso es muy rápido y recuperar el tiempo perdido resulta muy

difícil. 2. ¡NO FALTE A CLASES! Para cumplir con el punto anterior no falte a la clase, la

mayoría de los temas tienen relación con el anterior. Al faltar, puede que usted se sienta perdido y desmotivado, y tal vez hasta necesite recurrir a un tutor externo.

3. ¡RESUELVA MUCHOS PROBLEMAS! Todo necesita práctica y los problemas le ayudarán a descubrir los puntos que aún no tiene claros. Para ayudarlo con este punto su profesor le asignará ejercicios semanales de tarea. Hágalos a conciencia y varias veces si es necesario.

4. ¡EVALUACIÓN CONTÍNUA! No falte a los quices semanales, además de ser parte de la calificación del curso, le ayudarán a entrenarse para los exámenes (vencer los nervios). Los quices son una herramienta tanto para usted como para su profesor, para analizar en qué puntos no está clara la materia, y qué partes debe repasar.

5. ¡CREA EN USTED! Todos podemos aprender y quitarnos esas fobias, no piense que la matemática es difícil, si le costó durante su época colegial, no necesariamente pasará igual en la Universidad. Hay que considerar que muchos temores no s los infunden en los años que somos más susceptibles, la niñez o la adolescencia. Ahora usted es un estudiante universitario y su futuro está en sus manos…piense que puede y ¡podrá!

INTRODUCCIÓN ¿Qué son las matemáticas? Durante siglos, matemáticos y filósofos han tratado de dar una respuesta simple a esta pregunta aparentemente simple. Un filósofo podría decir que las matemáticas son un lenguaje, mientras que los defensores de la lógica podrían decir que las matemáticas son una extensión de la lógica misma. La mayoría de los conceptos matemáticos básicos tienen sus raíces en las situaciones físicas que los hombres encaran en su vida diaria. Por ejemplo, uno de los conceptos más primitivos y básicos de todos es el de contar. Al mismo tiempo este concepto es la raíz de otros conceptos tan abstractos como el número y la aritmética. Así por ejemplo, dos piedras y tres piedras son cinco piedras, lo que nos conduce a una proposición más general: dos cosas y tres cosas son cinco cosas, es decir:

2 + 3 = 5 La habilidad del hombre para formular conceptos relacionados con la experiencia física en proporciones abstractas, breves y concisas de este tipo, ha sido la base para el desarrollo de una civilización fundada en la comprensión de su medio ambiente. Los antiguos mercaderes árabes desarrollaron una notación conveniente y sistemática como una ayuda para conservar la cuenta de sus bienes. Los antiguos egipcios desarrollaron muchas de las ideas fundamentales de trigonometría para poder determinar los límites de las propiedades después de los desbordamientos del río Nilo. Isaac Newton fue inducido a considerar los conceptos fundamentales del tema llamado ahora cálculo para describir la conducta de los objetos en movimiento. Como vemos, estos conceptos han sido el resultado de la necesidad de determinar algo y como un suplemento a nuestro lenguaje ordinario.

PRODUCTOS ESPECIALES Y

FORMULAS DE FACTORIZACION

� � 222 2 bababa ��

� � 222 2 bababa ��

� �� bababa �� 22

� � 32233 33 babbaaba ��

� � 32233 33 babbaaba ��

� �� 2233 babababa ��

� �� 2233 babababa ��

LEYES DE POTENCIAS

nmnm aaa ��

nnn baab �)(

mnnm aa �)(

nmn

m

aaa ��

n

nn

ba

ba

��

��

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

mnm nnnnnmn m aabaabaa �� /

INDICE

1. MATRICES 1 1.1 Algebra de Matrices 1 1.2 Determinantes 10 1.3 Sistemas de Ecuaciones: Regla de Cramer 19 1.4 Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Gauss 22 1.5 Matriz Inversa 28 1.6 Sistemas de Ecuaciones: Método de Matriz Inversa 31 2. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 34 2.1 Funciones y ecuaciones exponenciales 34 2.2 Funciones y ecuaciones logarítmicas 39 3. INTERÉS COMPUESTO 55 3.1 Concepto básico: Interés 55 3.2 Interés compuesto 55 3.3 Interés compuesto en forma continua 56 4. TRIGONOMETRÍA 63 4.1 Conceptos básicos 63 4.2 Cálculo de funciones trigonométricas y valores de ángulos 67 4.3 Triángulos rectángulos 71 4.4 Problemas de aplicación usando triángulos rectángulos 73 4.5 Identidades trigonométricas 81 4.6 Círculo trigonométrico 86 4.7 Ecuaciones trigonométricas 89 5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 93 5.1 Interpretación gráfica de límites 93 5.2 Interpretación analítica de límites 100

Matemática Cap. 1: Universitaria Matrices

�� Derechos reservados. Prohibida reproducción parcial o total Pág. 1

1. MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las Matrices son arreglos de números formados por filas y columnas. Sirven para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales, también se emplean en la solución de problemas de Transporte y problemas de comunicación, en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. La utilización de matrices, conocidas también como “arrays” (arreglos), constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos. Es muy común en Ingeniería que se presenten problemas que involucren matrices en su resolución, los métodos matriciales para distintos tipos de problemas en ingeniería y ciencias han proliferado mucho, se explica cómo utilizar una herramienta como el Matlab en el cálculo de operaciones con matrices.

1.1 Álgebra de matrices. Definición de matriz: Se le llama matriz a todo conjunto rectangular de elementos. El tamaño u orden de la matriz se indica señalando el número de filas por el número de columnas que la conforman, es decir, m×n. En otras palabras, los elementos “aij” que forman la matriz, están dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas), tal que:

11 1

1

n

m mn

a aA

a a

� ��

�1na1�

1n ��1n��

��mn ��mna��

Una matriz es un arreglo de números:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

��

��

�

44434241

34333231

24232221

14131211

4212101513111

86423579

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

Orden o tamaño de la matriz: m×n, donde: m = # de filas

a24 = elemento ubicado en la (fila 2, columna 4) de la matriz A. n = # de columnas

Note el uso de la nomenclatura: ai j “j” indica el número de columna “i” indica el número de fila

En otras palabras

i ja

Del esquema anterior, entendemos que los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila “i” y el segundo la columna “j”. Por ejemplo el elemento a25 será el elemento ubicado en la intersección de la fila 2 y columna 5 (note que el conteo de las filas y columnas se inicia desde la esquina superior izquierda de la matriz, hacia abajo y hacia la derecha, respectivamente).

Este subíndice indica la fila.

Este subíndice indica la columna.


Pág. 2 �� Derechos reservados. Prohibida reproducción parcial o total

TIPOS DE MATRICES A continuación se indican los tipos de matrices más comunes que nos podemos encontrar:

Matriz fila: tiene una sola fila, 1�m

� �7531�F Orden = 1x4

Matriz columna: tiene una sola columna, m�1

��

�

�

��

�

��

642

C Orden = 3x1

Matriz cuadrada: aquella con igual número de filas y columnas, es decir m=n

��

�

�

��

�

��

231622353

M Orden = 3x3

Matriz nula: todos los elementos son 0

0 00 0

N � ��

Orden = 2x2

Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos fuera de diagonal principal valen 0.

��

�

�

��

�

�

��

100070002

D Orden = 3x3

Matriz escalar: matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales.

��

�

�

��

�

��

300030003

E Orden 3x3

Matriz identidad: matriz escalar en donde los elementos de la diagonal principal valen 1.

��

�

�

��

�

��

100010001

I

Matriz transpuesta: aquella que resulta de cambiar las filas por las columnas, o viceversa. Toda matriz tiene su transpuesta y es única.

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

263325123

231622353

TMM

Para que dos matrices sean iguales cada entrada de la primera matriz tiene que ser igual a su correspondiente en la segunda matriz.

TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Dada una matriz de orden m×n, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. De la definición se deduce que si A es de orden m×n, entonces AT es de orden n × m. Es decir:

11 1 11 1

1 1

n mT

m mn n mn

a a a aA A

a a a a

� � � ��

� � �1 11111a a a1 111 1111� � �

1 1n m1111 ��1 11111� � �TATA� � �

� �� AA� � �

� � �� mn n mn1� � �� n mn1a a a1n1

� � ��

1 2

1 0 70 3

2 3 97 9

TB B��

� � � ��

Propiedades de la transposición de matrices � Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.

� � �TTA A�



OPERACIONES CON MATRICES Se estudian tres tipos de operaciones con las matrices:

� Suma de matrices: se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. � Producto de un número real por una matriz: se obtiene multiplicando cada uno de los elementos por

ese número. � Multiplicación de matrices: se obtiene multiplicando cada una de las filas de la 1ª matriz por cada

una de las columnas de la segunda. Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A y B, del mismo tamaño, es otra matriz S de la misma dimensión que los sumandos. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener el mismo tamaño.

En el siguiente caso, la suma de las matrices A y B se denota por A + B. En este caso ambas matrices son de 2x3, por lo tanto la matriz resultan S tendrá también un tamaño de 2x3:

1 5 7 2 5 22 3 9 7 0 2

A B� � � ��

1 5 7 2 5 2 1 2 5 5 7 2 3 10 92 3 9 7 0 2 2 7 3 0 9 2 9 3 11

S A B� � ��

� � � � � ��

Propiedades de la suma de matrices � A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) � A + B = B + A (propiedad conmutativa) � A + N = A (N es la matriz nula) � La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de

matriz opuesta de A. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

1 5 7 2 5 2 1 2 5 5 7 2 1 0 52 3 9 7 0 2 2 7 3 0 9 2 5 3 7

A B� � � ��

� � � � ��

Producto de una matriz por un número (escalar)

El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir,

bij = k·aij.

Ejemplo: Se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar.

1 0 7 4 1 4 0 4 7 4 0 284 4

2 3 9 4 2 4 3 4 9 8 12 36B A B

� � ��



Propiedades del producto de una matriz por un escalar

Para las siguientes propiedades, considere los términos k y h como valores que perteneces al conjunto de los números reales, y los términos A y B como matrices del mismo tamaño. De esta forma se cumple que:

� k·(A + B) = k·A + k·B (propiedad distributiva 1ª) � (k + h)·A = k·A + h·A (propiedad distributiva 2ª) � K·[h·A] = (k·h)·A (propiedad asociativa mixta) � 1·A = A (elemento unidad)

Operaciones combinadas

Se puede tener dentro de una operación varios productos escalares, suma, resta y transpuesta. Sean:

Ejemplo 1.1: Calcule la matriz 2·( 3· ) TE A B C� � � , utilizando las siguientes matrices: 1 2

1 5 7 2 5 20 3

2 3 9 7 0 27 9

A B C��

� � � � � ��

1 21 5 7 2 5 2

2· 3· 0 32 3 9 7 0 2

7 9

T

E��

� � � � � ��

Se respeta la jerarquía operacional y se hace la transpuesta. A la izquierda se muestra el planteamiento con las matrices dadas.

1 21 5 7 2 5 2

2· 3· 0 32 3 9 7 0 2

7 9

T

E��

� � � � � ��

Se respeta la jerarquía operacional y se hace la transpuesta. A la izquierda se muestra el planteamiento con las matrices dadas.

1 5 7 6 15 6 1 0 72·

2 3 9 21 0 6 2 3 9E

� � � � � ��

Aquí la matriz B se ha multiplicado por -3, y se ha desarrollado la transpuesta de C.

5 10 1 1 0 72·

19 3 15 2 3 9E

� ��

Se desarrolla la resta de las matrices del paréntesis cuadrado.

10 20 2 1 0 738 6 30 2 3 9

E� ��

� �� Aquí se ha multiplicado por 2 el resultado de la resta.

9 20 940 9 39

E� ��

� � �� Se hace la suma



Ejercicios de Práctica 1) Para las matrices mostradas A y B, calcule las operaciones indicadas:

1 5 72 3 9

A � ��

2 5 27 0 2

B � ��

a) A-2B R/ 3 5 3

212 3 13

A B� ��

� � � ��

b) 4A-3B R/ 2 5 22

4 313 12 42

A B��

� � � ��

2) Para las matrices indicadas A y B, calcule las expresiones indicadas: 1 2 1

3 5 01 7 2

A��

1 0 30 2 13 2 0

B��

� ��

a) A+2B R/ 1 2 5

2 3 1 27 11 2

A B��

� ��

b) � �2 4 TA B A� � �� R/ � �9 1 25

2 4 4 21 1523 2 2

TA B A� ��

� ��

3) Calcule la operación indicada sabiendo que las matrices A, B y C son: 2 0 12 1 31 2 4

A��

� ��

0 2 33 1 11 3 2

B��

� ��

2 1 03 5 31 1 0

C��

� ��

a) � �2 3A B C� �� R/ � �6 11 20

2 3 11 3 157 21 4

A B C��

� ��

4) Calcule las operaciones indicadas para las matrices A y B mostradas:

1 31 3 2

aA

��

21 23 1

aB

� ��

a) 2 TA B� R/ 5 5 6

21 2 7 4

T aA B

a� ��

� � � ��

b) 3( 2 )TA B� R/ 15 3(1 2 )

3( 2 ) 15 213( 6) 12

T

aA B

a

� ��

5) Calcule la operación indicada sabiendo que las matrices A, B y C son:

1 1 12 4 3

14

1 23 3

0 24

A��

� ��

23

1 26 3

0 13 0 1

2B

��

1 13 213

14

02 31 0

C��

� ��

a) 2( 2 )A B C� � � R/

5 5116 12 3

33143 4

103

2( 2 ) 121 8

A B C� ��

� ��



Producto de matrices Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. El resultado será una tercera matriz, cuyo tamaño corresponderá al número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz. Sean las dos matrices A y B indicadas, cuyos tamaños se indica debajo de ellas:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a b bA B a a a b b

a a a b b

� � � ��

(3 x 3) (3 x 2)

Para realizar la operación de A × B = R, verificamos primero el requisito y luego el tamaño de la resultante:

� Requisito: (número de columnas de A) = (número de filas de B), lo cual se cumple. � Tamaño de R =(número de filas de A) × (número de columnas de B), es decir, 2 x 3.

��

��

��

232221

131211

rrrrrr

RBA donde

Note entonces que para obtener el resultado, los cálculos serían:

11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32

21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32

31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32

a b a b a b a b a b a bR a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

� � � ��

Por ejemplo, sean las matrices ��

��

��

654321

A y

��

�

�

��

�

��

�210721231

B , calcule el producto de estas.

1 1 2 1 3 0 1 3 2 2 3 1 1 2 2 7 3 24 1 5 1 6 0 4 3 5 2 6 1 4 2 5 7 6 2

1 2 101 8 31

A B� � ��

� � � � ��

� � ��

Debe hacerse hincapié, que a diferencia de la multiplicación algebraica, la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A x B ≠ B x A. Claro está, hay casos especiales que por el contenido de las matrices, si se puede dar esta igualdad, pero esto es la excepción, no la regla. Veamos el siguiente caso, con las matrices C y D:

1 2 34 0 2

C��

� � �� y

5 4 21 6 3

7 0 5D

��

a) 5 4 2

1 2 3 18 8 71 6 3

4 0 2 6 16 27 0 5

C D��

� � ��

b) 5 4 2

1 2 31 6 3

4 0 27 0 5

D C��

��

REQUISITO

TAMAÑO DE AxB

rij = suma de los productos, término a término, de la fila “i” por la fila “j”



Al igual que en el caso de A x B anterior, para llegar a C x D se siguió el siguiente proceso:

Ejemplo 1.2: Calcule el producto de matrices indicado: 5 4 2

1 2 31 6 3

4 0 27 0 5

C D��

��

Se multiplica el 1er elemento de la fila 1 de C, por cada uno de los elementos de la columna 1 de D.

1 5 2 1 3 7 1 4 2 6 3 0 1 2 2 3 3 5

4 5 0 1 2 7 4 4 0 6 2 0 4 2 0 3 2 5C D

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ��

� �

Estos productos se suman, como se muestra a la izquierda. Ahora se multiplica el 2do elemento de la fila 1 de C por cada uno de los elementos de la columna 1 de D, y así sucesivamente, sin olvidar sumar estos productos. De esta forma se obtiene el valor de cada elemento del resultado.

18 8 76 16 2

C D� ��

� � � �� La matriz resultante es de tamaño 2X3 (filas

de C x columnas de D)

Propiedades del producto de matrices

1. A×(B×C) = (A×B) ×C 2. El producto de matrices en general no es conmutativo. 3. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A×B = B×A = Identidad. Si

existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A× (B + C) = A×B + A×C

Consecuencias de las propiedades 1. Si A×B= 0 no implica que A=0 ó B=0. 2. Si A×B=A×C no implica que B = C. 3. En general, A×B ≠ B×A

Ejemplo 1.3: Utilizando el concepto de multiplicación de matrices, encuentre el valor de las variables a, b, c, x, y, z, según la operación mostrada:

7 1 66 4 0 1 12 1 12 0 4 3 3 2 5

9 1 0

a b cx y z

��

6 7 4 3 9 6 0 2 6 6 1 5 014 0 12 27 2 0 8 3 12 0 20 0

12 1 1

a b c a b c a b c

x y z

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

Se desarrolla la multiplicación de matrices a la izquierda de la ecuación. Lo que se pretende es comparar los términos de la matriz resultante de la izquierda, con los de la matriz de la derecha. Para que se cumpla la igualdad, se deben igualar estos términos.

42 4 3 9 6 0 2 36 5 12 1 129 9 8

a b c b c a bx y z

� � � � � � � � � ��

� � � �

La matriz resultante a la izquierda también debe ser del mismo tamaño de la de la derecha, es decir, de tamaño 2x3

�1�

e5111�

777



42 4 3 9 12

6 0 2 1

36 5 1

4 3 9 30

0 2 5

5 0 35

a b c

a b c

a b

a b c

a b c

a b c

� � � �

� � � � � �

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

� ��

Se igualan los términos de acuerdo a la posición, es decir, el elemento a11 se iguala con el b11, y así sucesivamente. Para la fila 1 en ambas matrices, se forma el sistema de ecuaciones 3x3 mostrado a la izquierda.

360 29

65 9

135 8

a x

b y

c z

� � �

� �

� � �

Resolviendo el sistema de ecuaciones en forma simultánea obtenemos los primeros 3 resultados. El mismo proceso se sigue para x, y, z.

Ejercicios de Práctica Realice las operaciones indicadas con las matrices A, B, C y D:

1 2 1 1 0 21 0 1 3 1 0

1 2 5 3 2 02 3 2 1 2 1

0 1 2 1 1 1A B C D

� ��

6) B C� R/ 4 8 21 3 13

B C � ��

� �

7) C D� R/ 6 3 10 9 71 4 2

C D� ��

8) � �� 2 3 2A B C D� � � � R/ � �� 18 54 50

2 3 228 66 52

A B C D � ��

9) � �� 3 2A B C D� � � R/ � �� 30 51 27

3 23 51 165

A B C D��

� � � � � ��

Realice la multiplicación A x B de las matrices indicadas. Los resultados quedan en función de las variables:

10) 1 3

3 1 0, 3

0 11 0 2

aA B a a

a

��

R/ 2 2

4 0 91 3 2

a aA B

a a a��

� � � ��

11) 3 1 8 7 10 2 4 , 0 3

6 7 2A B

x a

� ��

R/ 21 8 22

4 27 7 4

aA B a

a x x

� ��

12)

1 73 5 2 1 0

,10 5 3

5 12

a aA B

a a

��

R/ 2

2

2 35 22 76 25 3 15 5

15 10 310 60 41 12

a aa a a

A Ba a a

a a

� � ��

13) 2 1 3

2 1 0, 3

3 21 4 2

A B a aa

��

R/ 2 2

4 5 64 11 3 5

a aA B

a a a� � ��

� � � ��



Realice las operaciones indicadas con las matrices A, B, C y D:

Para: 3 4 5 4

0 1 2 3 2 32 1 2 7

1 0 2 4 1 33 3 1 2

A B C D� ��

� ��

14) � � � �2 3 2F D B A C� � � � R/ 28 14

24 50F

��

15) � � � �2 2F B D C A� � � � � R/ 152 152

160 152F

��

Para: 1 3 2 1 0 4

1 0 3 3 2 11 2 7 7 5 0

5 7 3 0 4 30 1 2 1 1 1

A B C D��

� ��

16) � � � �2 3E A B C D� � � � R/ 48 132 4440 24 226

E � ��

Para:

1 1 41 3 5 1 3 2 1 3

1 4 3 2 2 1 4 2 11 2 3

a aA B C

a

��

��

17) � � � �2F A B C� � � R/ 5 4 11 2 13 39 6 2 36

a a aF

a� � ��

� � ��

18) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si:

7 1 66 4 0 1 29 8 372 0 4 3 3 2 5

9 1 0

a b cx y z

��

R/

4 29

1 9

0 8

a x

b y

c z

� � �

� �

� � �

19) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si: 1 2 1

1 2 1 2 0 0 12 4 1 0 1 1 0

1 0 3

a b cx y z

� ��

R/

1 9

1 9

0 10

a x

b y

c z

� �

� � �

� �

20) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si: 1 0 2 00 0 1 1 1 0 6 6

1 4 9 2 0 1 0 0 1 9 8 40 0 1 0

a b c d� ��

R/ 1 60 2

a bc d� ��



1.2 Determinante de una matriz cuadrada Definición de determinante: Para cada matriz cuadrada hay asociado un valor llamado determinante de la matriz y se representa por |A| o det(A). Dentro de las principales aplicaciones de los determinantes están el cálculo de inversa, sistemas de ecuaciones, el cálculo de áreas y volúmenes. Propiedades de los determinantes

1. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta: det( ) det( )TA A�

2. Si en un matriz se cambian entre sí dos líneas, su determinante cambia de signo.

3. Si una matriz que tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante valdrá 0

4. Si una matriz tiene todos los elementos de una línea nulos, su determinante valdrá 0

5. Si una línea de A es multiplicada por un escalar “c”, creando B, entonces det( ) det( )B c A� �

6. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de

ellas: det( ) det( ) det( )A B A B� � �

DETERMINANTE DE MATRICES DE 2DO ORDEN: Para una matriz de segundo orden, es decir, de tamaño 2x2, el cálculo del determinante se puede realizar de la siguiente forma:

� � � �11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

det( )a a a a

A A a a a aa a a a� �

� � � � � � ��

Ejemplo

1 21 3

A � ��

El determinante sería: � � � �det( ) 1 3 1 2 3 2 1A � ��

DETERMINANTE DE MATRICES DE 3ER ORDEN: Para una matriz de tercer orden, es decir, de tamaño 3x3, el cálculo del determinante se puede realizar usando la regla de Sarrus. Regla de Sarrus Siendo A una matriz cuadrada de 3er orden, su determinante será la suma de los productos de los elementos que forman las “diagonales que van de arriba hacia abajo” ( ), y se le resta la suma de los productos de elementos que forman las “diagonales que van de abajo hacia arriba” ( ). El siguiente esquema pretende explicar más claramente este planteamiento:

11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32

Se copian las 2 primeras columnas al finalde la matriz, para facilitar los cálcu

det( )a a a a a a a a a a a

A a a a A a a a a a a a aa a a a a a a a a a a

� ��

� � � �los.

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32det( )A a a a a a a a a a a a a a a a a a a� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

31 32 33 31 32

Se copian las 2 primeras columnas al final

a a a a a31 32 33 3131 32 33 31

Como se puede ver en el esquema, para facilitar lo planteado por la Regla de Sarrus, antes de hacer los cálculos se deben copiar las 2 primeras columnas al final de la matriz, lo cual facilita visualizar las diagonales mencionadas.



Ejemplo

3 5 3 3 5 3 3 52 4 2 det( ) 2 4 2 2 43 1 9 3 1 9 3 1

A A� � � � ��

� � � � � � � � � � � �

� � � �

Diagonales de arriba Diagonales de abajohacia abajo ( ) hacia arriba ( )

det( ) 3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 2 5

det( ) 108 30 6 90 6 36det( ) 144 132 d

A

AA

� � ��

� � � � � �

� � �

de arriba Diagonales de abajo) hacia arriba ( )

Diagonales de arriba Diagonales de abajo

� � � �� 3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 2 53 4 9 5 2 3 3 2 13 4 9 5 2 3 3 2 13 4 9 5 2 3 3 2 1� � � � � � � � � � �3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 24 2 2 1 4 1 2 24 2 2 14 2 2 14 2 2 1� � � � � � � � � � �

et( ) 12A �

Ejercicios de Práctica Calcule el determinante de las matrices que se muestran a continuación

21) 2 3 00 2 12 4 3

A� ��

R/ det( ) 26A � �

22) 2 4 51 0 42 3 6

A� ��

� ��

R/ det( ) 95A � �

23) 4 1 07 1 02 0 1

A��

� ��

R/ det( ) 11A �

24) 2 4 23 1 93 5 3

A��

� ��

R/ det( ) 12A �

25) 1 2 53 1 27 11 2

A��

� ��

R/ det( ) 134A � �

26) 5 4 21 6 3

7 0 5A

��

R/ det( ) 38A � �

27) 1 0 30 2 13 2 0

A��

� ��

R/ det( ) 20A � �

28) 1 0 47 5 01 1 1

A� ��

R/ det( ) 13A �



DETERMINANTE DE MATRICES DE 4º ORDEN Y MAYORES Para una matriz de cuarto orden, es decir, de tamaño 4x4 y mayores, el cálculo del determinante se realiza aplicando el Teorema de Expansión, pero para ello es indispensable introducir dos nuevos conceptos, llamados Menor y Cofactor. Ambos conceptos están relacionados a una posición específica aij de la matriz, y no a la matriz misma. Note que aunque para la matriz de 3x3 hemos utilizado la Regla de Sarrus para calcular su determinante, también lo podemos calcular utilizando el Teorema de Expansión Definiciones Básicas

Matriz menor

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz Menor del elemento aij. Esto quiere decir que dada la matriz A, suprimamos la fila 1 y columna 1 de dicha matriz:

11 12 1 122 2 2

21 22 2 2

2111 2

21 2

j nj n

j n

i ij ini i ij in

n nj nnn n nj nn

a a a aa a a

a a a a

a a aA Ma a a a

a a aa a a a

� ��

�1 1n1a a11�

1 j n1 ��1 n1 �2 2n2a a2�

2 j n2 ��2 n2��2 2j n2a a22��a a �

j

��

j

��j

��

�ia aijij�

ij inijij ��inijij

��

��ij ina aij��

��

j

��j

��j

��nj nna anjnj��a a��

��nj nn ��nj nna anj

�

Lo que se ha obtenido es la matriz Menor del elemento a11. Como se aprecia, esta matriz resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1. Es decir, si se requiere calcular, por ejemplo, el “menor de la posición a21”, al cual se le denominaría M21, este sería el determinante de la matriz que se forma cuando se elimina fila 2 y la columna 1.

Cofactor

Se llama cofactor de aij, y se calcula por la fórmula cij = (–1)i+j. Si usamos esta fórmula y construimos una matriz reflejando los signos de los resultados obtenidos para cada una de las posiciones de la matriz, tendríamos la matriz:

��

�

�

��

�

�

��

.........

................

con la cual podríamos fácilmente identificar el signo de los cofactores. Empezando siempre con positivo en la esquina superior, se van intercambiando los signos + y – hasta llegar a la posición de aij, Otra forma es usar el signo + o - dependiendo si la suma de los subíndices da un resultado par o impar:

� Si i+j = par → cij = 1 � Si i+j = impar → cij = -1

Teorema de Expansión Siendo A una matriz cuadrada de 3er orden o mayor, su determinante se calcula sumando los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus cofactores y menores respectivos. El cálculo se simplifica si se escoge una fila o columna con mayor cantidad de entradas nulas. La formulación matemática sería:

� �1

det( )n

ij ij iji

A a c M�

� � ��

donde: aij = elemento en la posición ij. cij = cofactor de la posición ij. Mij = menor de la posición ij.



Para el cálculo respectivo se puede seguir entonces el siguiente procedimiento:

1. Elegir una de las filas o columnas para iniciar el desarrollo. 2. Calcular los cofactores cij y los menores Mij de las posiciones de los elementos aij que forman la fila

o columna seleccionada. 3. Se multiplican aij�cij�Mij 4. Se suman todos los productos, lo cual da como resultado el determinante de la matriz.

Ejemplo 1.4: Calcule el determinante de la matriz 4x4 mostrada, 0 1 3 11 1 2 22 2 1 13 1 2 3

A

��

Se escoge la fila o columna con más ceros. En este caso puede ser la fila 1 o la columna 1. Para el ejemplo se escoge la fila 1.

11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14det( )A a c M a c M a c M a c M� � � � � � � � � � � � Planteando el Teorema de Expansión con fila 1

11 12

13 14

det( )

1 2 2 1 2 20 1 2 1 1 1 1 2 1 1

1 2 3 3 2 3

1 1 2 1 1 23 1 2 2 1 1 1 2 2 1

3 1 3 3 1 2

M M

M M

A � � �

�

� � � ��

� � � � ��

1 2 3 3 2 3M M

3 1 3 3 1 2M M

�3 1 3

Calculando por aparte el resultado de los menores: 1 2 2 1 1 2 1 1 22 1 1 13, 2 2 1 20, 2 2 1 123 2 3 3 1 3 3 1 2

� � � � ��

Note que a11=0, lo que ahorra el cálculo del M11. Los otros menores se calculan y se sustituyen en la ecuación del det(A). Recuerde el cálculo de los menores no es ni más ni menos que el cálculo de determinantes, en este caso de matrices de 3x3, por lo que se utiliza la Regla de Sarrus para calcularlos.

det( )

det( )

0 1 1 13 3 1 20 1 1 12

0 13 60 12

A

A

� � � � � � � � � � � � �

� � ��

Se multiplican los determinantes por el signo y el elemento correspondiente

det( ) 59A � Resultado final



DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS Transformaciones elementales Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando las propiedades de los determinantes

� Si se permutan o se intercambian 2 filas o 2 columnas el determinante varia de signo. � Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo se hace la operación contraria al

determinante final. � Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo

el determinante no varía. Método de Gauss El método de Gauss consiste en aplicar las transformaciones elementales anteriores a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen, es decir, se conviertan en 0. A esto se le llama “triangularizar” una matriz. Para conseguirlo, se debe dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Ejemplos de matrices triangulizadas:

1 2 2 7 1 90 1 1 , 0 1 20 0 3 0 0 5

A B� � � ��

El cálculo de determinantes por el método de Gauss consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangularizando la matriz. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

� Permutar 2 filas ó 2 columnas. � Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. � Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo

Ejemplo 1.5: Calcule el determinante de la matriz 3x3 utilizando el Método de Gauss 1 0 32 1 41 0 1

A� ��

Se inicia haciendo nulos los elementos de la primer columna, excepto el que está en la diagonal. Para ello, en operaciones independientes, se multiplicará la fila 1 por -2, y se le suma a la fila 2; luego se multiplica la fila 1 por -1 y se le suma a la fila 3:

1 0 3 1 0 32 1 2

2 1 4 0 1 21 1 3

1 0 1 0 0 4

F FA

F F

� � � ��

� � � �� 01 1 3111 1�

1 1 30��31 111 1�000

Debe notarse que en la nueva matriz transformada, el elemento a32 = 0, por lo cual la triangularización queda completa. Si a32 ≠ 0, se hubiera requerido una nueva transformación para completar la triangularización.

Finalmente, el determinante se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal de la matriz transformada, es decir, ya triangulizada:

1 0 3det 0 1 2 1 1 4 det( ) 4

0 0 4A

� ��



Ejemplo 1.6: Calcule el determinante de la matriz 4x4 utilizando el Método de Gauss 1 0 0 20 1 1 10 1 2 16 1 1 0

A

� ��

Se anulan todos elementos de la primera columna, excepto el que está en la diagonal. Note que sólo se requiere anular el elemento 6, para lo cual se multiplicará la fila 1 por -6, y se le suma a la fila 4:

1 0 0 2 1 0 0 20 1 1 1 0 1 1 1

6 1 4 0 1 2 1 0 1 2 16 1 1 0 0 1 1 12

A F F

� � � ��

��

�046 110

6 16 10�

6 1 4 0��46 16 16 100

Siguiendo el orden, se anulan los elementos de la segunda columna que están debajo del elemento diagonal. Se multiplicará la fila 2 por 1, y se le suma a la fila 3, y se multiplica la fila 2 por -1 y se le suma a la fila 4:

1 0 0 2 1 0 0 20 1 1 1 1 2 3 0 1 1 1

0 1 2 1 1 2 4 0 0 1 00 1 1 12 0 0 0 11

F FF F

� � � ��

� ��

�1 2 4 0221 2 4 01 22�01 2 4 01 2 4 022��0

Finalmente, el determinante se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal de la matriz transformada, es decir, ya triangulizada:

1 0 0 20 1 1 1

det 1 1 1 11 det( ) 110 0 1 00 0 0 11

A

� ��



Ejemplo 1.7 (técnica alternativa): Calcule el determinante de la matriz 4x4 mostrada: 1 2 1 31 4 3 2

1 1 5 00 3 2 1

B

��

Se muestra otra metodología, usando el principio de seleccionar la fila o columna con mayores entradas nulas, y combinándola con el cálculo de determinantes por el Método de Gauss.

Se transforma la matriz original, multiplicando la columna 1 por 2 y sumando a la columna 2; volvemos a multiplicar la columna 1 por -1 y sumando a la columna 3; finalmente se multiplica la columna 1 por -3 y sumamos a la columna 4:

1 2 1 3 1 0 0 01 4 3 2 1 2 4 5

1 1 5 0 1 3 4 30 3 2 1 0 3 2 1

B

��

Se inicia el cálculo por la fila 1, que es la que tiene más ceros. Se aplica el principio del Teorema de Expansión que dice aij�cij�Mij:

� � 11 11 11

1 0 0 02 4 5

1 2 4 5det 0 0 0 1 1 3 4 3

1 3 4 33 2 1

0 3 2 1

a c MB � ��

� � � � � � � � ��

En el caso del M11, se calcula utilizando el método de Gauss, para lo cual requerimos triangularizar la matriz:

� ��

� �11

32 21 21

2 2313 2922 2

2 4 5 2 4 5 2 4 51 23 4 3 0 2 2 2 3 0 2

1 33 2 1 0 4 0 0M

F FF F

F F

� � ��

� � � � �� 2 3 02� �� 2

� �3 3 0� �2 1 3F1� ��32 �2 F11

Una vez triangulizada la matriz, multiplicamos los elementos de su diagonal, y el resultado es el valor correspondiente a M11:

112922 2 58M � ��

Finalmente se sustituye el valor de M11 encontrado, en la expresión original del determinante de B:

� � � �11 11 11

2 4 5det 1 1 3 4 3 1 1 58 det 58

3 2 1a c MB B� ��



Ejercicios de Práctica Calcule el determinante de las matrices que se muestran a continuación utilizando tanto el método general como el método de Gauss

29)

2 3 5 30 2 4 21 3 1 9

1 2 0 0

A

��

R/ det( ) 60A �

30)

4 3 6 03 0 0 45 0 1 22 1 1 7

A

� ��

R/ det( ) 13A � �

31)

1 0 2 52 1 5 0

0 0 3 00 1 0 3

A

� ��

��

R/ det( ) 39A � �

32)

5 0 0 06 3 0 01 4 4 07 2 3 2

A

� ��

R/ det( ) 120A �

33)

1 2 1 02 0 1 21 1 3 44 1 0 2

A

� ��

� ��

R/ det( ) 54A �

34)

2 3 5 30 2 4 21 3 1 9

1 2 0 0

A

� ��

R/ det( ) 144A � �

35)

2 3 5 00 2 4 11 3 1 0

1 2 0 1

A

��

��

R/ det( ) 36A � �

36)

1 1 1 12 1 7 03 7 8 17 2 3 1

A

� ��

��

R/ det( ) 240A � �



37)

0 1 3 11 1 2 22 2 1 13 1 2 3

A

��

R/ det( ) 59A �

38)

6 1 0 43 3 2 00 1 8 62 3 0 4

A

��

R/ det( ) 560A �

39)

3 1 2 04 0 3 50 6 0 11 3 4 2

A

��

��

R/ det( ) 254A � �

40)

3 0 0 02 1 2 12 0 3 11 1 2 1

A

� ��

R/ det( ) 6A �

41)

0 3 0 1 01 1 2 1 30 1 0 0 02 0 4 5 11 0 2 1 1

A

� ��

R/ det( ) 0A �

42)

1 3 1 2 11 0 0 0 1

2 0 1 0 11 0 2 0 13 0 1 2 0

A

��

R/ det( ) 24A �

43)

1 3 1 2 11 0 0 0 1

2 1 1 0 11 0 2 0 13 0 1 2 0

A

��

R/ det( ) 20A �



1.3 Sistemas de Ecuaciones: Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

......

...

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

� � � � � � � � ��

Como se aprecia, tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde: � aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, � bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, � xj son las variables del sistema,

La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

1 2 3

Matriz de Matriz deMatriz de coeficientesincógnitas términos

independientes

n

n

m m m mn n n

a a a a x ba a a a x b

A X B

a a a a x b

� � � � � ��

�1a1�

11�

2a2a �2�

� ��

� ��

� � � � ��

��

MatrMatriz de coeficientes

�x� m m m1 2 32a a a1 2 32m m m1 2 322 �mnamn

Una aplicación de los determinantes es calcular la solución de un sistema de ecuaciones con n incógnitas. La solución para cualquiera de las incógnitas viene dada por:

� ��

detdet

ii

Ax

A�

donde Ai es la matriz que se obtiene a partir de A, sustituyendo los elementos de la columna i, por los elementos del vector de resultados Por ejemplo, un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se escribiría matricialmente de la siguiente forma:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x ba a a x ba a a x b

� � � � � ��


� � �31 32 33a31 32 3332 33��a a a x31 32 33

Por lo tanto las soluciones, según la Regla de Cramer, vendrían dadas por:

� �

1 12 13

2 22 23

3 32 33 11 det

x

b a ab a ab a a

xA

��

�,

� �

11 1 13

21 2 23

31 3 33 22 det

x

a b aa b aa b a

xA

��

�,

� �

11 12 1

21 22 2

31 32 3 33 det

x

a a ba a ba a b

xA

��

�

En todos los casos, note que el denominador consiste en el determinante de la matriz de coeficientes, es decir:

� �11 12 13

21 22 23

31 32 33

det

a a a

A a a a

a a a

� � �



Ejemplo 1.8: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado. 2 3 4 0

3 43 2 0

x y zx y zx y z

� � ��

Con el “solucionador de ecuaciones” de la calculadora, puede corroborar los resultados.


independientes

2 3 4 01 1 3 43 2 1 0

xA X B y

z

��


� � �3��3 2 1

Se reescribe el sistema de ecuaciones en forma matricial, de forma que se logran identificar las respectivas matrices y variables.

� �

� � � � � �

2 3 4 2 3 4 2 3det 1 1 3 1 1 3 1 1

3 2 1 3 2 1 3 2det 2 27 8 12 12 3 30 30

A

A

� � ��

� �

� � � � � � � � � � �

Se calcule el det(A), que se requiere para el cálculo de todas las soluciones.

� �

� � � � � �

0 3 4 0 3 4 0 3det 4 1 3 4 1 3 4 1

0 2 1 0 2 1 0 2det 0 0 32 0 0 12 20 20

Ax

Ax x

� � ��

� �

� � � � � � � � � �

Ahora se cambia la 1ra columna de A por el vector B, formando la matriz Ax, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ax), que se requiere para el cálculo de la solución x.

� �

� � � � � �

2 0 4 2 0 4 2 0det 1 4 3 1 4 3 1 4

3 0 1 3 0 1 3 0det 8 0 0 48 0 0 56 56

Ay

Ay y

� � � ��

� � � � � � � � � � � � �

Ahora se cambia la 2da columna de A por el vector B, formando la matriz Ay, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ay), que se requiere para el cálculo de la solución y.

� �

� � � � � �

2 3 0 2 3 0 2 3det 1 1 4 1 1 4 1 1

3 2 0 3 2 0 3 2det 0 36 0 0 16 0 52 52

Az

Az z

� � ��

� � � � � � � � � � � �

Ahora se cambia la 3ra columna de A por el vector B, formando la matriz Az, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Az), que se requiere para el cálculo de la solución z.

20 56 5230 30 30

2 28 263 15 15

x y zx y z

x y z

� � � � ��

� � � � � Se calculan las variables



Ejemplo 1.9: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado. La variable x encuéntrela aplicando el método de Cramer. Para el resto de las variables use el solucionador de la calculadora.

��

��

�

��

��

42585532

3

wyxzyyx

zyxw

Matriz X Matriz BMatriz A

3 1 1 1 1 32 3 0 0 5 2 3 0 0 50 5 8 0 5 0 5 8 0 52 0 4 2 1 0 1 4

x y z w xx y z w yx y z w zx y z w w

� � � ��

MatrMatriz A

� � �2 1 0 12 1 0 12 1 0 12 1 0 12 1 0 1

Lo primero que se debe hacer es reacomodar el sistema, ordenando las variables y dejando de un solo lado los términos independientes. De esta forma podremos reescribir el sistema en forma matricial.

� �

� �

� �

14 44

14 14 14 44 44 44

14 44

1 1 1 12 3 0 0

det 0 00 5 8 02 1 0 1

2 3 0 1 1 1det 1 1 0 5 8 0 0 1 1 2 3 0

2 1 0 0 5 8

donde: 32 y 18 (usando Regla de Sarrus)det 1 1 32 1 1 18 14 14

M M

a c M a c MA

A

M MA

� � � � � � ��

� ��

� �

� ��

2 1 0 0 5 8M M

Se calcula el det(A). En este caso se utiliza el Teorema de Expansión, partiendo de la columna 4. El cálculo de los menores M14 y M44 se puede realizar por la Regla de Sarrus, aunque el ejemplo no lo muestra.

� �

� �

� �

14 44

14 14 14 44 44 44

14 44

3 1 1 15 3 0 0

det 0 05 5 8 04 1 0 1

5 3 0 3 1 1det 1 1 5 5 8 0 0 1 1 5 3 0

4 1 0 5 5 8

donde: 56 y 42 (usando Regla de Sarrus)det 1 1 56 1 1 42 14 14

M M

a c M a c MAx

Ax

M MAx x

� � � � � � ��

� ��

� �

� ��

4 1 0 5 5 8M M

Ahora se cambia la 1ra columna de A por el vector B, formando la matriz Ax, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ax), que se requiere para el cálculo de la solución x. Igual que el caso anterior, se utiliza el Teorema de Expansión partiendo también de la columna 4. En el caso de los menores, su cálculo se realiza utilizando la Regla de Sarrus.

14 114

xx x� ��

Se calcula la variable x.



1 3 3 1 22 3 0 0 5 3 0 0 5 2 3 0 0 30 5 8 0 5 5 8 0 5 5 8 0 52 0 4 0 4 2 0 2

y z w y z w y z wy z w y z w y z wy z w y z w y z w

y z w y z w y z w

� � � � � � � � � � ��

Ahora se sustituye el valor de x en el sistema original de ecuaciones y se vuelve a reescribir.

2 13 0 0 3 05 8 0 5 1

y z w yy z w zy z w w

� � � ��

Se obtienen 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Para utilizar el “solucionador” de la calculadora, se deben escoger 3 ecuaciones cualesquiera. Se calculan las variables

1.4 Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Gauss Utiliza lo que se llama “matriz aumentada”, que no es más que la unión de A (matriz de coeficientes) y B (matriz de valores independientes). En otras palabras la matriz aumentada es:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

Matriz de coeficientes Aunida a la

Matriz de términos indep. B

n

n

m m m mn n

a a a a ba a a a b

a a a a b

� ��

1a111

2a2a ��

��

Matriz de coeficientes A

�n� m m m1 2 32 bna a a1 2 32m m m1 2 322 mnamn

Al solucionar sistemas de ecuaciones utilizando matrices aumentadas, lo que se busca es reducir estas matrices. Veremos 2 métodos que hacen esta reducción en forma muy similar:

� Método de Gauss (eliminación gaussiana): consiste en hacer que la matriz de coeficientes quede como una matriz escalonada

� Método de Gauss-Jordan: busca reducir la matriz de coeficientes a una matriz escalonada reducida.

En otras palabras, para un sistema de 3 ecuaciones 3 incógnitas, por ejemplo:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x ba a a x ba a a x b

� � � � � ��


� � �31 32 33a31 32 33��a a a x31 32 33

Entonces las matrices escalonadas, según el método que se escoja, tendrán la siguiente configuración:

11 12 13 1 11 1

22 23 2 22 2

33 3 33 3

MATRIZ ESCALONADA: MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA:bajo la diagonal TODOS los términos son 0 sobre y bajo la diagonal TODOS los té

0 00 0 00 0 0 0

a a a b a ba a b a b

a b a b

� � � ��

MATRIZ ESCALONADA:

� �33 30 0 33 3�� 0 0 33 3

rminos son 0ATRIZ ESCALONADA REDUCIDA:

� �33 333 3 ��3a b33 3330 0



Para hacer estas reducciones, hay tres operaciones matemáticas válidas ÚNICAMENTE PARA LAS FILAS de las matrices aumentadas. Estas operaciones son similares a las utilizadas en el Método de Gauss para el cálculo de determinantes:

1- Multiplicar o dividir una fila por un número escalar diferente de cero. 2- Sumar o restar a una fila un múltiplo de otra, 3- Intercambiar (permutar) filas en la matriz.

Se muestra a manera de ejemplo, lo que es una matriz escalonada y una matriz escalonada reducida. La matriz aumentada del sistema La matriz aumentada del sistema

2 5 2 1 5es

5 3 4 5 3 4x yx y� ��

� � ��

11 1 1 1 112 5 es 2 1 1 53 2 24 3 2 1 24

x y zx y zx y z

� � ��

su matriz escalonada será su matriz escalonada será

��

��

� �

1117

54

53

101

��

�

�

��

�

��

210010

81

733

71

31

32

y su matriz escalonada reducida será y su matriz escalonada reducida será

��

��

�

1117

1119

1001

��

�

�

��

�

�

210050104001

MÉTODO DE GAUSS (ELIMINACIÓN GAUSSIANA)

Ejemplo 1.10: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el método de Gauss. 11

2 53 2 24

x y zx y zx y z

� � ��


11 1 1 1 112 5 2 1 1 53 2 24 3 2 1 24

x y z xx y z yx y z z

� � ��

MatriMatriz A

� � �333 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1


1 1 1 11 1 1 1 112 1 2

2 1 1 5 0 3 1 173 1 3

3 2 1 24 0 1 2 9

F FF F

� � � ��

� � � �� 03 1 3113 1�

3 1 30��33 13 1�00

Se construye la matriz aumentada. En este caso el método indicado implica calcular la matriz escalonada. Los cálculos se empiezan anulando los términos de la columna 1.



1 1 1 11 1 1 1 110 3 1 17 ( 2, 3) 0 1 2 90 1 2 9 0 3 1 17

P F F� � � ��

�( 2 3) 0( 2( 2 �( 2, 3) 0( 2,( 2, 3) 0( 2( 2 3) 0( 2( 2�0��0

Una vez anulados los términos de la columna 1, se puede pasar a anular los de la columna 2. Aún así en este caso, por conveniencia, se permutan las filas 2 y 3.

MATRIZESCALONADA!

1 1 1 11 1 1 1 110 1 2 9 3 2 3 0 1 2 90 3 1 17 0 0 5 10

F F� � � ��

�3 2 3 0223 3 02 �3 2 3 03 2 3 03 2223 2 3 022��

Se continúa con la eliminación de términos, en este caso de la columna 2. Al hacer esto se llega directamente a la matriz escalonada deseado

11 42 9 55 10 2

x y z xy z y

z z

� � � ��

Con la ayuda de la matriz escalonada, se construye el sistema de ecuaciones mostrado. Al resolver el sistema, se está resolviendo el sistema de ecuaciones original.

Ejemplo 1.11: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el método de Gauss.

2 8 6 204 2 2 2

3 11

x y zx y z

x y z

� � ��

11 2 1 312

2 8 6 20 2 8 6 20 1 4 3 10 1 4 3 102 3

4 2 2 2 0 14 14 42 0 14 14 42 0 14 14 423 1 1 11 3 1 1 11 3 1 1 11 0 13 18 19

F F F FF� � � � � � � �

� � � �� ! !!� � � � � � � ��

1 12 32 314 5

MATRIZESCALONADA

1 4 3 10 1 4 3 10 1 4 3 1013

0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 30 13 8 19 0 0 5 20 0 0 1 4

F FF F� � � � � �

�� !! !� � � � � ��

De la matriz escalonada, se construye el sistema de ecuaciones y se resuelven las variables: 4 3 10 2

3 14 4

x y z xy z y

z z

� � � ��



MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Ejemplo 1.12: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el método de Gauss.

��

��

�

��

32332

1123

yzxyxz

xy


2 3 0 11 2 3 0 112 1 1 1 2

3 2 3 3 3 2 3 3


� � ��

MatrMatriz A

� � �3 33 33 2 33 2 33 2 33 2 33 2 33 23 23 2


2 3 0 11 1 1 1 21 1 1 2 ( 1, 2) 2 3 0 113 2 3 3 3 2 3 3

P F F��

� � � ��

�( 1 2)( 1( 1 �( 1, 2)( 1,( 1, 2)( 1( 1��

Se pueden intercambiar filas. En este caso permutan fila 1 por fila 2, para ubicar favorablemente el neutro multiplicador.

1 1 1 2 1 1 1 22 3 0 11 2 1 2 0 5 2 153 2 3 3 3 2 3 3

F F� ��

�2 1 2111 �2 1 22 1 211�� Se multiplica fila 1 por 2 y se le suma a la fila

2, para anular los términos de la columna 1.

1 1 1 2 1 1 1 20 5 2 15 3 1 3 0 5 2 153 2 3 3 0 1 6 3

F F� ��

�3 1 3113 1 �3 1 33 1 33 13 13 1��

Se multiplica fila 1 por -3 y se le suma a la fila 3, para anular el último término de la columna 1.

1 1 1 2 1 1 1 20 5 2 15 ( 2, 3) 0 1 6 30 1 6 3 0 5 2 15

P F F� ��

�( 2 3)( 2( 2 �( 2, 3)( 2,( 2, 3)( 2( 2��

Se permutan fila 2 por fila 3, para ubicar de nuevo en posición favorable al neutro multiplicador.

1 1 1 2 1 0 5 10 1 6 3 1 2 1 0 1 6 30 5 2 15 0 5 2 15

F F� � � ��

�1 2 1221 2 122 �1 2 11 2 121 2 122�� Se multiplica fila 2 por 1 y se le suma a la fila


1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 5 2 3 0 1 6 30 5 2 15 0 0 28 0

F F� � � � � ��

�5 2 3225 2 322 �5 2 35 2 3225 2 322��

Se multiplica fila 2 por 5 y se le suma a la fila 3, para anular el último término de la columna 2.



� �128

1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 3 0 1 6 30 0 28 0 0 0 1 0

F� � � � � ��

3� �1�� 28 3� �1

28 3� �1 3� ��

Se multiplica por -1/28 la fila 3 para lograr el neutro multiplicativo y facilitar la anulación de términos en la columna 3.

1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 6 3 2 0 1 0 30 0 1 0 0 0 1 0

F F� � � � � ��

�6 3 2336 3 233 �6 3 26 3 23336 3 233�� Se multiplica fila 3 por 6 y se le suma a la fila


1 0 5 1 1 0 0 10 1 0 3 5 3 1 0 1 0 30 0 1 0 0 0 1 0

F F� � � � ��

�5 3 1335 3 133 �5 3 15 3 1335 3 133��

Se multiplica fila 3 por 5 y se le suma a la fila 1, para anular el último término de la columna 3.

1 0 0 1 1 0 0 11 1

0 1 0 3 0 1 0 31 2

0 0 1 0 0 0 1 0

FF

� ��

� � � �� 01 21�

1 20��211�00

1 0 0 1 10 1 0 3 30 0 1 0 0


� � � � � � ��

Se multiplica por -1 las filas 1 y 2, de forma que se llegue a la matriz identidad, y así poder reconstruir las 3 ecuaciones que dan el resultado final.

Ejemplo 1.13: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el método de Gauss-Jordan.

2 07 2 63 5 12

x y zx y z

x y

� � � ��

1 2 1 1 3

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 01 1 3

1 7 2 6 0 9 3 6 0 9 3 6 3 5 0 12 3 5 0 12 3 5 0 12

F F F F F� � � ��

� � � � � � �� ! ! !� � � � � ��

1 4

3 312 229 1 2 1 2

3 3 3 3

1 2 1 0 1 2 1 0 1 02 1 11 3

0 9 3 6 0 1 0 1 0 11 3 12 0 11 3 12 0 11 3 12

F F F FF� � � � � ��

� � � � �� ! !!� � � � � ��

1 4 1 4 1 4

3 3 3 3 3 33 1 13 2 3 13 3 321 2 1 2

3 3 3 3

2 143 3

1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 1 7 0 0 1 7

F F F FF� � � � � ��

� � � � �� ! !!� � � � � ��

1 0 0 1 1 0 0 1 10 1 0 3 0 1 0 3 30 0 1 7 0 0 1 7 7


� � � � � � ��



Ejercicios de Práctica Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tanto el Método de Cramer como los Métodos de Gauss y Gauss-Jordan.

44)

2 04 3 2 22 3 0

x y zx y zx y z

� � �� R/

12

8

21

xyz

� � ��

45)

3 2 112

3 3 2 3

y xz x y

x z y

� � �� R/

28130

xyz

� � ��

46)

2 132 8

3 13

a b ca ba b c

� � �� R/

9234

abc

� � ��

47)

2 3 4 43 2 6 75 7 8 9

x y zx y zx y z

� � �� R/

1432

1

xyz

� ��

48)

2 02 12 3 2

x y zx zx y z

� � �� R/

115

3

xyz

� � ��

49)

62 7 33 7 8 57 2 3 7

x y z wx y zx y z wx y z w

� � � �� R/

1148

59120

1330

45780

240xyz

w

� � ��

50)

2 22 1

2 2 3 11

x y z wx y z

x y wx y

� � � �� R/

73

43

13

6

1

xy

zw

� � ��

51)

2 3 4 12 2 1

03 2 3

x y zx z w

w y zx y z w

� � � �� R/

935

23

xyz

w

� ��

52)

2 62

2 52 3

x y zx y z w

x y z wy z w

� � �� R/

212112

xy

zw

� ��

53)

4 3 4 08 3 10

22 2

x y z wx y

y zx w y

� � � �� R/

12

12

243

xyz

w

� � ��

54)

2 2 23 2 52 5 3 4

x y zx y zx y z

� � �� R/

55211

xy

z

� � ��

55)

2 2 23 2 5

4 6 0

x y zx y z

x y z

� � �� R/

18211

xy

z

� � ��

56)

2 5 3 32 4 23 9

2

x z yy w zy x z

x w y

� � �� R/

362324

xyzw

� � ��

57)

3 7 9 44 4 7

2 3 02 4 6 6

w x y zw x y z

w y zw x y z

� � � �� R/

16

1071

xyzw

� � ��



1.5 Matriz inversa Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Matriz inversa A-1: Se dice que una matriz B es inversa de otra matriz A si se cumple que A·B=I, es decir, que el producto de las 2 matrices da como resultado la matriz identidad. La inversa de una matriz se simboliza por A-1. Se puede calcular de 3 formas: � A partir de la definición � Por el método de reducción de Gauss � Por determinantes

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

� �11 11 12 12 13 13

121 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

· · ·1 donde: · · ·

det( )· · ·

TADJ ADJ

c M c M c MA M M c M c M c M

Ac M c M c M

�

� ��

Siguiendo el desarrollo que propone la ecuación anterior, se deberían seguir los siguientes pasos: 1. Calcular el determinante de la matriz, � �det A . 2. Formar la matriz adjunta, MADJ, donde cada elemento es el producto del cofactor por el menor de la

posición en estudio. Note que el tamaño de MADJ es el mismo que el tamaño de A. 3. Transponer la matriz MADJ, formando así la matriz (MADJ)T. 4. Multiplicar esta nueva matriz, la (MADJ)T, por el inverso del determinante, es decir 1/ � �det A .

Propiedades de la inversión de matrices � Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero:

� �det 0A " � La matriz inversa, si existe, es única � El producto de una matriz por su inversa, o viceversa, da como resultado la matriz identidad I:

1 1A A A A I� �� La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas, pero cambiando el orden:

� � 1 1 1A B B A� � �� Para una matriz dada, la inversa de su inversa da como resultado nuevamente la matriz original:

� � 11A A��

� Un escalar por una matriz, cuyo resultado se eleva a la -1, equivale a multiplicar el recíproco del escalar por la inversa de la matriz original:

� � 1 11k A Ak

� ��

� Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa:

� � � �1 1 TTA A� ��



INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2DO ORDEN

Ejemplo 1.14: Calcule la inversa de la matriz de 2x2 1 24 3

A��

� � ��

Se calcula el determinante de la matriz, para verificar que sea distinto de cero. De ser así, este dato se requiere más adelante en el cálculo de la inversa.

� � � � � � � �1 2det 1 3 4 2 det 11

4 3A A

��

Se calcula la matriz de menores de A y se multiplica por los cofactores:

11 11 12 12

21 21 22 22

· ·· ·

1·3 1·41· 2 1·1

ADJ

ADJ

c M c MM

c M c M

M

� ��

��

Se transpone la matriz calculada anteriormente:

� �3 4 3 22 1 4 1

TADJ ADJM M

��

Finalmente, se efectúa el cálculo de la matriz inversa según la fórmula:

� � � �3 2

1 1 11 11111 4 1

11 11

3 21 ·4 1det( )

TADJA M A

A� � � ��

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 3ER ORDEN EN ADELANTE

Ejemplo 1.15: Calcular la inversa de la matriz B: 3 5 32 4 23 1 9

B� ��

� �

� � � � � �

3 5 3 3 5 3 3 5det 2 4 2 2 4 2 2 4

3 1 9 3 1 9 3 1det 108 30 6 90 6 36 12det( ) 12

B

BB

� � � � ��

� � �

� � � � � � �

�

Primer requisito para calcular la inversa de B, es que su determinante sea distinto de cero. Se calcula con la Regla de Sarrus.



11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31

· · ·· · ·· · ·

4 2 2 4 2 4· (1) · ( 1) ·

1 9 3 9 3 15 3 3 3 3 5

· ( 1) · (1) · ( 1)1 9 3 9 3 1

5 3· (1)

4 2

ADJ

ADJ

c M c M c MM c M c M c M

c M c M c M

c M c M c M

M c M c M c M

c M

� ��

� � ��

��

� � � � � ��

��

� 32 32 33 33

3 3 3 5· ( 1) · (1)

2 2 2 4

34 12 1042 18 122 0 2

ADJ

c M c M

M

� ��

��

� ��

Se construye la matriz adjunta de B. Cada elemento de la matriz adjunta es el producto del cofactor por el menor de la posición del elemento. En la primera línea se muestra el planteamiento de M, en la segunda línea se muestra el planteamiento matemático, y finalmente en la tercera línea se muestran los resultados.

� �34 12 10 34 42 242 18 12 12 18 02 0 2 10 12 2

TADJ ADJM M

� � � � ��

Una vez obtenida M, se calcula su transpuesta.

� � � �17 7 1

6 2 61 11 3

2125 1

6 6

34 42 21 · 12 18 0 1 0

det( )10 12 2 1

TADJB M B

B� �

� � � � � ��

Aplicando el concepto de matriz inversa, se calcula la inversa de la matriz B.

Ejercicios de Práctica Calcule la matriz inversa de las siguientes matrices.

58) 2 11 1

A � ��

R/ 1 1 11 2

A� ��

59) 3 12 1

A��

� � �� R/ 1 1 1

2 3A� � �

� � ��

60) 2 1

Aa a� �

� � ��

R/ 111

21aA

a

��

61) 32

bA

b� �

� � ��

R/ 132

1 1b bA�

� ��

62) 5 25 4

A � ��

R/ 12 1

5 51 1

2 2A�

� ��

63) 3 7

4 5A

� ��

R/ 15 7

43 4334

43 43A�

� ��

64) 3 01

Aa

� ��

R/ 11 031 1

3A

a a

��



Ejercicios de Práctica Calcule la matriz inversa de las siguientes matrices.

65) 3 5 32 4 11 2 0

A��

� ��

R/ 1

2 6 71 3 3

0 1 2A�

��

66) 1 1 10 2 12 3 0

A��

� ��

R/ 1

3 3 12 2 14 5 2

A�

��

67) 2 3 43 2 65 7 8

A� ��

R/

13 527 7 7

1 27 2 127 7 7

31 13114 14 14

A�

�

��

68) 1 1 13 2 13 1 2

A� ��

R/

5 317 7 7

1 9 1 47 7 7

3 2 17 7 7

A�

��

69) 1 2 41 3 2

5 0 6A

��

R/

9 6 843 43 43

1 13 3243 43 43

15 5 186 43 86

A�

� ��

1.6 Sistemas de Ecuaciones: Método de Matriz Inversa El concepto de matriz inversa se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Aunque puede resultar laborioso hacer la inversa de una matriz, la utilidad del método se aprecia cuando hay que resolver varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes, ya que se usa una misma inversa. Ya se vio que un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, se expresa en forma matricial como:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x bA X B a a a x b

a a a x b

� � � � � ��


� � �31 32 33a31 32 3332 33��a a a x31 32 3332 33

Por lo tanto, si se quiere despejar la matriz de incógnitas X, se tendría:

� �1

12

3Esta operaciónes el cálculo dela inversa de A

1det( )

TADJ

bBX X A B M bA A

b

�

� � � �� Esta operación

� 2� det( )det( ��

) ADJdet(�b�� 3b33��b3

En otras palabras, la solución del sistema de ecuaciones dado, se obtiene al multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes, por la matriz de términos independientes:

1X A B��



Ejemplo 1.16: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 0

3 5 127 2 6

x y zx y

x y z

� � � ��

1


2 0 1 2 1 03 5 12 3 5 0 12 ,

7 2 6 1 7 2 6

x y z xx y y X A B

x y z z

�

� � � � ��

MatrizMatriz A

� � �771 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 2

Se reescribe el sistema en forma matricial, para identificar adecuadamente las matrices A, X y B

� �

� � � �

1 2 1 1 2 1 1 2det 3 5 0 3 5 0 3 5

1 7 2 1 7 2 1 7det( ) 10 0 21 5 0 12 6

A

A

� � ��

� � � � � � � � �

Primer requisito para calcular la inversa de A, es que su determinante sea distinto de cero.

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

5 0 3 0 3 5· (1) · ( 1) ·

7 2 1 2 1 72 1 3 3 1 1

· ( 1) · (1) · ( 1)7 2 1 0 2 72 5 1 1 1 2

· (1) · ( 1) · (1)1 0 3 0 3 5

10 6 163 3 95 3 11

ADJ

ADJ AD

c M c M c M

M c M c M c M

c M c M c M

M M

� ��

� ��

� � � � � ��

� ��

��

� �10 3 5

6 3 316 9 11

TJ

� ��

��

�

Se construye la matriz adjunta de A. Cada elemento de la matriz adjunta es el producto del cofactor por el menor de la posición del elemento. Una vez obtenida la matriz adjunta, se construye su transpuesta.

� � � �5 51

3 2 61 11 1 1

2 268 3 11

3 2 6

10 3 51 · 6 3 3 1

det( )16 9 11

TADJA M A

A� �

�

� � ��

Aplicando el concepto de matriz inversa, se calcula la inversa de la matriz A.

� � � � � ��

� � � � � �

5 5 5 51 13 2 6 3 2 6

1 1 1 1 12 2 2 2

8 3 8 311 113 2 6 3 2 6

0 0 12 61 12 1 0 12 6

6 0 12 6

1 13 3

7 7

X A B

x xX y y

z z

�

� ��

��



Ejercicios de Práctica Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el Método de Matriz Inversa.

70)

02 5 65 3

x y zx yy z

��

� � �� R/

5 6 517 17 17

1 2 1 217 17 1710 5 717 17 17

921 1217 17 17, ,

A

x y z

�

� � ��

71)

2 5

4 2 15

3 2 7

x y

x y z

x y z

� � �

� � �

� � � �

�� R/

8 1 211 11 11

1 5 2 411 11 11

914 111 11 11

1, 3, 2

A

x y z

�

�

� � ��

72)

2 3 4 4

3 2 6 7

5 7 8 9

x y z

x y z

x y z

� � �

� � �

� � �

�� R/

13 527 7 7

1 27 2 127 7 7

31 13114 14 14

3, 2, 1

A

x y z

�

� ��

73) 73

103

2

3 2

3 2

x y z

x y z

x y z

� � �

� � �

� � �

�� R/

5 317 7 7

1 9 1 47 7 73 2 17 7 7

1 23 3, 1,

A

x y z

�

� ��

Matemática Cap. 2: Funciones Universitaria Exponenciales y Logarítmicas


2. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

En este capítulo definiremos las funciones exponencial y logarítmica. Para ellos se estudian sus propiedades y se plantea la forma de resolver ecuaciones que involucran estas funciones. El concepto de “función” fue introducido por René Descartes, como una regla de correspondencia entre dos conjuntos de números. Es decir, establece una relación de modo que a cada número “x” del primer conjunto, le corresponde un número “y” del segundo conjunto Las funciones lineales, cuadráticas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función trascendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales:

Funciones algebraicas

Lineal

Funciones Trascendentales

Exponencial

Cuadrática Logarítmica

Racional Trigonométrica Las funciones trascendentales tienen aplicaciones en casi cualquier campo de la investigación humana. En química, física, biología, ingeniería, ayudan a explicar la manera en que se dan ciertos fenómenos en la naturaleza, así como a explicar el comportamiento de materiales. El crecimiento bacteriano, la desintegración radiactiva, la concentración de medicamentos en el flujo sanguíneo, la escala de Richter, leyes de Newton, el cálculo de interés compuesto en matemática financiera, todos estos temas requieren el uso de las funciones exponencial y logarítmica.

2.1 Funciones y ecuaciones exponenciales.

FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función exponencial tiene la forma:

( ) 01

donde: x

bf x b b

b

#�� $�� "�

Está compuesta de una base b y el exponente x. La función exponencial no está definida para bases negativas. Ejemplos:

( ) 2xf x � � �1

2( ) xf x � Note, de la figura anterior, que la función exponencial puede ser creciente o decreciente, y esto depende de la base b, según se indica a continuación:

� Cuando la base b > 1, entonces ( ) xf x b� es una función creciente. Ejemplo: ( ) 2xf x �

� Cuando la base 0< b < 1, entonces ( ) xf x b� es una función decreciente. Ejemplo: � �12( ) xf x �



La función exponencial de base e Al igual que %, otro número irracional muy utilizado es e ≈ 2.718281828. La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). El número e tiene gran importancia en las Matemáticas, siendo que no es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión:

1 11 , , lim 1es decirn n

ne

n n!�&

� � ��

Para un número real x, la ecuación ( ) xf x e� define a la función exponencial de base e, conociéndose

también como una función exponencial natural. La gráfica de ( ) xf x e� tendría la forma:

El dominio de ( ) xf x e� es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números

reales positivos. Como 2 < e < 3, la gráfica de ( ) xf x e� está entre las de ( ) 2xf x � y ( ) 3xf x � , como se ilustra a continuación:

ECUACIONES EXPONENCIALES DE IGUAL BASE Siempre que sea posible, para resolver ecuaciones exponenciales es conveniente expresar los miembros de la ecuación como potencias de la misma base. Esto sugiere que el procedimiento de solución sería el siguiente:

1. Determinar la base común que tienen los términos de la ecuación. 2. Partiendo de las propiedades de las potencias, pasar las bases de los términos de la ecuación a la

base común definida en el paso anterior. 3. Dentro de lo posible, reducir la ecuación a únicamente 2 términos, uno a cada lado del signo igual.

Esto permite tener claridad que si las bases son igual, para que se cumpla la igualdad, entonces los exponentes deben ser iguales también.

4. Del razonamiento anterior, una vez igualadas las bases, se puede construir una “nueva ecuación” que nace de igualar los exponentes.

5. Se soluciona esta nueva ecuación, con lo que se encuentra también la solución de la ecuación original.

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

( ) 3

( )( ) 2

x

x

x

f x

f x ef x

�

�

�



Debido a esta ventaja matemática de trabajar con propiedades de las potencias, antes de resolver ecuaciones de tipo exponencial, es necesario recordar algunas de estas propiedades. También se indican algunas propiedades de los radicales, en combinación con los exponenciales:

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

m n m na a a �� 5 2 5 2 73 3 3 3��

n n

n

a ab b ��

3 3

3

2 2 85 1255 � ��

mm n

n

a aa

��

55 2 3

2

4 4 44

�� 1n

naa

� � 3

3

1 1282

� � �

( )n n na b a b� � � 3 3 3(2 5) 2 5� � �

nn

n

a ab b�

33

3

8 8 227 327

� �

( )m n m na a �� 2 5 2 5 10(4 ) 4 4�� n n na b a b� � �

33 32 7 2 7� � � mn n ma a� � �

12 1 33 32 32 27 7 7 7�� m n m na a��

3 5 3 5 152 2 2��

Otra propiedad muy útil en la solución de ecuaciones exponenciales es 0 1a �

Ejemplo 2.1: Resuelva la ecuación: 13 81x� �

Note la configuración exponencial de la ecuación.

1 43 3x� � La base común de los términos es 3. Usando propiedades exponenciales, se pasan todos los elementos a esa base.

1 4

4 1 3

x

x x

� �

� � � �

Para que se cumpla la igualdad, si las bases son iguales, los exponentes también. Por lo tanto igualamos exponentes. La nueva expresión es usualmente una ecuación sencilla de resolver, en este caso una ecuación lineal.

1

3 1

4

3 813 813 81 81 81

x�

�

�

�

� � �

Se comprueba el resultado.

/ 3R x � Respuesta final



Ejemplo 2.2: Resuelva la ecuación:

� �2 2

3

1x xe ee

� � � Note la configuración exponencial de la ecuación.

� �2

2

2 3

2 3

x x

x x

e e e

e e

� �

� �

� �

�

La base común de los términos es e. Usando propiedades exponenciales, se simplifica la expresión hasta que quede únicamente un elemento a ambos lados del “=”. En este caso se inició quitando los elementos del denominador.

2

12

2

2 3

32 3 0

1

x x

xx x

x

� � �

� ��

��

Al haber igualado las bases, para que se cumpla la igualdad, podemos igualar los exponentes también. Se resuelve la nueva expresión.

� �

� �

� �

� �

2 2 23 3 1 13 3

9 6 1 23 3

9 9 1 1

3 : 1:1 1

1 1

Para Para x x

e e e ee e

e e e ee e

e e e e

� � �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

� �

� �

Se comprueban ambos resultados.

3/

1

xR

x

� �

�

��

Respuesta final

Ejemplo 2.3: Resuelva la ecuación: 2

4 28 1

1 12 2 022

x xx

�

�

� � � ��

Note la configuración exponencial de la ecuación.

� �28 1 4 2 1

16 2 4 2 1

20 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 22 2

x x x

x x x

x x

� �

� �

� �

� � �

� � ��

La base común de los términos es 2. Usando propiedades exponenciales, se simplifica la expresión hasta que quede únicamente un elemento a ambos lados del “=”. En este caso se inició quitando los elementos del denominador.

118

20 2 2 1

20 2 1 2

18 1

x x

x x

x x�

� � �

� � � �

� �

Al haber igualado las bases, para que se cumpla la igualdad, podemos igualar los exponentes también. Se resuelve la nueva expresión.

118/R x �

Se comprueba el resultado y se obtiene la respuesta final (se omite el detalle de la comprobación).



Ejercicios de Práctica Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 3 27x � R/ 3x � 2) 2 52 128x� � R/ 6x �

3) 2 23 81x x� � � R/ ' (2,3x# �

4) 2 2 152 1x x� � � R/ ' (3,5x# �

5) ( 2 1) 1

55x x� � � � R/ ' (12 ,1x# �

6) � � � �2 22 6 2 8125 625 0x x x x� � �� R/ ' (2.216, 7.216x# �

7) � �2 2 3(3 ) 3 3xx � � R/ 1x �

8) � � � �32 112 8 2x x� �� R/ 1

2x � �

9) � � � �23

3( 2) 2 1128 8 2x x� � �� R/ 6x � �

10) 212 5 23 9 0

xx

�� R/ 27x �

11) � ��

� ��

1 21 2 7

x xx xe e e� �� R/ ' (6

5 , 3x# � �



2.2 Funciones y ecuaciones logarítmicas. Los logaritmos fueron desarrollados por el matemático escocés John Neper y publicados en 1614. Neper buscaba una forma de realizar multiplicaciones y divisiones mediante sumas y restas, mucho más fáciles de realizar para la época. Así creó un grupo de números “artificiales” que sustituían a cada número “real”. En otras palabras, a cada número “real” le corresponde un número “artificial” al que llamó logaritmo. Los logaritmos creados por Neper se basan en el número irracional e ≈ 2.718281828. Poco después, en 1617, el matemático Henry Briggs adaptó los logaritmos de Neper (conocidos también como neperianos) a base 10, que resultan más convenientes. En base 10, el logaritmo de 1 es 0, el logaritmo de 10 es 1, el logaritmo de 100 es 2 y así sucesivamente. Pero lo más importante es la propiedad que permite calcular productos simplemente mediante la suma de los logaritmos de los factores:

� � � � � �log log logb b ba c a c� � �

FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función logarítmica se denota de la siguiente forma:

� �logbase

donde:argumento

b xbx��

� ��

y se lee como “logaritmo de x con base b”. Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10:

10log( ) log ( )x x� (es la tecla log en las calculadoras) Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e:

ln( ) log ( )ex x� (es la tecla ln en las calculadoras)

Note que las funciones exponencial ( ) xf x b� y logarítmicas ( ) log( )f x x� son inversas, para b >0 y b "1. Las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas de manera que:

log ( ) yby x b x� ) �

Así por ejemplo:

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

2( ) log ( )f x x� ( ) 2xf x �

El dominio de ( ) 2xf x � es el conjunto de los números reales, mientras que el dominio de 2( ) log ( )f x x� es el conjunto de los números reales mayores que cero



Para resolver ecuaciones exponenciales de diferente base y ecuaciones logarítmicas se deben manejar correctamente las propiedades de los logaritmos

Propiedad Propiedad log ( ) log ( ) log ( )b b bx y x y� � � � � � �log 1 0 ln 1 0b � � �

log log ( ) log ( )b b bx x yy

� ��

� � � �log 1 ln 1b b e� � �

� �log log ( )nb bx n x� � � � � �log lnn n

b b n e n� � �

� ��

logloglogb

xxb

� � �logb xa x�

Uso de la calculadora para el cálculo de logaritmos y exponenciales. Con las calculadoras se pueden calcular directamente los logaritmos, usando las teclas indicadas en la siguiente figura:

Ejemplos:

� � � ��

0.30103 0.69315

0.30103 0.69315

log 2 0.30103 10 2 ln 2 0.69315 2log 0.5 0.30103 10 0.5 ln 0.5 0.69315 0.5

ee� �

� ) � � ) �� ) � � � ) �

Cuando se necesita calcular un logaritmo con base diferente a 10 o a e se requiere usar la propiedad de cambio de base:

� ��

logloglogb

xxb

�

Ejemplos:

7 3log 2 0.301030 log10 1log 2 0.35621 log 10 2.09590log7 0.845098 log3 0.477121

� � � � � �

Ejercicios de Práctica 12) � �

5log 3y � R/ 0.68261y �

13) � �1.8log 0.5y � R/ 1.17925y � �

14) � �185

2logy � R/ 2.26941y � �

15) � �log 3y e%� � R/ 1.83328y �

16) � �3ln 3 ln

, 3 si x

x

xy x

e� �

� � R/ 0.05470y �

17) � �/2 2ln , 2

ln si

x

x

e xy xx e

� ��

R/ 0.46625y �



CASO ESPECIAL: ECUACIÓN EXPONENCIAL CON DIFERENTE BASE En el caso de ecuaciones donde las bases de las expresiones son diferentes, se aplican logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación. Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.4: Resuelva la ecuación: 2 3 25 3x x� ��

Note que las bases de las expresiones exponenciales no son iguales.

� � � �2 3 22 3 2ln5 ln3 ln 5 ln 3x xx x � �� Aplicar función “ln( )” a ambos lados de la ecuación.

� � � � � �( 2) ln5 3 2 ln3ln5 2 ln5 3 ln3 2 ln3

x xx x� � � � ��

Se resuelve la ecuación aplicando ahora propiedades logarítmicas, con el objetivo de transformar la ecuación en otra que facilite el despeje de “x”.

� �ln 5 3 ln 3 2 ln 3 2 ln 5ln 5 3 ln 3 2 ln 3 2 ln 52 ln 3 2 ln 5 2.197 3.219 3.212

ln 5 3 ln 3 1.609 3.296

x xx

x x

� � � � � � �

� � � � � � ��

� � � * ��

Se reacomoda la ecuación para despejar “x”.

/ 3.212R x * �


Ejemplo 2.5: Resuelva la ecuación: 21 15

40x� �

Note que las bases de las expresiones exponenciales no son iguales.

� �22 11 1 1ln5 ln ln 5 ln

40 40xx ��

�

Aplicar función “ln( )” a ambos lados de la ecuación.

� �

� �

21

2

2

2 2

1ln 5 ln40

(1 ) ln 5 ln1 ln 40ln 5 ln 5 0 ln 40

ln 5 ln 40ln 5 ln 40 ln 5ln 5

x

xx

x x

� � � ��

� � � �

� � � ��

� � � � �

Se resuelve la ecuación aplicando ahora propiedades logarítmicas, con el objetivo de transformar la ecuación en otra que facilite el despeje de “x”.

ln5 ln 40 1.81440ln5

x x�� * + Se reacomoda la ecuación para despejar

“x”.

/ 1.81440R x * +




Ejemplo 2.6: Resuelva la ecuación: 1 2 11 3 9 10

9x x

x� ��

Caso especial de ecuaciones con más de un término que se suma o resta.

2 1 2 2(1 )3 3 3 10x x x� � �� Las bases son múltiplo de 3, por lo tanto se reescribe la ecuación.

2 1 2 2(1 )

2 1 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 103 3 3 103 3 3 3 3 10

x x x

x x x

x x x

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � � � �

Por propiedades exponenciales se logra obtener una expresión exponencial común en todos los sumandos de la ecuación.

� �2 2

2

3 1 3 3 1010313

x

x

�

�

� � � �

�

Se calcule el factor común, para luego resolver la ecuación. Esta última resultó ser una ecuación exponencial de diferente base.

� �

2 10ln 3 ln13

102 ln 3 ln13

0.2622 0.1191.099

x

x

x x

� � � ��

� � � � ��

��

Se inicia aplicando la función de logaritmo natural, para luego aprovechando las propiedades logarítmicas, calcule el valor de x.

/ 0.119R x *


Ejemplo 2.7: Resuelva la ecuación: 8 5 212 0x x xe e e� � ��

Caso especial de ecuaciones con más de un término que se suma o resta.

22 6 3

6 3

0( 12) 0

12 0a) b)

xx x x

x x

ee e e

e e

��

� �

� ��

� � ��

Se factoriza la ecuación con el término adecuado. Note que queda una expresión tipo 0a b� � , de la cual se saca provecho matemático.

2 0 No tiene solución!xe� � �Resolviendo el caso a), esta ecuación no tiene solución, ya que un término exponencial no puede dar 0.

6 3

3

312

32

12 0,

4 412 0

3 3

Si se forma una cuadrática:

x x

x

x

x

e ee z

z ez z

z e

� �

�

�

�

� � �

�

� � � � ��

Resolviendo el caso b), por medio de una adecuada sustitución la ecuación se resuelve como una cuadrática. De los dos resultados obtenidos, el 1 4z � � no tiene solución, ya que al igualarlo con el término exponencial, sabemos que estos no pueden ser cero o negativos.



3

3

3ln( ) ln 3

3 ln( ) ln 3ln 33 ln 3 0.366

3

x

x

eex e

x x

�

�

�

��

� � � � � ��

Resolviendo para 2 3z � , se trabaja como una ecuación exponencial con bases distintas. Se inicia aplicando la función de logaritmo natural, para luego aprovechando las propiedades logarítmicas, calcule el valor de x.

/ 0.366R x * �


Ejercicios de Práctica

18) 3 21x � R/ 2.77x �

19) 2

3 5x x� R/ ln 50,ln 3

x � ,#� -� .

20) 2

3 7x � R/ ln 7ln 3

x � +

21) 2 3 25 3 0x x� �� R/ 3.21x � �

22) 2 1 25 6 0x x� �� R/ 3.64x � �

23) 1 4 12 3 0x x� �� R/ 0.484x � �

24) 5 3 2 12 3x x� �� R/ � ��

38

329

lnln

x �

25) 2 1 210 20x x� �� R/ 5.15x � �

26) 4 163 2x x� �� R/ 38.19x � �

27) � �25 1 111 13x x� �� R/ 0.398x �

28) 1 3

21 19 2 2 0

3 4

x xx x

�

��

R/ 0.215x �

29) 1 3

21 19 8 2 0

3 4

x xx x

�

��

R/ 1.181x �

30) � �1 2

6 332

7

xx

��

� � ��

R/ 0.50x �

31) � �13

121 3

1

6 12 2 0

236

xx�

�� R/ 0.140x �

32) � �

� �

� �

� �

� � � �

4 3 22 2

7 5 2 32 4

1 2 7 116

2 7 492

x xx

x x xx

� ��

� � � � �� R/ 0.158x � �

33) 2 13 9 4x x�� R/ 0.417x � �



34) � � � �1 2 14 2 4 12x xx � �� R/ 0.389x � �

35) � � � �1 4 2 1(1 2 )4 2 4 20x xx � � �� R/ 14x � �

36) 1 2 11 3 9 109

x xx

� �� R/ 0.119x �

37) 1 2 117 49 10 0

49x x

x

� �� R/ 0.447x �

38) 1 1 4 11 2 23 6630 65619 81 x xx

x � �� R/ 0x �

39) 8 5 235 0x x xe e e� � �� R/ 0.563x � �

40) 8 43 10 0x xe e� �� R/ 0.402x � �

41) 6 33 28 0x xe e� � � � R/ ln 73

x �

42) 5 125 5 30x x�� R/ ' (1, 2x#

43) 5 5 6x x�� R/ 1.130x �

44) 22 18 (2 ) 32x x� � � � R/ ' (1, 4x#

45) 23 (3 ) 28 (3 ) 9 0x x� � � � � R/ ' (1, 2x# �

46) 22 2 1 1x x� � � R/ 1x �

47) 24 8 4 3 0x x� � � � R/ 1.532x �

48) 4 3 4 8x x�� R/ 1.532x �

49) 23 3 9 3 28 0x x� �� R/ 1.447x � �

50) 2 6 2 6 0x x�� R/ 2.781x �

51) 24 3 0x xe e� � � � R/ 0.288x � �

52) 2 ln 4 3x xe e� � � R/ 0.288x � �

53) 2 ln5 6x xe e� � � R/ 0.182x �

54) 1 2

71 2 0x xx xe e e� �

� � � �� R/ ' (653,x# � �

55) � �2 22 2 2 0x xx x e x e� �� R/ ' (1,0,1x# �



DESARROLLO DE LOGARITMOS EN VARIOS MÁS SIMPLES Por conveniencia para desarrollar los cálculos, muchas veces en conveniente transformar un logaritmo, cuya expresión luce complicada, en varios logaritmos mucho más simples. Esto se logra aplicando propiedades logarítmicas, tal como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.8: Desarrolle el logaritmo mostrado en varios más simples: 3

3 4log

3

x y

z

�

�

� �13

3

4log

3

x y

z

�

� Las formas radicales se pasan a la forma exponencial

1 43 3

3

log3

x y

z

�

�

Se aplica la propiedad de una potencia elevada a un exponente.

� � � �1 43 33log log 3x y z� � �

Se aplica la propiedad de logaritmo de una división que equivale a una resta.

� � � � � � � �1 43 33log log log log3x y z� ��

Se aplica la propiedad de logaritmo de una multiplicación, que equivale a una suma.

� � � � � � � �1 43 3log log log log3 3x y z� � � � � �

Finalmente, se elimina el paréntesis cuadrado y se bajan los exponentes.

Ejercicios de Práctica Desarrollo los siguientes logaritmos en varios más simples

56) 3

log5

x y

z

� ��

R/ 1 13 2log log log5 logx y z� � � � �

57) � �23

5

2log

5 3

x x

x

� �

�

� ��

R/ 35 5 5log 2 log ( 2) log (5 3)x x x� � � � �

58) 32

5 6

lnlog

x x

%

� � ��

R/ 15 5 526 log 3 log (ln ) logx x %� � � � �

59) � �

2 2

3 2

3lncos

xe xx

� ��

R/ � �2 212ln ln( 3) 3 ln cosx x x� � � � �

60) � ��

32

433

1ln

1

x

x

��

R/ � �2 33 42 3ln( 1) ln 1x x� � � � �



SIMPLIFICACIÓN DE VARIOS LOGARITMOS EN UNO MÁS COMPLEJO Contrario al caso anterior, en esta sección se tratará la forma de agrupar varios logaritmos de la misma base, en un solo logaritmo de expresión más compleja. Al igual que el caso anterior, esto se logra aplicando propiedades logarítmicas, tal como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.9: Simplifique la expresión mostrada en un único logaritmo: 123 log 2 log logx y z� � � � �

123 2log log logx y z� �

Lo primero que se nota es que los logaritmos tengan la misma base. Luego los multiplicadores de los logaritmos se pasan a exponentes de los logaritmos.

3 2log log logx y z� � Los exponentes fraccionarios se reescriben como expresiones radicales.

� �3 2log logx y z� � La suma de logaritmos se reescribe como un solo logaritmo, donde sus argumentos se multiplican.

3 2

log x yz

��

Finalmente, la resta de logaritmos se reescribe como un solo logaritmo con argumentos que se dividen.

Ejercicios de Práctica Reduzca las siguientes expresiones a un único logaritmo

61) 132 log log logx x xa b c� � � � R/

2 3

logxa b

c ��

62) 52 13 3 3log log logx x xa b c� � � � � R/

23

5logxa

b c�

63) � �2 log 3 log 1 log2x x� � � � � R/ � �

2

3log2 1

xx

� ��

64) � � � � 24 122 ln tan 3 ln 2 lnx xx e� � � � � R/ 2

6

3 2

tanln2

xx

x

e

� ��

��

65) 3 3log ( 2) log ( 2)x x� � � R/ 32log2

xx�

� ��

66) 3 ln 2 ln 4 lnx y z� � � � � R/ 3 2

4ln x yz

��

67) � �2 ln ln( 1) ln( 1)x x x� � � � � R/ 2

2ln1

xx

� ��



ECUACIONES LOGARÍTMICAS Como su nombre lo indica, son ecuaciones en dónde la incógnita se encuentra dentro de una expresión logarítmica, por ejemplo:

log( 6) 1 log( 3)x x� � � � Para resolver una ecuación logarítmica, usualmente es necesario transformarla en una ecuación exponencial, utilizando aquella relación:

log ( ) yby x b x� ) �

Así por ejemplo:

� � � �1 12 2

2 21log 8 8 8 642

Misma ecuación ResuladoSolucionandoEcuación original transformada a su finalecuaciónde forma logarítmica forma exponencial exponencial

x x x x� � � � � � � 64� � � �� 1� 28� � � �2� 28� � � �2� 88� � � �2�log 82

Ecuación original

x

Esto sugiere que el procedimiento de solución sería el siguiente: 1. Pasar todos los términos con logaritmo, y que contengan la variable, a un lado de la ecuación. No

es necesario incluir los términos logarítmicos de números. 2. Reducir estos logaritmos a uno solo, aplicando propiedades. 3. Transformar este único logaritmo a su forma exponencial, creando así una nueva ecuación, ahora de

tipo exponencial. 4. Resolver la nueva ecuación exponencial, con las técnicas respectivas. 5. Comprobar los resultados

Ejemplo 2.10: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: 1log 29x � ��

2 19

x� � Al haber un solo logaritmo, ya la “reducción” del paso 1 está hecha. El siguiente paso es transformar la ecuación logarítmica a su forma exponencial.

2

12

2

1 19

39 9

3

xx

x xx

�

� �� + � � ��

Se transforma la ecuación, quedando en una ecuación de grado 2, la cual al resolverla arroja dos posibles resultados. Ambos hay que comprobarlos para ver si los dos son correctos o alguno de los dos debe descartarse.

� � � �1 13 39 9

2 19

1 19 9

3 : 3 :log 2 log 2

3La base del logaritmono puede ser negativa:

no tiene solución.

Para Para x x

�

�

� � �

� � � �

�

�

� �3 � 9 ��log � �1 �3 � ��ase del logaritmo

/ 3R x� �

Se comprueba el resultado y se obtiene la respuesta final.



Ejemplo 2.11: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica:

271log3

x �

13273

xx

��

Al haber un solo logaritmo, ya la “reducción” del paso 1 está hecha. El siguiente paso es transformar la ecuación logarítmica a su forma exponencial. En este caso se resuelve fácilmente.

� ��

127 3

13

13 /

log 3log(27)

3

log 3

0.33333 R x� �

�

�

�


Ejemplo 2.12: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: � �3log 4 7 2x� �

23 4 79 7 4

16 44

xx

x x

� ��

� � �

Al haber un solo logaritmo, ya la “reducción” del paso 1 está hecha. El siguiente paso es transformar la ecuación logarítmica a su forma exponencial. En este caso se resuelve fácilmente.

� ��

� �

3

3

3

/ 4

log 4 4 7 2

log 9 22 log 3 2

2 2 R x� �

� � �

�

� ��


Ejemplo 2.13: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: 3log 2 log3x �

� �3 log 2 log33 log 2 log3

log3 0.5283 log 2

xx

x x

� �

� � �

� � ��

Al haber un solo logaritmo con la variable, no es indispensable agrupar TODOS los logaritmos. Se trabaja con el lado izquierdo de la expresión, bajando el exponente. Este simple paso coloca la variable en posición de fácil despeje.

� �

� �

3 0.528

1.584

/

log 2 log 3

log 2 log 3

0.477 0.477 0.528R x

�

�

�

�

� �




Ejemplo 2.14: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: 3log log32 log

2xx � � � �

�

3

3

2

3

log log log322

log log32

2log log32

x

xx

x

xx

� ��

��

��

�

Se unen los logaritmos con variable en un solo lado de la ecuación, para luego reducirlo a una sola expresión logarítmica. Note que no simplificamos la expresión algebraica, para evitar “perder” posibles soluciones a la ecuación por efecto de la simplificación.

� �

3

3

3

1

222

3

232

2 32

2 32 0

2 0 0

2 16 0 416 0

4

xxx x

x x

x x

x x xx

x

��

�

� �

� � �

� � � � � ��

�

��

��

Al tener un único logaritmo a ambos lados de la ecuación, podemos igualar sus “argumentos”, ya que si:

log( ) log( )a b a b� � � . Reescribimos entonces la expresión y resolvemos la ecuación grado 3 que se tiene. Para ello se factoriza la ecuación y se encuentran las diversas soluciones.

� � � �

� �

1

2

3

0 : log 0 log 32 log 0

4 : log 64 log 32 log 32

4 : log 64 log 32 log 2

64log log 232log 2 log 2

NO HAY SOLUCIÓN

NO HAY SOLUCIÓN

Para

Para

Para

x

x

x

� � �

� � � � � �

� � �

�

�

,��-��.

log 0 log 32 log 0log 0 log 32log 32

� � � �log 64 log 32 log 32� � �64 log 32 log64 log 32 lo� � ��

��

/ 4R x� �

Se comprueba cada una de las posibles soluciones y se obtiene al final la solución definitiva.

Ejemplo 2.15: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: � � � �4 4log 3 1 log 2x x� � � � �

� � � ��

� ��

4 4

4

1

log 3 log 2 1

log 3 2 1

4 3 2

x x

x x

x x

� � � �

� � ��

Se unen los logaritmos con variable en un solo lado de la ecuación, para luego reducirlo a una sola expresión logarítmica. La nueva ecuación logarítmica se transforma a su forma exponencial.

2

12

2

4 62

2 01

x xx

x xx

� � � �

� ��

Se desarrolla la ecuación exponencial, resultando en una ecuación cuadrática la cual se resuelva, arrojando dos posibles soluciones.



� � � �

� � � �

1 4 4

2 4 4

2 : log 1 1 log 4

0 1 1

1 1

1: log 4 1 log 1

1 1 0

0 0

Para

Para

x

x

� � � � �

� � �

� � �

� � � �

� �

�

,��-��.

' (/ 2,1R x� # �

Se comprueba cada una de las posibles soluciones y se obtiene al final la solución definitiva. En este caso las dos soluciones preliminares cumplen.

Ejemplo 2.16: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: 2 2ln( 4) 2 ln( 4) ln( 8 16) ln( 4) ln( ) 0x x x x x x� � � � � � � � � � �

2 2 2

2

2

ln( 4) ln( 4) ln( 4) ln( 4) ln( ) 0ln( 4) ln( 4) ln( ) 0

( 4)ln 0( 4)

x x x x xx x x

x xx

� � � � � � � � �

� � � � �

��

�

Se unen los logaritmos con variable en un solo lado de la ecuación, para luego reducirlo a una sola expresión logarítmica.

� ��

20

2

3 2

3 2

12

2

3

( 4)( 4)( 4)1( 4)

4 8 160 8 15 4

40 4 4 1 0.236

4.236

x xex

x xx

x x x xx x x

xx x x x

x

��

�

��

�

� � � �

� � � �

��

La nueva ecuación logarítmica se transforma a su forma exponencial. Se desarrolla la ecuación exponencial, resultando en una ecuación grado 3. Para solucionarla se puede factorizar y encontrar luego las tres posibles soluciones.

� � � �

1

2

3

4 : ln( 4) ln 0

0.236 : ln( 4) ln( 4.236)

ln ln 0.236

4.236 : ln1 0

0 0

SE PRODUCE INDEFINICIÓNEN ESTE TÉRMINO

SE PRODUCE INDEFINICIÓNEN ESTOS 2 TÉRMINOS

Para

Para

Para

x x

x x

x

x

� � �

� � � � �

� �

� �

�

,��-��.

ln( 4) ln 0ln( 4)4)ln(

� � � �ln ln 0.236� � �lnln � �-��

�--

/ 4.236R x� �

Se comprueba cada una de las posibles soluciones, sustituyendo en la ecuación original, y se obtiene al final la solución definitiva. En este caso solo una de las 3 soluciones cumple. Nota: no se indica la comprobación completa, únicamente se indica en qué parte de la ecuación original se produce la indefinición de los valores x preliminares.



Ejemplo 2.17: Resuelva la siguiente ecuación logarítmica:

� �2 1719 9 2

3 1ln 9 ln ln 2.203 6 9

xxx x x� � � � � � ��

� ��

� �

� � � �

17 171

9 9 9 2

17 171 1

9 9 9 9

17 171 1

9 9 9 9

16

9

1ln ( 3)( 3) ln( 3) ln( 3) ln 2.20

3

ln( 3) ln( 3) ln( 3) ln( 3) 2 ln 3 2.20

2 ln( 3) ln( 3) 2.20

0 ln( 3) 2.20

ln( 3) 1.238

x x x xx

x x x x x

x x

x

x

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � �

� � �

� ��

Por la variedad de expresiones, parece más conveniente factorizar. Esto permite identificar expresiones semejantes que se suman, hasta finalizar la reagrupación de logaritmos para obtener finalmente un solo logaritmo.

1.238

1.238

33

3.290

e xe x

x

�

�

� �

� ��

La nueva ecuación logarítmica se transforma a su forma exponencial. Se resuelve esta ecuación.

� � � � � �1

1719 9

3.290 :

ln ln 0.0461 ln 0.0253 2.20

0.0668 ( 5.812) ( 3.677) 2.20

2.20 2.20

1.824Para x �

� � � � �

� � � � �

�

,��-��.

/ 3.290R x� �

Se comprueba y se obtiene al final la solución definitiva.

Ejercicios de Práctica

68) � �4log 5 3x� � R/ 59x �

69) � �� 2 5log log ln 1 0x� �� R/ 5 1x e� �

70) � �� 2 2ln log log 4 0x � �� R/ 0x �

71) � �� 3log 2 1 19 5 6x x� � �� R/ ' (18138 ,4x# �

72) � � � �26 17log 9 1x x� � � R/ 4x �

73) � � � �log 3 1 log 2 3 1 log5x x� � � � � R/ 7x �

74) � � � �log 4 5 log 1 2x x� � � � R/ 5x �

75) � � � �log 5 log 4 1 0x x� � � � � R/ 1.298x � �

76) � � � �log 2 1 log 3 0x x� � � � R/ 2x �

77) � � � �2log 16 2 log 3 4x x� � � � R/ 0x �

78) � � � �2 log 1 log 1 2x x� � � � R/ 0.488x �



79) � � � �3 3log 81 2 log 3 3xx � � � � R/ 3

2x �

80) � �5 5 5log 2 3 log 11 log 3x� � � R/ 15x �

81) � � � �6 6log 3 1 log 2x x� � � � R/ 3x �

82) � � � �1 13 3

2 2log 1 logx x x x� � � � � R/ 2x �

83) � �2 2log log 2 3x x� � � R/ 2x �

84) � �2 212 log 2 log 4

2 4x

x � � � ��

R/ 30x �

85) 19 92log 10 5 log 1x x� � � � R/ 4x �

86) � � � � � �2log 4 log 2 log 2 2x x x� � � � � � R/ 2.02x �

87) � � � � � �log 3 log 1 log 4x x x� � � � R/ 3x �

88) � � � �12log 3 log 2 6 1 log100x x� � � � � � R/ 151

50x �

89) � � � �ln 6 ln10 ln 1 ln 2x x� � � � � R/ 114x �

90) � � � � � �33 ln ln ln 1 0x x x� � � � � R/ 2x �

91) � � � � � � � � � �2 3 4 5ln ln ln ln ln 16 0x x x x� � � � � R/ 2x �

92) � �21 116 62

1 4ln ln 16 ln 1.1048 16

xxxx x� � � � � � ��

R/ 4.517x �

93) � �1/2212 2

1 3ln ln 9 ln 0.69336 9

xxxx x� � � � � ��

R/ 5x �

94) � �2 1719 92

1 5ln ln 25 ln 1.10510 25

xxxx x� � � � � � ��

R/ 5.54x �

95) � �21 1 12 2 2ln ln 1 ln 0.693

1 1x xx

x x � � � � � � ��

R/ 3x �

96) � �2

21 1 12 2 22

( 1)ln ln 1 ln 0.69312 1

x x x xxxx x

� � � � � � � � � �� R/ 5x �

97) � �2ln ln 20x x� � R/ ' (4 5,x e e�#

98) 34 4log logx x� R/ ' (1

4 ,1,4x#

99) � �2

4 2 7 xe� � R/ ln 2x � +

100) � � � �� 132 log 2 2 0xe x� � � � � R/ 11x �

101) � � � �� 222 log 3 2 2 27 9 0x x xe x� � � � � � R/ 2x �



102) � � � �� 2 log 3 2 2 2 4 0x x xxe x� � � � � R/ 2x �

103) � �� 15 log 3 2 0x xx �� R/ ' (100000,1.710x#

Ejercicios adicionales al capítulo

104) � � � � � �3 1 35 9 3 3 21 0x x x xe � �� R/ ' (0.870,9,2.771x#

105) 5 83 9x x� � R/ 83x �

106) 2 325 5x x� R/ ' (3

20,x#

107) � �� 2 2 2 1640.5 2x x� � R/ ' (2,4x# �

108) � �� 214 3

2562

x

x

�

�� R/ 3x �

109)

6 5

3 5 28 0.1254

x

x

�

� � � ��

� R/ 1.236x �

110) 2 3 24 0.125

8

x

x

�

� � � ��

R/ 6x �

111)

113 4 94 3 16

xx

� ��

R/ ' (0.30,3.30x# �

112) � � 3 418 4 2

xx x�� R/ 1x �

113) � � 3 4127 9 3

xx x�� R/ ' (0.634,2.366x#

114) 13 3 72x x� � � R/ 3.262x �

115) 5 5 17 7 6x x�� R/ 0.170x �

116) 27 5 5 450 0x x�� R/ 2x �

117) 13 9 108 0x x� � � � R/ 2x �

118) 3 3 2 2 14 2 2 4 2 1 0x x x� � �� R/ ' (3, 1x# � �

119) 3 38 9x x� �� R/ 3x �

120) 4 3 2

2 27 5 2 32 4

1 2 7 1162 7 492

x xx

x x xx

� ��

� � � � �� R/ 3x �

121) � � � �� 2

2 23 ln log log 3 3 5 0x x xe x� �� R/ ' (0,1,ln3x#

122) � � � � 1log 4 log 3 10 logx xx

� � � � � ��

R/ 5x �

123) � � � �12log2 log 5 log 3 20x x� � � � � � R/ ' (7,15x#



124) � �12log 21 log 21 1 log2x x� � � � � � R/ 29x �

125) � �22 log log 6 0x x� � � � R/ ' (2 1, 2 1x# � �

126) � �2/322 13 32

1 2ln ln 4 ln 1.1012

xxxx x� � � � � � ��

R/ 0.501x �

127) � � � �� 21 332 log 2 2 2 4 0x x xe x� � � � � � R/ ' (6,11x#

128) � � � �6 6log 3 1 log 2x x� � � � R/ 3x �

129) � �1/2 1 22 21/22

2ln 1 ln ln 0.69312 1

x x x xxxx x

� ��

R/ 5x �

130) � �� 2 2log 3 2 2 ln log log 3 0x x x� � � � �� R/ 2x �

131) � � � �� 8 42 23 10 ln log log 3 0x xe e x� �� R/ ' (0.402,1x# �

132) � � � �2 21 3 1 3log 1 logx x x x� � � � R/ 2x � �

Matemática Cap. 3: Aplicaciones Universitaria Interés Compuesto

�� Derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total Pág. 55

3. INTERÉS COMPUESTO

3.1 Concepto básico: Interés

El interés es la cantidad pagada por el uso del dinero de terceras personas o la cantidad ganada por la inversión de dinero. Existen dos criterios para calcular el interés a recibir o pagar en una transacción

Interés simple o Interés compuesto. Interés simple El costo (gasto, precio,…) del dinero que se genera sobre un capital que se mantiene un periodo de tiempo invertido o en préstamo. Variables en el interés simple:

I = cantidad recibida por los intereses. P = Capital, inversión o valor presente. i = taza de interés a de rendimiento por unidad de tiempo sobre la base de un año, se expresa en decimales. t = es el tiempo o plazo de la transacción. Puede darse en años, meses o días.

En esta sección nos ocuparemos del interés compuesto como una aplicación de las ecuaciones exponenciales y los logaritmos, en cursos posteriores de matemática financiera se profundiza en los temas.

3.2 Interés compuesto

Es el interés que se genera (gana o paga) sobre un capital o principal que va aumentando a medida que los intereses generados en los periodos anteriores se suman al capital, es decir se gana interés sobre interés, los intereses se capitalizan o se convierten en capital. El intervalo de tiempo transcurrido entre capitalizaciones puede ser de un año, semestre, trimestre, mes, día…o cada instante. Por lo que se puede hablar de interés continuo.

Pagada por el uso del dinero Tasa de interés (pasiva).

Ganada: inversión de dinero. Tasa de rendimiento

Interés =Cantidad


Pág. 56 �� Derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total

FORMULA DE INTERES COMPUESTO

)(

1tn

nrPA

�

�

��

P = Monto principal = valor presente = capital a invertir

r = tasa de interés (expresada como decimal)

n = número de periodos de interés por año.

Periodos Diaria

mensual

Trimestral

Semestral

anual

n 360

12

4

2

1

t = Número de años en los que se invierte P.

A = monto principal después de t años. (valor futuro)

3.3 Interés compuesto en forma continua

Cuando el número periodos de interés en el año crece al infinito, matemáticamente se expresa con la siguiente expresión:

nt

n nrP �

��

!&1lim

si k = n/r, entonces se puede volver a escribir la fórmula:

&!��

�

��

��

��

&!kcuandoPe

krP rt

rtk

k1lim

y así se obtiene la fórmula para el interés contínuo, tal que:

)( trePA ��



Ejemplo 3.1: Cálculo de A (Valor a futuro) Suponga que se invierten $1000 a un tipo de interés del 9% compuesto mensualmente. Calcular el monto total obtenido después de 5, 10 y 15 años. Solución: Aplicando la formula de interés compuesto con

r = 0.09 n =12 P= $1000

El monto total después de t años es: t

A12

1209.011000 �

��

Ejemplo 3.2: El 2 de enero de 1996 se colocaron $2000 en una cuenta de retiro que pagará un interés del 10% anual compuesto de manera continua ¿A cuánto ascenderá la cuenta el primero de enero del año 2016? Solución: La cantidad A después de 20 años es

11.14778$2000$ )2010.0(

)(

��

��

�

AeA

ePA tr

Ejemplo 3.3: Usted decide invertir ¢235000, por lo que se informa en diferentes entidades financieras, que le ofrecen las siguientes opciones, todas a un plazo de 2½ años:

� Financiera Anglo: 8% compuesto, en forma trimestral. � Banco Tuscatlán: 1 año al 3% y luego todo por 1½ año al 11% (ambos intereses

compuestos en forma continua) � Banco Ganex: 5% compuesto, en forma diaria.

¿Cuánto dinero obtendría en cada una, y cuál escogería para invertir? Solución

� Financiera Anglo:

� � 69.286463¢02.1235000408.012350001 10

5.24

��

��

��

��tn

nrPA

Numero de Años

Usando la fórmula

A

5 1000(1.0075)60 $1565.68 10 1000(1.0075)120 $2451.36 15 1000(1.0075)180 $3838.04



� Banco Tuscatlán: 82.242156¢235000 103.0 �� eePA tr , este monto es el nuevo P, por lo que

se usa para el siguiente período:

09.285598¢82.242156 5.111.0 �� eePA tr

� Banco Ganex:

� � 94.266290¢000137.1235000

36505.012350001

5.912

5.2365

��

��

��

��

��tn

nrPA

� De todos los entes financieros, el que nos da mejor resultado es Financiera Anglo. Ejercicio de Práctica En los siguientes problemas, determine la cantidad que resulta de cada inversión: 1) $100 al 4% compuesto en forma trimestral, después de 2 años. R/ $108.29

2) $500 al 8% compuesta en forma trimestral, después de 212 años. R/$609.5 3) $600 al 5% compuesto diariamente, después de 3 años. R/ $697.09 4) $10 al 11% compuesto en forma continua, después de 2 años. R/ 12.46

5) $100 al 10% compuesto en forma continua, después de 412 años. R/ $125.23 6) Usted invierte $2000 en un bono que paga el 9% de interés compuesto en forma

semestral. Un amigo suyo invierte $2000 en un cerificado de depósito que paga un 8.5% compuesta en forma continua ¿Quién tendrá mas dinero después de 20 años, usted o su amigo? R/ Usted obtiene $11632.73 y su amigo $10947.89

7) Usted esta pensando en adquirir 100 acciones en la bolsa de valores a $15 cada una, sin

recibir dividendos. La historia de las acciones indica que deben crecer a una tasa anual del 15% por año. ¿Cuánto valdrán esas acciones dentro de 5 años? R/ $30.17 por acción, ó $3017 las 100 acciones.



Ejemplo 3.4: Cálculo de P (Valor Presente) Un bono puede ser amortizado en 10 años por $1000 ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar por él ahora si quiere obtener un rendimiento de:

(a) ¿8% compuesto en forma mensual? (b) ¿7% compuesto en forma continua?

Solución:

(a)Se debe calcular el valor presente P con los datos A = $1000 n = 12 t = 10 años r = 0.08 (8% escrito en forma decimal)

nt

nrPA �

�� 1

Se usa la formula de interés compuesto con los datos indicados

)10(12

1208.011000 �

�� P Se despeja P de la fórmula

))10(12(

1208.011000

�

�

�� P = $450.52 Se calcula en dato

(b) En este caso se utiliza la fórmula de interés compuesto en forma continua.

rtePA ��

)10(07.01000 eP �� )10(07.01000 �� eP

Se despeja P de la fórmula con los datos dados

P = $496.59 Se debe pagar por el bono

Ejercicios de Práctica 8) En los siguientes ejercicios, indique el capital ( P ) necesario para obtener la cantidad

indicada.. 9) Para $100 después de 2 años al 6% compuesto mensualmente. R/ $ 88.72 10) Para $1000 después de 2 años y medio al 6 % compuesto diariamente. R/ $ 860.72 11) Para $600 después de 2 años al 4% compuesto en forma trimestral. R/ $554.09 12) Para $80 después de 3 años y cuarto al 9% compuesto en forma continua. R/ $59.71 13) Para $400 después de 1 año al 10% compuesto en forma continua. R/ $361.93



14) Usted acaba de heredar un anillo de diamantes valorado en $5000. Si los diamantes han aumentado de valor con una tasa anual del 8%. ¿Cuál era el valor del anillo hace 10 años cuando fue adquirido? R/ $2315.97

15) El 1 de enero de 1993 se colocaron $3000 en una cuenta de retiro que pagará un interés

del 10% anual compuesto de manera continua ¿A cuánto ascenderá la cuenta el 1 de enero del 2008? ¿A cuánto ascenderá si se coloca al 12% compuesto mensualmente? R/ a)$13445$ b)$17987.41

Ejemplo 3.5: Cálculo de “r” (Tasa de interés) ¿Cuál es la tasa de interés anual, compuesta en forma anual, necesaria para duplicar una inversión en 5 años? Solución: Si P es el capital y queremos duplicarlo, la cantidad a futuro será A = 2P. Entonces, usando la fórmula de interés compuesto, con:

A = 2P n=1 (anual) t = 5 años P= $1000

nt

nrPA �

�� 1 5)1(2 rPP ��

Se usa la formula de interés compuesto con los datos indicados

5)1(2 rPP

�� 5)1(2 r�� Se pasa a dividir P y se cancela

5155 )1(2�

�� r )1(25 r�� Se aplica raíz quinta a ambos lados para poder despejar r

r��125 r��1148698.1 Se pasa a restar y se calcula r

1487.0�r � %87.14�r En porcentaje.

Ejercicios de Práctica 16) ¿Cuál es la tasa de interés compuesta en forma anual necesaria para duplicar una

inversión en 3 años? R/ 26% 17) Una empresa adquirida por $650.000 en 1994 se vende en 1997 por $850.000. ¿Cuál es

la tasa anual de rendimiento de esta inversión? R/ 9.35% 18) ¿Cuál es la tasa de interés anual que gana un depósito, que en tres años paso de

$100.000 a $180.000 si es compuesto mensualmente? R/ 19.75% 19) ¿Cuál es la tasa de interés compuesta en forma mensual, necesaria para que una

inversión pase de $15000 a $38000 en cinco años? R/ 18.735%



20) ¿Cuál es la tasa de interés compuesta en forma mensual, necesaria para que una inversión pase de $100000 a $180000 en tres años? R/ 19,75%

Ejemplo 3.6: Cálculo de “t” (Tiempo o plazo de la operación financiera) Una universidad cuenta con un capital para invertir en infraestructura, pero necesita triplicar el monto que tiene actualmente. ¿Cuántos meses tardará en lograrlo si los invierte al 6.5% anual compuesto mensualmente? ¿Y si la hubiera invertido en forma continúa? Solución: En este caso los datos que se manejan son los siguientes:

A = 3P n = 12 t = ¿años? P = P

r = 6.5% (a) Para el modo compuesto mensualmente:

A = P�(1 + r/n)n�t

3P = P�(1+0.065/12)12�t Se usa la formula de interés compuesto con los datos

3 = (1.0054)12�t ln(3) = 12t�ln(1.0054)

Se pasa P a dividir, se aplica ln a ambos lados para bajar el exponente

t = ln(3) / (12�ln(1.0054)) = 16.99 años

Se despeja t pasando a dividir lo que lo multiplica.

t = 16.99*12 → t ≈ 204 meses Para pasar a meses se multiplica por 12

(b) Para el modo compuesto en forma continua:

A = P�℮r�t 3P = P�℮0.065�t

Se usa la fórmula de interés continuo con los datos dados

3 = ℮0.065�t ln(3) = 0.065�t

Se aplica ln a ambos lados para poder despejar t

t = ln(3)/0.065 = 16.90 años Se pasa a dividir lo que multiplica a t

t= 202.8 meses Se multiplica por 12 para tener los meses

Ejercicios de Práctica 21) ¿Cuánto tiempo tardará una inversión en duplicar su valor si se ha contratado al 8%

compuesto mensualmente? ¿Y compuesto en forma continua? R/ 104.32 meses y 103.97 meses respectivamente.



22) ¿Cuántos años son necesarios para que una inversión inicial de $10.000 crezca hasta $25.000? Suponga una tasa de interés del 6% compuesto en forma continua.

R/ 15.27 años 23) ¿Cuántos años son necesarios para que una inversión inicial de $100 crezca hasta $150?

� Suponga una tasa de interés del 8% compuesto en mensualmente. R/ 61.02 meses � Suponga una tasa de interés continuo. R/ 60.82 meses

24) ¿Cuantos años tardara en duplicarse una inversión, si la tasa de rendimiento es del 21.5%

compuesto trimestralmente? R/ 3.31 años Ejercicios adicionales 25) Usted decide invertir $3000 en diferentes entidades financieras de la siguiente forma:

� El primer año y medio trabaja al 5% compuesto en forma trimestral. � El dinero obtenido luego lo trabaja por dos años y medio al 10% compuesto en forma

continua. a) ¿Cuánto dinero obtiene el final de los 4 años? R/$4150.16 b) ¿Cuántos meses hubiera tardado la inversión inicial en duplicar su valor si la hubiera contratado al 8% anual compuesto mensualmente? R/ 104.32 meses

26) Usted acaba de adquirir una casa, la cual tiene una hipoteca de $50000, y se compromete

a pagarle al vendedor $50000 más el interés acumulado en 5 años a partir de ahora. El vendedor le ofrece dos opciones de interés sobre la hipoteca:

a) 11.25% de interés compuesto en forma continua. b) 11.5 % de interés compuesto mensualmente.

¿Cual opción es la mejor? 27) Se invierten $10000 en un fondo de ahorro en el cual el interés se compone

continuamente a una tasa de 11% anual. a) ¿Cuando habrá $35000 en la cuenta? R/ 11.38 años. b) ¿Cuánto tiempo necesita para duplicar la cantidad de dinero? R/ 6.3 años.

28) ¿A qué interés compuesto anualmente deben invertirse ¢100000, para que se duplique en

15 años? R/ 4.7% 29) ¿Cuánto tiempo tardará una inversión en duplicarse al 8% anual compuesto

semestralmente? R/ 8.8 años 30) ¿A qué interés compuesto anualmente deben invertirse $100 para que se dupliquen en 12

años? R/ 5.94% 31) Si se invierten $ 6000 al 7% de interés anual compuesto trimestralmente, ¿cuánto se

tendrá acumulado en 7 años? R/ $ 9752.5 32) ¿Qué cantidad de dinero, invertida hoy al 4.5% de interés compuesto trimestralmente, se

convertirá en $5000 al final de 18 años? R/$2294

Matemática Cap. 4: Universitaria Trigonometría


4. TRIGONOMETRÍA

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

4.1 Conceptos básicos

ANGULO Es la abertura formada por dos semirrectas (lado inicial y lado final) con un mismo origen (vértice). Usualmente parte de un sistema cartesiano de ejes, de manera que el lado inicial coincide con el eje +x, y el vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas.

Para medir terrenos, los topógrafos los dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos A estos puntos se les conoce como “monumentos” o “mojón” (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente)



En las calculadoras podremos hallar las tres formas de medir los ángulos:

� Sistema Sexagesimal: modo en la calculadora: DEG o D

� Sistema Circular: modo en la calculadora: RAD o R

� Sistema Centesimal: modo en la calculadora: GRAD o G

EJES CARTESIANOS No podemos dejar de lado también el concepto de ejes cartesianos. Estos se forman al dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

LADO FINAL

LADO INICIAL VERTICE

θ α

β

ANGULO POSITIVO, ANGULO DE ELEVACIÓN,

(sentido horario)

ANGULO NEGATIVO, ANGULO DE DEPRESIÓN,

(sentido antihorario)

1 círculo = 360 partes iguales = 360º 1º = 60 minutos = 60’ 1’ = 60 segundos = 60” Por ejemplo: 30º15’35” = 30.259722º º ‘ “

1 círculo = 400 partes iguales = 400º 1º = 100 minutos cent. = 100’ 1’ = 100 segundos cent. = 100”

1 radián = es la abertura entre 2 semi-rectas de longitud r y cuya longitud de arco entre ellas es r también.

Su relación con el sistema sexagesimal es: %RS

�º180

0°

360°

90°

270°

180°



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. El estudiar los ángulos nos permite definir las funciones trigonométricas, las cuales se pueden estudiar de dos formas:

� Por las relaciones entre catetos y la hipotenusa de un TRIÁNGULO RECTÁNGULO

� Por los ángulos de rotación en el plano cartesiano Del triángulo rectángulo:

22 yxr �� donde Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Dadas sus rspecftivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres:

//

sen1csc �

//

cos1sec �

///

sincoscot �

INVERSA TRIGONOMÉTRICA Cómo su nombre lo indica, hace la operación inversa de las funciones trigonométricas:

� Funciones trigonométricas: se utilizan cuando se quiere conocer la relación entre 2 lados de un triángulo rectángulo, y lo que se conoce es el valor de un ángulo interno.

� Inversa trigonométrica: se utiliza cuando se quiere conocer el valor de un ángulo interno, y lo que se conoce es el valor de la relación entre 2 lados del triángulos rectángulo.

El siguiente cuadro se indica claramente la relación entre ambos conceptos.

r θ x = cateto

y = cateto



RAZÓN EN EL TRIÁNGULO INVERSA TRIGONOMÉTRICA RELACIÓN

senθ ry

hipotenusaopuesto

� �

��

��

ry

ry 1sinarcsin /

/csc1

cosθ rx

hipotenusaadyacente

� �

��

��

ry

ry 1cosarccos /

/sec1

tanθ xy

adyacenteopuesto

� �

��

��

xy

xy 1tanarctan /

//

cossin

cscθ yr

opuestohipotenusa

� /sin

1

secθ xr

adyacentehipotenusa

� /cos

1

cotθ yx

opuestoadyacente

� //

sincos

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Se refiere a fórmulas que muestran las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier ángulo, o pareja de ángulos. También se les conoce como IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1 1cossin 22 �� xx 6 abbaba cossincossin)sin( ��

2 xx 22 sectan1 �� 7 abbaba cossincossin)sin( ��

3 xx 22 csc1cot �� 8

uuuu

uuu

2

2

22

sin212cos1cos22cos

sincos2cos

��

��

��

4 bababa sinsincoscos)cos( ��

5 bababa sinsincoscos)cos( �� 9 uuu cossin22sin ��

Otra identidad muy útil es la siguiente: ///

cossintan �



4.2 Cálculo de funciones trigonométricas y valores de ángulos

USO DE CALCULADORA En las calculadoras científicas solo se tienen las funciones principales, seno, coseno, tangente y sus inversas trigonométricas arcsen, arccos, arctan. Para calcular las otras funciones se tiene que usar la relación del cuadro anterior.

Si el ángulo esta en grados use la calculadora en modo 4 o deg Si el ángulo esta en radianes (fracciones de п ) en modo 5 o rad

Las razones trigonométricas establecen 6 relaciones diferentes entre las distancias establecidas del triángulo rectángulo: r, x, y. Las inversas trigonométricas nos sirven para calcular el ángulo θ. En cuanto a la medición de ángulos, se usarán los GRADOS y los RADIANES. Ya se mencionó anteriormente la forma de hacer la conversión entre estas 2 unidades, pero la repasamos nuevamente:

� Para convertir de GRADOS a RADIANES:

�

��

0�

180%/ , donde θ es el ángulo dado.

� Para convertir de RADIANES a GRADOS:

�

�� 0�

%/ 180

, donde θ es el ángulo dado. En el caso del uso de la calculadora, sólo tienen las funciones principales seno, coseno y tangente y sus inversas trigonométricas arcsen, arccos y arctan. Para calcular las otras funciones se tiene que usar las relaciones del cuadro anterior. Ejemplo 1: A continuación se muestra un ejemplo de cálculo de ángulos usando la calculadora.

Usando el modo DEG de la calculadora, calcule: sec 67º = 1 / cos 67º = 2.559

csc 43º = 1 / sen 43º = 1.466

cot 9º = cos 9º / sen 9º = 6.314

Usando el modo RAD de la calculadora, calcule:

csc (%/3) = 1 / sen (%/3) = 1.155

sec (2%/3) = 1/cos (2%/3)= -2



Ejercicios de práctica

1) 956.0/73 Rsen 0

2) 404.0/22tan R0

3) 743.1/55sec R0

4) 920.0/23cos R0

5) 866.0/

6cos R�

�� %

6) 1/

2��

�� Rsen %

7) 082.1/

8sec R�

�� %

8) 414.1/

60tan30cos2453 Rsen

00�0

9) 0/

45sec30tan130cos30 22

Rsen00�0�0

10)

866.2/

3cos4

6cot

3sec2

R�

��

�

��

��

%

%%

11)

32/

45tan4

cot0tan

130sec270csc 22

R0��

�� 0

�0�0%

12)

5.0/

4sec

)2cos(2

3tan

2R

sen

�

��

�

��

%

%%%

13) 1/

tan)cos(

23

222

��

� Rsen%%

%%%%

14) 876.0/cos2cot3 2

2

Rsenxx

xxx%

%��

�



15) 637.0/sec22

22

��

� Rsenxx

xxxsenx%

%

16) 6157.0/cos2

23csc

3 2

22

Rsenxx

xx

%

%%

�

��

��

�

17)

0976.0/

3tan2

3sec45csc

2�

�

��

�

�� 0

R%

%

18)

0479.0/

3cos

23

)60sec60(tan2

2

Rsen �

��

��

0�0%%

19)

154.1/

23cos

23

)30tan60(tan22

Rsen �

��

��

0�0%%

20)

463.6/

64

6cot

32

��

��

��

�

��

Rsen

sen

%%

%

Cálculo de ángulos a partir de una razón trigonométrica Ejemplo 2:Cálculo de ángulos usando la calculadora

tan θ = 2.64 θ = arctan(2.64) θ = tan-1(2.64) θ = 69.25°

sec α = 6/5→ 1 / cosα = 6/5 5/6 = cosα α = arccos(5/6) = cos-1(5/6) α = 33.56°

sec β = 1.044 1 / cosβ = 1.044 1 / 1.044 = cosβ β = arcos(1 / 1.044) = 16.69°

cot θ = 7/24 tanθ = 24/7 θ = arctan (24/7) = tan-1(24/7) θ = 73.74°



Ejercicios de práctica De el valor del ángulo “x” en grados con 0.01 unidades de aproximación

21) º93.61/178cos �� xRx

22) 0�� 25.69/64.2tan xRx

23) 0�� 57.18/14.3csc xRx

24) 0�� 87.36/53 xRsenx

25) 0�� 93.61/178cos xRx

26) 0�� 62.22/125tan xRx

27) 0�� 48.14/4csc xRx

28) 0�� 56.33/

56sec xRx



4.3 Triángulos rectángulos

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros. Entre las diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven tomando la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros dos lados y los ángulos del triángulo. Ejemplo 3: Usando el Teorema de Pitágoras, calcule las variables indicadas

Calcular los valores de los ángulos indicados, así como el valor de “c”

9.336.313.12 22 ��c Usando el teorema de Pitágoras calculamos c

389.06.313.12tan ��1 Usando la función que relaciona el opuesto y el

adyacente.

α = arctan(0.389) Se usa el inverso trigonométrico para obtener el valor del ángulo

β = 90° - α = 90° - 23.1°→ β = 68.7° La suma de todos los ángulos internos es 180o por lo tanto 0�� 9021 despejando se tiene el valor de 2

Ejercicios de práctica De las siguientes figuras, calcule las variables indicadas. 29) R/ 0� 026.12x 30) R/ x= 346.44

β

α

c 12.3

31.6

200

x 60º

24 5

x



31) R/ x= 210.5 32) R/ x=7.08, c=12,67, 2=56º 33) R/ 2=30º, 1=60º d=3,464, c=6,93 34) R/ x=5.03, h=6.35 35) R/ 2=38º, 1=26º h=45,62, c=66,6

135

x 57,3º

10.5

x

34º

c 2

d

x

1

c 2 x=6 sec2=1.1547

10.8.1

h

x

15.0

2 1

20

x

h

2812.2csc269.1sec

��

12



4.4 Problemas de aplicación usando Triángulos rectángulos

En el primer triángulo, / depresión":

En este tipo de problemas es de vital importancia dominar los conceptos vistos anteriormente, y que detallamos nuevamente, guiándonos con la figura adjunta:

� Teorema de Pitágoras: 222 yxh ��

� Función trigonométrica “seno”: hysen �/

� Función trigonométrica “coseno”: hx

�/cos

� Función trigonométrica “tangente”: xy

�/tan

Ejemplo 4: Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de

una antena. Al ver la punta de la antena, su vista forma un ángulo de elevación de 33o. ¿Cuál es la altura de la antena?

Solución: Utilizamos la siguiente figura, en la cual calcularemos h primero.

Por lo tanto:

(Altura de antena) = h + (nivel visual del observador) (Altura de antena) = 19.48 + 1.70 (Altura de antena) = 21.18 m.

θ x = cat

y = cat h



Ejemplo 5: Desde un punto “Y” situado a 200 metros de un edificio, se observa una antena en la azotea del mismo.. Desde “Y” se miden 2 ángulos de elevación “A” y “B” y se indica la información adjunta. Determine la altura de la antena.

cot A = 3.63

sec B = 1.044

cot A = 3.63 1 / tan A = 3.63 sec B = 1.044 1 / cos B = 1.044

Determinar el valor de los ángulos usando la identidad trigonométrica

tan A = 0.275 → A = arctan (0.275) = 15.376° cos B = 0.958 → B = arccos(0.958) = 16.665°

Usar la inversa trigonométrica

tan 15.376° = hE / 200 hE = 200�tan 15.376° = 55.00

Separar los dos triángulos rectángulos y usar una identidad que relaciones los datos que se tienen.

tan 16.665° = hE+A / 200 hE+A = 200�tan 16.665° = 59.87m

H = hE+A – hE = 59.87 – 55.00

H = 4.87m

Se usa tangente nuevamente para calcular la altura hasta la

A B

200m

H

Y

hE

hE+A

A 200

hE

B 200

hE+A r



Ejemplo 6: Se tiene una estructura de 7.5m de altura, a la cual debe añadirse otro tramo de estructura, con la limitación de que juntas deben quedar a 0.70m por debajo del nivel del techo de la bodega donde se encuentran. Para esto, un observador a 6m de distancia de la base de la estructura midió un ángulo de 75º entre la base de la estructura y el techo. Indique la altura del tramo de estructura que debe agregarse.

Sea “y” la altura de la estructura a agregar.

Del esquema se deduce que:

tan 75° = H / 6m H = 6�tan 75° = 22.39m Se tiene entonces que:

H = 7.5 + y + 0.7

y = H – (7.5 + 0.7)

y = 22.39 – 8.20

y = 14.19m Ejemplo 7: Desde la azotea de un edificio de 25m de altura, una persona observa un auto que

se aleja. Si el ángulo de depresión del observador cambia 45° a 20° mientras observa al auto, encuentre la distancia que este ha recorrido.

α = 20° β = 45°

Se separan los dos triángulos rectángulos del problema y se trasladan los ángulos dentro del triángulo.

tan α = 25 / x1 Del primer triángulo se relaciona con

θ=75°

y

6.0m

7.5m

H

0.7m Nivel del techo

α β

X2

25m

X3 X1

α β

αx1

25

α

βx2

25

β



x1 = 25 / tan 20° x1 = 68.7m

tangente y se obtiene el valor de x1

tan β = 25 / x2 x2 = 25 / tan 45° x2 = 25.0m

Del segundo triángulo se calcula x2

x3 = x1 – x2 x3 = 68.7 – 25.0 → x3 = 43.70 m

Por diferencia se obtiene la distancia recorrida

Ejemplo 8: Un hombre se dirige a un edificio, y se detiene observando que el ángulo de

elevación a la cúspide es 55°. Avanza 26 m en línea recta, se vuelve a detener y observa que el nuevo ángulo de elevación es de 68.2º Encuentre la altura del edificio.

α = 68.2°

β = 55°

x

tan α = hE / x x = hE / tan α x = hE / tan 68.2°

Se separan los triángulos rectángulos, usando tangente se despeja el valor de x

tan β = hE / (26+x) 26 + x = (hE / tan β) x = (hE / tan 55°) – 26

En el segundo triángulo también se despeja el valor de x

x =x hE / tan 68.2° = (hE / tan 55°) – 26 hE = tan 68.2° �(hE / tan 55°) – 26�tan 68.2° hE = 1.751�hE – 65.005 0.751�hE = 65.005

hE ≈ 87m

Se igualan los términos de x para despejar hE La altura del edificio es aproximadamente 87 metros

β α

26

hE

ß

26+x

hE

α x

hE



Ejemplo 9: Desde un punto “A” situado a 8.2 metros de altura, el ángulo de elevación a la punta del edificio es de 31,33º’ y el ángulo de depresión a la base del mismo es de 12,83º . Calcule la altura del edificio.

h = 8.2 m

θ = 31.33°

β = 12.83°

tan β = h / x x = h / tan β x = 8.2m / tan 12.83° = 36.00m

Se separan los dos triángulos rectángulos que se forman. Se utiliza tangente para determinar el valor de x.

tan θ = yA / x yA = 36.00� tan 31.33° = 21.91m H = yA + h = 21.91 + 8.2 H = 30.11m

En el segundo triángulo también se utiliza el valor de x, y se usa tangente para calcular yA Sumando las alturas obtenemos la altura total del edificio 30.11 m

θ ß

P

yA

h

2

x

8.2

θ

36

yA



Ejercicios de práctica 36) Un observador tiene un nivel visual de 1.40 m de altura, y se encuentra a 65 m de un

árbol. Al ver la punta del árbol, su vista forma un ángulo de elevación de 24o. ¿Cuál es la altura del árbol? (“nivel visual” se refiere a una línea horizontal imaginaria ubicada al nivel de los ojos de una persona) R/ 30.3 m

37) Un observador sobre un edificio tiene un nivel visual de 1.50 m de altura. Al ver un

automóvil estacionado, el ángulo de depresión de su vista es de 52o. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio? R/ 53.19

38) Un observador tiene un nivel visual de 1.80 m de altura. Al ver la punta de un árbol de 15

m de altura, su vista forma un ángulo visual de elevación de 41o. ¿A qué distancia horizontal se encuentra el observador de la base del árbol? R/17.25o

39) Un observador sobre un muelle tiene un nivel visual de 1.30 m. El muelle sobresale 2.45 m

por encima del agua. Al mirar una roca, el ángulo de depresión de su vista es de 17o. ¿Cuál es la distancia mínima (diagonal) entre los ojos del observador y la roca? R/ 12.83

40) El asta de una bandera, se encuentra en la parte superior de un edificio. Desde un punto A

situado a 100 m del edificio el ángulo de elevación de la parte inferior del asta es de 30,26o. Si la altura del asta es de 5.5m de alto,. Calcule el ángulo de elevación, con que se observa la parte superior del asta, desde el punto A. R/ 32.56 o.

41) Cuando un globo aerostático sube

verticalmente su ángulo de elevación desde un punto P, cambia de 19o20’ a 31o50’. Si P está sobre el terreno horizontal a 110 km de distancia del punto Q (directamente bajo el globo) calcule el ascenso aproximando “h” alcanza el globo bajo estas circunstancias. R/ 29.7km

A

100 m

5,5 m

P Q

h

110 km



42) Se tiene una antena de radio sujeta a cada lado por dos cables que sirven de tensores. Los tensores y la base de la antena están alineados de tal forma que proyecta una línea recta en el suelo. El primer tensor sujeta la antena desde la cúspide y está sujeto al suelo a una distancia de 40 m de la base de la antena, mientras que el segundo tensor sujeta la antena 15 m más abajo de la cúspide. Encuentre la longitud de cada uno de los cables tensores, considerando además la información de los ángulos que se da adicionalmente. R/ 47, 13.69

90463.1csc �2 2csc �1

43) Desde un punto “A” situado a 12 metros de altura, el ángulo de elevación a la punta del

edificio es de 35,33º’ y el ángulo de depresión a la base del mismo es de 15,83º. Calcule la altura H del edificio. R/ 42 m

h = 12 m

θ = 35,33°

β = 15,83°

44) Un teleférico transporta pasajeros del punto A al punto C. El punto A está a 1.2 millas del

punto B en la base de la montaña. Los ángulos de elevación desde A y B hacia C son 21° y 65°, respectivamente. Indique la distancia aproximada de A a P, y la altura aproximada de la montaña. R/ Dist. AP =1.566 millas, y h=0.562 millas

45) Un observador P, situado a la izquierda de una colina observa la cima de la misma con un

ángulo de elevación de 29,6º. Un observador Q, situado a la derecha de la colina, observa la cima con un ángulo de elevación de 35,3º. Si la colina tiene 200m de altura con respecto al nivel de los observadores, indique la la distancia entre P y Q? R/ 634.53 m

A B

C

h

21º 65º

1.2 millas P

2 1

40

15

θ β

H

A

h



46) Una escalera de 8.65m de largo descansa sobre un poste del tendido eléctrico y el ángulo que forma la escalera y el poste es de 58º. El operario se percata de que la escalera podría resbalar debido a que el punto de apoyo en el poste está muy bajo, por lo que la vuelve a colocar de forma que la distancia entre el poste y la parte inferior de la escalera queda en 1.75 m Encuentre distancia entre el primer punto de apoyo en la pared, y el nuevo punto de apoyo en la pared. R/ 3.887 m

47) Una escalera de 20 pies de largo descansa sobre la pared de un edificio. Si el ángulo que

se forma entre la escalera y el edificio es de 22o ¿A qué distancia del edificio esta el punto de apoyo de la escalera en el suelo?. Si se incrementa en 3 pies ¿Qué tanto se mueve la parte superior de la escalera hacia abajo? R/ 7.49pies y 1.51pies respectivamente.

48) En una planta de procesamiento de alcohol, a partir de caña de azúcar, se tiene un

equipo de destilación cuya torre (vertical) tiene una altura de 6.5 m. A esta torre se le quiere añadir en la parte superior un equipo extra que debe quedar a 0.5 m del techo. Se necesita saber la altura máxima que debe ocupar este equipo extra y debido a que es imposible medir la altura directamente. Un observador a 5 m de distancia de la base de la torre mide un ángulo de 70 entre la parte superior de la torre y el techo ¿Que altura puede tener el equipo? R/ 6.73m

49) Desde la azotea de un hotel de playa, un hombre observa un bote que navega

directamente hacia él. Si el hombre se encuentra a 100 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 200 a 350 durante el periodo de observación, encuentre la distancia aproximada que ha recorrido el bote durante ese tiempo. R/ 132 m

50) Un poste de tendido eléctrico con una altura de 10 metros, tiene dos anclajes. Uno de los

cables es 4 metros más largo que el otro y el ángulo que se forma entre el suelo y el cable más corto es de 68º. Calcule entonces:

a) La longitud de cada cable? R/ 10.785 m y 14.785 m b) El ángulo que se forma entre el cable más largo y el suelo. R/ 42.56º c) La distancia de separación entre los cables. R/ 14.93m

ESCALERA NUEVA POSICIÓN DE LA

ESCALERA



4.5 Identidades trigonométricas.

Se le llama así a las igualdades en las que aparecen expresiones trigonométricas. Además estas “igualdades” siempre se cumplen, sea cual sea el valor del ángulo o ángulos involucrados. Aunque anteriormente se habían mencionado, nuevamente las repasamos en la siguiente tabla:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1 1cossin 22 �� xx 6 abbaba cossincossin)sin( ��

2 xx 22 sectan1 �� 7 abbaba cossincossin)sin( ��

3 xx 22 csc1cot �� 8

uuuu

uuu

2

2

22

sin212cos1cos22cos

sincos2cos

��

��

��

4 bababa sinsincoscos)cos( ��

5 bababa sinsincoscos)cos( �� 9 uuu cossin22sin ��

Procedimiento para la demostración de identidades:

1. Si hay ángulos dobles o medios sustituir por las identidades 8 ó 9 de la tabla. 2. Si hay suma o restas dentro de los ángulos sustituir por identidades 4 a 7 de la tabla. 3. Si hay términos al cuadrado, ver si se puede sustituir por identidades 1 a 3 de la tabla. 4. Sustituir todo en términos de seno y coseno, utilizando también las relaciones básicas

entre las funciones trigonométricas, a saber:

//

sen1csc �

//

cos1sec �

///

sincoscot �

///

cossintan �

Hay que recordar para en el caso de las identidades trigonométricas, se trabaja desarrollando o simplificando (según sea el caso) sólo un lado de la expresión. Esto lejos de ser un problema, va a facilitar la comprobación de la identidad, ya que sabemos a cual resultado vamos a llegar. Ejemplo 10: Demuestre la siguiente identidad

xxx

x csctansin

sec1�

�� Pasar a senx y cosx

x

xxx

x csc

cossinsin

cos11

��

� Unir con común denominador



x

xxxx

xx

csc

cossincossin

cos1cos

��

�

Multiplicar extremos y medios

xxxxx

xx csc)sincos(sincos

cos)1(cos�

�� Simplificar y sacar a factor común

xxx

x csc)1(cossin

1cos�

�� Simplificar de nuevo

xx

cscsin

1� � xx csccsc � Se comprueba la identidad

Ejemplo 11: Demuestre la siguiente identidad

xxxxx 2cos

cottancottan


x

xx

xx

xx

xx

2cos

sincos

cossin

sincos

cossin

��

��

��

�

��

��

Unir con común denominador

x

xxxx

xxxx

2cos

sincoscossinsincoscossin

22

22

��

��

��

��

��

��

��

Hacer extremos y medios.

xxxxxxxxx 2cos

sincos)cos(sinsincos)cos(sin

22

22

��

Usar la identidad sen2x+cos2x=1 Simplificar lo que se pueda.

xxx 2cos1

)cos(sin 22

�� Verificar en la lista de identidades

xx 2cos2cos �� Identidad comprobada




/// tan

2sin2cos1


///// tan

cossin2)sin(cos1 22

�� Multiplicar el negativo

///// tan

cossin2sincos1 22

�� Usar la identidad

Sen2x=1 - cos2x

///// tan

cossin2sinsin 22

�� Sumar los sin2x.

///

/ tancossin2

sin2 2

��

� Simplificar lo que se pueda

/// tan

cossin

� � // tantan � Identidad comprobada


xx

xx

x tan2cos

sin1sin1

cos��

��

� Unir con común denominador

xxxxx tan2

cos)sin1()sin1(cos 22

�� Desarrollar fórmula notable

xxx

xxx tan2cos)sin1(

)sinsin21(cos 22

��

�� Multiplicar por el -

xxx

xxx tan2cos)sin1(

sinsin2)1(cos 22

��

�� Pasar a términos de senx

xxxxx tan2

cos)sin1(sin2sin2 2

��

� Factorizar

xxxxx tan2

cos)sin1()sin1(sin2�

�� Simplificar

xxx tan2

cossin2

� � xx tan2tan2 � Identidad comprobada



Ejercicios de práctica 51) senxxx �tancos

52) xsenxxx csccotcos ��

53) xsenxxsenx 2cos)(csc ��

54) xxxsenx seccostan ��

55) � � � � 1tan11 22 �� //sen

56) //

// tan1cos

cos��

�sen

57) //

//

cos1

1cos sen

sen�

��

58) //

///

cos1sectan

3 ��

�sen

sen

59) ///

2sec21

11

1�

��

� sensen

60) ///

/ csctan

sec1�

��

sen

61) /// tan

22cos1

��sen

62) ///// csc

cos2cos1 22

��

sensen

63) xsenxx 2

2

2

21tan1tan1

��

64) � � � � xsensen 2cos11 �� //

65) //// 2222 cscseccscsec ��

66) xx

senxsenx

x tan2cos

11

cos�

��

�

67) xxxxx 2cos

cottancottan

��

68) � � xxx 2sec2csctan2 �

69) � � � � ysenxsenyxsenyxsen 22 ��



70) � � � � ysenxyxsenyxsen cos2��

71) � �212121

tantan1tantantan

��

��

72) � ��

1sec2cos12 2

2

2

��

xxxsen

73) � �� x

xxsen tan2cos1

2�

�

74) 1111 tancossec sen��

75) x

xxxctgxtan

tan1tansec 22 ��

76) 1tan21

tansec2

44

��

�x

xx

77) xxsenx 244 cos21cos ��

78) � � )2cot(tancot21 xxx ��

79) 1seccos

csc��

xx

xsenx

80) � �////

sensen

��

��11sectan 2

81) xsenxx 44cos2cos ��

82) )2cot(cot2

1cot 2

xx

x�

�

83) � �////

sensen

��

��11sectan 2

84) � � a

asenaaasena 2

2

tan2coscot

1cos�

��



4.6 Círculo trigonométrico.

Los valores de las 6 funciones trigonométricas tienen signos diferentes según el cuadrante donde está el lado terminal del respectivo ángulo. Recordemos la formación del CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Definición de ángulo de referencia: Todo ángulo / tiene un ángulo de referencia /R, el cual es un ángulo agudo formado entre el lado terminal de / y el eje x. Es decir: 2° cuadrante 1er cuadrante 3er cuadrante 4° cuadrante Los valores de las seis funciones trigonométricas tienen signos diferentes según el cuadrante donde está el lado terminal del respectivo ángulo. Este signo se determina según los signos de las componentes x y y, y según la definición de cada función trigonométrica. Así por ejemplo:

� 1er cuadrante: x = (+) y y = (+) � r = (+) � 2do cuadrante: x = (-) y y = (+) � r = (+) � 3er cuadrante: x = (-) y y = (-) � r = (+) � 4to cuadrante: x = (+) y y = (-) � r = (+)

/ /R = 180 - // / = //R

/

/R = // - 180

/

/R = 360 - //

90° (%%/2 rad)

180° (%% rad)

270° (3%%/2 rad)

0° (0 rad)

360° (2%% rad)

I cuadrante

II cuadrante

III cuadrante

IV cuadrante



Note que en todos los casos, el valor de la hipotenusa r es positivo. En cada cuadrante las funciones trigonométricas positivas son las siguientes:

II CUADRANTE

x = (-), y = (+) , r = (+)

SEN (CSC)

I CUADRANTE

x = (+), y = (+) , r = (+)

TODAS

III CUADRANTE

x = (+), y = (+) , r = (+)

TAN (COT)

IV CUADRANTE

x = (+), y = (+) , r = (+)

COS (SEC)

“TODOS SENTIMOS TANTAS COSITAS”

Ejemplo 14: Calcule / tal que: cos / = -0.5 y tan / > 0 cos / = -0.5 ! II y III cuadrantes

/ en III cuadrante tan / > 0 ! I y III cuadrantes

cos/ = -0.5

/R = 120° ! / = 360 - /R = 360 – 120° ! / = 240°

Ejemplo 15: Calcule / tal que: cot / = -0.523676 y sec / < 0

cot / = -0.523676 ! II y IV cuadrantes / en II cuadrante

sec / < 0 ! II y III cuadrantes

cot/ = 1 / tan/ = -0.523676

tan/ = -1.909578

/R = -62.36° ! / = 180 - /R = 180 – 62.36° ! / = 117.64°

Ejemplo 16: Calcule csc/ tal que: cot / = -0.523676 y sec / < 0: cot / = ½ ! I y III cuad.

/ en I cuadrante sen / > 0 ! I y II cuad.

cot/ = 1 / tan/ = 0.5

tan/ = 2.0

/R = 63.43° ! / = /R

! csc/ = 1 / sen/ = 1 / sen63.43° ! csc/ = 1.12

De acuerdo al cuadrante así será el signo de la función:

� I todos positivos.

� II seno y cosecante positivos.

� III tangente y cotangente positivos

� IV coseno y secante positivos



Ejercicios de práctica Para las expresiones indicadas, calcule el valor del ángulo (en grados sexagesimales) que cumplen las condiciones indicadas.

85) 3/

//

64.117/0sec523676.0

�

4��

Rctg

86) 3/

//

300/03tan

�

4��

Rsen

87) 32400tan2/1cos

�

$��

xxx

88) 35.197

0tan9537.0cos�

$��

xxx

89) 381.3110tan5.1sec

�

4�

xxx

90) 1.1sec/sec01445.2cot �4�� xRxcalculesenxx

91) 09.1sec/sec03.2cot �4�� xRxcalculesenxx

92) 8858.0/0sec523676.0cot �4�� senxRsenxcalculexx

93) 2tan12.1csc/tan,csc021cot ��$� xyxRxxcalculesenxx

94) 78.0/0csc8098.0cot ��4�� senxRsenxcalculexx



4.7 Ecuaciones trigonométricas.

Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes. Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requiere el uso de algunas propiedades trigonométricas. Ejemplo 17: Resuelva la ecuación 2·cos/ + 2 = 0

cos/ = 22� ! II y III cuadrantes

/ = cos-1( 22� )

/ = 135° ! /II = 135°

! /III = 360° – 135° = 225°

Finalmente: / = 135°, 225°

Ejemplo 18: Resuelva la ecuación: 4·cos2/ - 3 = 0

cos2/ = ¾

cos/ = +0.866 ! (+): I y IV / (-): II y III (note que hay coseno (+) y (-))

Para cos/ = 0.866

/ = cos-1(0.866)

/ = 30° ! /I = 30°

! /IV = 360° – 30° = 330°

Para cos/ = -0.866

/ = cos-1(-0.866)

/ = 150° ! /II = 150°

! /III = 360° – 150° = 210°

Finalmente: / = 30°, 150°, 210° y 330°



Ejemplo 19: Resuelva la ecuación: 2·sin/ + cos2/ = 7/4

2·sin/ + 1 – sin2/ - 7/4 = 0

sin2/ - 2·sin/ + ¾ =0

x2 – 2x – ¾ = 0 ! x = {1.5, 0.5} (note que se usó la sustitución x = sen/)

Como x = sen/, entonces se evalúan las 2 posibles soluciones tal que:

a) sin/ = 1.5 (I y II cuadr.) b) sin/ = 0.5 (I y II cuadr.)

(no tiene solución) / = sin-1(0.5) = 30°

! /I = 30°

! /II = 180° - 30° = 150°

Finalmente: / = 30°, 150°

Ej. 115 Resuelva la ecuación: 2·cos2(2/) = 3·cos(2/) - 1

2·cos2(2/) - 3·cos(2/) + 1 = 0 ! 2x2 - 3x + 1 = 0

(2x - 1)(x - 1) = 0 (factorizando)

(2·cos2/ - 1)(cos2/ - 1) = 0 ! cualquiera de los 2 factores vale 0:

a) 2·cos2/ - 1= 0 b) cos2/ - 1 = 0

cos2/ = 1/2 (I y IV cuadr.) cos2/ = 1 (I y IV cuadr.)

Note la forma de evaluar: Note la forma de evaluar:

2/ = 60° ! (2/)R = 60° 2/ = 0° ! (2/)R = 0°

! (2/)I = 60° ! /I = 30° ! (2/)I = 0° ! /I = 0°

! (2/)IV = 300° ! /IV = 150° ! (2/)IV = 360° ! /IV = 180°

Finalmente: / = 0°, 30°, 150º, 180°



Ejercicios de práctica Resuelva las ecuaciones trigonométricas indicadas. 95) 0�� 90/01 Rsenx

96) 3

53

4/032 %%Rsenx ��

97) 3

5,3

/01cos2 %%Rx ��

98) .135,315,43.243,43.63/03sectan 2 3333Rxx ��

99) 0000�� 21033015030/03cos4 2 Rx

100) 0000�� 300180600/0cos2 Rxsenxsenx

101) � � � � 333 0,330,30/12cos32cos2 2 Rxx ��

102) .300,120,360,1800/0tan3tan2 33330�� Rxx

103) � � 33 180,90/22cos22 Rsenxxxsen ��

104) .240,120,8.311,2.48/cos64 2 3333Rxxsen ��

105) .270,150,30/12 2 333Rsenxxsen ��

106) .330,210,90/12 2 333Rsenxxsen ��

107) .360,300,600/01coscos2 2 3330�� Rxx

108) .225,45/0sectan2 2 33Rxx ��

109) .330,210,270,90/0122 23 3333Rsenxxsenxsen ��

110) � � 0�� 180240,120/02cos32cos 33Rxx

111) � � %3 ,0/cos2cos 2 Rxx �

112) 00�� 4.2366.303180,0/0256036 23 33Rsenxxsenxsen



113) 00�� 27090225,45/01cotcsc2 33Rxx

114) .13.297,87.242,95.171,05.8/cos4tan3sec27 3333Rxxx ��

115) 00�� 330225210,45/12tantan2 33Rsenxxxsenx

116) 0� 180,90,0/tansec 2 33Rxxxsen

117) � � � � .330,120,270,90/0cos23cos2 2 3333Rxxsenx ��

118) � � %%%%% 23

53

43

2,3

/01cos4 2 Rx ��

119) � � .300;60;52.255;48.104/1cos2cos8 2 0000�� Rxx

120) � � .150;30/3cos2 2 00� Rsenxx

121) � � .180,0/12cos 2 33Rxsenx ��

122) � � 0�� 240,120,180,0/02 333Rsenxxsen

123) � � � � 02cos2cos �� xxsenxsenx 000 12060,180,0,300240/ 333R

124) %%%0� 0

45

4/tan Rsenxxsenx

125) 04tan5tan 24 �� xx .57,11657,29643,24343.63135,315,22545/ 00000 333R

Matemática Cap. 5: Introd. Universitaria al Cálculo


5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

Cuando se habla de límites en cualquier fenómeno social o científico, se refiere a valores máximos o mínimos en el tiempo. Imaginemos por ejemplo estas 2 situaciones:

1. Sabemos que al aumentar la temperatura, un cuerpo se dilata, pero alcanzará una temperatura límite, posterior a la cual el cuerpo probablemente se derrita.

2. También sucede que cuando disminuye la temperatura, un cuerpo se contrae, pero esto no sucede en forma indefinida, sino que alcanza un límite de contracción, hasta que está totalmente solidificado o cristalizado.

En otras palabras, sabemos que ambos fenómenos tendrán un “límite”, que es muy útil en la descripción de funciones con las características anteriormente citadas. Escrito en forma matemática:

Lxfax

�!

)(lim se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende a un valor a es L”

Otro concepto importante en el tema de funciones es la continuidad. Gráficamente, es práctico decir que una función es continua si al dibujarla de izquierda a derecha, no hay necesidad de levantar el lápiz. Pero considerando el concepto de límites, una función será continua en a si:

)()(lim afxfax

�!

es decir, el límite existe y además es igual al valor de la función cuando x = a.

5.1 Interpretación gráfica de límites

Antes de interpretar una gráfica veamos unos conceptos previos de los límites. Iniciemos con un ejemplo que nos ilustrará algunos conceptos. Ejemplo conceptual: Sea f(x) = 2x2 + 1. ¿Qué pasa cuando x toma valores cercanos a 3?

Con una tabla de valores, evaluamos el comportamiento de la función para valores cercanos a 3, tanto menores como mayores:

x 2.95 2.99 2.999 3.001 3.01 3.05 F(x) 18.405 18.8802 18.9880 19.0120 19.1202 19.605

3

Finalmente: 19)12( 2

3lim ��

!

xx

En efecto, notemos como cuando x está próximo al 3, 2x2+1 está próximo a 2�32+1=19. Decimos entonces que “el límite de 2x2+1, cuando x tiende a 3, es 19” y lo escribimos de la forma indicada anteriormente.

Viajando sobre la recta numérica, me acerco por la izquierda a x=3, es decir, viajo de menor a mayor. De esta forma calculamos el… Límite lateral por la izquierda:

19)(lim3

��!

xfx

Viajando sobre la recta numérica, me acerco por la derecha a x=3, es decir, viajo de mayor a menor. De esta forma calculamos el… Límite lateral por la derecha:

19)(lim3

��!

xfx



Límites laterales: son aquellos límites que se obtienen al recorrer la función por la izquierda o por la derecha, pero siempre acercándose a un valor x0 determinado. Matemáticamente:

�5!

)(lim3

xfx

Note que sí los límites laterales para un mismo valor, dan resultados distintos, eso quiere decir que hay una discontinuidad en la gráfica para el punto evaluado, mientras que como se muestra en el ejemplo conceptual, si los límites laterales coinciden en valor, entonces la gráfica es contínua. Asíntotas: representan una límite de f(x) cuando esta tiende a infinito, o también pueden ser discontinuidades de f(x) debido a valores que la indeterminan. Asíntota horizontal: pueden ser atravesadas por la función; cortan al eje y.

Lxfx

�&!

)(lim ! el gráfico de y = f(x) es muy cercano a la recta horizontal y = L.

Asíntota vertical: no pueden ser atravesadas por la función, cortan al eje x.

+&�!

)(lim xfax

! el gráfico de y = f(x) es muy cercano a la recta vertical y = a.

Límite lateral por la izquierda: axf

x

��!

)(lim3

Límite lateral por la derecha: bxf

x�

�!

)(lim3

y=f(x)

1

x

y=f(x)

4

x

y=f(x)

2 x

y=f(x)

3 x



Otros conceptos importantes en el análisis de límites gráficos se detallan en las siguientes figuras:

En este caso, f(x) no está definida en x0, sin embargo

3)(lim0

�!

xfxx

y=f(x)

f(x)

x0

3

x

En este caso �5

!

)(lim0

xfxx

.

La función es discontinua en x0, ya que para ese punto, no tiende a un valor único.

y=f(x)

f(x)

x0

6

x

9

3

En este caso, f(x0)=4, pero 2)(lim

0�

!

xfxx

.

La función es discontinua. Es decir, el límite de f(x) puede ser diferente al valor de la función, para el mismo punto x0.

y=f(x)

f(x)

x0

4

x

2



Ejercicios de práctica Calcule los límites indicados según la gráfica. Recuerde que debe estudiar detenidamente la gráfica, para entender bien el comportamiento de la función, así como la escala indicada. 1)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

!

!

�!

!

�!

!

!

�&!

�&!

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

3

3

2

2

0

2

2

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

�!

�!

!

!

�!

!

�!

�&!

�&!

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

2

4

6

2

0

4

2

4

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3 5 7 8 2 6 9 4 1

3 5 7 8 2 6 9 4 1



3)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

!

!

!

!

�!

!

!

�!

�&!

�&!

�

�

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

5

4

4

4

0

1

3

3

1

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

�!

!

!

�!

�!

�!

!

�&!

�&!

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

5

1

2

0

1

4

1

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3 5 7 8 2 6 9 4 1

3 5 7 8 2 6 9 4 1



5)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

!

!

�!

�!

�!

!

�&!

�&!

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

0

4

4

4

4

4

4

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

6)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

�!

!

�!

!

�!

!

!

�&!

�&!

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

6

1

2

2

0

2

2

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3 5 7 8 2 6 9 4 1

3 5 7 8 2 6 9 4 1



7)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

!

!

!

!

�!

!

!

�&!

�&!

�

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

6

1

2

1

0

2

1

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

8)

A.V.= A.H.=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

!

�!

!

�!

!

�!

!

!

�&!

�&!

�

�

�

�

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

6

1

2

2

0

2

2

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3 5 7 8 2 6 9 4 1

2 4 6 8



5.2 Interpretación analítica de límites

Para interpretar analíticamente un límite, )(lim0

xfxx!

, se procede de la siguiente forma:

1. Se sustituye el valor de x0 en la expresión de f(x) 2. Si la expresión no se indefine, el valor obtenido es el valor buscado del límite. 3. Si la expresión se indefine, se reacomoda o factoriza la expresión (usando fórmulas

notables o división sintética) para evitar la indefinición. Es decir, el proceso de factorización y el de racionalización se aplican para eliminar el factor que está causando que la función se indefina.

4. La nueva expresión de la función se vuelve a probar con el valor de x, y si todavía hay discontinuidad, se repite el proceso de factorización o racionalización, según lo que aplique.

Recordemos que una función se indetermina o se indefine si al sustituir el valor de x, se obtienen los siguientes resultados:

&�&�&+&+

00

LIMITES POR FACTORIZACIÓN A continuación se indican 4 ejemplos para ver el caso de factorización.

42lim2

��!

xx

020

11lim

1��

��

! xx

x



31

331lim

2��

��

��

! xx

x

21

11lim

3�

�! xx



Ejercicios de práctica Calcule los límites indicados.

9)

10) 3423lim 4

3

1 ��

! xxxx

x R/ 1/2

11)

12)

72/1

2

20lim24

2�

�

��!

Rxxx

x

13)

14)

15) 818111617lim 24

48

2 ��

�! xxxxx

x R/ 80

16) 27

922lim 3

234

3 ��

�! xxxx

x 2742/ �R

17)

18)

19) 2

75/R

20) 23lim 2

3

1 ��

�! xxxx

x 2/R

228/13

91459lim23

13R

xxxx

x ��

!

4/12

6222610lim 2

23

1R

xxxxx

x ��

!

2742/

27922lim

3

234

3

��

��!

Rx

xxxx

1/562

32lim 23

2

1�

��

�!R

xxxxx

x

61/

826

21lim 22

Rxxxx ��

��!

31/

2727

31lim 33

Rxxx �

��!

25125lim 2

4

5 ��

�! xxx

x



21) 1

303157lim 2

234

1 ��

! xxxxx

x 12/R

22) 1814lim 3

2

2/1 ��

�! xx

x

32/ �R

LIMITES POR RACIONALIZACIÓN Si el denominador contiene dos términos uno de los cuales, o ambos, son raíces cuadradas. Se racionaliza para eliminar la raíz del denominador. Para esto se usa la formula de diferencia de cuadrados:

(a + b)(a – b) = a2 – b2 Ejemplo 6:

Se tiene la fracción:

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador: x

xx

x��

� 22

2

Se multiplican los términos y se obtiene:

Ejemplo 7:

Evaluar el siguiente límite: 22312lim

4 ��

! xx

x 0

022

33224

318lim4

��

��

!x

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada . Para tratar de eliminar la indeterminación, se multiplica numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador y del numerador. Así:

� � 31222

22912lim

31222

)2(2

3)12(lim

2222

312312

22312lim

22312lim

422

22

4

44

��

��

��

��

��

��

��

��

��

!!

!!

xx

xx

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx



322

3324lim

3182242lim

312222lim

31222

4)4(2lim

31222

482lim

444

44

��

��

��

�

��

��

��

��

!!!

!!

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Ejemplo 8:

221

)22(1lim

)2(1lim

)2)(2()2(lim

2)2()2()(lim

22

22lim

22lim

222

22

222

��

��

��

�

��

��

��

��

��

!!!

!!!

xxx

xxx

xxxx

xxx

xx

xx

xx

Ejemplo 9:

� � � �

� � � �

� � 111

211

2lim

112lim

1111lim

11)1(1lim

11)1()1(lim

111111lim11lim

0

00

0

22

0

00

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

!

!!

!!

!!

xx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xxx

x

xx

xx

xx

22lim

2 ��

! xx

x=

221

xxx

x

��!

11lim0

=1



Racionalización doble Cuando es necesario eliminar la raíz del numerador y del denominador, hacemos la racionalización doble, multiplicando por ambos complementos. Ejemplo 10:

34

68

)381()24(2lim

lim4

)4(2lim482lim

4921lim

2)(3)21(lim

22

321321

2321lim

2321lim

4

444

422

22

4

44

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

!

!!!

!!

!!

x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Ejemplo 11:

� �

� � � �

� � aaa

aa

aaaa

aaa

aaaaaa

aaaaaa

xaxaax

aaaxxx

xaxaax

axaaaxxaxx

xaxaax

axaaxx

xaxaax

aaxxax

xaxaax

aaxxax

aaxaax

xaxxax

aaxxax

aaxxax

axax

axax

axax

axax

axax

3223lim3lim

limlim

)()(lim

)()(lim

lim)(

)()(lim

limlim

2

3

22

2

32

22

32

22

32

22

32

33

322

34

3222

2322

32

323232

��

��

��

�

��

��

��

��

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

!!

!!

!!

!!

!!

aaax

xaxax

3lim32

��

�!

34

2321lim

4�

��

! xx

x



Ejercicios de práctica Calcule los límites indicados.

23)

24) 61/39lim

0R

xx

x

��!

25) 63/33lim

0R

xx

x

��!

26) 21/

1225lim

3R

xx

x ��

!

27)

28)

29)

30) 6/53

4lim2

2

2R

xx

x ��

�!

31) 95/

525819lim

0

��

!R

xx

x

32) 815/

1513652410lim

2

��

!R

xxxx

x

33) 1/1

11lim

0R

xxxx�

�!

34) 16

1/21

41

lim0

��

�!

Rxx

x

8/164

lim0

��!

Rx

xx

73/

93497lim

0R

xx

x ��

!

541/3

191

lim0

��

�!

Rxx

x

3/1

lim2

1R

xxx

x ��

!

Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones ... · MATEMÁTICA UNIVERSITARIA: Conceptos y...

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