Matematica y Su Espistemología

8/17/2019 Matematica y Su Espistemología

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ENSAYO

CONSIDERACIONES EPISTEMOLÓGICASAPLICADAS A LA MATEMÁTICA

JOSE GONZALEZ C.


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ÍNDICE

1 - INTRODUCCIÓN

1.1. Significad !"i#$%gic d! $a &a$a'(a #a"!#)"ica1.*. +i,"(ia d!$ ,a'!( #a"!#)"ic.

1.*.1. An"iga cii$i/aci%n !gi&cia.

1.*.*. M!,&"a#ia an"iga 'a'i$nia

1.*.0. Cina an"iga.

1.*.2. India an"iga.

1.*.3. G(!cia

II - ARGUMENTACIÓN*. 1.Cnc!&" #d!(n d! Ma"!#)"ica

*.*. E&i,"!#$g4a d! $a #a"!#)"ica

*.0. 5nci%n d! $a #a"!#)"ica.

2.4. El método

2.5. Los problemas

*.6. 5nda#!n"aci%n d!$ ,a'!( #a"!#)"ic

*.7. Cn,"(cci%n a8i#)"ica d! $a, Ma"!#)"ica,.

*.9. A&$icacin!, d! $a $%gica : d! $a, #a"!#)"ica, a $a ci!ncia

*.;. E$ "!cnici,# !n $a !n,!


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CONSIDERACIONES EPISTEMOLÓGICAS APLICADAS A LA MATEMÁTICA

Resulta curioso el hecho de que, a diario, como especialistas de X asignatura; nos

limitemos a la simple transmisión de contenidos sistematizados del currículo escolar y

dejemos de lado el plano intrínseco que da cientificidad a nuestra disciplina. Al indagar

sobre el desarrollo de la ciencia, nos ha lleado a la refle!ión del quehacer cotidiano a

lo interno de la disciplina que impartimos" #atem$ticas

%racias a tales e!pectatias, abordaremos nuestro estudio desde un enfoque

epistemológico aceptando, de antemano, que nuestra perspectia estar$ dirigida a describir

determinados aspectos de la #atem$tica como ciencia; entre ellos, el concepto, objeto de

estudio en que se detiene nuestra disciplina, el m&todo del cual se ale, su larga trayectoria,

su fundamentación científica y los estatutos que nos demuestran las alternatias que

permiten su realización de manera cada ez m$s certera y m$s fiable.

'e islumbra adem$s, las #atem$ticas como parte del quehacer científico y como

proceso o forma de pensamiento para finalmente concluir con sus aportes a la humanidad.

(odo ello con el principal propósito de conocer m$s a fondo nuestra disciplina, cómo se ha

enido desarrollando, cómo se articula en la pr$ctica social y cu$les son sus e!pectatias

futuras lo cual nos permitir$, sin duda, buscar cada día nueas alternatias con qu& mejorar

nuestra pr$ctica pedagógica.

)uestra inquietud inestigatia nos motia, en primera instancia, a e!aminar la

etimología del t&rmino. Ma"!#)"ica,? *rocede del erbo griego +m$nthano+, que significaaprender a pensar, aplicar el espíritu. A partir de ahí se forma el sustantio +m$thema+, que

significa conocimiento, y de &ste el adjetio +mathematiós+. -n el latín se adoptó la forma

+mathematicus+. #atem$ticas, en su concepto etimológico, sería entonces aquello que se

piensa y se aprende, y el matem$tico es aquel que piensa, que aprende y que aplica el igor

de su espíritu científico.

-l hecho de que sea frecuente utilizar este t&rmino en plural obedece a que en latín+mathematica+ es un sustantio plural. (ambi&n se ha dicho, que se prefiere el t&rmino en


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plural porque abarca a una serie de disciplinas, como son la %eometría, el lgebra, el

An$lisis, la (opología, la -stadística, etc. *latón opinaba que nadie podía considerarse

educado si no tenía conocimientos de #atem$ticas. -n la -dad #edia, las uniersidades

llamaron a estas disciplinas /cuadriium0 y las consideraban superiores a las /triialis+ o

triiales, %ram$tica, Retórica y 1ial&ctica.

1e acuerdo con 2en la -pistemología es una /disciplina filosófica básica que

investiga los métodos de información y aplicación, de colaboración y evaluación de las

teorías y conceptos científicos, y a su vez intenta fundamentarlos y evaluarlos0. (ambi&n es

la rama de la filosofía que estudia el origen, la estructura, los m&todos y la alidez del

conocimiento. 'in embargo, no hay un patrón riguroso en cuanto a los aspectos

epistemológicos que deba contemplar una determinada ciencia, dado que los puntos que se

analizan difieren seg3n la disciplina que se estudia.

-n nuestro razonar sobre la -pistemología de la #atem$tica, nos detendremos en la

refle!ión de aspectos inherentes a la historia del saber matem$tico, la estructura, la función,

el m&todo y el problema. 4ustamente, una buena descripción epistemológica de la

#atem$tica adierte el conocimiento desde dos $ngulos diferentes" la sensatez y la

comprensión, por un lado y el cariz crítico, desde otra óptica; lo cual no ha de causar

e!tra5eza dado que filosofía es ante todo un cuestionamiento de cuanto tenga que er con lascreaciones humanas.

Al e!plorar la historia del saber matem$tico islumbramos que los primeros indicios

de la #atem$tica fueron las distribuciones de tareas, de contribuciones, de tierra, de granos

que justifican el origen de la Aritm&tica y una %eometría para las necesidades del comercio

como lo decían, despectiamente, los griegos m$s ilustres. Así fue en el centro de -uropa, en

#esopotamia, en -gipto, en 6ndia en 7hina, en %recia.

1ifícil es establecer la antig8edad de tales procedimientos utilitarios. *uede

aseerarse que surgen en cada una de tales ciilizaciones seg3n su peculiar capacidad pr$ctica

y de interiorización. 'olamente los griegos pensaron, realmente, en una organización

secuenciada de tales conocimientos. 'upuestos algunos de ellos; logran obtener los dem$s,

mediante reglas fijas que, paulatinamente, an a construir la lógica. 9uiz$s fue m$s capital

para la constitución de la #atem$tica el que, ateni&ndose a tales reglas fijas, los griegos

alcanzan conocimientos que no disponían. -stos dos pasos primordiales impulsaron el

desenolimiento de los principios hasta conertirse en un conocimiento inagotable. -ste


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aspecto, tiene que er con la estructuración que hayan alcanzado las respuestas a una

secuencia de cuestiones. Actualmente, el enfoque m$s sistem$tico de los que se conocía en

#atem$tica a mediados del siglo XX, es el e!puesto mediante estructuras matem$ticas por la

escuela llamada :ourbai.

-l concepto de n3mero surgió como consecuencia de la necesidad pr$ctica de contar

objetos. 6nicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles" dedos, piedras...

:asta recordar, por ejemplo, que la palabra c$lculo deria de la palabra latina /calculus0

que significa contar con piedras. 2a serie de n3meros naturales era, obiamente, limitada;

pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de n3meros representa ya, una

importante etapa en el camino hacia la matem$tica moderna. *aralelamente, a la ampliación

de los n3meros se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para

cada ciilización.

2a información, disponible, sobre la ciilización desarrollada a lo largo del )ilo,

antigua ciilización egipcia, es lo suficientemente fiable como para ser considerada la

primera ciilización que alcanzó un cierto desarrollo matem$tico. )uestros conocimientos

sobre las #atem$ticas del Antiguo -gipto se basan, principalmente, en dos grandes papiros

de car$cter matem$tico y algunos peque5os fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos. 1esarrollaron el llamado +sistema de numeración

jeroglífico+, que consistía en denominar cada uno de los +n3meros clae+ , =>>, =>>>...?

por un símbolo palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones.... 2os dem$s

n3meros, se formaban a5adiendo a un n3mero u otro del n3mero central uno o arios de estos

n3meros clae. @n sistema de numeración posterior a &ste, pero de similares características,

sería el sistema de numeración romano. (ambi&n crearon fracciones, pero sólo como

diisores de la unidad, esto es, de la forma =n; el resto de fracciones se e!presaban siemprecomo combinaciones de estas fracciones. Aparecen tambi&n los primeros m&todos de

operaciones matem$ticas; todos ellos con car$cter aditio, para n3meros enteros y fracciones.

Algebraicamente, se resuelen determinadas ecuaciones de la forma !Ba!Cb donde la

incógnita ! se denominaba +montón+. -n %eometría, los aances en el c$lculo de $reas y

ol3menes encontraron, por ejemplo, para el $rea del círculo; un alor apro!imado del

n3mero pi de DE=F>G. 'in embargo, el desarrollo geom&trico adolece de falta de teoremas y

demostraciones formales. (ambi&n encontramos rudimentos de (rigonometría y nociones

b$sicas de semejanza de tri$ngulos.

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/MapEgip.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Papiro.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Papiro.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/MapEgip.html


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Actualmente, la información que se tiene sobre la 7iilización mesopot$mica o

antigua :abilonia, en cuanto a #atem$ticas se refiere, es mucho mayor que la e!istente

sobre la 7iilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura

cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho m$s resistentes al paso del tiempo. @tilizaron el

sistema de numeración posicional se!agesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo

podía representar, indistintamente, arios n3meros que se diferenciaban por el enunciado del

problema. 1esarrollaron un eficaz sistema fraccionario de notación, que permitió establecer

apro!imaciones decimales erdaderamente sorprendentes. -sta eolución y simplificación

del m&todo fraccionario permitió el desarrollo de nueos algoritmos que se atribuyeron a

matem$ticos de &pocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de )eHton para la

apro!imación de raíces cuadradas. 1esarrollaron el concepto de n3mero inerso, lo que

simplificó notablemente la operación de la diisión.

-ncontramos, tambi&n, en esta &poca los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas; pero, sin duda, la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de

la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadr$ticas, tanto es así que llegaron a la

solución para ecuaciones de la forma !IBp!Cq, pJ>, qJ> y tambi&n a!IBb!Cc mediante el

cambia de ariable tCa!. -fectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar elc$lculo, por ejemplo de algunas ecuaciones c3bicas. -l dominio en esta materia era tal, que

incluso desarrollaron algoritmos para el c$lculo de sumas de progresiones, tanto aritm&ticas

como geom&tricas. 'u capacidad de abstracción fue tal, que desarrollaron muchas de las que

hoy se conocen como ecuaciones diof$nticas, algunas de las cuales est$n, íntimamente,

unidas con conceptos geom&tricos; terreno &ste, en el que tambi&n superaron a la 7iilización

egipcia, constituyendo los problemas de medida, el bloque central en este campo" $rea del

cuadrado, del círculo con una no muy buena apro!imación de pi igual a D, ol3menes dedeterminados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta

ciilización conocía el teorema de *it$goras aplicado a problemas particulares, aunque no,

obiamente, como principio general.

*or otro lado, aunque la 7iilización china es, cronológicamente, comparable a las

7iilizaciones egipcia y mesopot$mica, los registros e!istentes son bastante menos fiables.

2a primera obra #atem$tica es +probablemente+ el 7hou *ei > a.7. y

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Tablilla.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Tablilla.html


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junto a ella, la m$s importante es +2a #atem$tica de los nuee libros+ o de los nuee

capítulos. -sta obra, de car$cter totalmente heterog&neo, tiene la forma de pergaminos

independientes y est$n dedicados a diferentes temas de car$cter, eminentemente, pr$ctico

formulados en IKF problemas concretos a semejanza de los egipcios y babilónicos y a

diferencia, de los griegos cuyos tratados eran e!positios, sistem$ticos y ordenados de

manera lógica. 2os problemas resumen un compendio de cuestiones sobre Agricultura,

6ngeniería, impuestos, c$lculo, resolución de ecuaciones y propiedades de tri$ngulos

rect$ngulos.

-l sistema de numeración es el decimal jeroglífico. 2as reglas de las operaciones son

las habituales; aunque destaca como singularidad, que en la diisión de fracciones se e!ige la

preia reducción de &stas a com3n denominador y dieron por sentado la e!istencia de

n3meros negatios; no obstante, nunca los aceptaron como solución a una ecuación. 2a

contribución algebraica m$s importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la

regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. *ara todos los sistemas se establece un

m&todo gen&rico de resolución muy similar al que hoy conocemos como m&todo de %auss,

e!presando incluso los coeficientes en forma matricial, transform$ndolos en ceros de manera

escalonada. 6nentaron el +tablero de c$lculo+, artilugio consistente en una colección de

palillos de bamb3 de dos colores un color para e!presar los n3meros positios y otro paralos negatios y que podría ser considerado como una especie de $baco primitio.

7on el desarrollo del +m&todo del elemento celeste+ se culminó el desarrollo del

lgebra en 7hina, en la -dad #edia. -ste m&todo, desarrollado por 7hou 'hi Li&, permitía

encontrar raíces no sólo enteras, sino tambi&n racionales, e incluso apro!imaciones decimales

para ecuaciones de la forma *n

%eometría fuese el punto fuerte de la 7ultura china, limit$ndose principalmente a la

resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.

-n la 6ndia antigua, la característica principal del desarrollo #atem$tico es el

predominio de las reglas aritm&ticas de c$lculo, destacando la correcta utilización de los

n3meros negatios y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como n3meros

$lidos los n3meros irracionales. *rofundizaron en la obtención de reglas de resolución de

ecuaciones lineales y cuadr$ticas, en las cuales las raíces negatias eran interpretadas comodeudas. 1esarrollaron tambi&n, sin duda, para resoler problemas astronómicos, m&todos de


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resolución de ecuaciones diof$nticas, llegando; incluso, a plantear y resoler la ecuación

!IC=BayI, denominada ecuación de *elt. -n la historia de la 6ndia se encuentran suficientes

hechos que ponen en eidencia la e!istencia de relaciones políticas y económicas con los

estados griegos, egipcios, $rabes y con 7hina. #atem$ticamente, se considera, indiscutible,

la procedencia hind3 del sistema de numeración decimal y las reglas de c$lculo.

-!plorando la antigua cultura griega, apreciamos que la actiidad intelectual de las

ciilizaciones desarrolladas en -gipto y #esopotamia, ya había perdido casi todo su impulso

mucho antes que comenzara la -ra 7ristiana; pero a la ez que se acentuaba este declie,

surgían con una fuerza indescriptible nueas culturas a lo largo de todo el #editerr$neo; y

entre ella, la cultura hel&nica fue la principal abanderada en el terreno cultural. (anto es así,

que las ciilizaciones anteriores a la antigua %recia se conocen como culturas prehel&nicas.

-l helenismo nunca logró la unidad, ni en su &poca de m$!imo apogeo ni cuando fue

amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de (ales de #ileto a

-uclides de Alejandría, y lo hayan querido o no; los pensadores griegos, riales de ciudades o

de escuelas, construyeron un imperio inisible y 3nico cuya grandeza perdura hasta nuestros

días. -ste logro insólito se llama MATEMÁTICAS .

'alo e!cepciones, los productores se agrupaban en escuelas. -n los matem$ticos, de

esta &poca, los problemas pr$cticos relacionados con las necesidades de c$lculos aritm&ticos,

mediciones y construcciones geom&tricas continuaron jugando un gran papel. 'in embargo,

lo noedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama

independiente de las #atem$ticas que obtuo la denominación de +logística+. A la logística,

fueron atribuidas las operaciones con n3meros enteros, la e!tracción num&rica de raíces, el

c$lculo con la ayuda de dispositios au!iliares, c$lculo con fracciones, resolución num&rica

de problemas que conducen a ecuaciones de =er y IM grado, problemas pr$cticos de c$lculo y

constructios de la Arquitectura, %eometría, Agrimensura, etc.

Al mismo tiempo, ya en la escuela de *it$goras se adierte un proceso de recopilación

de hechos matem$ticos abstractos; y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,

de la Aritm&tica fue separada en una rama independiente la teoría de n3meros, es decir, el

conjunto de conocimientos matem$ticos que se relacionan con las propiedades generales de

las operaciones con n3meros naturales. 'e estudiaban cuestiones sobre la diisibilidad de los

n3meros; fueron introducidas las proporciones aritm&ticas, geom&tricas y armónicas y

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/EscuGrie.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/EscuGrie.html


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diferentes medias" la aritm&tica, la geom&trica y la armónica. 4unto a la demostración

geom&trica del teorema de *it$goras fue encontrado el m&todo de hallazgo de la serie

ilimitada de las ternas de n3meros +pitagóricos+, esto es, ternas de n3meros que satisfacen la

ecuación aIBbICcI.

-n este tiempo, transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones

geom&tricas. -n los trabajos geom&tricos se introdujeron y perfeccionaron los m&todos de

demostración geom&trica. 'e consideraron en particular, el teorema de *it$goras, los

problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un $ngulo, la duplicación del cubo

y la cuadratura de una serie de $reas; en particular, las acotadas por líneas curas.

2a historia sobre la resolución de los tres problemas geom&tricos cl$sicos


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2a #atem$tica es un arte, pero tambi&n una ciencia de estudio. 7om3nmente, se

puede decir que es el estudio de los +n3meros y símbolos+. -s decir, la inestigación de

estructuras abstractas definidas a partir de a!iomas, utilizando la lógica y la notación

matem$tica. -s tambi&n la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitatias. 'e trata de

relaciones e!actas que e!isten entre cantidades y magnitudes, y de los m&todos por los cuales,

de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras

cantidades conocidas o presupuestas. (ambi&n, forma parte del objeto de la #atem$tica la

resolución de problemas; entendi&ndose &sta, como la creación de modelos que responden a

una necesidad real de la sociedad o de un grupo determinado.

Al igual que las dem$s ciencias, la #atem$tica tiene su propia funcionalidad, su

pragm$tica, sus fundamentos, sus estatutos, sus m&todos, su tecnicismo y su construcción

a!iom$tica; aspectos que e!aminaremos y argumentaremos, paulatinamente, en nuestra

e!posición.

Respecto a la función de nuestra disciplina, sabemos que los seres humanos aprenden

para desempe5arse, conenientemente, en la sociedad en la que conien. 1iersos

adiestramientos est$n a la disposición de indiiduos de un conglomerado. -ntre las

habilidades que requieren un dominio m$s refinado por la precisión con la que hay que

aplicar procedimientos est$ la #atem$tica. -s una actiidad, por e!celencia, educatia; no

obstante, la #atem$tica posee tambi&n un cariz l3dico y es utilizable en grado sumo, en

diersas tareas que hay que resoler para la organización de una sociedad. 4uicio que

e!plica que la #atem$tica sea una asignatura indispensable en todo plan de estudios. )o es

asunto de lujo o de elección de &lites; sino que paradójicamente, debe ser isto como un

instrumento de trabajo imprescindible para la sociedad humana desde diferentes $ngulos.

7on relación al m&todo que se usa en las #atem$ticas, precisamos que es el

m&todo uniersal que indagaba 1escartes para conducir bien su razón y para perquisionar con

&!ito en la filosofía y en las ciencias. @n matem$tico utiliza el m&todo deductio y ha de

ocuparse en principio, en ense5ar su ciencia o en resoler problemas que pueden ser de poca

o mucha dificultad. 2os de poca, tienen m&todos conocidos de solución; para los de gran

dificultad puede que haya que inentar la manera de resolerlos.

#uchos han sido los filósofos y pensadores que han emitido juicios positios acerca

de la #atem$tica Lilbert, por ejemplo, describió como paradigm$tica o digna de imitar, la

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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actitud del matem$tico frente a una dificultad. Así tambi&n, diferentes filósofos elaboraron

sus sistemas mirando hacia la #atem$tica. -n particular, Pant quien discurrió ampliamente

acerca de la constitución misma de la #atem$tica para poder decidir sobre su pregunta si la

#etafísica es ciencia, así como de la posibilidad para la filosofía de inspirarse en los

m&todos eficientes de la #atem$tica con el fin de que en la #etafísica no se contentaran con

crecimientos, sino que persiguieran adquisiciones duraderas.

-s de consideración epistemológica la actitud del matem$tico quien desarrolla su

ciencia mediante la solución de problemas; de hecho es certera la concepción de %ilbert"

/Cuán lejos está el profano en Matemática de entender lo que hace todo el día el

matemático cuando lo considera inactivo porque el profano cree que la Matemática se

reduce a aquellas operaciones que ense!aron en su formación básica0. 'i la #atem$tica se

redujera sólo a eso, sería absurdo que e!istiera. )os percatamos entonces de cu$n

indispensables son las )ociones de Qilosofía y -pistemología para los matem$ticos en tanto

que les permite comprender el origen de su ciencia, el objeto de estudio y la din$mica de

producción del conocimiento.

2os fundamentos de la #atem$tica son primordiales en nuestras refle!iones

epistemológicas. 2a #atem$tica es la ciencia de las pautas y las relaciones. 7omo disciplina

teórica, e!plora las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si &stas tienen

homólogos en el mundo real. 2as abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias

de n3meros hasta figuras geom&tricas o series de ecuaciones. 2a función de la #atem$tica

est$ en encontrar la pauta o probar que &sta e!iste o no e!iste, pero no en buscar la utilidad

que podría tener tal conocimiento cuando se deria; por ejemplo, una e!presión para el

cambio en el $rea de cualquier cuerpo regular, cuando su olumen se apro!ima a cero" los

matem$ticos no manifiestan inter&s en la concordancia entre los cuerpos geom&tricos y los

objetos físicos del mundo real.

@na línea fundamental de inestigación en las #atem$ticas teóricas es identificar en

cada campo de estudio un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a partir de las cuales

puedan deducirse, por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en ese campo. 2os

matem$ticos, como otros científicos, gozan en particular cuando descubren qu& partes de esa

ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí o a partir de una teoría m$s

general. *arte del sentido de belleza, que muchas personas han percibido en esta ciencia, no

radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un


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gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las

#atem$ticas aanzan, se han encontrado m$s y m$s relaciones entre partes que se habían

desarrollado por separado; por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del lgebra y

las representaciones espaciales de la %eometría. -stas intercone!iones hacen posible que

surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diersas partes de la disciplina; juntas,

fortalecen la creencia en la e!actitud y unidad esencial de toda la estructura.

2a #atem$tica es tambi&n una ciencia aplicada. #uchos matem$ticos dedican sus

energías a resoler problemas que se originan en el mundo de la e!periencia. 1e igual

manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan t&cnicas similares a las que se

emplean en esta ciencia puramente teórica. 2a diferencia es en gran medida de propósito. -n

contraste con las matem$ticas teóricas; las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían

estudiar la pauta del interalo de los n3meros primos para desarrollar un nueo sistema para

codificar información num&rica, m$s que como un problema abstracto. (ambi&n, podrían

abordar el problema sobre el $reaolumen como un paso en la concepción de un modelo para

el estudio del comportamiento del cristal.

2os resultados de las #atem$ticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen entre

sí. A menudo, los descubrimientos de los matem$ticos teóricos tienen un alor pr$ctico, no

preisto. Algunas eces, se aprecia d&cadas despu&s. *or ejemplo, el estudio de las

propiedades #atem$ticas de acontecimientos que ocurren al azar, condujo al conocimiento

que m$s tarde hizo posible mejorar el dise5o de los e!perimentos en las 7iencias )aturales y

'ociales. *or el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios

del tel&fono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre

las matem$ticas de redes complejas. 2as matem$ticas teóricas, a diferencia de otras ciencias,

no est$n restringidas por el mundo real; pero a la larga, contribuyen a entenderlo mejor.

1ebido a su abstracción, las #atem$ticas son uniersales, lo que la hace diferente a

otros campos del pensamiento humano. (ienen aplicaciones 3tiles en los negocios, la

6ndustria, la #3sica, la Listoria, la *olítica, los deportes, la #edicina, la Agricultura, la

6ngeniería, en las 7iencias )aturales y 'ociales. -s muy amplia la relación entre las

#atem$ticas y los otros campos de la ciencia b$sica y aplicada. -llo obedece a arias

razones"


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• 2a relación entre la 7iencia y las #atem$ticas tiene una larga historia, que data de

muchos siglos. 2a 7iencia le ofrece a las #atem$ticas problemas interesantes para

inestigar, y &stas le brindan a aqu&lla herramientas poderosas para el an$lisis de

datos.

• 2as #atem$ticas son el principal lenguaje de la 7iencia. -l lenguaje simbólico

matem$tico ha resultado ser en e!tremo alioso para e!presar las ideas científicas sin

ambig8edad.

• 2as #atem$ticas y la (ecnología tambi&n han desarrollado una relación productia

mutua. 2as #atem$ticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han

contribuido considerablemente al dise5o del hardHare computacional y a las t&cnicasde programación.

Reconocemos como elemental en nuestro estudio, lo referente a la construcción

a!iom$tica de las #atem$ticas. 2as primeras teorías matem$ticas que se abstrajeron de los

problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las

condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad

de las #atem$ticas.

-l car$cter abstracto del objeto de las #atem$ticas y los m&todos de demostración

matem$tica establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a

e!poner como una ciencia deductia, que a partir de unos a!iomas, presenta una sucesión

lógica de teoremas. 2as obras en las cuales, en aquella &poca se e!ponían los primeros

sistemas matem$ticos de denominaban +-lementos+. 'e encuentran elementos pertenecientes

a muchos autores; sin embargo, todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras

una de las obras #atem$ticas m$s impresionante de la historia" 2os -lementos de -uclides.+2os -lementos+, como denominaremos a esta obra a partir de ahora, est$n constituidos por

trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A eces se a5aden

otros dos, los libros =K y =G que pertenecen a otros autores, pero por su contenido est$

pró!imo al 3ltimo libro de -uclides.

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.html


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*or otro lado, no podemos referirnos al tecnicismo de las #atem$ticas sin antes

e!aminar el concepto. (ecnicismo significa aplicar una actiidad absolutamente

determinada por la teoría. -ste paradigma metodológico utilizado por los docentes tiende a

ser m$s que un modelo constructiista, un modelo conductista inclinado a menospreciar la

habilidad que puede tener un estudiante para desarrollar determinada t&cnica. -n el ejercicio

docente sobre todo en los primeros nieles se tiende a proocar un acío en el contenido de la

ense5anza que se aleja del objetio real de la #atem$tica como asignatura.

2a defensa que hace el tecnicismo del dominio de las t&cnicas est$ poco fundamentada y

corre el peligro de caer en puros algoritmos repetitios que conducen sólo a la memorización

y al planteamiento de situaciones poco comunes. -nse5ar al alumno a utilizar la #atem$tica

significa resoler situaciones conflictias y &stas deben permitir deriar otras preguntas,

intuir ideas, descubrir nueas pistas y disponer de elementos para comprender la situación.

-n fin, lo que se quiere es llear al alumno a un enfrentamiento con la realidad, encontrar

conflictos a los cuales se les deben dar soluciones aceptables de acuerdo al conte!to. -ste

proceso implica una serie de habilidades para comprender la situación y responder de manera

coherente.

7omo emos, el tecnicismo escapa a esta realidad y tiene otras perspectias que no son

justamente el razonamiento y el uso adecuado de las herramientas cognitias para crear y

generar alternatias de solución. -l modelo docente tecnicista identifica implícitamente

ense5ar y aprender #atem$ticas con ense5ar y aprender t&cnicas algoritmias por lo cual

constituye una amenaza a las raíces de la #atem$tica que en principio fue y ser$ una ciencia

no triial. -l tecnicismo tiende a olidar los aut&nticos problemas, cuya dificultad principal

consiste en escoger las t&cnicas adecuadas para construir una estrategia de resolución. -n

este sentido puede decirse que el tecnicismo significa cierta triialización de la actiidad de

resolución de problemas.

Al igual que el tecnicismo, los docentes en su actiidad did$ctica, tienden a utilizar otras

corrientes como el teoricismo que establece los límites de aplicación y abstracción de los

conceptos matem$ticos. -n esta corriente que identifica ense5ar y aprender matem$ticas con

ense5ar y aprender teorías, /el proceso didáctico empieza, y prácticamente acaba en el instante en que el profesor ense!a0.


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'e trata entonces de llear al sujeto aprendiz a un proceso que conllea una serie de

etapas que no, necesariamente se tiene que desarrollar en forma secuencial. 'e comienza con

una primera idea acerca de lo que se tiene y lo que se pide y, conforme aanzamos en su

resolución, nuestra comprensión del problema a modific$ndose. -l teoricismo y el

tecnicismo no establecen las articulaciones necesarias entre concepto y realidad; sino buscan

las triializaciones de los problemas mediante una descomposición en ejercicios rutinarios,

/Slo que admite no sólo la eliminación de la dificultad principal del problema sino,

incluso, su desaparición0.


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ealuación e!perimental de las teorías e hipótesis. -n cualquier caso, la utilidad de la

#atem$tica para describir el unierso es un tema central de la filosofía de la #atem$tica.

-l estatuto, sin duda alguna, conjuntamente con los aspectos antes istos, contribuye a

darle rigor científico a la disciplina en estudio. 2a #atem$tica, como ciencia, tiene su

propio campo de estudio" $a, !,"(c"(a, a',"(ac"a, que se definen a partir de a!iomas en

que la lógica y la notación matem$tica funcionan como medios para lograrlas.

(iene un sistema de contenido $lido que son los entes abstractos, las relaciones

espaciales y cuantitatias así como la resolución de problemas. 2a #atem$tica trata de

establecer las relaciones e!actas que e!isten entre cantidades y magnitudes; y utiliza

m&todos para lograr su objetio" !ncn"(a( $a &a"a &('a( @! ,"a !8i,"! n !8i,"! ,

que difiere mucho de buscar la utilidad que podría tener tal conocimiento.

Adem$s, la #atem$tica tiene un lenguaje simbólico propio que son los n3meros, y las

ariables que resultan ser una herramienta aliosa para e!presar las ideas científicas sin

ambig8edad. -sta particularidad singular de las #atem$ticas hace que las mismas se

constituyan en el principal lenguaje de la ciencia.

2a #atem$tica, como ciencia, utiliza la colección de medidas, la hipótesis y la

predicción, ya que estos hacen uso de modelos lógico U matem$ticos así como del c$lculo. -n

esta perspectia, la #atem$tica retoma una de sus funciones la cual es proporcionar los

modelos num&ricos de acuerdo a las e!igencias de la ingeniería y la inentia.

Wa para concluir nuestro abordaje a la -pistemología de la #atem$tica, despu&s de

haber esbozado algunas ideas sobre el desarrollo epistemológico de la #atem$tica, su objeto

de estudio y fundamentación científica, no nos debe asombrar las grandes aplicaciones del

pensamiento matem$tico en las ciencias y en la tecnología. -l impacto que la #atem$tica ha

ejercido sobre la historia y la filosofía, realmente, ha sido trascendental en todos los nieles.

2a #atem$tica como ciencia resulta ser una obra de arte intelectual, que proporciona una

intensa luz en la e!ploración del unierso y ha tenido desde su inicio grandes repercusiones

pr$cticas en el desarrollo de la humanidad. -n su aprendizaje se pueden utilizar con gran

proecho sus aplicaciones, su historia, los aportes de los matem$ticos m$s c&lebres, sus

relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana.

http://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gico-matem%C3%A1tico&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gico-matem%C3%A1tico&action=edit&redlink=1


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2os matem$ticos, al igual que otros científicos, gozan en particular cuando descubren

qu& partes de esa ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí. W tal como ya

hemos e!puesto, parte de la belleza que muchas personas han percibido en la ciencia

#atem$tica no radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad, sino por el contrario,

en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación.

-n el aanzar continuo de la #atem$tica, se han encontrado m$s relaciones entre partes

que inicialmente se habían desarrollado aisladamente. @n íido ejemplo de ello, son las

representaciones simbólicas del lgebra y las representaciones espaciales de la %eometría.

-n el incesante recorrido de la 7iencia #atem$tica, se aistan como perfiles de inestigación

futura" identificar en cada campo de estudio, un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a

partir de las cuales pueda deducirse, por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en

ese campo. *or los motios antes e!presados, coincidimos con el pensar de 2uis Antonio

'antaló cuando apunta" "Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la

verdadera Matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que

es técnica y rutina#$

'e hace necesario dejar claro que las #atem$ticas juegan un papel central en la cultura

moderna y se hace, sumamente, imprescindible la comprensión b$sica de ellas en la

formación científica, ya que su esencia se encuentra tanto en su belleza como en su reto

intelectual. *ara otros profesionales, incluidos científicos e ingenieros, el alor principal de

las #atem$ticas estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo.

2a #atem$tica es principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcción

y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente. -stas ideas, por lo

general, surgen de la necesidad de resoler problemas en la ciencia, la tecnología y la ida

cotidiana que an desde cómo modelar ciertos aspectos de un problema científico complejo

hasta cómo hacer el balance de un talonario de cheques. 7erramos el refle!ionar sobre esta

disciplina haciendo nuestro el pensamiento de :ordas 1esmulin / %in Matemáticas no se

penetra hasta el fondo de la filosofía sin filosofía no se llega al fondo de las Matemáticas

sin las dos no se ve el fondo de nada0.


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CONCLUSIÓN

1espu&s de haber esbozado algunas ideas sobre el desarrollo epistemológico de la

#atem$tica, su objeto de estudio y fundamentación científica, no nos debe asombrar

las grandes aplicaciones del pensamiento matem$tico en las ciencias y en latecnología. -l impacto que la #atem$tica ha ejercido sobre la historia y la filosofía,

realmente, ha sido trascendental en todos los nieles. 2a #atem$tica como ciencia

resulta ser una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la

e!ploración del unierso y ha tenido desde su inicio grandes repercusiones pr$cticas

en el desarrollo de la humanidad. -n su aprendizaje se pueden utilizar con gran

proecho sus aplicaciones, su historia, los aportes de los matem$ticos m$s c&lebres,

sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana.

2os matem$ticos, al igual que otros científicos, gozan en particular cuando

descubren qu& partes de esa ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí.

W tal como ya hemos e!puesto, parte de la belleza que muchas personas han percibido

en la ciencia #atem$tica no radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad,

sino por el contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la

comprobación.

-n el aanzar continuo de la #atem$tica, se han encontrado m$s relaciones entre

partes que inicialmente se habían desarrollado aisladamente. @n íido ejemplo de

ello, son las representaciones simbólicas del lgebra y las representaciones

espaciales de la %eometría. -n el incesante recorrido de la 7iencia #atem$tica, se

aistan como perfiles de inestigación futura" identificar en cada campo de estudio,

un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a partir de las cuales pueda deducirse,

por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en ese campo. *or los motios

antes e!presados, coincidimos con el pensar de 2uis Antonio 'antaló cuando apunta"

"Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la verdadera

Matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que es

técnica y rutina#$


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'e hace necesario dejar claro que las #atem$ticas juegan un papel central en la

cultura moderna y se hace, sumamente, imprescindible la comprensión b$sica de ellas

en la formación científica, ya que su esencia se encuentra tanto en su belleza como en

su reto intelectual. *ara otros profesionales, incluidos científicos e ingenieros, el alor principal de las #atem$ticas estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo.

2a #atem$tica es principalmente un proceso de pensamiento que implica la

construcción y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente.

-stas ideas, por lo general, surgen de la necesidad de resoler problemas en la ciencia,

la tecnología y la ida cotidiana que an desde cómo modelar ciertos aspectos de un

problema científico complejo hasta cómo hacer el balance de un talonario de cheques.

7erramos el refle!ionar sobre esta disciplina haciendo nuestro el pensamiento de

:ordas 1esmulin / %in Matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía

sin filosofía no se llega al fondo de las Matemáticas sin las dos no se ve el fondo de

nada0.


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BIBLIOGRA5ÍA CITADA

=. GASCÓN, 4. D!,a(($$ d!$ cnci#i!n" #a"!#)"ic : an)$i,i, did)c"ic. =D.

I. GASCÓN, 4. E$ci%n d! $a did)c"ica d! $a Ma"!#)"ica c# di,ci&$ina

ci!n"4fica. =T.

BIBLIOGRA5ÍA CONSULTADA

=. ÁLAREZ Qulgencio. An"$g4a d! "!8", &a(a an)$i,i, : (!f$!8i%n. 7urso de

-pistemología y educación. Vctubre, I>>T.

I. BUNGE, #ario. La ci!ncia , #"d : fi$,f4a.

D. POLA %eorge. C%# &$an"!a( : (!,$!( &('$!#a,. #&!ico. (rillas.

=T=.

2. PROECTO *=61. Aanc!, !n !$ cnci#i!n" ci!n"4fic. -ditorial Larla.

#&!ico. =T

G. PROECTO *=61. Ci!ncia cnci#i!n" &a(a "d,. -ditorial Larla.

#&!ico, =Y.

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