Matematicas 1

MATEMATICAS I

PRIM ER PARCIAL

06 DE DICIEMBRE DEL 2010

MATEMATICAS I

TEMARIO.

+SISTEMA DE NÚMEROS (1er. Departamental)

-Números reales-Números naturales-Números enteros-Números racionales-Números irracionales-Propiedad de los números

+NÚMEROS COMPLEJOS

+CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

-Funciones logarítmicas

+POLINOMIOS

-Operaciones y polinomios

+FUNCIONES

-Concepto, variables, pendientes, independientes y constantes

+DERIVACIÓN, CÁLCULO, DIFERENCIAL (2do. Departamental)

+APLICACIONES, DEMOSTRACIONES

+CÁLCULO INTEGRAL (3er. Departamental)

-Concepto, aplicación, métodos

1 | P á g i n a

(R) Reales

Imaginarios

(Q) Racionales

Irracionales

(Z) Enteros

Fraccionales

(N) Naturales

Enteros Negativos

(0) CeroC. Complejo

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NÚMEROS REALES

CONCEPTO:

Es el conjunto de números naturales como son: enteros, racionales e irracionales, que en conjunto

forman todos los números reales (π, 34 , 3, -1).

NÚMEROS NATURALES

CONCEPTO:

Son todos los números enteros pero positivos, que desde el inicio de los tiempos fueron con los que se contaron para contar, y son los números básicos para formar un sistema (1, 2, 3, 4…..9).

NÚMEROS ENTEROS

CONCEPTO:

Es el grupo de números que solo pueden ser naturales más aparte todos los números enteros pero negativos (-1, -2, -3, -4, -5, 0, 1, 2, 3, 4)

NÚMEROS RACIONALES

CONCEPTO:

Son los números que se crean en base al cociente de dos enteros, o bien, se encuentran dentro de

un periodo que se repite en su expansión decimal (72, 94,2.89¿

NÚMEROS IRRACIONALES

CONCEPTO:

Es el conjunto de números que no pueden ser representados con una fracción; es decir, que esa fracción es irreducible y se representa con un número. (√3, √6)

Ejemplo:

2 | P á g i n a

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Números reales

6, 7.98, √3 ,0, 34, 3/5, 76, 0.987, 123, 7/8

Números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

Números enteros

-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12

Números racionales

3.143, 34, 3856,8.904 , 7

42, 58,4.32 , 31

45,5.6,23 .78

Números irracionales

Log2,√3 ,√89 ,√34 , log 23 , log 45 ,√75 ,√33 , log2,5 log3

PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS

Propiedad Conmutativa

Una operación conmutativa es el resultado de la operación de dos números, no importando el orden o acomodo de los números que se opera.

Propiedad asociativa

Esta propiedad es el resultado de la operación de dos o más números más la suma de un tercero y el resultado no es alterado por el orden

3 | P á g i n a

5+7=12

7+5=12

3(5)=5(3)

7(8)=8(7)

(xy)z=y(xz)

(ab)c=a(bc)

(x+y)+z=x+(y+z)

(1+2)+3=(3+2)1

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Propiedad distributiva

Esta propiedad nos ayuda en una operación a distribuir las variables de una operación que conllevan la misma, obteniendo de un resultado si se desarrolla la operación.

Propiedad de adición

Nos permite que de un número cualquiera poderle adicionar otro número generando como resultado una suma

Multiplicación

Es la propiedad que tiene un número para adicionarle el mismo número determinadas veces, esto lo define el otro número que indica cuantas veces se repetirá y se adicionará.

Escriba la propiedad de los siguientes ejercicios:

1) 5(23+ 312

¿=103

+ 1512 propiedad de: adición, núm. Racionales

2) (-3)(6)=(6)(-3) propiedad de: núm. Enteros, conmutativa

4 | P á g i n a

x(y+z)=xy+xz

5(x+y)=5x+5y

a+b=c

15.7+34.1=49.8

axb=c

4x5=20

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3) 7+9=9+7 propiedad de: núm. Enteros, conmutativa

4) √6 propiedad de: adición, núm. Irracional

5) 0.3333 propiedad de: conmutativa, núm. Racional

6) 3π propiedad de: multiplicación, núm. Irracional

7) 2 π+5 π= π(2+5) propiedad de: distributiva, núm. Irracional

8) 3x(2y-5z)=6xy-15xz propiedad de: distributiva, núm. Irracional

NÚMEROS COMPLEJOS

CONCEPTO:

Es el que describe la suma de un número imaginario, los números complejos se utilizan en todos los campos de aplicación.Principalmente en la electrónica y en las comunicaciones que por su forma y modo de representar sus datos.

Todos los números completos, todas las raíces e los polinomios, caso que con los números reales no es posible de representar.Esto se consigue debido a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada “número”

Donde i= √−1, la cual verifica a la propiedad

Esta unidad imaginaria es la que permite definir estas opciones.

Donde i0=1, i2=√−1 y i3=1

Cuando estos elementos o cada numero complejo se representa, debe ser de forma binomial (z=a+b) donde la parte real de numero complejo es “z” y “a” y “b” son el complemento, donde “b” es imaginario y “a” real y sumados dan el número complejo.

“z1=3+4i” y se le quiere sumar “z2=5-2i”

z= (3+4i)+(5-2i)

z= 3 + 4i + 5 - 2i5 | P á g i n a

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z=8 + 2i

Ejercicios=

a) z1-z2

Z= (3+4i) – (5-2i)Z= 3 + 4i – 5 + 2iZ=6i – 2

b) (z1)(z2)

Z= (3+4i)(5-2i)Z=15 – 6i + 20i - 8 i2

Z= 15 + 14i - 8(-1)Z= 32 + 14i

c)z1z2

Z=3+4 i5−2 i =

5−2 i5−2 i

Z= (3+4 i)(5−2 i)

5−2 i =

23+14 i25−20 i+4 i =

23+14 i21−20 i

d) z1+z3

Z= 3 + 4i + 8 +2iZ= 11 + 6i

e) (z3)(z2)

Z= 40 – 16i + 10i - 4i6 | P á g i n a

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Z=40 – 6i - 4iZ=40 – 6i – 4(-1)Z= 44 – 6i

ECUACIÓN

Es un conjunto de variables que cumplen con una función ejemplo= 2x + 3 = 9

ECUACIONES VARIABLES

3x + y = 22

4x – 3y = 1

POLINOMIO

La operación algebraica de varios monomios constituido por un numero finito de variables y constantes

1) x3 – x2+ x=02) 8 x2−4 x2

3) x3−5 x2+2 x−1−34) 5 x2−2 x3+x+10

NULO x3+ x2+x=0 3er. grado

7 | P á g i n a

3x + y = 22

4x – 3y =1

13x = 67

X = 6713

3(6713 ) + y = 22

20113 + y = 22

201+13 y13 = 22

201 + 13y = 286

13y = 85

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x4+3 x3+2x2+x=0 4to. grado

x5+ x4+x3+x2+x=0 5to. Grado

HOMOGENEO

P(x) = x2−3 x2 2do. Grado

P(x) = x5+7 x5 5to. grado

P(x) = 3 x3−2 x3 2do. grado

COMPLEJO

P(x) = 2 x4−3 x3+6 x+2 4to. Grado

P(x) = 5 x5+3 x4−2x3+5 x2+x 5to. Grado

P(x) = 10 x3−5 x2+10 x 3er. Grado

HETEROGENEO

P(x) = x4+3 x3+2x2+x 4to. Grado

P(x) = = x2+ x+3+x3 3er. Grado

P(x)= x4+x3+x5+x2+x 5to grado

ORDENADO

P(x) = 2 x4+2x3+5 x2+x+7 4to. grado

P(x) = 5 x3+7 x5+3 x 5to. Grado

P(x) = 8 x3+3x2+7 x 3er. grado

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Es la obtención de un término en común. El cual nos ayuda a reducir el polinomio.

36 x2−12x3+18 x=6 x (6 x−2 x2+3)

8 | P á g i n a

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Existe también la factorización de una diferencia de cuadrados, es cuando el exponente es divisible entre si mismo.

(a2−b2 ¿= (a+b )(a−b)

a=4 y b=3

(42−32¿=(4+3 )(4−3)

(16-9)=(7)(1)

7=7

FACTOR COMÚN

3 x2−6 X+9 x4=(3 x ) (x−2+3 x3 )

2 x3−4 x2+2 x=(2x ) (x2−2x+1 )

4 x2+2 x2−3 x=6 x2−3 x

5 x3+7 x2+7 x=( x ) ¿)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

4 x2−1=(2 x−1 )(2 x+1)

x4−16=(x2−4 ) (x2+4 )

DETERMINE O DESARROLLE EL BINOMIO CUADRADO PERFECTO

4 x2+9+12x=(2 x+3 ) (2x+3 )=(2 x+3)2

REGLA DE RUFINI

Sirve para cualquier tipo de polinomio que tenga raíces enteras que dependiendo al número de raíces

Si el polinomio es de 4

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

9 | P á g i n a

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Esta regla se aplicara así=

2 x4−8 x3−2 x2−32x−24

(x-1)

(x-2)

(x+2)

2 x4−8 x3−2 x2+32 x−24=( x−2 ) ( x+2 ) ( x−1 )(2x−6)

b) 3 x4−5 x3−17x2+13 x+6

(x-1)

(x+2)

(x-3)

10 | P á g i n a

3 – 5 – 17 + 13 + 6

1 3 – 2 - 19 - 6

3 – 2 – 19 - 6 0

-2 - 6 + 16 + 6

3 -8 -3 0

3 9 + 3

3 -+1 0

2 – 8 – 2 + 32 – 24

1 2 – 6 - 8 + 24

2 – 6 – 8 + 24 0

2 4 – 4 - 24

2 -2 -12 0

2 - 4 - 12

2 - 6 0

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3 x4−5 x3−17 x2+13x+6=( x−1 ) ( x+2 ) ( x−3 )(3 x+1)

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA

P(x) = 3 x6−2 x5+8 x4+8x3−x2+7 x+1

P(x) = 4 x5+x4+9x3−12x2+16 x−6

P(x) = 3 x6+2x5+9 x4+17 x3−13 x2+23 x−5

RESTA

P(x) = 3 x6−2 x5+8 x4+8x3−x2+7 x+1

P(x) = 4 x5+x4+9x3−12x2+16 x−6

P(x) = 3 x6−6 x5+7 x4−x3+11 x2+9x+7

MULTIPLICACIÓN

P(x) = 3 x6−2 x5+8 x4+8x3−x2+7 x+1

P(x) = x3+2

P(x) =3 x9−2 x8+8x7+14 x6−5 x5+23 x4+17 x3−2x2+14 x+2

11 | P á g i n a

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EJERCICIOS =

P(x) = 2 x5+5 x4−6 x3+7 x2−9 x+3

G(x) = 6 x6+7 x4−3 x3+6 x2−2x−5

F(x) = 7 x5+2x4+5 x3−4 x2+7 x+6

H(x) = 2 x2+2 x

1) P(x) + G(x)

2 x5+5 x4−6 x3+7 x2−9 x+3

6 x6+7 x4−3 x3+6 x2−2x−5

6 x6+2 x5+12 x4−9 x3+13 x2−11x−2

2) P(x) - G(x)

2 x5+5 x4−6 x3+7 x2−9 x+3

6 x6+7 x4−3 x3+6 x2−2x−5

−6 x6+2x5−2x4−3 x3+x2−7 x+8

3) P(x) * H(x)

2 x5+5 x4−6 x3+7 x2−9 x+3

2 x2+2 x

4 x7+14 x6+4 x5−3 x4+2 x3−19 x2+15 x−3

4) G(x) * H(x)

6 x6+7 x4−3 x3+6 x2−2x−5

12 | P á g i n a

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2 x2+2 x

12 x8+12 x7+8 x6+8 x5−x4+11 x3−20 x2−8 x+5

5) F(x) * H(x)

7 x5+2x4+5 x3−4 x2+7 x+6

2 x2+2 x

14 x7+18 x6+7 x5+ x3+30 x2+19 x−6

ECUACIONES LINEALES

Es una igualdad en la que intervienen una o dos cantidades descenoadas, llamadas “incógnitas” ó “variables”.

Sirven para determinar los valores verdaderos de un sistema de ecuaciones

Ecuación de 2do. Grado

Es aquella en la que después de efectuar todas las reducciones posibles, el exponente de la incógnita será 1.

SUSTITUCIÓN

3x + y = 22

4x – 3y = -1

IGUALACIÓN

3x + y = 22

13 | P á g i n a

y = 22 – 3x

4x-3(22-3x) = -1

4x-66+9x = -1

3x = 65

x = 5

y = 22 – 3x

y = 22-3(5)

y = 22-15

y = 7

y = 22 – 3x

y= 4 x+13

22−3 x=4 x+13

y = 22 – 3x

y = 22-3(5)

y = 22-15

y = 7

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4x – 3y = -1

SUMA Y RESTA

3x + y = 22

4x – 3y = -1

3x + y = 22

4x – 3y = 1

14 | P á g i n a

y = 22 – 3x

y= 4 x+13

22−3 x=4 x+13

y = 22 – 3x

y = 22-3(5)

y = 22-15

y = 7

(3)(3x+y = 22)

y=

9x+3 y=664 x−3 y=−113 x0=65

x=6515

X = 5

y = 22 – 3x

y = 22-3(5)

y = 22-15

y = 7

3x + y = 22

4x – 3y =1

13x = 67

X = 6713

3(6713 ) + y = 22

20113 + y = 22

201+13 y13 = 22

201 + 13y = 286

13y = 85

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6x + 8y = 15

4x – 7y = 10

3x - 4y = - 10

-8x + 2y = - 8

15 | P á g i n a

X = 15−8 y6

X = 10+7 y4

4(15-8y) = 6(10+7y)

60-32y = 60+42y

0 = 74y

y = 0

x = 10+7 y4

x = 104

x = 52

X = 10−4 y3

X = 8+2 y4

8(10-4y) = 3(8+2y)

80-32y = 24+6y

56 = 38y

y = 2819

x = 2( 2819 )+8

8

x = 5619

+8

8

x = 208198

x = 2619

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