Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades RESUMEN DE COMBINATORIA.

Matemáticas

2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades

RESUMEN DE COMBINATORIA

Matemáticas


Variaciones sin repetición

Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos distintos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.

Su número se representa por Vm, n o Vmn .

Matemáticas


Construcción y número de las variaciones ordinarias

Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenarsus elementos formando grupos de 1, 2, 3, 4, 5 elementos sin que se repita ninguno?

V5,1

abacadae

Número

V5,1 = 5

V5,2 babcbdbe

cacbcdce

dadbdcde

eaebeced

a b c d e

Formación

V5,2 = 5·4 = 20

V5,3abcabdabe…

bacbadbae...

cabcadcae…

...............

edaedbedc V5,3 = 5·4·3 = 60

n factores decrecientes consecutivos

En general: Vm, n = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) ………….. (m – n + 1)

Matemáticas


Construcción de las variaciones ordinarias mediante un diagrama de árbol

En una carrera de motos participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no pueden llegar al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros?

V20,3 =20 x 19 x 18 = 6840 posibilidades

Matemáticas


Variaciones con repetición

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos repetidos o no.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.

Su número se representa por VRm, n o VRmn

Matemáticas


Construcción y número de las variaciones con repetición

Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus elementos formando grupos de 1, 2, 3,…. elementos repitiendo cada uno tantas veces como haga falta?

VR5, 1

NúmeroVR5, 1 = 5

VR5, 2 dadbdcddde

a b c d e

Formación

VR5, 2 = 5·5 = 25

VR5 ,3…………… VR5, 3 = 5·5·5 = 125

n factores

En general: VRm, n = m . m . m . m . … . m = mn

aaabacadae

aaaaabaac…

babbbcbdbe

baababbac...

cacbcccdce

caacabcac…

eaebecedee

eeaeebeec

Matemáticas


Construcción de las variaciones con repetición mediante un diagrama de árbol

Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda, obteniendo en cada lanzamiento

cara (C) o cruz (X). ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener?

VR2,4 = 24 = 16

Matemáticas


Permutaciones ordinarias

Permutaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:

En cada grupo entren los n elementos.

Dos grupos son distintos si se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos.

Su número se representa por Pn.

Matemáticas


Número de permutaciones ordinarias

Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus 5 elementos formando grupos de 5 sin que se repita ninguno?

n factores decrecientes consecutivos

En general: Vn, n = Pn = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) ………….. 5.4.3.2.1

P5 = V5,5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

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Permutaciones circulares

Este tipo de permutaciones se llaman permutaciones circulares de n elementos. El número de permutaciones circulares se representa por PC n =Pn-1

=(n-1)!

Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro personas alrededor de una mesa redonda?

Se trata de ordenar cuatro personas (a,b,c,d).

abcd

abdc

acbd

acdb

adbc

adcb

bcad

bcda

bdac

bdca

bacd

badc

cabd

cadb

cbad

cbda

cdab

cdba

dbac

dbca

dcab

dcba

dabc

dacb

abcd

abdc

abcd

abdc

acbd

acdb

adbc

adcb

Todas las formas posibles, es decir, P3 = 3! = 6 formas distintas.

Matemáticas


Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, ... , el último k veces (a + b + ... + k = n), son los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:

En cada grupo de n elementos el primero está a veces; el segundo b veces;...

Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

Su número se representa por Pna,b,.....,k.

Matemáticas


Número de permutaciones con repetición

Con 5 monedas de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz, ¿cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre dos estén en posición de cara y tres en posición de cruz?

• Si las monedas fuesen distinguibles (por ejemplo por ser de distintos colores) habría que permutar 5 elementos: en total 5! = 120.

• Pero a ser indistinguibles, muchas de las permutaciones son iguales. Para contar las permutaciones con repetición hemos de dividir entre el número de repeticiones.

• Las permutaciones repetidas que tienen tres cruces son 3! Las permutaciones repetidas que tienen dos caras son 2! El número de permutaciones repetidas son 3! . 2! = 12.

• Por tanto el número de permutaciones con repetición es: 5! / (3! . 2!) = 10.

Estas son las ordenaciones:CCXXXCXCXXCXXCXCXXXCXCCXXXCXCXXCXXCXXCCXXXCXCXXXCC

En general: n!Pn = a! b! ... k!

a, b, ... , k

(a + b + ... + k = n)

Matemáticas


Combinaciones sin repetición

Combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos distintos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos.

Su número se representa por Cm, n o Cmn .

Matemáticas


Número de combinaciones sin repetición

Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿Cuántos subconjuntos podemos obtener formandocada uno por 1, 2, 3, ... elementos sin que se repita ninguno?

C5,1

abacadae

Número

C5, 1 = 5

C5,2

bcbdbe

cdce de

a b c d e

Formación

C5, 2 = (5.4)/2 = 10

C5,3 abcabdabe

acdace

ade bcdbce

cde

C5, 3 = (5.4.3)/6 = 10

bde

En general: Cm,n = Vm, n

Pn

Matemáticas


Combinaciones con repetición

Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos repetidos o no.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos.

Su número se representa por CRm, n o CRmn .

Matemáticas


sí

no

Variaciones

sí

Permutaciones

sí

Con repetición

no

Ordinarias

no

Combinaciones

sí

Variaciones opermutaciones

no

¿Conviene contar todos los casos simultáneamente? sí Si hay dos o más tipos de situaciones, se

calculan por separado y se suman.

¿Se eligen los elementos de un mismo conjunto? no Se aplica el principio de la multiplicación.

¿Importa el orden?

¿Se escoge un elementomás de una vez?

¿Intervienen todos los elementos?

Problemas de combinatoria (I)

Matemáticas


Problemas de combinatoria (II)

Dado un conjunto de n elementos, queremos elegir m elementos de ese conjunto.¿Cómo lo podemos coger?

SIN repetición

CON repetición

Influye el orden

NO influye el ordenNO todos los elementos

Todos loselementos

Variacionesordinarias

Variaciones con repetición

Permutaciones

Permutacionescon repetición

Combinacionesordinarias

Combinacionescon repetición

Matemáticas


Números combinatorios

En general: Cm, n = Vm, n

Pn

=

Esto también se puede escribir de la siguiente forma:

m (m –1) (m – 2) … (m – n +1) (m – n )!

n! (m – n)! =

m!

n! (m – n)!Cm, n =

( )mnEsta última expresión recibe el nombre de número combinatorio

m (m – 1) ... (m – n +1)

n!

Matemáticas


Propiedades de los números combinatorios (I)

m0 = 1 =

m!

0! (m – 0)!Cm, 0 =m

0 =m!

1 · m!= 1

mm = 1 =

m!

m! (m – m)!Cm, m =m

m =m!

m! · 1= 1

mn = m

m – n

=m!

n! (m – n)!m

n =m!

(m – n)! n!

=m!

(m – n)! (m – (m – n))! =m

m – n

Matemáticas


Propiedades de los números combinatorios (II)

mn = m

n – 1 + m + 1n

mnm

n – 1 + =m!

(n – 1)! (m – n + 1)! +

m!

n! (m – n)!=

=m! . n

n! . (m – n + 1)! +

m! . (m – n + 1)

n!. (m + 1 – n)!= m + 1

nm! . (m + 1)

n! . (m + 1 – n)!=

Matemáticas


Números combinatorios y triángulo de Pascal

1 ( )10

1 1 ( )11( )1

0

1 2 1 ( )21 ( )2

2( )20

1 3 3 1 ( )31 ( )3

2( )30 ( )3

3

1 4 6 4 1 ( )41 ( )4

2( )40 ( )4

3( )4

4

1 5 10 10 5 1 ( )51 ( )5

2( )50 ( )5

3( )5

4 ( )55

Triángulo de Pascal

1 6 15 20 15 6 1 ( )61 ( )6

2( )60 ( )6

3( )6

4 ( )65 ( )6

6

( )m0 = ( )m

m = 1 ( )mn = ( )m

m–n ( )mn + ( )m

n–1 ( )m+1n

=

Matemáticas


Potencia de un binomio. Binomio de Newton

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

(a + b)1 = a + b

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3 b2 + 6a2 b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 +5ab4 + b5

(a + b)n = ( )n

n–1( )n0 an + ( )

n1 an–1b +...+ ( )

ni an–ibi +…+ abn–1 + ( )

nn bn

1 3 3 1

1 1

1 2 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Fórmula del binomio de Newton

Los números se llaman coeficientes binomiales.( )ni

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