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MATEMÁTICAS 3

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

• LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a”

• lím f(x) • xa • Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier

sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa:

• lím f(x) = L • xxo • EJEMPLO:• • lím x2 = 22 = 4• x2 • Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, …• Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, …

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• Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama …• Sucesión ( o función ) CONVERGENTE.

• Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama …• Sucesión ( o función ) DIVERGENTE.• Nota: No se considera válido como límite el +/- oo.

• Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama …

• Sucesión ( o función ) OSCILANTE.

• EJEMPLOS:• • lím (3.x2 +1) / x2 = 3 FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo• xoo • lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1• x1• lím (- 1)n = +/- 1 FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N• noo

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PROPIEDADES OPERATIVAS• a) Si existe límite, éste debe ser único.

• b) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites:• lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x)• xa xa xa• c) El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites:• lím (f(x) - g(x)) = lím f(x) - lím g(x)• xa xa xa• d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites:• lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x)• xa xa xa• e) El límite de una división de funciones es la división de los límites:• lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x)• xa xa xa• f) El límite de una potencia es la potencia de los limites :• g(x) lím g(x)• lím (f(x)) = (lím f(x ) xa• xa xa• g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite:• lím Log f(x) = Log lím f(x) • xa b b xa

Apuntes 2º Bachillerato C.T. 5@ Angel Prieto Benito

LÍMITES LATERALES• En un límite vemos que x puede tender al valor de “a”

tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números:

• 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, …• 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, …• Se hace preciso distinguir ambos límites.•

LIMITE POR LA DERECHA• lím f(x) = L1 • xxo+ •• LIMITE POR LA IZQUIERDA• lím f(x) = L2 • xxo-- •

Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden.

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• LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO• Si representamos la función:• y = x / ( x - 3) vemos que cuando x

vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3.

• Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3.

• x 3

• lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo• x3+ x - 3 +0 • pues x vale algo más de 3.• x 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x3- x - 3 - 0 • pues x vale algo menos de 3.

LIMITES INFINITOS en un punto

0 3 x

Y

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Apuntes 2º Bachillerato C.T. 7@ Angel Prieto Benito

• Ejemplo:• Si representamos la función:• y = x / ( x2 - 4) • vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor

de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2.

• x 2

• lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo• x2+ x2 - 4 +0 • pues x vale algo más de 2 y x2 > 4• x 2 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo • x2- x2 - 4 - 0 • pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4

• x - 2 • lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo• x- 2+ x2 - 4 - 0 • pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4• x - 2 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x- 2- x2 - 4 + 0 • pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4

-2 0 2 x

Y