Matemáticas

1. MatemticasEducacin bsica. SecundariaProgramas de Estudio 2006

2. Educacin bsica. Secundaria. Matemticas. Programas de estudio 2006 fue elaborado por personal acadmico de la DireccinGeneral de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecretara de Educacin Bsica de la Secretara de Educacin Pblica.La sep agradece a los profesores y directivos de las escuelas secundarias y a los especialistas de otras instituciones por suparticipacin en este proceso.Coordinador editorialEsteban Manteca AguirreDiseoIsmael Villafranco TinocoCorreccinRoberto Zavala RuizFormacinManuel BritoSusana Vargas RodrguezPrimera edicin, 2006 SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA, 2006Argentina 28Col. Centro, C.P. 06020Mxico, D.F.isbn 968-9076-02-7Impreso en MxicoMATERIAL GRATUITO. PROHIBIDA SU VENTA 3. IndicePresentacin 5Introduccin 7Propsitos 9Enfoque 11Evaluacin17Secuencia y organizacinde contenidos 21Primer grado23Segundo grado 63Tercer grado 103Bibliografa recomendada 141 4. aprendiendo; impuls programas para apoyar la actualizacin de los maestros; realiz acciones de mejoramiento de la gestin escolar y del equi- Presentacinpamiento audiovisual y bibliogrfico. Sin embargo, estas acciones no han sido suficientes para superar los retos que implica elevar la calidad de los aprendizajes, as como atender con equidad a los alumnos durante su permanenciaLa Secretara de Educacin Pblica edita el Plan en la escuela y asegurar el logro de los propsi-de Estudios para la Educacin Secundaria 2006tos formativos plasmados en el currculo nacio-y los programas correspondientes a las asigna- nal.turas que lo conforman, con el propsito de queCon base en el artculo tercero constitucionallos maestros y directivos conozcan sus compo-y en cumplimiento de las atribuciones que lenentes fundamentales, articulen acciones cole- otorga la Ley General de Educacin, la Secreta-giadas para impulsar el desarrollo curricular en ra de Educacin Pblica plasm en el Programasus escuelas, mejoren sus prcticas docentes y Nacional de Educacin 2001-2006 el compromi-contribuyan a que los alumnos ejerzan efectiva-so de impulsar una reforma de la educacin se-mente el derecho a una educacin bsica de cali- cundaria que incluyera, adems de una renova-dad. cin del plan y de los programas de estudio, el Desde 1993 la educacin secundaria fue de-apoyo permanente y sistemtico a la profesiona-clarada componente fundamental y etapa delizacin de los maestros y directivos del nivel, elcierre de la educacin bsica obligatoria. Me- mejoramiento de la infraestructura y del equi-diante ella la sociedad mexicana brinda a todospamiento escolar, as como el impulso a nuevaslos habitantes de este pas oportunidades for- formas de organizacin y gestin que fortalecie-males para adquirir y desarrollar los conoci-ran a la escuela como el centro de las decisionesmientos, las habilidades, los valores y las com- y acciones del sistema educativo.petencias bsicas para seguir aprendiendo a lo Para llevar a cabo la renovacin del currculo,largo de su vida; enfrentar los retos que impone cuyo resultado se presenta en el Plan y en losuna sociedad en permanente cambio, y desem-Programas de Estudio 2006, se impulsaron di-pearse de manera activa y responsable comoversos mecanismos que promovieran la partici-miembros de su comunidad y ciudadanos de pacin de maestros y directivos de las escuelasMxico y del mundo.secundarias de todo el pas, de equipos tcnicos Durante ms de una dcada la educacin se-estatales responsables de coordinar el nivel, y decundaria se ha beneficiado de una reforma cu-especialistas en los contenidos de las diversasrricular que puso el nfasis en el desarrollo de asignaturas que conforman el plan de estudios.habilidades y competencias bsicas para seguir En este proceso se cont con el apoyo y compro- 5. miso decidido de las autoridades educativas es- los ciudadanos, as como fortalecer en las escue-tatales.las la cultura de la evaluacin y de la rendicin De igual manera, y con el propsito de contarde cuentas.con evidencias sobre la pertinencia de los conte- La Secretara de Educacin Pblica reconocenidos y de los enfoques para su enseanza, asque el currculo es bsico en la transformacincomo de las implicaciones que tiene aplicar una de la escuela; sin embargo, reconoce tambinnueva propuesta curricular en la organizacin que la emisin de un nuevo plan y programasde las escuelas y en las prcticas de los maestros, de estudio es nicamente el primer paso paradurante el ciclo 2005-2006 se desarroll en es- avanzar hacia la calidad de los servicios. Porcuelas secundarias de 30 entidades federativasello, en coordinacin con las autoridades educa-la Primera Etapa de Implementacin (pei) deltivas estatales, la Secretara brindar los apoyosnuevo currculo. Los resultados del seguimiento necesarios a fin de que los planteles, as comoa esa experiencia permiten atender con mejoreslos profesores y directivos, cuenten con los re-recursos la generalizacin de la reforma curricu- cursos y condiciones necesarias para realizar lalar a todas las escuelas del pas.tarea que tienen encomendada y que constituye Es innegable el valor que tiene el proceso dela razn de ser de la educacin secundaria: ase-construccin curricular arriba expresado. Por gurar que los jvenes logren y consoliden lasello, y a fin de garantizar que en lo sucesivo se competencias bsicas para actuar de manerafavorezca la participacin social en la revisin yresponsable consigo mismos, con la naturalezael fortalecimiento continuo de este servicio, lay con la comunidad de la que forman parte, ySecretara de Educacin Pblica instalar Con-que participen activamente en la construccinsejos Consultivos Interinstitucionales conforma-de una sociedad ms justa, ms libre y democr-dos por representantes de instituciones educati-tica.vas especializadas en la docencia y la investiga-cin sobre los contenidos de los programas de Secretara de Educacin Pblicaestudio; de las instituciones responsables de laformacin inicial y continua; de asociaciones ycolegios, tanto de maestros como de padres defamilia; as como de organizaciones de la socie-dad civil vinculadas con la educacin bsica. Elfuncionamiento de los Consejos en la evaluacinpermanente del plan y de los programas de es-tudio y de sus resultados permitir atender conoportunidad las necesidades y retos que se pre-senten, instalar una poltica de desarrollo curri-cular apegada a las necesidades formativas de 6. mismo, consiste en asumir una postura de con-fianza en su capacidad de aprender.La participacin colaborativa y crtica resultar Introduccin de la organizacin de actividades escolares colecti-vas en las que se requiera que los alumnos formu-len, comuniquen, argumenten y muestren la vali-dez de enunciados matemticos, poniendo enprctica tanto las reglas matemticas como socio-Mediante el estudio de las matemticas se busca culturales del debate, que los lleven a tomar lasque los nios y jvenes desarrollen una forma decisiones ms adecuadas a cada situacin.de pensamiento que les permita expresar mate- Los contenidos que se estudian en la educa-mticamente situaciones que se presentan en di- cin secundaria se han organizado en tres ejes:versos entornos socioculturales, as como utili-Sentido numrico y pensamiento algebraico; Forma,zar tcnicas adecuadas para reconocer, plantear espacio y medida y Manejo de la informacin.y resolver problemas; al mismo tiempo, se busca Sentido numrico y pensamiento algebraico alu-que asuman una actitud positiva hacia el estu-de a los fines ms relevantes del estudio de ladio de esta disciplina y de colaboracin y crtica, aritmtica y del lgebra: por un lado, encontrartanto en el mbito social y cultural en que seel sentido del lenguaje matemtico, ya sea oral odesempeen como en otros diferentes.escrito; por otro, tender un puente entre la arit- Para lograr lo anterior, la escuela deber brin- mtica y el lgebra, en el entendido de que haydar las condiciones que hagan posible una acti- contenidos de lgebra en la primaria, que sevidad matemtica verdaderamente autnoma yprofundizan y consolidan en la secundaria.flexible, esto es, deber propiciar un ambiente Forma, espacio y medida encierra los tres aspec-en el que los alumnos formulen y validen conje- tos esenciales alrededor de los cuales gira el es-turas, se planteen preguntas, utilicen procedi- tudio de la geometra y la medicin en la educa-mientos propios y adquieran las herramientas ycin bsica. Es claro que no todo lo que se midelos conocimientos matemticos socialmente esta- tiene que ver con formas o espacio, pero s lablecidos, a la vez que comunican, analizan e in-mayor parte; las formas se trazan o se constru-terpretan ideas y procedimientos de resolucin. yen, se analizan sus propiedades y se miden. La actitud positiva hacia las matemticasManejo de la informacin tiene un significadoconsiste en despertar y desarrollar en los alum-muy amplio. En estos programas se ha conside-nos la curiosidad y el inters por investigar y rado que la informacin puede provenir de si-resolver problemas, la creatividad para formu-tuaciones deterministas, definidas por ejem-lar conjeturas, la flexibilidad para modificar su plo, por una funcin lineal, o aleatorias, en laspropio punto de vista y la autonoma intelectualque se puede identificar una tendencia a partirpara enfrentarse a situaciones desconocidas; asi- de su representacin grfica o tabular. 7. La vinculacin entre contenidos del mismo eje, cin con el estudio de la funcin lineal y su re-entre ejes distintos o incluso con los de otras asig- presentacin algebraica y grfica; el primer temanaturas es un asunto de suma importancia, puestocorresponde a la asignatura de Fsica y los si-que la tendencia generalizada en la enseanza haguientes son contenidos matemticos de los ejessido la fragmentacin o la adquisicin del conoci-Sentido numrico y pensamiento algebraico y de Ma-miento en pequeas dosis, lo que deja a los alum- nejo de la informacin, respectivamente.nos sin posibilidades de establecer conexiones oCabe sealar que los conocimientos y habili-de ampliar los alcances de un mismo concepto. dades en cada bloque se han organizado de tal En estos programas, la vinculacin se favore-manera que los alumnos vayan teniendo accesoce mediante la organizacin en bloques temti-gradualmente a contenidos cada vez ms com-cos que incluyen contenidos de los tres ejes. Al- plejos y a la vez puedan establecer conexionesgunos vnculos ya se sugieren en las orientacionesentre lo que ya saben y lo que estn por apren-didcticas y otros quedan a cargo de los profeso- der. Sin embargo, es probable que haya otros cri-res o de los autores de materiales de desarrolloterios igualmente vlidos para establecer la se-curricular, tales como libros de texto o ficheros cuenciacin y, por lo tanto, no se trata de unde actividades didcticas.orden rgido. Un elemento ms que atiende la vinculacin Al profundizar en el estudio de los conteni-de contenidos es el denominado Aprendizajes dos de matemticas que se proponen para la es-esperados, que se presenta al principio de cada cuela secundaria se pretende que los alumnosbloque y donde se sealan, de modo sinttico, logren un conocimiento menos fragmentado,los conocimientos y las habilidades que todos los con mayor sentido, de modo que cuenten conalumnos deben alcanzar como resultado del es- ms elementos para abordar un problema. Estostudio del bloque en cuestin. programas parten de los conocimientos y las ha- Aunque la responsabilidad principal de los bilidades que los estudiantes obtuvieron en laprofesores de matemticas es que los alumnosprimaria, para establecer lo que aprendern enaprendan esta disciplina, el aprendizaje ser la secundaria. Los contenidos en este nivel se ca-ms significativo en la medida en que se vinculeracterizan, as, por un mayor nivel de abstrac-con otras reas. Por ejemplo: el estudio del mo-cin que les permitir a los alumnos resolver si-vimiento rectilneo uniforme tiene estrecha rela- tuaciones problemticas ms complejas. 8. En cuanto al eje Manejo de la informacin se re-suelven problemas que requieren el anlisis, laorganizacin, la representacin y la interpreta- Propsitos cin de datos provenientes de diversas fuentes.Este trabajo se apoya fuertemente en nocionesmatemticas tales como porcentaje, probabili-dad, funcin y en general en el significado de losnmeros enteros, fraccionarios y decimales.En esta fase de su educacin, por medio del El eje Forma, espacio y medida favorece de modoeje Sentido numrico y pensamiento algebraico,especial el desarrollo de la competencia de argu-los alumnos profundizan en el estudio del l- mentacin. Por ejemplo, para construir, reproducirgebra con los tres usos de las literales, concep- o copiar una figura, hay que argumentar las razo-tualmente distintos: como nmero general, nes por las que un trazo en particular es vlido ocomo incgnita y en relacin funcional. Esteno, tomando como base las propiedades de dichanfasis en el uso del lenguaje algebraico suponefigura. Lo mismo ocurre si se trata de determinarcambios importantes para ellos en cuanto a la si dos tringulos son congruentes o semejantes.forma de generalizar propiedades aritmticasFinalmente, la comprensin de los diversosy geomtricas.conceptos matemticos deber sustentarse enLa insistencia en ver lo general en lo particu- actividades que pongan en juego la intuicin,lar se concreta, por ejemplo, en la obtencin depero a la vez favorezcan el uso de herramientasla expresin algebraica para calcular un trmi- matemticas para ampliar, reformular o recha-no de una sucesin regida por un patrn; en lazar las ideas previas. As, por ejemplo, en el casomodelacin y resolucin de problemas por me-de la probabilidad los alumnos anticipan resul-dio de ecuaciones con una o dos incgnitas; entados, realizan actividades de simulacin y explo-el empleo de expresiones algebraicas que repre- racin de fenmenos aleatorios y expresansentan la relacin entre dos variables, la cual,propiedades, como la independencia, la equipro-para este nivel, puede ser lineal (en la que la babilidad, la complementariedad, etc. De esteproporcionalidad es un caso particular), cuadr-modo se intenta propiciar el desarrollo del pen-tica o exponencial. samiento probabilstico. 9. convencional, ya sea en trminos de lenguaje, como de representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya ms en el razonamiento queEnfoque en la memorizacin.Los avances logrados en el campo de la didctica de la matemtica en los ltimos aos dan cuenta del papel determinante que desem-La formacin matemtica que le permita a ca- pea el medio, entendido como la situacin o lasda miembro de la comunidad enfrentar y res-situaciones problemticas que hacen pertinenteponder a determinados problemas de la vida el uso de las herramientas matemticas que semoderna depender, en gran parte, de los cono- pretende estudiar, as como los procesos que si-cimientos adquiridos y de las habilidades y acti-guen los alumnos para construir nuevos conoci-tudes desarrolladas durante la educacin bsica. mientos y superar las dificultades que surgen enLa experiencia que vivan los nios y jvenes alel proceso de aprendizaje. Toda situacin pro-estudiar matemticas en la escuela, puede traerblemtica presenta obstculos cuya solucin nocomo consecuencias: el gusto o rechazo, la crea- puede ser tan sencilla que quede fija de antema-tividad para buscar soluciones o la pasividadno, ni tan difcil que parezca imposible de resol-para escucharlas y tratar de reproducirlas, la ver por quien se ocupa de ella. La solucin debebsqueda de argumentos para validar los resul- ser construida en el entendido de que existen di-tados o la supeditacin de stos al criterio del versas estrategias posibles y hay que usar al me-maestro. nos una. Para resolver la situacin, el alumno El planteamiento central en cuanto a la meto- debe usar los conocimientos previos, mismosdologa didctica que sustentan los programasque le permiten entrar en la situacin, pero elpara la educacin secundaria consiste en llevardesafo se encuentra en reestructurar algo quea las aulas actividades de estudio que despier-ya sabe, sea para modificarlo, para ampliarlo,ten el inters de los alumnos y los inviten a re-para rechazarlo o para volver a aplicarlo en unaflexionar, a encontrar diferentes formas de resol- nueva situacin.ver los problemas y a formular argumentos que A partir de esta propuesta, tanto los alumnosvaliden los resultados.como el maestro se enfrentan a nuevos retos que El conocimiento de reglas, algoritmos, frmu- reclaman actitudes distintas frente al conoci-las y definiciones slo es importante en la medi-miento matemtico e ideas diferentes sobre loda en que los alumnos lo puedan usar, de mane- que significa ensear y aprender. No se tratara flexible, para solucionar problemas. De ah de que el maestro busque las explicaciones msque su construccin amerite procesos de estudiosencillas y amenas, sino de que analice y pro-ms o menos largos, que van de lo informal a loponga problemas interesantes, debidamente ar-11 10. ticulados, para que los alumnos aprovechen lo la asignatura de Espaol. Muchas veces los que ya saben y avancen en el uso de tcnicas yalumnos obtienen resultados diferentes que razonamientos cada vez ms eficaces.no por ello son incorrectos, sino que corres-Seguramente el planteamiento de ayudar a ponden a una interpretacin distinta del los alumnos a estudiar matemticas con base enproblema, de manera que el maestro tendr actividades de estudio cuidadosamente selec-que averiguar cmo interpretan los alum- cionadas resultar extrao para muchos maes-nos la informacin que reciben de manera tros compenetrados con la idea de que su papeloral o escrita. es ensear, en el sentido de transmitir informa- c) El desinters por trabajar en equipo. El tra- cin. Sin embargo, vale la pena intentarlo, puesbajo en equipo es importante, porque ofrece abre el camino para experimentar un cambio ra-a los alumnos la posibilidad de expresar sus dical en el ambiente del saln de clases: los ideas y de enriquecerlas con las opiniones alumnos piensan, comentan, discuten con inte- de los dems, porque desarrollan la acti- rs y aprenden, y el maestro revalora su trabajotud de colaboracin y la habilidad para ar- docente. Este escenario no se halla exento de gumentar; adems, de esta manera se facili- contrariedades y para llegar a l hay que estar ta la puesta en comn de los procedimientos dispuesto a afrontar problemas como los si- que encuentran. Sin embargo, la actitud guientes: para trabajar en equipo debe ser fomentada por el maestro, quien debe insistir en quea) La resistencia de los alumnos a buscar porcada integrante asuma la responsabilidad su cuenta la manera de resolver los proble- de la tarea que se trata de resolver, no de mas que se les plantean. Aunque habr des-manera individual sino colectiva. Por ejem- concierto al principio, tanto de los alumnosplo, si la tarea consiste en resolver un pro- como del maestro, vale la pena insistir enblema, cualquier miembro del equipo debe que sean los estudiantes quienes encuentren estar en posibilidad de explicar el procedi- las soluciones. Pronto se empezar a notarmiento que se utiliz. un ambiente distinto en el saln de clases,d) La falta de tiempo para concluir las activi- esto es, los alumnos compartirn sus ideas, dades. Muchos maestros comentan que si habr acuerdos y desacuerdos, se expresa- llevan a cabo el enfoque didctico en el que rn con libertad y no habr duda de que se propone que los alumnos resuelvan pro- reflexionan en torno al problema que tratan blemas con sus propios medios, discutan y de resolver.analicen sus procedimientos y resultados,b) La dificultad para leer y por lo tanto para no les alcanza el tiempo para concluir el comprender los enunciados de los proble-programa. Con este argumento, algunos mas. Se trata de una situacin muy comn, optan por continuar con el esquema tradi- cuya solucin no corresponde nicamente a cional en el que el maestro da la clase mien-12 11. tras los alumnos escuchan, aunque no com- eficacia de las actividades que se plantean y aprendan. Ante una situacin como sta la vez en relacin con el desempeo de los alum-habr que recordar que ms vale dedicar nos, as como de las estrategias didcticas deltiempo a que los alumnos adquieran cono-profesor.cimientos con significado y desarrollen ha-Infortunadamente, en muchos casos esta ta-bilidades que les permitan resolver diversosrea ha representado para el profesor un requisi-problemas y seguir aprendiendo, que a en- to administrativo, por lo que sus planes de clasesear conocimientos que pronto sern olvi-no siempre reflejan lo que realmente sucede endados. En la medida en que los alumnosel aula.comprendan lo que estudian, los maestros Con el objeto de lograr los propsitos descri-no tendrn que repetir una y otra vez las tos en esta propuesta curricular, es necesario di-mismas explicaciones y esto se traducir en sear un modelo de plan de clase que realmentemayores niveles de logro educativo. sirva de apoyo para concretar las intenciones di- e) Espacios insuficientes para compartir expe- dcticas que el profesor plantea en su trabajoriencias. Al mismo tiempo que los profeso-diario.res asumen su propia responsabilidad, la Las caractersticas de un plan de clase funcio-escuela en su conjunto debe cumplir la suya:nal, de acuerdo con el enfoque de esta propuestabrindar una educacin de calidad a todo elcurricular, son las siguientes:alumnado. Esto significa que no basta con Que sea til, esto es, que le permita al pro-que un maestro o una maestra proponga afesor determinar el contenido que se estu-sus alumnos problemas interesantes paradiar en cada sesin y la actividad, proble-que reflexionen, sino que la escuela todama o situacin que considere ms adecuadadebe abrir oportunidades de aprendizajepara que los alumnos construyan los cono-significativo. Para ello ser de gran ayudacimientos esperados.que los profesores compartan experiencias, Que sea conciso, es decir, que contenga ni-pues, exitosas o no, hablar de ellas y escu-camente los elementos clave que requierecharlas les permitir mejorar permanente-el profesor para guiar el desarrollo de lamente su trabajo.clase. Que permita mejorar el desempeo docente:Planificacin cuando el profesor est planificando, ima-gina, anticipa y visualiza el desempeo deUna de las tareas docentes fundamentales quelos alumnos; es decir, est conjeturando loayuda a garantizar que el proceso de ensean- que va a ocurrir en la clase, por ejemplo, lasza, estudio y aprendizaje de las Matemticasposibles dificultades que tendrn los alum-sea eficiente es la planeacin de clases, puesnos al resolver los problemas que les pro-sta permite anticipar expectativas en torno a la ponga o los procedimientos que pueden 13 12. utilizar. Esta reflexin previa le permite al la evaluacin de ste. Para ello es necesario profesor, en caso de no suceder lo que habaque se registren en l las observaciones previsto, hacer uso de otros recursos, consi- que ayuden a tomar decisiones para mejo- derados o no considerados en su planifica-rar el proceso de estudio. A continuacin cin. Consecuentemente, la tarea de la pla- se presenta un ejemplo de Plan de clase, nificacin no termina con la puesta en mar- que intenta cubrir las caractersticas sea- cha del plan de clase; el proceso culmina con ladas.14 13. Plan de clase (1/4)Escuela: _____________________________________________________ Fecha: _______________Prof.(a).: ___________________________________________________________________________Curso: Matemticas 3 Eje temtico: Sentido numrico y pensamiento algebraicoApartado: 2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizandoprocedimientos personales u operaciones inversas.Intenciones didcticas:Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que pueden solu-cionarse mediante ecuaciones de segundo grado.Consigna:Van a trabajar en equipos para resolver el siguiente problema. Cuando encuentren la solucin,traten de asegurarse de que es la correcta. Si lo desean, pueden usar calculadora.El problema dice as: El cuadrado de un nmero menos 5 es igual a 220. Cul es ese nmero?Consideraciones previas:En caso de que el problema resulte muy fcil, habr una puesta en comn muy breve y ensegui-da se plantear el siguiente problema: El cuadrado de un nmero, ms tres veces el mismo n-mero, menos 5 es igual a 203. Cul es ese nmero?Observaciones posteriores:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 14. 1 15. Es evidente que los aprendizajes esperadosno corresponden uno a uno con los apartados deconocimientos y habilidades, pero conviene ex-Evaluacinplicar por qu. En primer lugar, porque los apar-tados de conocimientos y habilidades en cadabloque no son completamente ajenos entre s, esposible y deseable establecer vnculos entre ellospara darles mayor significado a los aprendiza-Sin duda uno de los componentes del proceso jes, incluso algunos de esos vnculos ya estneducativo que contribuye de manera importan-sealados en la columna de orientaciones didc-te para lograr mayor calidad en la prctica do- ticas.cente es el que se refiere a la evaluacin de los En segundo lugar, porque cada apartado deaprendizajes. Al margen de las evaluaciones conocimientos y habilidades es parte de una se-externas que se aplican en muchas escuelas delcuencia que se desarrolla en varios bloques y apas, cuya finalidad es recabar informacin so- veces en varios grados, de manera que al deter-bre el sistema educativo nacional o estatal, losminar los aprendizajes esperados, entre otrasprofesores frente a grupo tienen la responsabili- cosas, fue necesario establecer el momento ade-dad de saber en todo momento del curso escolarcuado para la evaluacin.qu saben hacer sus alumnos, qu no y qu es- Con el segundo aspecto se intenta ir ms alltn en proceso de aprender. Para obtener tal in-de los aprendizajes esperados y, por lo tanto, deformacin cuentan con una gran variedad delos contenidos que se estudian en cada grado; serecursos, como registros breves de observacin, trata de lo que algunos autores llaman compe-cuadernos de trabajo de los alumnos, listas detencias matemticas y cuyo desarrollo deriva encontrol o las pruebas.conducirse competentemente en la aplicacin La evaluacin que se plantea combina dos as- de las matemticas o en ser competente en mate-pectos que son complementarios. El primero se mticas. Como esta propuesta se concentra enrefiere a qu tanto saben hacer los alumnos y enapoyar la prctica docente y en evitar plantea-qu medida aplican lo que saben, en estrechamientos que puedan confundir, se hace referen-relacin con los contenidos matemticos que secia a slo cuatro competencias que tienen carac-estudian en cada grado. Para apoyar a los profe-tersticas claras y pueden distinguirse entre s: elsores en este aspecto se han definido los apren-planteamiento y la resolucin de problemas, ladizajes esperados en cada bloque temtico. En argumentacin, la comunicacin y el manejo deellos se sintetizan los conocimientos y las habili- tcnicas. A continuacin se describe cada unadades que todos los alumnos deben adquirir al de ellas.estudiar cada bloque. 1 16. Planteamiento y resolucin de problemas.do, para hacerla entender a uno o ms inter- Implica que los alumnos sepan identificar,locutores. La explicacin puede ser discuti- plantear y resolver diferentes tipos de pro-da, refutada o aceptada. blemas o situaciones. Por ejemplo, proble- Una explicacin que es aceptada en un mas con solucin nica, otros con variasgrupo dado y en un momento dado se con- soluciones o ninguna solucin; problemassidera consensuada (mostrada), con la condi- en los que sobren o falten datos; proble- cin de que sta se apoye en criterios comu- mas o situaciones en los que son los alum-nes para todos los interlocutores. nos quienes plantean las preguntas. Se trata Una demostracin matemtica se organi- tambin de que los alumnos sean capaces za mediante una secuencia de enunciados de resolver un problema utilizando ms de reconocidos como verdaderos o que se pue- un procedimiento, reconociendo cul o cu-den deducir de otros, con base en un con- les son ms eficaces; o bien, que puedanjunto de reglas bien definido. probar la eficacia de un procedimiento alPuesto que la secundaria es el ltimo tra- cambiar uno o ms valores de las variablesmo de la educacin bsica, el nfasis de la o el contexto del problema, para generalizarargumentacin se pondr en la explicacin procedimientos de resolucin. y la muestra, y slo en ciertos casos, en ter- Argumentacin. Cuando el profesor logra cer grado, los alumnos conocern algunas que sus alumnos asuman la responsabili- demostraciones con ayuda del maestro, con dad de buscar al menos una manera de re-la idea de que las utilicen para resolver y solver cada problema que plantea, junto con validar la solucin de otros problemas. ello crea las condiciones para que dichos Comunicacin. Comprende la posibilidad alumnos vean la necesidad de formular ar- de expresar y representar informacin ma- gumentos que les den sustento al procedi- temtica contenida en una situacin o del miento y/o solucin encontrados, con base fenmeno, as como la de interpretarla. en las reglas del debate matemtico. Dichos Requiere que se comprendan y empleen argumentos pueden ubicarse, segn las in- diferentes formas de representar la infor- vestigaciones que se han consultado, en tresmacin cualitativa y cuantitativa relacio- niveles de complejidad y corresponden a nada con la situacin; que se establezcan tres finalidades distintas: para explicar, para relaciones entre estas representaciones; mostrar o justificar informalmente o pa-que se expongan con claridad las ideas ma- ra demostrar. temticas encontradas; que se deduzca la informacin derivada de las representacio-Los argumentos del primer tipo son uti-nes y se infieran propiedades, caractersti- lizados por un emisor, convencido de la ve- cas o tendencias de la situacin o del fen- racidad de una proposicin o de un resulta- meno representados.1 17. Manejo de tcnicas. Esta competencia se re- les el camino que por s solos deben encontrar.fiere al uso eficiente de procedimientos y for- Con el fin de ir ms all de la caracterizacin demas de representacin al efectuar clculos, las competencias y tener ms elementos paracon el apoyo de tecnologa o sin l. Muchas describir el avance de los alumnos en cadaveces el manejo eficiente o deficiente de tc-una de ellas, se sugiere a los profesores estable-nicas establece la diferencia entre quienes cer lneas de progreso que definan el punto ini-resuelven los problemas de manera ptima ycial y la meta a la que se puede aspirar. A conti-quienes alcanzan una solucin deficiente. nuacin se enuncian algunos ejemplos de lneasEsta competencia no se limita a hacer un usode progreso que podran considerarse en la eva-mecnico de las operaciones aritmticas y al- luacin del logro de estas competencias.gebraicas; apunta principalmente al desarro- De resolver con ayuda a resolver de manerallo del sentido numrico y del pensamientoautnoma. La mayora de los profesores de nivelalgebraico, que se manifiesta en la capacidad bsico estar de acuerdo en que, cuando losde elegir adecuadamente la o las operacio-alumnos resuelven problemas, hay una tenden-nes al resolver un problema; en la utilizacincia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso endel clculo mental y la estimacin, en el em- varias ocasiones, para saber si el procedimientopleo de procedimientos abreviados o atajos aque siguen es correcto. Resolver de manera au-partir de las operaciones que se requieren en tnoma implica que los alumnos se hagan cargoun problema y en evaluar la pertinencia dedel proceso de principio a fin, considerando quelos resultados. Para lograr el manejo eficien-el fin no es slo encontrar un resultado, sinote de una tcnica es necesario que los alum-comprobar que es correcto, tanto en el mbito denos la sometan a prueba en muchos proble- los clculos como en el de la solucin real, enmas distintos. As adquirirn confianza encaso de que se requiera.ella y la podrn adaptar a nuevos problemas. De los procedimientos informales a los procedi-El manejo de tcnicas guarda una relacin mientos expertos. Un principio fundamental quemuy estrecha con la argumentacin, en tanto subyace en la resolucin de problemas tie-que en muchos casos es necesario encontrarne que ver con el hecho de que los alumnos utili-razones que justifiquen un procedimiento ocen sus conocimientos previos, con la posibilidadun resultado. de que stos evolucionen poco a poco ante la ne-cesidad de resolver problemas cada vez ms La metodologa didctica de los programascomplejos. Necesariamente, al iniciarse en el es-de Matemticas est orientada al desarrollo detudio de un tema o de un nuevo tipo de proble-estas competencias y por eso exige dejar atrs la mas, los alumnos usan procedimientos informa-postura tradicional que consiste en dar la cla-les y a partir de ese punto es tarea del maestrose, explicando paso a paso lo que los alumnosque dichos procedimientos se sustituyan pordeben hacer y preocupndose por simplificar-otros cada vez ms eficaces. Cabe aclarar que el 1 18. carcter de informal o experto de un procedi- greso que se puede apreciar con cierta claridad miento depende del problema que se trata de re- es pasar de la explicacin pragmtica (porque solver; por ejemplo, para un problema de tipo as me sali) a los argumentos apoyados en multiplicativo la suma es un procedimiento infor- propiedades o axiomas conocidos. mal, pero esta misma operacin es un procedi-Hay que estar conscientes de que los cambios miento experto para un problema de tipo aditivo.de actitud no se dan de un da para otro, ni entreDe la justificacin pragmtica a la justifica- los profesores ni entre los alumnos, pero si real- cin axiomtica. Segn la premisa de que losmente se quiere obtener mejores logros en los conocimientos y las habilidades se construyen aprendizajes, desarrollar competencias y reva- mediante la interaccin de los alumnos, con ellorar el trabajo docente, vale la pena probar y objeto de conocimiento y con el maestro, un in- darse la oportunidad de asombrarse ante lo in- grediente importante en este proceso es la vali-genioso de los razonamientos que los alumnos dacin de los procedimientos y resultados que pueden hacer, una vez que asumen que la reso- se encuentran, de manera que otra lnea de pro- lucin de un problema est en sus manos.20 19. habilidades, lo cual significa que se privilegia laconstruccin de significados y de herramientasmatemticas por parte de los alumnos, con baseSecuencia y organizacinen la resolucin de problemas. Se ha procurado de contenidosque estos enunciados sean suficientemente cla-ros, no slo en cuanto a lo que se pretende estu-diar, sino tambin en cuanto a la profundidaddel estudio. Por cada apartado se incluye unaLos contenidos de cada grado estn organizadoscolumna con orientaciones didcticas en la que seen cinco bloques, en cada uno hay temas y sub-fundamenta la necesidad de estudiar los aspec-temas de los tres ejes descritos. Esta organiza-tos planteados en la columna de conocimientos ycin tiene dos propsitos fundamentales; porhabilidades y se dan ejemplos de problemas o si-una parte, se trata de que los profesores y sus tuaciones que se pueden plantear para organi-alumnos puedan establecer metas parciales a lozar el estudio. Tambin se sugieren actividadeslargo del ao escolar y, por la otra, se pretende con el uso de la hoja de clculo o de geometragarantizar el estudio simultneo de los tres ejes dinmica y se establece la vinculacin con otrosdurante el curso. temas de Matemticas o incluso de otras asig- Los contenidos, que se han organizado en naturas.apartados, se denominan aqu conocimientos y21 20. 1ergrado 21. Bloque 1Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:1. Conozcan las caractersticas del sistema de numeracin decimal (base, valor de posicin, nmero de smbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.2. Comparen y ordenen nmeros fraccionarios y decimales mediante la bsqueda de expresiones equivalentes, la recta numrica, los productos cruzados u otros recursos.3. Representen sucesiones numricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.4. Construyan figuras simtricas respecto de un eje e identifiquen cules son las propiedades de la figura original que se conservan.5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones grficas. 1 2 22. Sentido numrico y pensamiento algebraico Eje TemaSignificado y uso de los nmeros SubtemaNMEROS NATuRAlESConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 1.1. Identificar las propiedades del Los sistemas de numeracin que utilizan o han utilizado diversos sistema de numeracin decimal ygrupos sociales y culturales, como el romano, el sexagesimal de los contrastarlas con las de otros sistemasbabilonios o el vigesimal de los mayas, si bien permiten represen- numricos posicionales y no posicio- tar cualquier nmero, no ofrecen las posibilidades del sistema de- nales. cimal de numeracin para efectuar operaciones. Aunque el estudiode este tema se inicia desde los primeros grados de primaria, esnecesario que en este curso de primer grado de secundaria se plan-teen actividades para que los alumnos analicen diferentes formasde representar y nombrar nmeros, resaltando las ventajas y desventajas de cada sistema, as como las difi-cultades de su construccin a lo largo de la historia.En el caso del sistema decimal de numeracin es muy importante analizar el sistema oral (o escrito conletras), que a diferencia del escrito (en cifras), no es posicional y se descompone con base en potencias de mil,como puede verse en el nombre del siguiente nmero: 38 005 326 (treinta y ocho millones, cinco mil trescientos veintisis): 38 (1 0002) + 5 (1 000) + 326Si en el entorno sociocultural de los alumnos existe un sistema numrico o de medidas distinto del deci-mal, es conveniente dedicar tiempo a analizarlo, con base en las caractersticas que ya conocen, tanto delsistema decimal como de otros sistemas.Vnculos: Espaol. Tema: Escribir una monografa en la que se integre la informacin de resmenes y notas. SubtemaNMEROS FRACCIONARIOS y dECIMAlESConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 1.2. Representar nmeros fraccionarios La recta numrica se utiliza como recurso para dar sentido a los y decimales en la recta numrica a partirnmeros fraccionarios. Cuando se aborde la representacin de esde distintas informaciones, analizando tos nmeros deber explicarse la necesidad de asignar el cero a un las convenciones de esta representacin. punto de la recta, de determinar una unidad y con base en stadeterminar la ubicacin de cualquier nmero. Algunos ejemplosde problemas que se pueden plantear son: 13 55 Ubiquen en la recta numricay (previamente deben encontrarse representados 1 y ).4 327 1 Representen en la recta numricay e intercalen entre ellos cinco fracciones.4 2 Ubiquen 3.5 y 1.8 (previamente deben encontrarse representados 2.3 y 4.5). 2 23. El segundo ejemplo tiene que ver con dos nociones importantes: la densidad y el orden de fracciones. Respec- to a la primera nocin, se sugiere realizar una actividad que tome como referencia a la recta numrica para llevar a los alumnos a concluir que, dadas dos fracciones de valores diferentes, siempre es posible intercalar otra fraccin. La segunda nocin est presente tambin en esa actividad, ya que en cada etapa del proceso de intercalacin estn implicadas tres fracciones, la menor, la mayor y la que se intercala. Para determinar el orden de las fracciones podrn utilizarse recursos como las fracciones equivalentes, los productos cruzados y otros. Lo mismo puede hacerse con los nmeros decimales.Ntese que para ubicar fracciones, las particiones dependen de los denominadores; en tanto que para ubicar decimales, siempre se puede partir en potencias de 10. En la resolucin de estos problemas se tendr oportunidad de revisar conceptos y procedimientos estudiados en la primaria, como los de fracciones redu- cibles e irreducibles, la simplificacin de fracciones, la reduccin de fracciones a un comn denominador y conversin de una fraccin a decimal y viceversa. TemaSignificado y uso de las literales Tema SubtemaPATRONES y FRMulAS Conocimientos y habilidades Orientaciones didcticas1.3. Construir sucesiones de Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la prima-nmeros a partir de una re-ria con la construccin de frmulas geomtricas, se sugiere utilizar sucesionesgla dada. Determinar expre-numricas y figurativas sencillas para encontrar la expresin general que de-siones generales que definen fine un elemento cualquiera de la sucesin. Por ejemplo, dada la siguientelas reglas de sucesiones nu- sucesin de figuras:mricas y figurativas. Se pueden plantear preguntas como stas:1 2 3 45 Si la cantidad de mosaicos que forman cada figura contina aumentando en la misma forma:Cuntos mosaicos tendr la figura que ocupe el lugar 10?Cuntos mosaicos tendr la figura que va en el lugar 20?Cuntos mosaicos tendr la figura que va en el lugar 50?1 Es probable que para responder la primera pregunta los estudiantes dibujen las figuras, pero para contestar la segunda, y sobre todo la tercera, observarn que deben encontrar una regla, que en principio puedan enunciar verbalmente y luego de manera simblica, hasta llegar a la expresin algebraica usual.2 24. Es necesario no caer en la tentacin de decirles cul es la regla general de la sucesin, sino animarlos aprobar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga. El estudio que aqu se plantea respecto a los nmeros naturales deber continuarse en segundo grado alestudiar los nmeros con signo.Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 1.4. Explicar en lenguaje na- Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las tural el significado de algu- frmulas como nmeros generales y no como simples etiquetas que evocan nas frmulas geomtricas, las dimensiones de las figuras, es necesario plantear preguntas que apunten interpretando las literales hacia la generalizacin de procedimientos. Por ejemplo: como nmeros generales con los que es posible operar. Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm porlado, cmo se puede saber el permetro del marco? (ntese que no se tratade calcular el permetro sino de enunciar el procedimiento). Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, cmo se determina el permetro del marco? Y si midiera 35 cm? En general, cmo se determina el permetro de cualquier cuadrado?Como en el caso de las sucesiones numricas y figurativas, se insiste primero en que los alumnos expresenen forma verbal el procedimiento o frmula en cuestin y luego algebraicamente. La idea de que es posible operar con la literal que representa una medida cualquiera se subraya cuandose pide a los alumnos que, por ejemplo en el caso del cuadrado, representen la frmula del permetro me-diante una suma o un producto (l + l + l + l o bien 4l). De este modo se inicia tambin el trabajo con expresio-nes algebraicas equivalentes. Puede seguirse un proceso similar para otras frmulas sencillas, como las del rea del cuadrado y delrectngulo, y las del permetro de otros polgonos en los que dos o ms lados sean del mismo tamao (porejemplo, polgonos regulares como el tringulo equiltero, los rombos, rectngulos y romboides). 1 2 25. Eje Forma, espacio y medidaTema TransformacionesSubtemaMOVIMIENTOS EN El PlANO Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas1.5. Construir figuras si-En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetramtricas respecto de un axial sin utilizar la nomenclatura formal. En este grado se pretende que, dadaeje, analizarlas y explicitar una figura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simtri-las propiedades que seca respecto de un eje (igualdad de lados y ngulos, paralelismo y perpendicu-conservan en figuras taleslaridad). Por ejemplo:como: tringulos isscelesy equilteros, rombos, cua- Dada la figura ABCD y su simtrica ABCD obsrvese que AD//BC comodrados y rectngulos. AD//BCQu otros segmentos son paralelos en la figura original? Se conserva esta misma relacin en la figura simtrica?Qu se puede decir acerca de la medida de los ngulos de la figura original y su simtrica?Cmo son las diagonales de la figura original? Y de la simtrica? Actividad complementaria: Propiedades de la simetra axial, en Geometra dinmica.emat, Mxico, sep, 2000, pp. 58-59. Manejo de la informacinEjeTema Anlisis de la informacinSubtemaRElACIONES dE PROPORCIONAlIdAd Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas1.6. Identificar y resolver Aunque este tipo de problemas se plantea desde la primaria, se trata ahora desituaciones de proporcio- profundizar en el anlisis de los procedimientos que se utilizan y de avanzarnalidad directa del tipoen la formulacin de las propiedades de una relacin de proporcionalidad.1valor faltante en diver-Adems de los procedimientos que emplean los alumnos de manera espont-sos contextos, utilizando nea, conviene empezar a destacar el factor de proporcionalidad constante, esde manera flexible diver- decir, que hay un factor por el cual se puede multiplicar cualquier elementosos procedimientos. del conjunto x, para obtener el correspondiente del conjunto y. Es convenien-30 26. te que en este primer bloque los factores constantes sean enteros o fracciones unitarias. Un ejemplo de losproblemas que se pueden plantear es: Si una vela de 25 cm de altura dura encendida 50 horas:Cunto tiempo durara encendida otra vela del mismo grosor, de 12 cm de altura?Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, el maestro puede ayudarles planteando lassiguientes preguntas: Cunto durara una vela de 1 cm? Cunto durara una vela de 10 cm? Y una de 11 cm?Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 1.7. Elaborar y utilizar pro- ste es otro tipo de problemas en el que se pone en juego el razonamiento cedimientos para resolver proporcional, cuyo estudio se inicia en este grado, de manera que es impor- problemas de reparto pro- tante favorecer el uso de procedimientos informales y discutirlos, incluso si porcional.los alumnos tienen en cuenta otros criterios ajenos a la proporcionalidad, tales como la amistad, la edad, etc. Un ejemplo tpico de estos problemas es el siguiente: Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotera. Cmo deben repartrselo segn lo que gastcada uno si uno de ellos puso $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00?Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos clculos para obtener la informacin ne-cesaria, sera sta: Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aport una sptima parte del costo del bi-llete y los otros dos amigos, el resto en partes iguales, qu cantidad le corresponde a cada uno, si repar-ten el premio proporcionalmente?Se sugiere buscar ejemplos que consideren diversos contextos culturales.131 27. Tema Representacin de la informacinSubtema dIAgRAMAS y TABlAS Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas1.8. Resolver problemas Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de rbol en la primaria parade conteo utilizando di-resolver problemas de conteo. En este grado se trata de sistematizar estos re-versos recursos, tales como cursos y encontrar regularidades que permitan acortar caminos para encon-tablas, diagramas de rboltrar soluciones. La dificultad de estos problemas tiene que ver, entre otrasy otros procedimientos per- variables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a combinar. Algu-sonales.nos ejemplos sencillos son: Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetera. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado. Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identifiquen regularidades en los procedimientos de solucin y logren hacer generalizaciones. Una variante podra ser: Si Caro es la amiga que lleg primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado las otras tres. En una caja hay cinco fichas marcadas con los nmeros 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su nmero. La ficha extrada se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extraccin. Cuntos nmeros diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es: Cuntos nmeros diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera ficha que se extrae no se regresa a la caja?132 28. Bloque 2Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones.2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones con nmeros decimales.3. Justifiquen el significado de frmulas geomtricas que se utilizan al calcular el permetro y el rea de tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares.4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.133 29. Sentido numrico y pensamiento algebraico Eje Tema Significado y uso de las operaciones Subtema PROBlEMAS AdITIVOSConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 2.1. Resolver problemasEn este grado los alumnos consolidarn el uso de los algoritmos al resolver aditivos con nmeros frac- problemas, con base en la equivalencia de fracciones, a la vez que echarn cionarios y decimales en mano de recursos suficientemente flexibles como el clculo mental y la esti- distintos contextos. macin. Por ejemplo, al resolver la operacin: 1 71 1Los alumnos deberan saber que la suma es aproximadamente 1 2 , puesto que 15 es casi 2 , 40 es casi cero 19y 20 es casi uno.En el clculo estimativo con nmeros decimales deber distinguirse entre problemas en los que interesaconsiderar la parte decimal y otros en los que sta puede no tenerse en cuenta, sin que ello afecte el resultado.Por ejemplo, si se estima el monto a pagar en la compra del supermercado, dejando de lado los centavos,puede haber una diferencia considerable con el resultado exacto, puesto que casi todos los precios incluyen90 o 99 centavos.Al igual que con los nmeros fraccionarios, los alumnos deben distinguir entre los problemas en los quees suficiente una estimacin y los que exigen un resultado exacto. Se aprovechar el proceso de resolucinde problemas para, en caso necesario, revisar las nociones de nmeros fraccionarios, sus usos y significadosen diversos contextos.Vnculos. Msica. Tema: Con qu se hace msica? Construir con sonidos. Se sugiere utilizar los valores delas notas musicales para interpretar y construir compases. Subtema PROBlEMAS MulTIPlICATIVOSConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 2.2. Resolver problemasste es un contenido nuevo para los alumnos, puesto que no se incluye en los que impliquen la multipli- programas de primaria. Los problemas que llevan a efectuar multiplicaciones cacin y divisin con n-o divisiones se ubican en el contexto de la proporcionalidad. Por ello el estu- meros fraccionarios en dis-dio de estas operaciones se relaciona estrechamente con el eje Manejo de la in- tintos contextos.formacin. Para plantear un problema que implique multiplicar o dividir, pue-de buscarse una relacin proporcional entre dos magnitudes y decidir cul de1estos trminos se va a calcular. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:3 Tres nios tienen 2 4 l de jugo de naranja cada uno. Cuntos litros tienen en total?1 3 Una lancha recorre 38 2 km en 1 4 horas. Qu distancia puede recorrer en una hora?3 30. En un examen aprobaronpartes de los estudiantes que lo presentaron. Si lo presentaron 240 alumnos, cuntos lo aprobaron? Los casos ms complejos son aquellos donde ambos trminos de la multiplicacin o de la divisin son fracciones y es muy importante que los alumnos tengan la posibilidad de justificar los resultados con procedimientos distintos de los algoritmos, como en el siguiente caso: Las partes de un terreno se usaron para construccin y el resto para jardn; del jardn tiene pasto y elresto otras plantas. Qu parte del terreno completo tiene pasto? Es importante que los alumnos vean la relacin que existe entre la multiplicacin y la divisin, tanto por la va de los problemas como por medio de las operaciones. En el primer caso se puede ver que a partir de tres datos tales como: 11 kg de jamn cuesta $80; compr 2 2 kg de jamn; en total pagu $200.Se pueden formular dos problemas de divisin y uno de multiplicacin.a cEn el segundo caso conviene que los alumnos se den cuenta de que la divisinequivale a la multi-b d plicacin . Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas2.3. Resolver problemas En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicacin de nmeros decima-que impliquen la multi- les al resolver problemas de proporcionalidad directa, en particular medianteplicacin de nmeros de-el uso del valor unitario. En ese contexto reflexionaron sobre el significado decimales en distintos con- esa operacin y de su resultado. Ahora se trata de fortalecer esos significadostextos. y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a los alumnos queelaboren una tabla que represente una situacin de proporcionalidad directa.Por ejemplo, la siguiente: Una lancha recorre 7.20 metros por segundo. Qu distancia recorrer en 2 segundos? Y en 1.9, 1.8, 1.7, , 1.1 segundos? Y en 0.9, 0.8, 0.7, , 0.1 segundos? Por qu unos productos son mayores y otros menores que 7.20? Otros contextos en los que se usa la multiplicacin de decimales y en los que conviene reflexionar sobre el1 significado de los factores y el producto se ejemplifican enseguida: El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos. Cunto pesa una pieza de hierro del mismo tamao? Por qu el resultado es menor que 7.20 gramos? Hallar el rea de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.3 31. EjeForma, espacio y medida Tema Formas geomtricas SubtemaRECTAS y NgulOSConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 2.4. Utilizar las propieda-Se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y des de la mediatriz de unsegmento. En caso de haber confusin, es necesario que el maestro explique segmento y la bisectriz de cul es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje comn en la un ngulo para resolverclase. En relacin con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo, diversos problemas geo-se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las caractersticas de mtricos.cada una de estas figuras y elaboren definiciones. El maestro puede apoyarloscon preguntas y contraejemplos hasta que logren definiciones precisas. De es-ta manera, los alumnos podrn utilizar la definicin que mejor convenga se-gn el problema que se les presente y argumentar su uso segn la situacin. Ejemplos: Dibujar un segmento y su mediatriz. Construir un tringulo con dos de sus vrtices en los extremos delsegmento. El tercer vrtice sobre la mediatriz. Qu tipo de tringulo es? Dado un segmento y su mediatriz, dibujar un rombo. Dada una circunferencia, localizar su centro. Las diagonales de un cuadriltero son los segmentos que unen dos vrtices opuestos. En el cuadrado, lasbisectrices y las diagonales coinciden. Dibujar otro cuadriltero con esta propiedad.Actividad complementaria: Mediatriz de un segmento, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep, 2000,pp. 38-39. SubtemaFIguRAS PlANASConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 2.5. Construir polgonos El desarrollo de esta habilidad no slo es importante en s misma, sino que regulares a partir de dis- ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las figuras. tintas informaciones.Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polgonos. Porejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con comps, regla y trans-portador (a partir de la medida del ngulo central); con regla graduada ytransportador (a partir de la medida de un ngulo interior); con regla y comps (se basa en el trazo de me-diatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas. Se puede iniciar el estudio planteando las siguientes actividades:1 Construyan un hexgono regular, teniendo en cuenta que en esta figura el radio de la circunferencia quela circunscribe es igual a la medida de un lado. Qu instrumentos de geometra se necesitan para hacerdicha construccin? Dividan el hexgono regular en tringulos congruentes que tengan un vrtice comn3 32. (centro de la circunferencia circunscrita). Qu tipo de tringulos se forman al subdividir el hexgono? Justifiquen la respuesta. Construyan un polgono regular de 3, 4, 6 y 8 lados con base en el ngulo central. Construyan un cuadrado inscrito en una circunferencia considerando su dimetro. Cmo construyen un octgono a partir del cuadrado inscrito? Actividad complementaria: Construccin del paralelogramo, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 50-51. Vnculos: Espaol. Tema: Revisar reportes sobre observaciones de procesos, por ejemplo, observar y describir los procesos que se siguen para construir polgonos regulares.EjeTemaMedidaSubtemajuSTIFICACIN dE FRMulAS Conocimientos y habilidades Orientaciones didcticas2.6. Justificar las frmulasSi bien este tema se aborda desde primaria, en este grado es importante quede permetro y rea delos alumnos aprendan a reconstruir las frmulas, si no las recuerdan, para lotringulos, cuadrilteros y cual es necesario que tengan diversas experiencias en la transformacin depolgonos regulares. unas figuras en otras mediante el recorte y pegado o la unin de figuras, a sabiendas de que el rea se conserva o se duplica. Por ejemplo, al unir dos trapecios issceles congruentes se forma un romboide cuya base es la suma de las dos bases del trapecio y la altura se mantiene. Esto explica por qu la frmula es base mayor ms base menor por altura entre dos.Manejo de la informacinEjeTemaAnlisis de la informacinSubtemaRElACIONES dE PROPORCIONAlIdAd Conocimientos y habilidades Orientaciones didcticas2.7. Identificar y resolverEn este caso se trata de continuar el trabajo realizado en el bloque 1, pero vol-situaciones de proporcio-viendo an ms compleja la tarea mediante el uso de factores constantes denalidad directa del tipo proporcionalidad fraccionarios. El desarrollo de esta habilidad va de la manovalor faltante en diver- con la resolucin de problemas que implican multiplicar o dividir nmeros1sos contextos, utilizandofraccionarios del eje Sentido numrico y pensamiento algebraico. Conviene haceroperadores fraccionarios notar la relacin que existe entre la constante de proporcionalidad y el valory decimales. unitario. Por ejemplo: por cada uno equivale a por . A continuacin se muestra un ejemplo de los problemas que se pueden plantear:3 33. Los lados de un tringulo miden respectivamente 5, 8 y 11 cm. Si en un tringulo hecho a escala de ste,el lado correspondiente a 5 cm mide 8 cm, cunto deben medir los otros dos lados? 8En caso de que en el grupo no surja el uso del factor de proporcionalidad, que en este caso es , por el cual5se puede multiplicar las medidas originales para obtener las nuevas medidas, el profesor puede sugerir esteprocedimiento y solicitar a los alumnos que lo prueben con otros problemas similares.Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 2.8. Interpretar el efecto de El desarrollo de esta habilidad favorece la comprensin del factor constante la aplicacin sucesiva de fraccionario, que ahora se puede ver como la composicin de dos operadores factores constantes de pro- 3 enteros. Por ejemplo, por puede interpretarse como la composicin de porcionalidad en situacio-4 por 3, entre 4, o bien, entre 4, por 3. Esta misma idea puede extenderse a nes dadas. dos o ms factores fraccionarios o para la multiplicacin por decimales: por 17 0.17 equivale a por y esto a su vez a por 17, entre 100. Para el desa- 100rrollo de esta habilidad resultan adecuados los problemas de escala, en loscuales se pueden plantear diversos problemas, como los siguientes: Una fotografa se reduce con una escala dey enseguida se reduce nuevamente con una escala de. Cul es la reduccin total que sufre la fotografa original? Una fotografa se ampla con una escala de 3 a 1 y enseguida se reduce con una escala de. Cul es elefecto final en relacin con la fotografa original?Puede vincularse este tema con los problemas de rea del eje Forma, espacio y medida. Por ejemplo, si la foto-grafa original es un rectngulo de 216 cm2, qu rea tendr la fotografa reducida?Vnculos: Biologa. Tema: La nutricin como proceso vital. La elaboracin de dietas balanceadas es un buencontexto para disear problemas de proporcionalidad directa.13 34. Bloque 3Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:1. Resuelvan problemas que implican efectuar divisiones con nmeros decimales.2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax + b = c, donde a, b y c son nmeros naturales y/o decimales.3. Resuelvan problemas que implican el clculo de porcentajes o de cualquier trmino de la relacin: Porcentaje = cantidad base tasa.4. Resuelvan problemas que implican el clculo de cualquiera de los trminos de las frmulas para calcular el rea de tringulos, romboides y trapecios. Asimismo, que expliquen la relacin que existe entre el permetro y el rea de las figuras.5. Interpreten y construyan grficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas.6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos aleatorios para to- 1 mar decisiones. 41 35. Sentido numrico y pensamiento algebraico Eje TemaSignificado y uso de las operaciones SubtemaPROBlEMAS MulTIPlICATIVOSConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 3.1. Resolver problemasSon dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la que impliquen la divisinoperacin que modela el problema e interpretar correctamente el resultado. de nmeros decimales enEl primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de distintos contextos. casos en los que sea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendoy el divisor por el mismo nmero, a sabiendas de que el resultado no cambia.Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporcin. El segundo componente se refiere al significado de los nmeros decimales, que se ha trabajado amplia-mente en la primaria, pero vale la pena repasar porque muy probablemente muchos alumnos siguen pen-sando que, por ejemplo, 2.5 horas son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horascon treinta minutos. A diferencia de la divisin con nmeros fraccionarios, en este caso hay muchos problemas cercanos alentorno de los alumnos que ellos mismos pueden plantear. Por ejemplo: Una cinta elstica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud original. Cuando est totalmente alargadaalcanza una longitud de 13.86 metros. Cul es su longitud normal? Una canica pesa 0.026 kg. Cuntas canicas tendr una bolsa que pesa 1.222 kg? (suponemos que todaslas canicas pesan lo mismo). TemaSignificado y uso de las literales SubtemaECuACIONESConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 3.2. Resolver problemas Las ecuaciones son una herramienta bsica para la resolucin de problemas que impliquen el plantea- cuando los procedimientos aritmticos resultan poco eficaces. En este grado el miento y la resolucinesfuerzo debe enfocarse a que los alumnos logren identificar el valor descono- de ecuaciones de primer cido del problema, lo representen con una literal, planteen la ecuacin corres- grado de la forma x + a = b;pondiente, interpreten la ecuacin como una expresin que sintetiza las rela- ax = b; ax + b = c, utilizan-ciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema y, finalmente, do las propiedades de la que sean capaces de resolver la ecuacin. Hay que tener en cuenta que los igualdad, con a, b y c n- alumnos se enfrentan por primera vez a la necesidad de traducir el texto del meros naturales o deci-problema al cdigo algebraico y a la resolucin de ecuaciones. Se sugiere en- 1 males. tonces planear una sucesin de actividades que favorezca el uso de procedi-mientos informales y poco a poco familiarice a los estudiantes con el uso delas propiedades de la igualdad. Un ejemplo interesante del tipo de problemas que se pueden plantear es elsiguiente: 43 36. Pienso en un nmero. Cuando lo multiplico por 7 y le resto 9, obtengo 5. Cul es el nmero? Pienso en un nmero. Cuando lo multiplico por 3 y le aado 14, obtengo 15.5. Cul es el nmero? Pienso en un nmero. Si lo divido entre 4 y le resto 10, obtengo 15. Cul es ese nmero? La gran ventaja de este tipo de problemas es que se pueden simplificar o complejizar tanto como se quiera, de modo que los alumnos vean las ventajas de utilizar ecuaciones. Actividad complementaria: Ecuaciones (1), en Hoja electrnica de clculo. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 61-62. Forma, espacio y medidaEjeTema Formas geomtricasSubtema FIguRAS PlANAS Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas3.3. Construir tringulos y A diferencia de las construcciones geomtricas que se realizan en primaria,cuadrilteros. Analizar las con base en procedimientos especficos, en este grado se trata de anticipar,condiciones de posibili-probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabodad y unicidad en las una construccin. Por ejemplo:construcciones. Dados dos segmentos que deben ser iguales a dos lados de un tringulo, se pueden dibujar dos tringulos distintos? Cuntos tringulos distintos se pueden dibujar con base en esta informacin? Si en un grupo de 40 alumnos cada uno define tres segmentos para construir un tringulo, cuntos tringulos distintos podran construirse en el grupo? Dados dos segmentos que representan la base y la altura de un romboide, se puede construir un romboide? Cuntos romboides distintos se pueden construir con base en esta informacin? Dados tres segmentos tales que la suma de las longitudes de dos de ellos es igual a la longitud del tercer segmento, es posible construir un tringulo?Tema MedidaSubtema ESTIMAR, MEdIR y CAlCulAR Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas3.4. Resolver problemas que Adems de resolver problemas en los que los alumnos tengan que utilizar lasimpliquen calcular el per- frmulas para calcular permetros y reas de tringulos y cuadrilteros, es1metro y el rea de tringu- conveniente vincular este conocimiento con otros conceptos, por ejemplo, conlos, romboides y trapecios. las ecuaciones, como en estos ejemplos:Realizar conversiones de Si el rea de un tringulo es 27 cm2, y la altura 9 cm, cunto mide lamedidas de superficie.base?44 37. Si uno de los lados de un rectngulo es 12 cm ms largo que el otro y su permetro mide 48 cm, cul essu rea?Con la variacin se pueden establecer vnculos a partir de situaciones como las siguientes: Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectngulos cuya rea es 24 cm2 y calculen elpermetro de cada uno. Si uno de los vrtices de un tringulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, qu sucede conel rea de cada uno de los tringulos que se forman? Qu sucede con el permetro? Por qu creen quesuceda esto? Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, qu sucede con elrea de cada uno de los trapecios que se forman? Qu sucede con el permetro? Eje Manejo de la informacin Tema Anlisis de la informacin Subtema RElACIONES dE PROPORCIONAlIdAdConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 3.5. Resolver problemasLos alumnos ya han resuelto una gran variedad de problemas del tipo valor del tipo valor faltante uti- faltante mediante procedimientos muy diversos. Conviene entonces hacer lizando procedimientos ex- una especie de recapitulacin para subrayar el uso de procedimientos exper- pertos.tos tales como: el valor unitario, la constante de proporcionalidad y la muynombrada regla de tres. En este ltimo caso es importante que los alumnosconozcan al menos una explicacin de dicha regla, que puede ser mediante la igualdad de cocientes en lassituaciones de proporcionalidad directa. Subtema PORCENTAjESConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 3.6. Resolver problemasEl desarrollo de esta habilidad tiene un antecedente muy importante en la que impliquen el clculo primaria y un campo de trabajo privilegiado por su amplio uso social. De ma- de porcentaje utilizando nera que vale la pena utilizar situaciones de la vida real, tales como el clculo1 adecuadamente la expre-del iva, el aumento de precios y salarios, las operaciones bancarias, etc., pa- sin fraccionaria o deci-ra profundizar en este tema. Los tipos de problemas que se pueden plan- mal. tear son: Aplicar el porcentaje a una cantidad: Cunto es el 12% (12/100) de 25?4 38. Determinar qu porcentaje representa una cantidad respecto a otra: Qu porcentaje es 12 de 25? Determinar la base de un porcentaje (desglosar el iva): Si 575 es el total a pagar, incluido el 15% de iva, cul es la cantidad sin iva? Es conveniente plantear problemas en los que el porcentaje es mayor que 100, como el siguiente: Un productor de pia vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se vende a $4.50 el kilogramo. En qu porcentaje se incrementa el precio? Se sugiere vincular el desarrollo de esta habilidad con el estudio de las ecuaciones de primer grado que se plantea en el segundo apartado del eje Sentido numrico y pensamiento algebraico, y con el ltimo apartado que corresponde al subtema Diagramas y tablas de este mismo bloque. Actividad complementaria: Anlisis de textos, en Hoja electrnica de clculo. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 142-143. Tema Representacin de la informacin Subtema dIAgRAMAS y TABlAS Conocimientos y habilidades Orientaciones didcticas3.7. Interpretar y comuni- El desarrollo de esta habilidad sirve, en primer lugar, para que los alumnoscar informacin mediante aprendan a distinguir entre la informacin que ofrece una frecuencia absolutala lectura, descripcin yy una relativa. Por ejemplo, saber que siete alumnos de un grupo no sabenconstruccin de tablas dedividir, puede ser mucho o poco en funcin del total de alumnos; pero si enfrecuencia absoluta y re-vez de siete alumnos fuera el 7%, diramos que es poco, independientementelativa.del total. En cuanto a la comunicacin de informacin, es conveniente plantear preguntas que logren despertar el inters de los alumnos para realizar un estudio completo de la situacin, desde la organizacin para recopilar los datos hasta el anlisis y la presentacin de resultados, de manera que las tablas o grficas que se utilicen como medios de representacin sean motivo de anlisis por parte de los alumnos. Se sugiere vincular este tema con el estudio de porcentajes que se plantea en el primer apartado de este eje y bloque.1 Vnculos: Geografa. Tema: Lectura, interpretacin y representacin de informacin en grficas, cuadros, textos, estadsticas, fotografas, imgenes, mapas, planos y croquis.4 39. SubtemagRFICASConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 3.8. Interpretar informa- Al analizar la informacin que se presenta en grficas circulares es convenien- cin representada en gr- te reflexionar en torno a la relacin entre los porcentajes sealados y las frac- ficas de barras y circularesciones de rea del crculo que ocupan. Las situaciones que llevan a esta re- de frecuencia absoluta yflexin de manera obligada son aquellas en las que las cantidades correspon- relativa, provenientes de den a un todo (no son porcentajes) y se pide una representacin circular. diarios o revistas y de otras En tales casos es necesario calcular los porcentajes y traducirlos a ngulos, fuentes. Comunicar infor- sabiendo que 360 corresponden al 100%, o bien, establecer directamente una macin proveniente de es- relacin proporcional entre las cantidades y los ngulos. En este caso al total tudios sencillos, eligiendo le corresponden 360. la forma de representacinEs importante considerar que en un problema los todos pueden ser dis- ms adecuada. tintos. Por ejemplo: En un grupo de 50 alumnos, 60% son mujeres y 40% son hombres. De estos ltimos, 10% usan lentes.Cuntos alumnos del grupo usan lentes?En los porcentajes de mujeres y hombres el todo es el total de alumnos que hay en el grupo, mientras queen el porcentaje de alumnos que usan lentes el todo es el 40% del grupo.Vnculos: Espaol. Tema: Interpretar la informacin en tablas, grficas y diagramas. Geografa, unidad te-mtica 3: Composicin actual de la poblacin en Mxico y su comparacin con las tendencias demogrficasde otros pases del mundo. 1 4 40. Tema Anlisis de la informacinSubtemaNOCIONES dE PROBABIlIdAd Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas3.9. Enumerar los posiblesLa determinacin del espacio muestral en una situacin de azar se relacionaresultados de una expe- estrechamente con los problemas de conteo. La dificultad que enfrentan losriencia aleatoria.alumnos para enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoriaUtilizar la escala de lainfluye poderosamente en el clculo de la probabilidad de un evento. Por estoprobabilidad entre 0 y 1 yse sugiere plantear problemas en los que se vincule el conteo con la probabili-vincular diferentes formasdad. Por ejemplo:de expresarla.Establecer cul de dos o Si en un saln hay 10 mujeres y 20 hombres y en otro hay 15 mujeres yms eventos en una expe-5 hombres, cuntas parejas distintas se pueden formar tomando una per-riencia aleatoria tiene ma- sona de cada saln? (Problema de conteo)yor probabilidad de ocurrir Cul es la probabilidad de que al seleccionar, al azar, una persona de caday justificar la respuesta.saln, se alternen un hombre y una mujer? (Problema de probabilidad) Adems, es conveniente realizar diversas actividades con el propsito de reflexionar y discutir sobre las razones por las que se obtienen resultados diferentes al utilizar la probabilidad emprica o frecuencial y la probabilidad clsica o terica. Con el fin de favorecer la reflexin sobre la escala de valores de la probabilidad y la comparacin de pro- babilidades de dos o ms eventos, conviene plantear preguntas como las siguientes: Se podra dar el caso de que el nmero de eventos favorables sea mayor que el nmero de eventos posibles? Cul es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? Y el menor valor? Qu significa que un fenmeno tiene probabilidad cero de ocurrir? Y qu significa que la probabilidad sea uno? Si un fenmeno tiene probabilidad uno de ocurrir, hablamos de azar? La recta numrica y el primer cuadrante del plano cartesiano son buenos recursos grficos para reflexionar sobre las preguntas anteriores.14 41. Bloque 4Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:1. Identifiquen, interpreten y expresen, algebraicamente o mediante tablas y grficas, relaciones de proporcionalidad directa.2. Resuelvan problemas que impliquen el clculo de la raz cuadrada y potencias de nmeros naturales y decimales.3. Construyan crculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas.4. Justifiquen y usen las frmulas para calcular el permetro o el rea del crculo. 1 4 42. Sentido numrico y pensamiento algebraico Eje Tema Significado y uso de los nmeros Subtema NMEROS CON SIgNOConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 4.1. Plantear y resolver La importancia de este tema radica en el hecho de conocer un nuevo tipo de problemas que impliquennmeros que permite resolver problemas para los cuales no hay solucin en la utilizacin de nmeroslos nmeros naturales y en la diversidad de contextos en los que se utilizan, con signo. tales como temperaturas, ganancias y prdidas, plano cartesiano, etctera.Un ejemplo de problema que se puede plantear es el siguiente: Con base en la informacin de la tabla, resuelve las siguientes situaciones: Indica las diferencias entre las temperaturas mximas y mnimas. Ordena de menor a mayor las temperaturas mximas y las mnimas en cada ciudad.CiudadesTemperaturaTemperaturamxima mnimaA 14 6B5 7Adems de los enteros, otros nmeros con signo que debern utilizarse en este grado son las fracciones y losdecimales. La recta numrica es un recurso til para dar sentido a estos nmeros, y deber emplearse comoapoyo en la elaboracin y justificacin de procedimientos para compararlos y ordenarlos. Los problemas quese planteen supondrn el conocimiento de las convenciones: la posicin del cero, la unidad de medida y el3orden. Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que ubiquen en la recta numrica el 1 y , a partir de la3 4posicin de otros nmeros que se les proporcionen, digamos 1 y . Se sugiere adems introducir las nocio-2nes de nmeros opuestos y valor absoluto. Tema Significado y uso de las operaciones Subtema POTENCIACIN y RAdICACINConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 4.2. Resolver problemasLos alumnos deben comprender que la raz cuadrada de un nmero que no es que impliquen el clculo cuadrado perfecto constituye una aproximacin. Se puede recurrir a contex- de la raz cuadrada y la tos geomtricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cul es 1 potencia de exponente na-la medida del lado de un cuadrado de 40 cm2 de rea. tural de nmeros natura- Algunos recursos de aproximacin a la raz cuadrada de nmeros naturales y decimales. les y decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimien-tos recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen 1 43. las soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciacin y la radicacin son operaciones inversas, puesto que si un nmero se eleva a una potencia n y al resultado se le extrae la raz n dicho nmero no se altera. Adems de la realizacin directa de clculos, se pueden proponer problemas como los siguientes: Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes: 0.52 y 0.052; la raz cuadrada de 0.09 y 0.0625 Actividad complementaria: Raz cuadrada y cbica, en Hoja electrnica de clculo. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 59-60.Tema Significado y uso de las literalesSubtema RElACIN FuNCIONAl Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas4.3. Analizar en situacio-En los bloques anteriores los alumnos han producido expresiones algebraicasnes problemticas la pre- al definir reglas de sucesiones numricas o al expresar frmulas geomtricas.sencia de cantidades rela-Ahora se trata de expresar algebraicamente una relacin entre dos cantidadescionadas y representarque varan. La proporcionalidad directa es un caso particular de las funcionesesta relacin mediante unalineales, que al representarse grficamente en el plano cartesiano da como re-tabla y una expresin al- sultado una recta que pasa por el origen.gebraica. En particular laComo en los casos anteriores, se sugiere que antes de que los alumnos re-expresin de la relacin de presenten algebraicamente una relacin, la identifiquen y la expresen verbal-proporcionalidad y = kx,mente; esto les ayudar a que la simbolizacin tenga significado. El uso deasociando los significadosrepresentaciones tabulares facilita descubrir las regularidades que se mani-de las variables con lasfiestan entre las cantidades relacionadas. Por ejemplo:cantidades que intervie-nen en dicha relacin. A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen 10.5 litros por minuto. Elaboren una tabla que represente la relacin entreel nmero de minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna. Si se representa con la letra x el n-mero de minutos y con la letra y el de los litros, qu expresin algebraica representa (modela) esta si-tuacin? Si los alumnos tienen la posibilidad, pueden utilizar la hoja electrnica de clculo para resolver este problema. El cdigo utilizado en las frmulas escritas en Excel es muy similar al algebraico, por lo que constituye1 un lenguaje intermedio entre ste y el natural. Se sugiere contrastar la situacin anterior con la siguiente: Luis tiene cinco aos y su hermana Patricia tiene dos ms que l. Elaborar una tabla y una expresin algebraica que represente la relacin entre ambas cantidades a partir del nacimiento de Luis.2 44. Ntese que las dos situaciones anteriores pueden representarse mediante una expresin algebraica de laforma y = ax + b. Es importante que los alumnos contrasten y expresen las diferencias entre estas situacionesy las de proporcionalidad (y = kx) del eje Manejo de la informacin en este mismo bloque. Tambin se puedenrealizar actividades que impliquen la elaboracin de tablas a partir de la expresin algebraica de una fun-cin lineal.Actividad complementaria: Variacin lineal (1), en Hoja electrnica de clculo. emat, Mxico, sep, 2000,pp. 53-55.Forma, espacio y medida Eje TemaFormas geomtricas SubtemaFIguRAS PlANASConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 4.4. Construir crculos a Usualmente un crculo se construye a partir de la medida del radio, pero es partir de diferentes datosimportante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otros o que cumplan condiciones datos y ubicar el centro del crculo para que ste cumpla con ciertas condicio- dadas.nes. Por ejemplo: Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene. Dada una cuerda, construyan el crculo al que sta pertenece. Es nica la solucin? Cuntos crculos sepueden construir si se trata de la mxima cuerda?Actividad complementaria: Cuerdas, en Geometra dinmica. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 134-135. Tema Medida SubtemajuSTIFICACIN dE FRMulASConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 4.5. Determinar el nmero Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado Pi como la razn entre la se profundice en el anlisis sobre la relacin entre la circunferencia y su di- longitud de la circunferen- metro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que cia y el dimetro.se pueden plantear. Por ejemplo: Justificar la frmula para el 1 clculo de la longitud de la Cunto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del dime- circunferencia y el rea deltro aumenta al doble? Y si aumenta al triple? Y si aumenta cuatro veces? crculo.Qu conclusin se obtiene de este hecho? 3 45. Determinen la relacin entre las longitudes de los dimetros de dos crculos cuyas circunferencias miden 12 y 24 m, respectivamente. Este tipo de problemas permite vincular la geometra con la proporcionalidad directa.La justificacin del rea del crculo puede hacerse grficamente o mediante clculos algebraicos derivados de la frmula para calcular el rea de polgonos regulares.Subtema ESTIMAR, MEdIR y CAlCulAR Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas4.6. Resolver problemas queComo ocurre con el estudio de las otras figuras, no slo se trata de calcular elimpliquen calcular el rea rea y el permetro, sino tambin, conocidos el permetro y el rea, se debey el permetro del crculo.calcular la longitud del radio o del dimetro, as como resolver problemas de clculo de reas sombreadas (corona circular); tambin se debe analizar la relacin entre la longitud del radio y el rea del crculo, como punto de contraste con la relacin entre la longitud del dimetro y la longitud de la circunferencia. Actividad complementaria: Relacin entre la longitud de una circunferencia y el rea del crculo, en Geo- metra dinmica. emat, Mxico, sep, 2000, pp. 68-70. Manejo de la informacinEjeTema Representacin de la informacinSubtema gRFICAS Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas4.7. Explicar las caracters-Los alumnos ya saben resolver diversas situaciones de proporcionalidad, hanticas de una grfica que analizado sus propiedades y saben expresar algebraicamente dichas relaciones.represente una relacin de Ahora se trata de vincular los conjuntos de valores y la expresin algebraica conproporcionalidad en el pla-la representacin grfica, principalmente para analizar las caractersticas deno cartesiano. sta y ver las posibilidades que brinda para calcular valores. Es conveniente que antes de representar grficamente una situacin de proporcionalidad, se dedique tiempo para que los alumnos se familiaricen con la ubicacin de puntos en el plano cartesiano.Para entrar en el desarrollo de esta habilidad se sugiere dar a los alumnos una grfica ya construida, que represente, por ejemplo, la relacin entre litros de gasolina y costo en pesos. Algunas de las preguntas que se1 pueden plantear en relacin con dicha grfica son: Si el precio de un litro de gasolina aumentara o disminu- yera, de qu manera se reflejara este hecho en la grfica? Si se representa con la letra k el precio del litro de gasolina, cul es la expresin general que modela esta situacin? Cul es la razn de que una recta que modela una situacin de proporcionalidad siempre pasa por el origen?4 46. Bloque 5Como resultado del estudio de este bloque te-mtico se espera que los alumnos:1. Resuelvan problemas aditivos que implican el uso de nmeros con signo.2. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables.3. Resuelvan problemas que implican una relacin inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades.4. Resuelvan problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.1 47. Sentido numrico y pensamiento algebraico Eje Tema Significado y uso de las operaciones Subtema PROBlEMAS AdITIVOSConocimientos y habilidades Orientaciones didcticas 5.1. Utilizar procedimien- Aunque es posible abordar el estudio de los nmeros enteros a partir de situa- tos informales y algorit-ciones en las que stos se utilizan, la comprensin de este campo numrico mos de adicin y sustrac-necesita algo ms que situaciones concretas. Se han propuesto modelos arit- cin de nmeros con signo mticos, algebraicos y geomtricos como va de acceso a los enteros. En los en diversas situaciones.aritmticos, los nmeros negativos son el resultado de sustracciones en las que el sustraendo es mayor que el minuendo; en los algebraicos, los nmerosnegativos aparecen como soluciones de ecuaciones imposibles de resolver con los naturales; en los geom-tricos, los nmeros negativos se abordan como magnitudes dirigidas en la recta numrica.En el ltimo de estos modelos, la suma se puede interpretar como un avance (a partir del primer suman-do) de tantas unidades como indique el segundo sumando, a la derecha si es positivo, o a la izquierda si esnegativo. Ejemplo: (+1) + (3) = 2Restar es siempre encontrar un sumando desconocido: a b = x significa que b + x = a As, (+2) (3) significa que (3) + x = +2. Por tanto, en la recta numrica la solucin de la resta (+2) (3)= +5 se representa como un avance de 5 unidades a la derecha para llegar de 3 a +2Esta manera de interpretar la sustraccin de nmeros con signo es importante porque los alumnos la puedenderivar de la sustraccin de nmeros positivos. Sin embargo, como procedimiento podra resultar ineficazen casos como (+2) (3); por ello, se sugiere introducir la sustraccin como la operacin inversa de la adi-cin, esto es, restar significa sumar el opuesto del sustraendo.1 As, la expresin (+2) (3) significa sumar el opuesto de 3 al nmero +2 : (+2) (3) = (+2) + (+3) = +5 La idea de operaciones inversas se aplicar ms adelante como parte de las tcnicas de resolucin deecuaciones. 48. Tema Significado y uso de las literalesSubtemaRElACIN FuNCIONAl Conocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas5.2. Analizar los vnculosLa posibilidad de representar una misma situacin de diferentes maneras esque existen entre variasuna habilidad importante en todo el estudio de la matemtica. Por ello, unarepresentaciones (grficas, vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, me-tabulares y algebraicas), diante la expresin algebraica y con la representacin grfica, hay que inte-que corresponden a la mis-grar estos tres aspectos, planteando problemas que permitan analizar las ca-ma situacin, e identificar ractersticas que los hacen comunes para una misma situacin.las que son de proporcio-Un ejemplo de estos problemas es el siguiente:nalidad directa. Las coordenadas de uno de los puntos de la grfica de una relacin deproporcionalidad directa son (20, 50). Cul es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1? Cules la expresin algebraica que corresponde a esta grfica? Cul de las siguientes situaciones puede asociarse con las representaciones anteriores? a) Luis tiene 50 aos de edad y su hija Diana, 20. Qu edad tena Luis cuando su hija tena un ao? b) En una librera hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. De qu grosor es cadalibro?1 49. EjeForma, espacio y medida Tema Medida SubtemaESTIMAR, MEdIR y CAlCulARConocimientos y habilidadesOrientaciones didcticas 5.3. Resolver problemas Puesto que ste es el ltimo bloque de primer grado, se sugiere plantear pro- que impliquen el clculoblemas que impliquen el uso de diversos conceptos geomtricos y de medida. de reas en diversas figu-Para ello se pueden presentar problemas de clculo del rea en situaciones ras planas y establecer re- cotidianas, as como calcular el rea sombreada de las siguientes figuras. laciones entre los elementos que se utilizan para Cul es el rea de la parte sombreada de la siguiente figura, si el punto M calcular el rea de cadaes el punto medio del lado del cuadrado? una de estas figuras. Cul es el rea de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del crculo mide 1 metro?Actividad complementaria: Resolucin de problemas de reas de figuras conocidas, en Geometra din-mica. emat, Mx

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