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MATEM ´ ATICAS B ´ ASICAS Autora: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Edici´ on: Oscar Guillermo Ria˜ no Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matem´ aticas B´ asicas Exponentes y radicales 1/8
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MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 1 / 8
Leyes de los exponentes
Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces
Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1
a y a−n = 1an
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 2 / 8
Leyes de los exponentes
Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces
Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1
a y a−n = 1an
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 2 / 8
Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 3 / 8
Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 3 / 8
Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n
Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn
(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
real
n√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 25
3√
23 = 23√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 2
3√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 23√
(−2)3 = −2
2√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 23√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 8 / 8
Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104
=(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 8 / 8
Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 8 / 8
Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 8 / 8
Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 8 / 8
Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejercicio
Simplifique las siguientes expresiones.
1(3×5)4×415
26×38
(35
)9
2 22/3×51/4
45/3
35√8×83/2
25/4 · 8√
164
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y radicales 9 / 8
