Matemáticas de 3º de ESO · Matemáticas de 3º de ESO Matemáticas de 3º de ESO Colegio Santa...

Matemáticas de 3º de ESO


Colegio Santa María del Carmen Alicante

Profesora: Victoria Alfosea

Profesor: Miguel Ayén


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Índice de contenidos

Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Tercero de ESO .....................................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................7 Metodología .........................................................................................................................9 Índice de unidades y temporalización................................................................................10 Criterios de calificación......................................................................................................11

Unidad 1: Números racionales .......................................................................................13 Unidad 2: Números reales..............................................................................................37 Unidad 3: Potencias y raíces..........................................................................................57 Unidad 4: Álgebra ..........................................................................................................85 Unidad 5: Ecuaciones ..................................................................................................125 Unidad 6: Sistemas de ecuaciones ..............................................................................161 Unidad 7: Sucesiones ..................................................................................................193 Unidad 8: Funciones I. Estudio ....................................................................................207 Unidad 9: Funciones II. Representación ......................................................................235 Unidad 10: Geometría ..................................................................................................253 Unidad 11: Estadística .................................................................................................273

Introducción

El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te pro-pondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te lle-gue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tan-to como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Or-gánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, y en el DECRETO 112/2007, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se conside-ran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didác-ticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora co-mienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futu-ras versiones.

Profesores de 3º de ESO


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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de ar-gumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situa-ciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos ma-temáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenado-res, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseveran-cia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxi-to y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas.


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11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adqui-riendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un pun-to de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales co-mo la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.

Criterios de evaluación para Tercero de ESO

1. Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas, tales como el re-cuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines y comprobar el ajuste de la solución a la situación planteada. 2. Expresar verbalmente con precisión razonamientos, relaciones cuantitativas e informa-ciones que incorporen elementos matemáticos; valorar la utilidad y simplicidad del lengua-je matemático. 3. Calcular expresiones numéricas sencillas de números racionales (basadas en las cua-tro operaciones elementales y las potencias de exponente entero, que contengan, como máximo, dos operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer uso adecuado de signos y paréntesis. 4. Utilizar convenientemente las aproximaciones decimales, las unidades de medida usua-les y las relaciones de proporcionalidad numérica (factor de conversión, regla de tres sim-ple, porcentajes, repartos proporcionales, intereses, etc.) para resolver problemas relacio-nados con la vida cotidiana o enmarcados en el contexto de otros campos de conocimien-to. 5. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada en un enun-ciado. 6. Observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales me-diante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente en casos sencillos. 7. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y reso-lución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.


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8. Reconocer y describir los elementos y propiedades características de las figuras pla-nas, los cuerpos elementales y sus configuraciones geométricas. 9. Calcular las dimensiones reales de figuras representadas en mapas o planos y dibujar croquis a escalas adecuadas. 10. Utilizar los teoremas de Tales, de Pitágoras y las fórmulas usuales para realizar medi-das indirectas de elementos inaccesibles y para obtener las medidas de longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos elementales por medio de ilustraciones, de ejemplos tomados de la vida real o en la resolución de problemas geométricos. 11. Aplicar traslaciones, giros y simetrías a figuras planas sencillas utilizando los instru-mentos de dibujo habituales; reconocer el tipo de movimiento que liga dos figuras iguales del plano que ocupan posiciones diferentes; determinar los elementos invariantes y los centros y ejes de simetría en formas y configuraciones geométricas sencillas. 12. Reconocer las transformaciones que llevan de una figura geométrica a otra mediante los movimientos en el plano y utilizar dichos movimientos para crear sus propias composi-ciones; analizar, desde un punto de vista geométrico, diseños cotidianos, obras de arte y configuraciones presentes en la naturaleza. 13. Reconocer las características básicas de las funciones constantes, lineales y afines en su forma gráfica o algebraica y representarlas gráficamente cuando vengan expresadas por un enunciado, una tabla o una expresión algebraica. 14. Obtener información práctica a partir de una gráfica referida a fenómenos naturales, a la vida cotidiana o en el contexto de otras áreas de conocimiento. 15. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos (diagramas de barras o de secto-res, histogramas, etc.), así como los parámetros estadísticos más usuales (media, moda, mediana y desviación típica), correspondientes a distribuciones sencillas y utilizar, si es necesario, una calculadora científica. 16. Hacer predicciones cualitativas y cuantitativas sobre la posibilidad de que un suceso ocurra a partir de información previamente obtenida de forma empírica o como resultado del recuento de posibilidades, en casos sencillos. 17. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimen-to aleatorio sencillo y asignar probabilidades en situaciones experimentales equiproba-bles, utilizando adecuadamente la Ley de Laplace y los diagramas de árbol.


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Competencias básicas

En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pen-samiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamen-te, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lengua-je matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento ma-temático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incerti-dumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana. La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comporta-miento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos.


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Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y es-crita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de ense-ñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos reali-zados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir con-jeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo cono-cimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geo-metría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para des-cribir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonom-ía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomen-tar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los proce-sos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la ad-quisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamental-mente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.


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Metodología

En la primera sesión, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la unidad, evaluando los conocimientos previos mediante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las pri-meras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas). En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar. Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad:

− los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno deberá realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno.

− se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimien-tos del tema o de temas anteriores.

− será costumbre la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes ante-riores (con muy buena acogida por parte de los alumnos).

− siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simulacros” de exámenes que no tie-nen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir.

Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá con-tar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, vídeo proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como la constancia, el interés, la puntualidad, la limpieza y orden en el dossier, las iniciativas propias, etc. Se dará prioridad a la comprensión de los contenidos que se trabajan frente a su aprendi-zaje mecánico. Se propiciarán oportunidades para poner en práctica los nuevos conocimientos, de modo que el alumno pueda comprobar el interés y la utilidad de lo aprendido


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Índice de unidades y temporalización

Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre): Unidad 1: Números racionales ...........................................................(12 sesiones) Unidad 2: Números reales..................................................................(8 sesiones) Unidad 3: Potencias y raíces..............................................................(10 sesiones) Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo): Unidad 4: Álgebra .............................................................................(16 sesiones) Unidad 5: Ecuaciones .......................................................................(10 sesiones) Unidad 6: Sistemas de ecuaciones ...................................................(7 sesiones) Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo): Unidad 7: Sucesiones .......................................................................(7 sesiones) Unidad 8: Funciones I. Estudio ..........................................................(10 sesiones) Unidad 9: Funciones II. Representación ............................................(8 sesiones) Unidad 10: Geometría .......................................................................(5 sesiones) Unidad 11: Estadística ......................................................................(5 sesiones) Se hace notar que el tema 4, Álgebra, comenzará a impartirse a finales de noviembre o principios de diciembre; debido a las vacaciones de Navidad, y a la extensión del tema (hay previstas 16 sesiones), se realizará una prueba escrita con los contenidos impartidos antes de las vacaciones. En enero, retomaremos el tema donde nos quedamos. El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conse-guiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.


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Criterios de calificación

Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la evaluación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno pre-sente. La observación de comportamientos, posibles entrevistas, diferentes tipos de prue-bas escritas, o cuestionarios orales o escritos, serán instrumentos que incidirán en la eva-luación de los alumnos. Tanto los procedimientos empleados en la metodología, como los criterios de evaluación, tienen como finalidad que los alumnos sean gradualmente capaces de aprender de forma autónoma. Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. La superación de esta prueba permite superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior. Evaluaciones trimestrales:

− Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del tra-bajo diario (mirar la libreta de clase) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la asignatura ( ± 5 %)

− Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, el alumno viene

con el material necesario, puntualidad, realización de ejercicios propuestos... (20 %)

− Media aritmética de las pruebas escritas tras cada unidad didáctica: (80 %)

− Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto). Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evalua-ción final a través de una prueba escrita o trabajo. Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno-a recuperará aque-llas evaluaciones suspendidas con menos de 4, pero se favorecerá el avance progresivo y la constancia del alumno. Si el alumno-a tiene cualquier evaluación aprobada pero alguna de las pruebas escritas tiene una calificación inferior o igual a 3, (aunque siempre primará el criterio del profesor-a):

− deberá recuperar dicho examen, sobre todo si la global está suspendida

− podrá subir la calificación final a la nota inmediatamente superior, si la global está aprobada, siempre y cuando la calificación numérica de la global tenga las déci-mas superiores a 5.


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Si el alumno no consigue una calificación positiva en la convocatoria de junio, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en septiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. Atención a la diversidad Para atender a la diversidad del alumnado, el Centro cuenta con dos profesores para la materia y para cada sección. Un alumno será adscrito a una sección normal o a una don-de sólo se contemplen los objetivos básicos según varios criterios: resultados de la prue-ba inicial, grado de aprovechamiento y resultados del curso en años anteriores, perspecti-vas de futuro, capacidad para la asignatura, etc. Al tratarse sólo de objetivos básicos, las notas de las pruebas escritas atenderán al si-guiente baremo:

Nota media del alumno

Nota final que apare-cerá en el boletín

10 ó 9 7

8 ó 7 6

6 ó 5 5

Nota inferior a 5 La misma nota El departamento de Orientación del Centro es el encargado de tutelar a aquellos alumnos que requieran una adaptación curricular individual significativa (ACIS).

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 1: Números racionales

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Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que enseñas

José Ortega y Gasset (filósofo madrileño, 1883 – 1955)

Unidad 1: Números racionales


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Índice de la unidad

Unidad 1: Números racionales ......................................................................................17

1.0 Conjuntos de números .........................................................................................17 1.1 Fracciones ...........................................................................................................17

1.1.1 Fracciones como división de la unidad..........................................................18 1.1.2 Fracciones como expresión de porcentajes ..................................................18 1.1.3 Fracciones como expresión de proporcionalidad ..........................................19 1.1.4 Fracciones como operador............................................................................19

1.2 Representación en la recta racional.....................................................................20 1.3 Fracciones equivalentes ......................................................................................24

1.3.1 Simplificación de fracciones ..........................................................................25 1.4 Reducción a denominador común .......................................................................27 1.5 Operaciones.........................................................................................................28

1.5.1 Prioridad en las operaciones .........................................................................28 1.6 Paso de decimal a fracción y viceversa ...............................................................30

1.6.1 Tipos de decimales........................................................................................30 1.6.2 Paso de fracción a decimal ...........................................................................31 1.6.3 Paso de decimal a fracción ...........................................................................31

1.7 Divertimentos matemáticos con números ............................................................35 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Interpretar y utilizar el vocabulario relacionado con fracciones

− Reconocer el significado de los números racionales

− Representar fracciones por figuras geométricas

− Distinguir cuándo una expresión decimal representa un número racional y cuándo no

− Calcular con números racionales

− Representar gráficamente números racionales y ordenarlos

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que con-tenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más adecuada en cada caso (C2, C3, C4).

− Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (na-turales, enteros y racionales), decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora) (C2, C3, C8).

− Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollán-dolo de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capaci-dades (C2, C7, C8).


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Criterios de evaluación

− Dibuja e identifica los números fraccionarios en la recta racional − Obtiene fracciones equivalentes a una fracción dada y las compara − Compara y ordena fracciones aplicando el algoritmo para reducir a común de-

nominador − Comprueba la regla general para que dos fracciones sean equivalentes − Opera números racionales aplicando las reglas de la jerarquía de operaciones − Expresa en forma decimal periódica cualquier número racional y expresa en

forma fraccionaria cualquier número decimal (racional) − Clasifica un conjunto de números reales dado en números racionales e irracio-

nales

Contenidos conceptuales

− Conjunto de números, tipos. − Números racionales e irracionales − Unidades fraccionarias − Fracciones propias e impropias − Modos de representar las fracciones − Reducción de fracciones a común denominador; comparación u ordenación − Operaciones con fracciones − Propiedades y prioridad de las operaciones − Recta racional − Representación de números racionales − Decimales exactos, decimales periódicos (puros y mixtos) − Expresión decimal de los números racionales − Expresión fraccionaria de los números decimales periódicos y exactos, con

fórmula y con forma razonada

Contenidos procedimentales

− Aplicación de las propiedades de las operaciones de fracciones − Obtención de fracciones equivalentes a una dada − Identificación de números racionales − Resolución de ejercicios con números racionales de progresiva dificultad − Representación de fracciones en la recta racional (propias e impropias) − Obtención de la forma decimal periódica de un número racional − Obtención de la forma fraccionaria de un número decimal periódico (exacto, pu-

ro y mixto)


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Unidad 1: Números racionales

Comenzamos el curso con el tema de las fracciones. Repasare-mos los conceptos que aprendiste el año pasado y aprenderemos otros nuevos. Los números para las Matemáticas son como los ladrillos para el constructor. Debemos conocer muy bien estos elementos para que nuestras edificaciones tengan garantías de éxito.

1.0 Conjuntos de números Antes de comenzar la unidad vamos a clasificar los números que conoces hasta ahora, y haremos una breve descripción de los que aún no conoces

Otros conjuntos

1.1 Fracciones Observa estos cinco elementos:

43

75'0

75%

Todas son expresiones para comunicar lo mismo. A parte de como división de la unidad, las fracciones pueden actuar como porcentajes, como expresión de proporcionalidad o como operador.


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1.1.1 Fracciones como división de la unidad Recuerda: El denominador indica el número de partes en que se divide la unidad; el numerador, el número de partes que se toman. Ejercicio 1 Me he comido media tarta de fresa Póngame un cuarto de jamón

serrano

Faltan tres cuartos de hora para que acabe el partido Aquí tiene el tercio (de cerve-

za) que me pidió

1.1.2 Fracciones como expresión de porcentajes

Si un ordenador portátil está rebajado un 25%, significa que le han rebajado 41

del

precio original. Ejercicio 2 Observa estos ejemplos y une con flechas:

Fracción Porcentaje Fracción %75

41

%50 43

%40

21

%90 1

%25

52

%100 109

Esta actividad se puede realizar sin hacer cálculos, pero... ¿qué porcentaje representan

87

? o ¿cuál es la fracción que representa un 125%?

Recuerda:

− Para pasar de porcentaje a fracción debes dividir entre 100 % (y simplificar la fracción resultante).

− Para pasar de fracción a porcentaje debes hacer la división que indica la frac-ción y multiplicar el resultado por 100 %.


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Ejercicio 3 Pasa a fracción:

=%35)a =%12)b

=%120)c =%45)d

Ejercicio 4 Pasa a porcentaje:

=87)a =

53)b

=5

12)c =94)d

1.1.3 Fracciones como expresión de proporcionalidad Expresiones cómo: tres de cada cinco estudiantes de psicología son mujeres, se puede designar mediante la fracción:

53

Ejercicio 5 Indica la fracción, simplifica y, a continuación, obtén el tanto por ciento que representan:

=720180) de a

=2500300) de b

1.1.4 Fracciones como operador Mira este ejemplo: jugamos 8 personas a la lotería y nos ha tocado un premio de 1000 €, ¿cuánto recibiremos mi hermano y yo?

2 2 2 10001000 1000 2508 8 8

de €⋅= ⋅ = =


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Ejercicio 6 Interpreta las siguientes expresiones como multiplicaciones y calcula su valor:

=8192) de Losa

=7053) de Losb

=3665

32) de los de Losc

=200710020) de d

=2007%20) de e

=200751) de f

1.2 Representación en la recta racional Se tarta de un método geométrico (necesitarás una regla, y, quizá, un compás) para representar fracciones en la recta racional. Puede que ya lo conozcas de la asignatura de Plástica. Existen dos tipos de fracciones: propias e impropias. Una fracción se llama propia, si el numerador es menor que el denominador, y el valor decimal (resultado de hacer la división) estará comprendido entre 0 y 1 si la fracción es positiva y entre 0 y -1 si es negativa.

Ejercicio resuelto

Representa en la recta racional el número: 56

Como el numerador es menor que el denominador (es una fracción propia), el resultado está comprendido entre 0 y 1.

(Sigue → )


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Ejercicio resuelto (continuación)

Debemos dividir la unidad en 6 partes (denominador) y tomamos 5 (numerador) con-tando desde el cero. 1. Se dibuja un segmento horizontal. Se señala el extremo izquierdo con el número 0 y el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad. 2. Se traza desde el 0 una semirrecta cualquiera que no sea horizontal. 3. Con una regla o con el compás, se marca en esa semirrecta, desde el cero, seis me-didas iguales (el número que haya en el denominador). 4. Con la regla se traza el segmento que une la última marca con el punto 1. 5. Se traza paralelas a ese segmento que pasen por las otras cinco marcas del com-pás.

Ejercicio 7

Representa en la recta racional el número: 1 24 3

y −


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Una fracción se llama impropia, si el numerador es mayor que el denominador. El valor decimal (resultado de hacer la división) será mayor que 1 o menor que -1 según sea la fracción positiva o negativa. Toda fracción impropia se puede descomponer en suma de un número entero más una fracción propia. Por ejemplo:

17 235 5= +

Por tanto, la fracción anterior deberá colocarse entre el 3 y el 4. El resto del procedi-miento es igual que para las fracciones propias. ¿Cómo convertir una fracción impropia en una suma de un número entero más una fracción propia? Sólo debemos hacer la división y seguir estas flechas:

Para el proceso contrario, sólo debes realizar la operación, es decir, multiplicar el nú-mero entero por el denominador y sumar el numerador:

2 15 2 1735 5 5

++ = =

Si prescindes del signo de la suma, obtienes el llamado número mixto: 17 235 5=

Ejercicio resuelto

Representa en la recta racional el número: 175

Es una fracción impropia (el resultado es mayor que 1). Ya lo hemos pasado a la forma de suma de un número entero más una fracción propia. Por tanto, deberemos seguir los mismos pasos que para representar las propias pero no entre el 0 y el 1, sino entre el 3 y el 4.

Ten en cuenta que, para abreviar espacio, sólo te presentamos la gráfica entre el 3 y el 4, pero en los ejercicios que tú hagas, deberá aparecer el 0.

17 235 5= +


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Ejercicio 8

Representa en la recta racional los números: 7 74 3

y −

Ejercicio 9 Dibuja en la misma recta racional, los siguientes números:

3 54 4

y −

Ejercicio 10

Señala en la recta racional dos fracciones comprendidas entre: 43

21 y

1 0


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Ejercicio 11

Ordena en la recta racional las siguientes fracciones: 2 3 8 5, , ,5 5 5 5

− −

1.3 Fracciones equivalentes Pueden existir varias formas de decir lo mismo. Habrás observado frecuentemente que los profesores de Matemáticas insistimos mu-cho en la simplificación de fracciones al final de (o durante) un ejercicio. Dedicamos el siguiente subapartado a este tema. Existe el proceso contrario a la simplificación, y es la amplificación. Tanto en uno y otro proceso, el resultado de la fracción no debe variar.

La fracción 24 es una fracción amplificada de

12 , o podemos verlo como que la segun-

da en una fracción simplificada de la primera; por tanto, ambas fracciones son equiva-lentes Hay una diferencia sutil entre ambos procesos, y tiene que ver con la idea de infinito: Para amplificar una fracción basta con multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número.

4 125 15

×3

×3

Ejercicio 12 Escribe los números en tres formas fraccionarias:

8)a 21)b

2) −c

0 -1 1


25

Dadas dos (o más) fracciones, nos podríamos preguntar si una es una amplificación o simplificación de la otra, es decir, si son equivalentes. Un criterio muy sencillo para ave-riguarlo es que sus productos cruzados coincidan. Ejercicio 13

Escribe la fracción equivalente a 3528 cuyo denominador es 20:

1.3.1 Simplificación de fracciones Es un apartado muy importante. Cualquier ejercicio (durante todo el curso) no estará correcto si no se da la solución simplificada. Simplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con el nu-merador y denominador más pequeños. Para simplificar una fracción debe existir un número entre el que podamos dividir el numerador y el denominador de manera exac-ta (sin decimales). Dicho de otra manera, para poder simplificar una fracción, el numerador y el denomina-dor deben tener algún divisor común (no pueden ser primos entre sí). El 8 y el 15 son números compuestos: 38 2= ; 15 3 5= ⋅ , sin embargo, son primos en-tre sí. Hasta ahora, has simplificado fracciones descomponiendo numerador y denominador en sus factores primos y luego has eliminado los que eran iguales. Por ejemplo:

3 3 2

2

3000 2 3 5 2 3 5 606550 2 5 131 131 131

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ Pero la descomposición es un proceso largo y, en muchas ocasiones, improductivo.

Ejercicio 14

Simplifica 3000539

=

3000

539

12 415 5

: 3

: 3


26

Ten en cuenta, que a partir de ahora, ya no habrá ejercicios exclusivos para simplificar fracciones, sino que la simplificación sólo será una parte de un ejercicio; necesitamos, por tanto, otros procedimientos. Ya conoces, de otros cursos, los criterios o reglas de divisibilidad (que podríamos llamar “trucos”) que nos pueden ayudar mucho a la hora de simplificar: permiten averi-guar con rapidez si un número es divisible por otro. Por desgracia no existen para todos los números.

- Un número es divisible entre 2 si acaba en número par ó 0. - Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es un múl-tiplo de 3. - Un número es divisible entre 5 cuando acaba en 0 ó 5. - Un número es divisible entre 10 si acaba en 0. - Un número es divisible entre 11 cuando al sumar las cifras de posición par menos la suma de las cifras de posición impar se obtiene como re-sultado 0 ó múltiplo de 11.

Ejercicio 15 ¿Es divisible 1234567 entre 3? ¿y entre 11? ¿Qué divisores tendrá

123000? ¿Es divisible 82709 entre 11? ¿y 4675?

Ejercicio 16

Supón que esa fracción es el resultado de un ejercicio, y debes intentar sim-plificarla, ¿qué divisor debes buscar en el numerador?

¿Qué conclusión sacas? Ejercicio 17 Simplifica estas fracciones utilizando los criterios de divisibilidad:

=500125)a =

6003720)b

=333555)c =

6003300)d

123427


27

1.4 Reducción a denominador común Si una fracción no es equivalente a otra, es porque una será mayor que la otra; surge, así, la idea de comparación entre dos fracciones.

Si 125 y

4620 no son equivalentes, ¿cuál es la mayor?

Para poder comparar dos (o más) fracciones, es necesario que tengan el mismo deno-minador. Buscar el m.c.m. de los denominadores es una operación que ya has realizado en cur-sos anteriores (por ejemplo, a la hora de sumar fracciones con distinto denominador). Ejercicio 18

Compara estas dos fracciones y determina cuál es la más pequeña: 125 y

4620

Ejercicio 19

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 1 3 2, ,5 4 7

Ejercicio 20

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 715,

316,

922,

512


28

Ejercicio 21

Escribe cinco fracciones mayores que 14 y menores que

38 :

1.5 Operaciones Ya conoces cómo se suman, restan, multiplican y dividen las fracciones.

a b a bc c c

++ =

a b a bc c c

−− =

a b a bc d c d

⋅⋅ =

⋅ :a b a dc d c b

⋅=

⋅

En el caso de la suma y la resta de fracciones, si los denominadores no son iguales, se reducen primero a común denominador y luego se aplica la fórmula anterior. Ejercicio 22 Resuelve:

) 4 1 27 14 7

a − + = ) 1 1 12 3 4

b + − =

) 4 17 5

c ⋅ = ) 1 1:2 3

d =

) 1 3:3 10

e = ) 7 1 53 3 2

f −⋅ ⋅ =

1.5.1 Prioridad en las operaciones Cuando en un ejercicio intervengan varias operaciones debes seguir el siguiente orden:

1. Se efectúan las operaciones entre paréntesis (corchetes, llaves...), del más interno al más externo. 2. Se calculan las potencias. 3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4. Se efectúan las sumas y las restas.

Diferencia fundamental entre calculadoras electrónicas, científicas y gráficas


29

Ejercicio 23

Resuelve:

) 2 3 1 3:5 10 5 6− ⎡ ⎤⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

a

) 3 6 7 4 =4 5 2

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

b

) 8 4 1: 3 :7 5 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c

) 4 3 1 2 3 2: 3 15 4 6 3 8 5

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + − − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦d

) 5 3 9 2 4 16 1: :6 7 14 3 9 45 24

⎛ ⎞− + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

e

)

3 2 2 1 625 15 3 2 5

3 15 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⋅f

) 3 1 8 3 1 5:5 6 9 5 3 3

− − ⋅ − =g

) 2 13 2 5 1:3 4 3 2 5

⎛ ⎞⋅ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

h

) 2 1 10 2 3 : 27 2 6 3 4

⎛ ⎞− ⋅ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

i

) 1 2 8 3 1 2: 5 :10 16 3 8 5 3

− ⋅ + − =j


30

Ejercicio 24

Si 53

=a y 32

−=b , ¿cuáles de los siguientes resultados son, respectivamente, los de

ba − y ba ⋅ ? Rodea con un círculo la respuesta correcta:

52

1519

52

151

52

151

52

1519

−−−− yyyy

Ejercicio 25

Si 3 2 2,7 5 3

= = =r s y t , calcula:

)a r s t+ −

) :b r s

( ))c r s t+ ⋅

( )) :d r s t+

( ))e r s t− ⋅

( )) :f r s t−

1.6 Paso de decimal a fracción y viceversa Antes de explicar estos dos procesos vamos a ver qué tipos de decimales hay.

1.6.1 Tipos de decimales

Completa:


31

Ejercicio 26 Indica qué tipo de números son:

1'35 = 1'078

7 '385 = 3'1415926535…

1'454545 =… 3'1234234234 =…

10 '01001000100001 =… 1'7 =

21'126666 =… 2'7182818284…

456 '7895 = 1'61803398…

(Los tres números irracionales de la segunda columna tienen nombre propio, y los veremos en el próximo tema)

1.6.2 Paso de fracción a decimal Este proceso es extremadamente sencillo: sólo hay que hacer la división. Una fracción nos puede generar cualquiera de los tres primeros tipos de decimales vistos antes. Ejercicio 27 Obtén el decimal correspondiente expresándolo sin redondeos y clasifícalo:

2)3

a = 16)15

b =

1)21

c = 3)25

d =

1.6.3 Paso de decimal a fracción Este proceso, al contrario que el anterior, sí requiere un estudio algo más detallado. Dependiendo del tipo de decimal que se tenga se hará de una manera u otra; por tanto, lo primero que deberemos hacer es identificar de qué tipo de decimal se trata.

Ejercicio resuelto

Obtén la fracción generadora de 1'35 : Como se trata de un decimal exacto, la obtención de la fracción es inmediata; tan solo hay que dividir por una potencia de 10; el exponente será el número de decimales que haya:

2

135 135 27 5 271'3510 100 20 5 20

⋅= = = =

⋅ ; en este caso, hemos simplificado la fracción.


32

Ejercicio 28 Obtén la fracción generadora de:

) 1'2a = ) 12 '55b =

) 0 '25c = ) 0 '005d =

Ejercicio resuelto

Obtén la fracción generadora de: 1'45 . Se trata de un decimal periódico puro, con dos cifras en el periodo. Paso 1: establecemos una ecuación llamando N al decimal y desarrollamos la expre-sión decimal para que se entienda mejor el proceso. Paso 2: ya que el decimal tiene dos cifras en el periodo, multiplicamos (en ambos lados de la ecuación) por 210 100= . Paso 3: restamos ambas ecuaciones. Como el minuendo es menor que el sustraendo, nos aparecerían números negativos; podemos evitarlo haciendo la resta al revés: sus-traendo menos minuendo.

( )( )( )

1'454545100 145'45454599 144

Paso 1Paso 2Paso 3

NNN

===

……

Ya tenemos la fracción que buscábamos: 144 9 16 1699 144;99 9 11 11

N N ⋅= = = =

⋅


) 3'30a

) 0 '5b

) 15'40c


33

Ejercicio resuelto

Pasar a fracción el número: 1'453 . En este caso, el decimal es mixto. El proceso con-siste, básicamente, en transformarlo en un decimal puro, para después tratarlo cómo el caso anterior.

Paso 1: igual que el caso anterior. Paso 2: eliminamos la parte mixta del decimal (en este caso hay dos cifras), multipli-cando por 210 100= . Paso 3: ahora tenemos un decimal puro, y procederemos como en el caso anterior. A diferencia de antes, en la parte izquierda tenemos una cantidad distinta de 1 multipli-cando a la N. Como sólo hay una cifra en el periodo, multiplicamos por 110 10= . Paso 4: restamos ambas ecuaciones.

( )( )( )( )

1'453333100 145'3333

1000 1453'3333900 1308

Paso 1Paso 2Paso 3Paso 4

NNNN

====

………

Ya tenemos la fracción que buscábamos: 1308 12 109 109900 1308;900 12 75 75

N N ⋅= = = =

⋅


) 5'12a

) 0 '113b

) 3'0012c


34

Habrá ejercicios (en cursos posteriores) donde necesi-temos obtener más rápidamente la fracción generadora para, por ejemplo, operar con las fracciones. Existe una fórmula que nos da dicha fracción:

Ejercicio resuelto

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'56 : 156 1 155

99 99N −= =

Ejercicio resuelto

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'356 : 1356 13 1343

990 990N −= =

Ejercicio 31 Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de:

) 2 '14a = ) 12 '8b =

) 0 '315c = ) 1'234d =

Ejercicio 32 Realiza las siguientes operaciones; ten en cuenta que hay infinitos decimales:

( )) 1'625 0 '1666 0 '41666a − − =… …

( )7) 0 '8333 : 1 0 '38889

b ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

… …

99 9 00 0nº cifras nº cifrasperiodo anteperiodo

EAP EAN −=

… …


35

1.7 Divertimentos matemáticos con números Juego SUDOKU Reglas: en cada fila deberán estar los números 1, 2, 3... 8 y 9 (no necesariamente en este orden); lo mismo para cada columna y para cada grupo de 3x3. Muy fácil Fácil

Fácil Algo más difícil

En www.sudoku.com podréis encontrar el juego para bajarlo (versión shareware). En http://www.dotnet2themax.it/sodoku/default.aspx hay una versión para jugar online. En inglés: http://www.paulspages.co.uk/sudoku http://www.dailysudoku.co.uk/sudoku/index.shtml http://www.websudoku.com En español: http://foroplus.net/sudoku/sudoku.php y para el SUDOKU SAMURAI: http://www.sudoku.4thewww.com/samurai.php Dirección para la unidad: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm

http://www.sudoku.com/�

http://www.dotnet2themax.it/sodoku/default.aspx�

http://www.paulspages.co.uk/sudoku�

http://www.dailysudoku.co.uk/sudoku/index.shtml�

http://www.websudoku.com/�

http://foroplus.net/sudoku/sudoku.php�

http://www.sudoku.4thewww.com/samurai.php�


36

Juego KAKURO El kakuro es un tablero dividido en bloques de celdas. Cada bloque horizontal o vertical tiene asociado un número (en el juego que te presentamos aparece rodeado de un cír-culo blanco). Para resolver el crucigrama, debes poner en las celdas números del 1 al 9 de modo que sumen el total que le corresponde a su bloque. Sólo existe una restricción: dentro de un bloque no se pueden repetir los números, pero sí se permite utilizar el mismo dígito en bloques diferentes dentro de la misma fila o columna. El hecho de que no se puedan repetir números dentro de un bloque proporciona mu-chas pistas. Por ejemplo, si debemos sumar 4 con sólo dos celdas, al no ser posible la combinación 2 y 2, sólo podremos poner 1 y 3, o bien, 3 y 1; la única posibilidad de completar 10 con cuatro celdas es: 1, 2, 3 y 4, o variaciones en su orden.

¿Qué números pondrías en las celdas marcadas con una flecha? Por el bloque horizontal que debe contener cuatro dígitos que sumen 10, sabemos que debemos colocar el 3 y el 4, pero ¿en qué orden? En la primera celda del bloque que debe contener 2 dígitos que sumen 4, no podemos poner el 4, ya que de ser así, en la celda inferior se debería

poner el 0, que es dígito no permitido en el kakuro; por tanto, en la primera flecha se coloca el 3 y en la segunda, el 4. Ahora, resuelve tú: Dedica un poco de tiempo a dar con las soluciones únicas. Aquí te damos algunos ejemplos:

Num. Celdas Combin.3 2 1 y 2 4 2 1 y 3

16 2 7 y 9 17 2 8 y 9 6 3 1, 2 y 3 7 3 1, 2 y 4

24 3 7,8 y 9

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 2: Números reales

37

Los números redondos son siempre falsos Samuel Johnson (escritor inglés, 1709 – 1784)

Unidad 2: Números

reales


38


39


Unidad 2: Números reales .............................................................................................41

2.1 Números irracionales ...........................................................................................41 2.1.1 Irracionales con nombre propio .....................................................................41

2.2 Representación de irracionales en la recta real ...................................................44 2.2.1 Representación de raíces cuadradas ............................................................47

2.3 Intervalos y semirrectas .......................................................................................49 2.4 Redondeos y aproximaciones..............................................................................53 2.5 Valor absoluto ......................................................................................................55 2.6 Curiosidad matemática: Dalí y el número de oro .................................................56

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Clasificar cualquier número

− Comprender el conjunto de los números reales

− Distinguir los números irracionales

− Conocer la escritura de los intervalos y su representación

− Hacer operaciones con valor absoluto

− Representar gráficamente en la recta real números irracionales

− Hacer cálculos exactos y aproximados


− Reconocer la necesidad de los números reales para representar la realidad (C2, C3).

− Valorar la aportación de las distintas culturas en la historia de las civilizaciones a la consolidación del concepto de número real (C2, C6).

− Utilizar las aproximaciones y redondeos de números decimales para resolver problemas con la precisión requerida por cada situación, siendo conscientes de los errores cometidos en cada caso (C2, C5, C7, C8).


40


− Clasifica cualquier número dentro del conjunto más pequeño al que pertenezca

− Calcula aproximaciones decimales de números irracionales

− Hace operaciones con valor absoluto

− Representa gráficamente en la recta real algunos números irracionales, utili-zando para ello sus sucesivas aproximaciones decimales

− Representa raíces cuadradas en recta real por medio del teorema de Pitágoras

− Representa en la recta real ciertas zonas, intervalos y semirrectas que se defi-nen mediante alguna relación algebraica

− Hace operaciones con intervalos de números


− Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos, clasificación

− Número irracional: , , 2, ...π φe

− Pérdida de precisión por redondeos

− Aproximaciones decimales de un número irracional: redondeo, exceso, defecto. Intervalos encajados

− Recta real, dibujo de raíces por Pitágoras

− Valor absoluto de un número real, operaciones

− Intervalos y semirrectas: formas de representación


− Comparación de números reales utilizando sus aproximaciones decimales

− Aproximaciones de números reales por redondeo, exceso y defecto

− Dibujo de raíces cuadradas en la recta real

− Representación de ciertas zonas de la recta real definidas por ciertas relacio-nes algebraicas (intervalos)

− Obtención del valor absoluto de expresiones más o menos complejas


41

Unidad 2: Números reales

Los números reales suponen el último conjunto, y más ampliado, de números que vamos a estudiar (en tercero y cuarto de ESO). Si decides continuar tus estudios en un bachillerato de ciencias, conocerás que existe un conjunto todavía mayor: los números complejos.

2.1 Números irracionales

2.1.1 Irracionales con nombre propio Hay tres números irracionales cuyas aplicaciones, tanto en Matemáticas como en otras materias, son tan numerosas e importantes que podríamos denominarlos como los irracionales más famosos:

• π el número pi: muy utilizado en geometría y conocido ya por los griegos en el S. III antes de Cristo. La razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro es π . Es la inicial de la palabra griega periferia (περιφερια). Durante muchos siglos se creyó que π era igual a alguna fracción de dos enteros y hubo muchos intentos por encontrarla, pero sólo se obtuvieron aproximaciones:

o π = 22/7 = 3’1428... (Arquímedes, S. III a.C.) o π = 377/120 = 3’14166..., (Ptolomeo, S. II d.C.) o π = 355/113 = 3’141592..., (Tsu Ch'ung-Chi, S. V, d.C.)


42

Quizá el caso más llamativo sea el del inglés William Shanks, que dedicó 20 años de su vida a la obtención de decimales de π . A finales del S. XIX, dio 707 decimales de π , pero, en 1945, se descubrió que había cometido un error en el decimal 528, y a partir de ahí los demás eran incorrectos. 3'1415926535π ≅ …

− e el número e: utilizado desde el S. XVIII. Veremos más sobre él en 4º de ESO (opción B). 2'7182818284e ≅ …

− φ el número (fi) o número de oro. También era conocido por griegos mucho

siglos antes de Cristo. Se designa con la letra griega φ "fi" en honor de Fidias, considerado el escultor de las obras más perfectas de la antigua Grecia. Desde hace cinco siglos, el rec-tángulo considerado co-mo el más bello es aquel en el cual la relación entre la altura y la anchura da resultado igual a φ . Tarjetas de crédito, de la Seguridad Social, carné de identidad... tienen la llamada proporción áurea (proporción de oro).

Ejercicio 1 ¿Cuánto vale la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm?

Ejercicio 2 La longitud de una circunferencia de radio 1 cm, ¿es racional o irracional? ¿y su área? Ejercicio 3 Escribe un número que sea:

a) Real, pero no racional b) Real, pero no irracional

c) Racional, pero no entero d) Irracional, pero no real

d

1cm

1cm

1 51' 61803398...

2

lado largo=

lado corto

+= =φ


43

Ejercicio 4 ¿Puedes obtener un número racional operando con números irracionales? En caso afirmativo, pon un ejemplo: Ejercicio 5

Indica cuál de los siguientes números no es irracional: 5 81 2π φ Ejercicio 6 Clasifica los siguientes números:

3− 36 8'1− 2π 4− 9

3− 25π 981 ...83'1−

(naturales)

(enteros)

(racionales)

(reales)

Ejercicio 7 Pasa a forma decimal y clasifícalos en racionales e irracionales, y explica la razón:

3)5

a =

1)1000

b − =

) 16c =

) 2d =

Ejercicio 8 Escribe cuatro números racionales y cuatro irracionales:


44

2.2 Representación de irracionales en la recta real Para el caso de las raíces cuadradas, existe un procedimiento basado en el teorema de Pitágoras que nos permite saber situarlas en la recta real, pero para el resto de irracio-nales debemos recurrir a sucesivas aproximaciones.

Ejercicio resuelto

Representa el número 3 2 1'25992= … con 3 decimales: Primera aproximación: el número es mayor que 1 y menor que 2. Segunda aproximación: el número es mayor que 1’2 y menor que 1’3. Tercera aproximación: el número es mayor que 1’25 y menor que 1’26. Cuarta aproximación: el número es mayor que 1’259 y menor que 1’260. Este proceso se puede repetir indefinidamente... de forma conceptual, pero, al dibujar, las herramientas de dibujo sí provocan una limitación.

Ejercicio 9 Representa el número 3'14159π = … con 3 decimales:


45

Ejercicio 10

Representa el número e=2'7182818284… con 3 decimales:

Ejercicio 11

Representa el número 1'61803398φ = … con 3 decimales:

Ejercicio 12

Representa el número 2 = …1'41421356 con 3 decimales:


46

Ejercicio 13 Escribe el número que corresponde a cada punto señalado en la recta:

Ejercicio 14

Ordena de menor a mayor los siguiente números reales 22 2, , 37 10

π + :

Ejercicio 15 Representa en el recta cinco números comprendidos entre el 1 y el 3:

Ejercicio 16 Representa en el recta tres números comprendidos entre el 3’18 y el 3’19:

Ejercicio 17 Ordena de mayor a menor:

) 0 '075 0 '015 0 '08 0 '0752a

) 1'15 0 '025 0 '0002 0 '05b − −

Ejercicio 18

Representa en la recta los siguientes números reales: 3'5 3'55 3'05 3'15


47

2.2.1 Representación de raíces cuadradas Observa el siguiente dibujo y recuerda el conocido teorema de Pitágoras: Ejercicio 19 Detalla cómo ha sido construido y las conclusiones que obtengas: Generalizando el proceso, podremos dibujar cualquier raíz cuadrada: Ejercicio 20

Representa gráficamente 3 (intentando no mirar el dibujo de arriba):

2

20 1 2


48

Las siguientes raíces están descompuestas en cuadrados perfectos, lo que facilita enormemente su representación en la recta real:

2 25 4 1 2 1= + = + 2 28 4 4 2 2= + = + 2 210 9 1 3 1= + = + Ejercicio 21 Busca tres raíces que se puedan descomponer como suma de cuadrados: Ejercicio 22

Representa gráficamente 26 : Ejercicio 23 Existe otra manera análoga de dibujar raíces cuadradas en la recta real. Basándote en el dibujo, explica cómo se obtiene la raíz de tres:

1

2

1 20 2 3


49

2.3 Intervalos y semirrectas En este apartado sólo vamos a hablar de notación, es decir, de cómo se escriben o determinan unos conjuntos de números. En concreto, vamos a ver tres formas de re-presentar lo mismo. Para los tres casos utilizaremos el siguiente ejemplo: imagina que debes contar las plantas del Corte Inglés: Tiene tres sótanos por debajo de la planta inicial o planta baja, y siete plantas por encima de la inicial; en total, 11. Primera forma de representación: [ ]3, 7− El intervalo anterior se llama cerrado por usar corchetes, pero también pueden ser pa-réntesis o una combinación de ambos:

[ ],a b ( ),a b ( ],a b [ ),a b Intervalo cerrado Intervalo abierto Intervalo abierto por

la izquierda Intervalo abierto por la derecha

Estos dos intervalos también se llaman semiabiertos o semicerrados

En todos los casos, es imprescindible que a sea menor que b, es decir, a < b; a y b se llaman extremos del intervalo. ¿Cuándo se usa corchete y cuándo paréntesis?

− Corchete: el extremo entra en el conjunto. − Paréntesis: el extremo no entra en el conjunto

Segunda forma de representación: 3 7x− ≤ ≤ El número de plantas del Corte Inglés es mayor o igual que -3 y menor o igual que 7.

< ≤ > ≥

Se lee: menor que Se lee: menor o igual que Se lee: mayor que Se lee: mayor o

igual que : 3 4; 4 1Ej < − < − : 3 4; 2 2Ej ≤ ≤ : 0 1; 2 3Ej > − > − : 3 0; 1 1Ej ≥ − ≥ −

En realidad, usaremos sólo los dos primeros símbolos. ¿Por qué?

¿Cuándo se usa < y cuándo ≤ ?

− ≤ : el extremo entra en el conjunto.

− < : el extremo no entra en el conjunto


50

Tercera forma de representación: Se trata de la forma gráfica. En ella puede haber círculos abiertos (huecos) o círculos cerrados (tapado). También puede haber una combinación de ambas representaciones.

Se lee: círculo ce-

rrado o tapado Se lee: círculo

abierto o hueco ¿Cuándo se utiliza círculo abierto?

− Círculo cerrado: el extremo entra en el conjunto. − Círculo abierto: el extremo no entra en el conjunto

Ejercicio resuelto

Dada una representación, obtén las otras dos:

( ]) 0, 3'5a 0 3'5x< ≤

)b

( )5, 30 5 30x< <

1) 4,2

c −⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

142

x −− ≤ <

Ejercicio 24 Completa la siguiente tabla:

( y [ Recta Símbolos y < ≤ 3 , 0

4−⎛ ⎤

⎜ ⎥⎝ ⎦

1 3x− ≤ <

( ) [ ]

< ≤

Resumen: las tres formas de representación son equivalen-tes: •


51

Ejercicio 25 ¿Qué números enteros pertenecen a ambos intervalos a la vez?

[ ] ( )) 1, 4 2, 4 : y a

( ) [ ]) 5, 5 1,1 : y b − −

[ ) ( ]) 7,15 6,18 : y c

[ ) [ )) 3, 1 1,1 : y d − − −

Otro tipo de intervalos son las semirrectas, situación intermedia entre segmento y recta:

Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores o menores que él. Al igual que con los anteriores interva-los, el extremo puede o no entrar en el conjunto.

Ejercicio resuelto

Dada una representación, obtén las otras dos:

( ]) , 3a −∞ 3x ≤

)b

( )1,− ∞ 1 x− <

En el extremo donde va situado el infinito, siempre colocaremos un paréntesis. ¿Por qué? Ejercicio 26 Escribe de tres maneras distintas el conjunto de números menores que -2, sin incluirlo:

Utilizaremos estos dos nuevos símbolos: Se lee: desde el

menos infinito Se lee: hasta el

más infinito


52

Ejercicio 27 Representa en la recta real las siguientes semirrectas de números:

( ]0,2) −a

[ ]5'11,8)b

( )0,) ∞−c

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞− ,

21)d

Ejercicio 28 Encuentra las zonas comunes, si las hay, en las siguientes parejas de intervalos o se-mirrectas representándolas en la recta real:

1 2) [ 2 , 3) (0 , 5)a I I= − =

) 2 5 0 3b x y x≤ < < ≤

[ ]1 2) ( 1 , 2) 1 , 2c I I= − =

) 1 2 0d x y x≤ − − ≤ <


53

2.4 Redondeos y aproximaciones Muchas personas creen que el número π es 3'14 . Los números irracionales y los decimales periódicos tienen infinitas cifras, por tanto, es imposible escribir su valor exacto. Se hace necesario tomar aproximaciones, conside-rando sólo un número finito de cifras decimales. Imaginemos que debemos poner el número áureo (Φ = …1'61803398 ) con dos ci-fras decimales. Hay dos posibilidades (por exceso y por defecto) para realizar la aproximación, más otra tercera (el redondeo) que coincidirá, en la práctica, con alguna de las dos anterio-res:

− Aproximación por defecto: consiste en tomar las cifras indicadas (en nuestro ejemplo, cogeremos hasta los dos primeros decimales) e ignorar el resto

Φ =1'61

− Aproximación por exceso: consiste en tomar las cifras indicadas sumando una unidad a la cifra de la derecha:

Φ =1'62

− Redondeo del número: se tomarán las cifras indicadas y se mira la siguiente; si es 0, 1, 2, 3 ó 4 se ignora el resto del número (es una aproximación por de-fecto); si, por el contrario, la cifra es 5, 6, 7, 8 ó 9 se suma una unidad a la últi-ma cifra de las seleccionadas (es como una aproximación por exceso):

Φ =1'62 Ejercicio 29 Efectúa las operaciones indicadas con las siguientes cifras:

Número de cifras decimales Por defecto Por exceso Redondeo

0 '3416789 2

40'666... 1

-12 '559804 3

99 '999... Ninguna

23'905888 2

99 '999 2


54

Ejercicio 30 Completa, con ayuda de la calculadora, la siguiente tabla con las correspondientes

aproximaciones de 8 :

Aproximación por Defecto Exceso Redondeo Aproximación Enteros

Décimas

Centésimas

Milésimas

Ejercicio 31 Completa la siguiente tabla:

Aproximación del número 4’2356092... por

Defecto Exceso Redondeo 2 cifras decimales

3 cifras decimales

4 cifras decimales

5 cifras decimales

Si consideras distintas aproximaciones (cada vez con más precisión) por defecto y por exceso de un número como los extremos de un intervalo (cerrado), se obtiene la llama-da sucesión de intervalos encajados. Ejercicio 32 Determina una sucesión de cuatro intervalos encajados que se aproximen al número

2'7182818284e ≅ … ¿Por qué se llaman encajados?


55

2.5 Valor absoluto El valor absoluto de un número a se designa por a y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo.

00

a aa

-a asisi

≥⎧= ⎨ <⎩

Dos números reales opuestos tienen el mismo valor absoluto: Ejercicio 33 Comprueba cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas:

) 5 5a − = − ) 0 7 7b − =

) 4 8 4 8c − = − ) 12 15 12 15d − = −

Ejercicio 34 ¿Cuántos números enteros, en valor absoluto, son menores o iguales a 3? Ejercicio 35 Escribe tres números racionales negativos cuyos valores absolutos sean mayores que 1: Ejercicio 36 Razona si son ciertas las siguientes relaciones:

)a a b a b− = −

)b a b a b+ = +

-1 0 1-1 1 1= =


56

2.6 Curiosidad matemática: Dalí y el número de oro EL siguiente cuadro se titula:

Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Dalí dispuso todos los objetos siguiendo las proporciones áureas:

Los rectángulos áureos son: ABCD, ABEF, AGHF, IJHF, JHKN y MJNL Dirección para la unidad: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 3: Potencias y raíces

57

No os fiéis de las brujerías y atractivos diabólicos de las matemáticas. Fenelón, (escritor, clérigo y teólogo liberal francés, 1651-1715)

Unidad 3: Potencias y raíces


58

En la siguiente dirección podrás encontrar ejercicios on-line para practicar la regla de Ruffini, procedimiento que se explica en este tema: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/polinomios/ruffini/ ruffiniteoria.htm


59


Unidad 3: Potencias y raíces.........................................................................................61

3.1 Potencias de exponente y base natural, entera y fraccionaria.............................61 3.2. Propiedades........................................................................................................63 3.3 Notación científica................................................................................................66

3.3.1. Productos y divisiones con potencias de 10.................................................67 3.3.2. Uso de la calculadora ...................................................................................69 3.3.3. Operaciones con números en notación científica.........................................70

3.4 Raíces..................................................................................................................73 3.4.1 Cálculo de raíces de cualquier índice............................................................73 3.4.2 Índice común .................................................................................................75 3.4.3 Introducir y extraer factores...........................................................................78 3.4.4 Uso de la calculadora ....................................................................................80 3.4.5 Más ejercicios de raíces ................................................................................80

3.5 Racionalización....................................................................................................81 Ejercicios extras de potencias....................................................................................83


− Operar con cualquier tipo de potencia

− Utilizar la Notación Científica

− Operar con raíces

− Relacionar las operaciones de potencia y raíces

− Racionalizar denominadores


− Utilizar las potencias de exponente entero y sus propiedades para expresar números muy grandes y muy pequeños (C1, C2).

− Manejar adecuadamente la notación científica y reconocer los contextos reales y los ámbitos de la actividad humana en los que esta se utiliza (C2, C3).

− Conocer y utilizar de forma adecuada la calculadora, hojas de cálculo, y pro-gramas informáticos (tipo Derive) para trabajar con potencias, raíces y opera-ciones con números expresados en notación científica (C2, C4).


60


− Calcula y simplifica expresiones en las que intervengan potencias de exponen-te natural y entero, aplicando para ello las diversas propiedades que estas cumplen

− Expresa cantidades muy grandes o muy pequeñas en notación científica y rea-liza cálculos con dichas expresiones

− Opera (simplifica, ordena, suma, multiplica, divide...) expresiones con radicales

− Calcula y simplifica expresiones en las que intervengan potencias de exponen-te fraccionario

− Racionaliza denominadores de los dos tipos vistos en clase


− Potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Propiedades de las potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Notación científica

− Forma exponencial de la raíz

− Raíz enésima de un número

− Soluciones de las raíces de índice par e impar

− Operaciones con raíces: introducir y extraer factores

− Raíces equivalentes, comparación

− Racionalización de denominadores, tipos Contenidos procedimentales

− Cálculo y aplicación de propiedades de potencias de exponente natural, entero y fraccionario

− Escritura en notación científica de un número dado en notación ordinaria

− Escritura en notación ordinaria de un número dado en notación científica

− Operaciones con números expresados en notación científica

− Simplificación de radicales

− Ordenación y comparación de radicales

− Suma de radicales extrayendo los factores que sea posible fuera del signo ra-dical

− Producto y cociente de radicales.

− Potencia y radical de un radical

− Racionalización de denominadores en los tipo vistos


61

Unidad 3: Potencias y raíces

Ya has tratado con potencias y raíces en cursos anteriores. Aho-ra, profundizaremos en su estudio, pero comprobarás que las propiedades son las mismas. También profundizaremos en las operaciones con números expresados en notación científica ya que, probablemente, ya los habrás visto en la asignatura de Física y Química. Y como principal novedad aprenderemos a racionali-zar, es decir, veremos formas para eliminar las raíces de los de-nominadores de las fracciones.

3.1 Potencias de exponente y base natural, entera y fraccionaria Hasta ahora has tratado con potencias de exponente natural:

( ) ...2,54,1,2 2

323 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Vamos a extender los conceptos y propiedades que ya conoces para poder resolver otras potencias:

que como ves, tienen exponentes enteros (negativos) o fraccionarios.

Si los exponentes son negativos, los puedes pasar a positivos cambiando la potencia del numerador al denominador o viceversa (mira la propiedad 3 un poco más adelante):

81

212 3

3 ==−;

44 37

37

⋅== −

Si los exponentes son fraccionarios, entonces tenemos las raíces (que veremos en el apartado 3.4). Respecto a las bases, también pueden ser naturales, enteras o fraccionarias. Si la base es natural, no deberemos realizar ninguna acción especial, resolviéndose las potencias como en cursos anteriores. Si la base es negativa, al tratarse de productos, deberemos tener en cuenta las famo-sas reglas de los signos:

Observa que no tienes que aprenderte las dos columnas puesto que las reglas para la división son las mismas que para el producto. Si los exponentes son muy elevados, estas re-glas no resultan muy eficaces.

( ) ( ) ( )+=+⋅+ ( )

( ) ( )+=++

( ) ( ) ( )−=−⋅+ ( )

( ) ( )−=−+

( ) ( ) ( )−=+⋅− ( )

( ) ( )−=+−

( ) ( ) ( )+=−⋅− ( )

( ) ( )+=−−

...2723,2 3

152

3

−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛


62

¿Cuánto es ( )102− ? Para averiguar el singo de la potencia deberíamos multiplicar el

signo 10 veces: “menos por menos es más, más por menos es menos...” y ¿ ( )632− ? Al la hora de operar nos fijaremos en si el exponente es par o impar, y actuar como sigue:

Exponente par: resultado positivo ( ) 1010 22 =−

Exponente impar: resultado negativo ( ) 6363 22 −=−

Y, con frecuencia, restaremos importancia al resultado numérico (como en este ejerci-cio), quedándonos en la aplicación de propiedades o reglas matemáticas, que suelen ser más importantes que el mero cálculo final. Si la base es fraccionaria debes recordar que los exponentes afectan tanto al numera-dor como al denominador:

3

33

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Veamos, antes de repasar las propiedades de las potencias, dos actividades sencillas con casi todo lo que hemos dicho hasta ahora: Ejercicio 1 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:

=23)a

( ) =− 24)d

=− 24)g

( ) =− 35)b

( ) =− 31)e

( ) =−− 32)h

=50)c

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

32)f

Ejercicio 2 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero (negativo):

=−32)a

( ) =− −33)d

=− −24)g

( ) =− −35)b

( ) =− −42)e

( ) =− −24)h

( ) =− −23)c

=−431)f

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−2

21)i


63

3.2. Propiedades Todos los ejercicios que acabas de hacer y los venideros, te resultarán mucho más fáciles de realizar si dominas las propiedades de las potencias y raíces.

1. …vecesm

m aaaaa ⋅⋅⋅= Caso particular: 0,10 ≠∀= aa

Ejemplo: 322222225 =⋅⋅⋅⋅= 1130 =

2. m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )0≠bcon Ejemplo:2

22

43

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3.

mm

aa 1

=− ( )0≠acon

m

m

m

mm

ab

ba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

( )0≠∧ ba

mm

aa −=

1 ( )0≠a

Ejemplo:

33

515 =−

55

5

5

55

313

31

31

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

1010

212 −=

4.

n mnm

aa = ( )00 >∧≥ na

n mn

mn mn

m

aaaa 11

=== −−

( )00 >∧≥ na

Ejemplo:

7 272

55 =

5 252

313 =

−

5.

nmnm aaa +=⋅ nmnm

ba

ba

ba +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, ( )0≠b Ejemplo:

75252 3333 ==⋅ +

11

11114747

52

52

52

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

6.

nmnm aaa −=: , ( )0≠a

nmn

m

aaa −= , ( )0≠a

Ejemplo:4

47373

51555:5 === −−

2353

5

11111111

== −

7. ( ) nmnm aa ⋅= Ejemplo: ( )[ ] ( ) 202054 222 =−=−

8. ( ) mmm baba ⋅=⋅ Ejemplo: ( )[ ] ( ) 44444 323232 ⋅=−⋅=−⋅

9. nnn baba ⋅=⋅ Ejemplo: 222222 55

5 235 25 3 ==⋅=⋅

10. n

n

n

ba

ba=

( )00,0 >∧>≥ nba

Ejemplo:67

3649

3649

==

11. nn n baba ⋅=⋅ Ejemplo: 525220 2 =⋅=

12. mnn m aa ⋅= Ejemplo: 555 23 63 6 == ⋅


64

Ejercicio 3 Determina cuales de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales falsas:

a) nmnm aaa +=⋅ b) ( )nnn baba +=+ c) ( )nmnm aa =⋅

d) ( ) ( )mnnm aa = e) ( )nn aa −=− f) ( ) pnmpnm aaaa −⋅=⋅ :

g) nn aa1

=− h) nm

n

m

ba

ba −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= i) ( ) ( )mnnm abba =⋅

Arregla (si se puede) las expresiones falsas del ejercicio anterior para que sean verdaderas: Ejercicio 4

Si 12−=a y 22−=b , ¿cuánto es ba + ? Rodea con un círculo la respuesta correcta:

4375'05'025'0 −

Ejercicio 5

) ( )24− =a ) ( )34− =b ) 23− =c ) 32− =d ) ( ) 22 −− =e

) ( ) 33 −− =f ) ( ) 52 −− =g ) 42− =h ) 33− =i ) ( )22− − =j

) 25− =k ) ( )25− =l ) ( ) 25 −− =m ) 25−− =n ) ( ) 35 −− =ñ


65

Ejercicio 6 Opera y ordena de menor a mayor los números A, B y C:

( ) ( ) ( )23 112 −++−−=A

( ) ( )181 35 −+−−−=B

( ) ( ) ( )322 122 −++−−=C

Ejercicio 7 Resuelve cada actividad:

) ( ) ( ) 13

3 1 91 : 3 : 24 8 2

a −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

) ( ) 10 31 92 : 2 14 8

b −+ − + − + =

)1

33 1 272 : 12 4 8

c− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejercicio 8 Simplifica:

=⋅

⋅⋅⋅ −

1610-

5293

25159273125


66

Ejercicio 9 Simplifica:

( )( )

=⋅

⋅−

−

232

522

26

aabbaba

Ejercicio 10 Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:

( ) ( )25 3) 3 9 : 3a ⎡ ⎤− ⋅ − =⎣ ⎦

( ) ( ) =⋅−⋅− 1644b) 53

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

161

21

21c)

32

=⋅⋅⋅⋅⋅ −

220

2234

92152732532d)

=⋅⋅⋅⋅⋅

−

−

2322

214

65273710)e

3.3 Notación científica Es un caso particular de potencias de exponente entero, y se utiliza (en cualquier mate-ria de ciencias, sobre todo en Física) para designar números muy grandes o muy pe-queños (distancias entre astros, masa de partículas atómicas...)


67

Notación ordinaria Notación científica Distancia Tierra-Sol km000000150= km8105'1 ⋅=

Edad del Sol años0000000005= años9105 ⋅=

Masa de la Tierra kg000000000000

0000000009805= kg241098'5 ⋅=

Año luz (longitud que recorre la luz en un año) km0000000004609= km121046'9 ⋅=

Longitud del paramecio m025000'0= m5105'2 −⋅=

Longitud de onda de la luz visible al ojo humano

mde 4000000'0 mhasta 7000000'0

mde 7104 −⋅

mhasta 7107 −⋅

Peso de una molécula de agua

0 '000 000 000 000000 000 000 029 g=

g23109'2 −⋅=

Masa de un protón kg169000000000000

000000000000000'0= kg281069'1 −⋅=

3.3.1. Productos y divisiones con potencias de 10 Es un requisito previo que debes recordar para trabajar bien en notación científica: Ejercicio 11 Realiza las siguientes operaciones

=⋅100074'36)a

=⋅1004'0)b

=100:34)c

=− 10:3'100)d

=10000:5'13)e Ejercicio 12 ¿Cuándo un número está expresado en notación científica?


68

Ejercicio 13 Pasa a notación científica:

=123000000'0)a

=230001000'0)b

=0000002301)c

=− 123'0)d

=230001'0)e

=2301)f Ejercicio 14 Pasa a notación científica las actividades del ejercicio 11: Ejercicio 15 Pasa a notación ordinaria:

=⋅ 7101)a

=⋅ −3102'1)b

=⋅− 51022'2)c

=⋅− −51004'1)d


69

Ejercicio 16 Escribe en notación científica y ordinaria:

) 2 '25 1000 000a ⋅ =

) 0 '003:1000b =

) 215 :100 000c =

) 0 '0216 1000 000 000d ⋅ =

Ejercicio 17 Indica si las siguientes expresiones son verdaderas (V) o falsas (F):

) 34 :100 3'4a =

) 3 43'1 10 3'1 10b − −⋅ > ⋅

) ( ) ( )2 22 11'2 10 0 '11 10c − −⋅ < ⋅

) 0 '567 :10 5'67d =

) ( ) ( )3 38 2 10 2 8 10e − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

) 51234 10 0 '001234 10f −⋅ = ⋅

3.3.2. Uso de la calculadora En general deberemos apretar la tecla EXP para introducir el exponente. Ejercicio 18 Haz esta operación con la calculadora y comprueba que obtienes la misma solución

2'1104'2105 32 =⋅⋅⋅ − Atención: la tecla EXP ya tiene incluido la base 10. No debes escribir 5 x 10 EXP 2, ya que estarás escribiendo 5000, en vez de 500. Debes teclear: 5 EXP 2 x 2’4 EXP -3 =


70

3.3.3. Operaciones con números en notación científica Las operaciones de multiplicación y división son muy sencillas de realizar (ocurre algo parecido a como se operan las fracciones); la suma y resta, al igual que en las fracciones, requieren alguna operación previa. Para las multiplicaciones y divisiones de números expresados en notación científica sólo deberemos aplicar las mismas propiedades que para las potencias

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente operación usando notación científica: 63 105'1102'2 −− ⋅⋅⋅ Agrupamos los decimales y las potencias por otro y operamos:

3 6 3 6 92 '2 10 1'5 10 2 '2 1'5 10 10 3'3 10− − − − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Como el resultado está expresado en notación científica hemos acabado el ejercicio. Ejercicio 19 Resuelve utilizando notación científica:

=⋅⋅⋅ − 62 105103'4)a

=⋅⋅ −67 101'8:104'3)b

( ) ( ) =⋅⋅ −24 102:105)c

( ) ( ) =⋅⋅⋅⋅ −− 245 108'4:105106'9)d

( ) ( )=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −−− 4352 108102:102'2102'1)e

=⋅⋅⋅⋅⋅ − 345 104103102)f

Para la suma y resta de números expresados en notación científica deberemos, ade-más de aplicar las propiedades de las potencias, igualar las potencias de 10 para ex-traer factor común.


71

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente operación usando notación científica: 75 102'9105 ⋅+⋅ Al tratarse de una suma (o resta) debemos conseguir que los exponentes de las poten-cias de 10 sean iguales entre sí (podemos subir el 5 al 7, bajar el 7 al 5 o, incluso, igua-lar ambas potencias a 6). Una vez conseguido (la parte decimal se verá afectada) po-dremos extraer factor común. Se decide igualar los exponentes a 5; para ello, expresamos 710 como 2 510 10⋅ (re-cuerda las propiedades de las potencias: Mismas bases multiplicándose, los exponen-tes s suman). Así se obtendrá: 5 5 2 5 2 5 5 55 10 9 '2 10 10 5 10 9 '2 10 10 5 10 920 10⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ; ya tenemos las potencias iguales: extraemos factor común y operamos: ( ) ;10925109205 55 ⋅=⋅+ por último, y muy importante, dejamos el resultado en nota-ción científica:

5 7 75 10 9 '2 10 9 '25 10⋅ + ⋅ = ⋅ Comprueba la solución con la calculadora. Nota: a la hora de hacer los ejercicios, y cuando ya tengas cierta habilidad, suprimire-mos algunos pasos y haremos la resolución algo más sencilla. Ejercicio 20 Resuelve utilizando notación científica:

=⋅+⋅ 57 103'2102'5)a

=⋅−⋅ 64 102'1103'2)b

=⋅−⋅−⋅ 546 106'3104104'2)c

(Sigue → )


72

(Continuación)

=⋅+⋅ 75 102'9105)d

=⋅+⋅ 46 109101'2)e

=⋅−⋅−⋅ 435 105'1105102'8)f Ejercicio 21 Responde utilizando notación científica: a) Una molécula de agua pesa g23109'2 −⋅ . ¿Cuánto pesarán cien mil moléculas de agua? b) España tiene una población de hab6106'36 ⋅ y una superficie de 24104'50 km⋅ . ¿Cuál será la densidad de población española? ( )2/ kmhabDensidad = c) Un microscopio permite observar un objeto a un tamaño 4105'2 ⋅ veces más grande que el original. ¿A qué tamaño se verá una partícula de polvo que mide m5105 −⋅ ?


73

3.4 Raíces Las potencias de exponente fraccionario y las raíces son una misma cosa:

n mnm

aa = Esta expresión se llama forma exponencial de la raíz. Puesto que una raíz no es más que una potencia, las propiedades son las mismas.

Completa:

3.4.1 Cálculo de raíces de cualquier índice Observa estos ejemplos:

525 ±= ya que ( ) 255255 22 =−= y

283 = ya que 823 =

3814 ±= ya que ( ) 813813 44 =−= y

Número de soluciones de una raíz: Algunas raíces podrán calcularse directamente, como en los ejemplos anteriores, y pa-ra otras, utilizaremos la forma exponencial de la raíz y las propiedades de las raíces.

Ejemplos

555525 122

2 ====

5555125 133

3 33 ==== (Sigue → )


74

4222256 248

4 84 ==== ; Comprueba que -4 también es solución de la raíz

31

271

271

3

33 ==

01'010

11010100001'0 222

44 ===== −

−−

y 01'010 2 −=− − también es solución

( ) ( ) 222232 155

5 55 −=−=−=−=−

Ejercicio 22 Calcula:

=94)a =

3625)b

=481)c =44'1)d

=3 125'0)e =3 027'0)f

=−4 81)g 416)81

h =

=3126

6364)nm

yxi =484

8116) baj

3 6

36 9

27)125

m nka b

= =5 01000'0)l

=6 64)m =−3 1)n

=−4 1)ñ =3 527)o

( )=4 51000'0

1)p ( ) =3 56327) nmq


75

3.4.2 Índice común Conseguir que dos (o más) raíces tengan el mismo índice nos permitirá compararlas y ordenarlas, multiplicarlas y dividirlas; para ello, sólo hay que aplicar esta propiedad:

kn kmn m aa ⋅ ⋅= Esta propiedad nos permite, por ejemplo, escribir cualquier número en forma de raíz.

Ejercicio resuelto

Escribe, en 5 formas radicales, el número 3:

222

1 3333 === ; siguiendo el mismo razonamiento:

6 65 54 43 32 333333 =====

Ejercicio 23 Escribe, en 4 formas radicales, el número 7: Observa: si necesitamos cambiar el índice de una raíz, multiplicaremos por un número, k, tanto el índice como el exponente del radicando.

Ejercicio resuelto

Iguala los índices de los siguientes radicales: 3 24 7;2;3 ¿A qué número se igualan? Necesitamos un número que sea múltiplo de los tres índi-ces:

[ ] 123,4,2... =mcm ; Dividimos el m.c.m. obtenido por el índice de cada raíz, y así obtendremos ese número k:

para la primera raíz: 62

12==k ; por tanto: 2 6 1 6 6123 3 3⋅ ⋅= =

para la segunda raíz: 34

12==k ; por tanto: 4 3 121 3 34 2 2 2⋅ ⋅= =

para la tercera raíz: 43

12==k ; por tanto: 3 3 42 2 4 8127 7 7⋅ ⋅= =


76

Ejercicio 24 Iguala los índices de los siguientes radicales:

;2;4;7) 5 353a

;5;9;3) 1025b

;2;2;2) 654c Ejercicio 25 Ordena de menor a mayor los radicales del ejercicio anterior: Ejercicio 26

¿Cuál de los siguientes radicales es mayor? 43 7;5


77

Hay otra consecuencia de poder igualar los índices de las raíces. Vuelve a mirar las propiedades 9 y 11. Dos radicales pueden multiplicarse o dividirse sólo si tienen el mismo índice.

Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes operaciones:

63 3 35 5 6 23 33 3) 2 32 2 2 2 2 2 2 2 4a ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =

6 6 63 2 3 23) 2 15 2 15 2 15b ⋅ = ⋅ = ⋅

Ejercicio 27 Calcula los siguientes operaciones:

=⋅ 33 93)a

) 2 8b ⋅ =

=⋅ 5 32)c

=2:32)d

81)9

e =

=3:15)f

2

) =xgx

3 2 34) 3 3 3h ⋅ ⋅ =

843 2 2) 2 2 2⋅ ⋅ =i


78

3.4.3 Introducir y extraer factores Mira, de nuevo, la propiedad 11. Se puede extraer factores de una raíz e introducirlos; así podremos: agrupar raíces, simplificarlas... Para extraer factores... Para introducir factores... Ejercicio 28 Extrae factores:

=8)a =18)b

=32)c =50)d

=98)e =128)f

=162)g =200)h Ejercicio 29

Extrae de los radicales todos los factores posibles: ;2048,32,81 543


79

Ejercicio 30 Introduce factores:

=⋅ 22)a =⋅ 37) 2b

2 3) 2 5c ⋅ = =⋅⋅⋅ 52 7232)d

=⋅ 72 77)e =⋅⋅ 3 2510)f

No se pueden sumar ni restar raíces: baba +≠+ , pero sí pueden agruparse:

aaa 43 =+ Deberemos conseguir, para ello, que los radicales sean los mismos (mismo índice y mismo radicando); y para conseguirlo, podremos introducir o extraer factores, cambiar los índices... Ejercicio 31 Opera:

=+−+ 18080455)a

=−+− 50251882)b

=+497548)c

=+− 321828)d

=−+ 646 8427)e

=+− 7551483272)f


80

3.4.4 Uso de la calculadora Apunta las teclas más importantes y habituales:

3.4.5 Más ejercicios de raíces

Ejercicio 32 Simplifica: (mira la propiedad número 12)

=3 8)a

=3)b

=32)c

=xd )

=−1) xe

=xxxf )

=5 3) xg Ejercicio 33 Opera y deja el resultado como una sola raíz (simplificada):

=+7518

32)a

(Sigue → )


81

(Continuación)

=−5012

21

227)b

=−2548)c

=+125

185)d

3.5 Racionalización Como dijimos en la introducción, la racionalización consiste en hacer desaparecer las raíces que pudieran quedarse como resultado en un denominador. Vamos a ver, con ejemplos, como pueden darse tres posibles casos, resolviéndose cada uno de forma distinta. Cada caso depende del tipo de raíz que haya en el denominador, y el primer paso siempre es similar: multiplicar (numerador y denominador por una raíz conveniente-mente elegida)

− Caso I) Raíz cuadrada: se multiplica numerador y denominador por la misma raíz del denominador

( )215 15 5 15 5 15 5 3 5

55 5 5 5

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅

− Caso II) Raíz de índice mayor que dos:

7 7 74 4 47 4

7 7 7 73 3 4 7

6 6 2 6 2 6 2 3 222 2 2 2

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅


82

− Caso III) Suma o diferencia (en el denominador):

( )( )( )

( )( )

( ) ( )22

3 7 12 3 7 12 3 712 12 6 3 79 73 7 3 7 3 7 3 7

+ ⋅ + ⋅ += ⋅ = = = ⋅ +

−− − + −

Ejercicio 34 Racionaliza:

=3

6)a

=52)b

=+

631)c

=3 22

1)d

=5 330)e

8)

5 1f =

−

=+ 3210)g

=− 357)h

Más información: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Potencias/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Potencias_numeros_racionales/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/notacion/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Radicales/indice.htm


83

Ejercicios extras de potencias 1. Opera y convierte a una sola potencia ) 10 11 22 2 2⋅ ⋅ =a ) 12 2 53 3 3−⋅ ⋅ =g

) 12 93 : 3 =b ) 15 23 : 3− =h

) ( )623 =c ) ( )3243⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

i

)7

2

33

=d )2

5

88

=j

)2 7

4

3 53 5⋅

=⋅

e )5 10

7 4

3 53 5⋅

=⋅

k

) [ ]6 22 5 2⋅ ⋅ =f ) 42 3 63 5 5⎡ ⎤⋅ ⋅ =⎣ ⎦l

2. Opera y convierte a una sola potencia (utilizando propiedades)

)6 82 2

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a )2 101 1 1

27 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g

)6 2 91 1 1

3 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b )41 1 1

64 2 16⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

h

)2 52 3

3 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c )31 1 1

125 25 5⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

i

)2 46 5

5 6

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d )6 2

31 1 1 33 81 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

j

)2 5 23 7 3

7 3 7

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e )2

21 1 1 1010 1000 10

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k

)2 02 9 2

9 2 9

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f

3. Quita paréntesis (teniendo en cuenta el exponente) y opera. ) ( )2 35 5− ⋅ =a ) ( ) ( ) ( )2 3 6 23 3 3 3− ⋅ − ⋅ − ⋅ =f

) ( )7 23 3− ⋅ =b ) ( ) ( )3 032 2 2⋅ − ⋅ − =g

) ( ) ( )4 632 2 2− ⋅ ⋅ − =c ) ( ) ( )3 723 3 3⋅ − ⋅ − =h

) ( ) ( )3 545 5 5− ⋅ ⋅ − =d ) ( ) ( )6 2 34 4 4− ⋅ − ⋅ =i

) ( ) ( )2 357 7 7− ⋅ ⋅ − =e ) ( ) ( )6 32 34 4 4 4− ⋅ ⋅ ⋅ − =j


84

4. Convierte a potencias de la misma base y opera

) ( )8316 2 2⋅ ⋅ − =a

) ( )2 343 9 3⎡ ⎤⋅ ⋅ − =⎣ ⎦b

) ( )527 49 7⋅ ⋅ − =c

) ( )3 235 25 5⎡ ⎤⋅ ⋅ − =⎣ ⎦d

) 3 45 2 10⋅ ⋅ =e

) 2 4 25 3 15⋅ ⋅ =f

) 4 2 33 2 6−⋅ ⋅ =g

5. Convierte a potencias de la misma base y opera

)6

3

5 25125 5

⋅=

⋅a

)4 2

2

3 2781 3⋅

=⋅

b

)3 7 3

5 2

2 3 864 2 3⋅ ⋅

=⋅ ⋅

c

)3 2

3

10 52 5 2

⋅=

⋅ ⋅d

)2 3 4

2 2

49 7 214 2 7

⋅ ⋅=

⋅ ⋅e

) ( )( )

32 3 2 4

22 4

2 3

6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

x y x yf

x y x

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 4: Álgebra

85

Los símbolos algebraicos se usan cuando no sabes de qué estas hablando. Philippe Schnoebelen (matemático francés)

Unidad 4: Álgebra


86

Imagen extraída de la siguiente dirección web: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/notables.htm


87


Unidad 4: Álgebra I. Polinomios ....................................................................................89

4.1 Expresiones algebraicas ......................................................................................89 4.2 Valor numérico de una expresión algebraica .......................................................90 4.3 Operaciones con monomios y polinomios............................................................92

4.3.1 Suma y diferencia de monomios y polinomios ..............................................92 4.3.2 Producto de monomios y polinomios.............................................................92 4.3.3 División de monomios y polinomios...............................................................94

4.4 Factor común .......................................................................................................99 4.5 Procedimiento de Ruffini ....................................................................................100 4.6 Identidades notables..........................................................................................103 4.7 Factorización......................................................................................................106

4.7.1 Resolver ecuaciones de segundo grado .....................................................106 4.7.2 Identidades notables ...................................................................................108 4.7.3 Sacar factor común .....................................................................................108 4.7.4 Regla de Ruffini ...........................................................................................109

4.8 Fracciones algebraicas ......................................................................................113 4.8.1 Simplificación de fracciones algebraicas .....................................................113 4.8.2 Operaciones con fracciones algebraicas.....................................................116

4.9 Dos cuadrados mágicos.....................................................................................123 4.10 Divertimento matemático: salto del caballo......................................................124


− Calcular el valor numérico de cualquier expresión algebraica − Operar con polinomios − Extraer factor común de cualquier expresión algebraica − Dividir polinomios por la regla de Ruffini − Utilizar las identidades notables − Factorizar cualquier expresión algebraica por diversos métodos − Operar con fracciones algebraicas


− Valorar la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para describir situaciones y fenómenos procedentes de cualquier ámbito científico y de la vida cotidiana (C1, C2, C3, C4).

− A partir de la traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico, saber transformar y operar con expresiones algebraicas para resolver problemas (C1, C2).

− A partir del conocimiento de las técnicas y algoritmos para dividir polinomios, y para simplificar y operar con fracciones algebraicas, mejorar la capacidad de razonamiento lógico matemático, formalizar el pensamiento abstracto y valorar la importancia de un modo de proceder ordenado (C1, C2, C4, C7).

− Conocer la interacción entre los lenguajes geométrico y algebraico y utilizarla para visualizar la resolución de problemas (C2, C4).


88


− Halla el valor numérico de una expresión algebraica, monomio o polinomio y reconoce cuándo dos expresiones algebraicas son equivalentes

− Realiza sumas y diferencias, productos, divisiones y potenciación de monomios y polinomios

− Divide polinomios con divisor de la forma x-a utilizando Ruffini − Desarrolla el cuadrado o cubo de un binomio y la suma por diferencia de dos

monomios y realiza la operación contraria − Extrae factor común de cualquier expresión algebraica − Aplica la regla de Ruffini para poder resolver problemas de factorización − Calcula las raíces enteras de un polinomio probando los divisores del término

independiente y sabiendo, en todo momento, cuál es el número máximo de ellas

− Factoriza polinomios por diversos métodos − Opera con fracciones algebraicas, simplificando el resultado


− Expresión algebraica − Valor numérico − Características de los polinomios: grado, coeficientes, parte literal, término in-

dependiente − Factor común de expresiones algebraicas − Suma y diferencia de monomios y polinomios − Producto y división de polinomios − Procedimiento de Ruffini − Identidades notables: cuadrado de un binomio, suma por diferencia de dos mo-

nomios, cubo de un binomio − Factorización de un polinomio. Métodos − Regla de Ruffini con división exacta − Fracciones algebraicas. Operaciones − Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas


− Expresión de medidas geométricas, o de otra naturaleza, a través de una ex-presión algebraica

− Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas − Cálculo del grado de un monomio entero − Suma, diferencia, producto y división de monomios y de polinomios − Desarrollo de identidades notables en ambos sentidos − Cálculo de las raíces enteras de un polinomio − Factorización de polinomios sacando factor común, utilizando identidades no-

tables, por cálculo de raíces enteras por Ruffini, y de polinomios de segundo grado por la fórmula de resolución de las ecuaciones

− Simplificación de fracciones algebraicas por los métodos anteriores − Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simplificando el resul-

tado


89

Unidad 4: Álgebra I. Polinomios

De la obra Al-jabr wa’l del matemático Al-Khowarizmi, S. IX, derivó el término ”álgebra” del árabe al-jabr que significa restauración y supuso el inicio de su estudio en nuestra cultura. Las influencias árabes en España aparecen en El Quijote, donde la palabra “al-gebrista” se usa para denominar a un curandero que arregla las articulaciones óseas desajustadas, es decir, un restaurador. Por otra parte, la factorización es un proceso muy utilizado en Ma-temáticas por su utilidad a la hora de simplificar, es decir, vamos a aprender cómo hacer las cosas más simples, más sencillas.

4.1 Expresiones algebraicas Es un conjunto de letras, llamadas indeterminadas o variables, y de números unidos mediante operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). La Geometría, por ejemplo, está llena de expresiones algebraicas: perímetro de una circunferencia, área de un triángulo, volumen de una pirámide, área de la corona circu-lar...

2P rπ= ; 2bhA = ;

13

V Bh= ; 2 2A R rπ π= − ... En general, no pondremos el signo de la multiplicación entre le-tras, ni entre letras y números. Cada sumando de la expresión algebraica recibe el nombre de término, donde los números se denominan coeficientes, y las letras, parte literal. Ejemplos:

Expresión algebraica Términos Coeficientes Parte literal

5 7x + 5 7dos: y x 5 7y x 23 3 5x x− +

23 , 3 5x x−tres: y 3, 3 5y − 2 y x x

2 312

xy z 2 31

2xy zuno:

12

2 3xy z

3 5xz+ 3 5x

zdos: y 1 5y

13

3x xz z

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Una expresión algebraica se llama monomio si sólo tiene un término; binomio, si tiene dos, sumados o restados; trinomio, si tiene tres... En general, llamaremos polinomio a las expresiones algebraicas con más de tres términos.

25Término

coefi- expo-ciente nente

indetermina-da o variable

parte literal

x


90

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las variables de la parte literal.

El grado de 57x es 5; el de 29

5xy z es 4; y el de 75ab− es 8.

Ejercicio 1 Completa:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado 3xz−

3 212x zy 4abc

52x

El grado de un polinomio es el mayor de los grados (exponentes) de sus monomios. Los polinomios se designan por letras mayúsculas, indicando entre paréntesis la varia-ble de la que depende. El término de mayor grado se llama término principal, y el término de grado uno es el término lineal y término de grado cero es el término inde-pendiente. Un polinomio es completo si aparecen todos los monomios de grado me-nor que el grado del polinomio. Si es incompleto (faltan algunos de sus términos), se puede completar añadiendo los monomios que falten, con coeficiente cero.

4.2 Valor numérico de una expresión algebraica Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión algebraica por núme-ros determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

Ejercicio resuelto

Halla el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

( ) 2 13 2 1 22

, para y P x x x x x= − + = = ; Sólo debemos sustituir la incógnita por el

valor que nos den.

2Si x = , ( ) 22 3 2 2 2 1 3 4 4 1 9P = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − + =

12

Si x = ,

21 1 1 1 33 2 1 3 1 12 2 2 4 4

P⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + = ⋅ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejercicio 2 Halla el valor numérico de la siguiente expresión que proporciona el área de la corona circular, sabiendo que el radio menor es cmr 3= y el radio mayor es cmR 7= :

( )22 rRA −= π


91

Ejercicio 3 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

) ( ) 23 2 1 2, para = − + =a P x x x x

) ( ) 5 3 1, para = − = −b P x x x

) ( ) 2 9 2, para = − − = −c P x x x

) ( ) 2 2 4 3, para = − + + =d P x x x x

) ( ) 2 5 1, para = − + = −e P x x x

) ( ), 2 1, 2, para = − = =f P x y xy x y

) ( ) 2, 3 5, 15

, para = − = =xg P x y x x yy

) ( ) ( ) ( )2 5, 3, 4, para

− ⋅ += = = −

+x y

h P x y x yx y

) ( )2

2

2 1, 1, 33

, para + −= = − =

+x xyi P x y x y

xy

) ( ) ( )2

, 1, 22 -1

, para +

= = =x y

j P x y x yx

) ( )2

, , 2; 2 para −

= = =xy x xy

k P x y x yy x

Ejercicio 4 Halla el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

)2 4 1; 2; 3

2, para − ± −

= = = − = −b b aca x a b c

a

)b El mismo pero con 3c = :

)c El mismo pero con 1c = :


92

4.3 Operaciones con monomios y polinomios En este apartado vamos a repasar las operaciones con polinomios que ya conoces de cursos anteriores. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: 56x y 52x− son seme-jantes.

4.3.1 Suma y diferencia de monomios y polinomios Sólo se pueden sumar y restar monomios semejantes. La suma y resta de monomios es otro monomio que resulta de sumar o restar los coeficientes y dejar la misma parte literal.

( )5 5 5 56 2 6 2 4x x x x− = − = El segundo paso no será necesario indicarlo. 5 46 7x x− No se puede hacer la operación, sus partes literales no coinciden, no son

monomios semejantes. Para sumar polinomios, agruparemos sus términos, y realizaremos las sumas y restas de aquellos monomios que sean semejantes.

( ) ( )3 2 3 3 2 3 3 22 2 3 2 2 3 3 2 3x x x x x x x x x x x x+ − + + + = + − + + + = + + Ejercicio 5 Realiza las siguientes operaciones:

2 2) 3 2 5 3a x x x x+ + − =

2 2 2 2 2) 5 4 3 2b x y x xy x y xy+ + − − =

3 2 3 21 2 1 2)3 3 6 3

c xy x y xy x y+ − + =

2 2 2 2) 2d ax by x by− + + =

) 5 23be b b+ − =

5)11

f zy zy+ =

4.3.2 Producto de monomios y polinomios El producto de dos monomios es otro monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes y como parte literal, el producto de las partes literales, aplicando las propiedades de las potencias:

5 3 5 3 86 2 6 2 12x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ =


93

A diferencia de la suma y resta de monomios, siempre se puede multiplicar dos o más monomios. Ejercicio 6 Realiza las siguientes operaciones:

( )( )3 2) 3 4a xy x y =

( )( )2) 5 2b x y x− =

( )( )2 3 3) 4 2c x y xy− − =

3 1)2 2

d y x⎛ ⎞⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

) 4 3e xy xz xyz⋅ ⋅ =

2 3 7) 5 9f z x z⋅ ⋅ =

El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo, y reduciendo luego los términos semejantes. Ejercicio 7 Efectúa los productos y simplifica cuando sea posible (trabaja en línea):

) ( )( )2 23 2 3 1+ − + − =a x x x x

) ( )( )23 4 2 2 5− + − =b x x x

) ( )( )3 27 5 2 2 5 1− + + − =c x x x x

) ( )( )( )2 2 3− + − =d x x x

) ( )( )3 2 24 2 1 3− + − + =e x x x x


94

4.3.3 División de monomios y polinomios La división o cociente de monomios es un monomio que tiene por coeficiente el cocien-te de los coeficientes y como parte literal, el cociente de las partes literales:

55 3 2

3

6 6 32 2x x xx

−= =

Ejercicio 8 Resuelve las siguientes divisiones:

( ) ( )3 2 3) 3 : 12a abc ab c =

3 2

2

25)5

x yzbxy z

=

( ) ( )2 2) :c mn m n =

( )2 25) :2xd x z⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3

4

3)6b aeba

=

3

2 3

15)5

x yfxy z

=

3 5 4

2 2

14)7

x y zgx y z

=

En general, no es posible la división de un polinomio entre un monomio. Para que lo sea, es necesario que todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.

Ejercicio resuelto

Realiza la división:

4 2 2 3 2 4 2 2 3 22 2 2

2 2 2 2

12 4 6 12 4 6 6 2 32 2 2 2

x yz ax y x y x yz ax y x y x z ayx y x y x y x y

− += − + = − +


95

Ejercicio 9 Dividir los siguientes polinomios:

2 3 4 28 4 2)2

a bc a b c abcaab

− +=

( )3 2) 12 9 3 :3b x x x x− + =

Ejercicio 10 Conoces las áreas de estos rectángulos y sus alturas. ¿Cuánto valen las bases?

Para dividir dos polinomios se sigue el procedimiento de la división entre números. Ejercicio 11 Recordemos los términos de la división. Completa: Para que la división pueda llevarse a cabo, el grado del dividendo debe ser _________

o ___________ que el grado del divisor.

Ejercicio resuelto

Realiza la división: ( ) ( )3 25 3 : 2x x x+ − − Ordenamos los polinomios y dejamos los huecos (separaciones) correspondientes a los términos que falten del dividendo Paso 1: al igual que en la división tradicional, buscamos un monomio que, al multiplicar-lo por el término principal del polinomio divisor, dé, como resultado, el término principal del polinomio del dividendo. Si multiplicamos 25x por x , obtendremos 35x .

(Sigue → )

¿Qué operación has aplicado?


96


Paso 2: multiplicamos el monomio obtenido por cada término del divisor, y situaremos cada resultado debajo del término del dividendo que tenga la misma parte literal. Pero hacemos un cambio de signo: en toda división hay una resta; para evitar tener que re-star monomios, y poder sumar en su lugar, cambiamos los signos de los productos an-teriores. Paso 3: sumamos, y comprobamos cómo el término principal del dividendo se elimina.

Paso 4: volvemos a comenzar aplicando el paso 1. En el ejemplo, hacemos todos los pasos tres veces.

Resultado de la división: polinomio cociente: ( ) 25 11 22C x x x= + +

polinomio resto: ( ) 41R x =

Ejercicio 12 Contesta: ¿De qué grado será, en general, el polinomio cociente? ¿y el grado del resto? ¿Cuándo acaba el proceso? ¿Cómo se hace la prueba de la división?


97

Ejercicio 13 Haz la prueba de la división del ejercicio resuelto anterior: ( ) 3 25 3D x x x= + −

( ) 2d x x= −

( ) 25 11 22C x x x= + +

( ) 41R x =

Ejercicio 14 Haz las siguientes divisiones:

) 4 2 22 7 5 2 2 1− + − + −a x x x x x

) 4 33 5 2 3 1+ − + +b x x x x

) 3 24 6 4+ + −c x x x


98

Te presentamos ahora ejercicios con operaciones combinadas. Ejercicio 15 Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

( )( ) ( )2) 3 4 2 3 2a x y x y x y x− + − + =

( )33 3)b x y x y− − − =

( )( )( ) ( )2 2 2 2 3 3)c a b a b a b a b ab+ − + − − =

2 5 9 3) 3 43 3 5 10xd x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3)2 3 3 2x ye x y y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

)f x y z y z y x z x z z x y x y

z y x y x y z x z x x z y z y

+ − + + − + + − −

− + − − + − − + − =


99

Ejercicio 16 Resuelve las siguientes operaciones y simplifica:

( ) ( )2 2 2 2) 2 2 5 3a x x x x⋅ + − ⋅ − − =

( ) ( )( )2) 1 1 1b x x x+ + + − =

( ) ( )( )2) 2 2 2c x x x− − − + = Ejercicio 17

Demuestra si ( ) ( )( )122952162

−−=−−

4.4 Factor común Esta operación puede ser una de las más utilizadas en Matemáticas: se usa en ecua-ciones, en simplificación de expresiones, en funciones... Se trata de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, y relaciona ambas operaciones entre polinomios.

Dados tres polinomios ( )A x , ( )B x y ( )C x , se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x A x C x± = ⋅ ± ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ Si leemos esta propiedad de derecha a izquierda, estaremos sacando factor común. Otra forma de verlo es obtener productos de donde sólo hay sumas y restas.

Ejercicio resuelto

Extrae factor común:

( )3 2 2) 3 3 6 3 1 2a ab b ab b ab ab+ − = + − ; se halla el máximo común divisor de los

coeficientes, [ ]. . . 3,3,6 3m c d = , y se extrae el mayor número de “a” y “b” fuera del pa-réntesis.

( )3 2 2) 2 2 1b x x x x x x− − = − − ; Atención: si extraes un monomio en su totalidad,

en su lugar deberás poner un 1.


100

Ejercicio 18 Extrae factor común:

5 2 3 4 2 3 3) 2 4 6a a bc a b c a bc− + =

2 2 2 2)b ax b x ay b y− + − =

2 2) 15 20c x y x z− =

3 2) 8 6d xy xy xy+ − =

2 2 2) 6 10 2 2 4e z yz z z y z+ − + − =

4 3 5 2 2 2 3) 12 6 18 6f x y x y x y y x− + − =

2 2 2 3) 3 6 9g x y xy x y+ − =

5 3)2 5 7a ah a+ − =

1)

2 3abci ab ab− + − =

) 8 10 6j a b c+ − =

3 2) 2 7k ab b ba+ − =

( ) ( ) ( )2) 7 2 5 2 3 2l x x x x x+ − + − + =

4.5 Procedimiento de Ruffini

Paolo Ruffini (1765-1822), matemático y médico italiano. En realidad, se trata de otra operación sobre polinomios; en concreto, se trata de divi-siones especiales, pero, dada su importancia hemos decidido dedicarle un apartado exclusivo. Para poder hacer estas divisiones por este procedimiento o por la regla de Ruffini (en adelante, sólo diremos “por Ruffini”), el divisor debe tener, obligatoriamente, esta forma: x a−


101

Ejercicio 19 Anota las características que observes en el divisor:

Ejercicio resuelto

Realiza esta división por el método de Ruffini: ( ) ( )3 25 3 : 2x x x+ − − Paso 1: se monta la estructura de Ruffini. Se coloca como divisor, -a, y los coeficientes del dividendo.

Paso 2: se baja el coeficiente del término principal y se multiplica por “-a”. El resultado se suma con el coeficiente de 1 grado menor

Paso 3: se repite el proceso hasta ob-tener el resto

Ejercicio 20 En el ejemplo anterior, ¿de qué grado es el polinomio cociente?, ¿y el grado del resto? ¿Se cumplirá siempre así?


102

Ejercicio 21 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

( ) ( )4 3) 5 3 8 : 2a x x x x− + + −

( ) ( )4 3 2) 6 7 4 : 5b x x x x+ + − +

( ) ( )3) 5 25 : 1c x x x+ + −

( ) ( )6 5 4 3 2) 2 6 4 14 11 16 3 : 3d x x x x x x x− − + − + − −

( ) ( )4 2) 5 3 : 1e x x x x+ + +

Ejercicio 22

Halla el valor de m para que el polinomio 45)( 23 +++= mxxxxP sea divisible por (x+2):


103

Ejercicio 23

Halla el valor de m para que la división ( ) ( )3 2 5 6 : 3x mx x x+ − + − sea exacta:

4.6 Identidades notables Todo lo que nos ahorre trabajo, es bueno. Para unas cuantas expresiones algebraicas (por desgracia, no muchas), existen unas fórmulas que nos permiten economizar es-fuerzos a la vez que evitan los frecuentes errores que se producen en el cálculo alge-braico.

Cuadrado de la suma de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

Cuadrado de la diferencia de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b− = − +

Cubo de la suma de dos monomios ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

Cubo de la diferencia de dos monomios ( )3 3 2 2 33 3− = − + −a b a a b ab b

Suma por diferencia de dos monomios ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − Cuidado: un error muy frecuente es aplicar mal una propiedad de las potencias. Ten en cuenta que:

( )2 2 2a b a b+ ≠ +

Existen más fórmulas para las sucesivas potencias: ( ) ( ) ( )4 5 99;a b a b a b+ + +… pe-ro se utilizan otras técnicas más efectivas, como el Binomio de Newton, que veremos en 4º de ESO (opción A). Es muy importante que, a partir de ahora, recuerdes las dos primeras y la última de las fórmulas anteriores. Ejercicio 24 Si no queremos recurrir a la memoria para utilizar las fórmulas del cubo de dos mono-mios, ¿de qué manera sencilla podemos operar?


104

Ejercicio 25 Realiza las siguientes operaciones:

) ( )201 1+ =a

) ( )203 2− =x y

) ( )205 2 1+ =x

) ( )207 3 1+ =x

) ( )209 1− =x

) ( )211 2 4+ =y

) ( )( )13 2 3 2 3+ − =a a

) ( )( )15 3 3 3 3+ − =

) ( ) ( )17 2 1 2 1− + =x x

) 2 2193 3

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x

) ( )( )2 221 2 1 2 1+ − =y y

) 2 21 1234 4

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x

) ( )2225 2 5+ =x y

) ( )227 − =y x

)2

2129 24

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

x y

) ( )( )2 231 2 2− + =a x y a x y

) ( )202 2 3+ =a

) ( )204 3 3+ =

) ( )206 3 2− =x

) ( )208 3− =y

) ( )210 2 2− =x

) ( ) ( )12 1 1+ − =a a

) ( ) ( )14 2 2− + =x y x y

) ( )( )16 4 3 4 3− + =x y x y

) 1 1182 2

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x

) ( )( )20 3 2 3 2− + =x x

) ( )( )2 222 2 2+ − =x x

)242 2

⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x xy y

) ( )( )2 226 2 3 2 3+ − =x x

) ( )228 3− =x y

) ( )230 2 3− + =a b c

El signo igual (=) el un signo bidireccional (dos direcciones), con sentido de izquierda a derecha y con sentido de derecha a izquierda, es decir, cuando ponemos que BA = , siendo A y B cualquier expresión, estamos diciendo, obviamente, que A es igual que B, pero con mucha frecuencia se nos olvida que, también, B es igual que A.


105

Ahora, utilizaremos las identidades notables en el otro sentido; partiendo del desarrollo de la expresión con sumas y restas, nos pedirán los productos.

Ejercicio resuelto

Convierte esta expresión en su versión con productos:

2) 12 36a x x+ + = En primer lugar, vemos que hay tres monomios, con lo que descartamos ya la suma por diferencia que debería tener sólo dos. En segundo lugar, comprobamos que todos los monomios son positivos, con lo que también descartamos el cuadrado de la diferencia de dos monomios.

Sólo puede ser, por tanto, el cuadrado de la suma de dos monomios: ( )2+

Ahora que sabemos cuál es la fórmula, deberemos conseguir que la expresión “encaje” en su fórmula. Buscaremos en la expresión dos monomios que sean cuadrados perfectos y obtendre-mos sus raíces respectivas (9 es el cuadrado de 3; 3 es la raíz cuadrada de 9; x2 es el cuadrado de x; x es la raíz cuadrada de x2...); el tercer monomio deberá ser el doble de los dos raíces anteriores. Analizando la expresión, vemos que x2 es el cuadrado de x, y que 36 es el cuadrado de 6. ¿Es 12x el doble de x por 6? Sí.

( )22 12 36 6x x x+ + = +

Atención: no debes fiarte de la posición de los monomios. Esta expresión:

236 12x x+ + también es ( )26x + Ejercicio 26 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, o bien como producto de una suma por una diferencia:

=++ 2510) 2 xxa 2) 4 4f x x+ + =

=+− 12) 2 xxb 2 2) 9 12 4g x xy y− + =

=−116) 2xc 4 1)

4h x − =

2) 9 25d x − = 4 2 1)

4i x x+ + =

2) 4 12 9e x x− + = 4 3 2) 2j x x x− + =


106

4.7 Factorización Consiste en conseguir productos dónde sólo hay sumas y restas. En este apartado aplicaremos los métodos aprendidos en el tema (sacar factor común, identidades notables, Ruffini...) para encontrar factores de cualquier expresión polinó-mica. Estos factores, por tratarse de produc-tos, nos permitirán simplificar las expresiones. Por ejemplo, mira estas dos expresiones: se trata de la misma fracción. Pero, mientras que en la primera no podemos hacer ninguna simplificación (hay una suma en el numerador que nos lo impide), en la segunda, sacando factor común, nos permite “tachar” las dos x, quedándonos una expresión muy sencilla, y equivalente a la fracción original. Hemos conseguido, por tan-to, una gran simplificación. Factorizaremos polinomios de grado superior a 1.

4.7.1 Resolver ecuaciones de segundo grado Receta: se coge un polinomio de segundo grado (que tenga raíces reales); se convierte en ecuación igualándolo a cero y obtendremos sus soluciones; cambiamos sus signos y añadimos una x delante de cada solución; se encierran entre paréntesis y ya está el polinomio factorizado.

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: 232 +− xx Igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: 0232 =+− xx Se trata de una ecuación de segundo grado completa: aplicamos la fórmula:

( )2

132

89312

21433 2 ±=

−±=

⋅⋅⋅−−±

=x ; obtenemos sus soluciones:

1;2 21 == xx ; cambiamos los signos, añadimos una x delante para cada solución y

se encierran entre paréntesis: ( )( )12 −− xx ; ya tenemos el polinomio original factori-zado:

( )( )2 3 2 2 1x x x x− + = − −

Observa cómo, de sumas y restas, hemos conseguido que aparezcan productos.

Expresión con una suma

Misma expresión con un producto

xx +3 ( )12 +xx

xxx +3

( )

xxx 12 +

( )232

11

x xx x xx x

++= = +


107

Ejercicio 27 Factoriza los siguientes polinomios:

2) 9 14a x x+ + =

2) 3b x x− =

2)c x x− =

2) 2d x x− − + =

2) 81e x − =

2) 3 15f x x− =

2) 2 5 3g x x+ − =

2) 2 50h x − =


108

4.7.2 Identidades notables En las tres identidades notables que hemos aprendido se producen, en uno u otro sen-tido, factores (es decir, productos):

Ejercicio resuelto

Factoriza las siguientes expresiones: 12) 2 ++ xxa ; 24) 2 +− xxb ; 16) 2 −xc ;

a) Es el desarrollo de un binomio al cuadrado: ( ) ( )( )22 2 1 1 1 1x x x x x+ + = + = + +

b) Es el desarrollo de un binomio al cuadrado: ( ) ( )( )22 4 1 2 2 2x x x x x− + = − = − −

c) Es una diferencia de cuadrados: ( )( )2 16 4 4x x x− = + −

Ejercicio 28 (en la actividad 26, tienes 10 ejemplos más) Factoriza los siguientes polinomios:

=+− 12) 2 xxa

=−81) 2xb

=+− 96) 2 xxc

=++ 1816) 2 xxd

=−94) 2xe

4.7.3 Sacar factor común Es un proceso que ya conoces. Cuando se trate de factorizar, sacar factor común no será un ejercicio por sí sólo, sino que, en general, será sólo una parte de algún ejercicio donde se necesite simplificar.

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: ( ) xxxxP 103 23 −+= Podemos sacar una x factor común, con lo que el polinomio original queda:

( )103103 223 −+=−+ xxxxxx . Así conseguimos una primera factorización. El polinomio que queda dentro del paréntesis es de grado 2, con lo que resolvemos la ecuación de segundo grado correspondiente:

(Sigue → )


109


;01032 =−+ xx ;2

732

4932

4093 ±−=

±−=

+±−=x

Soluciones: 21 =x y 51 −=x . El polinomio de segundo grado se puede poner como:

( )( )521032 +−=−+ xxxx ; con lo que, el polinomio original factorizado queda: ( ) ( )( )52 +−= xxxxP , totalmente factorizado.

4.7.4 Regla de Ruffini Utilizaremos la regla que hemos aprendido para factorizar polinomios. En este caso, el divisor no nos lo darán, lo tendremos que encontrar nosotros, y sólo nos interesarán las divisiones exactas (recuerda: el resto deberá ser cero). Recordemos antes la prueba de la división: dividendo = divisor x cociente + resto. Como sólo vamos a tener divisiones exactas, el resto será siempre cero, por tanto:

dividendo = divisor x cociente

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: 22 23 −−+ xxx

Montamos la estructura de Ruffini, pero, como hemos dicho antes, aquí no hay divisor, y además, nos interesa un divisor que consiga que el resto sea cero. Probamos con el 1:

Hemos conseguido una división exacta. Si no lo fuera, deberíamos probar con otros números hasta obtener el cero.

1 2 -1 -2

1 1 3 2

1 3 2 0

¿cuál es el divisor? ¿y el dividendo? ¿y el cociente? ¿y el resto?

Aplicamos la prueba de la división: ( )( )23122 223 ++−=−−+ xxxxxx Y hemos conseguido una primera factorización, pero el polinomio cociente es de grado 2, así que quizá pueda factorizarse más.

(Sigue → )


110


Tenemos dos opciones: − resolver la ecuación de segundo grado correspondiente (es la mejor opción, re-

suelve el ejercicio 29) − continuar por Ruffini y buscar una nueva división exacta

En esta ocasión seguimos aplicando la regla de Ruffini. Ahora debemos factorizar el polinomio cociente anterior: 232 ++ xx Probamos con el -1:

De nuevo tenemos una división exacta.

Prueba de la división: ( )( )21232 ++=++ xxxx ; sólo falta unir a esta la información anterior:

( )( ) ( )( ) ( )3 2 22 2 1 3 2 1 1 2x x x x x x x x x+ − − = − + + = − + +

1 3 2

-1 -1 -2

1 2 0

Ejercicio 29 ¿Por qué resolver la ecuación de 2º grado es la mejor opción? Ejercicio 30

Factoriza el siguiente polinomio: ( ) 12164 234 −+−−= xxxxxP


111

Truco para conseguir más fácilmente divisiones exactas: Ejercicio 31 Factorizar los siguientes polinomios: ( ) xxxxP 223 −−=

( ) xxxxQ 82 23 −−=

( ) xxxxR 214 23 −+=

( ) 16208 23 −+−= xxxxS

( ) 67 234 +−−+= xxxxxT

(Sigue → )


112

(Continuación) ( ) 1243 23 −−+= xxxxU

( ) 12 234 +−−+= xxxxxV (sólo hay tres factores)

( ) 6116 23 −+−= xxxxW

( ) 322446 234 −−++= xxxxxZ


113

4.8 Fracciones algebraicas Son fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios.

4.8.1 Simplificación de fracciones algebraicas Deberemos factorizar los polinomios del numerador y del denominador para poder sim-plificar algún factor. Para conseguir los factores utilizaremos las herramientas aprendi-das en este tema: sacar factor común, Ruffini, identidades notables...

Ejercicio resuelto

Simplifica la siguiente fracción algebraica: cabxab2

42

1510

1. Se trata de un cociente de dos monomios, una fracción algebraica muy sencilla que no requiere apenas cálculos para su simplificación. Descomponemos en factores (sólo los coeficientes) y simplificamos de forma directa:

2 4 4

2

10 215 3

ab x xab c c

=

Ejercicio resuelto

Simplifica la siguiente fracción algebraica: mamxaaxx

+++ 22 2

1. En el numerador hay el desarrollo de una identidad notable: un binomio al cuadrado; factorizamos. 2. En el denominador también factorizamos, en este caso sacando factor común. 3. Una vez que ya tengamos todos los factores simplificaremos aquellos que sean igua-les.

( ) ( )( )( )

22 22 x a x a x ax ax a x amx ma mx ma m x a m

+ + ++ + += = =

+ + +

Ejercicio resuelto

Simplifica la siguiente fracción algebraica: 1322

+−−

xxx

1. Factorizamos el numerador resolviendo la ecuación de 2º grado. 2. Una vez obtenidos los factores simplificamos los que son iguales.

( )( )2 1 32 3 31 1

x xx x xx x

+ −− −= = −

+ +


114

Ejercicio 32 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

=+−

23

23

2)

xxxxa

=−−11)

3

xxb

=+−−

−863

) 23

3

xxxxxc

=32

244

1815)

cabcbad

=yxyxe 2

24

3020)

=−−

2

2

)aaxaabf

=−

++22

22 2)ba

babag

(Sigue → )


115

(Continuación)

=−−++

−−+322446

1243) 234

23

xxxxxxxh

=−−

xyxxyxi 3

25

)

=−+

11) 2x

xj

=−

+−−xxyyxxyk

2632)

=−

+−22

224 2)yyx

yyxxl

=−

+−yxxyxyxm 23

22

332)

2 2

2 2

9 6)9

x xy ynx y+ +

=−

=48

23

3024)

zxyzyxñ

( )( )

=+

−+xx

xxo126

1218) 3

2


116

4.8.2 Operaciones con fracciones algebraicas Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas son análogas a las que realizamos con fracciones de números. La única dificultad puede estar en obtener el mínimo común múltiplo (muy utilizado en operaciones con frac-ciones) de expresiones algebraicas. Tras cualquier operación con fracciones, es muy importante que compruebes si el resultado está simplificado.

Actividad para copiar

Reduce a común denominador: 11,

1,

13

2 −+

+− xx

xx

x


Reduce a común denominador: abc

acb

bca ,,

Suma las fracciones obtenidas:

Ejercicio resuelto

Reduce a común denominador: ( ) 222 ,,ba

ababa

baba

−−−

−+

Para calcular el m.c.m. ( ) ( )2 2 2; ;a b a b a b⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ factorizamos los denominadores.

( )( )( )( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+−

−

bababa

ba2

. m.c.m ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2; ;a b a b a b a b a b⎡ ⎤− − − = − +⎣ ⎦


117


Determina si estas dos fracciones son equivalentes: baxbax

babxxabxa

+−

++− ,

2 222

222

1ª forma de hacerlo: factorizando en la primera fracción 2ª forma de hacerlo: multiplicando “en cruz”

Ejercicio resuelto

Realiza la siguiente operación: ( )

=++

+−−

121:

11

22 xxxx

xx

En los productos y divisiones de fracciones (numéricas o algebraicas) no es necesario realizar operaciones previas (como el cálculo del m.c.m.), tan sólo es necesario recor-dar cómo se realizaban estas operaciones para fracciones con números. Al tratarse de una división, hemos de multiplicar “en cruz”, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y colocamos el producto en el numerador de la fracción resultado y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, y colocamos en resultado en el denominador de la fracción resultado Pero antes de hacer esas operaciones vamos a simplificar las fracciones originales. Factorizamos ambos denominadores (porque es lo único que admite factorización):

( )( )( )

( )( )222 1

1:11

112

1:11

++

−+−

=++

+−−

xxx

xxx

xxxx

xx

; simplificamos los factores iguales:

1:

11

++ xx

x ; y ahora ya podemos realizar la división: ( )11

1:

11

++

=++ xx

xx

xx ;

simplificando el resultado, obtenemos: 1x


118

Ejercicio resuelto

Realiza la siguiente operación: 11

12

11

2 −−

−+

+ xxx

x

1. Se trata de la suma de tres fracciones con distinto denominador, así que buscamos el m.c.m. de los denominadores; para ello, debemos factorizar los denominadores. En este caso, sólo podemos factorizar el segundo denominador: Se trata de una diferencia de cuadrados: ( )( )1111 222 −+=−=− xxxx El m.c.m. de los denominadores es, precisamente, este segundo denominador, puesto que los otros dos denominadores están incluidos en él. 2. Una vez obtenido el m.c.m. procedemos de forma análoga a como operamos con fracciones numéricas:

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) =−+

+−

−++

−+−

=−

−−

++ 11

111

211

11

11

21

12 xx

xxx

xxx

xxx

xx

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )11

2211

12111

121−+

−=

−+−−+−

=−+

+−+−xx

xxx

xxxxx

xxx;

3. Se comprueba si está simplificado o no el resultado. En este caso puede sacarse factor común en el numerador:

( )( )( )2 12 2

1 1

xxx x

−−=

+ − ( ) ( )1 1x x+ −2

1x=

+

Ejercicio resuelto

Realiza la siguiente operación: 1−+

+− yx

yyx

x

El m.c.m. ( ) ( )[ ] ( )( )yxyxyxyx −+=+− ; ; se trata de una “suma por diferencia”, pero

no comprimimos la expresión poniendo 22 yx − ya que perderíamos los factores.

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( ) =−+

−+−

−+−

+−+

+=−

++

− yxyxyxyx

yxyxyxy

yxyxyxx

yxy

yxx 1

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

2 2 2 2

2 2

2x xy xy y x yx x y y x y x y x y xyx y x y x y x y x y

+ + − − −+ + − − + −= = =

+ − + − −


119

Ejercicio 33 Determina si estas dos fracciones son equivalentes de dos formas:

a) operando sobre ellas: 11,24

23

−−+

xxxxx

b) multiplicando “en cruz”: 11,24

23

−−+

xxxxx

Ejercicio 34 Opera y deja el resultado lo más simplificado posible:

=−−

+−+

2222522)yxyx

yxyxa

=−+

+ 51

21)xx

b

=+−

⋅−+

21

21) 22 x

xxxc

(Sigue → )


120

(Continuación)

=+

+−+

111)

2

2 xx

xxd

=+

+− 2

12

3)xx

e

=+

⋅−+

15

132)

2

xx

xxf

=−

+− 2222)

xyy

yxxg (Los denominadores son iguales salvo por un cambio de signo...)

=−−

−−−

cdab

dcbah)

( ) ( ) =+⋅

+ 1324)

ax

axaxi

( ) =−− 1:1)

2

xx

xj

(Sigue → )


121

(Continuación)

( ) ( )) a bk

b a b a a b− =

− −

=−−

−−+

+− 1

1113

12) 2x

xxx

xxl

=−

+−

−+

− 8210

21

423) 2x

xxx

m

( ) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 34

23111) xxxxx

n

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−−+ xx

xxx

xxñ

443

11

11)

(Sigue → )


122

(Continuación)

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1:

1)

xxx

xxxo

=−

++

22211)

bab

babp

=−+

− 21

111)

xxxq

=−++2

22 1:12)x

xx

xxr

=−+

⋅++

⋅+−

33

969)

2

23

2

xxx

xxx

xxxs


123

4.9 Dos cuadrados mágicos

a b 3a +¿Cuál es la expresión alge-braica que determina el nú-mero mágico?

5a + 6a + 8a + ¿y el valor de la segunda celda de la primera fila?

4b− 10a + 4a +Obtén la expresión de la úl-tima celda de la segunda columna

1a +

Y el de la última celda de la primera columna

Este cuadrado mágico, obra de Gaudí, está esculpido en piedra en una de las fachadas de la Sagrada Familia de Barcelona. La suma de los números de cada fila, de cada co-lumna, y de las dos diagonales principales, siempre es la misma. ¿Por qué crees que Gaudí eligió precisamente ese número?

Observa, además, las siguientes simetrías que aparecen en la obra:


124

4.10 Divertimento matemático: salto del caballo En este cuadrado, todas las líneas horizontales y verticales suman 260. Ve averiguando los valores de las letras que aparecen: x, y, t, u... Cuando conozcas todos (o algunos) de los números, si empiezas en la casilla donde esté el 1, los siguientes naturales, hasta el 64 irán apareciendo si sigues los movimientos del caballo en el juego del ajedrez.

Más información sobre la unidad: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/notables.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm http://suanzes.iespana.es/ruffini.htm http://www.videosdematematicas.com/Formularios%20pdf/Matematicas/Factorizacion.pdf

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 5: Ecuaciones

125

El álgebra es muy generosa. Siempre nos dice más de lo que le preguntamos.

D'Alembert (pensador y matemático francés, 1717 - 1783)

Unidad 5: Ecuaciones


126

Leonhard Euler es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia. Nació en Suiza en 1707, y fue alumno de otro ilustre matemático, Bernoulli, aunque poco después, el genio de Euler sobrepasó al del maestro.

Euler combina los fascinantes números , , , 0 1e i yπ más las operaciones de suma, multiplicación y potenciación en una sola ecuación que algunos han catalogado como

“la ecuación más bella del mundo”

Además de relacionar los cinco números más famosos de la historia, fue capaz de combinar la unidad imaginaria 1i = − , con dos números irracionales (π y e ) para producir LA NADA (el cero).


127


Unidad 5: Ecuaciones..................................................................................................129

5.1 Despejar incógnitas............................................................................................129 5.2 Ecuaciones de 1er grado: (repaso) .....................................................................133

5.2.1 Criterios de equivalencia .............................................................................133 5.2.2 Pasos para resolver ecuaciones de 1er grado .............................................135

5.3 Ecuaciones de 2º grado: (repaso)......................................................................138 5.3.1 Incompletas .................................................................................................138 5.3.2 Completas ...................................................................................................141

5.4 Ecuaciones polinómicas (por factorización) .......................................................144 5.5 Ecuaciones bicuadradas ....................................................................................149 5.6 Ecuaciones con raíces .......................................................................................152 5.7 Ecuaciones con la incógnita en el denominador ................................................157 5.8 Divertimento matemático ...................................................................................160


− Despejar incógnitas de expresiones

− Resolver ecuaciones de primer y segundo grado (repaso)

− Resolver ecuaciones polinómicas (por factorización)

− Resolver ecuaciones bicuadradas

− Resolver ecuaciones con raíces

− Resolver ecuaciones con la incógnita en el denominador


− Analizar fenómenos físicos, sociales o provenientes de la vida cotidiana que puedan ser expresados mediante ecuaciones para comprender la utilidad de saber plantear y resolver ecuaciones (C2, C3).

− Conocer y comprender los distintos métodos de resolución de ecuaciones y sa-ber decidir cuál es el más apropiado para cada caso concreto (C2, C7, C8).


128


− Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, completas e incompletas

− Resuelve ecuaciones bicuadradas, ecuaciones irracionales y ecuaciones senci-llas de grado superior a 2, y con la incógnita en el denominador

− Resuelve problemas en diversos contextos mediante el planteamiento y resolu-ción de ecuaciones de diverso tipo

− Despeja incógnitas de expresiones complejas


− Igualdad matemática. Identidad − Ecuación − Incógnita − Solución o raíz de una ecuación − Ecuaciones equivalentes − Ecuación de primer y segundo grado − Discriminante − Ecuación de segundo grado incompleta − Ecuaciones de grado superior a 2 − Ecuaciones bicuadradas − Ecuaciones sin término independiente − Ecuaciones radicales − Ecuaciones factorizadas − Ecuaciones con la incógnita en el denominador


− Resolución de ecuaciones de tercer grado que carecen de término indepen-diente

− Resolución de ecuaciones bicuadradas

− Resolución de ecuaciones con raíces

− Resolución de ecuaciones por factorización

− Resolución de ecuaciones con la incógnita en el denominador

− Resolución de problemas en diversos contextos mediante el planteamiento de ecuaciones de segundo grado

− Despejar incógnitas de expresiones


129

Unidad 5: Ecuaciones

Comenzaremos aprendiendo a despejar cualquier incógnita de cualquier expresión (lo que te resultará muy útil para otras asigna-turas). Continuaremos repasando las ecuaciones de 1er y 2º grado que aprendiste en 2º de ESO. Aprenderemos, después, a resolver otros tipos de ecuaciones: polinómicas de cualquier grado (por factorización), ecuaciones bicuadradas, ecuaciones que lleven raíces, y ecuaciones con la incógnita en el denominador.

5.1 Despejar incógnitas Despejar: Separar la incógnita de los demás miembros de una ecuación mediante las operaciones pertinentes: Lo único que debes recordar para realizar estos ejercicios son aquellas frases repetiti-vas que deben “sonarte” mucho:

Lo que está multiplicando pasa dividiendo... Lo que está sumando pasa restando...

Ejercicio resuelto

Despeja la n de la fórmula general de las progresiones geométricas (que veremos en 4º de ESO)

( )dnaan 11 −+= Primero analizamos la fórmula: hay cuatro letras (que pueden ser despejadas, y un número). Fijémonos en la n que nos piden: está dentro de un paréntesis, multiplicada por d y sumada con a1. Atendiendo a las prioridades de las operaciones, en primer lugar actúa el paréntesis, luego el producto (por la d) y por último la suma (con a1). Pues bien, para despejar debemos proceder a la inversa de la prioridad, es decir:

− 1º pasaremos a la izquierda el término a1 (que es el que suma) − 2º pasaremos a la izquierda la d (que es el término que multiplica) − 3º ya sólo con el paréntesis despejaremos la n

1º: ( )dnaan 11 −=− ; 2º: ( )11 −=− nd

aan ; 3º: nd

aan =+− 11

1 1na a nd−

+ =


130

Ejercicio 1 Despeja todas las incógnitas que puedas: a) Fórmula de la densidad:

mdv

=

b) Fórmula básica del movimiento:

vte = c) Segunda Ley de Newton:

F m a= ⋅ d) x y z= + e) a b c= − f) 2 3x m n= −

g) 3 2

2y zx −

=

h) 3 2b za +

=

i) Fórmula de la ecuación del movimiento uniformemente acelerado:

2

21 attvss oof ++=

Sigue → )


131

(Continuación) j) Ecuación de 2º grado simplificada:

aacbbx

242 −+−

= k) Ley de la fuerza de atracción universal :

2rMmGF =

l) Fórmula del área de la corona circular: ( )22 rRA −= π m) Volumen de un cono:

hrV 2

31π=

n) Volumen del octaedro regular (dos pirámides cuadrangulares unidas por la base):

323 ⋅

=lV

(La G, que no debes confundir con la gravedad, g, es una constante numérica, y no la debes despejar)


132

Ejercicio 2 Despeja la x :

230) =−x

xa

( ) ( ) 713274) =+−−+ xxxb

xx

xxc

−+

=−+

12

34)

( )( ) 021) =−+ xxd

2) 3 =xe


133

5.2 Ecuaciones de 1er grado: (repaso) En el tema 4 (polinomios) ya conocimos varias identidades: igualdad entre dos expre-siones polinómicas que siempre se verifica al margen de los valores de sus variables:

( ) 3313 −=− xx Otros ejemplos Sin embargo, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones polinómicas que sólo se verifica para algunos valores de sus variables. A estos valores los llamamos raíces de la ecuación:

1233 =−x (Ecuación 1)

5.2.1 Criterios de equivalencia Para resolver ecuaciones de 1er grado deben aplicarse estos dos criterios:

− Regla de la SUMA: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma (o resta) un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente (es decir, conserva las mismas soluciones) a la original.

CBCABA +=+⇔= ; CBABCA −=⇔=+

De forma más práctica: lo que está sumando pasa restando... lo que está restando pasa sumando...

− Regla del PRODUCTO

Si se multiplican (o dividen) los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

CBCACyBA ⋅=⋅⇔≠= 0 ; BACyCBCA =⇔≠⋅=⋅ 0 ;

De forma más práctica:

lo que está multiplicando pasa dividiendo... lo que está dividiendo pasa multiplicando...


134

Ejercicio 3 ¿Por qué no hay reglas diferentes para la resta o la división?

Ejercicio resuelto

Resolvemos la ecuación anterior: (Ecuación 1) 1233 =−x ; Aplicamos la regla de la SUMA y sumamos 3 a ambos lados de la ecuación; así, la ecuación resultante será equivalente a la dada:

312333 +=+−x Se opera: 153 =x ; Fíjate que se obtiene el mismo resultado si decimos: “el 3, que está restando, pasa su-mando”. Aplicamos la regla del PRODUCTO y multiplicamos ambas partes de la ecuación por 1/3, que es un número distinto de cero:

3115

313 =x ; se simplifica: ;

315

=x

Fíjate que se obtiene el mismo resultado si decimos: “el 3, que está multiplicando, pasa dividiendo”. Hacemos la división y obtenemos la raíz (solución) de la ecuación: ;5=x Comprobamos si la solución es correcta:

;5=x

12353 =−⋅

12315 =−

1212 =

La raíz 5x = sí es solución de la ecuación.


135

5.2.2 Pasos para resolver ecuaciones de 1er grado En la resolución de ecuaciones conviene seguir un orden: facilita la tarea, y evita que cometamos errores:

1. Quitar denominadores 2. Quitar paréntesis 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números 5. Despejar la x 6. Comprobar la solución

Toda ecuación de 1er grado tiene siempre una única solución

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: ( )( )

4421

336 2xxxx

=+−

+−

1. Quitar denominadores: [ ] 124,4,3... =mcm

IMPORTANTE: NO DEBEMOS APLICAR EL M.C.M. COMO SI FUERA UNA SUMA O RESTA DE FRACCIONES. AHORA HAY UNA ECUA-CIÓN, Y DEBEMOS MULTIPLICARLA, A AMBOS LADOS, POR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO QUE ACABAMOS DE CALCULAR.

( ) ( )( ) ;4

124

2133612

2xxxx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

( ) ( )( ) ;3

42112

33612 2xxxx

=+−

+−

( ) ( )( ) ;3213364 2xxxx =+−+− Así conseguimos eliminar los denominadores. 2. Quitar paréntesis: ( ) ;32231224 22 xxxxx =−−++−

;36331224 22 xxxx =−++− 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado

;33918 22 xxx =+− ;0918 =− x 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números: ;918 x=

5. Despejar la x: 18 ; 29

x x= =

6. Comprobar la solución: ( )( )

42

42212

3236 2

=+−

+⋅−

; 44

441

30

=⋅

+ 110 =+

La solución 2x = sí es correcta.


136

Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado:

( ) ( ) 62312) +=−−+ xxxa COMPROBACIÓN:

421

232) xxb +=

−; (una forma muy sencilla de eliminar los denominadores cuando

sólo tengamos dos fracciones es aplicar el proceso de “multiplicar en cruz”) COMPROBACIÓN:

563

325) xxc +

=+

COMPROBACIÓN:

( )[ ] ( ) ( )[ ]5237261253) +=++− xxxd COMPROBACIÓN:

) 4 1 35 10 2+ =

xe

COMPROBACIÓN:

(Sigue → )


137

(Continuación)

) 2 7 11 45 2− +

− = −x xf

) 1 1 4 34 12− +

− = +x xg x

) 3 2 2 4 1 125 5 10+ − −

− = +x x xh

) ( ) ( ) ( )4 3 4 2 6 3 5 9 2 5i x x x⎡ ⎤+ − − = +⎣ ⎦

) ( )3 2 2 1 1 12 3 3 4

x x xj+ − +

− = −

COMPROBACIÓN:

) 5 3 5 1 33 262 3 2

x x xk x+ + −− + − + = −

COMPROBACIÓN:


138

5.3 Ecuaciones de 2º grado: (repaso) La fórmula general que tienen estas ecuaciones es:

02 =++ cbxax Las letras a, b y c se llaman coeficientes. Pueden ser positivos, negativos o cero (ex-cepto la a que no puede ser cero, ya que sería una ecuación de primer grado, no de segundo). Las soluciones de cualquier ecuación podrán ser, en general, números reales (natura-les, raíces no enteras, fracciones irreducibles...), o también, podrá darse el caso de ecuaciones que no tengan solución real. A partir de ahora esto podrá ser más o menos frecuente. Ejercicio 5 Inventa ejemplos de ecuaciones (de segundo grado o no) que no tengan solución:

5.3.1 Incompletas Si la b o la c son cero tenemos las ecuaciones de segundo grado incompletas. Es pre-ferible no aprenderse ninguna fórmula para resolverlas; utilizaremos el sentido común y las herramientas que ya conoces. Si 0=b , la ecuación es de este tipo: 02 =+ cax , y su solución (cuando exista) será un número positivo y el mismo, negativo, ya que se debe resolver una raíz cuadrada.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación incompleta:

0492 =−x ; vemos que 0=b ; se trata de una ecuación de 2º grado incompleta, le falta el término en x. Despejamos x, para ello, la dejamos sola en un lado de la ecuación y luego aplicamos raíces en ambos miembros:

492 =x ; 492 =x ; 7x = ± La comprobación es inmediata.


139

Ejercicio 6 Pon varios ejemplos de ecuaciones de este tipo que no tengan solución real: Ejercicio 7 Resuelve:

025) 2 =−xa

722) 2 =xb

0182) 2 =−xc

0182) 2 =+xd

065) 2 =−xe

0483) 2 =+− xf Por otro lado, si 0=c , la ecuación es de este tipo: 02 =+ bxax . Una de sus solucio-nes siempre es cero. La forma de resolver este tipo de ecuaciones es extraer factor común, con lo que se obtiene un producto de factores igualado a cero. Este hecho pro-voca la solución inmediata de la ecuación.


140

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación incompleta: 082 =− xx ; Sacamos factor común: ( ) 08 =−xx ; Si un producto da como resultado cero, es porque uno de los factores

debe ser cero.

Es decir, ⎩⎨⎧

=−=

08:0:

xceroesfactorsegundoeloxceroesfactorprimerelo

, y de ahí obtenemos las dos solu-

ciones de la ecuación:

⎩⎨⎧

=−=

080

xsixsi

⎩⎨⎧

==

80

2

1

xx

La comprobación, de nuevo, resulta inmediata.

Ejercicio 8 Resuelve:

0217) 2 =− xxa

( ) 045) =+xxb

027) 2 =− xxc

22 264) xxxd =−

05) 2 =+ xxe

05

3)2

=− xxf


141

5.3.2 Completas Si los tres coeficientes son distintos de cero, tendremos la ecuación completa, y se re-suelve, como sabes, mediante la siguiente fórmula:

aacbbx

242 −±−

=

Para poder aplicar esta fórmula, es imprescindible que la ecuación esté igualada a ce-ro. Si no lo estuviera, deberás provocarlo tú, pasando a un lado de la ecuación todo lo que sea necesario. Ejemplos:

432 =− xx 0432 =−− xx

223 xx −=+− 0322 =−+ xx

Recomendaciones para usar esta fórmula sin que te equivoques: − Debes interpretar el signo negativo de la primera b como “se le cambia el signo

a lo que valga b”. Ejemplo: si b = 5, tendrás que poner -5; si b = -3 deberás po-ner 3.

− El doble signo ± que hay delante de la raíz está para que no se te olvide que una raíz cuadrada tiene siempre dos soluciones. Por ejemplo

525 ±= . − Fíjate que el coeficiente b que está dentro de la raíz − El coeficiente a aparece dos veces en la fórmula. Es muy conveniente que sea

positivo, y eso siempre lo puedes conseguir. Imagina esta ecuación: − A la expresión acb 42 − , se la conoce como Δ . Es una letra griega: delta ma-

yúscula (en el apéndice I de estos apuntes podrás conocer las letras griegas más importantes que se usan en las ciencias: Matemáticas, Física, Astronomía, etc.). Fíjate que en Δ hay una resta de dos números (por la prioridad de las operaciones que recordábamos en la primera unidad, sabrás que la resta debe ser la última operación que debe hacerse dentro de la raíz). Esta resta puede provocar un resultado positivo, negativo o cero.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación completa: 0322 =−+ xx ; Al tratarse de una ecuación completa, aplicamos la fórmula:

( )2

422

1622

124212

31442 ±−=

±−=

+±−=

⋅−⋅⋅−±−

=x ;

las soluciones son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=−−

=

==+−

=

326

242

122

242

2

1

x

x

⎩⎨⎧

−==

31

2

1

xx

(Sigue → )


142


COMPROBACIÓN:

Para 11 =x 032131212 =−+=−⋅+

Para 31 −=x ( ) ( ) 03693323 2 =−−=−−+− Las soluciones son correctas.

Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

0149) 2 =+− xxa

034) 2 =++ xxb

02062) 2 =++ xxc

0168) 2 =+− xxd

0106) 2 =+− xxe

096) 2 =++ xxf

(Sigue → )


143

(Continuación)

02510) 2 =+− xxg

( ) 032) 2 =−xh

xxi 352) 2 =+−

054) 2 =+− xxj

034) 2 =+− xxk

012) 2 =++ xxl A la vista de los anteriores ejercicios has podido comprobar cómo pueden darse tres circunstancias en cuanto a las soluciones. Una ecuación de segundo grado puede:

− tener como solución dos números distintos (con valor absoluto diferente) − una solución doble (es decir, la misma solución repetida) − no tener solución

Ejercicio 10 ¿Podríamos saber, antes de hacer el ejercicio, a que tipo pertenece? (Pista: tiene que ver con Δ )


144

5.4 Ecuaciones polinómicas (por factorización) Ya sabes que la factorización de polinomios nos puede llevar algo de tiempo (sacar factor común, comprobar si son identidades notables, probar por Ruffini...) pero cuando conseguimos que la ecuación esté totalmente factorizada, las soluciones son inmedia-tas. Por ejemplo: la siguiente ecuación está factorizada: ( )( )( ) 0231 =−+− xxx

Ejercicio 11 ¿Qué soluciones tiene esa ecuación? ¿Qué números consiguen que los paréntesis se-an cero? Ejercicio 12 Multiplica los factores de la ecuación que acabamos de resolver:

( )( )( ) 0231 =−+− xxx No existen fórmulas para resolver este tipo de ecuaciones (de tercer grado o más). El método que emplearemos será factorizarlas mediante los procedimientos vistos el tema anterior. Ejercicio 13 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( )( ) 0532) =−+− xxxa

( ) ( ) 02121) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⋅+⋅ xxxxb

( )( ) 05232) =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + xxxc


145

En ocasiones podremos encontrarnos con ecuaciones parcialmente factorizadas; pro-cederemos a tratar cada factor por separado, igualándolo a cero y buscando las solu-ciones de forma independiente. Ejercicio 14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( ) 01232) 2 =−++ xxxa

( ) ( ) 09612) 22 =+−⋅−− xxxxb

( ) ( ) 01449) 22 =++⋅+ xxxc Por último, si la ecuación no está factorizada, utilizaremos las herramientas aprendidas en el tema anterior (Ruffini, sacar factor común...) para conseguir que lo esté.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación: 022 23 =−−+ xxx

Se trata de una ecuación de grado 3. No existe fórmula para resolverla. Debemos fac-torizarla, por ejemplo, por Ruffini. Una vez obtenidos los factores, las soluciones son directas:

La ecuación original factorizada es:

( )( )( ) 021122 23 =++−=−−+ xxxxxx por tanto, las soluciones son:

1 2 31 ; 1 ; 2x x x= = − = − Recuerda que, en ecuaciones, siempre puedes comprobar las soluciones.

1 2 -1 -2

1 1 3 2

0 1 3 2

-1 -1 -2

1 2 0


146

Ejercicio 15 Resuelve las siguientes ecuaciones:

03) 23 =− xxa

0232) 23 =−+ xxxb

033) 234 =−−+ xxxxc

0161644) 23 =+−− xxxd

044) 234 =+− xxxe

012164) 234 =−+−− xxxxf

067) 234 =+−−+ xxxxg

0322446) 234 =−−++ xxxxh

(Sigue → )


147

(Continuación)

(Sigue → )


148

(Continuación)


149

5.5 Ecuaciones bicuadradas Corresponden con este tipo de ecuación: 024 =++ cbxax Ejercicio 16 Fíjate bien en la ecuación tipo y escribe sus características principales. ¿Qué elemen-tos pueden faltar y cuáles no? Para resolver estas ecuaciones aprenderemos aquí una nueva técnica que usarás a menudo en tus próximos estudios: el cambio de variable. Para aplicar la técnica, la ecuación deberá tener la forma general. Si no fuera así, haremos las transformaciones necesarias. El procedimiento es como sigue:

1. Se hace un cambio de variable, x2 = z; lógicamente, x4 será sustituido por ______

2. Con este cambio se transforma la ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado normal, que se resuelve por los procedimientos que ya cono-cemos.

3. Esta operación nos dará (en general) dos soluciones, pero soluciones de z, no de x que era nuestra variable original; por tanto, hay que deshacer el cambio de variable hecho en el paso 1.

Ejercicio 17 Si x2 = z, y la z tiene valor conocido, ¿qué vale x?

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada: 03613 24 =+− xx

1. Hacemos el cambio: zx =2 y lo aplicamos: 036132 =+− zz 2. Tenemos una ecuación de 2º grado completa que resolvemos con la fórmula general:

2513

22513

1236416913 ±

=±

=⋅

⋅−±=z

(Sigue → )


150


cuyas soluciones son: 4;9 21 == zz 3. Deshacemos el cambio: zx =2 Si 9=z y zx =2 , entonces ;92 =x con lo que ;9=x 3±=x Si 4=z y zx =2 , entonces ;42 =x con lo que ;4=x 2±=x

Soluciones: 1 2 3 43 ; 3 ; 2 ; 2x x x x= = − = = −

Ejercicio 18 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

) 4 210 9 0− + =a x x ) 4 24 17 4 0− + =b x x

) 4 226 25 0− + =c x x

(Sigue → )


151

(Continuación)

) 4 23 75 0− =d x x ) 4 29 20− = −e x x

) 4 24 37 9 0− + =f x x

) 4 225 144 0− + =g x x

)2

2 12 25⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

h xx


152

5.6 Ecuaciones con raíces Es importante distinguir qué es una ecuación con raíces y qué no lo es. Ejercicio 19 Aparentemente, estas ecuaciones son irracionales; ecuaciones con raíces. Pero hay tres intrusas, ¡descúbrelas! Marca con una X las ecuaciones con raíces:

21311 =+++ x xx 2216 =−+

21352 xx −=++ 21

41=−+ xx

3 341 xxx ⋅=+ xxx213 2 =−+

xx −=−+ 1352 18362 =−+ xx

La resolución de este tipo de ecuaciones resulta muy sencilla, ya que sólo deberemos seguir cuatro pasos: 1er paso: se aísla la raíz (si hay mas de una, comenzamos por la que presente más difi-cultad). Esto quiere decir que debemos dejarla “sola” en un miembro de la ecuación, y “pasar” al otro lado simplificando, si podemos, todo lo demás. Es muy importante que la raíz quede positiva. 2º paso: se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Como ya te imaginas, si elevamos al cuadrado una raíz, ésta desaparece. En el otro miembro tendremos una expresión elevada al cuadrado que se desarrolla. 3er paso:

- si con la operación anterior hemos conseguido eliminar la raíz (que era el pro-blema) se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante;

- si por el contrario, aún queda alguna raíz en la ecuación, se vuelve a aplicar los dos pasos anteriores.

4º paso: se comprueban las soluciones. En este tipo de ecuaciones es IMPRESCINDI-BLE comprobar que las soluciones encontradas verifican la ecuación original. Ejercicio 20 ¿Por qué?


153

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación con raíces: 3223 +−= xx

1er paso: se aísla la raíz (conseguimos que quede positiva dejándola a la izquierda).

3232 −=+ xx (No hay ningún término que pueda agruparse, es decir, no se pue-de simplificar). 2º paso: se eleva a cuadrado ambos miembros de la ecuación:

( ) ( )223232 −=+ xx ; En el miembro de la izquierda desaparece la raíz. En el lado

derecho hay un binomio al cuadrado que desarrollamos:

;912432 2 +−=+ xxx ; 3er paso: ya no hay raíces; se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante:

;61440 2 +−= xx Se trata de una ecuación completa de 2º grado. Dividimos por dos toda la ecuación (este paso es opcional, pero conveniente; la ecuación queda más simplificada):

;3720 2 +−= xx Al aplicar la fórmula de resolución de las ecuaciones de 2º grado completas, obtenemos dos resultados provisionales:

1 213 ; ;2

x x= = 4º paso: se comprueba si cada solución verifica la ecuación original:

Comprobación para ;31 =x Comprobación para ;21

2 =x

;332323 +⋅−⋅=

;3663 +−=

;963 −= ;363 −=

;33 =

;3212

2123 +⋅−⋅=

;3113 +−=

;413 −= ;213 −= ;13 −≠

Por lo tanto, la única solución correcta de la ecuación es

1 3x =


154


) 2+ =a x x

) 6 21 2+ − =b x x

) 1 1 13 2+ + + =c x

) 6 1 1+ + =d x x

) 225 1− − =e x x

) 5 10 8+ + =f x x


155

(Continuación)

) 2 1 4 6− + + =g x x

) 2 5 13+ − = −h x x ) 4 5 2+ = +i x x

) 22 2 0+ − − =j x x x

) 7 2 4 2 3+ = + + +k x x x

(Sigue → )


156

(Continuación)

) 22 64 2− + =l x x

) 1 14 2

+ − =m x x

) 2 36 18+ − =n x x

) 2 3 5 2− − − =ñ x x


157

5.7 Ecuaciones con la incógnita en el denominador Al igual que hicimos con las fracciones algebraicas, también aquí deberemos utilizar el m.c.m. pero de manera algo distinta: en esta ocasión hay una igualdad, y procedere-mos a eliminar los denominadores multiplicando toda la ecuación por su m.c.m.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación: 31

21

=+

+− x

xx

x

Ecuación con la incógnita en el denominador. Primero debemos calcular el m.c.m. de los denominadores, que en este caso es

( ) ( )[ ] ( )( )111;1.. +−=+− xxxxmcm En segundo lugar, multiplicamos dicho m.c.m. en ambos miembros de la ecuación:

( )( ) ( )( );1131

21

11 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+− xx

xx

xxxx Multiplicamos el m.c.m. por cada una

de las fracciones de la parte izquierda de la ecuación, con el objetivo de simplificar los denominadores:

( )1x x − ( )1

1

x

x

+

−

( ) ( )2 1 1x x x− ++

1x +( )( )3 1 1 ;x x= − +

De esta manera, ya ha desaparecido el problema de las fracciones. Esta es la ecua-ción que queda tras eliminar los denominadores:

( ) ( ) ( )( );113121 +−=−++ xxxxxx Se opera: ( );1322 222 −=−++ xxxxx En la parte derecha se aprovecha la identidad notable.

;333 22 −=− xxx Se agrupan los términos del mismo grado.

;3−=− x Solución: 3x = Comprobación:

Para 3=x : ;326

23

23

46

23

1332

133

==+=+=+⋅

+− La solución es correcta.


230) =−x

xa

(Sigue → )


158

(Continuación)

22

22

2) =+

++ x

xx

xb

97

134) =+−

xxc

4311) 2 =+

xxd

(Sigue → )


159

(Continuación)

23

325) =

++

+ xx

xe

xx

xxf

−+

=−+

12

34)

43

34

42

33

) x

x

x

x

g−

+=

−

+


160

5.8 Divertimento matemático ¿Dónde trata de engañarlos el mago? Para más información sobre tipos de ecuaciones: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Resolucion_geometrica_ecuaciones/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuaciones/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm

Parto de una igualdad: ;yx =

Multiplico por x los dos miembros: ;2 xyx =

Resto 2y en ambos lados: ;222 yxyyx −=− Descompongo en factores: ( )( ) ( );yxyyxyx −=−+

Divido los dos miembros por ( )yx − : ;yyx =+ Como yx = , escribo: ;2 yy =

Divido por y : ;12 = !!!

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 6: Sistemas de ecuaciones

161

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos,

todos sencillos y fáciles. René Descartes (filósofo y matemático francés, 1596 - 1650)

Unidad 6: Sistemas de ecuaciones


162

Tiro al blanco

Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero. Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo. Dieciséis veces tiró el tirador afamado y al fin dijo, despechado por los tiros que falló: "Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta NI ME DEBES NI TE DEBO".

Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó.

(Rafael Rodríguez Vidal) Enjambre matemático

Lee la poesía y resuelve el acertijo:

4 8 10 3 6 Cuando acabes este tema podrás resolver, por ejemplo, cuestiones como las siguientes: En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y gallinas que hay. Un librero vende 22 copias entre dos libros. Si uno vale 3€ y el otro 4€ y ha cobrado 200€. ¿Cuántos vendió de cada tipo?


163


Unidad 6: Sistemas de ecuaciones .............................................................................165

6.1 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones...........................................165 6.1.1 ¿Cómo proponerse más ejercicios? ............................................................171

6.2 Método gráfico ...................................................................................................172 6.2.1 Elementos para el sistema gráfico...............................................................172 6.2.2 Posicionar puntos en el diagrama ...............................................................173 6.2.3 Forma de resolver sistemas de ecuaciones ................................................174 6.2.4 Recomendaciones para el dibujo de rectas.................................................175

6.3 Análisis de las soluciones de un sistema...........................................................179 6.3.1 ¿Cómo saber el número de soluciones de un sistema?..............................180

6.4 Sistemas no lineales ..........................................................................................183 6.5 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas ..............................................187 6.6 Divertimento matemático: Bichos.......................................................................192


− Resolver sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas por cuatro métodos

− Resolver sistemas no lineales

− Saber cuántas soluciones tiene un sistema

− Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas


− Conocer y comprender los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones y saber decidir cuál es el más apropiado para cada caso concreto (C2, C7, C8).

− Valorar la riqueza que supone el hecho de que no haya un único modo de abordar y obtener la solución de un problema, y apreciar las ventajas de anali-zar una situación desde distintos puntos de vista (C2, C5).

− Utilizar las relaciones entre los métodos gráficos y algebraicos de resolución de ecuaciones para conocer y comprender la interacción entre las distintas ramas de las matemáticas (C2, C4).


164


− Resuelve sistemas de dos (y tres) ecuaciones lineales con dos (y tres) incógni-tas por todos los métodos, incluido el gráfico e interpreta y comprueba los re-sultados

− Resuelve sistemas NO lineales

− Determina, sin resolver, cuántas soluciones tiene un sistema


− Sistemas de ecuaciones lineales

− Solución de un sistema de ecuaciones lineales

− Sistema compatibles determinado e indeterminado (SCD, SCI)

− Sistema incompatible (SI)

− Sistemas equivalentes

− Métodos algebraicos de resolución (repaso)

− Método gráfico, solución

− Elementos para el sistema gráfico: ejes de coordenadas, puntos, rectas

− Sistemas NO lineales

− Sistemas de tres ecuaciones y con tres incógnitas


− Estudio del número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

− Obtención de sistemas equivalentes

− Métodos para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales: tradiciona-les y gráfico

− Resolución de sistemas no lineales

− Resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas


165

Unidad 6: Sistemas de ecuaciones

Comenzaremos repasando los métodos de resolución de siste-mas de dos ecuaciones con dos incógnitas que aprendiste en 2º de ESO: sustitución, igualación y reducción; aprenderemos un nuevo método (y quizá sea el más atractivo): el método gráfico; analizaremos las soluciones de un sistema antes de resolverlo; veremos cómo se solucionan los sistemas no lineales y, por último, resolveremos los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

6.1 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Imagina que vas a merendar a algún restaurante de comida rápida. Observas cómo le cobran a tu predecesor en la cola 11 € por un refresco y tres porciones de pizza. En la cola de al lado, otra persona se lleva una bandeja con tres refrescos y dos raciones de pizza y abona 12 €. ¿Cuánto vale el refresco y la pizza?

En la unidad anterior resolvimos ecuaciones de varios tipos y con distintos grados pero con una sola incógnita, la x. Y hay ocasiones, como en el ejemplo de arriba, que son varias (en este caso hay dos) las incógnitas que desconocemos; tenemos, entonces, un sistema. Los sistemas pueden tener varias incógnitas (2, 3, 4...). Para sistemas de más de tres incógnitas se usan otros métodos diferentes de los que vamos a ver aquí. Uno de ellos es el método de Gauss. En cuanto a la dificultad de los sistemas también hay de varios tipos. El sistema de arriba (que resolveremos) podría resolverse, incluso, a simple vista, sin hacer opera-ciones. Otros, como:

⎭⎬⎫

=−+−=−+04

6323 2

yxyxx

requerirán algo de más esfuerzo por nuestra parte.

El grado de un sistema es el mayor exponente al que se encuentre elevada alguna in-cógnita del sistema. El grado del sistema anterior sería 2.


166

Repasaremos los tres métodos que mencionamos en la introducción a través de ejerci-cios. Recuerda que los tres métodos (más el gráfico que veremos después) son dife-rentes tácticas para resolver un mismo problema. Dicho de otro modo, cualquiera de los métodos sirve para resolver cualquier sistema, así que, a modo de recordatorio, resolveremos un único sistema con los tres métodos, y, obviamente, deberemos obte-ner las mismas soluciones en los tres casos. En los ejercicios que vienen a continuación, remarcamos con un recuadro los pasos más importantes a seguir. El resto son comentarios que hacemos para aclarar las co-sas. Tú también debes añadir comentarios que nos ayuden a entender qué quieres de-cir en cada caso. Recuérdalo cuando seas tú quien haga los ejercicios.

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema por el método de SUSTITUCIÓN:

⎭⎬⎫

−=+=−

221023

yxyx

en este caso escogemos la x de la segunda ecuación. ( )122 yx −−= Hacemos una llamada (1) porque luego volveremos a esa expresión. En general, cuan-do despejas una incógnita, ésta será el último valor que se calcula. Observa cómo no hemos usado aún la primera ecuación.

( ) 102223 =−−− yy ; aquí ya tenemos una ecuación de primer grado, sólo hay una incógnita. Quitamos el paréntesis: ;10266 =−−− yy agrupamos términos y despejamos la y:

;168 =− y 2y = −

Una vez que ya tenemos desvelado el valor de una de las incógnitas, nos falta hallar la otra. En (1) la tenemos despejada:

( ) ;2222 =−⋅−−=x 2x =

⎭⎬⎫

−==

22

yx

( )( ) ⎭

⎬⎫

−=−+=+=−−⋅

222210462223

Las soluciones son correctas

1. Elegimos una incógnita (la más sencilla) y la despejamos.

2. Sustituimos el valor de x en la otra ecuación.

3. Operamos y obtenemos el valor de una incógnita.

4. Sustituimos este valor hallado en alguna ecuación para obtener el valor de la segunda incógnita.

5. Comprobamos las soluciones.


167

Ejercicio resuelto

Resuelve el mismo sistema por el método de IGUALACIÓN:

⎭⎬⎫

−=+=−

221023

yxyx

En este caso despejamos la x: ⎪⎭

⎪⎬⎫

−−=

+=

yx

yx

22)1(3

210

; fíjate que ambas partes derechas

deben ser iguales puesto que ambas son x.

yy 223

210−−=

+;

Recuerda por qué se llama el método igualación. De nuevo hemos conseguido una ecuación de primer grado. A partir de aquí seguimos los mismos pasos que en sustitu-ción: operar, agrupar, obtener el valor de una incógnita, sustituir su valor y obtener el valor de la segunda incógnita.

( );223210 yy −−=+ ;66210 yy −−=+

;168 −=y 2y = − Marcamos con una llamada (1) el lugar dónde vamos a sustituir el valor de la y:

( ) ;2222 =−⋅−−=x 2x = En esta ocasión no hacemos la comprobación puesto que es la misma que el caso an-terior.

Ejercicio resuelto

Resuelve el mismo sistema por el método de REDUCCIÓN: su objetivo principal es “reducir” el número de incógnitas, es este caso, de dos a una. Para ello se multiplican las ecuaciones por los números que mejor convenga para conseguir que una misma incógnita tenga los mismos coeficientes en ambas ecuaciones, pero con distinto signo. En este caso la incógnita ya tiene esa característica, así que sumamos las ecuaciones:

⎭⎬⎫

−=+=−

221023

yxyx

⎭⎬⎫

−=+=−

221023

yxyx

1. Elegimos una incógnita y la despejamos de las dos ecuaciones.

2. Igualamos los resultados.

3. Operamos y obtenemos el valor de una incógnita.


5. Comprobamos las soluciones.

84 =x

1. Multiplicamos las ecuaciones para conse-guir que una misma incógnita tenga los mismos coeficientes con distinto signo.


168


Hemos conseguido reducir el número de incógnitas. Ahora tenemos una ecuación de

primer grado, que resolvemos:

84 =x

2x = En este caso, ya que en el proceso no hemos multiplicado las ecuaciones, vamos a obtener la otra incógnita también por reducción. Fíjate en el sistema original. Si multiplicamos la segunda ecuación por (-3) conseguire-mos que las x tengan los mismos coeficientes con singo cambiado:

⎭⎬⎫

−=+=−

221023

yxyx

( )

⎭⎬⎫

=−−=−

⎯⎯→⎯⎯→⎯− 663

1023)3(

1

yxyx

Despejando, obtenemos el valor de la segunda incógnita: 2y = −

Ejercicio 1 Plantea y resuelve el sistema que dábamos al principio de la unidad por los 3 métodos:

2. Sumamos las ecuaciones.

3. Resolvemos la ecuación de primer grado.


Indicamos con unas flechas el númeropor el que multiplicamos las ecuaciones y sumamos.

168 =− y


169

Ejercicio 2 Resuelve el sistema por SUSTITUCIÓN (no olvides comprobar las soluciones):

920 3 4

x yx y+ = ⎫

⎬− = − ⎭

5 239 5 13

x yx y− = ⎫

⎬− + = ⎭

⎭⎬⎫

=−=+

1243

yxyx

Ejercicio 3 Resuelve el sistema por IGUALACIÓN (no olvides comprobar las soluciones):

⎭⎬⎫

=−=+

15

yxyx

2 52 7x yx y+ = ⎫

⎬+ = ⎭

⎭⎬⎫

=−=+

0251932

yxyx


170

Ejercicio 4 Resuelve el sistema por REDUCCIÓN (si procede, deberás “arreglar” el sistema):

⎭⎬⎫

=++−=

82463

yxyx

3 2 42 3 33x yx y− = ⎫

⎬+ = ⎭

⎭⎬⎫

=−=+

1243

yxyx

Ejercicio 5 Resuelve el sistema por el método que consideres más conveniente:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=+

122

342yx

yx

3 62

5 38

x y

x y

⎫− = ⎪⎬⎪+ = ⎭

43 2 32 0

x y

x y

⎫+ = ⎪⎬⎪− = ⎭


171

Ejercicio 6 La suma de dos números es igual a 39 y su diferencia es 11. Halla los números: La suma de dos números es igual a 54 y uno es el doble del otro. Hállalos. La suma de dos números es igual a 52 y uno es la tercera parte del otro. Hállalos. Ejercicio 7 Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Ejercicio 8 Encuentra el valor de x y de y para cada uno de los siguientes rectángulos, o para que el triángulo sea equilátero:

6.1.1 ¿Cómo proponerse más ejercicios? Resulta muy sencillo “inventarse” sistemas para resolverlos más tarde (y con solución). El método es aplicable a cualquier tipo de sistema de los que vamos a ver en esta uni-dad: de dos ecuaciones con dos incógnitas, de tres, sistemas no lineales, sistemas pa-ra la resolución gráfica... La técnica consiste en empezar al revés, es decir, nos inven-tamos unas soluciones cualesquiera: por ejemplo 2=x ; y 3−=y

Y, ahora, nos inventamos dos operaciones con estos números: ( )( ) ⎭

⎬⎫

=−−⋅=−⋅+⋅

532123224

Sustituimos los valores por las letras y ya está: tenemos un sistema para resolver por cualquier método, y, además, sabemos las soluciones que tiene que darnos:

⎭⎬⎫

=−=+

5224

yxyx

Solución: 2x = y 3y = −

3y

x

y+6

4

2x-3y

17 3x+y 2y

y-2 x

x+6


172

6.2 Método gráfico En este apartado vamos a aprender a resolver sistemas sin hacer cálculos; resolvere-mos los sistemas haciendo dibujos de líneas. Los dos temas siguientes son las funciones, y este apartado constituye una introduc-ción a esta parte tan importante de las Matemáticas.

6.2.1 Elementos para el sistema gráfico

En el eje X, tenemos las x positivas en la parte derecha, y en la izquierda las negativas. En el eje Y, las y positivas están en la parte de arriba y abajo las negativas. En el si-guiente apartado aprenderemos a posicionar puntos en este diagrama. Respecto a las unidades de los ejes, no tienen por qué tener la misma escala cada un de ellos (aunque lo más cómodo es que sí la tengan), pero sí en cada semirrecta de un miso eje. En general, en Matemáticas, situaremos aproximadamente en el centro el origen de coordenadas. Pero en la mayoría de gráficos que verás en otras materias (Física, Geo-grafía...) este punto se desplaza totalmente hacia la izquierda y hacia abajo, quedándo-se, casi exclusivamente, con el primer cuadrante.

1.

2.

3. 4.

5.

6.

7. 8.


173

Ejercicio 9 ¿Por qué crees que ocurre esto?

6.2.2 Posicionar puntos en el diagrama Un punto (concepto utilizadísimo a partir de ahora) consta de dos coordenadas: la x y la y, positivas, nulas o negativas, encerradas entre paréntesis y separadas por una co-ma. Ejemplos de puntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0;1,0;0,4;4,4;3,2;3,2;3,2;3,2 −−−−− ( ) ( ) ( ) ( )...7,0;7,3;0,5;7,5 −−−−−

SIEMPRE la coordenada x va en primer lugar y la y en segundo lugar.

Ejercicio 10 Posiciona en el diagrama los puntos anteriores:


174

6.2.3 Forma de resolver sistemas de ecuaciones Una vez que ya conocemos los elementos gráficos, empezaremos a resolver los siste-mas con este método. Para cada una de las ecuaciones hay que proceder así:

1. Debes despejar, en todos los casos, la incógnita y de la ecuación y debe estar positiva siempre. 2. Formamos la llamada tabla de valores, que utilizaremos mucho en los temas de funciones. 3. Completamos la tabla de valores con x inventadas. Para obtener la y de cada x se sustituye el valor de la x en la ecuación correspondiente. 4. Los puntos obtenidos se pasan al diagrama tal y como hemos visto en el apar-tado anterior. 5. Al unir los puntos debemos obtener una línea recta.

Si sigues los mismos pasos con la otra ecuación obtendrás, al final del proceso, dos rectas que se cruzan en un punto. Este punto tendrá una coordenada x y una coorde-nada y, y ya has terminado: la solución del sistema será las coordenadas de dicho pun-to de cruce.

Ejercicio resuelto

Resuelve, gráficamente, el siguiente sistema de ecuaciones:

⎭⎬⎫

=+−=−02

52yxyx

Despejamos la y de ambas ecuaciones: ⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

+=

2

52

2

1

xy

xy

Es imprescindible prestar mucha atención en este paso, puesto que si no estuviera bien despejada cada y, todo el proceso no serviría y habría que comenzar de nuevo desde el principio. Hasta aquí el método se parece al de igualación. Ponemos unos subíndices en las y para no confundir las tablas. Construimos las tablas de valores según hemos dicho en el punto 3 anterior.

x y1 x y2 -3 -1 -4 2 -2 1 -2 1 -1 3 0 0 0 5 2 -1 1 7 4 -2

(Sigue → )


175


Pasamos los puntos anteriores a la gráfica, con cuidado de no mezclar los datos de las dos ecuaciones (o rectas) No olvides que, al fin y al cabo, estamos resolviendo un sistema de ecuaciones, y, por tanto, el ejercicio no acaba cuando consigues dibujar con éxito las dos líneas rectas. Debes extraer la solución del gráfico que acabas de realizar.

Solución: 2; 1x y= − =

6.2.4 Recomendaciones para el dibujo de rectas

1. Son rectas, no segmentos. Las líneas deben ser grandes, y cruzar por dos o tres cuadrantes; debe conseguirse la idea de que son infinitas.

2. Si eres tú quien hace el diagrama (en una prueba escrita, por ejemplo), es

imprescindible que pongas todos los elementos importantes: escala de am-bos ejes y bien graduada, nombres de los ejes y algún punto con sus coor-denadas.

3. Si durante el dibujo de las líneas observas que los puntos no siguen una lí-

nea recta, y sale quebrada, debes repasar la tabla de valores de esa recta o los puntos del diagrama.

4. Es habitual que se olvide poner la solución final del sistema. No te conformes

con dibujar las líneas y que tú sepas la solución; deben aparecer escritos los valores de x y de y tal y como se hace en los métodos tradicionales.


176

5. Si tienes tiempo, siempre puedes volver a hacer el sistema con alguno de los

métodos tradicionales, y comprobar que obtienes los mismos resultados, pe-ro siempre será más rápido, y más recomendable, comprobar las soluciones.

6. La cantidad de puntos a poner en la tabla de valores puede ser variable. El

mínimo sería 2, pero si se produce un error es muy difícil de detectar. Acon-sejamos poner 3 ó 4 puntos por recta.

7. Aunque los valores de la x pueden no llevar ningún orden, aconsejamos ser

ordenados y, sobre todo, poner (si la ecuación lo permite), valores positivos, negativos y el cero.

8. En ocasiones, como en la ecuación segunda del ejemplo, aparecen fraccio-

nes; escoge las x a representar de manera que evites los decimales (en el ejemplo, hemos elegido números pares).

9. Si algún punto de los calculados no cabe en el diagrama, no te preocupes,

busca otro, o no pongas más si es que tienes suficientes, pero no lo borres de la tabla ya que es un punto válido.

Ejercicio 11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de forma gráfica:

⎭⎬⎫

=+=−

353

yxyx


177


⎭⎬⎫

−=+=−

53723

yxyx


⎭⎬⎫

−==+−

xyyx4

12


178


⎭⎬⎫

=+−−=−43

2yxyx


⎭⎬⎫

=−−=+1

22yxyx


179

6.3 Análisis de las soluciones de un sistema Todos los sistemas que hemos estudiado hasta ahora han sido Sistemas Compatibles Determinados (SCD); dicho de otra manera: sistemas con solución (compatible) y con soluciones finitas (no infinitas, determinadas). A la vista de lo dicho ya habrás deducido que puede haber otros tipos de sistemas. Por ejemplo, el siguiente sistema no tiene solución, es un Sistema Incompatible (SI):

⎭⎬⎫

−=+=+

36

yxyx

Ejercicio 16 ¿Por qué podemos afirmar que el sistema anterior no tiene solución? Pon otro ejemplo Ejercicio 17 Si intentásemos resolver este sistema de forma gráfica ¿qué representación aparecer-ía? Y hay un caso más: sistemas que tienen solución, pero no una, sino infinitas: Sistemas Compatibles Indeterminados (SCI):

⎭⎬⎫

=+=+

4222

yxyx

Ejercicio 18 A la vista de este sistema ¿qué observas? Pon otros ejemplos


180

Ejercicio 19 Si resolvemos gráficamente este sistema ¿qué obtendremos?

Resumen del léxico utilizado:

Compatible = con solución

Incompatible= sin solución

Determinado = una única solución

Indeterminado = infinitas soluciones

6.3.1 ¿Cómo saber el número de soluciones de un sistema? Si pudiésemos averiguar este dato antes de empezar a resolver cualquier sistema, po-dríamos descartar aquellos que no tengan solución (SI, sistema incompatible) y aque-llos con soluciones infinitas (SCI, sistema compatible indeterminado). Existe una forma de sencilla de saberlo. En primer lugar, debes hacer corresponder el sistema a estudio con este esquema:

⎭⎬⎫

=+=+

''' cybxacbyax

(Esquema I)

Después, sólo deberás comprobar es qué situación encaja de las siguientes:

Situación El sistema es Número de soluciones Ejemplo

'' bb

aa≠ SCD 1

⎭⎬⎫

=+=−

81143

yxyx

''' cc

bb

aa

≠= SI 0 ⎭⎬⎫

=−=−

8431143

yxyx

''' cc

bb

aa

== SCI Infinitas ⎭⎬⎫

=−=−

22861143

yxyx

Observa que lo que importa son los coeficientes y el término independiente, no las in-cógnitas, pero recuerda que es imprescindible que el sistema tenga el aspecto dado por el esquema I.


181

Ejercicio 20 ¿Qué debe cumplir un sistema para que tenga una sola solución? Pon, después, un ejemplo.

¿Qué debe cumplir un sistema para que no tenga solución? Pon, después, un ejemplo.

¿Qué debe cumplir un sistema para que tenga infinitas soluciones? Pon, después, un ejemplo. Ejercicio 21 Determina, sin resolver, el tipo y número de soluciones de estos sistemas:

⎭⎬⎫

=−=+

15

)yxyx

a ⎭⎬⎫

=+=+

1083983

)yxyx

b

⎭⎬⎫

−==+

xyyx

c2102

5)

⎭⎬⎫

=−=−

36223

)yxyx

d

⎭⎬⎫

−==−

yxyx

e65

123)

⎭⎬⎫

=−=−

3393311

)yx

yxf


182

Ejercicio 22 Resuelve los sistemas del ejercicio anterior que tengan solución única. Utiliza el méto-do que consideres más apropiado: Ejercicio 23 Discute las soluciones de estos sistemas según los valores de a:

⎭⎬⎫

=−=−

ayxyx

a210

35)

Si 6a = el sistema es un SCI (la segunda ecuación es el doble que la primera) Si 6a ≠ el sistema es _____________________

⎭⎬⎫

=+=+

21373

)ayxyx

b

⎭⎬⎫

=−=−

23153

)ayxyx

c


183

Ejercicio 24 Averigua para qué valores de m y n el sistema:

⎭⎬⎫

=+−=−nmyx

yx6

743

a) el sistema es incompatible b) es compatible indeterminado c) es compatible

6.4 Sistemas no lineales En el epígrafe anterior vimos cómo las ecuaciones lineales pueden ser representadas por líneas. Para ello, las incógnitas siempre han estado elevadas a 1 y sumadas o res-tadas. Pero no siempre tiene que ser así:

⎭⎬⎫

==−

862

xyyx

La multiplicación que hay en la segunda ecuación convierte al sistema en no lineal. Si dibuja-mos ambas ecuaciones obser-vamos que la primera ecuación (lineal) se representa por una línea recta; sin embargo, la se-gunda ecuación no tiene la misma representación. En con-creto se trata de una hipérbola. Estudiaremos este tipo y otros de funciones el curso que viene. A la vista del dibujo pueden apreciarse claramente las solu-ciones del sistema:

1; 8

4; 2

x y

x y

⎫= − = − ⎪⎬

= = ⎪⎭


184

Los sistemas no lineales pueden resolverse con cualquiera de los métodos tradiciona-les que ya conocemos, incluso se pueden resolver gráficamente. No obstante, salvo que claramente se vea que es mejor utilizar un método concreto, aquí optaremos siem-pre por el método de sustitución. Es bastante habitual que en la resolución de estos sistemas aparezcan ecuaciones de segundo grado, que no debe suponer, a estas altu-ras de curso, ninguna dificultad para ti. Otra característica de estos sistemas es que suelen presentar una solución doble (como en el ejemplo anterior).

Ejercicio resuelto

Resuelve este sistema no lineal: ⎭⎬⎫

==−

862

xyyx

Optamos por resolverlo por sustitución.

Después de observar el sistema para determinar qué incógnita nos conviene despejar, decidimos despejar la y de la primera ecuación: es la única con la que conseguimos evitar las fracciones. Como, tras obtener el valor x, necesitaremos una expresión lo más sencilla posible pa-ra obtener el valor de y, marcamos la expresión con una llamada (1).

( ) 621 −= xy Como estamos resolviendo el sistema por sustitución, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

( ) ;862 =−xx Operamos: ;862 2 =− xx ;0862 2 =−− xx En este caso, hemos obtenido una ecuación de 2º grado, cuyos coeficientes pueden dividirse por 2:

;0862 2 =−− xx es equivalente (tiene las mismas soluciones) que ;0432 =−− xx

Resolvemos: ;2

532

25312

41493 ±=

±=

⋅⋅⋅+±

=x

Soluciones de la ecuación de 2º grado: 1 4x = ; 2 1x = − ; Para obtener la y debere-mos sustituir (en (1)) cada una de las soluciones de la x:

Para 41 =x ( ) 26421 =−⋅=y

Para 12 −=x ( ) ( ) 86121 −=−−⋅=y

Solución del sistema: 1 1

2 2

4; 2

1; 8

x y

x y

⎫= = ⎪⎬

= − = − ⎪⎭ COMPROBACIÓN:

Para 2;4 11 == yx

⎭⎬⎫

=⋅=−⋅

8246242

Correcta

Para 8;1 22 −=−= yx

( ) ( )( )( ) ⎭

⎬⎫

=−−=+−=−−−

881682812

Correcta

Es importante llevar mucho orden con las soluciones.


185

Ejercicio 25

Resuelve el siguiente sistema no lineal: ⎭⎬⎫

=−

=−

1446

22 yxyx

Ejercicio 26


=+

=+

11315

22 yxyx

Ejercicio 27


=+

=

5314

22 yxxy


186

Ejercicio 28


==++

12492 22

xyyxyx

Ejercicio 29

Resuelve el siguiente sistema no lineal:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+=

xy

xxy

24

53

Ejercicio 30

Resuelve el siguiente sistema no lineal: ⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=−

486111

xyyx

(Ayuda: opera en la 1ª ecuación y saca raíces en ambos lados)


187

Ejercicio 31


⎪⎬⎫

=−

=+

810

22

22

yxyx

Ejercicio 32


⎪⎬⎫

=−

=−

723053

22

22

yxyx

(Ayuda: Reducción)

6.5 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Son sistemas similares a los de dos ecuaciones, pero, si no tienes cuidado, puedes meterte en un círculo de operaciones con difícil salida.

(Ayuda: Calcula x2 por reducción)


188

El método general para resolverlos es:

1. Despejar una incógnita cualquiera (siempre escogemos la más sencilla de despejar) de una ecuación cualquiera.

2. Sustituir esa incógnita en las otras dos ecuaciones aún sin utilizar. 3. Agrupar términos semejantes y observar que se trata de un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas. 4. Resolver este sistema por un método cualquiera (obteniendo dos de las tres

incógnitas). 5. Obtener el valor de la tercera incógnita (que fue la primera que despejamos)

sustituyendo los valores de las otras dos (ya conocidos) en cualquier ecua-ción.

6. Comprobar las soluciones.

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+−=−−

42523

zyxzyxzyx

Despejamos x de la primera ecuación: ( )13 zyx ++= ; y la sus-

tituimos en las otras dos ecuaciones:

( )( ) ⎭

⎬⎫

=++++=+−++

423532

zyzyzyzy

; se opera: ⎭⎬⎫

=+−=+

=⎭⎬⎫

=++++=+−++

13213

4235226

zyzy

zyzyzyzy

;

Una vez conseguido el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se resuelve por alguno de los métodos tradicionales. En este caso elegimos reducción; multiplicamos la primera ecuación por (-1):

;13213)2(

⎭⎬⎫

=+=−−

zyzy

al sumar ambas ecuaciones obtenemos: 2y = ; desandando el

camino despejamos primero z y por último x (que fue la primera incógnita que despe-jamos). Sustituyendo el valor de y en (2) obtenemos la z:

zz 33;132 =−=−− ; 1z = − . Por último, despejando los valores de y y de z en (1) obtenemos el valor de la x:

123 −+=x ; 4x =

Comprobación de las soluciones: ( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

=−⋅++=−−⋅=+−

41224512423124

Las soluciones son correctas.

Solución del sistema: 4; 2; 1x y z= = = −


189

Ejercicio 33 Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−+=+−=++

865392346325

zyxzyxzyx

Ejercicio 34 Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=−+=+−

237472538432

zyxzyxzyx


190

Ejercicio 35 Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=+−=−+−=+−

13455427

7254

zyxzyxzyx


⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=++=++

268525321

zyxzyxzyx


191


⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=++=−−

1125352243

zyxzyxzyx


⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=++=++

2365125322

zyxzyxzyx


192

6.6 Divertimento matemático: Bichos ¿Qué valor representa cada bicho para que se cumplan todas estas condiciones? Observa atentamente las columnas y ve sacando conclusiones... Fíjate que debe ser sencillo puesto que hay 5 incógnitas pero tienes

¡¡¡11 ecuaciones para elegir!!!

Cada vez que obtengas un valor para un bicho ponlo en la casilla correspondiente. Solución:

= = = = =

Para más información: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 7: Sucesiones

193

El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos.

Joseph Fourier (matemático francés, 1768 – 1830)

Unidad 7: Sucesiones


194

Leonardo de Pisa (1170 – 1250), más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano famoso por la in-vención de la sucesión que lleva su nombre, y que sur-gió como consecuencia del estudio de la reproducción de los conejos.

La sucesión de Fibonacci es una sucesión de números naturales:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…


195


Unidad 7: Sucesiones..................................................................................................197

7.1 Sucesión de números reales. Término general..................................................197 7.2 Operaciones aritméticas con sucesiones...........................................................199 7.3 Progresiones aritméticas....................................................................................200 7.4 Progresiones geométricas .................................................................................202 7.5 Interpolación ......................................................................................................204

7.5.1 Interpolación aritmética ...............................................................................204 7.5.2 Interpolación geométrica .............................................................................205

7.6 Curiosidad..........................................................................................................206 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Averiguar el término general de una sucesión

− Encontrar cualquier término de una sucesión sabiendo el término general

− Realizar operaciones aritméticas con sucesiones

− Interpolar términos en progresiones aritméticas y geométricas

− Dominar la terminología específica de las sucesiones


− Comprender la notación característica de las sucesiones, relacionando el sub-índice de un término con la posición que el término en la sucesión. (C2)

− Reconocer sucesiones o progresiones que se dan en nuestro entorno y ser ca-paz de interpretarlas con las herramientas matemáticas adecuadas. (C2, C3)

− Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales asumidos por nuestra sociedad (C2, C5).


196


− Encuentra el término general de una sucesión de números de la cual se cono-

cen algunos de sus términos

− Calcula el valor de otros términos que, en principio, sean desconocidos

− Calcula el término general de una progresión aritmética

− Calcula el término general de una progresión geométrica

− Interpola términos en progresiones aritméticas y geométricas

− Resuelve situaciones relacionadas con la vida cotidiana, y en las que sea pre-

ciso utilizar las herramientas correspondientes a las progresiones aritméticas y

geométricas


− Sucesión de números: índices y términos

− Término general de una sucesión

− Operaciones con sucesiones: productos de un número por una sucesión, suma

(resta) de dos sucesiones y producto de sucesiones

− Progresión aritmética, término general, diferencia.

− Progresión geométrica, término general, razón.

− Interpolación aritmética y geométrica


− Cálculo del término general y de términos particulares de sucesiones

− Multiplicación de un número por una sucesión

− Suma (resta) de dos sucesiones

− Multiplicación de dos sucesiones (término a término)

− Cálculo del término general y de términos particulares de progresiones aritméti-

cas y geométricas

− Interpolación de términos en progresiones aritméticas y geométricas


197

Unidad 7: Sucesiones

Sucesiones, progresiones, series, ristra de números... pueden considerarse diferentes nombres para un mismo concepto: estu-diar conjuntos de números que siguen reglas determinadas. En este tema averiguaremos y utilizaremos estas reglas.

7.1 Sucesión de números reales. Término general Una sucesión, na , es un conjunto infinito de números reales, una colección de núme-ros dispuestos uno a continuación de otro.

Ejemplo 1: 3, -1, 2’3, 5 , 0, 1/5, π ... Ejemplo 2: -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23 ...

Mientras que en el primer ejemplo no es posible averiguar qué número continuaría la serie (no existe una regla que indique la relación entre los números), en el segundo sí; sería el 27, y después el 31, 35, 39... ya que cada elemento es cuatro unidades mayor que el anterior. Este es el tipo de sucesiones, que siguen un patrón de formación, son las que vamos a estudiar. Más ejemplos:

... 3, 1,1, 3, 5, 7...− − Sucesión de los números impares

5,10,15, 20, 25... Sucesión de los múltiplos de 5

1, 2, 3, 4, 5... Sucesión de números naturales

2, 3, 5, 7,11,13... Sucesión de los números primos Cada uno de los elementos que forman la sucesión se llama término. Los términos de una sucesión se identifican con el nombre de la sucesión y un subíndice que indica el lugar que ocupa cada término dentro de la sucesión.

Ejemplo: dada la sucesión 1, 4, 9,16, 25, 36...na = , el segundo término es: 2 4a = , y

el quinto término es: 5 25a = ; la n del subíndice simboliza cualquier término. El término general de una sucesión es una fórmula que nos permite averiguar cual-quier término de la sucesión.

Ejercicio resuelto

Obtener el término general de la siguiente sucesión: 3, 8,13,18, 23... Podemos proceder de dos maneras: podemos observa lo siguiente: 3 5 2, 8 10 2,13 15 2,18 20 2... 5 2na n= − = − = − = − = − ; o bien:


198


( )3 0 3, 8 5 3,13 10 3,18 15 3... 5 1 3; 5 2n na n a n= + = + = + = + = − + = −

Ejercicio 1 Encuentra el término general de las siguientes sucesiones:

1 1 1 1 1 1) , , , , , ...2 3 4 5 6 7

a

) 0, 3, 8,15, 24, 35...b

1 2 3 4 5 6) 0, , , , , , ...2 3 4 5 6 7

c

Ejercicio 2

En las sucesiones de término general 5 3na n= − , 2nb n= y 2 1

1nncn−

=+

encuentra

lo términos primero, segundo, décimo y vigésimo de cada una de ellas:

Ejercicio 3

Averigua si 2 4 1 11, , , 35 7 3 14

y − son términos de la sucesión de término general 21n

nan−

=+

:


199

Ejercicio 4 Encuentra el término general de las siguientes sucesiones:

) 1, 2, 3, 4, 5, 6...a

) 5, 7, 9,11,13,15...b

) 2, 4, 6, 8, 10, 12...− − − − − −c

) 1 1 1 1 1 1, , , , , ...3 4 5 6 7 8

d

) 1 1 1 1, , , ...3 6 9 12

e

) 1 2 3 4, , , ...3 4 5 6

f

) 1, 8, 27, 64,125, 216...g

) 2 1 4 7 10, , , , ...2 3 4 5 6−h

) 1, 16, 81, 256, 625...− − − − −i

) 1, 1,1, 1,1, 1...− − −j

) 2 4 8 16 32, , , , ...3 9 27 81 243

k

) 1 4 9 16 25, , , , ...2 4 6 8 10− − − − −

l

) 2 , 2 , 2 2 , 4 , 4 2 ...m

) 0 '5,1,1'5, 2, 2 '5...n

) 2, 5,10,17, 26...ñ

7.2 Operaciones aritméticas con sucesiones Son operaciones muy sencillas donde se opera término a término con los elementos de las sucesiones. Ejercicio 5

Dadas las sucesiones de término general 1

nan

= y 2nb n= + , calcula:

( )) 2 na a =

( ) ( )) n nb a b+ = (Sigue → )


200

(Continuación)

( ) ( )) n nc a b⋅ =

( ) ( )) n nd b a− =

Ejercicio 6

Dadas las sucesiones de término general 1

1nan

=+

, 2nb n= y 1nc n= + , calcula:

( ) ( )) n na a b⋅ =

( ) ( )) n nb b c⋅ =

( ) ( )) n nc a c⋅ =

( ) ( ) ( )) n n nd a b c⋅ + =⎡ ⎤⎣ ⎦

7.3 Progresiones aritméticas Aquellas sucesiones cuya diferencia entre dos términos consecutivos se mantenga constante las llamaremos, a partir de ahora, progresiones aritméticas (PA). Su término general se obtiene con la siguiente fórmula:

Término general: ( )1 1na a n d= + − Disponemos de una fórmula más genérica, que relaciona dos términos cualesquiera de una progresión aritmética:

( )n ka a n k d= + −

Ejercicio 7 Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son PA y, en caso afirmativo, hallar la diferencia y el término general:

) 6,11,16, 21, 26a …

) 3, 1, 5, 9b − − − …

) 2, 4, 8,12,16c …

1 1 5) 1, , , 1,3 3 3

d − −− …


201

Ejercicio 8 Estudia si las siguientes sucesiones son PA, y, en caso afirmativo, halla su término ge-neral:

) 8, 5, 2, 1, 4a − − …

) 4, 8,16, 32, 64b …

) 6,10,14,16, 20c …

) 7, 7, 7, 7, 7d …

Recuerda que la fórmula que determina el término general de una sucesión aritmética es eso, una fórmula; si en un ejercicio conocemos tres de los cuatro datos que intervie-nen en ella, podremos obtener fácilmente el cuarto dato sin más que despejar conve-nientemente la incógnita. Ejercicio 9 El décimo término de una PA es 45 y diferencia es 4. Halla el primer término y el térmi-no general Ejercicio 10 Hallar el número de términos de una progresión aritmética si el primer término es 8 y el último 83, siendo la diferencia 3. Ejercicio 11 El término quinto de una progresión aritmética es 13'5 , y el octavo es 18'6 . Calcular el primero y la diferencia. Ejercicio 12 Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, ¿cuánto mide cada uno?


202

Ejercicio 13 Halla el primer término, la diferencia y el término general de una sucesión aritmética

a) donde el tercer término es 15 y el quinto 23

b) donde el tercer término es 24 y el décimo 66 Ejercicio 14 Halla el número de término de una sucesión aritmética donde

a) d=3, 1 7a = y el último término es 25

b) d=2, 1 5a = − y el último término es 66

7.4 Progresiones geométricas Una sucesión que obtiene cada término a partir del anterior multiplicándolo por un nú-mero fijo, llamado razón, será una progresión geométrica (PG). Su término general se obtiene con la siguiente fórmula:

Término general: 1

1n

na a r −= ⋅ Disponemos de una fórmula más genérica, que relaciona dos términos cualesquiera de una progresión aritmética:

n kn ka a r −= ⋅

Ejercicio 15 Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son PG y, en caso afirmativo, hallar la razón y el término general:

1 1) , , 1, 2, 44 2

a …

) 3, 3, 3, 3, 3b − − …

) 0 '1, 0 '01, 0 '001, 0 '0001, 0 '00001,c …

) 1, 3, 5, 7, 9d … Procedimiento para averiguar si una progresión es geométrica:


203

Ejercicio 16 Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son PG y, en caso afirmativo, hallar la razón y el término general:

) 2, 4,12, 24…a

) 1 ,1, 4,16, 644

…b

) 2 2 22, , ,3 9 27

…c

) 4 8 16 322, , , , ,3 9 27 81

…d

) 1, 2, 4, 8,16,− − …e

) 12, 20, 28, 36, 44…f

Ejercicio 17 En una PG el quinto término es 32, y la razón es 2. Halla el primer término y el término general, es decir, 1 na y a . Ejercicio 18

En una PG el quinto término es 6 y la razón, 14

. Halla el primer término y el término

general. Ejercicio 19

Sabiendo que el séptimo término de una PG es 1, y la razón, 12

, halla el primer término

y el término general.


204

Ejercicio 20

En una PG el tercer término es 227

y la razón es 13

. Halla el primer término y el término

general, es decir, 1 na y a .

7.5 Interpolación Etimológicamente quiere decir intercalar o interponer algo (números en nuestro caso) entre dos polos o extremos (otros dos números). De nuevo, debemos diferenciar la interpolación aritmética de la interpolación geométri-ca, ya que se aplican, como ya sabes, diferentes fórmulas, pero el procedimiento es similar.

7.5.1 Interpolación aritmética En este caso los números a intercalar se llaman medios aritméticos. El procedimiento consiste en identificar los medios aritméticos y los extremos como una PA, donde se conoce el primero de los términos, el último y la cantidad de elementos (medios aritméticos más dos). Finalmente, utilizando la fórmula para obtener el término general de una PA, se despeja la diferencia. Ejercicio 21 Interpola cinco medios aritméticos entre 7 y 25. Ejercicio 22 Interpola dos medios aritméticos entre -2 y -11.


205

Ejercicio 23 Interpola cinco medios aritméticos entre 6’7 y 7’6:

7.5.2 Interpolación geométrica En este caso los números a intercalar se llaman medios geométricos, y el procedimien-to es similar al caso anterior. Ejercicio 24 Interpola cuatro medios geométricos entre 2 y 64:

Ejercicio 25 Interpola tres medios geométricos entre 3 y 48:


206

7.6 Curiosidad Entre las PA y las PG hay una diferencia fundamental: estas últimas “crecen” mucho más deprisa que las primeras. Se considera un folio (con un espesor de 0’14 mm) y sucesivos dobleces del papel:

Número de dobleces

Número de hojas Sucesión Grosor

0 1 02 0 '14 mm 1 2 12 10 '14 2 0 '28mm mm× = 2 4 22 20 '14 2 0 '56mm mm× = 3 8 32 30 '14 2 1'12mm mm× = 4 16 42 40 '14 2 2 '24mm mm× = ... ... ... ...

No podemos conseguir físicamente más de 7 u 8 dobleces con el papel, pero calcule-mos el grosor que obtendríamos tras el décimo doblez:

10 1024 102 100 '14 2 143'36 14 '336mm mm cm× = =(El libro más grueso que podamos tener en la biblioteca medirá menos...)

22 ? 222 220 '14 2 587mm m× = (Supera la altura de la torre Eiffel 350 m= )

26 ? 262 260 '14 2 9 '4mm km× = (Supera la altura del Everest 8'85 km= )

42 ? 422 420 '14 2 615 000mm km× = (La distancia de la Tierra a la Luna está entre 350 000 400 000km y km ) 50 ? 502 500 '14 2 157mm millones de km× =

(Distancia de la Tierra al Sol 150 millones de km= ) Podrás encontrar más información sobre las sucesiones en numerosas páginas de In-ternet; aquí te ofrecemos algunas: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/ac_sucesiones/index.htm http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Progresiones/index.htm http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Sucesiones.htm http://www.explora.cl/otros/metro/fibonacci.html

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 8: Funciones I. Estudio

207

Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura,

sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza ... Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1970)

Unidad 8: Funciones I.

Estudio


208

Al igual que el próximo tema, utilizaremos programas para representar funciones y po-de visualizar mejor sus características


209


Unidad 8: Funciones I. Estudio....................................................................................211

8.1 Funciones ..........................................................................................................211 8.2 Dominio y recorrido............................................................................................213

8.2.1 Formas de representar los resultados .........................................................214 8.2.2 Dominio y recorridos de funciones dadas por su gráfica .............................214 8.2.3 Dominio y recorridos de funciones dadas por su fórmula............................215

8.3 Puntos de corte con los ejes ..............................................................................217 8.4 Resto de parámetros..........................................................................................221

8.4.1 Crecimiento .................................................................................................221 8.4.2 Puntos máximos y mínimos (absolutos y relativos) .....................................224 8.4.3 Continuidad .................................................................................................226 8.4.4 Simetría .......................................................................................................228 8.4.5 Periodicidad.................................................................................................229

8.5 Ejercicios de la unidad .......................................................................................231 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Saber qué son las funciones

− Utilizar el vocabulario propio de las funciones

− Relacionar las distintas formas de representar una función

− Conocer los elementos básicos en la representación de funciones

− Conocer la caracterización de las funciones: dominio, recorrido, puntos de corte, crecimiento, continuidad, simetría y periodicidad

− Leer e interpretar gráficas de problemas relacionadas con la vida cotidiana

− Determinar cuando una gráfica es o no una función


− Conocer y manejar todos los tipos de relaciones entre magnitudes, tablas grafi-cas y ecuaciones. (C2)

− Entender que una grafica es la relación entre dos conjuntos de magnitudes re-presentados en cada uno de los ejes. (C2, C5, C7)

− Aplicar los conocimientos sobre funciones para investigar y resolver problemas que surjan de la vida real. (C2, C3, C7)


210


− Interpreta la gráfica de una función mediante el estudio del dominio y recorrido, continuidad, crecimiento, sus valores máximos y mínimos absolutos y relativos, simetrías respecto al eje de ordenadas y al origen de coordenadas y periodicidad

− Determina el dominio, recorrido y puntos de corte de funciones dadas a través de una fórmula

− Determina cuando una gráfica es o no una función

− Interpreta la relación funcional, expresada mediante una tabla o gráfica, de fe-nómenos relacionados con las matemáticas, u otras ciencias

− Obtiene la ecuación que relaciona dos magnitudes relacionadas con situacio-nes matemáticas, con otras ciencias o con la vida cotidiana. Utiliza dicha ecua-ción para obtener informaciones relativas a esa situación


− Relación expresada mediante una tabla, por una gráfica o a través de una fórmula

− Variable independiente y dependiente

− Lectura de gráficas

− Dominio y recorrido

− Puntos de corte

− Continuidad

− Crecimiento y decrecimiento, función constante

− Máximos y mínimos, absolutos y relativos

− Simetrías de una función respecto del eje de ordenadas y del origen

− Funciones periódicas, período


− Obtención de información a través de la interpretación (lectura) de relaciones expresadas mediante tablas, gráficas o fórmulas

− Obtención e interpretación del dominio y recorrido y puntos de corte de una función expresada mediante una gráfica o una fórmula en casos sencillos

− Aplicación de la definición de función para averiguar cuando una gráfica co-rresponde con una función

− Estudio de la continuidad y del crecimiento, de los puntos máximos y mínimos (absolutos y relativos) de una función expresada mediante una gráfica

− Estudio de las simetrías respecto del eje de ordenadas y del origen de coorde-nadas y periodicidad de una función expresada mediante gráficas


211

Unidad 8: Funciones I. Estudio

Las funciones, y su estudio, constituyen un bloque fundamental de la asignatura en ESO y en Bachillerato. Se utilizan en muchas ma-terias (Geografía, Estadística, Física...), por eso es importante que aquí aprendamos los elementos que las definen. Primero conoce-remos sus características principales (dominio, recorrido, puntos máximos...) para después, aplicarlos en el estudio de una grafica ya hecha. En el próximo tema dibujaremos varios tipos de funcio-nes y pondremos en práctica lo aprendido aquí.

8.1 Funciones Función: relación en entre dos magnitudes, de modo que a cada valor de una de ellas (x) le corresponde un determinado valor de la otra (y). Esta relación puede venir expresada de tres formas diferentes:

− una fórmula; ejemplos: 3+= xy ; 32 += xy ; 31+

=x

y ; 3+= xy ;

( )3cos3 +⋅= + xey x

− una tabla de valores; ejemplos:

− una gráfica; ejemplos:

X Y

-3 0

-2 1

-1 2

0 0,5

1 1

2 1,5

Tiempo (minutos) 0 1 2 3 4 5

Temperatura (º C) 20 24 28 32 36 40

X -8 -7 -3 -1 1,75

Y 0,02 0,12 1 3’075 4,346


212

En la página anterior, quinta fórmula, la tercera tabla (segunda horizontal) y la gráfica, corresponden a la misma función. Utilizaremos, principalmente las funciones dadas por fórmulas y por gráficas. En realidad, ya conoces y has utilizado estas tres formas: cuando resolvíamos sistemas de ecuaciones de forma gráfica en el tema anterior, en primer lugar despejábamos la y (fórmula); después nos inventábamos los valores de las x... (tabla de valores) y, por último, dibujábamos y uníamos los puntos (gráfica). La variable x se le llama variable independiente, y a la variable y, dependiente. Fíjate en la definición de función que dábamos al principio de este apartado. Ejercicio 1 ¿Por qué está subrayada la palabra “un”? Ejercicio 2 Determina qué gráficas corresponden a una función. ¿Por qué?:


213

Ejercicio 3 Invéntate una gráfica que no corresponda con una función Invéntate una tabla que no corresponda con una función Invéntate una fórmula que no corresponda con una función

8.2 Dominio y recorrido El dominio de definición, o simplemente dominio, es el conjunto de valores de x váli-dos; son los valores de x que podemos dar a la función. Al igual que con el recorrido, estudiaremos estas características en funciones dibujadas (más sencillo) y en funcio-nes dadas por una fórmula. Pero antes veamos dos ejemplos: 3+= xy : el dominio de esta función, es decir, los valores que podemos darle (o que la x puede valer) es ℜ ; la variable x puede tomar cualquier valor, no hay nin-guna restricción.

3+= xy : el dominio de esta función, sin embargo, no es ℜ . Existen varios (en realidad, infinitos) valores que no podemos dar. Supón que la vamos a representar, y necesitamos una tabla de valores. Completa la siguiente tabla:

X 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

y


214

Observa qué pasa para valores de x inferiores a -3: ¡no se pueden calcular!

8.2.1 Formas de representar los resultados Para escribir el dominio de una función: valores de X válidos escribiremos yDom ,

fDom ; D(f) o también )(xfDom , (se lee: dominio de efe de equis). Y para el recorrido escribiremos yRec ; fRec o ( )xfRec . Al escribir la solución podremos utilizar:

1. el conjunto de los números reales, el conjunto modificado, conjuntos con algún elemento añadido o con algún elemento menos, ejemplos:

{ } { }…3,2,0, −−ℜ+ℜℜ + 2. intervalos abiertos o cerrados, ejemplos: [ ) ( ) [ ]…1,1;2,1;,7 −∞−

8.2.2 Dominio y recorridos de funciones dadas por su gráfica Es la forma más sencilla de obtenerlos. Para el dominio, debes recorrer el eje X con la vista, de izquierda a derecha, como si tuvieses un escáner. De esta manera podrás determinar para qué valores de x existe función, y para cuales no. Para el recorrido, el procedimiento es similar, pero para el eje Y. En este caso, reco-rrerás con la vista la gráfica de abajo a arriba. Deberemos prestar especial atención cuando la gráfica presente saltos, cuando co-mience o acabe en un lugar determinado, cuando la función no sea negativa...

Ejercicio resuelto

[ )∞= ,2yDom { }0+ℜ= +yRec

ℜ=yDom

ℜ=yRec

(Sigue → )


215


{ }3−−ℜ=yDom { }0−ℜ=yRec

Ejercicio 4 Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones que vienen expresadas a través de su gráfica:

Función Dominio Recorrido

8.2.3 Dominio y recorridos de funciones dadas por su fórmula

En el ejemplo que vimos al principio de este apartado 3+= xy , el dominio es: [ )∞−= ,3yDom ; y el recorrido: [ )∞= ,0yRec .


216

Para hallarlos distinguiremos dominio de recorrido:

− Cálculo del dominio: debes sustituir mentalmente varios valores de x y compro-bar si existen problemas de definición. Estos problemas sólo serán de dos ti-pos:

o divisiones por cero o cálculo de raíces de índice par y radicandos negativos

- Cálculo del recorrido: debes imaginar que valores va a tomar la y en función de los valores de la x. Te será útil responder a estas preguntas: ¿la y puede valer cero? ¿puede ser negativa? ¿para qué valores? ¿y positiva? ¿la función está acotada?

Ejercicio 5 Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones que vienen expresadas a través de su fórmula:

Función Dominio Recorrido

2+= xy

61−

=x

y

xy

+=

41

3 xy =

3 2−= xy

3+= xy

418x

y −=

xy 1=

32−

=xy


217

8.3 Puntos de corte con los ejes Al igual que con los dominios y recorridos, se puede tener una visión distinta según la función esté dibujada o venga dada por una fórmula. Desde el punto de gráfico, un punto de corte es el punto (x, y) de la función que pasa por alguno de los ejes de coordenadas; distinguiremos, por tanto, los puntos de corte con el eje X de los del eje Y. Ejemplo: Los puntos de corte de esta función son los señalados con un punto más grueso: (-1, 0) y (0, 2). Ejercicio 6 ¿Qué tienen de particular estos puntos respecto a otros puntos cualesquiera de la fun-ción? Desde el punto de vista de las fórmulas de funciones, son puntos donde la x o la y se anulan. También aquí distinguiremos el cálculo de los puntos de corte para funciones dibujadas y para funciones dadas por su fórmula. Cómo calcular los puntos de corte:

1. Si nos dan la gráfica dibujada sólo deberemos indicar los puntos (con coordena-das x e y) donde la gráfica corte o toque a cada uno de los ejes.

2. Si nos dan la función mediante una fórmula deberemos resolver dos sencillas ecuaciones:

• Primero, igualaremos la x a cero (x = 0), y obtendremos los puntos de corte con el eje Y.

• Segundo, igualaremos la y a cero (y = 0), y obtendremos los puntos de corte con el eje X.

Ejercicio resuelto

Función Puntos de corte con el eje X Puntos de corte con el eje Y

4+= xy

Hacemos 0=y , y sustituimos en la ecuación: 40 += x ; con lo que 4−=x . El único punto de corte es el punto ( )0,4−

Hacemos 0=x , y sustituimos en la ecuación: 40 +=y ; con lo que 4=y . El único punto de corte es el punto: ( )4,0

El único punto de corte es: ( )0,4−

El único punto de corte es:

( )4,0 (Sigue → )


218



432 −+= xxy

Hacemos que la y sea cero, con lo que obtenemos una ecuación de 2º grado comple-ta, 430 2 −+= xx que re-solvemos con la fórmula. Las soluciones son 4−=x ;

1=x y, por tanto, los puntos de corte son: ( )0,4− ; ( )0,1

Hacemos que la x sea cero, con lo que 40302 −⋅+=y

El punto de corte es: ( )4,0 −

La gráfica (parábola) tiene dos puntos de corte con el eje X:

( )0,4− ; ( )0,1

Existe un único punto de cor-te con el eje Y:

( )4,0 −

2−= xy

Hacemos 0=y , sustituimos

en la ecuación: 20 −= x ; con lo que 2=x . El único punto de corte con el eje X es el punto: ( )0,2

Hacemos 0=x , sustituimos

en la ecuación: 20 −=y ; con lo que. queda una raíz que no se puede resolver en el campo real. No existe pun-to de corte con el eje Y.

El único punto de corte es: ( )0,2

No hay. La gráfica no corta en ningún punto al eje Y.

Ejercicio 7 Calcula en todos los casos los puntos de corte de cada función


2+= xy

36−

=x

y (Sigue → )


219

(Continuación)


xxy 52 −=

xy 1=

3 8−= xy

7−= xy

42 += xy

3 3 27−= xy

(Sigue → )


220

(Continuación)


92 −= xy

42 −= xy

352 2 +−= xxy

Ejercicio 8 ¿Cuál es el número mínimo y máximo de puntos de corte que puede tener una función... ... respecto al eje X? ... respecto al eje Y? Ejercicio 9 Determina el dominio, el recorrido y los puntos de corte del eje X y del eje Y para la si-guiente gráfica:

Dominio: Recorrido: Puntos corte eje X: Puntos corte eje Y:


221


Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

2xy =

xy 1=

5=y

3+= xy

3xy =

21−

=x

y

xy cos=

2−= xy

42 −= xy

xy

−=

31

0=y

xy π=

8.4 Resto de parámetros Comenzamos con ese apartado la parte visual e intuitiva (y más sencilla) del tema. To-dos los conceptos que se tratarán a partir de ahora no requerirán cálculos, tan sólo se-rá necesario tener la función dada en forma gráfica.

8.4.1 Crecimiento Una gráfica puede crecer, decrecer o mantenerse constante, dentro de la misma fun-ción, durante ciertos intervalos. También existen funciones que sólo crecen (decrecen), y se llaman monótonas crecientes (decrecientes).


222

Con frecuencia (incluso en el título del apartado) hablaremos de crecimiento en el sen-tido genérico del término, incluyendo al crecimiento propiamente dicho, al decrecimien-to y al mantenimiento constante de la función. La forma de representar el crecimiento de una función es a través de intervalos abier-tos.

Una función es creciente (decreciente) en un intervalo si al aumentar la variable dependiente, x, aumenta (disminuye) la variable dependiente, y. Dicho con poco rigor matemático, una gráfica crece (decrece) cuando la dibujamos hacia arriba (abajo). Esta gráfica es la de la función 24 63 xxy −= , y po-demos observar que nunca se mantiene constante, crece o decrece. Importante: en la idea de crecimiento, siempre hay

que dar los valores de la x, para los cuales la función, la y, crece o decrece.

Ejercicio resuelto

Estudia el crecimiento de la anterior función: La gráfica decrece en: ( ) ( )1,01, ∪−∞− , y crece en ( ) ( )∞− ,10,1 ∪ En el ejercicio anterior también podríamos haber dicho: la gráfica decrece en: ( ) ( )1,01, ∪−∞− , y crece en todos los demás puntos del domi-nio. El hecho de considerar intervalos abiertos en lugar de cerrados obedece a dos conside-raciones:


223

Ejercicio 11 La siguiente gráfica informa sobre la velocidad del viento a lo largo de un día. Determi-na el crecimiento de esta función:

Velocidad del viento

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24tiempo (h)

velo

cida

d (k

m/h

)

Ejercicio 12 Determina el crecimiento de esta función:


224

8.4.2 Puntos máximos y mínimos (absolutos y relativos) Son puntos, pertenecientes a la función, por tanto, deben estar incluidos en el dominio y el recorrido. Un punto (x, y) es máximo absoluto (mínimo absoluto) si todos los valores que toma la función son menores (mayores) que él. Un punto (x, y) es máximo relativo (mínimo relativo) si los valores próximos a él son menores (mayores) que el punto. El máximo (mínimo) absoluto, si existe, será único. Ejercicio 13 Dada la siguiente tabla de valores, representa la función, y da toda la información posi-ble sobre los puntos máximos y mínimos de la función: Distancia Altitud

0 600 25 700 50 800 75 300

100 600 125 900 150 1200 175 600 200 1500 225 900


225

Ejercicio 14 Da toda la información posible sobre los puntos máximos y mínimos de esta función:

Una función puede no tener máximos ni mínimos. Ejercicio 15 Invéntate cuatro funciones de forma gráfica que no tengan máximos ni mínimos:


226

Ejercicio 16 Observa la siguiente gráfica y responde:

a) Dominio de definición

b) Recorrido

c) Puntos de corte con los ejes

d) Intervalo de crecimiento

e) Intervalo de decrecimiento

f) Puntos máximos y mínimos

a) b)

c) d)

e) f)

8.4.3 Continuidad Dicho, de nuevo, con poca rigurosidad matemática y con mucha idea intuitiva, una grá-fica es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. El concepto contrario al de continuidad es el de discontinuidad. Podemos pensar en las líneas discontinuas y continuas de la carretera que permiten adelantar o no, respecti-vamente. Una gráfica no es continua cuando presenta saltos, huecos, puntos aislados...

Si nos preguntan sobre la continuidad de esta función, podremos responder de dos mane-ras:

− la función no es continua − la función es continua en todos los

puntos del dominio excepto para x=1 La segunda respuesta da mucha más infor-mación sobre la gráfica que la primera.


227

Ejercicio 17 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

Ejercicio 18 Cuando una alumna estuvo enferma, le tomaban la temperatura cuatro veces al día, obteniéndose el diagrama siguiente:

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24

lunes martes miércoles

a) ¿Tiene sentido unir dichos puntos?, ¿es continua la función? b) ¿Qué día y a qué hora tuvo la temperatura máxima?, ¿y la mínima? c) ¿Cuáles son los intervalos en los que la fiebre crecía?, ¿y cuándo decrecía?


228

Ejercicio 19 ¿Una gráfica puede tener como dominio ℜ y ser discontinua? Invéntate una gráfica que confirme tu respuesta. Y si su recorrido es ℜ ¿puede ser discontinua? Invéntate una gráfica que confirme tu respuesta.

8.4.4 Simetría De nuevo trataremos este aspecto de las funciones de forma intuitiva (el año que viene se tratará la simetría para funciones dadas por fórmula). Vamos a ver tres tipos de simetría:

− simetría respecto del eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones pares. Ejemplos:

32 +−= xy 4

32 −

=x

y


229

− simetría respecto del origen de coordenadas. A las funciones que tienen es-

te tipo de simetría se es llama funciones impares. Ejemplos:

xxy 32 +

= 3xy =

− simetría respecto una línea vertical. En este último caso indicaremos cuál es

el eje de simetría. En la primera gráfica el eje de simetría es x=3; en el segundo ejemplo es x=2.

xxy 62 −= 21−

−=x

y

8.4.5 Periodicidad Existen muchos fenómenos en la naturaleza que se repite con un cierto período:

− la posición de las agujas de un reloj − las posiciones por las que pasa un péndulo

Función coseno: xy cos=

Su periodo, T, es π2 .

La veremos en 4º de ESO.


230

Gráfica de la posición de las agujas de un reloj

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta

Ejercicio 20 Inventa cuatro gráficas de funciones que cumplan estas condiciones:

Función no simétrica ni periódica Función simétrica pero no periódica

Función periódica pero no simétrica Función simétrica y periódica


231

8.5 Ejercicios de la unidad Ejercicio 21 Realiza un estudio de la siguiente función:

a) Dominio: e) Intervalos de crecimiento:

b) Recorrido: f) ¿Es continua?

c) Puntos de corte con los ejes: g) ¿Es periódica?

d) Puntos máximos y mínimos: h) ¿Es simétrica?


Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

42 −= xy

xy

−=

31

4−=y

xy 2=


232

Ejercicio 23 La siguiente figura muestra la gráfica de la distancia de un alumno a su casa a partir de un momento dado:

Paseo hasta casa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

Horas del día (h)

Dis

tanc

ia a

cas

a (k

m)

a) ¿En qué intervalos se alejó de casa? b) ¿En qué intervalo estuvo parado? c) ¿Cuándo se estuvo acercando? d) ¿Tiene esto algo que ver con el crecimiento de la función? e) ¿Cuándo fue más deprisa? f) ¿A qué velocidad regresó desde la última vez que se detuvo?


233

En la actividad 5 completaste una tabla de dominios y recorridos de fórmulas de funcio-nes. Para que puedas comprobar visualmente los resultados, ahora las puedes ver di-bujadas.

Función Gráficas Dominio / Recorrido

ℜ=yDom

2+= xy

ℜ=yRec

{ }6−ℜ=yDom

61−

=x

y

{ }0−ℜ=yRec

{ }4−−ℜ=yDom

xy

+=

41

{ }0−ℜ=yRec

ℜ=yDom

3 xy =

ℜ=yRec


234

Función Gráficas Dominio / Recorrido

ℜ=yDom

3 2−= xy

ℜ=yRec

[ )∞−= ,3yDom

3+= xy

[ )∞= ,0yRec

( )∞= ,0yDom

418x

y −=

( )8,∞−=yRec

( )∞= ,0yDom

xy 1=

( )∞= ,0yRec

ℜ=yDom

32−

=xy

ℜ=yRec

Dirección web para consultar más información: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Estudio_grafico_caracterisiticas_globales_funcion/index.htm

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 9: Funciones II. Representación

235

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos,

es debido a que están hechos de ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos.

La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas.

G. H. Hardy (matemático británico, 1877 – 1947)

Unidad 9: Funciones II.

Representación


236

En este tema utilizaremos varios programas de ordenador para dibujar funciones, y la

calculadora gráfica


237


Unidad 9: Funciones II. Representación......................................................................239

9.1 Funciones lineales .............................................................................................239 9.1.1 Dibujo de rectas a través de su pendiente y la ordenada en el origen ........239 9.1.2 Ecuación de la recta dada por su representación gráfica............................241 9.1.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos............................................244

9.2 Funciones parabólicas .......................................................................................246 9.2.1 Aplicaciones de las parábolas en la vida práctica .......................................246 9.2.2 Pasos para dibujar una parábola.................................................................247

9.3 Funciones definidas a trozos .............................................................................251 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Dibujar funciones lineales

− Obtener la ecuación de una recta dibujada

− Dibujar funciones cuadráticas (parábolas)

− Conocer aplicaciones de las parábolas en la vida cotidiana

− Dibujar funciones definidas a trozos

− Conocer las características básicas de estas funciones


− Distinguir la relación entre las magnitudes en los casos de funciones lineales y afines, reconociendo las características pendiente y ordenada en el origen de estas rectas (C2)

− Reconocer los elementos principales en el estudio de las funciones cuadráticas y conocer su representación y aplicaciones. (C2, C4, C5).


238


− Utiliza las funciones lineales y cuadráticas para resolver situaciones matemáti-cas relacionadas con las propias matemáticas, las otras ciencias o la vida coti-diana

− Representa funciones lineales y cuadráticas utilizando diversas técnicas: cálcu-lo de puntos y de elementos que las definen, tales como la pendiente de una recta o el vértice de una parábola, utilizar la ecuación de la recta...

− Obtiene puntos de corte de dichas gráficas − Representa funciones definidas a trozos


− Funciones lineales − Pendiente de una recta − Ordenada en el origen de una recta − Pendiente de dos rectas paralelas − Ecuación de la recta que pasa por dos puntos − Función cuadrática − Vértice de una parábola, coordenadas − Eje de simetría de una parábola − Puntos próximos al vértice − Funciones definidas a trozos


− Obtención de puntos de una recta conociendo su ecuación − Obtención de la ecuación de una recta conociendo dos puntos − Comprobación de si los valores de una tabla son correspondientes a una fun-

ción lineal − Obtención de la pendiente y la ordenada en el origen de una recta que está de-

finida por su ecuación − Obtención de la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente o

dos puntos − Representación de rectas − Identificación de fórmulas asociadas a sus gráficas − Obtención de rectas paralelas − Obtención de puntos de una parábola conociendo su ecuación − Representación de parábolas mediante el cálculo de las coordenadas de su

vértice, puntos de corte y las coordenadas de puntos simétricos respecto al eje de simetría

− Representación de funciones definidas a trozos


239

Unidad 9: Funciones II. Representación

Este tema es la continuación lógica del anterior. Una vez que ya sabemos generalidades de las funciones, que sabemos analizar en profundidad las funciones dadas por su gráfica, y que podemos analizar, en menor medida, las funciones que vienen dadas por una fórmula, llega el turno de particularizar: conoceremos, princi-palmente, dos tipos de funciones: las rectas y las parábolas. Podr-íamos decir que el tema 8 constituye la teoría de las funciones y que el tema 9, la práctica.

9.1 Funciones lineales En la unidad anterior ya aprendiste a dibujar líneas rectas que respondían a esta ecuación:

( )1= + Ecuacióny mx n Utilizaste la técnica de dar valores utilizando una tabla. Ahora aprenderemos una nueva forma de dibujar rectas mucho más rápida.

9.1.1 Dibujo de rectas a través de su pendiente y la ordenada en el origen En la fórmula anterior, la m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen. Comprueba la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:

121 +−= xy

32 += xy

233 −−

=xy

14 −= xy


240

Ejercicio 1 Anota las conclusiones que saques del ejercicio anterior: Ejercicio 2 Determina la pendiente y la ordenada de las siguientes rectas y represéntalas:

Pendiente Ordenada

42 += xy

xy 3=

32−=

xy

xy 32−−=

Ejercicio 3 ¿Qué debe cumplir la ordenada en el origen de una recta para que pase por el origen de coordenadas? Ejercicio 4

Dada la recta 3 5= +y x escribe dos rectas más que sean paralelas a ella y otras dos que no lo sean.


241

9.1.2 Ecuación de la recta dada por su representación gráfica Deberemos obtener dos datos: la pendiente de la recta, y la ordenada en el origen (es decir, el punto (0,a), siendo a la coordenada y cuando la x es cero). Utilizaremos un método gráfico para obtener la pendiente, puesto que son rectas que tenemos dibujadas. Observa los ejemplos:

Ejercicio 5 Obtén la pendiente de las siguientes rectas:

)a

)b

)c


242

Respecto de la ordenada (que es la n de la Ecuación 1, mira al principio del tema), sólo deberéis apuntar la y del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas (el vertical).

Ejercicio resuelto

Escribe la ecuación de la recta representada.

Ejercicio 6 Asocia cada una de las rectas r, s, t, p y q a una de las ecuaciones que aparecen debajo:

13−

=y x 3 12

= +y x 25

=y x 2 25

= +y x 2= −y


243

Ejercicio 7 Escribe la ecuación en forma general y mx n= + de las siguientes rectas:

)a y = )b y = )c y =

)d y = )e y = )f y =

Ejercicio 8 Escribe la ecuación en forma general y mx n= + de las siguientes rectas:


244

Ejercicio 9 Escribe la función correspondiente a estas rectas:

=ya)

=yb)

=yc)

=yd )

9.1.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Imaginemos dos puntos ( )11, ba y ( )22 , ba que pertenezcan a una recta. Buscamos una expresión así: nmxy += , pero sin las incógnitas m y n. Si el primer punto pertenece a la recta entonces cumplirá su ecuación: namb +⋅= 11 , que es una ecuación con dos incógnitas. Afortunadamente, disponemos de otro punto con el que hacer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolveremos por alguno de los métodos conocidos.

Ejercicio resuelto

Calcula la ecuación de la recta que pasa por ( )4,1− y ( )8,2 − :

Formamos el sistema y resolvemos: ( )

⎭⎬⎫

−=+=+−

⎭⎬⎫

+⋅=−+−⋅=

824

2814

nmnm

nmnm

Podemos resolver fácilmente este sistema multiplicando una de las ecuaciones por (-1)

y aplicar reducción: Solución: 0;4 =−= nm , y la ecuación es: 4y x= −

Puedes comprobar estos resultados viendo la recta dibujada. Es la actividad b del ejer-cicio anterior.


245

Ejercicio 10 Calcula la ecuación de la recta...

a) ... que pasa por ( )1,1 −− y ( )5,1 : b) ... que pasa por ( )4,1 −− y tiene de pendiente 2: c) ... que pasa por ( )2,1 − y ( )2,3− : d) ... que pasa por ( )1,1− y su ordenada en el origen es 3: Ejercicio 11 Se da la siguiente tabla: Representa estos puntos en un sistema de coordenadas y escribe la ecuación de la función:

x ... -1 0 1 2 3 ... y ... -3 -1 1 3 5 ...


246

9.2 Funciones parabólicas Para abreviar las llamaremos, simplemente, parábolas. Se trata de una curva muy es-pecial, y con muchas aplicaciones en la vida cotidiana debido a una propiedad que cumplen este tipo de curvas. Son funciones polinómicas de grado 2. Fórmula general: cbxaxy ++= 2 . Ejemplos:

2xy = 22 −= xy 742 ++= xxy 132 ++−= xxy 33 2 −= xy

Características de las parábolas:

− El signo del coeficiente “a” marca que las ramas vayan hacia arriba o hacia abajo.

− Cuanto mayor sea el valor de “a” más estrechas son las ramas.

9.2.1 Aplicaciones de las parábolas en la vida práctica Vamos a hablar de dos aplicaciones que tienen las parábolas en actos cotidianos: las antenas parabólicas y los faros de los coches. Antenas parabólicas Faros de los coches


247

9.2.2 Pasos para dibujar una parábola

1. Cálculo del vértice: el vértice es el punto más alto o más bajo de una parábo-la. En el primer ejemplo (al principio de la unidad) el vértice es el punto ( )0,0 ; en el segundo ejemplo, el punto ( )2,0 − , y en el tercero, ( )3,2− .

La coordenada x del vértice se calcula así: abVx 2

−=

Esta fórmula debe sonarte ya que es la forma de resolver las ecuaciones de segundo grado completas, pero sin la parte de la raíz.

La coordenada y del vértice se calcula sustituyendo el valor de xV en la función.

2. Puntos de corte con los ejes: ya hemos estudiado la forma de obtenerlos.

3. Se calculan puntos cercanos al vértice: podemos dar valores cualesquiera (el dominio de cualquier parábola siempre es ℜ ), pero si los tomas equidistan-tes a xV te ahorrarás mucho trabajo, ya que las parábolas tiene un eje de simetría que pasa por su vértice, y los valores de la y se repiten dos a dos.

4. Representación: una vez calculados todos los puntos de los pasos anteriores, se dibujan en un sistema de coordenadas.

Ejercicio resuelto

Representa la siguiente función: 322 −−= xxy

1. Cálculo del vértice: aplicamos la fórmula abVx 2

−= ; 1

122

=⋅

=xV Por tanto, la coordenada x del vértice es 1. Para hallar la coordenada y, se sustituye el valor calculado en la ecuación original:

431212 −=−⋅−=yV Uniendo este dato con el anterior, nos permite obtener el vértice de la parábola:

( )4,1 −=V 2. Puntos de corte con los ejes:

PCEX (y=0): En este caso 320 2 −−= xx , ecuación de segundo grado que tiene co-mo soluciones 3;1 21 =−= xx ;

Por tanto, la parábola corta al eje X en los puntos ( ) ( )0,30,1 y−

(Sigue → )


248


PCEY (x=0): En este caso 330202 −=−⋅−=y La parábola corta al eje Y en el punto ( )3,0 − 3. Se calculan puntos cercanos al vértice 4. Representación: pasamos toda la información obtenida al sistema de coordenadas, y se unen los puntos, teniendo en cuenta la forma característica que tienen estas funciones:

x y 1 -4 0 -3 2 -3 -1 0 3 0 -2 5 4 5

Ejercicio 12

Representa la siguiente función: 342 +−= xxy 1. 2. 3.

Vértice


249

Ejercicio 13

Representa la siguiente parábola: 562 ++= xxy Ejercicio 14

Representa la siguiente parábola: 42 +−= xy


250

Ejercicio 15

Representa la siguiente parábola: 16621 2 ++= xxy

Ejercicio 16 Dada una fórmula ¿cuándo sabremos que se trata de una parábola? Pon un ejemplo: ¿Cuántos cortes con el eje X puede tener una parábola? Pon un ejemplo haciendo un esbozo de cada tipo: ¿Cuántos cortes con el eje Y puede tener una parábola? Pon un ejemplo haciendo un esbozo de cada tipo: ¿Cuándo una parábola tiene sus ramas hacia arriba? Pon un ejemplo de fórmula: ¿Y hacia la izquierda? ¿De qué depende la anchura de sus ramas? Haz varios esbozos para clarificarlo:


251

9.3 Funciones definidas a trozos Son funciones que están compuestas por trozos de otras funciones. Tienen el aspecto siguiente:

⎪⎩

⎪⎨

⎧<<≤<

=......

??...??...

xsixsi

y

La única novedad es que hay que dibujar cada trozo (recta, parábola...) justo donde esté definida.

Ejercicio resuelto

Representa la siguiente función: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<−

−≤−−= 0

042

442

2 xsixxsi

xsixy

Antes de dibujarla analicemos un poco algunas características de la función:

− está compuesta por tres trozos − el primero es una recta de pendiente negativa y la dibujaremos desde el menos

infinito hasta el -4 inclusive − el segundo es un trozo constante (pendiente 0). Fíjate en los extremos, no exis-

ten, por l que habrá que dibujar círculos abiertos − el tercero es una parábola (la más sencilla; pasa por el ( )0,0 ), y la dibujare-

mos desde el 0 hasta el infinito. A la hora de dibujar sólo nos deberemos fijar en cada trozo y olvidar el resto. Hay que poner especial cuidado en los extre-mos, indicando con un punto grueso o un hueco cuando exista dicho punto o no.


252

Ejercicio 17

Representa la siguiente función definida a trozos: ⎩⎨⎧

≤<+−≤+

=715

13xx

xxy

Ejercicio 18

Representa la siguiente función definida a trozos: ⎩⎨⎧

≥

<+=

0012

2 xsixxsix

y

Dirección web para consultar más información: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Representacion_interpretacion_graficas/index.htm

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 10: Geometría

253

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro,

y el segundo a una piedra preciosa. Johannes Kepler (astrónomo alemán, 1571 – 1630)

Unidad 10: Geometría


254

Mauritis Cornelius Escher nació Leeuwarden, Holanda, en el año 1898.

Artista de gran prestigio famoso por “crear” mundos de “imposible construcción”


255


Unidad 10: Geometría .................................................................................................257

10.1 Fórmulas usadas en geometría plana..............................................................257 10.2 Elementos básicos de geometría en el espacio...............................................258 10.3 Recordatorio del uso de unidades ...................................................................260 10.4 Cálculo de longitudes.......................................................................................260 10.5 Áreas de figuras planas ...................................................................................263 10.6 Áreas y volúmenes de figuras en el espacio....................................................269


− Aplicar el teorema de Pitágoras para medir longitudes

− Utilizar las unidades correctas según el estudio que se realice

− Utilizar fórmulas usuales para obtener longitudes, áreas y volúmenes sencillos

− Calcular perímetros, distancias, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos compuestos

− Utilizar la terminología y notación específica de los cuerpos geométricos


− Aplicar el teorema de Pitágoras a la obtención de medidas de longitudes y áre-as de figuras poligonales y circulares para resolver problemas geométricos y del medio físico (C2, C3, C7, C8).

− Reconocer y describir distintos lugares geométricos por las propiedades que verifican y apreciar la aportación de la geometría a otros ámbitos del conoci-miento humano como el arte o la arquitectura (C1, C2, C3, C6).

− Reconocer la aportación de la geometría a otros campos del conocimiento co-mo la arquitectura, el arte o la geografía. (C2, C3, C6)

− Investigar y detectar las diferentes formas geométricas en objetos cotidianos y en la naturaleza. (C2, C7)


256


− Distingue los elementos básicos de poliedros y cuerpos redondos y clasificarlos

− Identifica las relaciones métricas en poliedros y cuerpos redondos aplicando el teorema de Pitágoras

− Obtiene el área lateral, área de las bases y área total de poliedros y cuerpos redondos

− Calcula el volumen de los cuerpos geométricos básicos o compuestos

− Resuelve situaciones problemáticas en las que intervengan poliedros y cuerpos redondos

− Calcula áreas y volúmenes de esferas y figuras esféricas


− Longitudes y áreas de figuras planas

− Poliedros regulares, prismas y pirámides.

− Áreas de poliedros, cilindros, conos...

− Volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, troncos de pirámides, conos, tron-cos de cono.

− Perímetros, áreas y volúmenes de figuras compuestas


− Identificación de los diferentes tipos de poliedros y cuerpos redondos según sus características

− Determinación de las propiedades métricas y aplicación del teorema de Pitágo-ras para relacionar los distintos elementos de los cuerpos geométricos

− Incorporación de la terminología y notación específica de cuerpos geométricos

− Determinación de perímetros, distancias, áreas y volúmenes de cuerpos ge-ométricos elementales y compuestos


257

Unidad 10: Geometría

Con este tema comienza el último bloque de la asignatura. Repa-saremos conceptos a base de ejercicios. Calcularemos longitu-des, áreas de figuras planas, y áreas y volúmenes de figuras en el espacio.

10.1 Fórmulas usadas en geometría plana

Áreas de figuras planas poligonales


258

Áreas de figuras planas circulares

10.2 Elementos básicos de geometría en el espacio Cono: cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

( )rgrrgrA

+⋅=⋅+⋅⋅=

=+=

πππ 2

baseáreacircular sectorÁrea

hrhA

V

base ⋅⋅=⋅=

=⋅=

2

31

31

31

π

alturabaseÁrea


259

Cilindro: cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

( )rgrrgrA

+⋅=⋅+⋅⋅=

=+=

πππ 222 2

baseárea 2lateralÁrea

hr

hAV base

⋅⋅=

=⋅=⋅=2π

alturabaseÁrea

Esfera: cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

24A rπ= ⋅

3

34 rV ⋅= π

Prismas: son poliedros que tienen dos bases que son polígonos iguales y caras late-rales que son paralelogramos.

basebase AhPA

⋅+⋅==+=

2base Área2lateral Área

hAV base ⋅=⋅= alturabaseÁrea


260

Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (lados). Paralelogramo: polígono de cuatro lados paralelos entre sí dos a dos. Poliedro: cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos (caras).

Pirámides: son poliedros que tienen una sola base que es un polígono cualquiera y ca-ras laterales que son triángulos con un vértice común.

basebase

base AaPAalA

+⋅

=+⋅

=

=+=

22lados núm.

base Árealateral ÁreahAV base ⋅=⋅=

31

31 alturabaseÁrea

10.3 Recordatorio del uso de unidades

Unidades Ejemplos Longitudes: perímetros, lados, hipotenusas, radios, alturas...

Áreas

Volúmenes

10.4 Cálculo de longitudes

Ejercicio 1 El lado de un triángulo equilátero mide 8 cm. Halla la altura:


261

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

hipotenusa 13 3 39 8

cateto 1 9 1 8 21

cateto 2 12 12 15 28

Ejercicio 3 La diagonal de un cuadrado es 15 cm. Halla el lado:

Ejercicio 4 La diagonal de un rectángulo mide 15 cm y un lado es doble que el otro. Halla los la-dos:


262

Ejercicio 5 Una cuerda mide 8 cm. El segmento circular correspondiente queda dividido en dos partes iguales por un segmento de longitud 3 cm. Halla el radio de la circunferencia:

Ejercicio 6 Un punto A exterior a una circunferencia dista de ella 14 cm y la tangente trazada des-de dicho punto mide 20 cm. Halla el radio de la circunferencia:

Ejercicio 7 Los lados iguales de un trapecio isósceles miden 25 cm, y las bases 20 cm y 50 cm. Halla la altura:

20 cm

50 cm

h

x

25 cm

8 3


263

10.5 Áreas de figuras planas

Ejercicio 8 En medio de una parcela cuadrada se ha construido una casa de planta también cua-drada. Si la distancia entre la casa y el límite de la propiedad es de 3 m y el área no ocupada por la casa es de 180 m2, halla el área de la parcela:

Ejercicio 9 Halla el área de un triángulo equilátero de 6 m de altura:

Ejercicio 10 Halla el área de un triángulo isósceles de 24 m de perímetro y 6 m de lado desigual: Ejercicio 11 La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 15 dm y la hipotenusa mide 28 dm. Halla su área:

x 3 m

6 m

h


264

Ejercicio 12 Los lados de un trapecio isósceles miden 13, 5, 19 y 5 cm, respectivamente. Halla su área:

Ejercicio 13 En un trapecio rectángulo las bases miden 16 y 22 cm y el lado oblicuo, 10 cm. Halla su área:

Ejercicio 14 Calcula los valores que faltan y que están señalados con una letra:


265

Ejercicio 15 La superficie de una corona circular es de 46’38 cm2 y el radio mayor mide 11 cm. Halla la anchura de la corona: Ejercicio 16 Halla el área y el perímetro de la siguiente figura. Los diámetros están en cm:

Ejercicio 17 Sabiendo que el radio de cada círculo es un metro, halla el área sombreada:


266

Ejercicio 18 Cada círculo tiene 3 cm de radio. Halla el área de la región interior:

Ejercicio 19 Halla el área de las siguientes figuras: (radio figura c= 8 m) Ejercicio 20 Halla el área de la figura sombreada, constituida por tres semicírculos, dónde la distan-cia AB es de 15 cm y la distancia BC es 6 cm.

a)

b)

c)


267

Ejercicio 21 Halla el área de la figura sombreada, si el lado del cuadrado es 16 cm.

Ejercicio 22 Halla el área de la figura sombreada, siendo OA = 10 cm y los radios de la corona cir-cular R = 5 cm y r = 4 cm.

Ejercicio 23 Halla el área de la figura sombreada (radio mayor: 6 cm, radio menor: 2 cm)


268

Ejercicio 24 La figura representa una finca. Sabiendo que el metro cuadrado será vendido a 1200 €, ¿qué precio tendrá la finca?:

Ejercicio 25 Calcula el área de la siguiente figura. Transfórmala previamente en otra cuya área sea más fácil de calcular.


269

Ejercicio 26 Halla el área:

10.6 Áreas y volúmenes de figuras en el espacio

Ejercicio 27 Calcula el área total y el volumen de un prisma recto de base un hexágono regular de 5 cm de lado y 4 cm de altura:


270

Ejercicio 28 Calcula el área total y el volumen de un prisma recto de base pentagonal regular de 6 cm de lado, 5’2 cm de apotema y 11’5 cm de altura: Ejercicio 29 Calcula el área total y el volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 20 cm de arista, 40cm de arista lateral:

Ejercicio 30 Calcula el área total y el volumen de una pirámide regular de base hexagonal regular de radio 12 cm y de 20 cm de altura:


271

Ejercicio 31 Separa, indicando el nombre, los siguientes cuerpos compuestos en cuerpos simples:

Ejercicio 32 Calcula el volumen del siguiente recipiente: radio grande: 20 cm radio pequeño: 10 cm altura: 1 dm


272

Ejercicio 33 Se desea fabricar un contenedor de vidrio con material plástico. El contenedor tendrá forma de cilindro de radio 1 m, rematado en su parte superior por una superficie semi-esférica. La capacidad del contenedor debe ser de 5’23 m2. ¿Qué cantidad de plástico se necesitará?

Ejercicio 34 Halla el volumen:

Dirección web para comprender de dónde salen algunas de las fórmulas usadas en Geometría http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/areas.htm Otra dirección: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Figuras_geometricas_del_plano/Indice_de_figugeo.htm

Matemáticas de 3º de ESO Unidad 11: Estadística

273

Llegará el día en el que la Estadística será una condición tan necesaria para la convivencia

como la capacidad de leer y escribir. Anónimo

Unidad 11: Estadística


274

Ejemplos de gráficos que estudiarás en este tema:


275


Unidad 11: Estadística.................................................................................................277

11.1 Introducción .....................................................................................................277 11.1.1 Población y muestra ..................................................................................277 11.1.2 Caracteres estadísticos .............................................................................278

11.2 Tablas y datos..................................................................................................279 11.2.1 Tablas de datos simples............................................................................279 11.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase .............................280

11.3 Tipos de frecuencias ........................................................................................282 11.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih )....................................................282 11.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas .........................................282

11.4 Representaciones gráficas...............................................................................284 11.4.1 Diagrama de barras...................................................................................284 11.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias ......................................................285 11.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) .....................................................287 11.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población ................................290

11.5 Parámetros de una distribución .......................................................................291 11.5.1 Parámetros de centralización ....................................................................291 11.5.2 Parámetros de dispersión..........................................................................293

11.6 Posibles errores de interpretación ...................................................................298


− Comprender conceptos básicos, métodos de tabulación y representación gráfica de caracteres cualitativos y variables discretas y continuas, con objeto de obtener la máxima información de cualquier estadística.

− Saber confeccionar tablas de frecuencias para variables estadísticas discretas.

− Interpretar y elaborar tablas numéricas a partir de conjuntos de datos.

− Construir gráficas a partir de tablas estadísticas, eligiendo en cada caso el tipo de de gráfica y método de representación más adecuado.

− Utilizar los parámetros estadísticos para poder sintetizar un gran número de datos en unos pocos números que den una idea lo más aproximada de la distribución.

− Acometer el estudio, cálculo e interpretación de los parámetros más usuales para dis-tribuciones de variable estadística continua o discreta.

− Analizar críticamente la información presentada, en la prensa o en otros medios de comunicación, mediante estudios estadísticos.

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad: − Utilizar instrumentos como tablas y graficas para interpretar fenómenos estadísticos

cotidianos. (C2) − Actuar de forma ordenada al afrontar un problema estadístico para elaborar las dife-

rentes tablas que permitirán obtener futuras conclusiones. (C2, C7) − Comprender manejar y valorar la utilidad de los gráficos en la presentación de resulta-

dos de estudios estadísticos. (C2, C4) − Conocer el significado de los parámetros estadísticos e interpretar con ellos estudios

estadísticos sencillos. (C2)


276


− Conocer la información que proporcionan los diferentes parámetros de centralización para aplicarlos adecuadamente. (C2, C4)

− Interpretar con cautela todas las informaciones de carácter estadístico aplicando los parámetros de centralización y dispersión. (C2, C5)

− Comparar diferentes estudios estadísticos a partir de las herramientas que proporcio-nan los parámetros de centralización y dispersión. (C2, C7)


− Sabe utilizar correctamente el lenguaje estadístico, distingue y clasifica caracteres y determina las variables estadísticas que se generan en cada caso

− Sabe agrupar datos en intervalos o clases eligiendo razonadamente el número y am-plitud de los mismos; elabora tablas de frecuencias y gráficos estadísticos apropiados a cada tipo de tabla

− Calcula e interpreta parámetros de centralización y de dispersión con datos simples o agrupados

− Confecciona gráficos estadísticos con un conjunto dado de datos Contenidos conceptuales

− Población y muestra − Caracteres estadísticos: cualitativos y cuantitativos − Variables estadísticas discretas y continuas − Tablas de datos simples y agrupados. Clases de equivalencia y marca de clase − Frecuencia absoluta y relativa. Frecuencias acumuladas − Diagramas de barras. Histogramas, polígonos de frecuencias − Diagrama de sectores − Parámetros de centralización: moda, media aritmética y mediana − Parámetros de dispersión: rango, varianza y desviación típica


− Comprobación de la representatividad de una muestra − Clasificación de caracteres y variables estadísticas − Agrupación de datos en intervalos o clases − Elaboración de tablas de frecuencia − Construcción de gráficos estadísticos apropiados, a partir de la información recogida

en las tablas de frecuencia − Obtención de tablas de frecuencia a partir de gráficos estadísticos − Utilización de la calculadora que facilita la elaboración de cálculos − Utilización del símbolo sumatorio para simplificar la escritura de las expresiones de

cálculo de los parámetros estadísticos − Cálculo de los parámetros de centralización, con datos simples y agrupados, a partir

de tablas estadísticas y utilizando la calculadora − Cálculo de los parámetros de dispersión, con datos simples y agrupados, a partir de

tablas estadísticas y utilizando la calculadora en modo estadístico


277

Unidad 11: Estadística

Es, probablemente, una de las ramas de la Matemática que más aplicaciones tiene en nuestra vida cotidiana. Te será difícil no en-contrar, en cualquier periódico, alguna gráfica o información es-tadística. Aparece en áreas tan dispares como Economía, Medici-na, Política, Sociología o los deportes. En ese tema será impor-tante el uso de la calculadora científica.

11.1 Introducción En todo proceso estadístico hay tres partes:

• Recogida de datos • Análisis de resultados • Toma de decisiones

En este tema nos ocuparemos, casi exclusivamente, del segundo aspecto.

11.1.1 Población y muestra Población es el conjunto de todos los elementos objeto de estudio que cumplen una determinada característica (mujeres españolas mayores de 45 años, universitarios de Andalucía, alumnos matriculados en el Colegio Carmelitas, deportistas europeos que hayan ganado alguna medalla en los últimos 10 años…). Una muestra, es un subconjunto representativo de la población, escogido con la finalidad de ob-tener información sobre todo el conjunto de la población. El tamaño de la muestra es el número de elementos que contiene. Ejercicio 1 Se quiere hacer un estudio sobre la lectura de un determinado periódico en una pobla-ción en la que el 55% son mujeres. Si la muestra es de 3 000 personas, ¿cuántas mu-jeres deberían figurar en la muestra? ¿y cuántos hombres?


278

11.1.2 Caracteres estadísticos De cada individuo o elemento de la población podemos destacar uno o más caracteres. Si los elementos son, por ejemplo, personas, podemos estudiar su edad, sexo, altura, profesión, gustos musicales, número de hijos, grupo sanguíneo… Si el estudio es sobre una empresa, podemos estudiar el número de trabajadores con más de cinco años de experiencia, procedencia de los mismos, ingresos, bajas… Estos caracteres permiten clasificar a los individuos de una población. Se distinguen dos tipos de caracteres estadísticos:

− Cualitativos: no se pueden expresar o medir numéricamente (estado civil, pro-fesión, color del pelo, lugar preferido de vacaciones…)

Las modalidades son las distintas situaciones o respuestas que aparecen al es-tudiar una variable cualitativa. Por ejemplo, si pretendemos estudiar estadísti-camente el color del pelo de los alumnos de una clase, deberemos ceñirnos a tres o cuatro modalidades: moreno, rubio, castaño y pelirrojo.

− Cuantitativos: se pueden medir o expresar numéricamente (número de sillas

de una clase, número de calzado, altura de las focas adultas…). Estos datos, a su vez, pueden ser de dos tipos:

o Discretos (en términos de variables diremos: variable estadística discre-ta): los valores posibles son aislados o entre dos valores consecutivos, no puede haber valores intermedios. Ejemplos: número de hermanos, núme-ro de recintos deportivos en las ciudades, ventanas o balcones de una vi-vienda…

o Continuos (en términos de variables diremos: variable estadística conti-nua): entre dos valores, pueden haber valores intermedios. Ejemplo: altu-ra de lo árboles de un país, peso de la población de Alaska, sueldo del personal de vuelo de una compañía aérea…

Resumen:

( )

CualitativosCaracteres estadísticos Discretos

Cuantitativos variables estadísticasContinuos

⎧⎪

⎧⎨⎨⎪⎩⎩

Ejercicio 2 Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos o cuantitativos, y las variables continuas o discretas:

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Longitud de unos tornillos Gusto por las películas de ciencia ficción

(sigue → )


279

(continuación)

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Carrera que se desea estudiar El día del mes en que han nacido tus amigos La distancia entre el Sol y los planetas Signo del zodíaco de compañeros de clase Tiempo diario dedicado al estudio Localidad donde viven los profesores Altura de los bebés de 0 a 4 meses Grupo sanguíneo Medida de las ruedas de varias bicicletas Número de hijos de 100 familias Tipo de música favorita Capacidad del depósito de gasolina de coches

11.2 Tablas y datos Ya vimos en la introducción que el primer proceso de todo estudio estadístico es la re-gida de datos. Con frecuencia, estos se presentarán como un montón desordenado de números que deberemos reorganizar para poder realizar algún estudio con ellos. De-pendiendo de la naturaleza de las variables estadísticas (discretas o continuas) utiliza-remos tablas de datos simples o agrupados. A continuación veremos las características de ambas tablas.

11.2.1 Tablas de datos simples Deberemos determinar cuál es la variable a estudiar y en qué modalidades se presen-ta. En una primera columna (o fila) dispondremos las diferentes modalidades que adop-ta la variable estadística, y en la segunda columna (o fila) el número de veces (o fre-cuencia) que esta aparece.

Ejercicio resuelto

Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de la distribución estadística obteni-da al preguntar a 50 alumnos sobre el número de veces que ha ido al cine durante el último mes:

1 2 0 1 1 2 3 2 1 1 0 2 2 3 0 0 2 2 0 0 1 2 0 4 1 2 3 1 0 3 0 0 2 2 0 3 2 1 1 2 1 2 3 3 4 0 1 1 0 1


280

(Continuación) Ejercicio resuelto

La variable, ix es el número de veces que un alumno ha ido al cine durante el último

mes, y sus posibles valores van del 0 al 4. Denotaremos por if el número de veces que aparece cada valor de la variable.

ix if 0 13 1 14 2 14 3 7 4 2 50

Observa el valor de la última celda. Corresponde con la suma de las frecuencias de la variable. Este dato debe coincidir siempre con la cantidad de datos original, con lo que puede servirte de comprobación.

Ejercicio 3 Los siguientes datos son las notas de la asignatura de Castellano que han sacado 40 alumnos de una clase. Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de aparición. 9 4 6 3 8 6 4 5 2 1 6 5 6 6 5 3 5 5 8 4 3 4 7 5 3 4 6 5 7 6 6 5 6 7 1 2 9 8 9 8

ix if

11.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase Si la variable estadística es continua, o bien si hay muchos datos, los valores obtenidos se agrupan en intervalos o clases para que puedan ser tratados con mayor facilidad. Es conveniente que las clases tengan la misma amplitud. Estudia el siguiente ejemplo:


281

Ejercicio resuelto

Las estaturas de 40 chicas y chicos, medidas en centímetros, son las siguientes:

175 167 161 168 174 160 172 162 155 163 168 171 157 148 160 163 163 165 159 166 177 170 158 171 161 170 167 150 166 164 163 174 165 163 156 167 173 171 169 168

Haz una tabla indicando la variable estadística y la frecuencia. Determinamos el mayor y el menor valor de la altura, y restamos ambos números: 177 148 29− = . Este tramo no es fácil de dividir en intervalos (es, por cierto, un núme-ro primo). Ampliamos este rango en 1 cm (medio por debajo y medio por arriba) para obtener un tramo (30 cm) mucho más sencillo de dividir, por ejemplo, en 6 clases (o intervalos) de 5 cm cada uno (o en 5 clases de 6 cm, 10 clases de 3 cm, etc.).

La primera clase será [ )147 '5,152 '5 . Siempre serán intervalos de este tipo: [ ),a b , cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El valor medio de ese intervalo es

150ix cm= . A los valores intermedios de cada clase se les llama marca de clase, y se calcula así:

2a b+

Una vez obtenidas las clases se procede a contar los elementos que pertenecen a cada intervalo, de forma similar al caso de variables discretas.

Clases Marca de clase ix if

[ )147 '5,152 '5 150 2

[ )152 '5,157 '5 155 3

[ )157 '5,162 '5 160 7

[ )162 '5,167 '5 165 13

[ )167 '5,172 '5 170 10

[ )172 '5,177 '5 175 5

40

Ejercicio 4 Un estudio sobre el número de libros leídos, en los tres últimos años, por cuarenta uni-versitarios proporciona los siguientes datos. Haz una tabla de datos, donde aparezca la frecuencia, agrupando los datos en clases. 12 10 16 5 12 4 13 17 25 24 6 18 8 8 12 10 14 7 12 14 18 10 2 24 9 10 16 4 18 18 14 10 15 20 9 8 10 15 10 10

Clases ix if


282

11.3 Tipos de frecuencias

11.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih ) En el apartado anterior ya hemos hablado de frecuencia: número de veces que se repi-te el valor de una determinada variable estadística. Esta frecuencia se llama absoluta. Muchas veces, la información que aporta la frecuencia absoluta es escasa si no se re-laciona con el total de individuos que compone es estudio. Por ejemplo: este año, cinco familias enviarán a estudiar a sus hijos al extranjero durante el mes de agosto. Si esta información se refiere a cinco familias de una clase de 20 alumnos se observa que el porcentaje es muy alto, pero si la información hace referencia a cinco familias de un colegio de 1000 alumnos, el porcentaje baja drásticamente. En las tablas de datos estudiadas en el apartado anterior, añadiremos una tercera co-lumna donde aparezca el cociente de la frecuencia absoluta, if , y el número total de datos, N.

: ii

ffrecuencia relativa hN

=

Al tratarse de un cociente, es muy fácil representarla en forma de porcentaje; para ello, se multiplica la frecuencia relativa por 100.

11.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas Observa la siguiente tabla:

¿Cuántos alumnos tienen una nota menor o igual a 5? Son: 2+2+4+5+8=21 Al valor 21 lo llamamos frecuen-cia absoluta acumulada del valor 5; es la frecuencia acumulada hasta el valor 5. Designaremos por iF a la fre-cuencia absoluta acumulada.

De manera similar se define la frecuencia relativa acumulada, iH . Completa la tabla anterior con los datos que faltan. Observa los valores de las celdas unidas por las flechas: ¿extraes alguna conclusión?


283

Ejercicio 5 Se ha contabilizado el número de recintos deportivos en 20 ciudades. Construye la ta-bla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas) de estos datos.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

ix if iF ih iH

20 1

20

Ejercicio 6 Con los datos del ejercicio 4, construye la tabla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas):

Clases ix if iF ih iH

Ejercicio 7 En un control de calidad de televisores se admiten tres categorías: A, aceptables; R, rechazables; D, dudosos. Escribe la tabla de frecuencias asociada. A A A R D D A A R A R R A A A A A A D A R D A R R A A D A R R A D D A A R R R D A A A R D R D A A R

Categoría if iF ih iH


284

11.4 Representaciones gráficas En general, usaremos el diagrama de barras o columnas (variables discretas) y los his-togramas y polígonos de frecuencias (variables continuas) para representar caracteres cuantitativos; los diagramas de sectores (o tarta) y los pictogramas se reservarán para los caracteres cualitativos.

11.4.1 Diagrama de barras Son gráficos, ya conocidos, formados por rectángulos de bases iguales, y cuyas alturas son tales que el área de cada rectángulo es proporcional a cada frecuencia absoluta.

Diagrama de barras adosadas

Diagrama de barras apiladas


285

Para representar los datos en un diagrama de este tipo ten en cuenta que la variable estadística se dispone en el eje X (también llamado eje de abscisas), y las frecuencias, en el eje Y (o de ordenadas). Ejercicio 8 Dada la siguiente tabla, representa los datos en un gráfico de barras: Edad (años) 12 13 14 15 16 17 18 Frecuencia 6 7 4 5 9 6 3

11.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias Se utilizan para variables agrupadas en intervalos. La siguiente gráfica recoge la infor-mación de las alturas de los alumnos de una clase de 27 personas.

0

2

4

6

8

10

12

14

[141, 151) [151, 161) [161, 171) [171, 181) [181, 191)


286

Ejercicio 9 Los pesos de cuarenta personas figuran en la siguiente tabla:

Peso [ )40, 48 [ )48, 56 [ )56, 64 [ )64, 72 [ )72, 80 [ )80, 88

Núm. personas 1 10 15 9 3 2 Representa los datos en un gráfico adecuado. Ejercicio 10 Completa la siguiente tabla y representa el histograma correspondiente:

Clase ix if ih iF iH

[ )0, 4 4

[ )4, 8 8

[ )8,12 13

[ )12,16 9

[ )16, 20 6 1

1


287

El polígono de frecuencias es una línea quebrada que une los puntos medios (varia-ble estadística) de las barras de un histograma (aunque también pueden aparecer en un diagrama de barras o, incluso, solas. La siguiente tabla muestra un ejemplo, y, ade-más, es la solución del ejercicio 9).

11.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) También es un tipo de gráfico conocido por todos. Un diagrama de sectores es un círculo dividido en tantos sectores circulares como mo-dalidades tiene el carácter, de forma que el área de cada sector es proporcional a las frecuencias. Para representar los datos en este diagrama debemos obtener el producto de la fre-cuencia relativa de cada valor por 360º, así, obtendremos los ángulos correspondientes a cada valor; con ayuda de un transportador de ángulos podremos ir dibujando cada sector. Se emplea, principalmente, con datos (o variables) cualitativos.


288

Ejercicio resuelto

Se ha hecho una encuesta a los alumnos de 4º de ESO sobre qué modalidad de Bachi-llerato quieren estudiar. Representa los resultados en un diagrama de sectores.

Fre-cuencia

Frecuencia relativa

Frec.rel x 360º

B. Arte 6 0,08571429 30,86º

B. Humanidades 12 0,17142857 61,71º

B. CCSS 22 0,31428571 113,14º

B. CC de la Salud 18 0,25714286 92,57º

B. Tecnológico 12 0,17142857 61,71º

70 1 360,00º


289

Ejercicio 11 Dibuja el diagrama de sectores (o tarta) correspondiente a la siguiente tabla de datos:

Opciones A B C D if 40 60 50 30

Ejercicio 12 Con los datos del ejercicio 7, referente al control de televisores, representa los datos (es decir, las frecuencias absolutas) mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores:


290

11.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población Los pictogramas son gráficos con ilustraciones alusivas al carácter estadístico que se esté estudiando. Las frecuencias se pueden indicar por el número de dibujo o por su tamaño. Los pictogramas son gráficos poco rigurosos, pero proporcionan vistosidad a la infor-mación; por eso, son muy habituales en los medios de comunicación.

Se llama cartogramas a los gráficos que se realizan sobre un mapa, señalando sobre determinadas zonas con distintos colores o rayados lo que se trate de poner de mani-fiesto. Por ejemplo, se suelen utilizar estos tipos de diagramas para representar la den-sidad demográfica de una nación, la renta per cápita, las horas de sol anuales, los índi-ces de lluvia...

Las pirámides de población se utilizan para estudiar conjuntamente la variable edad y el atributo sexo. La gráfica se obtiene representando en la ordenada el grupo de edad, y en la abscisa, el sexo.


291

11.5 Parámetros de una distribución Se trata de resumir aún más la información de una tabla o de una gráfica, y de encon-trar algunos valores (los más simples posibles) que nos permitan dar (u obtener) infor-mación sobre la muestra o comparar dos muestras entre sí. Con los parámetros de centralización se buscan valores lo más representativos posible de todos los valores de la muestra; ofrecen un resumen de los datos de la distribución. Con los parámetros de dispersión se pretende, como complemento a los anteriores, dar una valoración de hasta qué punto los datos se parecen entre sí, o bien si están disper-sos. Además, cuanto menos dispersos se encuentren los datos, más representativos serán los parámetros de centralización anteriores.

11.5.1 Parámetros de centralización Vamos a estudiar tres (aunque hay alguno más, como por ejemplo los cuartiles) de es-tos parámetros: media (o media aritmética), mediana y moda. Para ilustrar el cálculo de estos parámetros utilizaremos el mismo ejemplo. Los siguientes datos corresponden con el número de hermanos (excluido él mismo) de una muestra de 13 niños de 6º de Primaria: 2, 0, 1, 0, 0, 7, 5, 3, 0, 2, 1, 4, 1. Media aritmética Es en “centro de gravedad” de la distribución. La representaremos así: x .Es un pará-metro que, tanto profesores como alumnos, utilizamos con frecuencia para conocer qué nota media (o final) se obtiene teniendo en cuenta las notas de los exámenes realzados hasta el momento. Si los datos se presentan como un montón de datos desordenados, se suman y se di-viden por el número total de datos. En el ejemplo, la suma de los datos es 26, y hay 13 datos, con lo que la media es 2. Si los datos vienen dispuestos en una tabla de datos simple, multipli-caremos cada dato por su frecuencia, se suman entre sí, y se divide por el número total de datos. Expresado esto con una fórmula es: Si se utilizan datos agrupados en clases, se utilizará, como dato, la marca de clase. Ejercicio 13 La distribución de pesos de 78 pacientes de un centro médico es:

Peso (Kg) [50-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-100) [100-110)Núm. pacientes 12 21 24 11 7 3

Halla la media.

i ix fx

N= ∑


292

Es importante no confundir la media aritmética con la media geométrica (que es raíz enésima del producto de los N elementos). Mediana La mediana de una distribución estadística, eM , es el valor de la distribución tal que el número de valores menores que él es igual al número de valores mayores que él. Para calcular este parámetro, es necesario que los datos estén ordenados. Si el núme-ro de elementos de la distribución es impar, la mediana coincide con el valor central, y si es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. En nuestro ejemplo, ordenamos los elementos: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7. Como hay 13 datos, la mediana es el valor central: 1eM = . Si los datos están en una tabla, y la frecuencia es mayor que 1:

− 1º se calcula la mitad del número de datos: (N/2) − 2º se observa cual es el primer valor cuya frecuencia acumulada ( )iF , es ma-

yor que dicho número. Moda Es el dato que más se repite. La representaremos por ( )oM . Si los datos están orde-nados es más fácil de averiguar. En nuestro ejemplo, la moda es: 1oM = , coincide con la mediana. Si los datos se presentan en una tabla, la moda es el dato que presenta la frecuencia más alta. Puede haber más de un moda (distribución bimodal, trimodal, etc.). Es el úni-co parámetro de centralización que se puede calcular siempre, incluyendo a variables cualitativas no ordenables. Ejercicio 14 Volvemos con la actividad sobre el número de recintos deportivos en 20 (ejercicio 5):

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Obtén, en esta ocasión, la media ( )x , moda ( )oM y mediana ( )eM : (No pases los datos a una tabla; trata los datos tal cual se presentan.)


293

Ejercicio 15 Ahora vuelve a realizar el mismo ejercicio pero con los datos agrupados en una tabla.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Ya lo hiciste en la actividad 5. Copia los resultados o calcúlalos de nuevo.

ix if iF

11.5.2 Parámetros de dispersión Podremos encontrarnos con dos o más distribuciones que tengan una media aritmética igual, y que, sin embargo, no sean distribuciones similares.

Ejemplo 1

Las siguientes tablas muestran los datos obtenidos por dos personas en un test:

Persona 1 Persona 2

57 28

56 31

59 80

60 93 Calculamos la media de ambas distribuciones:

1 157 56 59 60 ; 58

4P Px x+ + += = 2 2

28 31 80 93; 584P Px x+ + +

= =

Observamos que las medias coinciden, sin embargo, las distribuciones no son iguales: los datos de la persona 2 están más dispersos.


294

Sustituye las personas del ejemplo 1 anterior por alumnos, y sus datos por notas de un examen, dividiéndolos entre 10, de manera que el alumno 1 haya obtenido un 5’7, un 5’6, etc. Reflexiona sobre las siguientes cuestiones: ¿Consideras que ambos alumnos merecen aprobar con la misma nota, 5’8, puesto que ambos consiguen la misma nota media?, ¿se debe favorecer la constancia del alumno 1? ¿se debe penalizar el esfuerzo variable del alumno 2, por ejemplo, no permitiendo hallar la media con notas inferiores a 3?, ¿debe primar la media sobre la constancia? Necesitamos algún otro parámetro (rango y desviación típica que veremos a continua-ción) que nos permita diferenciar estos dos tipos de distribuciones. Debemos conocer la dispersión de los datos, es decir, en qué medida están agrupados (caso de los da-tos de la persona 1 o alumno 1 de los ejemplos anteriores) o no, alrededor de los valo-res centrales. Rango o recorrido El rango (r) de una distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

MAX MINr x x= −

Para el ejemplo de los alumnos, el rango del alumno 1 es: 1 6 '0 5'6 0'4r = − = , y el

rango del alumno 2 es: 2 9 '3 2'8 6 '5r = − = . Como el rango del primer alumno es menor que el del segundo, podemos afirmar que la distribución de notas del primer alumno está más centrada o menos dispersa que la del segundo alumno. Cuanto menor es el valor del recorrido, mayor es la concentra-ción, por tanto, la representatividad de los parámetros de centralización será mayor. La ventaja de este parámetro es que es muy fácil de calcular, pero el inconveniente es que, al depender sólo de los valores extremos, si uno de estos valores está muy ale-jado de los valores centrales, obtendremos un valor alto del recorrido, aunque el resto de datos no esté muy disperso. Varianza y desviación típica (s2 y s ó σ ) Consideremos los siguientes datos: Calculamos la media:

1 3 3 2 7 2 9 3 510

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = .

¿En qué medida se separan los datos de la media? Las desviaciones respecto de la media son (sin considerar su frecuencia):

1 1 5 4x x− = − = − ; 2 3 5 2x x− = − = − ; 3 7 5 2x x− = − = ; 4 9 5 4x x− = − = ;

ix if 1 3 7 9

3 2 2 3

10


295

Las sumas de estas desviaciones (que nos daría una idea de los dispersos que están los datos) es cero, sin embargo, los datos se separan de la media. Necesitamos un pa-rámetro que mida esta desviación sin tener en cuenta el signo. Una manera muy senci-lla de obtenerlo es elevar las desviaciones al cuadrado (siempre se obtendrán resulta-dos positivos) y luego hallar la media.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 5 3 3 5 2 7 5 2 9 5 3 112 11'2

10 10s

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅= = =

Se llama varianza de una variable estadística a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 22 ... i in n x x fx x f x x f x x f

sN N

− ⋅− ⋅ + − ⋅ + + − ⋅= = ∑

Desarrollando y simplificando esta fórmula se obtiene otra de más fácil aplicación:

22 22 2 21 1 2 2 ... n

i in n x fx f x f x fs x xN N

+ + += − = −∑

que permite calcular la varianza sin necesidad de hallar todas las desviaciones con respecto a la media. La desviación típica (que es en realidad en dato que más se utiliza) es la raíz cuadrada de la varianza. Se designa por s o σ (sigma minúscula)

2s sσ= = Ejercicio 16 Con los datos del ejercicio 5 referente al número de recintos deportivos de 20 ciudades, obtén la varianza y la desviación típica:

ix 2 3 4 5 6 8

if 2 2 5 6 2 3


296

Ejercicio 17 A partir de la siguiente tabla de una variable estadística, calcula la media y la desvia-ción típica:

ix 3 4 5 6 7

if 4 10 16 6 4 Ejercicio 18 Julia puede ir de su casa al trabajo por dos itinerarios: atravesando la ciudad, o por la autovía. Por el primer camino hay menos distancia pero más semáforos y límites de velocidad; por el segundo, hay más distancia, pero puede ir más rápido. Para comparar los dos itinerarios, ha medido los tiempos en 5 viajes por un lado y 5 por el otro, con los siguientes resultados expresados en minutos. Ciudad: 18, 21, 16, 25, 17 Autovía: 20, 22, 21, 19, 18 Determina la media y la desviación típica de cada distribución. ¿Qué itinerario es más aconsejable? Con el ejercicio anterior queda probado que se pueden comparar dos distribuciones que tengan unas medias aritméticas similares; pero, ¿y si las medias son diferentes? Para poder responder, estudiamos el tercer, y último, parámetro de dispersión:


297

Ejercicio 19 Dada la siguiente tabla de valores, halla la varianza y la desviación típica:

Clases Frecuencia absoluta

if ix ii fx ⋅ 2ii fx ⋅

[ )40, 46

[ )46, 52

[ )52, 58

[ )58, 64

[ )64, 70

[ )70, 76

[ )76, 82

4

12

10

30

20

8

6


298

11.6 Posibles errores de interpretación A estas alturas del tema, ya habrás comprobado que la Estadística es una herramienta útil y poderosa, pero como tal, es imprescindible saber usarla. Una mala interpretación de las leyes estadísticas puede llevar a conclusiones tan ridí-culas como las siguientes:

− Las estadísticas demuestran que muy pocos accidentes ocurren en vehículos que circulen a más de 200 km/h; por tanto, el mejor método para no tener un accidente es viajar a esa velocidad.

− Las estadísticas demuestran que nunca han coincidido en un avión dos perso-nas con una bomba; por tanto, para evitar ser víctima de un atentado terrorista en un avión debo viajar con una bomba en mi maleta.

A veces los gráficos que vemos no representan con fidelidad la distribución a la que se refieren. Esto ocurre por el escaso rigor puesto en su construcción, o porque sus auto-res pretenden hacer una presentación engañosa, partidista o subjetiva de la informa-ción que trasmiten.

Diario antigubernamental

Diario progubernamental

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

.

Abr

.

May

.

Jun.

Jul.

Ag.

Sep

.

Oct

.

Nov

.

Dic

.

Para más información: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/estadistica_1_ciclo/indice.htm

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

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Abr.

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Oct

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Dic

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