MATEMATICAS ESPECIALES

TAREA #1

INTEGRANTES:SANTIAGO JOSE MONTOYA MEJIA

CC 1152444596ALEJANDRO SANCHEZ BOLIVAR

CC 1128272321

PROFESOR:NORMAN CESAR MERCADO CRUZ

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

MEDELLIN

2014

1. Determine la ecuación de la línea de campo para cada uno de los campos vectoriales dados a continuación, en el punto correspondiente:

a) F⃗=x μ⃗x−x2μ⃗ y+2 z μ⃗z; P(1,-2,3)

b) F⃗=z μ⃗ρ− ρ μ⃗z ; P(1,π,3)

c) F⃗=2cos θ

r3μ⃗r+

sin θ

r3μ⃗θ ; P(1,π /4,π /2)

2. Calcule la longitud de de arco de curva en el intervalo dado.

a) x=t , y=sin ( t ) , z=cos (t)0≤ t ≤π

b) ρ=2 ,φ=t , z=2 t0≤ t ≤π

c) r=2 ,θ=t , φ=2 t0≤ t ≤π

3. Dada la función vectorial F⃗=xy μ⃗ y+ yz μ⃗z

a) Verifique el teorema de Gauss en la región de la figura 6.8b) Verifique el teorema de Stokes en la cara BCDG de la figura 6.8

4. Dada la función vectorial F⃗=ρ cos (φ) μ⃗φ+ρ sin (φ) μ⃗z

a) Verifique el teorema de Gauss en la región de la figura 6.9b) Verifique el teorema de Stokes en la superficie cilíndrica de la figura 6.9

5. Dada la función vectorial F⃗=r μ⃗r+r cos (θ) μ⃗φ

a) Verifique el teorema de Gauss en la región de la figura 6.10b) Verifique el teorema de Stokes en la superficie esférica de la figura 6.10

Solución

1. a) F⃗=x μ⃗x−x2μ⃗ y+2 z μ⃗z; P(1,-2,3)

El vector diferencial de posición viene dado por: d R⃗=d x μ⃗x+dy μ⃗y+d z μ⃗z

Teniendo los anteriores dos vectores, tomamos sus componentes y las igualamos:dxx

=−2dyx

= dz2 z

Tomando la variable “x” como parámetro y resolviendo la igualdad para la variables “y”

tenemos: dxx

=−2dyx

→dx=−2dy →∫ dx=∫−2dy→ x=−2 y+c.

Para encontrar el valor la constante C usamos los valores del punto que nos dieron inicialmente P(1,-2,3) así tenemos: (1 )=−2 (−2 )+c →1−4=c→−3=c ya teniendo el valor de C lo reemplazamos y nos da: x=−2 y−3 y ahora despejamos la varaible “y”:

x=−2 y−3 →−(x+3)

2= y .

Ahora realizando el mismo proceso para la variable “z” tenemos:dxx

= dz2 z

→∫ dxx

=∫ dy2 z

→ ln (x)=12

ln (cz)→ 2 ln ( x)=ln (cz )→ ln (x2)=ln (cz)

→ x2=cz

Para encontrar el valor la constante C usamos los valores del punto que nos dieron

inicialmente P(1,-2,3) así tenemos: (1 )2=c(3) →13=cya teniendo el valor de C lo

reemplazamos y nos da: x2=1

3zy ahora despejamos la variable “y”:

x2=13z →3x2=z.

Por lo que las ecuaciones resultantes son: x=x , y=−(x+3)

2, z=x2

b¿ F⃗=z μ⃗ρ− ρ μ⃗z; P(1,π,1)

El vector diferencial de posición viene dado por: d R⃗=d ρ μ⃗ρ+ ρdφ μ⃗φ+d z μ⃗z

Teniendo los anteriores dos vectores, tomamos sus componentes y las igualamos:dρz

= dz− ρ

Tomando la variable “z “como parámetro y resolviendo la igualdad para la variables “ρ”

tenemos: dρz

= dz− ρ

→−ρdρ= zdz →∫−ρdρ=∫ zdz→ −ρ2

2+c= z2

2.

Para encontrar el valor la constante C usamos los valores del punto que nos dieron

inicialmente P(1,π ,1) así tenemos: −( 12 )+c=( 1

2 ) →c=1 ya teniendo el valor de C lo

reemplazamos y nos da−ρ2

2+1= z2

2.y ahora despejamos la varaible “ρ”:

−ρ2

2+1= z2

2 →− ρ2=z2−2→ρ2=2−z2→ρ=√2−z2

Por lo que las ecuaciones resultantes son: ρ=√2−z2 , φ=π , z=z

c ¿ F⃗=2cosθ

r3μ⃗r−

sinθ

r3μ⃗θ; P(1,

π4

, ,π2

)

El vector diferencial de posición viene dado por: d R⃗=dr μ⃗r+r dθ μ⃗θ+rsin(θ)d∅ μ⃗∅

Teniendo los anteriores dos vectores, tomamos sus componentes y las igualamos:r3dr

2cos (θ)= r∗r3dθdr

sen(θ)r=

2 cos (θ)dθsin (θ)

Tomando la variable “θ”como parámetro y resolviendo la igualdad para la variables “r” tenemos: ln (rc )=2 ln ¿

Tomando los valores del punto podemos obtener C:

c=12

Por tanto:

r=2sin2 (θ ) ,

Por lo que las ecuaciones resultantes son: r=2sin2 (θ ) , θ=θ ,∅= π2

2) Calcule la longitud del arco de curva en el intervalo dado, a) x=t,y=sen(t), z = cos(t) 0≤ t ≤π Para encontrar la longitud de arco de curva, se utiliza la fórmula de longitud en magnitud, y se integra esta misma.

|d L⃗|=√(h1du1)2+(h2du2)

2+(h3du3)2

La fórmula dada anteriormente es la magnitud del diferencial de longitud en coordenadas curvilíneas, para coordenadas cartesianas que es el caso pertinente, se tiene.

|d L⃗|=√(dx )2+(dy )2+(dz )2

Para poder aplicar la formula, se encuentra las respectivas derivadas.dx=dt,dy=cos(t) dt,z=-sen(t)dt

Reemplazando en la fórmula:

|d L⃗|=√(dx )2+(dy )2+(dz )2

|d L⃗|=√(dx )2+(dy )2+(dz )2

Aplicando la identidad trigonométrica cos2(t) + sen2(t)= 1 se obtiene:

|d L⃗|=√(dx )2+(dy )2+(dz )2

Por último se realiza la integral entre 0 yπpara hallar la longitud en el intervalo dado.

L=∫0

π

√2dt

L=√2 t ¿0π

Evaluando la integral se obtiene que la longitud de arco de curva es:

L=π √2

b) ρ=0 , φ=t , z=2t ;0≤ t ≤πSe procede igual que en el numeral a), solo que en este caso el diferencial de longitud de arco de curva estará dado en coordenadas cilindricas circulares y el diferencial de longitud queda de la siguiente manera.

|d L⃗|=√(dρ)2+(ρdφ)2+(dz )2

Por lo tanto, se necesita las respectivas derivadas.

dρ=0 , dφ=dt , dz=2dt

Reemplazando en la fórmula, se obtiene:

|d L⃗|=√(2dt)2+(2dt )2

|d L⃗|=√4+4dt|d L⃗|=√8 dt

Para finalizar se realiza la integral entre O ynpara hallar la longitud en el intervalo dado.

L=∫0

π

√8dt

L=√8 t ¿0π

Evaluando, se obtiene la longitud de arco de curva:

L=2 π √2

c) r=2 ,θ=t ,∅=2 t;0≤ t ≤π

Parahallar la longitud de arco de curva, se realiza el mismo procedimiento realizado en los numerales anteriores, en este caso en coordenadas esféricas:

|d L⃗|=√(dr )2+(rdθ)2+(r sin(θ)d∅ )2

Para utilizar esta fórmula, se realizan las respectivas derivadas:

dr=0 , dθ=dt , d∅=2dt

Reemplazando las derivadas y el valor de r y θen el diferencial de longitud se tiene:

|d L⃗|=√(2dt)2+¿¿¿

|d L⃗|=√4+(4 sin(θ))2dt

Sacando factor común 4 y reduciendo un poco la expresión:

|d L⃗|=2√1+4 (sin (t))2dt

Para terminar, se desarrolla la integral para encontrar la longitud de arco de curva:

L=∫0

π

2√1+4 (sin(t ))2dt

Usando el paquete de software MATLAB para resolver la integral tenemos:

L=4∗ellipticE (−4)

3. Dada la función vectorial F⃗=xy μ⃗ y+ yz μ⃗z

a) Verifique el teorema de Gauss.

Para el teorema de Gauss es necesario el producto punto entre el operador nabla y la función vectorial dada.

∇⃗ . F⃗=x+ y

El teorema de divergencia de Gauss dice que:

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=∯s

❑

F⃗ . d⃗s

Es necesario el diferencial de volumen, el cual es:dV=dzdydx

Ahora se procede a realizar la triple integral de volumen.

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=∫x=0

1

∫y=0

2

∫z=0

1

(x+ y)dzdydx

∫x=0

1

∫y=0

2

( xz+ yz )¿01dydx

∫x=0

1

(xy+ y2

2)¿0

2dx

∫x=0

1

(2 x+2)dx

(x2+2x )¿01dx

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=3

para verificar el teorema, es necesario realizar integrales de superficie por cada cara de la figura. A continuación se muestra el desarrollo de cada cara.

CARA ABGFd⃗s=dydz μ⃗x

∬ABGF

❑

F⃗ .d⃗s=∫z=0

1

∫y=0

2

F⃗ . d⃗s

F⃗ . d⃗s=0

∫0

1

∫0

2

F⃗ .d⃗s=0

CARA FEDGd⃗s=dxdy μ⃗z

F⃗ . d⃗s= yzdxdy

∫y=0

2

∫x=0

1

ydxdy=∫0

2

yx ¿01dy= y2

2¿0

2=2

CARA GDCBd⃗s=dxdz μ⃗y

y=2

∬ABGF

❑

F⃗ .d⃗s=∫z=0

1

∫y=0

2

F⃗ . d⃗s

∫z=0

1

∫x=0

1

xydxdz=∫0

1

x2¿01dz=∫

0

1

dz=1

CARA EDCOd⃗s=−dydz μ⃗x

F⃗ . d⃗s=0

∫z=0

1

∫y=0

2

F⃗ . d⃗s=0

CARA FEOAd⃗s=−dydz μ⃗ y

F⃗ . d⃗s=−xydxdz

y=0

F⃗ . d⃗s=0

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=∯s

❑

F⃗ . d⃗s=3

b) Verifique el teorema de Stokes en la superficie indicada.

Para el teorema de Stokes, se necesita el producto cruz entre el operador nabla y la función vectorial.

( ∇⃗ x F⃗ )=| μ⃗x μ⃗y μ⃗z

∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

0 xy yz|

| μ⃗x μ⃗ y μ⃗z

∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

0 xy yz|= z μ⃗x−0 μ⃗ y+ y μ⃗z=z μ⃗x+ y μ⃗z

El diferencial de superficie es:d⃗s=dxdz μ⃗y

∮c

❑

F⃗ . d⃗l=∬s

❑

( ∇⃗ x F⃗ ) . d⃗s

Aplicando teorema:

∬s

❑

(∇⃗ x F⃗ ) . d⃗s=0

Para verificar el teorema se realizan las integrales sobre cada curva que encierra a la superficie:

En C1

F⃗=xy μ⃗ y+ yz μ⃗z

d⃗l=d x μ⃗x

F⃗ . d⃗l=0

En C2

d⃗l=d z μ⃗z

∫0

l

F⃗ . d⃗l=∫0

1

yzdz

y=2

∫0

1

2 zdz=z2 ¿01=1

En C3

d⃗l=−d x μ⃗x

F⃗ . d⃗l=0

En C4

d⃗l=−dz μ⃗z

∫0

l

F⃗ . d⃗l=−∫0

1

yzdz=¿−z2 ¿10=−1¿

∮c

❑

F⃗ . d⃗l=0+1+0−1=0

4. Dada la función vectorial F⃗=ρ cos (φ) μ⃗φ+ρ sin (φ) μ⃗z

a) Verifique el teorema de Gauss para la función:

∇⃗ . F⃗=1ρ(−ρ sin(φ))

∇⃗ . F⃗=−sin (φ)

Aplicando el teorema de Gauss

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=∯s

❑

F⃗ . d⃗s

dV=ρdρdφdz

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=∫0

4

∫0

π

∫0

2

−ρ sin (φ)dρdφdz

∫0

4

∫0

π

−sin (φ) ρ2

2∨¿0

1dφdz¿

∫0

4

∫0

π

−2 sin (φ )dφdz=2∫0

4

cos (φ)¿0πdz

∫0

4

−4dz=4 z ¿0π=−16

∭v

❑

( ∇⃗ . F⃗ )dV=−16

Para verificar el teorema de Gauss, se realizan las integrales de superficie necesarias CARA AOGE

d⃗s=−dρdz μ⃗φ

F⃗ . d⃗s=−ρ cos (φ)dρdz

Como φ=0podemos realizar el siguiente análisis a la integral:

∫0

4

∫0

2

− ρcos (φ)dρdz=∫0

2

−cos (φ ) ρ2

2¿0

2dz=−2∫0

4

cos (φ )dz=−8

CARA OFDGd⃗s=dρdz μ⃗φ

F⃗ . d⃗s=−ρ cos (φ)dρdz

En este caso φ=π ycos (π )=−1entonces:

∫0

4

∫0

2

ρ cos (φ)dρdz=∫0

4

cos (φ ) ρ2

2¿0

2dz=2∫0

4

cos (φ )dz=−8

CARA ABCEx2+ y2=4ρ2=4

ψ= ρ−2∇ψ= μ⃗ρ

n⃗=μρ

ds=ρ d φdzd⃗s=ρ d φdz μ⃗ρ

F⃗ . d⃗s=0

∬ABGF

❑

F⃗ .d⃗s=0

CARA ECDd⃗s=ρ d ρ d φ μ⃗z

∬s

❑

F⃗ . d⃗s=∫0

π

∫0

2

ρ2 sin (φ)dρdφ=∫0

π

sin (φ ) ρ3

3¿0

2dφ=83∫

0

π

sin (φ )dφ=−83

cos (φ)¿0π=16

3

CARA ABF

d⃗s=− ρd ρd φ μ⃗z

∯s

❑

F⃗ . d⃗s=−∫0

π

∫0

2

ρ2 sin (φ)dρdφ=−∫0

π

sin (φ ) ρ3

3¿0

2dφ=−83∫

0

π

sin (φ )dφ

83

cos (φ ) ¿0π=−16

3

∯s

❑

F⃗ . d⃗s=163

−163

−8−8+0=−16

∯s

❑

F⃗ . d⃗s=−16

∭v

❑

( ∇⃗ x F⃗ ) . dv=∯s

❑

F⃗ . d s⃗=−16

b) Verifique el teorema de Stokes en la superficie indicada.c)

F⃗=ρ cos (φ) μ⃗φ+ρ sin (φ) μ⃗z

( ∇⃗ x F⃗ )= 1ρ| μ⃗ρ μ⃗φ μ⃗z

∂∂ ρ

∂∂φ

∂∂ z

0 ρ2cos (φ) ρ sin(φ)|

1ρ| μ⃗ρ μ⃗φ μ⃗z

∂∂ ρ

∂∂φ

∂∂ z

0 ρ2 cos (φ) ρsin (φ)|= 1

ρ(ρ cos (φ ) μ⃗ρ− ρsin (φ ) μ⃗φ+2 ρ cos(φ) μ⃗z)

∇⃗ x F⃗=cos (φ ) μ⃗ρ−sin (φ ) μ⃗φ+2cos (φ) μ⃗z

d⃗s=ρ d φd z μ⃗ρ

( ∇⃗ x F⃗ ) . d⃗s= ρ cos (φ )dφdz con ρ=2

∫z=0

4

∫φ=0

π

2 cos (φ )dφdz=2∫0

4

(sin (π )−sin(0))dz=0

∬ ¿⃗ ¿ ¿

Para verificar el teorema de Stokes realizamos las integrales de las cuatro curvas que rodean la superficie.

d L⃗=d ρ μ⃗ρ+ρdφ μ⃗φ+d z μ⃗z

F⃗ . d L⃗=ρ2 cos (φ)dφ+ρ sin (φ)dzCurva C1:

z=4 , dz=0 , ρ=2

F⃗ . d L⃗=4 cos (φ)dφ

∫π

0

4 cos (φ )dφ=4 (sin (0 )−sin (π ) )=0

Curva C2:

F⃗ . d L⃗=ρ2 cos (φ)dφ+ρ sin (φ)dz φ=0 , d φ=0 , ρ=2

F⃗ . d L⃗=2 sin (0 )dz=0

Curva C3

F⃗ . d L⃗=ρ2 cos (φ)dφ+ρ sin (φ)dz

z=0 , dz=0 , ρ=2

F⃗ . d L⃗=4 cos (φ)dφ

∫π

0

4 cos (φ )dφ=4 (sin (π )−sin (0 ) )=0

Curva C4:

F⃗ . d L⃗=ρ2 cos (φ)dφ+ρ sin (φ)dz

φ=0 , d φ=0 , ρ=2

F⃗ . d L⃗=2 sin (0 )dz=0

∮c

❑

F⃗ . d⃗l=0+0+0+0=0

∬s

❑

(∇⃗ x F⃗ ) . d⃗s=∮c

❑

F⃗ . d⃗l=0

∫0

4

−4dz=4 z ¿0π=−16

Se puede concluir que:

∮c

❑

F⃗ . d⃗l=0+1+0−1=0

∬s

❑

(∇⃗ x F⃗ )∗d s⃗=∮c

❑

F⃗∗d l⃗→0=0

5. Dada la función vectorial F⃗=r u⃗r+r cosθ u⃗φ

a) Verifique el teorema de gauss en la región de la figura.

∭v

❑

( ∇⃗ x F⃗ ) . dv=∯s

❑

F⃗ . d s⃗

∇⃗ x F⃗= 1r2sinθ ( d (r2 sinθ )(r )

dr+d (r2 sinθ )(0)

dθ+d (r )(rcosθ)

dφ )= 1r2 sinθ

( 3r 2 sinθ )=3

Luego:

∫0

2

∫0

π2

∫0

π2

3 r2 sinθdθdφdr=∫0

2

∫0

π2

3 r2dφdr=∫0

232r2π dr=4 π

Luego:

∯s

❑

F⃗ . d s⃗=∯abc

❑

F⃗ . d s⃗ φ=r−2

Cara ABC

d s⃗=r 2 sinθdθdφu⃗r→n⃗= ∇ φ|∇ φ|

F⃗ . d s⃗=r3 sin θdθdφ=8 sinθdθdφ

I= ∫φ=0

φ=π2

∫θ=0

θ=π2

8 sinθdθdφ=∫0

π2

8dφ=4π

Cara OAB

d s⃗1=r sinθdrdφ u⃗θ

F⃗ . d s⃗1=0

∬s

❑

F⃗ . d s⃗=0

Se concluye entonces:

∭v

❑

( ∇⃗ x F⃗ ) . dv=∯s

❑

F⃗ . d s⃗→4 π=4 π

b) Verifique el teorema de Stokes en la superficie esférica.

∭v

❑

( ∇⃗ x F⃗ )∗ds=∮c

❑

F⃗∗d l⃗

∇⃗ x F⃗= 1r2 sinθ [ u⃗r u⃗θ u⃗φ

ddr

ddθ

ddφ

r 0 r 2cosθsinθ]=u⃗r (r 2(sin2θ+cos2θ)

r2 sinθ )−u⃗θ( 2 rsinθcosθr2 sinθ )=u⃗r (sinθ+ cos2θ

sinθ )−( 2rcosθ) u⃗θ

Luego:

( ∇⃗ x F⃗ ) . d s⃗=(−r 2sin2θ+r2 cos2θ)dφdθ

∫0

π2

∫0

π2

−4 sin2θ+4 cos2θdθdφ

∫0

π2

∫0

π2

−4 sin2θdθdφ=−2∫0

π2

∫0

π2

1−cos 2θdθdφ=−2∫0

π2π2dφ=−π2

2

4∫0

π2

∫0

π2

cos2θdθdφ=2∫0

π2

∫0

π2

1+cos2θdθdφ=2∫0

π2

dφ= π2

2

Por tanto:

∬s

❑

(∇⃗ x F⃗ ) . d s⃗= π2

2−π2

2=0

Luego:

∮ F⃗ . d l⃗=I 1+ I 2+ I 3

a)

d l⃗=dr u⃗r+rdθu⃗θ+rsinθdφu⃗φr=2

¿>2dθ u⃗θ+2 sinθdφu⃗φ

F⃗ . d l⃗=4 cosθsinθdφ=0 I 1=0

b)

d l⃗=2dθ u⃗θ+2 sinθdφ u⃗φ

F⃗ . d l⃗=4 cosθsinθdφφ= π2I 2=0

c)

d l⃗=2dθ u⃗θ+2 sinθdφ u⃗φ

F⃗ . d l⃗=4 cosθsinθdφ φ=0 I 3=0

Se puede concluir que:

∬s

❑

(∇⃗ x F⃗ ) . d s⃗=∮c

❑

F⃗ . d l⃗=0