8/7/2019 MATEMATICAS - LISTADO 05 - FUNCIONES

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICAS

LISTADO 5. INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA. 520145.

Contenido: Funciones Reales

1. Considere la funcion proposicional

p(x, y) : x2 + y2 = 1 .

a ) Dena en R R la relacion R1 de los (x, y) tales que p(x, y) es verdadera.b) Dena en R R la relacion R2 de los (x, y) tales que p(x, y) es falsa.c ) Encuentre el dominio y el recorrido de las relaciones R1 y R2.d ) Para x

R , dena el conjunto

R(x), llamado imagen de x por la relacion, de los y

R

tales que ( x, y) R. Analice lo que sucede para x = 23 y lo que sucede para x = 4. Estopara ambas relaciones.e ) Represente gracamente las relaciones denidas anteriormente y tambien las im agenes

indicadas en d).

2. Dada la relaci on Rrepresentada por RA B se dene su relacion inversa R 1 porR 1 = {(x, y) : (y, x)R}.

a ) Dena las relaciones inversas de R1 y de R2, denidas en problema 1.b) Encuentre dominio y recorrido de R

11 y de R

12 .

3. Considera la funci on f : R {5} R denida como f (x) =x 3x + 5

. Determine:

a)f (2) b)f (5) c)x, tal que f (x) = 34. Para cada una de las siguientes funciones, hallar

f (x + h) f (x)h

con h = 0 y reducir a lamnima expresion.a)f (x) = 2 x2 1 b)f (x) =

13 2x

c)f (x) = 3 x2

2x + 2 d)f (x) = 55. Sea f (x) = 4 x2 para x [2, 2]. Compruebe cada una de las siguientes igualdades eindique en que conjunto de numeros reales son validas.

a ) f (x) = f (x)b) f (2y) = 2 1 y2c ) 12+ f (x ) = 2 f (x )x 2

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6. El siguiente es el graco de la funcion g : [3, 3] R .

Determine:

a ) Determine para que pre-im agenes la funcionse anula.

b) Determine las im agenes del 0 y 2.

c ) Para que numeros reales la funci on es nonegativa? y negativa?.

d ) En que intervalos la funcion es creciente?,en cuales es decreciente?.

7. Sea f : A B una funcion. Demuestre que:g : P (A) P (B), X g(X ) = f (X )es funcion.Para la funci on f del ejercicio 5, dena g y evalue g(X ) para X = [1, 2[, X = [1, 1], X = {0}y para X = {3}.

8. Considere y = f (x) como se muestra en la gura. A partir de este graco determina el gr acode:

a ) y = f (x) + 3

b) y = f (x + 3)

9. Considera la funci on real f : [1, 5) R , f (x) = x2 1.a ) Identique dominio y codominio.b) Calcule, si existen, imagen de los siguientes elementos: 0,1, 3, 5,5.c ) Obtenga, si existen, pre-imagenes de: -1,0,3,6.d ) Calcule y reduzca imagenes de: k, k+1, 1 /k , k. En cada caso, indique condiciones sobre

k para que las expresiones existan en R .

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e ) Determine el recorrido de f .f ) Determine la imagen de ] 1, 1[, [1, 3], [2, 0]g ) Determine la pre-imagen de [0 , 2], [3, 3], [4, 6].

10. Considere una funcion f : A B. Probar las siguientes propiedades de la imagen e imagenrecproca de conjuntos por f .a ) Para todo X, X A : f (X X ) f (X ) f (X ).b) Para todo Y, Y B : f

1(Y Y ) = f 1(Y ) f 1(Y ).11. La funcion caracterstica de A, para A un subconjunto cualquiera de un conjunto universo

U , se dene por:

A : U {0, 1}, A (x) =1 si xA0 si xA

Determine recorrido, graca y estudie si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

12. Para la funci on caracterstica de A. Demuestre que para todo A, B U a) A B = A B b) AB = A + B AB c) A B = A A B .Analice el caso A = U y A = .

13. Dada la funcion f : R R :

f (x) =|x |x , si x = 0

1, si x = 0

a ) Determine el dominio de f .b) De que otra manera se puede expresar f (x)?c ) Calcule f (1), f (1), f (a), f (a + 1).d ) Existe pre-imagen para -5?.e ) Graque la funci on.

14. Sea f : AR R . Determinar en cada caso, dominio y recorrido.

a ) f (x) = 2x1+ x 2b)

f (x) = x + 3 , si x 423 x, si x > 4

c )

f (x) =12, si x < 3x 7, si x 3

d ) f (x) = x 3x

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15. Determine si las siguientes funciones son inyectivas y/o sobreyectivas.

a ) f : R R tal que f (x) = x3 2.b) f : [0, 4] R tal que f (x) = x2 6x + 10.c ) f : R {1} R tal que f (x) = 2x 3x 1 .d ) f :]0, 10[

R tal que

f (x) =1x , si x 5110 x , si x > 5

16. Para cada una de las siguientes funciones dena f + g, f g, f g yf g

. Determine el dominio

de cada una de ellas.

a ) f (x) = 4 x 1, g(x) = 6 x + 3b) f (x) = 2x + 5, g(x) = 4x 9

17. Se dene f : R {1} ]4, 4[ como f (x) =4x

1+ x .

a ) Determinar si f es inyectiva.b) Determinar, si existe, la funcion inversa f 1. En caso contrario, restringir para denir f 1.c ) Gracar f y f 1 en un mismo plano.

18. Sea f cualquier funci on. Pruebe que la funci on g es par.

g(x) =12

f (x) + f (x)19. Sea f cualquier funci on. Pruebe que la funci on es impar.

g(x) =12

f (x) f (x)20. Las tablas que se presentan a continuaci on presentan algunos valores reales de las funciones f

y g :

x 5 6 7 8f(x) 8 7 6 5

x 5 6 7 8g(x) 7 8 6 5

Con los datos anteriores, determinar:a)(f g)(6) b)(g f )(6) c)(f f )(6)21. Sean f (x) = 3 x 1 y g(x) = x2. Determine:a)f (f [1]) b)f (5a 2) c)f (g(m))) d)g(g(2)) e)g(f (2r ))22. Dadas las siguientes funciones h, determine dos funciones f y g de tal modo que h(x) = f (g(x)).

a)h(x) = (6 x 2)2 b)h(x) =8x + 24x 3

c)h(x) = x3 823. Sea f (x) =

xx 1

para x = 1. Demuestra que ( f f )(x) = x, x = 1.

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