Matemáticas 2º de bachillerato 7 2º...Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de...

Apuntes

Matemáticas 2º de bachillerato

Leibniz

Tema 7

La integral indefinida

Tema 7: La integral indefinida


80

7.1 Introducción

Def.: Dadas dos funciones, F(x) y f(x), si se verifica que: F´(x) = f(x), para un cierto

intervalo de x, entonces se dice que F(x) es una función primitiva de f(x) para ese

determinado intervalo. Dos primitivas cualesquiera de f(x) difieren en una constante.

Def.: El conjunto de todas las funciones primitivas de una función es la integral

indefinida de esa función. Si se cumple que F´(x) = f(x):

F(x) es una primitiva de f(x)

F(x) + C es la integral indefinida de f(x)

La integral indefinida es una familia de funciones, cuyas gráficas son paralelas ( por

tener todas para cada x la misma pendiente), pero desplazadas a lo largo del eje OY, según

sea el valor de la constante C. Se escribe:

∫ f(x)dx = F(x) + C

A f(x) se le llama función subintegral o integrando, F(x) + C es la solución general,

siendo C la constante de integración. Para cada valor de C se obtiene una primitiva de

f(x) o solución particular de la integral. La diferencial de x, dx, indica que x es la

variable de integración.

Propiedades:

1ª: La derivada de la integral de una función respecto a la misma variable es la misma

función.

(∫ f(x) dx)´ = f(x)

2ª: La integral de una suma de varias funciones integrables es igual a la suma de las

integrales de cada una de las funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

3ª: La integral del producto de una constante por una función integrable es igual al

producto de la constante por la integral de la función.

∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x)dx



81

7.2 Integrales inmediatas

El gran problema del cálculo integral consiste en reconocer de qué función es derivada la

que nos encontramos en el integrando. En algunos casos, es sencillo reconocerlo; nos

encontramos entonces ante las integrales inmediatas, que se resuelven aplicando los

resultados de las tablas. En el caso de que la función primitiva no se reconozca con tanta

facilidad, tendremos que recurrir a los métodos de integración, que son procedimientos

que permiten transformar un integrando que no es inmediatamente integrable, en otro que

sí lo es.

1. ∫ f´(x) dx = f(x) + C

2. ∫k · f´(x) dx = k · f(x) + C

3. ∫[f(x)]n · f´(x) dx = [f(x)]n + 1

n + 1 + C

4. ∫f´(x)

[f(x)]m=

− 1

(m − 1)[f(x)]m − 1 + C

5. ∫f´(x)

√f(x) dx = 2 √f(x) + C

6. ∫f´(x)

f(x) dx = Ln |f(x)| + C

7. ∫ ef(x) · f´(x) dx = ef(x) + C

8. ∫ af(x) · f´(x) dx = af(x)

Ln a+ C

9. ∫ cos f(x) · f´(x) dx = sen f(x) + C

10. ∫ sen f(x) · f´(x) dx = − cos f(x) + C

11. ∫f´(x)

cos2 f(x) dx = ∫[1 + tg2 f(x)] · f´(x) dx = tg f(x) + C

12. ∫f´(x)

sen2 f(x) dx = ∫[1 + cotg2 f(x)] · f´(x) dx = − cotg f(x) + C

13. ∫f´(x)

√1 − [f(x)]2 dx = arcsen f(x) + C

14. ∫f´(x)

1 + [f(x)]2 dx = arctg f(x) + C

sen2 x = 1 − cos 2x

2 cos2 x =

1 + cos 2x

2



82

Ejemplos de integrales inmediatas:

1. ∫ 3 dx =

2. ∫ 5x2 dx =

3. ∫ 7ex dx =

4. ∫1

x2 dx =

5. ∫ √x3 dx =

6. ∫4

√x3 dx =

7. ∫(2x + cos x) dx =

8. ∫(3x2 + sec2 x) dx =

9. ∫(3x2 − x − 2)2 dx =

10. ∫(2x + 1)4 dx =

11. ∫(2x + 4)(x2 + 4x + 1)7 dx =

12. ∫ sen3 x cos x dx =

13. ∫ tg2 x sec2 x dx =

14. ∫ cos(2x + 1) dx =

15. ∫ x cos(x2 + 1) dx =

16. ∫2x + 8

x2+ 8x + 7 dx =

17. ∫7 cos (7x + 2)

sen(7x + 2) dx =

18. ∫sen x − cosx

sen x + cosx dx =

19. ∫ ex cos ex dx =

20. ∫ e3x + 4 dx =

21. ∫ 6x e3x2 + 7 dx =

22. ∫ 27x− 4 dx =

23. ∫(3x2 − 4) 2 x3 − 4x dx =

24. ∫ sen (7x + 8)dx =

25. ∫ 3 sec2 x dx =

26. ∫7

cos2 x dx =

27. ∫(5 + 5tg2 x)dx =

28. ∫8

sen2 x dx =

29. ∫ 3 cosec2 x dx =

30. ∫5

√5x + 3 dx =

31. ∫2x + 5

√x2 +5x − 3 dx =

32. ∫ex

√1 − e2x dx =

33. ∫2x

√1 − x4 dx =

34. ∫1

3 + 3x2 dx =

35. ∫1

1 + 9x2 dx =

36. ∫cos x

1 + sen2x dx =



83

7.3 Integrales que se reducen a inmediatas

Con ayuda de algunos trucos es posible reducir muchas integrales a inmediatas.

Generalizando, los trucos consisten en descomponer un polinomio en sus distintos

monomios, en reescribir la función en forma de potencia con exponente fraccionario, en

multiplicar y dividir por la misma expresión, en sumar y restar la misma cantidad, en

multiplicar por una expresión que resulte la unidad (sen2 x + cos2 x), en sustituir una

expresión por otra equivalente, incluso en realizar una división polinómica.

Ejemplos de integrales con trucos:

1. ∫5x2 + 3x − 6

x2 dx =

2. ∫x4

x2 + 1 dx =

3. ∫dx

sen2 x cos2 x=

4. ∫ cos2 x dx =

5. ∫ tg2 x dx =

6. ∫ sec4 x dx =

7. ∫dx

3 + x2=

7.4 Métodos de integración

7.4.1 Integrales del tipo arcsen x

Se trata de ir transformando el radicando hasta obtener una expresión del tipo 1 – f2 (x),

como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar un caso

concreto de integrales que se reducen a inmediatas.

∫f´(x)

√1 − [f(x)]2 dx = arcsen f(x) + C

Ejemplo: ∫x2

√1 − x6 dx =

Ejemplo: ∫dx

√4 − 3x2=



84

7.4.2 Integrales del tipo arctg x

Se trata de ir transformando el denominador hasta obtener una expresión del tipo 1

+ f2 (x), como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar

un caso concreto de integrales que se reducen a inmediatas. Sólo se podrá dar este caso

si las raíces del denominador son imaginarias.

∫f´(x)

1 + [f(x)]2 dx = arctg f(x) + C

Ejemplo: ∫1

1 + 4x2 dx =

Ejemplo: ∫1

4 + 5x2 dx =

Ejemplo: ∫1

x2 + 2x + 2 dx =

Ejemplo: ∫1

x2 + 6x + 11 dx =



85

7.4.3 Integración de funciones racionales

Antes de distinguir los casos en función del grado del denominador y del tipo de raíces

que este tenga, hay que dejar claro que lo primero que se hará siempre, en caso de que el

grado del numerador sea igual o mayor que el grado del denominador, es dividir

polinómicamente y expresar la división como cociente más resto entre divisor, como se

indica en el ejemplo a continuación. Con esto conseguimos que el grado del numerador

sea siempre menor que el del denominador.

7.4.3.1 Integración de funciones racionales con denominador de primer grado

Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En

caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente

y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del

denominador.

Ejemplo 1: ∫3x + 2

x − 2 dx =

Ejemplo 2: ∫7

3x + 5 dx =



86

7.4.3.2 Integración de funciones racionales con denominadores de segundo grado

Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En

caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente

y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del

denominador.

Si el denominador es de segundo grado, nos encontramos los siguientes casos:

a) que tenga dos raíces reales distintas (Ejemplos 1 y 2)

b) que tenga una raíz real doble (Ejemplo 3)

c) que tenga dos raíces imaginarias conjugadas (Ejemplo 4)

Ejemplo 1: ∫4x3 + 6x2 − 3x − 4

x2 − 2x − 3 dx =


x2 − 3x + 2 dx =



87



88

Ejemplo 3: ∫x2 − x

x2 − 4x + 4 dx =


2x2 + 2x + 1 dx =

Ejercicios:

1. ∫dx

x2 − 4=

2. ∫− 3x + 1

x2 − x + 1 dx =

3. ∫x2 + 3x − 4

x2 − 2x − 8 dx =

4. ∫2

x2 − 2x + 5 dx =



89

7.4.4 Integración por sustitución o cambio de variable

El papel de la sustitución en la integración es el equivalente a la regla de la cadena en la

derivación. Recuérdese que para las funciones derivables dadas por y = F(u) y u = t(x), la

regla de la cadena establece que:

d

dx[F(t(x))] = F´(t(x)) · t´(x)

Integrando la expresión anterior, obtenemos:

∫F´(t(x)) · t´(x) dx = F(t(x)) + C = F(u) + C

Ejemplos: En el caso de las funciones sencillas no tenemos que aplicar este método, ya

que la tabla viene preparada con las derivadas internas (f´(x)).

a) ∫ 5 √5x + 1 dx =

b) ∫ x (x2 + 1)3 dx =

En otro tipo de ejercicios es más cómodo realizar la sustitución como realizaremos en el

ejemplo a continuación.

Ejemplo: ∫dx

√x (1 − √x)=

Sust.: √x = t

dx

2√x= dt ⟺

dx

√x= 2 dt



90

Ejercicios:

1. ∫dx

x2 √1 − x2=

2. ∫dx

ex + e − x=

3. ∫e arctg x

1 + x 2 dx =

4. ∫ln x2

x dx =

5. ∫dx

x Ln x Ln (Ln x) =

6. ∫ tg3 x dx =

7. ∫ cotg x [Ln (sen x)]2 dx =

8. ∫51x

x2 dx =

9. ∫1 + tg2 x

√tg x − 1 dx =

10. ∫x3

√x2 + 1 dx =

11. ∫x

1 + √x dx =

12. ∫dx

x + √x =



91

7.4.5 Integración por partes

Este método de integración se obtiene de la regla de derivación de un producto:

d

dx (u · v) =

d

dx (u) · v + u ·

d

dx v

Despejando el último sumando e integrando hacia x toda la expresión, resulta:

∫u dv

dx dx = ∫

d

dx (u · v) dx − ∫ v

du

dx dx

y simplificando:

Existe una regla nemotécnica para la fórmula de la integración por partes:

“un día vi un viejo vestido de uniforme”

Ejemplo: ∫ x · cos x dx =

u = x du = dx

dv = cos x dx v = ∫ dv = ∫ cos x dx = sen x

1. ∫ Ln x dx =

2. ∫ cos2 x dx =

3. ∫ arcsen x dx =

4. ∫ ex · cos 2x dx =

5. ∫x ex

(x + 1)2 dx =

6. ∫ x2 Ln x dx =

7. ∫ 2x2 · sen x dx =

8. ∫ e2x · sen x dx =

∫u dv = u · v − ∫ v du



92

7.4.6 Integración de funciones trigonométricas, del tipo R(sen x, cos x)

R es una función racional (sumas, productos y cocientes) de senos y cosenos.

7.4.6.1 R es impar en seno: R (- sen x, cos x) = - R(sen x, cos x)

Se realizará el cambio de variable cos x = t

Ejemplo: ∫sen x

1 + cos2 x dx =

7.4.6.2 R es impar en coseno: R (sen x, - cos x) = - R(sen x, cos x)

Se realizará el cambio de variable sen x = t

Ejemplo: ∫dx

cos x=



93

7.4.6.3 R es par en seno y coseno: R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x)

Se realizará el cambio tg x = t

{

dx =

dt

1 + t2

sen x = t

√1 + t2

cos x =1

√1 + t2

Ejemplo: ∫dx

sen2 x=

7.4.6.4 Para el resto de casos se podrá aplicar la sustitución universal: tg x

2= t

{

dx =

2 dt

1 + t2

sen x = 2t

1 + t2

cos x =1 − t2

1 + t2



94

Ejemplo: ∫3 dx

1 − sen x=

Ejercicios:

1. ∫ sen2 x cos x dx =

2. ∫ cos3 x dx =

3. ∫ sen x cos x dx =

4. ∫ sen2 x cos3 x dx =

5. ∫sen x

cos2 x dx =



95

Ejercicios

1. Determina la función primitiva de f(x) = 2x + 1 que pasa por el punto P(1, 5).

2. Determina una función cuya derivada sea f(x) = 3x2 + cos x que cumpla que cuando

x = 0, y también valga 0.

3. Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas

curvas en cualquier punto viene dada por la función y = x·e2x. Obtén, de esa familia,

la curva que pasa por A(0,2).

4. Realiza las siguientes integrales:

a) ∫√x+3x−2−4

x3dx p) ∫

dx

x− √x4

b) ∫3x

x+5dx q) ∫

sen(√x)

√xdx

c) ∫4x5+2x3−4x+1

x2dx r) ∫ x2cos

x

3dx

d) ∫2x√x2 − 3dx s) ∫ arctg(3x)dx

e) ∫3x

x4+2dx t) ∫

√ex

1−√exdx

f) ∫x3

x−2dx u) ∫

2

x2+2x+9dx

g) ∫ cos4xsenxdx v) ∫x+3

√9−x2dx

h) ∫x3+4x2−10x+7

x3−7x+6dx w) ∫ e−2xcos3xdx

i) ∫1

√x3

+√xdx x) ∫

x4+2x−6

x3+x2−2xdx

j) ∫2x+5

(x+3)3dx y) ∫

x2

x3+2x2+xdx

k) ∫x3+22x2−12x+8

x4−4x2dx z) ∫(x + 2) · Ln(x + 1)dx

l) ∫5x+2

x2−6x+12dx aa) ∫ sen2x · cos3xdx

m) ∫ x√x + 1dx ab) ∫cos2x

sen3xdx

n) ∫1

x√x+1dx ac) ∫

5x

x4+3dx

o) ∫ x2 · 2−xdx ad) ∫ sen3x · cos3xdx



96

Ejercicios PAU

1. ∫5x+√3x

x2dx (Junio 2013)

2. a)∫ 5√x3

− 3x3 +2

x2dx b) ∫

5

(2x−3)2+9dx (Junio 2012)

3. ∫ xLnxdx (Junio 2011)

4. ∫x2+3

x2−2xdx (Sept 2010)

5. a) ∫(2x − 1)Lnxdx b) ∫1−x

1+4x2dx (Sept 2008)



97

Ficha de Repaso

1.

dx

x

x

2

32 I = 2x – 7 Ln ( x + 2) + C

2. dxsenx

senx

1

1 I = 2 tgx + 2/cosx – x + C

3. dx

x

x2

2

1 I = x – arctg x + C

4. dxx 527

5. dx

x

x

12

4

I = x3/3 – x + arctg x + C

6. xdxx 2cos2 I = (x2sen2x + xcos2x – ½·sen2x)·1/2 + C

7.

dxxx 2)3)·(1(

1

I = CxLnxLn

x

16

)3(

16

)1(

)3(4

1

8. dxx x2· I = - x·2-x/Ln2 – 2-x/(Ln2)2 + C

9.

dxxx

x

64

12

I =

2

223)64(

2

1 2 xarctgxxLn

10. ∫ xe4xdx I = xe4x

4−e4x

16+ C

11. xdxsen3

I = Cx

x 3

coscos

3

12. dxx

xsen2

3

cos I = 1/cosx + cos x + C

13.

dx

x

x

1 I = 2· CxLnxxx

)1(2/

3

3

14. dxe x 1

I = 2·( 11 xx earctge ) + C

15.

dx

Lnxx

dx

1



98

16. dxx

xx

32

473 2

I = x2 – 7x – 17/2·Ln(2x-3) + C

17.

dx

xx

x2

2 I = - 2 Lnx + 3 Ln(x + 1) + C

18. dxxx

xxx

67

71043

23

I = x – 5Ln(x + 1) + 7Ln(x + 2) + 2Ln(x – 3) + C

19.

dx

x

x3)3(

52

I =

Cxx

2)3(2

1

3

2

20.

dx

x

x232

I = 4 Cxx 5

5

6

21.

dxxx 32

1

I = LnCx

x

x

/1

1

22.

dx

x3

2

53

23.

dx

xx

x

52

42

I = Cx

arctgxxLn

2

1

2

3)52(

2

1 2

24.

dxx 23

1

25.

dxxxx

x

22 23

I = C

xarctgxLnxLn

23

2)2(

6

1)1(

3

1 2

26.

dx

xxx

x

44

4423

I =

CxLnxLnxLn )2(3

1)2(3)1(

3

8

27.

dx

xxx

x

27279

223

2

I =

Cxx

xLn

2)3(

1·

2

11

3

6)3(

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