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MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Funciones 1) Funciones reales de variable real Una función (f) es la relación entre un conjunto de elementos dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado recorrido o imagen) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento y (f(x)) del recorrido. El subconjunto de números reales x para los que la función está definida se denomina Dominio. D(f) El subconjunto de número reales formado por todos los valores de y que toma la función se denomina Imagen o recorrido. Im(f) o R(f) El número real x toma el nombre de variable independiente y el número real y toma el nombre de variable dependiente. Esta gráfica no corresponde con una función. Si nos vamos a la definición nos dice que a cada elemento de x le corresponde un único valor de y. Si observamos la gráfica para un valor de x le corresponde varios valores de y. Ejemplo: Vamos a calcular el dominio y la imagen o recorrido de las siguientes funciones: D(f) = D(f) = Im(f) o R(f) = [ -4, Im(f) o R(f) = [-1,1] Dominio D(f) = xϵ (- Imagen Im(f) = R(f) = (-,1]
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1) Funciones reales de variable real
Una función (f) es la relación entre un conjunto de elementos dado X (llamado dominio) y otro conjunto de
elementos Y (llamado recorrido o imagen) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un
único elemento y (f(x)) del recorrido.
El subconjunto de números reales x para los que la función está definida se denomina Dominio. D(f)
El subconjunto de número reales formado por todos los valores de y que toma la función se denomina
Imagen o recorrido. Im(f) o R(f)
El número real x toma el nombre de variable independiente y el número real y toma el nombre de variable
dependiente.
Esta gráfica no corresponde con una función. Si nos vamos a la definición
nos dice que a cada elemento de x le corresponde un único valor de y. Si
observamos la gráfica para un valor de x le corresponde varios valores de y.
Ejemplo: Vamos a calcular el dominio y la imagen o recorrido de las siguientes funciones:
D(f) = D(f) =
Im(f) o R(f) = [ -4, Im(f) o R(f) = [-1,1]
Dominio D(f) = xϵ (-
Imagen Im(f) = R(f) = (- ,1]
Una función puede venir expresada de cuatro formas distintas:
Mediante una tabla de valores que se amoldan a una situación real:
Ejemplo: Tabla en la que expresa la longitud de una circunferencia en función del diámetro
Diámetro 1 2 3 4 5
Longitud de la
circunferencia
3,14 6,28 9,42 12,57 15,71
Mediante una fórmula que relaciona ambas variables: y = x2
Mediante una gráfica:
En ella podremos observar donde la función crece o decrece; donde alcanza máximos o mínimos; la
tendencia de la función; si existe o no existe discontinuidades o la concavidad de la misma.
Ejemplo:
La función es continua.
D(f) = , Im(f) = (-
Crecimiento (-
Decrecimiento
Máximo (-1,4) y (3,4)
Mínimo (1,0)
Tendencia
Mediante el planteamiento de un problema:
Cuatro bolígrafos cuestan dos euros. Escribe y representa la función que define el coste de los bolígrafos
en función de los bolígrafos comprados.
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2) Cálculo del dominio de una función a partir de la expresión analítica
Dominio de la función polinómica.
El dominio de una función polinómica está fomado por todos los valores reales ( ). D(f)= x
Ejemplo: f(x) = x3-2x
2-5 D(f) = x
Dominio de una función racional.
El dominio de una función racional está formado por todos los valores reales ( ., exceptuando los que anulan
el denominador.
Ejemplo: f(x) =
Condición: x-2≠0 x≠2 D(f) = x { }
Dominio de la función radical
f(x)= √ {
{ }
El dominio de una función radical de índice impar está formado por todos los valores reales ( . D(f)=
x
Ejemplo: f(x) = √
D(f)= x
El dominio de una función radical de índice par está formado por todos los valores del dominio del
radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero.
Ejemplo:
f(x) = √
Condición: x-1 D(f) = x
Dominio de una función exponencial
El dominio de una función exponencial está formado por todos los valores reales ( ). D(f)= x
Ejemplo: f(x) = D(f)= x
Dominio de una función logarítmica
El dominio de una función logarítmica está formado por todos los valores que hacen que la función que se
encuentra dentro del logaritmo sea mayor que 0.
Ejemplo: f(x)=
Condición: x - 4 > 0 x > 4 D(f)= x
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3) Operaciones con funciones
Suma o diferencia
Los dominios de la función suma y diferencia estarán formados por los números que pertenecen a la vez a los dos
dominios de f y de g.
Dadas las siguientes funciones: f(x)=
y g(x) =
D(f) = { } D(g) = { }
Suma s(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
D(s) = { }
Diferencia d(x) = (f - g)(x) = f(x) - g(x) =
D(d) = { }
Producto o Cociente
El dominio de la función producto estará formado por los números que pertenecen a la vez a los dos dominios de f y
de g.
Dadas las siguientes funciones: f(x)=
y g(x) =
D(f) = { } D(g) = { }
Producto p(x) = (f·g)(x) = f(x)·g(x) =
D(p) = { }
El dominio de la función cociente estará formado por los números que pertenecen a la vez a los dos dominios de f y
de g, aunque debemos excluir los valores de la función que se encuentra en el denominador.
Cociente c(x) = (
)
D(c)= { }
Composición de funciones
Dadas dos funciones f(x) y g(x) {
La expresión f [g(x)] se lee como g compuesta con f. Nombramos siempre en primer lugar a la función que se
encuentra más a la derecha debido a que es la primera función en actuar sobre la variable independiente x.
La composición de funciones por lo general no admite la propiedad conmutativa.
Si tenemos dos funciones f(x) = 2x+1 y g(x) = x2
Para calcular el dominio de una composición de funciones:
Df o g = { }
Debemos calcular lo siguiente:
Dominio de la función g(x)
Dominio de la función resultante.
Dg o f = { }
Debemos calcular lo siguiente:
Dominio de la función f(x)
Dominio de la función resultante.
Ejemplo: sean la función f(x)=
y g(x)=
g compuesta con f (fοg)(x) = f [g(x)] = f (
) =
Calculamos el dominio.
Calculamos el dominio de g(x) D(g) = { }
Calculamos el dominio de la función f [g(x)] D(f [g(x)]) = { }
El dominio resultante será: Df o g = { }
f compuesta con g (gof)(x) = g[f(x)] = g(
)
Calculamos el dominio.
Calculamos el dominio de f(x) D(g) = { }
Calculamos el dominio de la función g [f(x)] D(g [f(x)]) = {
}
El dominio resultante será: Dg o f = {
}
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4) Límite de una función en un punto
El límite cuando x tiende a c de f(x) es L = L
Significa: L es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c
Notas:
Que x se aproxima a “c” significa que toma valores muy cerca de “c” (Se puede acercar por la izquierda o por la
derecha).
L puede ser + ó - y entonces x = c es una asíntota vertical.
= + =-
Para que exista el deben existir los límites laterales y a la vez deben coincidir
= = L
Casos
1) Existen tanto la imagen como los límites y ambos coinciden.
; y ambos coinciden = f(c)
f(2)= 5
= 5
2) No existe la imagen pero existe el límite.
;
f(2)
= 3
3) Existe tanto imagen como límite pero no coinciden
f(2)=1
= 3
4) No existe ni imagen ni límite
f(1)
= -
= +
5) Existen la imagen de la función pero no el límite
f(1)=1
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Ejemplo:
f(4) = 1 f(-1) = 3
ya que los límites laterales son
distintos.
Propiedades de los límites
Límite de una constante:
Límite de una suma:
Límite de un producto:
Límite de un cociente: [
]
si
Límite de una potencia: [ ] si f(x) > 0
Límite de una función:
5) Límites en el infinito
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más infinito
Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes positivos. (1º cuadrante)
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos infinito. Significa: la
función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes positivos. (4º cuadrante)
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es L. Significa: L es el valor al que se
aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota horizontal.
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es más infinito. Significa: la
función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes negativos. (2º cuadrante)
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es menos infinito. Significa: la
función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes negativos. (3º cuadrante)
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es L. Significa: L es el valor al
que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes negativos: y = L es una asíntota horizontal.
= 1
= 1 Tendremos una asíntota horizontal en y = 1
Comparación de Infinitos
Dadas las funciones polinómicas, exponenciales (a>1) y logarítmicas (a>1) que tiendan a + cuando x tiende a +
Las funciones exponenciales tienden a más rápido que las funciones polinómicas y estas más rápido que
las logarítmicas Exponenciales > Polinómicas > Logarítmicas
Una función exponencial tienden a más rápido que otra exponencial si la base de la 1ª es mayor que la
2ª.
Una función polinómica tiende a que otra polinómica si el grado de la primera es mayor que el grado de
la segunda.
Dadas dos funciones logarítmicas, la de menor base será un infinito de orden superior.
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6) Resolución de indeterminaciones
o Límite del cociente de dos funciones polinómicas
Cuando la función del numerador es del mismo grado que la función del denominador y x tiende a ∞, el
límite será el cociente de los coeficientes de grado más alto.
Ejemplo:
5
3
25
13
lim25
13
lim25
13lim
)25(lim
)13(lim
25
13lim
x
x
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
El límite tenderá a cero en el cociente de dos funciones polinómicas donde el denominador tiene mayor grado
que el numerador, cuando x tiende a ∞.
El límite tenderá a ∞ en el cociente de dos funciones polinómicas donde el denominador tiene menor grado
que el numerador, cuando x tiende a ∞.
o Límite del cociente de dos funciones polinómicas o irracionales.
Estas indeterminaciones se resuelven factorizando y simplificando.
Ejemplo:
3
8
)3(
)4·(2
)1(
)2(2lim
)1)(2(
)2)(2(2lim
2
82lim
0
0
2
82lim
222
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xxx
x
0
0
Si se trata de funciones irracionales, entonces se multiplican numerador y denominador por su conjugado, y
se simplifica.
Ejemplo
4)22)(1(241lim241
lim
44
24lim
24
24
24lim
24lim
0
0
24lim
00
2
0
2
0
2
0
2
0
xxx
xxx
x
xxx
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xxx
x
o Debemos estudiar los límites laterales de la función.
2
limx
2
22
x
x
= 0
k
Estudiamos los límites laterales
2
limx 2
22
x
x
= - Como no coinciden, no existe
2
limx
2
22
x
x = +
Se resuelven transformándolas en indeterminaciones de tipo
o en las del tipo
. o
Resolvemos algún ejemplo:
xlim
xx
x3
1 2 = x
lim x
xx 32
=
sacamos factor común a la x
xlim
x
xx )
31(2
= xlim
x
xx
31
= xlim
1
31
x
= 1
0
k
0
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o Límites de funciones racionales o irracionales. Las primeras se resuelven operando
convenientemente, y las segundas multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
Ejemplo:
xlim
( )254 2 xxx = [ ] = xlim
)254
)254)(254(
2
22
xxx
xxxxxx
=
xlim
)254
454
2
22
xxx
xxx
= xlim 2
54
5
x = -
o Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.
(
)
Ejemplo:
(
)
Sumamos y restamos 1 a la base:
(
)
(
)
= (
)
(
)
= (
)
= √
1
Suma
k + = + + +
k - = - - -
Potencia
Si n
Si n , impar
Si n , par
Si k> 1
Si 0<k<1
Producto
(+ )(+ = + (- )(- ) = +
(+ )(- ) = -
Si k>0
k·(+ ) = +
k· (- ) = -
Si k<0
k·(+ ) = -
k·(- ) = +
Cociente
= 0
= 0
Si k> 0
Si k<0
