MatemáticasDiscretas (TC1003) M.C.XavierSánchezDíaz sax@tec · 2020-06-12 · Inclusión...
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Conjuntos, colecciones y enumeración Matemáticas Discretas (TC1003) M.C. Xavier Sánchez Díaz [email protected]
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Conjuntos, colecciones y enumeraciónMatemáticas Discretas
(TC1003)
M.C. Xavier Sánchez Dí[email protected]
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1 Definición y propiedades
2 Operaciones con conjuntos
3 Equivalencias y leyes de conjuntos
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Un conjunto es un concepto abstracto, construido para referirse a una co-lección de elementos.
Usualmente representamos los conjuntos con letras mayúsculas (usualmenteusando letras próximas a la A), y delimitamos sus contenidos con llaves (curlybrackets):
EjemploA es el conjunto de los primeros cinco números naturales, es deciraquellos que nos sirven para contar :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Un conjunto es un concepto abstracto, construido para referirse a una co-lección de elementos.
Usualmente representamos los conjuntos con letras mayúsculas (usualmenteusando letras próximas a la A), y delimitamos sus contenidos con llaves (curlybrackets):
EjemploA es el conjunto de los primeros cinco números naturales, es deciraquellos que nos sirven para contar :
A = {1, 2, 3, 4, 5}
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Un conjunto puede enumerarse o describirse:
Enumeración
A = {1, 2, 3, 4, 5}
DescripciónA = el conjunto de los primeros cinco números naturalesB = el conjunto de personas en este salónC = el conjunto de estudiantes del Campus Monterrey
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Un conjunto es una colección en la que no existe orden alguno:
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 3, 1, 5, 4}. . .
¿Cuál de los dos es el conjunto de los cinco primeros númerosnaturales?¿Cuáles son los elementos del primer conjunto y cuáles son los delsegundo?
Podemos usar el símbolo ∈ para denotar pertenencia, e.g. 2 ∈ A significaque el 2 es un elemento que pertenece a A o que está en A.
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Podemos contar los elementos que hay dentro de un conjunto. A la can-tidad de elementos dentro de un conjunto le llamamos cardinalidad.
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5}. . .
Q: ¿Cuál es la cardinalidad de A?A: 5
NotaAunque es poco común, a veces pueden observarse conjuntos conelementos repetidos. Si este fuera el caso, asume que sólo existe una copiade cada elemento.
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Podemos contar los elementos que hay dentro de un conjunto. A la can-tidad de elementos dentro de un conjunto le llamamos cardinalidad.
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5}. . .
Q: ¿Cuál es la cardinalidad de A?A: 5
NotaAunque es poco común, a veces pueden observarse conjuntos conelementos repetidos. Si este fuera el caso, asume que sólo existe una copiade cada elemento.
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Podemos contar los elementos que hay dentro de un conjunto. A la can-tidad de elementos dentro de un conjunto le llamamos cardinalidad.
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5}. . .
Q: ¿Cuál es la cardinalidad de A?A: 5
NotaAunque es poco común, a veces pueden observarse conjuntos conelementos repetidos. Si este fuera el caso, asume que sólo existe una copiade cada elemento.
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Story time: conjuntos finitos einfinitos
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Para denotar la cardinalidad de un conjunto contable, usualmente usamosel símbolo #(A), mientras que usamos dos barras verticales para denotar lacardinalidad de un conjunto no contable.
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces #(A) = 5 o bien |A| = 5
Algunos autores usan una notación; otros, otra. No importa cuál usemos,intentemos ser consistentes.
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¿Qué es un conjunto?Definición y propiedades de los conjuntos
Para denotar la cardinalidad de un conjunto contable, usualmente usamosel símbolo #(A), mientras que usamos dos barras verticales para denotar lacardinalidad de un conjunto no contable.
EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces #(A) = 5 o bien |A| = 5
Algunos autores usan una notación; otros, otra. No importa cuál usemos,intentemos ser consistentes.
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Podemos comparar dos conjuntos en cuanto a tamaño, pero también po-demos saber si uno está incluido dentro de otro.
EjemploSi A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto de A.
Usamos la notación B ⊆ A para decir que B es un subconjunto de A; cadaelemento de B está en A. . .
PERO ESPERA
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Podemos comparar dos conjuntos en cuanto a tamaño, pero también po-demos saber si uno está incluido dentro de otro.
EjemploSi A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto de A.
Usamos la notación B ⊆ A para decir que B es un subconjunto de A; cadaelemento de B está en A. . .
PERO ESPERA
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Podemos comparar dos conjuntos en cuanto a tamaño, pero también po-demos saber si uno está incluido dentro de otro.
EjemploSi A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto de A.
Usamos la notación B ⊆ A para decir que B es un subconjunto de A; cadaelemento de B está en A. . .
PERO ESPERA
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Podemos comparar dos conjuntos en cuanto a tamaño, pero también po-demos saber si uno está incluido dentro de otro.
EjemploSi A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto de A.
Usamos la notación B ⊆ A para decir que B es un subconjunto de A; cadaelemento de B está en A. . .
PERO ESPERA
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Si A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto propiode A:
Inclusión propiaSi todos los elementos de B están en A, sabemos que B ⊆ A.Si todos los elementos de B están en A, pero no todos los elementosde A están en B, entonces B ⊂ A
A esto último se le llama inclusión propia (que es el caso de los de Monterreyy los de Nuevo León), y da más información que la simple inclusión.
Mini-story time: orden estricto
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InclusiónOperaciones con conjuntos
Si A = el conjunto de habitantes de Nuevo León y B = es el conjunto dehabitantes de Monterrey, entonces sabemos que B es un subconjunto propiode A:
Inclusión propiaSi todos los elementos de B están en A, sabemos que B ⊆ A.Si todos los elementos de B están en A, pero no todos los elementosde A están en B, entonces B ⊂ A
A esto último se le llama inclusión propia (que es el caso de los de Monterreyy los de Nuevo León), y da más información que la simple inclusión.
Mini-story time: orden estricto
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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IdentidadOperaciones con conjuntos
¿Qué información tenemos en cada caso? Reflexiona un momento. . .
A ⊆ B
B ⊆ A
A ⊆ B y B ⊆ A
Cuando dos conjuntos tienen lo mismo, decimos que son idénticos (duh).
Observa la diferencia entre A ⊆ B y A ⊂ B.
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Más sobre subconjuntosOperaciones con conjuntos
¿Cuántos subconjuntos posibles puedes enumerarpara el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10}?
Hint: considera las distintas maneras de meter sus elementos a unasub-caja.
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El Conjunto PotenciaOperaciones con conjuntos
El conjunto potencia de A, denotado por ℘(A), es el conjunto de todoslos posibles subconjuntos en A.
Teorema 1|℘(A)| = 2|A|.
Puedes enumerar todos los elementos de ℘(A) si A = {1, 2, 3, 4}?
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El Conjunto PotenciaOperaciones con conjuntos
El conjunto potencia de A, denotado por ℘(A), es el conjunto de todoslos posibles subconjuntos en A.
Teorema 1|℘(A)| = 2|A|.
Puedes enumerar todos los elementos de ℘(A) si A = {1, 2, 3, 4}?
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El Conjunto PotenciaOperaciones con conjuntos
El conjunto potencia de A, denotado por ℘(A), es el conjunto de todoslos posibles subconjuntos en A.
Teorema 1|℘(A)| = 2|A|.
Puedes enumerar todos los elementos de ℘(A) si A = {1, 2, 3, 4}?
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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El conjunto vacíoOperaciones con conjuntos
Cualquier conjunto A el cual no tiene elementos, i.e. |A| = 0 es un conjuntovacío.
El conjunto vacío, usualmente representado como ∅ o {} es una parte esen-cial de la teoría de conjuntos:
Es siempre un subconjunto de cualquier conjunto, i.e., ∅ ⊂ A
Es equiparable a la nada, que es distinto del 0.
Mini story time: null vs 0
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La lógica en los conjuntosOperaciones con conjuntos
Podemos conectar el tema de lógica proposicional con los conjuntos demuchas maneras. La primera de ella es para describir los conjuntos.
EjemploEl conjunto A de los primeros 5 números naturales, podemos describirloformalmente como
A = {n | n ∈ N ∧ n ≤ 5}
NotaAlgunos autores usan | y otros :. Cualquiera de los dos jala. Luego veremosaplicaciones extras de cada símbolo.
Mini story time: N y uso de , y ;
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La lógica en los conjuntosOperaciones con conjuntos
Podemos conectar el tema de lógica proposicional con los conjuntos demuchas maneras. La primera de ella es para describir los conjuntos.
EjemploEl conjunto A de los primeros 5 números naturales, podemos describirloformalmente como
A = {n | n ∈ N ∧ n ≤ 5}
NotaAlgunos autores usan | y otros :. Cualquiera de los dos jala. Luego veremosaplicaciones extras de cada símbolo.
Mini story time: N y uso de , y ;
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La lógica en los conjuntosOperaciones con conjuntos
Podemos conectar el tema de lógica proposicional con los conjuntos demuchas maneras. La primera de ella es para describir los conjuntos.
EjemploEl conjunto A de los primeros 5 números naturales, podemos describirloformalmente como
A = {n | n ∈ N ∧ n ≤ 5}
NotaAlgunos autores usan | y otros :. Cualquiera de los dos jala. Luego veremosaplicaciones extras de cada símbolo.
Mini story time: N y uso de , y ;
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La lógica en los conjuntos: IntersecciónOperaciones con conjuntos
De igual manera, existe una correspondencia de cada uno de los operadoreslógicos que vimos con operaciones con conjuntos:
Intersección y Conjunción
x ∈ A ∧ x ∈ B ` x ∈ A ∩B
¿Qué significa esto?
La intersección, así como la conjunción, es asociativa, conmutativa y distri-butiva sobre la unión.
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La lógica en los conjuntos: IntersecciónOperaciones con conjuntos
De igual manera, existe una correspondencia de cada uno de los operadoreslógicos que vimos con operaciones con conjuntos:
Intersección y Conjunción
x ∈ A ∧ x ∈ B ` x ∈ A ∩B
¿Qué significa esto?
La intersección, así como la conjunción, es asociativa, conmutativa y distri-butiva sobre la unión.
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La lógica en los conjuntos: IntersecciónOperaciones con conjuntos
De igual manera, existe una correspondencia de cada uno de los operadoreslógicos que vimos con operaciones con conjuntos:
Intersección y Conjunción
x ∈ A ∧ x ∈ B ` x ∈ A ∩B
¿Qué significa esto?
La intersección, así como la conjunción, es asociativa, conmutativa y distri-butiva sobre la unión.
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La lógica en los conjuntos: IntersecciónOperaciones con conjuntos
De igual manera, existe una correspondencia de cada uno de los operadoreslógicos que vimos con operaciones con conjuntos:
Intersección y Conjunción
x ∈ A ∧ x ∈ B ` x ∈ A ∩B
¿Qué significa esto?
La intersección, así como la conjunción, es asociativa, conmutativa y distri-butiva sobre la unión.
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Diagramas de VennOperaciones con conjuntos
Un diagrama de Venn es una manera efectiva de ilustrar las relaciones entredos conjuntos.
A B
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Diagramas de VennOperaciones con conjuntos
Un diagrama de Venn es una manera efectiva de ilustrar las relaciones entredos conjuntos.
A B
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La lógica en los conjuntos: UniónOperaciones con conjuntos
Unión y Disyunción
x ∈ A ∨ x ∈ B ` x ∈ A ∪B
La unión, así como la disyunción, es asociativa, conmutativa y distributivasobre la intersección.
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La lógica en los conjuntos: ComplementoOperaciones con conjuntos
Complemento y Negación
x /∈ A ` x ∈ {(A)
Para poder contextualizar el complemento de A como todo aquello que noes A, hay que delimitar qué es todo. A ese todo le llamamos universo, y esusualmente representado con la letra U .
Mini story time: Proofwiki Complement definition
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Set_Complement19 / 22
Operaciones adicionales: DiferenciaOperaciones con conjuntos
La idea de tener un universo nos deja pensando en que el complementode un conjunto A es la diferencia del universo menos A:
Diferencia
{(A) ≡ U −A ≡ U \A
Ejemplo: diferenciaSi el universo consta de dos conjuntos A y B, entonces
x ∈ A ∧ x 6∈ B ` x ∈ A \B
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Operaciones adicionales: Diferencia simétricaOperaciones con conjuntos
La diferencia simétrica es una diferencia mutuamente excluyente:
Diferencia simétricaSi el universo consta de dos conjuntos A y B, entonces
(x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∨ x(∈ B ∧ x 6∈ A) ` x ∈ A⊕B
¿Cuál sería el diagrama de Venn para esta operación?
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Operaciones adicionales: Diferencia simétricaOperaciones con conjuntos
La diferencia simétrica es una diferencia mutuamente excluyente:
Diferencia simétricaSi el universo consta de dos conjuntos A y B, entonces
(x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∨ x(∈ B ∧ x 6∈ A) ` x ∈ A⊕B
¿Cuál sería el diagrama de Venn para esta operación?
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EquivalenciasEquivalencias y leyes de conjuntos
1 A ∪A ≡ A2 A ∩A ≡ A3 A ∪B ≡ B ∪A4 A ∩B ≡ B ∩A5 A ∪ (B ∪ C) ≡ (A ∪B) ∪ C6 A ∩ (B ∩ C) ≡ (A ∩B) ∩ C7 {(A ∪B) ≡ {(A) ∩ {(B)8 {(A ∩B) ≡ {(A) ∪ {(B)9 A ∩ (A ∪B) ≡ A ≡ A ∪ (A ∩B)10 A ∩ (B ∪ C) ≡ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)11 A ∪ (B ∩ C) ≡ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)12 {(A) ∩A ≡ ∅13 {({(A)) = A14 A ∪ ∅ ≡ A15 A ∩ ∅ ≡ ∅
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