Matematiques

per a multimedia II

PAC 1

Olivia Andolz Santacana

Grau de Multimèdia

Aula 1

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 1

PAC 1 - Enunciat

A. PREGUNTES TEST

1- Xifrant m=CLAVEGUERA amb el mètode de xifrat de clau privada basat

en transposicions explicat a la pàgina 34 del mòdul 2 amb la permutació

1→5 2→3 3→1 4→4 5→2

S’obté:

a) c= EACVLAEGRU

b) c= AELVCAEGRU

c) c= EACVLEAGRU

Procediment:

Dividim el missatge (m = CLAVEGUERA) en dos blocs de cinc caràcters

cadascun i ho disposem en forma de matriu, per files i columnes:

𝑚 = �𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴�

A continuació procedim a realitzar la permutació:

�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �

1 2 𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

3 4 5𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴

�

Primer de tot, hem de mirar l’ordre en que ho hem d’encriptar:

1→5 2→3 3→1 4→4 5→2

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 2

Per tant, significa que en la primera columna posarem el que conte la

cinquena columna, en la segona columna posarem el contingut de la

tercera, en la tercera el que conte la primera,...així amb totes les columnes.

Un cop haguem acabat de situar-ho, ja tindrem el missatge encriptat.

�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �

1 2 𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

3 4 5𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴

�

�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈

𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �

5 3 𝐸 𝐴 𝐴 𝐸

1 4 2𝐶 𝑉 𝐿𝐺 𝑅 𝑈

�

𝒄 = �𝟓 𝟑 𝑬 𝑨 𝑨 𝑬

𝟏 𝟒 𝟐𝑪 𝑽 𝑳𝑮 𝑹 𝑼

�

𝒄 = 𝑬𝑨𝑪𝑽𝑳𝑨𝑬𝑮𝑹𝑼

Per comprovar si c = EACVLAEGRU es correcte el resultat obtingut ho

podem fer per un altre mètode:

m = CLAVE → c = EACVL

c = EACVLAEGRU

m = GUERA → c = AEGRU

Així que, la resposta correcta és la A) c = EACVLAEGRU

1→5 2→3 3→1 4→4 5→2

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 3

2- La taxa de compressió quan s’aplica el mètode Huffman a la tira

TWITTER està:

a) Entre 20% i 25%

b) Entre 25% i 30%

c) Més de 30%

Procediment:

Primer procedim a calcular la codificació sense comprimir, tot seguit la

codificació amb compressió (mètode Huffman) i finalment trobarem la taxa

de compressió de la paraula TWITTER.

• Codificació sense comprimir:

Veiem que la paraula TWITTER, esta formada per 7 caràcters, i que un és

repeteix 3 cops, per tant, només haurem de codificar 5 caràcters diferents.

A continuació calculem quants bits necessitem per cada caràcter:

2𝑥 = 5 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠

𝑥 = log (5)log (2)

= 2,3219 ≃ 3

𝒙 = 𝟑 𝒃𝒊𝒕𝒔

𝒄𝒂𝒓à𝒄𝒕𝒆𝒓

Això vol dir que cada caràcter estarà codificat per 3 bits, la paraula

TWITTER, com hem dit abans, té 7 caràcters, per tant:

7 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠 𝑥 3 𝑏𝑖𝑡𝑠

𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟= 21 𝑏𝑖𝑡𝑠

La cadena sense comprimir tindrà 21 caràcters.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 4

• Codificació amb compressió (MÉTODE HUFFMAN):

Primer de tot, calculem quina amb quina freqüència apareix cada caràcter

en la paraula i la probabilitat associada:

Caràcter T W I E R

Freqüència 3 1 1 1 1

Probabilitat 37

17

17

17

17

A continuació, procedim a fer l’arbre i assignem un 1 a una branca i un 0 a l’altre:

La paraula TWITTER queda comprimida i codificada per el mètode Huffman

de la següent forma:

T W I T T E R 0 100 101 0 0 110 111

37

T

17

W 17

I 17

E 17

R

27

27

47

0 1

10 11

100 101 110 111

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 5

Amb la compressió del mètode de Huffman veiem que ara tenim codificat es

mateixos 7 caràcters amb 15 bits totals. Ara veiem quants bits hem

estalviat:

𝟐𝟏 − 𝟏𝟓 = 𝟔 𝒃𝒊𝒕𝒔

Ara calculem la taxa de compressió:

𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 21 − 15

21 𝑥 100% = 𝟐𝟖,𝟓𝟕%

La taxa de compressió és 28,57%, per tant, la resposta a la pregunta 2

és la B) Entre 25% i 30%.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 6

3- Hem d'emmagatzemar una imatge monocromàtica de 320x280 píxels en

una escala de 64 tons de grisos, aplicant una compressió diferencial

obtenint com a diferència una sèrie de nombres compresos entre el -16 i el

15. On és la taxa de compressió?

a) Entre 10% i 15%

b) Entre 15% i 20%

c) Més de 20%

Procediment:

Procedim a calcular:

Els píxels totals de a imatge:

320 𝑥 280 = 89.600 𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠

El nombre de bits per píxel: (tenim 64 tons en la imatge)

2𝑥 = 64 𝑡𝑜𝑛𝑠

𝑥 = log (64)log (2)

= 6

𝒙 = 𝟔 𝒃𝒊𝒕𝒔𝒑í𝒙𝒆𝒍𝒔

Primer calculem els bits de la imatge SENSE comprimir:

89.600 𝑝í𝑥𝑒𝑙 𝑥 6𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠

= 537.600 𝑏𝑖𝑡𝑠

IMATGE MONOCROMÀTICA

320 píxels

280 píxels

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 7

A continuació calculem la compressió diferencial de la imatge. Sabem

que els valors dels tons ocsilen entre -16 i 15, per tant, hi ha 32 tons

per codificar. Per tant, calculem els bits per píxel:

2𝑥 = 32 𝑡𝑜𝑛𝑠

𝑥 = log (32)log (2)

= 5

𝒙 = 𝟓 𝒃𝒊𝒕𝒔𝒑í𝒙𝒆𝒍𝒔

Tot seguit, calculem el nombre de bits de la imatge comprimida

mitjançant la compressió diferencial:

6 𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠

𝑥 1 𝑝í𝑥𝑒𝑙 (𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝í𝑥𝑒𝑙) + 5 𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠

𝑥 89.599 𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠 = 448.001 𝑏𝑖𝑡𝑠

89.600 − 1 = 89.599

Un cop realitzats els càlculs anteriors, procedim a calcular la taxa de

compressió:

𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 537.600− 448.001

537.600 𝑥 100% = 𝟏𝟔,𝟔𝟔%

La taxa de compressió és 16,66%, per tant, la resposta a la pregunta 3

és la B) Entre 15% i 20%.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 8

4- Encriptem una paraula m amb el mètode de Verman. La clau privada

utilitzada és:

k =

00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101

i el missatge rebut és:

c = 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111

00010100

Quina era la paraula que havíem enviat ?

a) m = MATHEMA

b) m = CIENCIA

c) m = PHISICA

Procediment:

Per fer la desencriptació de Vernam cal restar la clau privada, k, al

missatge encriptat, c, per poder recuperar el missatge original, m. (o

realitzar la suma de la clau privada i el missatge encriptat):

El missatge original és m = MATHEMA. Per tant, la resposta a la

pregunta 4 és la A) m = MATHEMA.

c 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111 00010100

k 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101

m 01001101 01000001 01010100 01001000 01000101 01001101 01000001

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

ASCII M A T H E M A

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 9

5- La compressió amb el mètode aritmètic de la l’expressió XXYX pot ser:

a) 0,33

b) 0,43

c) 0,53

Procediment:

Primer la freqüència amb que apareixen les “X” i les “Y”:

La X:

𝑋 = 34

= 0,75

La Y:

𝑋 = 14

= 0,25

A continuació dibuixem els segments:

XXYX

0,421875 0,5625

XXYY 0,421875 + 0,10546875 = 0,52734375

0,52734375

0,140625

0 1

X 0 1 34 = 0,75 Y

XX 0

0,75

XY

0,75 𝑥 34 = 0,5625

0,5625

XXX 0 XXY

0,5625 0,5625 𝑥 3

4 = 0,421875

0,421875

0,5625− 0,421875 = 0,140625

0,140625 𝑥 34 = 0,10546875

La resposta correcta és la B) 0,43. Ja que, el segment que conte XXYX és [0′421875, 0′52734375], i 0,43 pertany a aquest segment.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 10

6- En David coneix la clau pública d’en Miguel (n=6319, e=677) i li ha robat

la factorització de n=71*89. A més en David ha interceptat pel canal

insegur un bloc de missatge xifrat c=859. El desxifrat de c=859 és:

a) 9875

b) 2899

c) 3492

Procediment:

Afegim les dades del enunciat a l’aplicació que hi ha als materials de

l’assignatura:

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 11

7- L'Alícia ha donat a conèixer la seva clau pública n= 9329, e=13 per tal

que li enviem missatges xifrats amb RSA. Quan volem enviar-li el missatge

m=6724 s’obté:

a) 5789

b) 6324

c) 3414

Procediment:

Afegim les dades del enunciat a l’aplicació que hi ha als materials de

l’assignatura:

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 12

8- Per p=23 i q=17, quina de les següents opcions és pot considerar una

clau pública?

a) (2, 391)

b) (3, 391)

c) (11, 391)

Procediment:

La resposta correcta a la pregunta 8 és la B) (3, 391). Ja que al tenir

els valors de p = 23 i q = 17, els introduïm en la calculadora RSA dels

apunts omplim el camp de “clau pública e =” amb els valors inicials

dels parèntesis (2, 3 i 11).

Tal com es veu en la imatge:

Comprovació del apartat A) (2, 391): No correspon a la clau pública.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 13

Comprovació del apartat B) (3, 391): Correspon a la clau pública.

Resposta correcta: B) (3, 391).

Comprovació del apartat C) (11, 391): No correspon a la clau pública.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 14

Pregunta: 1 2 3 4 5 6 7 8 Resposta: A B B A B B B B

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 15

B. EXERCICI

Volem enviar la contrasenya per passar de pantalla en un joc a un dels

meus amics. La volem enviar pel grup del whatsapp del grup d'amics, però

no volem que la resta la conegui. Per això hem quedat que l'encriptarem

fent servir el mètode de Vigénere amb quatre claus diferents.

Com que la contrasenya és llarga hem decidit comprimir-la fent servir el

mètode de Huffman (i així serà més difícil que algú la aconsegueixi).

La contrasenya té el següent format:

4primereslletresdelnom_4primereslletresdelcognom_nivelldeljoc(NIVELLA,

NIVELLB)_lletraDNI

Ex: PALM_GARC_NIVELLA_Z

1. Encripteu la contrasenya

La meva contrasenya és OLIV_ANDO_NIVELLA_N.

Per passar-la per whatsapp, ho encripto amb el mètode de clau privada de

Vigenère, per tal d’evitar l’atac estadístic al qual esta sotmès el mètode

Cèsar. Així que ho faré mitjançant el mètode Vigenère amb 4 claus.

Les claus que utilitzo són: 𝑘 = 2, 𝑘 = 3, 𝑘 = 5 i 𝑘 = 7.

Contrasenya original (m) O L I V A N D O N I V E L L A N

Numero corresponent 15 11 8 22 0 13 3 15 13 8 22 4 11 11 0 13

K clau privada 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7 (suma)

Num. de la lletra encriptada 17 14 13 29 2 16 8 22 15 11 27 11 13 14 5 20 (adequació a la taula) 2 0

Contrasenya encriptada (c) Q Ñ N C C P I V O L A L N Ñ F T

La contrasenya encriptada és: QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 16

2. Comprimiu-la fent servir el mètode de Huffman.

Un cop tinc la contrasenya encriptada, QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, la

comprimeixo mitjançant el mètode de Huffman.

Primer de tot començo calculant la codificació sense comprimir, tot seguit la

codificació amb compressió (mètode Huffman), per així poder trobar la taxa

de compressió de la contrasenya encriptada.

• Codificació sense comprimir:

Observo que la contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, esta formada per 19

caràcters, on i ha caràcters que es repeteixen varis cops, per tant, només

he de codificar 13 caràcters diferents. A continuació, calculo quants bits es

necessiten per cada caràcter:

2𝑥 = 13 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠

𝑥 = log (13)log (2)

= 3,7004 ≃ 4

𝒙 = 𝟒 𝒃𝒊𝒕𝒔

𝒄𝒂𝒓à𝒄𝒕𝒆𝒓

Això vol dir que cada caràcter estarà codificat per 4 bits, la meva

contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, com hem dit abans, té 19 caràcters,

per tant:

19 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠 𝑥 4 𝑏𝑖𝑡𝑠

𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟= 76 𝑏𝑖𝑡𝑠

La contrasenya sense comprimir tindrà 76 caràcters.

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 17

• Codificació amb compressió (MÉTODE HUFFMAN):

Primer de tot, calculo quina amb quina freqüència apareix cada caràcter en

la contrasenya i la probabilitat associada: (QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T)

Caràcter Q Ñ N C _ P I V O L A F T

Freqüència 1 2 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1

Probabilitat 1

19

219

2

19

219

3

19

119

1

19

119

1

19

219

1

19

119

1

19

Ordeno la taula de major a menor freqüència per poder realitzar posteriorment l’arbre correctament.

Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T

Freqüència 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

Probabilitat 3

19

219

2

19

219

2

19

119

1

19

119

1

19

119

1

19

119

1

19

A continuació, faig l’arbre i hi assigno un 1 a una branca i un 0 a l’altre:

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 18

La codificació de cada lletra la veiem reflectida en la taula següent:

Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T

Freqüència 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

Probabilitat 3

19

219

2

19

219

2

19

119

1

19

119

1

19

119

1

19

119

1

19

Codificació 000 0010 0011 010 011 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

419

219

Ñ 2

19

N 2

19

C 2

19

L

419 3

19

_

719

219

119

O 1

19

A 1

19

F 1

19

T

219

419

119

P 1

19

V 1

19

Q 1

19

I

219

219

419

819

1119

00 01

000

010

001

0010 0011 011

0 1

10 11

100 101

1000 1001 1010 1011

110 111

1100 1101 1110 1111

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 19

La meva contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T queda comprimida i

codificada per el mètode Huffman de la següent forma:

Q Ñ N C _ C P I V _ 1000 0010 0011 010 000 010 1001 1010 1011 000

O L A L N Ñ F _ T 1100 011 1101 011 0011 0010 1110 000 1111

La contrasenya tindria la forma:

1000 0010 0011 010 000 010 1001 1010 1011 000 1100 011 1101 011 0011 0010 1110 000 1111

Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T

Codificació 000 0010 0011 010 011 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 20

3. Quina és la taxa de compressió ?

Amb la compressió del mètode de Huffman veiem que ara tenim codificat es

mateixos 19 caràcters amb 69 bits totals. Ara veiem quants bits hem

estalviat:

𝟕𝟔 − 𝟔𝟗 = 𝟕 𝒃𝒊𝒕𝒔

Ara calculem la taxa de compressió:

𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 76 − 69

76 𝑥 100% = 𝟗,𝟐𝟏%

La taxa de compressió és 9,21%.