Materia

SISTEMA DE INECUACIONES

Resolver las siguientes Inecuaciones

2x+3y≥7

2x+3y=7

x y 0 2,3

3,5 0

2(0)+3(0)≥7 0≥7 FALSO

1.- 4x-8y<12

X

Y

3,5

2,3

2.- 4x-8y=12

x y0 -1,53 0

4(0)+8(0)<120<12 VERDADERO

3.-

2 x− y>0

2 x= y

X

Y

3-1,5

P(2,0)

2 (2 )−0>0

4>0 → Verdadero

x y0 01 2

4.-

{4 x2+4 y2≥36x+5 y<7 {4 x2+4 y2=36

x+ y=7

x2+ y2=9

P (0,0 )

4 (0)2+4 (0)2≥36

0≥36 → Falso

5.-

x+5 y=7

x Y

075

7 0P(0,0)

0<7

4 x2+3 y2 < 12

2 x+3> y

4 x2+3 y2 = 12

x2

3y2

4 = 1

X: √3 = 1,7

Y: √4 = 2

P(0,0)

4 (02 )+3(02) <12

0 < 12 Verdadero

2x-y=-3

x y0 3-1,5 0

P(0,0)

2 x− y> -32(0)-(0) >-3

0>--3 Verdadero

6. 3x2+y>6

2x2-y2<4

(1) (2)3x2+y=6

y=6-3x2

2x2-y2=4

x=±√ 4+ y2

2

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0)(1) (2)

3(0)2+(0)>6 2(0)2-(0)2<40>6 0<4

x y x y

-3 -21 ±2.6 -3

-2 -6 ±2 -2-10123

363-6-21

±1.6±1.4±1.6

±2±2.6

-10123

FALSO VERDAD

GRÁFICO

PROGRAMACIÓN LINEAL

1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de

pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden

realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de

trabajo directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una

liquidación de impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen

un ingreso de $90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión,

aporta con un ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50.

TABLA DE DATOS

DESCRIPCIÓN TRABAJO DIRECTO

REVISIÓN INGRESOS MÁXIMO

LIQUIDACIONES 8 2 90 50

AUDITORÍAS 1 1 250

DISPONIBILIDAD 600 220

FUNCIÓN OBJETIVO.

Max. Z=90x+250y

RESTRICCIONES

(1) 6x+30y≤ 600

(2) 4x+8y≤ 200

(3) x≤50

RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

(4) x,y0

SISTEMAS ECUACIONES

(1) (2) (3)6x+30y=600 4x+8y=200 x=50

x y x y

100 0 0 27,5

0 20 55 0

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)

6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 200 0≤500≤600 0≤ 200

VERDAD VERDAD VERDAD

GRÁFICO

Punto x y z

A 0 0 0

B 0 20 1050

C 25 15 6000

D 50 0 4500

ARCO CONVEXO

C.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 1050

VALORES ÓPTIMOS

x= 3 y=2

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3

RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

(1) -24x-120y= -2400(2) 24x+48y= 1200

y=15 x=25

2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas.

El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.

TABLA DE DATOS

DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD

NARANJA 8 2 16PLÁTANOS 1 1 5MANZANAS 2 7 20DISTANCIA 150 30

FUNCIÓN OBJETIVO.

Min. Z=150x+30y

RESTRICCIONES

(1) 8x+2y16(2) x+y5(3) 2x+7y20


(4) x,y0

SISTEMAS ECUACIONES

(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20

COMPROBACIÓN P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20 016 05 020

FALSO FALSO FALSO

x y0 82 0

x y0 55 0

x y

02,9

10 0

GRÁFICO

ARCO CONVEXO

B. C.

(2) -2A-2B= -10(3) 2A+7B= 20

B=2 A=3

SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 1050VALORES ÓPTIMOSx= 3 y=2 RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

Punto x y z

A 10 0 1500

B 3 2 1050

C 1 4 1350

D 0 8 2400

(1) -8A-8B= -40(2) 8A+2B= 10

B=4 A=1

3.- MAXIMIZAR

FUNCIÓN OBJETIVO

Z=52x+ y

SUJETO A

(1) 3 x+5 y≤15(2) 5 x+2 y ≤10

CONDICIONES TÉCNICAS

x≥0 O j=1;2

(1) (2)3x+5y=15 5x+2y=10

GRÁFICO

x y 0 35 0

0≤15

x y0 52 0

0≤10

ARCO CONVEXO

C.

RESPUESTA

Este problema tiene múltiples soluciones.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z1= 5 Z2=5

VALORES ÓPTIMOS

x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0


NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

−15 x−25 y=−7515 x+6 y=30

y= 4519

3 x+5( 4519 )=15

x=2019

Punto X Y ZA 0 0 0B 0 3 3

C2019

4519

5

D 2 0 5

4.- MAXIMIZAR

FUNCIÓN OBJETIVO

Z= 2x+3y

SUJETO A

(1) x≤2(2) y≥4(3) 2x+y≥5

CONDICIÓN TÉCNICA

(4) x,y 0

SISTEMA DE ECUACIONES

(1) (2) (3)x=2 y=4 2x+y=5

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)

x≤2 y≥4 2x+y≥5

0≤2 04 05VERDAD FALSO FALSO

GRÁFICO

x y0 55/2 0

ARCO CONVEXO

PUNTOS x y z

A 2 4 16

B 1/2 4 13

C 0 5 15

B.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 16

VALORES ÓPTIMOS

x= 2 y=4


RESTRICCIONES INACTIVAS: 3

(3) -2x-y= -5(2) y= 4

x=1/2 y=4

5.- MAXIMIZAR

FUNCIÓN OBJETIVO

Z= 2x+3y

RESTRICCIONES

(1) x≤2(2) y≤3(3) 2x+y≥18

RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

(4) x+y≥0

SISTEMAS DE ECUACIONES

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)x≤2 y≤3 2x+y≥18

0≤2 0≤3 018VERDAD VERDAD FALSO

GRÁFICO

x y0 189 0

(1) (2) (3)

x=2 y=3 2x+y=18

RESPUESTA: El problema no tiene solución

6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por

un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta

solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se

podrían pintar 60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones

podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblaría solo automóviles podrían

ensamblar 50 automóviles al día cada camión aporta $300 a la utilidad y cada

automóvil $200. Maximice la utilidad.

Pintura PENDIENTE

P1(0,40) m= y 2− y 1x 2−x1

P2(60,0) m=40−00−60

m=−23

Ensamblaje PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA

P(0,50) m= y 2− y 1x 2−x1

y-y1=m(x-x1)

P(50,0) m=50−00−50

y-50=-1 (x)

m=−1 x+y=50

FUNCIÓN OBEJTIVO

Z= 200x+ 300y

RESTRICCIONES

(1) 2x+3y ≤ 120(2) x+y ≤ 50


(3) x,y0

ECUACIÓN DE LA RECTA

y-y1=m(x-x1)

y-40=-2/3 (x)

3y-120=-2x

2x+3y=120


COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0)(1) (2)

2(0)+3(0)≤120 (0)+(0)≤ 500≤120 0≤ 50

VERDAD VERDAD

GRÁFICO

ARCO CONVEXO

(1) (2)2x+3y=120 x+y=50

x y x y

60 0 0 50

0 40 50 0

Punto x y z

A 0 0 0

B 0 40 12000

C 30 20 12000

D 50 0 10000

C.

RESPUESTA

El problema tiene múltiples soluciones.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z1= 12000 Z2=12000

VALORES ÓPTIMOS

x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20


NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

(1) -2x-3y= -120(2) 2x+2y= 100

y=20 x=30

7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita ¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una torta Real necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de beneficio en la pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg de relleno. Por problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. Determine cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el beneficio.

FUNCIÓN OBJETIVO

MAX. Z= 250x + 400y

RESTRICCIONES

(1) x +y ≤ 150(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50 (3) X ≤ 125(4) y ≤ 125


(5) x, y ≥ 0

SISTEMAS ECUACIONES

(1) (2) (3) (4)x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125

X y x Y

150 0 0 100

0 150 200

0

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)

(0)+(0)≤150 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤125 VERDAD0≤150 0≤ 50 (4)

VERDAD VERDAD 0≤125 VERDAD

GRÁFICO

ARCO CONVEXO

C.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 131200

VALORES ÓPTIMOS

x= 125 y=25

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

Punto x Y Z

A 0 0 0

B 0 100 40000

C 50 100 32500

D 125 25 131200

E 125 0 31250

(1) -0,250 x -0,250y ≤ -37,5(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50

y=50 x=100

8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, cobre la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de modelo 5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de $20,00 maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay holgura o excedente.

FUNCIÓN OBJETIVO

Max Z= 8,50x + 20Y

SUJETO A

(1) 0,05X + 0,05y ≤ 110(2) 0,05x + 0,10y ≤ 180(3) 0,10x + 0,05y ≤ 200


(4) x, y ≥ 0


(1) (2) (3)0,05X + 0,05y = 110 0,05x + 0,10y =180 0,10x + 0,05y = 200

x y x y x y

2200

0 0 1800

0 4000

0 2200 3600 0 2000 0

COMPROBACIÓN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)

0,05(0)+0,05(0)≤110 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0,10(0)+0,05(0)≤2000≤110 0≤ 180 0≤200

VERDAD VERDAD VERDAD

GRÁFICO

C D (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1) (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1)

(2) 0,05x + 0,10y= 180 (2) 0,10x + 0,05y= 200

- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x - 0,05y = -1100,05x+ 0,10y = 180 0,10x+ 0,05y = 200

0,05 y = 70 0,05 X = 90Y= 1400 y= 1800

0,05x + 0,10 y = 180 0,10x + 0,05 y = 200 x

= 800 x= 400

Z= 18,50(800) + 20(1400) Z= 18,50(1800) + 20(400) Z= 42800 Z= 41300

Arco Convexo Solución ÓptimaX Y Z Z= 42800

C 800 1400 42800 Valores ÓptimosD 1800 400 41300 x= 800

Y= 1400

Cálculo de la Holgura para el oro 0,05x + 0,05y ≤ 110

0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110h1 ≤ 0 Disponibilid. Ocupados Holgura

Oro 110 110 0

Plata 180 180 0Cálculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50

0,05x + 0,10y ≤ 1800,05(800) + 0,10(1400) + h2 ≤ 180 Solución Óptima

h2 ≤ 0 Z= 42800Valores Óptimos

x= 800Cálculo de la Holgura para el cobre Y= 1400

0,10x + 0,05y ≤ 200 h1= 00,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h2= 0

h3 ≤ 50 h3= 50Restricción Activa= 1,2Restricción Inactiva= 3

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