Adoracin Medina

1

INTRODUCCIN AL CLCULO DE SUMATORIOS

Los sumatorios se utilizan para expresar de forma abreviada una suma de n trminos nxxx ,...,, 21 . Para denotar un sumatorio utilizamos el smbolo (es decir, la letra Sigma del alfabeto griego).

Notacin: Tenemos que la suma de trminos nxxx ,...,, 21 se expresa mediante el uso de sumatorios como:

=

=+++n

iin xxxx

121 ...

Ejemplos:

1) =

=++++=5

11554321

ii

2) 43214

1xxxxx

kk +++=

=

Por otro lado, para denotar la suma de mn trminos nmij xxxx ,,,,, 1211 KK ,

podemos utilizar un doble sumatorio = =

n

i

m

jijx

1 1.

Veamos qu representa un sumatorio doble como este:

En primer lugar, desarrollamos el sumatorio ms interior de la expresin (el segundo). Este sumatorio indica que el subndice j vara desde 1 hasta m, mientras que la i permanece constante. Expresamos esta suma dentro del otro sumatorio (del primero):

)( 32111 1

imiii

n

i

n

i

m

jij xxxxx ++++=

== =

K

Adoracin Medina

2

Ahora, segn lo que indica este sumatorio, debemos hacer variar en la suma anterior, el subndice i desde 1 hasta n. Es decir, tenemos que:

)(....

)()()(

21

22221112113211

nmnn

nnimiii

n

i

xxx

xxxxxxxxxx

+++++

++++++++=++++=

K

LKK

Por tanto, mediante la expresin = =

n

i

m

jijx

1 1 podemos expresar de forma

abreviada la suma de nm elementos:

)(....)()( 212222111211 nmnnnn xxxxxxxxx ++++++++++++ KLK

Ejemplos:

1) )(2

1321

2

1

3

1

== =

++=i

iiii j

ij aaaa = )()( 332221131211 aaaaaa +++++

2) = =

5

3

6

4i jijx =( )()() 565554464544363534 xxxxxxxxx ++++++++

Veamos de forma detallada como llegamos a tal expresin:

En primer lugar calculamos la expresin correspondiente al sumatorio interior, haciendo variar la j desde 4 hasta 6 (es decir, dndole a j los valores 4, 5 y 6) dejando fijo el subndice i. Posteriormente, hacemos variar el subndice i desde 3 hasta 5, obteniendo:

= =

5

3

6

4i jijx = )( 6

5

354 i

iii xxx ++

=

=( )() 464544363534 xxxxxx +++++ +

+ 565554( xxx ++ )

Propiedades de los sumatorios

Propiedad 1:

===

+=+n

nii

n

niii

n

nii

ooo

baba )(

Ejemplo:

===

+=+3

1

23

1

3

1

2 )(iii

iiii

Adoracin Medina

3

Comprobemos que se verifica la igualdad.

201262)33()22()11()( 223

1

22=++=+++++=+

=iii

20146)321()321( 2223

1

23

1=+=+++++=+

== iiii

Propiedad 2:

===

n

nii

n

niii

n

nii

ooo

baba )(

Ejemplo:

===

3

1

23

1

3

1

2 )(iii

iiii

Calculando la suma que representan ambos miembros podremos comprobar que, en efecto, son diferentes; es decir, no se trata de una igualdad.

362781)33()22()11()( 2223

1

2=++=++=

=iii

84146)321()321( 2223

1

3

1

2==++++=

= =i iii

Propiedad 3:

( )==

n

nii

n

nii

oo

aa2

2

Ejemplo:

==

4

2

224

2 iiii

Adoracin Medina

4

En efecto, veamos que ambos sumatorios no representan la misma cantidad:

819)432( 2224

2==++=

=ii

291694432 2224

2

2=++=++=

=ii

Propiedad 4:

= == =

=

s

ni

m

mjji

n

ni

m

mjji

oo

baba00

Ejemplo:

= == =

=

2

1

5

2

2

1

5

2 i ji jjiji

En efecto, se verifica la igualdad:

= =

=

4

1

5

2i jji (1+2)(2+3+4+5)=314=42

422814)10864()5432(

)52423222()51413121()5432(2

1

2

1

5

2

=+=+++++++

=+++++++=+++= == = ii j

iiiiji

Propiedad 5:

= == =

=

m

mj

n

niij

n

ni

m

mjij aa

00 0

Ejemplo:

= == =

+=+3

1

4

2

4

2

3

1)()(

j ii jjiji

Adoracin Medina

5

Veamos que se da la igualdad calculando ambas expresiones. Por un lado se tiene:

[ ] [ ] [ ][ ] 45181512)765()654()543()34()24()14(

)33()23()13()32()22()12()3()2()1()(4

2

4

2

3

1

=++=++++++++=++++++

++++++++++++=+++++=+ == = ii j

iiiji

Y por otro lado tenemos que:

[ ] [ ] [ ][ ] 45181512)765()654()543()34()33()32

)24()23()22()14()13()12()4()3()2()(3

1

3

1

4

2

=++=++++++++=++++++

+++++++++++=+++++=+ == = jj i

jjjji

Propiedad 6:

nkkn

i=

=1 (donde k es un valor constante que no depende de i)

Ejemplo:

=

==

6

142767

i

Veamos que se verifica tal propiedad. En efecto, desarrollando el sumatorio se obtiene:

42767777777)6(

6

1==+++++=

=

444 3444 21i

Propiedad 7:

= =

=

=

n

ni

n

i

n

io

o

ififif1

1

1)()()(

Ejemplo:

)2()2()2(3

1

226

1

6

4

2=

=== iiiiii

Adoracin Medina

6

Comprobemos que la igualdad es correcta. Por un lado tenemos:

71342314)26()25()24()2( 2226

4

2=++=++=

=ii

y por el otro se tiene:

[ ]( )[ ] ( ) ( ) [ ] [ ] 71879721342314721232221

)26()25()24()23()22()21()2()2(222

2222223

1

226

1

==+++++++=++

+++++= == ii

ii

Propiedad 8:

==

=

n

ni

n

niifkikf

00

)()(

Ejemplo:

En efecto, calculando el primer sumatorio:

137280539214728115756721747

)525(7)424(7)323(7)222(7)2(7 333335

2

=+++=+++

=+++==

iii

Comprobemos que el valor de la segunda es el mismo:

[ ]( )13721967)115562147

)525()424()323()222(7)2(7 33335

2

3

==+++=

=+++==

iii

Algunas frmulas notables:

2)1(21

1

+=+++=

=

nnnk

n

kK

6)12()1(21 222

1

2 ++=+++=

=

nnnnk

n

kK

)2(7)2(75

2

335

2iiii

ii

==

=

Adoracin Medina

7

=

=

n

knk

1

2)12(

4)1( 22

1

3 +=

=

nnkn

k

=

++=+

n

k

nnnkk1 3

)2)(1()1(

11 2

12

22

=

= nnn

kk

nk

Suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn r:

1)( 1

=

+

=

r

rrara

mnk

n

mk

Suma de infinitos trminos de una progresin geomtrica de razn |r|