Matrices

___________________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA MATEMÁTICA BÁSICA – 2011 - I

1

MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERÍA

MATRICES DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o columnas. Por ejemplo:

−−

521

1010

12 π

[ ]063 −

−b

c

a

4

3

Notación: Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal como A, B, C, …etc. El conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corchetes y en los casos en que no se use números reales específicos, se denotan con letras minúsculas subindicadas: ija ,

ijb , ijc , es decir:

En general el elemento ija ocupa la intersección de la i – ésima fila y la j – ésima columna

ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz esta dado por el producto indicado nm× , donde m indica el número de filas y n el número de columnas. Ejemplo:

−−

=140

921A es una matriz de orden 32×

−=

9

5

2

2

110

507

126

044

B es una matriz de orden 44×

La forma mas frecuente de designar una matriz es [ ]nmijaA

×= ó ( )

nmijaA×

=

TIPOS DE MATRICES

1. Matriz Rectangular. La matriz de orden nm× , con nm ≠ recibe el nombre de matriz rectangular. Ejemplo:

−=

021

411A


2

2. Matriz Fila. La matriz de orden n×1

se denomina matriz fila. Ejemplo:

[ ]5120 −=A 3. Matriz Columna. La matriz de m filas

y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden 1×m . Ejemplo:

=1

5

0

A

4. Matriz Nula. Es la matriz cuyos

elementos son todos ceros. Ejemplo:

=0000

0000

0000

A

5. Matriz Cuadrada. Si tiene el mismo

número de filas y columnas. Una matriz cuadrada con n filas y n columnas se llama también una matriz de orden n. Ejemplo:

−−=057

114

012

A

Dada una matriz cuadrada de orden n,

[ ]nmijaA

×= , llamaremos diagonal

principal de A a los elementos iia ,

donde ni ≤≤1

−−=057

114

012

A es la diagonal

principal 6. Matriz Triangular. Una matriz

cuadrada es una matriz triangular

superior si todos los elementos por

debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

−−=100

250

569

A

Diremos que A es una matriz triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

−=

141

0511

007

A

7. Matriz Diagonal. Una matriz es

diagonal si es triangular inferior y superior a la vez, es decir, todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal.

−=

900

030

001

A

8. Matriz Escalar. Es una matriz diagonal

en la que todos sus elementos de la diagonal principal son todos cero. Ejemplo:

=600

060

006

A

9. Matriz Identidad. Una matriz cuadrada

de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y los otros elementos son todos cero, reciben el nombre de matriz identidad. Se denota generalmente con nI . Ejemplo:

=100

010

001

3I


3

10. Matriz Transpuesta. Dada una matriz A de orden nm× , se llama matriz transpuesta de A

a la matriz de orden mn× cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por columnas. Se denota por tA Ejemplo:

Si

−=

523

412A , la transpuesta es

−=

54

21

32tA

Propiedades:

( ) AAtt = ( ) tt BABA +=+

( ) ttAA λλ = ( ) ttt

ABAB = IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir

[ ] [ ]nmijnmij ba

××= ⇔ ijij ba = , ji,∀

Ejemplo: Dadas las matrices

=

35

13A y

−−

=33

1

yx

yxB , hallar los valores de x e y de

modo que BA = .

Si

−−

=

=

33

1

35

13

yx

yxA entonces 3=− yx ∧ 53 =− yx . Resolviendo el sistema

obtenemos 1=x , 2−=y .

OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES Dos matrices se pueden sumar o restas si tienen la misma dimensión. Si la dimensión no es la misma, su suma o diferencia no esta definida. Las matrices se pueden sumar o restar, sumando o restando sus elementos correspondientes. Es decir; Si [ ]ijaA = y [ ]ijbB = son matrices de dimensión mn× la suma A + B y la diferencia A – B

también tiene dimensión mn× y

[ ]ijij baBA +=+ [ ]ijij baBA −=−

Ejemplo:

Sean

−

−=

2/17

50

32

A y

−=22

13

01

B entonces:


4

⇒

−−

=

−+

−

−=+

2/39

63

33

22

13

01

2/17

50

32

BA

−

−=

−−

−

−=−

2/55

43

31

22

13

01

2/17

50

32

BA

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Para multiplicar una matriz por un número, se multiplica cada elemento de la matriz por ese número. Es decir, Si [ ]ijaA = es una matriz de dimensión mn× y Rk ∈ , entonces la matriz kA también tiene

dimensión mn× y se define como [ ]ijkakA =

Ejemplo:

Sean

−

−=

2/17

50

32

A , para k = 3 , la matriz 3A es

−

−=

−

−=

2/321

150

96

2/17

50

32

33A

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES El producto de dos matrices A y B es AB o A.B y sólo está definido cuando la cantidad de columnas en A es igual a la cantidad de filas en B. Esto es

Ejemplo:

Sean

−=

01

31A y

−=

740

251B . Calcule, de ser posible, los productos AB y BA.

Solución Ya que la dimensión de A es de 2x2 y la de B es de 2x3, el producto AB está definido, y su dimensión es 2x3. Por consiguiente, podemos escribir

323222???

???

740

251

01

31

×××

=

−

−== ABC

Los elementos de la matriz AB se calculan de la siguiente manera


5

Elemento ijc Producto de la fila i por columna j Valor Matriz producto

11c

−

− 740

251

01

31 1)0(3)1(1 −=+−

− ???

??1

12c

−

− 740

251

01

31 17)4(3)5(1 =+

− ???

?171

13c

−

− 740

251

01

31 23)7(3)2(1 =+

−???

23171

21c

−

− 740

251

01

31 1)0(0)1(1 =+−−

−??1

23171

22c

−

− 740

251

01

31 5)4(0)5(1 −=+−

−−

?51

23171

23c

−

− 740

251

01

31 2)7(0)2(1 −=+−

−−−

251

23171

Entonces llegamos a

−−

==251

23171ABC

Sin embargo el producto BA no está definido porque las dimensiones son 32× y 22× Propiedades de la multiplicación de matrices Sean A, B, C y D matrices para las cuales están definidos los siguientes productos. Entonces

CABBCA )()( = ACABCBA +=+ )( CDBDDCB +=+ )(


6

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Las matrices A, B, C, D, E, F y G se definen como sigue:

−=

70

52A

−=

311

52/13B

−−

=320

02/52C

[ ]37=D

=0

2

1

E

=100

010

001

F

−

−=

225

016

1035

G

Efectúe la operación algebraica indicada, o explique porque no se puede hacer

a) B + C b) B + F c) C – B d) 5A

e) 3B + 2C f) C – 5A g) 2C – 6B h) DA

i) AD j) BC k) BF l) GF

m) (DA)B n) GE o) DB + DC p) BF + FE

2. Si

−

−=

111

205

321

A y

−−

−=

102

410

213

B . Encuentre la matriz C tal que BCA =+ 2 .

3. Encuentre una matriz

=

dc

baA tal que

=

10

01

21

32A .

4. Sea

−=

68

62A encuentre un vector no nulo

=

y

xb tal que bbA .6. =

5. Resuelva la ecuación matricial para la matriz incógnita X o explique por qué esa ecuación no tiene solución. Sean

=

31

64A

=

73

52B

=20

01

32

C

=010

2030

2010

D

a) BAX =−2

b) CBX =+3

c) DCX =− )(5

d) XDA 3=+

6. Un fabricante de joyería de diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que le llevará 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 1 ½ horas hacer un par de aretes, ½ hora para un prendedor y 2 horas para un collar. a) Exprese las órdenes del fabricante como una matriz fila. b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector

columna. c) Calcule el número total de horas que requerirá para terminar las órdenes.

7. Una pequeña cadena tiene restaurantes de comida rápida en Santa Mónica, Long Beach y

Anaheim. Sólo vende hot dogs, hamburguesas y malteadas. Cierto día, las ventas se distribuyeron de acuerdo a la siguiente matriz


7

El precio de cada artículo se expresa con la siguiente matriz.

a) Calcule el producto BA b) Interprete los elementos de la matriz producto BA

8. Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios que llevan tiradores de metal y

chapas especificadas por la siguiente tabla:

A B C

Nº tiradores 8 6 4 Nº chapas 3 2 1

Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto, 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de Setiembre, 25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C. ¿Cuántos tiradores y chapas debe disponer cada mes para poder atender a los pedidos?

9. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores, supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente:

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Administradores 1 2 1 1 Supervisores 4 6 3 4 Trabajadores 80 96 67 75

Si los administradores ganan $350 a la semana, los supervisores $275 y los trabajadores $200, ¿cuál es la nómina de cada fábrica?

10. Una industria fabrica dos tipos de bombillas: Transparentes (T) y Opacas (O), de cada tipo se hacen cuatro modelos M1, M2, M3, M4. La siguiente tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo


8

El porcentaje de bombillas defectuosas es del 2% en el modelo M1, el 5% en el modelo M2, el 8% en el modelo M3 y el 10% en el modelo M4. Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opacas, buenas y defectuosas, que se producen.

11. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila: Donde B=Blanco, T=Tinto, R=Rosado, y los precios pagados por cada litro en la matriz columna:

Halla los productos L·P y P·L dando una interpretación de los resultados obtenidos.

12. Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (sencillas), N (normales) y L (lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y1 pequeña. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y2 pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y2 bisagras. a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcular una matriz, a partir de la anteriores, que exprese el número de cristales y bisagras necesarios en cada tipo de vivienda.

13. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C, a cuatro países de África, P1, P2, P3 y P4, según se describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz M2 (en $ por tonelada).

Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a) .Qué representa a11 de la matriz producto? b) .Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E2

c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.


9

DETERMINANTES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Dada una matriz de cualquier orden, se puede desarrollar algunas operaciones simples con las filas y columnas. El propósito fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos cálculos y también alcanzar resultados teóricos significativos para un mejor estudio de las matrices.

Transformación elemental fila (columna) • iF.α Multiplicación de la fila (columna) i por un escalar α • ji FF ↔ Intercambio de la fila (columna) i por la fila (columna) j.

• ji FF +.α Suma de una fila (columna) i multiplicada por un escalar α a otra. El resultado se ubica en la fila (columna) j.

DEFINICIÓN Determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por || A o

)det(A .

El determinante de una matriz es un solo número real y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en particular. CALCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Matriz de orden 2: Para una matriz cuadrada de orden 2, este número se define como:

122122112221

1211 ..|| aaaaaa

aaA −==

Matriz de orden 3: Para una matriz de orden 3 su valor se define como:

331221112332132231133221312312332211

333231

232221

131211

............|| aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A −−−++==

Matriz de orden n: Calculo del determinante mediante la reducción a la forma escalonada El calculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración lo siguiente:

Si A es una matriz triangular (superior o inferior) de orden n, entonces el || A es igual al producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal. Ejemplo:

Si

−=300

810

12322

A entonces 6)3)(1)(2(|| −=−=A .


10

Si una matriz no es escalonada, se utilizan las transformaciones elementales para encontrar su determinante. Ejemplo:

1)1)(1)(1)(1)((

1000

2100

2110

2121

1100

2100

2110

2121

1100

2110

2100

2121

1100

0011

2100

2121

43

2231

)1(

)1(

−=−−−=

−

−−−− →

−−−− →

−−− →

+−

↔+−

FF

FFFF

Observe que en la segunda transformación el determinante se multiplicó por - . Siempre que se utilice transformaciones elementales por fila o columna debe considerarse lo siguiente: Propiedades de los determinantes • Si en un determinante se cambian entre sí, dos filas o columnas, el determinante cambia de

signo pero no en valor. • Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el valor del

determinante queda multiplicado por la inversa de dicho número. • Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero. • Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero • Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es cero • Si una fila o columna se le suma un múltiplo cualquiera de otra fila o columna, el

determinante no varía.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular los siguientes determinantes:

1.

812

208

540

−−−

2.

011

112

121

−− R. 6

3.

101

110

211

− R.2

4.

410

201

112

−

− R. 1

5.

114

130

212

− R. -20

6.

4832

3212

3713

1321

−−

−

7.

7513

2140

1230

0211−

R. 45

8.

0123

3102

1421

2121

−−

−

R. -128

9.

4201

5214

3602

1341

−−

−

R. 275


11

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales tiene la siguiente representación general:

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=++++

=++++=++++

K

M

K

K

332211

22323222121

11313212111

(1)

Donde las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente arreglo de m x n

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

K

MOMM

K

K

21

22221

11211

al que llamaremos matriz de coeficientes del sistema (1) . A los vectores:

=

nx

x

x

xM

2

1

y

=

mb

b

b

bM

2

1

Llamaremos respectivamente, vector columna de las incógnitas o vector solución y vector columna de los términos independientes. Por lo que el sistema (1) puede representarse de la forma

bAx = CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS LINEALES Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en:

• Sistema compatible determinado, si tiene única solución.

• Sistema compatible indeterminado, si tiene infinitas soluciones.

• Sistema incompatible, si no tiene soluciones.


12

METODOS DE SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. MÉTODO DE CRAMER

Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo:

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=++++

=++++=++++

K

M

K

K

332211

22323222121

11313212111

Las incógnitas ix , i = 1, 2, …, n se obtienen como: ||

||

A

Ax ii = , donde || iA es el determinante de

la matriz A en la cual ha sido sustituido la columna i-ésima por el vector columna de los términos independientes b del sistema bAx = para cada i.

Ejemplo: Resolver

=+=+−=++

5

232

1

zx

zyx

zyx

Solución: = [(1)(-2)(1)+(1)(3)(1)+(1)(1)(0)]-[(1)(-2)(1)+(0)(3)(1)+(1)(1)(1)] =2

Luego: 2

21

||

|| 1 ==A

Ax

2

21

||

|| 2 ==A

Ay

2

11

||

|| 3 −==A

Az

EJERCICIOS PROPUESTOS Desarrollar por el método de Cramer los siguientes sistemas de ecuaciones

1.

−=−+=−−

−=−+

1543

442

232

zyx

zyx

zyx

2.

=−−=++=−−

427

242

423

zyx

zyx

zyx

3.

=++=−+

−=+−

24472

2364

2252

zyx

zyx

zyx


13

4.

−=−−=−−

−=−−

223

54

16643

zyx

zyx

zyx

5.

−=−−−=++

=−+

2522

3264

143

zyx

zyx

zyx

6.

−=−−−=−

=+−

5

2

42

zyx

zy

zyx

7.

−=+−=−+

=−+

2.23

7532

0

zyx

zyx

zyx

8.

−=+++−=+++−=+++

−=+++

87353

8586

65353

3243

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

9.

−=+−−=+−

=−+

52

32

9522

zyx

zyx

zyx

2. MÉTODO DE GAUSS

Al adjuntar el vector columna b a la matriz A, se determina una matriz de orden m x (n+1) a la cual llamaremos matriz ampliada del sistema (1) y se escribirá del siguiente modo

=

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

MM

K

MOMM

K

K

2

1

21

22221

11211

Teniendo en consideración que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema asociado, el método para resolver el sistema, empleando matrices, se sustenta en la idea básica de reducir la matriz ampliada a la forma escalonada o reducida por filas como para poder alcanzar la solución del sistema por simple inspección o en su defecto, luego de posteriores etapas que simplifiquen el problema. Una matriz escalonada o reducida por filas de A se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales por filas en la cual el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de él todos los elementos son nulos.

Ejemplo 1: Resolver el sistema

−=−+−=−+

=+−

32

12

4

zyx

zyx

zyx

Solución:

−−

−−

−

3

1

4

121

112

111

−−

−−

−

7

9

4

230

330

111

−−−

2

3

4

100

110

111

Y se resuelve, por sustitución hacia atrás, el sistema equivalente es


14

=−=−

=+−

2

3

4

z

zy

zyx

⇒

=−=

=

2

1

1

z

y

x

. El sistema tiene única solución (Compatible determinado)

Ejemplo 2: Resolver

=−−+=−−+

=−−+

105252

423

6432

wzyx

wzyx

wzyx

Solución: La matriz aumentada del sistema es

−−−−−

10

4

6

3252

2131

4321

−−

−−

2

2

6

3410

2410

4321

−−−

0

2

6

1000

2410

4321

El sistema equivalente a esta última matriz es

=−=++

=−−+

0

224

6432

w

wzy

wzyx

Resolviendo estas ecuaciones para las variables principales (x, y, w) se tiene:

=−−=+=

0

42

1110

w

zy

zx

Finalmente asignamos un valor arbitrario t para la variable no principal z, esto es z = t, se tiene:

==

−−=+=

0

42

1110

w

tz

ty

tx

Decimos entonces que el sistema tiene un número infinito de soluciones. (compatible indeterminado).

Ejemplo 3: Resolver

=−−−=+++=−+−

5161112

22 73

1 4 2

wzyx

wzyx

wzyx


15

Solución: La matriz aumentada del sistema es

−−−

−−

5

2

1

1611121

2731

4121

−−−

−−

4

1

1

1212100

6650

4121

−−

6

1

1

0000

6650

4121

La última fila correspondiente a la ecuación es 6.0.0.0.0 =+++ wzyx ↔ 60 = Lo que es absurdo, por tanto, el sistema no tiene solución. (Incompatible)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver los sistemas siguientes por el método de Gauss

1.

=++=−+

=+−

2

032

4

zyx

zyx

zyx

2.

−=−−=++

=−+

956

5243

932

zyx

zyx

zyx

3.

−=−−−=+−

=−+

342

102

52

zyx

zyx

zyx

4.

=++=−+=+−

152

6246

325

zyx

zyx

zyx

5.

=−−−=+++

=−+−

5161112

2273

142

wzyx

wzyx

wzyx

6.

−=+++−=++−=++−

81433

54326

46539

wzyx

wzyx

wzyx

7.

−=++−=−−+

=+−+−=−+−

263352

1832

17223

1422

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

8.

−=++−−=−−−

=−−+=+++

152253

323

1432

2

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

9.

=+++=−+−=+++

1835

022

1345

wzyz

wzyx

wzyx

10.

=++−=++−

=++−

051794

02453

032

wzyx

wzyx

wzyx

11.

−=+−=−−

−=++

22

323

132

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PROBLEMAS 1. Una fábrica posee tres máquinas A, B, y C, las cuales trabajan en un día, durante 15, 22 y 23

horas, respectivamente. Se producen tres artículos X, Y y Z en estas máquinas, en un día,


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como sigue: una unidad de X está en A durante 1 hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y está en A durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad de Z está en A durante una hora, en B durante 2 horas, en C durante 2 horas. Si las máquinas se utilizan a su máxima capacidad, durante un día, hallar el número de unidades de cada artículo que es posible producir. ( Rpta. X = 3, Y = 4, Z = 4).

2. Tres personas A, B y C le van hacer un regalo a un amigo en común. El regalo les cuesta 86 soles. Como no todos disponen del mismo dinero deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 que paga B, C paga 3. Se pide Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona.

3. Por 9 entradas de Butaca de Patio, 6 de Anfiteatro I y 9 de Anfiteatro II una persona a pagado $ 480. A otra persona le han cobrado $ 140 por 4 de Anfiteatro I y 6 de Anfiteatro II, y una tercera persona paga $ 160 por 3 de butaca de patio, 2 de Anfiteatro I y 3 de Anfiteatro II. Determina solo con estos datos, el precio de las butacas de patio. ¿Puede hallarse el precio de las entradas de Anfiteatro I y II?

4. Una ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de plátanos, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1.20 y 1.50 soles/kg, respectivamente. El importe total de la compra fue de 11.60 soles. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto y resuelve el sistema.

5. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g.) que de tamaño mediano (500 g.). sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 soles y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1 250 soles, determina cuántas cajas se han envasado.

6. Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de

cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó? Madera Plástico Aluminio Sillas 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedoras 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sofás 1 unidad 2 unidades 5 unidades

7. Tres componentes se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del

fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?

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