MATRICES

LECCIÓN 1.1

Definición

Matriz de orden m x n

o Se expresa: A = (aij ), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.

o Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

Definición

Matrices Iguales Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) de orden m x n son iguales cuando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices son iguales. Es decir, A = B si y sólo si aij = bij para toda i, j

Definición

Matrices Especiales

o Matriz cero: La matriz cero m x n, está representada por 0, y tiene cada elemento igual a 0.

o Matriz fila: Solo tiene una fila, es de orden 1xn.

Definición

Matrices Especiales

o Matriz columna: Solo tiene una columna, es de orden mx1.

o Matriz cuadrada: Una matriz que tiene el mismo número de columnas que de filas, es de orden n x n.

Definición

Matrices Especiales

o Matriz diagonal: Si aij = 0 para i ≠ j

o Matriz Identidad: Es la matriz I de orden n x n y se define

Definición

Matrices Especiales o Matriz triangular inferior: Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n.

diremos que A es Triangular inferior si todos los elementos de A situados sobre la diagonal principal son nulos, es decir:

aij =0 para todo i<j; i , j=1,....,n

Definición

Matrices Especiales o Matriz triangular superior: Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n.

diremos que A es triangular superior si todos los elementos de A situados bajo la diagonal principal son nulos, es decir:

aij =0 para todo i>j; i , j=1,....,n

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de la matriz A =(aij), de orden m x n es la matriz At = (ajI) de orden n x m. Es decir, aquella matriz que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de la matriz A.

Matriz Simétrica

Diremos que una matriz cuadrada A es una matriz simétrica si coincide con su transpuesta, es decir A=At . Ejemplo:

Matriz Antisimétrica

Sea A una matriz de orden n, diremos que A=(aij) es antisimétrica si aij =- aji , para todo i , j=1,...,n; es decir A = - At Ejemplo:

Operaciones con Matrices

SUMA DE MATRICES Para sumar las matrices A y B deben ser del mismo orden, es decir de tamaños iguales. Ejemplo: Encuentre la suma de:

Operaciones con Matrices

SUMA DE MATRICES La inversa aditiva de la matriz A = (aij) es la matriz -A = (ajI) Ejemplo:

Operaciones con Matrices

Propiedades: Sean A y B matrices m x n, y si c y d son números entonces: 1. c (A + B) = c A + c B 2. (c + d) A = c A + d A 3. (c d) A = c(d A) 4. 0 A= 0

Operaciones con Matrices

PRODUCTO DE MATRICES Sea A = (aij) de orden m x n y B = (Bij) de orden n x p. El producto AB es la matriz C = (cij) de orden m x p, tal que: cij = ai1 a1j + ai2 a2j + … + ain anj

Observaciones: o Si AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 o Si AB = AC no implica que B = C. o En general (A + B) ≠ A + B +2AB, ya que AB ≠ BA o En general (A + B)·(A – B) ≠ A – B , ya que AB ≠ BA.

Operaciones con Matrices

Propiedades: Si todas las sumas y productos están definidas: 1. A (BC) = (AB) C asociativa 2. A (B+C) = AB + AC distributiva 3. (A+B) C = AC + BC distributiva Nota: La multiplicación de matrices por lo general no es conmutativa.