PRACTICA No

MAT 1103 “D”

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORUROFACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA

INGENIERIA METALURGICA

TEMA: CUERPO DE MATRICES (cuerpo o campos)

NOMBRES: UNIV. ALARCON MARCA VICTOR HUGO

DOCENTE DE LABORATORIO: ING.

PARALELO: “D”

FECHA DE ENTREGA: 28/08/14

ORURO - BOLIVIA

CONCEPTOS PREVIOS

Explicación de conceptos relacionados con el tema Matriz

Es una disposición de elementos en filas y columnas de forma ordenada.

Operación Binaria

Se define como operación binaria aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.

Orden o Dimensión de una matriz

Se llama Orden, Dimensión o tamaño de una matriz a la cantidad de filas y columnas que posee.

CUERPO O CAMPO

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

ESCALAR

Se denomina escalar a los números reales o complejos que sirven para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de dirección. Es decir simplemente un valor numérico, sin las características de dirección y sentido que son propia de los vectores. El concepto complementario sería vectorial.

CONDICIONES

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí. Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas. Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elemtentos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

SUMA O ADICIÓN

Sean . Se define la operación de adición de matrices como una operación

binaria tal que y

donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los

elementos y lo cual es .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo será la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES

Para poder sumar dos o más matrices deben tener el mismo tamaño, la misma cantidad de columnas y de filas. Propiedades:

1. Cerrada: La suma de dos matrices resulta otra matriz de igual tamaño.2. Asociativa: (A + B ) + C = A + (B + C )3. Neutro: Existe una matriz O, con todos sus elementos de valor cero tal que A + O = O + A =

A4. Simétrico: Cada matriz A, posee su matriz simétrica A' tal que A + A' = A' + A = O

Los elementos de A' son de valor opuesto que sus correspondientes de la matriz A

1. Conmutativa: A + B = B + A

SUSTRACCIÓN

Se puede definir las sustracción entre dos matrices como la suma de la primera con la

opuesta (simétrica aditiva) de la segunda.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.

Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.

Ejemplo

Sea y

Producto por un escalar

Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una

función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la

entrada es igual al producto .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea y

También es inmediato ver que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

PROPIEDADES

Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

debido a que para todo .

DISTRIBUTIVIDAD RESPECTO DE LA SUMA DE MATRICES

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

debido a que para todo .

DISTRIBUTIVIDAD RESPECTO DE LA SUMA EN EL CAMPO

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo

PRODUCTO POR EL NEUTRO MULTIPLICATIVO DEL CAMPO

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

debido a que para todo .

Por cómo se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado

bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un módulo sobreAhora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

para todo debido a que para todo .

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo

no hay divisores de cero entonces para todo implica que o

para todo , i.e. . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que

para todo.