Matrices

DEFINICIONES BÁSICAS

Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn

1 2 3

4 5 6

filas

columnas

Matriz de dimensión 2x3

2 3 -4 21 7 Matriz 1x5 o vector fila

2

4

-1

Matriz 3x1 o vector columna

3 9

1 0Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2

a11 a12 a13 ……. a1j …… a1n

a21 a22 a23 ……. a2j …… a2n

…. ….. …. ……. …. …… ….

ai1 ai2 ai3 ........ aij …… ain

…. …. …. ……. … …… ….

am1 am2 am3 ……. amj …… amn

Notación

Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo la columna

A= =(aij)

Elemento que ocupa la fila 2 y columna 3

Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y aij=bij

Algunos tipos particulares de matrices:• matriz cuadrada: m=n• matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0.• matriz simétrica: aij=aji (tiene que ser cuadrada)• matriz traspuesta de A(mxn) At (nxm) aij->aji

Diagonal principal de una matriz son los elementos aii

-1 3 5 8

0 8 6 1

0 0 5 1Matriz triangular

Diagonal principal

-1 3 5

3 8 6

5 6 5Matriz simétrica

-1 3 9 5

3 8 0 6

-2 7 4 5

A= Matriz traspuesta At=

-1 3 -2

3 8 7

9 0 4

5 6 5Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) cij = aij + bij

-1 3 9 5

3 8 0 6

-2 7 4 5

-8 1 6 -3

0 7 0 11

4 1 4 5

-9 4 15 2

3 15 0 17

2 8 8 10+ =

Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( taij )

-1 3 9 5

3 8 0 6

-2 7 4 5

A=

-2 6 18 10

6 16 0 12

-4 14 8 10

2A=

Propiedades de la suma de matrices:

• conmutativa: A+B=B+A

• asociativa (A+B)+C=A+(B+C)

• matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0.

Se cumple A+(0)=A

• matriz opuesta de A=(aij), -A=(-aij)

Se cumple: A+(-A)=(0)

-1 3 9 5

3 8 0 6

-2 7 4 5

A=

-2 1 0 3

2 2 0 -6

1 -3 2 7

B=

-3 3 6 0

3 8 0 6

-2 3 5 5

C=

Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C

-1 3

3 8A =Ejemplo: dada la matriz , halla X tal que 2A+X=(0)

Propiedades del producto de un número por una matriz:

• asociativa a·(b·A)=(a·b)·A

• 1·A=A

• 0·A=(0)

• (a+b)·A=a·A+b·A

• a·(A+B)=a·A+a·B

¡Atención! Es incorrecto: A·5 ó

5

A

-1 3

3 83A-B =

8 6

2 -42A+3B =

1) Halla las matrices A y B que verifican:

2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo:

1 0

-1 2

3 1A=

4 1

2 0

-1 3B=

2 1

1 -2

4 4

0 0Sol: A= B=

Sol:

6 1

0 4

5 5X=

PRODUCTO DE MATRICES

A · B = C

mxp pxn mxn

Cada elemento de la matriz producto cij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos

-1 3 9 5

3 8 0 6

-2 7 4 5

3x4

4 2

-5 6

3 -1

5 6

4x2

(-1)·4+3·(-5)+9·3+5·5 (-1)·2+3·6+9·(-1)+5·6

3·4+8·(-5)+0·3+6·5 3·2+8·6+0·(-1)+6·6

(-2)·4+7·(-5)+4·3+5·5 (-2)·2+7·6+4·(-1)+5·6

=

3x2

23 37

2 90

-6 64

=

Sólo se puede hacer el producto A·B si el nº de columnas de A es igual al número de filas de B

En general: cij=ai1·b1j+ai2·b2j+…+aipbpj

p

kkjikij bac

1

·

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C

Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C

Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y todos los demás elementos son 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I=Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A

Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A =

-3 3 6 0

3 8 0 6

-2 3 5 5

0 3 2 2

En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para matrices cuadradas)

1 1

0 1Ejemplo: comprueba que A·B≠B·A siendo A =

1 3

2 1B=

Matriz inversa de una matriz cuadrada:

Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A-1 a otra matriz de la misma dimensión que cumpla:

A· A-1 =A-1·A=INo todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que es invertible o regular

Ejemplo: utilizando la definición, halla A-1 y B-1 2 -1

1 1

1 3

2 6A= B=

Solución:1/3 1/3

-1/3 2/3B no tiene inversa; A-1=

Ayuda: haz x y

z tA-1 y plantea un sistema de ecuaciones

Vectores. Rango de un conjunto de vectores.

Llamaremos Rn al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es decir matrices nx1. Los vectores de Rn se llaman también n-tuplas y se representan así:

,...,wv

Por ejemplo:

,...

1

4

0

,

0

0

1

,

3

2

13R

Los vectores de Rn se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar un número por un vector

Ejemplo:

3

2

1

u

2

0

1

v

9

10

8

vu35

Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro vector que se pueda expresar de la siguiente forma:

Dados los vectores: kuuu

,..., 21

kk uuu ...2211 siendo k ,..., 21 números

0

2

3es C.L. de:

0

1

1

0

0

1yu v

w

ya que: vuw2

Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás

Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás

0

1

1

,

0

0

1

,

0

2

3

S

0

0

1

,

0

2

3

S

0

0

1

,

0

0

3

S

1

3

2

,

0

1

6

,

0

0

1

S

Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes.

Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores columna.

Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores 2, 2, 1, 3

Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A1 ; A2;….Am

0

1

1

,

0

0

1

,

0

2

3

000

102

113321 AAAA rang(A)=2

Ejemplo: calcula el rango de las matrices:

800

140

113

A

000

642

963

A

310

421A

01

94

13

20

54

21

A

Propiedades del rango de una matriz:

• el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna

• el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L: de las demás columnas (filas)

• el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0

• el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás columnas (filas)

94125

63113

31012

32101

A

Ejemplo: calcula el rango:

94000

63100

31010

32101

A

Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales:

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

2

1

1

·

435

123

111

z

y

x

A · X = B

435

123

111

A

Matriz de coeficientes o matriz del sistema

2

1

1

B

Vector de términos independientes

Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla:

A · X = B A-1 ·(A · X) = A-1 B (A-1 A) · X = A-1 B I · X = A-1 B X = A-1 B

12-1

49-7

3-75-1A

Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A-1 y calcula con esta fórmula la solución del sistema

1

6

4

XSolución:

z

y

x

X

SCD x=-4, y=6, z=1

Vector de incógnitas (solución)