7/24/2019 Matrices Cuadradas

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Matrices cuadradas

Matriz cuadrada:Matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas, es decir, m = n.

Se denomina diagonal principalde la matriz cuadrada A = ( a ij ) a los elementos aii, es decir:

a11, a22, a33,..., ann.

Se denomina diagonal secundariade la matriz cuadrada A = ( a ij ) a los elementos aijcon i j= n 1.

Matrices: simtricas, antisimtricas y ortogonales

Matriz simtrica

!na matriz simtricaes una matriz cuadrada cu"os elementos son sim#tricos res$ecto de ladia%onal $rinci$al, es decir, una matriz A es sim#trica cuando A = Ato, lo que es lo mismo, aij=aji .

&or tanto, una matriz es sim#trica si coincide su tras$uesta.

Ejemplos de matrices simtricas:

Matriz antisimtrica o hemisimtrica

!na matriz antsimtricaes una matriz cuadrada cu"os elementos res$ecto de la dia%onal$rinci$al son i%uales en 'alor asoluto $ero de distinto si%no, es decir, una matriz A esantisim#trica cuando A = Ato, lo que es lo mismo, aij= aji .

&or tanto, una matriz es antisim#trica si coincide con la o$uesta de su tras$uesta.

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Ejemplos de matrices antisimtricas o hemisimtricas:

Matrices ortogonales

!na matriz cuadrada A es una matriz ortogonalsi 'erifica que

A * At= At * A = +

s un ti$o es$ecial de matriz in'ersile.

Ejemplo de matriz ortogonal:

Comprobar que la matriz A es ortogonal

Otros ejemplos de matrices ortogonales:

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Matrices : Triangular superior,Triangular inerior, diagonal, escalar e identidad!

Matriz triangular superior:s una matriz cuadrada en la que todos los elementos $or deajode la dia%onal $rinci$al son nulos (matriz A).

Matriz triangular inerior:s una matriz cuadrada en la que todos los elementos $or encima

de la dia%onal $rinci$al son nulos (matriz -).

Ejemplos:

Matriz diagonal: s una matriz cuadrada en la que todos los elementos no $ertenecientes a ladia%onal $rinci$al son nulos, es decir, $ara A = ( a ij )

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Matriz escalar: s una matriz dia%onal en la que todos los elementos de la dia%onal $rinci$alson i%uales.

Matriz unitaria, unidad o identidad: s una matriz escalar en la que todos los elementosdia%onales son i%uales a 1.

&ara cada n re$resentaremos a la matriz identidad de orden n como +n.

Matrices : "eri#dicas, $dempotente, nilpotentes, e in%oluti%as!

Matrices peri#dicas

!na matriz cuadrada A es una matriz peri#dicasi 'erifica que

An1= A

$ara al%n entero $ositi'o n. Al menor entero $ositi'o $ara el que esto ocurre se le llamaperiodo.

Si A es $eridica con $eriodo $, las $otencias de A son:

A , A2, ... , A$, A$1= A , A$2= A2, ... , A$, ...

Ejemplo de matriz peri#dica: Comprobar que la matriz A es peri#dica! &alla A '((.

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/ser'amos que:

&or lo tanto tenemos que:

Matrices idempotentes

!na matriz cuadrada A es una matriz idempotentesi 'erifica que

A2= A

Ejemplo de matrices idempotentes:

/n2= /n

+n2= +n

Comprobar que la siguiente matriz es idempotente:

Matrices nilpotentes

Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz nilpotentesi 'erifica que

An= /

$ara al%n 0 entero $ositi'o.

Ejemplo de matrices nilpotentes:

/n2

= /n

Comprobar que la matriz ) es nilpotente!

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Comprobar que la matriz A es nilpotente!

Comprobar que la matriz A es nilpotente! Calcular A*+!

omo A2= /, es claro que A3= /.

Matrices in%oluti%as

Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz in%oluti%asi 'erifica que

A2= +

Ejemplo de matrices in%oluti%as:

+n2= +n

( +n)2= +n

Comprobar que la matriz A es in%oluti%a!