Matrices

Contenido

• Definición de Matrices• Operaciones con Matrices• Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices

Definición de Matrices

• Es un conjunto de números en un arreglo rectangular

• Los números pueden ser reales o complejos• Los números son sus elementos• No tiene valor numérico

𝑨𝑨 =

𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏

Dimensión: (𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)𝒏𝒏 son renglones𝟏𝟏 son columnas𝑨𝑨 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)

Definición de Matrices

• Matriz de una Dimensión:• Matriz Renglón (vector renglón). Dimensión = 𝟏𝟏 × 𝟏𝟏

• Ejemplo:𝑨𝑨 = 1 2 3 4

• Matriz Columna (vector columna). Dimensión = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏• Ejemplo:

𝑨𝑨 =

1234

Definición de Matrices

• Tipo de Matrices:• Nula. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.

• Ejemplo:

𝑨𝑨 =0 0 00 0 00 0 0

• Unitaria. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:

𝑨𝑨 =1 1 11 1 11 1 1

• Transpuesta. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ↔ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:

𝑨𝑨 = 1 32 4 ⇒ 𝑨𝑨𝑇𝑇 = 1 2

3 4

Definición de Matrices

• Semejantes (misma dimensión). 𝒏𝒏𝟏𝟏 = 𝒏𝒏𝟏𝟏, and 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏• Ejemplo:

𝑨𝑨𝟏𝟏 = 1 3 72 0 3 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 5 3 9

0 1 1• Cuadradas. 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏

• Ejemplo:

𝑨𝑨 =1 5 37 2 10 9 6

Definición de Matrices

• Tipo de Matrices Cuadradas:• Triangular Superior. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 > 𝒊𝒊.

• Ejemplo:

𝑨𝑨 =1 9 30 5 20 0 3

• Triangular Inferior. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 < 𝒊𝒊.• Ejemplo:

𝑨𝑨 =5 0 01 7 02 3 9

• Diagonal. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 ≠ 𝒊𝒊.• Ejemplo:

𝑨𝑨 =3 0 00 5 00 0 7

Definición de Matrices

• Identidad.

𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈 𝑰𝑰 = �𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, para toda 𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 ≠ 𝒊𝒊

• Ejemplo:

𝑨𝑨 =1 0 00 1 00 0 1

• Simétrica. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:

𝑨𝑨 =

1 2 3 42 5 6 73 6 8 94 7 9 10

Operaciones con Matrices

• Suma (o Resta).• Restricción: Semejantes (misma dimensión)

𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 → 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩 → 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 − 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)

• Ejemplo:𝑨𝑨 = 1 3 2

0 5 7 𝑩𝑩 = 5 2 19 0 7

⇒ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 = 6 5 39 5 14 ; 𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩 = −4 1 1

−9 5 0

Operaciones con Matrices

• Producto Escalar.𝑩𝑩 = 𝒌𝒌 � 𝑨𝑨 → 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)

• Ejemplo:

𝑨𝑨 =1 24 50 3

,𝒌𝒌 = 2 ⇒ 𝑩𝑩 = 𝒌𝒌𝑨𝑨 =2 48 100 6

Operaciones con Matrices

• Producto Matricial o Vectorial.• Restricción: El número de columnas del primer factor debe ser igual al

número de renglones del segundo factor.

�𝑨𝑨(𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)𝑩𝑩(𝟏𝟏 × 𝒑𝒑) ⇒ 𝑪𝑪(𝒏𝒏 × 𝒑𝒑)

• Propiedades:• No es conmutativo• Si 𝑨𝑨 ≠ 0 and 𝑩𝑩 ≠ 0 ⇒ el producto de 𝑨𝑨𝑩𝑩 puede ser nulo

Operaciones con Matrices

• Ejemplo:

𝑨𝑨 = 3 4 71 2 0 2 × 3 ; 𝑩𝑩 =

1 34 50 6

(3 × 2)

⇒ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 19 719 13 (2 × 2)

Operaciones:𝑐𝑐11 = 3 1 + 4 4 + 7 0 = 19𝑐𝑐21 = 1 1 + 2 4 + 0 0 = 9𝑐𝑐12 = 3 3 + 4 5 + 7 6 = 71𝑐𝑐22 = 1 3 + 2 5 + 0 6 = 13

Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Suma (o resta) de Matrices.

𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩; 𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩Dimensiones: 𝑨𝑨 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑩𝑩 = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑪𝑪 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑫𝑫(𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)Fórmula Recursiva:

𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 − 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)

𝑖𝑖 = 1

𝑗𝑗 = 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖

Read I, JRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖

(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝑗𝑗: 𝐽𝐽

𝑖𝑖: 𝐼𝐼

Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅

𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1

𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1

<

<

𝑖𝑖 = 1

𝑗𝑗 = 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖

Read I, JRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖

(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝑗𝑗: 𝐽𝐽

𝑖𝑖: 𝐼𝐼

Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1

𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1

<

<

𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅

Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Producto Escalar.

𝑩𝑩 = 𝒌𝒌 � 𝑨𝑨Dimensión: 𝑨𝑨(𝒏𝒏×𝟏𝟏)

Fórmula Recursiva:𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)

𝑖𝑖 = 1

𝑗𝑗 = 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

Read I, J, kRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝑗𝑗: 𝐽𝐽

𝑖𝑖: 𝐼𝐼

Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)

𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1

𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1

<

<

𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅

Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Producto Matricial.

𝑪𝑪 = 𝑨𝑨𝑩𝑩Dimensiones: 𝑨𝑨 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑩𝑩 = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑪𝑪 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏Fórmula Recursiva:

𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = �𝒊𝒊=𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃𝒊𝒊𝒌𝒌 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, … ,𝒏𝒏;𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, … ,𝒑𝒑)

𝑖𝑖 = 1

𝑗𝑗 = 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖

Read I, J, KRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖; 𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽

Read 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖; (𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽; 𝑘𝑘 = 1,𝐾𝐾)

𝑗𝑗: 𝐽𝐽

𝑖𝑖: 𝐼𝐼

Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼;𝑘𝑘 = 1,𝐾𝐾)

𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1

𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1

<

<

𝑘𝑘 = 1

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0.0

𝑘𝑘:𝐾𝐾 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 + 1<

𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅

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