Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria.

Departamento de Matemática – Colegio Teodelina

Determinantes.

DETERMINANTES…

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A c a d a M a t r i z c u a d ra d a B m x n s e l e a s o c i a u n n ú m e ro l l a m a d o d e t e r m i n a nt e d e B , d e o rd e n n , q u e s e s i m b o l i za d e t ( B ) o | B | y s e c a l c u l a d e d i s t i n t a s m a n e ra s ,

s e g ú n e l o rd e n d e l a M a t r i z .

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 1.

Sea una matriz B = (b11). El determinante de B será el propio elemento b11

B = (3) → |B| = 3

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.

El factor determinante asociado a la matriz A es el número real obtenido por la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el

producto de los elementos de la diagonal secundaria.

A = a11 a12

a21 a22

a11 a12

a21 a22

= a11 · a22 – a12 · a21

a11 · a22 - (a12 · a21)

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.

53

27A 293.25.7

53

27||

A

218206.310.2106

32

DETERMINANTES…

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3.

E n e s t e c a s o u t i l i z a m o s u n

p r o c e s o p r á c t i c o

d e n o m i n a d o r e g l a d e S a r r u s .

413

125

312

13

25

12

= 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20

= 28

10 0 1

6 2 0

2 1 1

10 0

6 2

0 1

= 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

O J O C O N L O S S I G N O S

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

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1 ) S i u n a m a t r i z t i e n e u n a f i l a o c o l u m n a d e

c e r o s , s u d e t e r m i n a n t e e s c e r o . E j e m p l o s :

2 ) S i u n a m a t r i z

t i e n e d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s

i g u a l e s , s u d e t e r m i n a

n t e e s n u l o .

E j e m p l o s :

0

918

0921

2318

0921

0

000

892

531

0

1605

802

501

3 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z e s i g u a l a l d e s u

t r a s p u e s t a . E j e m p l o :

3151893

52A

3151895

32tA

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

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4 ) S i p e r m u t a m o s d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s d e u n a m a t r i z , e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z o b t e n i d a e s e l

o p u e s t o d e l a m a t r i z o r i g i n a l . E j e m p l o s :

5 ) S i m u l t i p l i c a m o s c a d a e l e m e n t o d e u n a f i l a o

c o l u m n a d e u n a m a t r i z p o r u n n ú m e r o , e l d e t e r m i n a n t e d e l a

m a t r i z o b t e n i d a e s i g u a l a l p r o d u c t o d e e s e n ú m e r o p o r e l

d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z o r i g i n a l . E j e m p l o :

3151893

52 31815

39

25

10 |A|

tsr

zyx

cba

7010.7.7.7.7||

tsr

zyx

cba

B

| B | = 7 . | A |

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6 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r e s i g u a l a l p r o d u c t o

d e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l . E j e m p l o s :

7 ) S i u n a m a t r i z t i e n e d o s f i l a s o

d o s c o l u m n a s p r o p o r c i o n a l e s , s u d e t e r m i n a n t e

e s c e r o . E j e m p l o :

0

8.284

)1.(201

3.293

A

427.3.2

797

035

002

602.3.5.2

2000

5300

6850

0872

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