Matrices y Determinantes

5/20/2018 Matrices y Determinantes

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Moiss Villena Muoz Cap 1 Matrices y Determinantes

1

11.1 DEFINICIN

1.2 ORDEN O DIMENSIN

1.3 CLASES DE MATRICES

1.4 IGUALDAD DE MATRICES1.5 OPERACIONES

1.6 DETERMINANTE

1.7 MATRIZ INVERSA

Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidosmatemticos. De all su importancia de estudio en este captulo.

OBJETIVOS:

Definir arreglo matricial. Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,

matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matricesdiagonales, matrices simtricas.

Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicacinpor escalares, multiplicacin entre matrices.

Hallar determinantes de matrices. Aplicar las propiedades de los determinantes para ejercicios

conceptuales. Justificar la existencia de la inversa de una matriz Determinar, de existir, la inversa de una matriz.


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Moiss Villena Muoz Cap 1Matrices y Determinantes

2

1.1 DEFINICIN

Una matriz es un arreglo rectangular de

nmeros.Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayscula.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

Columna

Renglnn

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

3 n

3

m

C C C C

R

R

R

R

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o f ilas .

A los arreglos verticales se los denominan columnas.

Al nmero ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer

nmero del subndice) indica la fila en donde se encuentra y " j " (el segundonmero del subndice) la columna, es decir:

1.2 ORDEN O DIMENSIN

El orden o la dimensin de una matriz est dada por la cantidad de filas y lacantidad de columnas que posea. Al decir nmA , se indica que A es una matriz

que tiene m filasy ncolumnas.

Ejemplos

32201

312

A A es de orden 2 3 porque tieneque tiene 2 filas y 3 columnas.

33321

210

321

B B es de orden 3 3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.


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3

Ejercicio Propuesto 1 1

1. Determine la matriz 4 3 ijA a

para la cual 2 jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con

objeto de calcular 21a , haga 2i y 1j en la frmula 121221 a ].

2. Determine la matriz 3 3 ijA a para la cual 0 ;1 ;

iji ji j

a

1.3 CLASES DE MATRICES1.3.1 MATRIZ CUADRADA

Una matriznmA es cuadrada si y slo s nm .

Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnasy

se la denota como nnA .Caso contrario se la considera una mat riz rectangular.

Cuando una matriz es cuadrada surge la definicin de Diagonal Princ ipalpara los elementos

ija donde ji , y D iagonal Secun daria para los elementos

de la otra diagonal.

La suma de los elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza de lamatriz y se la denota como Tr A , es decir:

11 22 33 nnA a a a aTr

Dentro de las matrices cuadradas tambin aparecen las siguientes clases dematrices:

1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que estnbajo la diagonal principal son todos ceros.

nn

n

n

n

nn

a

aa

aaa

aaaa

A

000

00

0

333

22322

1131211

nnnnn

n

n

n

nn

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

DiagonalPrincipal

DiagonalSecundaria


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4

1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que estnsobre la diagonal principal son todos ceros.

1.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que estn sobre ybajo la diagonal principal son todos iguales a cero.

1.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz diagonal que tiene al nmero 1 en toda la diagonal principal.

1.3.1.5 MATRIZ NULAEs la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como

puede ser rectangular.

1.4 IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices nmA y nmB son iguales si y slo si:

ijij ba

Es decir, sus elementos respectivos son iguales.

nnnnn

nn

aaaa

aaa

aaa

A

321

333231

2221

11

0

00000

nn

nn

a

a

a

a

A

000

000

000

000

33

22

11

1000

0100

0010

0001

nnnn IA


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5

Ejercicios propuestos 1 2

1.Determine los v alores de las variables para los cuales las ecuac iones matric iales siguientes se satisfacen:

a)

43

21

3

2

y

x

b)

1 3 3 2 7 1

5 3 5 2 3

1 1 0 5 1

x t v

x y w

u y z

2.Dadas las matrices:

243

012

4232

3

2321

k

kkkk

A y

043

012

232

B entonces el valor de

321 kkk , tal que BA , es:

a)4

5 b)

3

2 c) 3 d)

2

1 e)

2

3

1.5 OPERACIONES1.5.1 SUMA

Sean BA dos matrices de nm , entonces:

nmnmnm CBA , donde ijijij bac

Los elementos de la matriz resultante C se los obtiene sumandoalgebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de

la matriz B .

Ejemplo

Sean las matrices

32321

112

A y

32312

101

B

Hallar BAC .

SOLUCIN:

32

3232

031211

)3(312)2(11101)1(2

312

101

321

112

C

BAC

1.5.1.1 Propiedades

Seannm

A , nmB y nmC , matrices. Entonces:

1. ABBA

2. CBACBA 3.A A 0 , donde m n0 es la Matriz Nula


6/21


6

4. A A 0

1.5.2 MULTIPLICACIN POR ESCALARES

Sea y la matriznm

A , entonces:

nmnm CA , donde ijij ac

Los elementos de la matriz Cse los obtiene multiplicando por la constante a los elementos de la matriz A .

Ejemplo

Si tenemos la matriz

321012A , entonces:

642

024

)2(3)2(2)2(1

)2(0)2(1)2(2

321

01222AC

1.5.2.1 Propiedades

Seannm

A y nmB matrices; y , ,

entonces:1. BABA 2. AAA

1.5.3 MULTIPLICACIN ENTRE MATRICES

Sea Auna matriz nm y sea B una matriz qn (la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B )

entonces:

qmqnnm CBA

donde njinjijijiij babababac 332211


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7

Es decir, el elementoijc se lo obtiene sumando algebraicamente los

resultados de la multiplicacin de los elementos de la fila i de la matriz A conlos respectivos elementos de la columna j de B .

Ejemplo

Para las matrices

32321

112

A y

33111

320

111

B

Obtengamos la matriz ABC

Primero observe que, s es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y lamatriz B tiene 3 filas.Entonces:

32232221

131211323332

ccc

cccCBA

6)1)(1()3)(1()1)(2(

5)1)(1()2)(1()1)(2(

1)1)(1()0)(1()1)(2(

13

12

11

c

c

c

2)1)(3()3)(2()1)(1(

0)1)(3()2)(2()1)(1(

2)1)(3()0)(2()1)(1(

23

22

21

c

c

c

Por lo tanto:

202

65132C

1.5.3.1 Propiedades

Sea y , ,A B Cmatrices. Entonces:1. ACABCBA 2. AAI 3. BABAAB 4. BCACAB

Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedanrealizar las operaciones indicadas.

Note que AB no siempre es igual a BA POR QU?


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8

Ejercicio Resuelto

Sean las matrices

23

2

3

201

2k

kkA y

3213

1102

53

k

kk

kB , entonces el valor de "k " para que

la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR esa) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1 SOLUCIN:Al multiplicar la matriz 33A con la matriz 33B resulta una matriz 33C . El asunto es que 33C sea

triangular superior,entonces 000 323121 ccc . Es decir:

3333

2322

131211

333333

00

0

c

cc

ccc

CBA

032)1)(3())(()2)(( 221 kkkkkc

045)2)(2())(3()10(

023)1)(2())(3()2(

32

3232

2

231

32

2

kkkkc

kkkc

kk

k

Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones

1. 13

013

0322

kk

kk

kk

2. 12

012

0232

kk

kk

kk

3.

140

014

0)45(

045

2

23

kkk

kkk

kkk

kkk

Observe que slo 1k satisface las tres condiciones, por tantoRESPUESTA: Opcin "a"

1.5.3.2 Tipos de Matrices

Sea Auna matriz n n .1.- Si 2A A , entonces A es llamada MATRIZIDEMPOTENTE.2.- Si 2A I , entonces A es llamada MATRIZINVOLUTIVA.3.- Si 2A 0, entonces A es llamada MATRIZ

NILPOTENTE.

Ejercicios Propuestos 1 3

1. Efectuar las operaciones:

a)

821

210

741

312

b)

301

423

210

3

654

012

321

2


9/21


9

c)

3

2

1

654

321

132

d)

12

13

30

42

01

654

321

2. Calcule IAA 322 para

32

21A

3. Al multiplicar la matriz

dc

baA por la matriz

04

33B se obtiene la matriz

62

31C , entonces laSUMA de dcba es:

a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3

4. Considerando las siguientes matrices:

304;3

12

;3

3

21

04;

4

2

30

11

DCBA . Determine

cul de las siguientes proposiciones es FALSA?

a)

7

1

11

15BA b)

9012

304

608

CD

c) CA no est definida d)

9

9AD

e) Elija esta opcin si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.

5. Dadas las matrices:

43

21A y

23

12B encuentre:

a) 2BA b) 22 2 BABA

6. Sean las matrices:

1

1

q

pA y

12

11B encuentre " p " y " q " para que

222 BABA .

1.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA

Sea ijaA una matriz de nm . Entonces sumatriz transpuesta, denotada como ji

t aA , es

de mn y se obtiene tomando las filas de lamatriz Acomo columnas para la matriz tA y porende las columnas de la matriz A sern las filasde la matriz tA .


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10

Ejemplo

La matriz transpuesta para la matriz32

321

112

A es

2331

21

12

tA

1.5.4.1 Propiedades

Seannm

A y nmB matrices, entonces:

1. AA tt 2. ttt BABA 3. ttt ABAB

1.5.5 MATRIZ SIMTRICA

Una matriznn

A es Simtrica si y slo si AAt

Para que una matriz sea Simtrica se debe cumplir que jiij aa

Ejemplo

La matriz

1 2 3

2 0 1

3 1 2

A

es simtricaporque

1 2 3

2 0 1

3 1 2

tA A

1.5.6 MATRIZ ANTISIMTRICA

Una matriz nnA es Antisimtrica si y slo sitA A

Para que una matriz sea Antisimtrica se debe cumplir que ij jia a . En tal

caso 0iia .

Ejemplo

La matriz

0 2 3

2 0 1

3 1 0

A

es Antisimtricaporque

0 2 3

2 0 1

3 1 0

tA A


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11

Ejercicio Propuesto 1 4

1. Sea la matriz2 4 6

8 3 5

0 1 4

A

, la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz

tAA24 es:a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9

1.6 DETERMINANTE

Sea A una matriz de nn . El DETERMINANTEde A ,

denotado por A o tambin Adet , se define de la

siguiente manera:

1. Si 111111 aAaA

2. Si 211222112221

1211

22 aaaaAaa

aaA

3. Si 131312121111

333231

232221

131211

33 AaAaAaA

aaa

aaa

aaa

A

Donde ijA se llama cofactory se define como:

Entonces

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaaaa

aaaaa

aaaA

NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. Cmosera el determinante?

La forma mencionada para hallar el determinante se llamaMTODO DEMENORES. Si embargo existen otros mtodos que podran emplearse. Estemtodo es general, sirve para matrices de mayor orden.


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12

Ejemplo

Hallar el determinante de la matriz

2 1 4

3 5 1

1 0 0

A

SOLUCIN:Note que es mejor emplear la ltima fila porque tiene algunos ceros, entonces

53

120

13

420

15

411

001

153

412

A

21)5)(4()1)(1(1

0015

411

A

A

1.6.1.PROPIEDADES

Seannn

A y nnB matrices, entonces:

1. BAAB

2. AAt

Pregunta: BABA Si o no? Justifique su respuesta.

1.6.2 OTRAS PROPIEDADES

1.Si una matriz es triangular superior, triangularinferior o diagonal, entonces su determinante esigual a la multiplicacin de los elementos de ladiagonal principal.

Ejemplo

Para la matriz triangular superior

300

4105102

A calculando su determinante por el mtodo de

menores, empleando la primera columna, tenemos:

6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(20030

412

A .

Generalcelo!

2.Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o

mltiplos entonces su determinante es igual a "0".


13/21


13

Ejemplo 1

Al hallar el determinante de la matriz

62

31A cuya segunda fila es 2 veces la primera,

encontramos que:

0

)2)(3()6)(1(

A

A

Ejemplo 2

Lo mismo ocurre con esta matriz

19031

06121

13212

20101

56321

A , note que la cuarta columna es el

triplo de la segunda, por lo tanto 0A

Generalcelo!

3.Si se intercambian 2 filas o columnas en una matrizentonces su determinante cambia de signo.

Ejemplo

Suponga que se tiene la matriz

54

31A entonces 7125 A

Si formamos la matriz

31

54B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces

7512 B .

Generalcelo!

4.Si a todos los elementos de una fila o columna de una

matriz A los multiplicamos por una constante 0k ,entonces el determinante de la nueva matriz es k

veces el determinante de la matriz A .

Ejemplo


2221

1211

aa

aaA entonces 22122211 aaaaA


2221

1211

aa

kakaB (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la

matriz A ) entoncesAkaaaakakaakaB )( 2112221121122211 .


14/21


14

En cambio e l AkkA n POR QU?

5.Si a todos los elementos de una fila o columna deuna matriz A les sumamos respectivamente kveces otra fila o columna, entonces eldeterminante no vara.

Ejemplo


2221

1211

aa

aaA entonces 22122211 aaaaA


12221121

1211

kaakaa

aaB (a los elementos de la segunda fila le adicionamos

respectivamente k veces laprimera fila),entonces

Aaaaa

akaaaakaaa

kaaakaaaB

21122211

1112211212112211

112112122211 )()(



320

121A y

111

021B entonces el valor de:

tABdet es:a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25

2. Calcule los siguientes determinantes:

a)

001

153

412

b)

1021

1120

3012

0101

3. Sean las matrices:

32

23;

111

111;

1

1

0

0

0

1

;

501

410

123

DCBA, entonces el valor

del DCBA TT ..det es:a) 44 b) 38 c) 38 d) 39 e) 44

4. Los valores de x que satis facen la ecuacin: 60

100

990

23

x

x

xx

son:

a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 5 y 4 d) 5 y 4 e) 0 y 1

5. Los valores de x que satisfacen la ecuacin: 3

1

32

0012

xxx

xx , son:

a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0


15/21


15

6. Al calcular 0

34

201

122

x

x

, se obtiene:

a) 0x b) 5x c) 0x d) 3x e) 2x

7. El valor del determinante de la matriz

012

123log2

1log18log310

1ln

2

x

xxe

A es:

a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4

1.7 MATRIZ INVERSA

Sea Auna matriz de nn . Si existe una matriz1

nnA tal que IAAAA 11

, se dice que A esinversible.

En este caso a la matriz1

nnA se la llama la matriz inversa deA .

Si 1A existe, se dice que A es una matriz no s ingular. Caso contrario; esdecir, que 1A no exista, se dice que A es una matriz singular.

Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aqu solo lo vamos

a hacer empleando la siguiente frmula: tA

AA

11 , donde A

Matriz de Cofactores.

Esto da lugar el siguiente teorema (Una condicin necesaria y suficiente para laexistencia de la matriz inversa).

Teorema.

1A existe si y slo si 0A

Ejemplo 1

De existir, hallar la inversa de la matriz

54

31A

SOLUCIN:Primero empecemos hallando: 7A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz

inversa.A continuacin hallamos la matriz de cofactores

13

45)1()3(

)4()5(2221

1211

AAAAA


16/21


16

Entonces:

7

1

7

473

75

1

1

14

35

7

1

13

45

7

11

A

AA

A

tt

Comprobando

10

01

70

07

7

1

14

35

7

1

54

311AA

Ejemplo 2

De existir, hallar la inversa de la matriz

012

130

201

A

Eldeterminante de la matriz es: 11)6(20)1(1 A

Y su matriz de co factores:

)3()1()6(

)1()4()2(

)6()2()1(

A

=

316

142

621

Entonces su matriz inversa es:

316

142

621

11

1

316

142

621

11

1

316

142

621

11

11

t

A

Comprobando

100

010

001

1100

0110

0011

11

1

316

142

621

11

1

012

130

2011

AA

1.7.1. Propiedades

Seannn

A y nnB matrices inversibles,

entonces:

1. AA

11

2.

AA

11

3. 11 tt AA 4. 111 ABAB


17/21


17

Ejercicio resuelto 1

Sea X una matriz, tal que:

040

321

84

32X . Entonces X es igual a:

a)

040

672 b)

04

67

02

c)

341

672

d)

36

47

12

e)

341

672

SOLUCIN:

Una manera es despejar la matriz X , multiplicando por la inversa a ambos miembros

040

321

84

32 11AXA

A

1

1

1 2 3

0 4 0

1 2 3

0 4 0

IX A

X A

Hallemos la inversa de

84

32A , para lo cual

41216 A y

23

48A entonces

21

43

1

1

2

23

48

4

1 t

A

Por lo tanto1 1

4 4

8 3 1 2 3 8 28 24 2 7 6

4 2 0 4 0 4 16 12 1 4 3

X

Respuesta: Opcin "c"

Ejercicio resuelto 2

Dada la matriz

kkk

kA

31

43

101

los valores de " k " que hacen que la matriz A no tenga

inversa, son:a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2 y 6 d) 2 y -6 e) -2 y -6

Solucin:

Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero

26

026

0128

0912

0)9(0121

0

31

3

101

2

2

2

4

kk

kk

kk

kkk

kkk

kk

kk

RESPUESTA: Opcin "e"


18/21


18


1.Dada la matriz A=

112

020

312

, la matriz inversa de A es igual a:

a)

21

21

21

02

10

43

21

41

b)

210

43

21

21

21

210

41

c)

406

444

402

d)

222

020

321 e)

444

040

642

2.Dadas las matrices:

42

31A y

13

12B verifique que

111 ABAB

3.Dada la matriz

654

021

432

A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifquela:

a) 6A b)

12108

042

864

AA c)

61

31

21

32

321

34

312

1A

d)

61

32

34

31

32

31

2112

1A

e) 48 AA

4. Encuentre la inv ersa de cada matriz, si existe:

a) 3 2

1 1

b)

1 2 3

2 1 1

3 1 2

c)

012

120

001

d)

987

654

321 e)

1 1 1 2

2 3 0 3

1 1 1 1

3 0 1 2

5.Dada la matriz

422

1lo g

131lo g

14lo g8lo g

2

2

22

A

. Entonces su MATRIZ INVERSAes:

a)

931

8136

3110

31

11A

b)

983

3131

1610

31

11A

c)

931

8136

3110

31

11A

d)

983

3131

1610

31

11A

e)Ano tiene inversa

6.Sea la matrz

021

230

312

A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:

a)

633

432

764

15

11A

b)

647

336

324

15

11A

c)

647

336

324

15

11A

d)

633

432

764

15

11A

e)Ano tiene inversa


19/21


19

7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuacin matric ial:

10

13

06

10

11

02

A

8. Sea A una matriz tal que

32

21A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifquela:

a)

94412A b) 1A c)

91

41

41

1 1A

d)

1612

124322 IAA e)

31

21

21

1 1A

9. Si

43

32A , y adems,

dc

baA

1 , entonces el valor de da

cb

, es:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3

10. Dada la matriz

041

20

421

A , entonces el valor de para que la matriz NO TENGA

INVERSA es:a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2

11. Sean las matrices

011

321

42

21,

54

32CyBA , entonces es cierto que:

a)

10

211B b)

63

63CB c)

2010

164AB

d)

12

2

3

2

5

1A

e)

5

11

11

1A

12. Sea A la matriz:

305

164

021

entonces es verdad que:

a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10e) det(ATA-1)=1

Miscelneos


51

24A y

kB

2

14. E l v alor de " k " para que BA detdet

a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1

2. La matriz X que satisface la ecuacin

301

243

20

11X

a)

21

23

21

42

0 b)

00

00

21

21

c)

23

21

21

25

0

4

d)

110

111 e)

00

4

21

21

25


20/21


20

3. Sea la matriz

103

010

207

A

Entonces su MATRIZ INVERSA es:

a)

703

010

201

1A b)

703

010

201

1A

c)

270

23

02

10

102

1

1A d)

103

010

207

A

e) La matriz A no tiene inv ersa.


113

202A ,

211

201B y

05

40

21

C

Entonces el VALOR del TCBADet 2 es:

a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100

5. SeanA, By Cmatrices tales que,

123

110

521

A ,

145

026

005

B y

241

300

620

C . Entonces es

VERDADque:

a) 6detdet

det 2

C

B

A

b) CAT detdet

c) 5det AB

d) TCB detdet e) Ano tiene inversa o Bsi tiene inversa.

6. Sea la matriz

33

24A . Entonces los VALORESde tal que 0det IA , son:

a) 1 y 6b)1 y6c)1 y6d)6 y 1e) 7 y 6

7. Dada la matriz

304

213

012

A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPALde 1A

es:

a)343

90 b)7

90 c)343

90

d)343

180 e)441

90

8. El DETERMINANTEde la matriz

10210

24204

73113

61011

52122

A es:

a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5


21/21


21

9. Sea la matriz

01

12A ; entonces es VERDAD que:

a)

12

152A b)

01

021A c)

25

5123A

d)

10

0121A e)

02

11IA

10. La matriz X , tal que:

13

12

43

11X es:

a)

43

52X b)

43

55X c)

01

12X

d)

42

51X e)

20

11X


20

01

21

A y

014

131B y ABC . Entonces La MATRIZ INVERSA 1C ,

es:

a)

022

130

1521

C b)

011

235

2021

C

c)

04

14

18

18

30

81

85

41

1C d)

08

18

14

18

38

54

104

1

1C

e) La matriz Cno tiene inversa.

12. Si el determinante de una matrizAes 16. Entonces es FALSO que:a) La MatrizA tiene inversa.b) La matrizA es una matriz cuadrada.c) La matrizA tiene 2 filas iguales.

d) Si Bes una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.e) El determinante de la matriz inversa 1A es igual a

161 .

13. Sea la matriz

032

120

111

A entonces su MATRIZ INVERSA 1A es:

a)

011

321

2011

A b)

254

122

1331

A

c)

211

523

4231

A d)

100

010

0011

A

e) Elija esta opcin si la matriz A no tiene inversa.

14. Sean A y B matrices tales que:

212

110

211

A y

111

201

321

B , entonces el valor de

ABDet es:a)-35b)7c)-7d)-5e)35

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