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Moiss Villena Muoz Cap 1 Matrices y Determinantes
1
11.1 DEFINICIN
1.2 ORDEN O DIMENSIN
1.3 CLASES DE MATRICES
1.4 IGUALDAD DE MATRICES1.5 OPERACIONES
1.6 DETERMINANTE
1.7 MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidosmatemticos. De all su importancia de estudio en este captulo.
OBJETIVOS:
Definir arreglo matricial. Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,
matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matricesdiagonales, matrices simtricas.
Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicacinpor escalares, multiplicacin entre matrices.
Hallar determinantes de matrices. Aplicar las propiedades de los determinantes para ejercicios
conceptuales. Justificar la existencia de la inversa de una matriz Determinar, de existir, la inversa de una matriz.
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1.1 DEFINICIN
Una matriz es un arreglo rectangular de
nmeros.Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayscula.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
Columna
Renglnn
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
3 n
3
m
C C C C
R
R
R
R
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o f ilas .
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al nmero ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer
nmero del subndice) indica la fila en donde se encuentra y " j " (el segundonmero del subndice) la columna, es decir:
1.2 ORDEN O DIMENSIN
El orden o la dimensin de una matriz est dada por la cantidad de filas y lacantidad de columnas que posea. Al decir nmA , se indica que A es una matriz
que tiene m filasy ncolumnas.
Ejemplos
32201
312
A A es de orden 2 3 porque tieneque tiene 2 filas y 3 columnas.
33321
210
321
B B es de orden 3 3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.
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Ejercicio Propuesto 1 1
1. Determine la matriz 4 3 ijA a
para la cual 2 jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21a , haga 2i y 1j en la frmula 121221 a ].
2. Determine la matriz 3 3 ijA a para la cual 0 ;1 ;
iji ji j
a
1.3 CLASES DE MATRICES1.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriznmA es cuadrada si y slo s nm .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnasy
se la denota como nnA .Caso contrario se la considera una mat riz rectangular.
Cuando una matriz es cuadrada surge la definicin de Diagonal Princ ipalpara los elementos
ija donde ji , y D iagonal Secun daria para los elementos
de la otra diagonal.
La suma de los elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza de lamatriz y se la denota como Tr A , es decir:
11 22 33 nnA a a a aTr
Dentro de las matrices cuadradas tambin aparecen las siguientes clases dematrices:
1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que estnbajo la diagonal principal son todos ceros.
nn
n
n
n
nn
a
aa
aaa
aaaa
A
000
00
0
333
22322
1131211
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
DiagonalPrincipal
DiagonalSecundaria
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1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que estnsobre la diagonal principal son todos ceros.
1.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que estn sobre ybajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
1.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al nmero 1 en toda la diagonal principal.
1.3.1.5 MATRIZ NULAEs la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como
puede ser rectangular.
1.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices nmA y nmB son iguales si y slo si:
ijij ba
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
nnnnn
nn
aaaa
aaa
aaa
A
321
333231
2221
11
0
00000
nn
nn
a
a
a
a
A
000
000
000
000
33
22
11
1000
0100
0010
0001
nnnn IA
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Ejercicios propuestos 1 2
1.Determine los v alores de las variables para los cuales las ecuac iones matric iales siguientes se satisfacen:
a)
43
21
3
2
y
x
b)
1 3 3 2 7 1
5 3 5 2 3
1 1 0 5 1
x t v
x y w
u y z
2.Dadas las matrices:
243
012
4232
3
2321
k
kkkk
A y
043
012
232
B entonces el valor de
321 kkk , tal que BA , es:
a)4
5 b)
3
2 c) 3 d)
2
1 e)
2
3
1.5 OPERACIONES1.5.1 SUMA
Sean BA dos matrices de nm , entonces:
nmnmnm CBA , donde ijijij bac
Los elementos de la matriz resultante C se los obtiene sumandoalgebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de
la matriz B .
Ejemplo
Sean las matrices
32321
112
A y
32312
101
B
Hallar BAC .
SOLUCIN:
32
3232
031211
)3(312)2(11101)1(2
312
101
321
112
C
BAC
1.5.1.1 Propiedades
Seannm
A , nmB y nmC , matrices. Entonces:
1. ABBA
2. CBACBA 3.A A 0 , donde m n0 es la Matriz Nula
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6
4. A A 0
1.5.2 MULTIPLICACIN POR ESCALARES
Sea y la matriznm
A , entonces:
nmnm CA , donde ijij ac
Los elementos de la matriz Cse los obtiene multiplicando por la constante a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz
321012A , entonces:
642
024
)2(3)2(2)2(1
)2(0)2(1)2(2
321
01222AC
1.5.2.1 Propiedades
Seannm
A y nmB matrices; y , ,
entonces:1. BABA 2. AAA
1.5.3 MULTIPLICACIN ENTRE MATRICES
Sea Auna matriz nm y sea B una matriz qn (la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B )
entonces:
qmqnnm CBA
donde njinjijijiij babababac 332211
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7
Es decir, el elementoijc se lo obtiene sumando algebraicamente los
resultados de la multiplicacin de los elementos de la fila i de la matriz A conlos respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo
Para las matrices
32321
112
A y
33111
320
111
B
Obtengamos la matriz ABC
Primero observe que, s es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y lamatriz B tiene 3 filas.Entonces:
32232221
131211323332
ccc
cccCBA
6)1)(1()3)(1()1)(2(
5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
c
c
c
2)1)(3()3)(2()1)(1(
0)1)(3()2)(2()1)(1(
2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
c
c
c
Por lo tanto:
202
65132C
1.5.3.1 Propiedades
Sea y , ,A B Cmatrices. Entonces:1. ACABCBA 2. AAI 3. BABAAB 4. BCACAB
Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedanrealizar las operaciones indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA POR QU?
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Ejercicio Resuelto
Sean las matrices
23
2
3
201
2k
kkA y
3213
1102
53
k
kk
kB , entonces el valor de "k " para que
la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR esa) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1 SOLUCIN:Al multiplicar la matriz 33A con la matriz 33B resulta una matriz 33C . El asunto es que 33C sea
triangular superior,entonces 000 323121 ccc . Es decir:
3333
2322
131211
333333
00
0
c
cc
ccc
CBA
032)1)(3())(()2)(( 221 kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
32
3232
2
231
32
2
kkkkc
kkkc
kk
k
Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1. 13
013
0322
kk
kk
kk
2. 12
012
0232
kk
kk
kk
3.
140
014
0)45(
045
2
23
kkk
kkk
kkk
kkk
Observe que slo 1k satisface las tres condiciones, por tantoRESPUESTA: Opcin "a"
1.5.3.2 Tipos de Matrices
Sea Auna matriz n n .1.- Si 2A A , entonces A es llamada MATRIZIDEMPOTENTE.2.- Si 2A I , entonces A es llamada MATRIZINVOLUTIVA.3.- Si 2A 0, entonces A es llamada MATRIZ
NILPOTENTE.
Ejercicios Propuestos 1 3
1. Efectuar las operaciones:
a)
821
210
741
312
b)
301
423
210
3
654
012
321
2
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9
c)
3
2
1
654
321
132
d)
12
13
30
42
01
654
321
2. Calcule IAA 322 para
32
21A
3. Al multiplicar la matriz
dc
baA por la matriz
04
33B se obtiene la matriz
62
31C , entonces laSUMA de dcba es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
304;3
12
;3
3
21
04;
4
2
30
11
DCBA . Determine
cul de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)
7
1
11
15BA b)
9012
304
608
CD
c) CA no est definida d)
9
9AD
e) Elija esta opcin si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices:
43
21A y
23
12B encuentre:
a) 2BA b) 22 2 BABA
6. Sean las matrices:
1
1
q
pA y
12
11B encuentre " p " y " q " para que
222 BABA .
1.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ijaA una matriz de nm . Entonces sumatriz transpuesta, denotada como ji
t aA , es
de mn y se obtiene tomando las filas de lamatriz Acomo columnas para la matriz tA y porende las columnas de la matriz A sern las filasde la matriz tA .
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Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz32
321
112
A es
2331
21
12
tA
1.5.4.1 Propiedades
Seannm
A y nmB matrices, entonces:
1. AA tt 2. ttt BABA 3. ttt ABAB
1.5.5 MATRIZ SIMTRICA
Una matriznn
A es Simtrica si y slo si AAt
Para que una matriz sea Simtrica se debe cumplir que jiij aa
Ejemplo
La matriz
1 2 3
2 0 1
3 1 2
A
es simtricaporque
1 2 3
2 0 1
3 1 2
tA A
1.5.6 MATRIZ ANTISIMTRICA
Una matriz nnA es Antisimtrica si y slo sitA A
Para que una matriz sea Antisimtrica se debe cumplir que ij jia a . En tal
caso 0iia .
Ejemplo
La matriz
0 2 3
2 0 1
3 1 0
A
es Antisimtricaporque
0 2 3
2 0 1
3 1 0
tA A
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Ejercicio Propuesto 1 4
1. Sea la matriz2 4 6
8 3 5
0 1 4
A
, la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
tAA24 es:a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9
1.6 DETERMINANTE
Sea A una matriz de nn . El DETERMINANTEde A ,
denotado por A o tambin Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si 111111 aAaA
2. Si 211222112221
1211
22 aaaaAaa
aaA
3. Si 131312121111
333231
232221
131211
33 AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A
Donde ijA se llama cofactory se define como:
Entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaaaa
aaaaa
aaaA
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. Cmosera el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llamaMTODO DEMENORES. Si embargo existen otros mtodos que podran emplearse. Estemtodo es general, sirve para matrices de mayor orden.
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Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz
2 1 4
3 5 1
1 0 0
A
SOLUCIN:Note que es mejor emplear la ltima fila porque tiene algunos ceros, entonces
53
120
13
420
15
411
001
153
412
A
21)5)(4()1)(1(1
0015
411
A
A
1.6.1.PROPIEDADES
Seannn
A y nnB matrices, entonces:
1. BAAB
2. AAt
Pregunta: BABA Si o no? Justifique su respuesta.
1.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1.Si una matriz es triangular superior, triangularinferior o diagonal, entonces su determinante esigual a la multiplicacin de los elementos de ladiagonal principal.
Ejemplo
Para la matriz triangular superior
300
4105102
A calculando su determinante por el mtodo de
menores, empleando la primera columna, tenemos:
6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(20030
412
A .
Generalcelo!
2.Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o
mltiplos entonces su determinante es igual a "0".
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Ejemplo 1
Al hallar el determinante de la matriz
62
31A cuya segunda fila es 2 veces la primera,
encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
A
A
Ejemplo 2
Lo mismo ocurre con esta matriz
19031
06121
13212
20101
56321
A , note que la cuarta columna es el
triplo de la segunda, por lo tanto 0A
Generalcelo!
3.Si se intercambian 2 filas o columnas en una matrizentonces su determinante cambia de signo.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
54
31A entonces 7125 A
Si formamos la matriz
31
54B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces
7512 B .
Generalcelo!
4.Si a todos los elementos de una fila o columna de una
matriz A los multiplicamos por una constante 0k ,entonces el determinante de la nueva matriz es k
veces el determinante de la matriz A .
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
2221
1211
aa
aaA entonces 22122211 aaaaA
Si formamos la matriz
2221
1211
aa
kakaB (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la
matriz A ) entoncesAkaaaakakaakaB )( 2112221121122211 .
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Moiss Villena Muoz Cap 1Matrices y Determinantes
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En cambio e l AkkA n POR QU?
5.Si a todos los elementos de una fila o columna deuna matriz A les sumamos respectivamente kveces otra fila o columna, entonces eldeterminante no vara.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
2221
1211
aa
aaA entonces 22122211 aaaaA
Si formamos la matriz
12221121
1211
kaakaa
aaB (a los elementos de la segunda fila le adicionamos
respectivamente k veces laprimera fila),entonces
Aaaaa
akaaaakaaa
kaaakaaaB
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(
Ejercicios Propuestos 1 5
1. Dadas las matrices:
320
121A y
111
021B entonces el valor de:
tABdet es:a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a)
001
153
412
b)
1021
1120
3012
0101
3. Sean las matrices:
32
23;
111
111;
1
1
0
0
0
1
;
501
410
123
DCBA, entonces el valor
del DCBA TT ..det es:a) 44 b) 38 c) 38 d) 39 e) 44
4. Los valores de x que satis facen la ecuacin: 60
100
990
23
x
x
xx
son:
a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 5 y 4 d) 5 y 4 e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuacin: 3
1
32
0012
xxx
xx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
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6. Al calcular 0
34
201
122
x
x
, se obtiene:
a) 0x b) 5x c) 0x d) 3x e) 2x
7. El valor del determinante de la matriz
012
123log2
1log18log310
1ln
2
x
xxe
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
1.7 MATRIZ INVERSA
Sea Auna matriz de nn . Si existe una matriz1
nnA tal que IAAAA 11
, se dice que A esinversible.
En este caso a la matriz1
nnA se la llama la matriz inversa deA .
Si 1A existe, se dice que A es una matriz no s ingular. Caso contrario; esdecir, que 1A no exista, se dice que A es una matriz singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aqu solo lo vamos
a hacer empleando la siguiente frmula: tA
AA
11 , donde A
Matriz de Cofactores.
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condicin necesaria y suficiente para laexistencia de la matriz inversa).
Teorema.
1A existe si y slo si 0A
Ejemplo 1
De existir, hallar la inversa de la matriz
54
31A
SOLUCIN:Primero empecemos hallando: 7A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz
inversa.A continuacin hallamos la matriz de cofactores
13
45)1()3(
)4()5(2221
1211
AAAAA
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Moiss Villena Muoz Cap 1Matrices y Determinantes
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Entonces:
7
1
7
473
75
1
1
14
35
7
1
13
45
7
11
A
AA
A
tt
Comprobando
10
01
70
07
7
1
14
35
7
1
54
311AA
Ejemplo 2
De existir, hallar la inversa de la matriz
012
130
201
A
Eldeterminante de la matriz es: 11)6(20)1(1 A
Y su matriz de co factores:
)3()1()6(
)1()4()2(
)6()2()1(
A
=
316
142
621
Entonces su matriz inversa es:
316
142
621
11
1
316
142
621
11
1
316
142
621
11
11
t
A
Comprobando
100
010
001
1100
0110
0011
11
1
316
142
621
11
1
012
130
2011
AA
1.7.1. Propiedades
Seannn
A y nnB matrices inversibles,
entonces:
1. AA
11
2.
AA
11
3. 11 tt AA 4. 111 ABAB
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Moiss Villena Muoz Cap 1 Matrices y Determinantes
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Ejercicio resuelto 1
Sea X una matriz, tal que:
040
321
84
32X . Entonces X es igual a:
a)
040
672 b)
04
67
02
c)
341
672
d)
36
47
12
e)
341
672
SOLUCIN:
Una manera es despejar la matriz X , multiplicando por la inversa a ambos miembros
040
321
84
32 11AXA
A
1
1
1 2 3
0 4 0
1 2 3
0 4 0
IX A
X A
Hallemos la inversa de
84
32A , para lo cual
41216 A y
23
48A entonces
21
43
1
1
2
23
48
4
1 t
A
Por lo tanto1 1
4 4
8 3 1 2 3 8 28 24 2 7 6
4 2 0 4 0 4 16 12 1 4 3
X
Respuesta: Opcin "c"
Ejercicio resuelto 2
Dada la matriz
kkk
kA
31
43
101
los valores de " k " que hacen que la matriz A no tenga
inversa, son:a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2 y 6 d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solucin:
Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
26
026
0128
0912
0)9(0121
0
31
3
101
2
2
2
4
kk
kk
kk
kkk
kkk
kk
kk
RESPUESTA: Opcin "e"
5/20/2018 Matrices y Determinantes
18/21
Moiss Villena Muoz Cap 1Matrices y Determinantes
18
Ejercicios Propuestos 1 6
1.Dada la matriz A=
112
020
312
, la matriz inversa de A es igual a:
a)
21
21
21
02
10
43
21
41
b)
210
43
21
21
21
210
41
c)
406
444
402
d)
222
020
321 e)
444
040
642
2.Dadas las matrices:
42
31A y
13
12B verifique que
111 ABAB
3.Dada la matriz
654
021
432
A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifquela:
a) 6A b)
12108
042
864
AA c)
61
31
21
32
321
34
312
1A
d)
61
32
34
31
32
31
2112
1A
e) 48 AA
4. Encuentre la inv ersa de cada matriz, si existe:
a) 3 2
1 1
b)
1 2 3
2 1 1
3 1 2
c)
012
120
001
d)
987
654
321 e)
1 1 1 2
2 3 0 3
1 1 1 1
3 0 1 2
5.Dada la matriz
422
1lo g
131lo g
14lo g8lo g
2
2
22
A
. Entonces su MATRIZ INVERSAes:
a)
931
8136
3110
31
11A
b)
983
3131
1610
31
11A
c)
931
8136
3110
31
11A
d)
983
3131
1610
31
11A
e)Ano tiene inversa
6.Sea la matrz
021
230
312
A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:
a)
633
432
764
15
11A
b)
647
336
324
15
11A
c)
647
336
324
15
11A
d)
633
432
764
15
11A
e)Ano tiene inversa
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Moiss Villena Muoz Cap 1 Matrices y Determinantes
19
7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuacin matric ial:
10
13
06
10
11
02
A
8. Sea A una matriz tal que
32
21A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifquela:
a)
94412A b) 1A c)
91
41
41
1 1A
d)
1612
124322 IAA e)
31
21
21
1 1A
9. Si
43
32A , y adems,
dc
baA
1 , entonces el valor de da
cb
, es:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3
10. Dada la matriz
041
20
421
A , entonces el valor de para que la matriz NO TENGA
INVERSA es:a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2
11. Sean las matrices
011
321
42
21,
54
32CyBA , entonces es cierto que:
a)
10
211B b)
63
63CB c)
2010
164AB
d)
12
2
3
2
5
1A
e)
5
11
11
1A
12. Sea A la matriz:
305
164
021
entonces es verdad que:
a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10e) det(ATA-1)=1
Miscelneos
1. Sean las matrices
51
24A y
kB
2
14. E l v alor de " k " para que BA detdet
a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1
2. La matriz X que satisface la ecuacin
301
243
20
11X
a)
21
23
21
42
0 b)
00
00
21
21
c)
23
21
21
25
0
4
d)
110
111 e)
00
4
21
21
25
5/20/2018 Matrices y Determinantes
20/21
Moiss Villena Muoz Cap 1Matrices y Determinantes
20
3. Sea la matriz
103
010
207
A
Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)
703
010
201
1A b)
703
010
201
1A
c)
270
23
02
10
102
1
1A d)
103
010
207
A
e) La matriz A no tiene inv ersa.
4. Sean las matrices
113
202A ,
211
201B y
05
40
21
C
Entonces el VALOR del TCBADet 2 es:
a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100
5. SeanA, By Cmatrices tales que,
123
110
521
A ,
145
026
005
B y
241
300
620
C . Entonces es
VERDADque:
a) 6detdet
det 2
C
B
A
b) CAT detdet
c) 5det AB
d) TCB detdet e) Ano tiene inversa o Bsi tiene inversa.
6. Sea la matriz
33
24A . Entonces los VALORESde tal que 0det IA , son:
a) 1 y 6b)1 y6c)1 y6d)6 y 1e) 7 y 6
7. Dada la matriz
304
213
012
A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPALde 1A
es:
a)343
90 b)7
90 c)343
90
d)343
180 e)441
90
8. El DETERMINANTEde la matriz
10210
24204
73113
61011
52122
A es:
a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5
5/20/2018 Matrices y Determinantes
21/21
Moiss Villena Muoz Cap 1 Matrices y Determinantes
21
9. Sea la matriz
01
12A ; entonces es VERDAD que:
a)
12
152A b)
01
021A c)
25
5123A
d)
10
0121A e)
02
11IA
10. La matriz X , tal que:
13
12
43
11X es:
a)
43
52X b)
43
55X c)
01
12X
d)
42
51X e)
20
11X
11. Dadas las matrices:
20
01
21
A y
014
131B y ABC . Entonces La MATRIZ INVERSA 1C ,
es:
a)
022
130
1521
C b)
011
235
2021
C
c)
04
14
18
18
30
81
85
41
1C d)
08
18
14
18
38
54
104
1
1C
e) La matriz Cno tiene inversa.
12. Si el determinante de una matrizAes 16. Entonces es FALSO que:a) La MatrizA tiene inversa.b) La matrizA es una matriz cuadrada.c) La matrizA tiene 2 filas iguales.
d) Si Bes una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.e) El determinante de la matriz inversa 1A es igual a
161 .
13. Sea la matriz
032
120
111
A entonces su MATRIZ INVERSA 1A es:
a)
011
321
2011
A b)
254
122
1331
A
c)
211
523
4231
A d)
100
010
0011
A
e) Elija esta opcin si la matriz A no tiene inversa.
14. Sean A y B matrices tales que:
212
110
211
A y
111
201
321
B , entonces el valor de
ABDet es:a)-35b)7c)-7d)-5e)35
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