MdeWeierstrass

7/26/2019 MdeWeierstrass

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Universidad Autonoma de ChiapasFacultad en Ciencias Fısicas y Matematicas

Maestrıa en Ciencias Fısicas

Metodos Matematicos I

Parcial 3

Nombres: Leonardi H. S. y Noribeth F. G. Calificacion:

Antes de demostrar la Prueba M de Weierstrass, utilizaremos los resultados delos Teoremas siguientes.

1. TEOREMA (CRITERIO DE CAUCHY PARA CONVERGENCIA)Suponiendo que {Z n} es una secuencia de numeros complejos para n ∈N.Entonces {Z n} converge si y solo si, para cualquier ε > 0 existe un n ∈Ztal que | Z n − Z m |< ε para todo m, n ∈Z tal que m,n > N .

Cualquier secuencia que satisface el criterio de Cauchy es conocida como

una secuencia de Cauchy. El teorema anterior muestra tambi en que todasecuencia convergente es de Cauchy, y que cada secuencia de Cauchy esconvergente.

COROLARIO 1Si {Z n} es una secuencia que converge a Z , y N se elige tal que | Z n − Z m |<ε para todo m, n ∈Z tal que m,n > N . Entonces para cada n > N , | Z n − Z m |≤ε.

COROLARIO 2La serie

∞k=0 ak converge si y solo si para cualquier ε > 0 existe una N tal

que |∞k=0 ak |< ε para todo m, n ∈Z tal que m > n > N .

2. TEOREMA (CONVERGENCIA ABSOLUTA)Si∞

k=1 | ak | converge, entonces∞

k=1 ak converge. En otras palabras, unaserie absolutamente convergente es convergente.

Una serie ∞

k=1 ak (z ) se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos, es decir

∞k=1 | ak(z ) |, converge.

3. TEOREMA (PRUEBA POR COMPARACION)Si Σ | bk | converge y | ak | ≤ | bk |, entonces Σ | ak | converge absoluta-mente.

4. TEOREMA (CRITERIO DEL COCIENTE)Si lımk→∞ | ak+1

ak|= L, Entonces Σak converge (absolutamente) si L < 1 y

diverge si L > 1. Si L = 1, la prueba falla.

5. DESIGUALDAD DEL TRIANGULOSean z 1 y z 2 numeros complejos, entonces se cumple que: | z 1 + z 2 |≤| z 1 |+ | z 2 |

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PRUEBA M DE WEIERSTRASSSuponiendo que {f k} es una secuencia de funciones de valores reales o complejos en algun conjunto E . Ademas, suponiendo que

∞k=0 M k es una serie con-

vergente, donde M k son terminos reales no-negativos. Si | f k (z ) |≤ M k para todok mayor que algun numero N y para todo z en algun conjunto E , entonces sededuce que la serie

∞k=0 f k(z ) converge uniformemente en E.

DEMOSTRACION 1:Partiendo de que

∞k=0 M k es Cauchy, podemos elegir un numero M > N talq

ue para cualquier m y n que satisface m > n > M obtenemos quem

k=n+1 M k <ε. Entonces notamos que para z en el conjunto E, nuestra serie

∞k=0 f k (z ) es

tambien Cauchy, ya que, por la desigualdad del triangulo resulta

|m

k=n+1

f k(z ) |≤m

k=n+1

| f k(z ) |≤m

k=n+1

M k < ε

por tantom

k=n+1 f k (z ) converge para toda z ∈ E. Digamos quem

k=n+1 f k(z ) con-verge a la funcion F (z ) .

Ahora, queremos mostrar quem

k=n+1 f k(z ) converge uniformemente a F (z ).Notar que podemos reescribir la anterior desigualdad en sumas parciales

|m

k=0

f k(z ) −n

k=0

f k(z ) |< ε

para todo z ∈ E donde m > n > N . Entonces aplicando el primer Corolario delCriterio de Cauchy , vemos que

| F (z ) −n

k=0

f k (z ) |≤ ε

para z ∈ E, y donde m > n > N . Por lo tanto, la convergencia uniforme esdemostrada.

Notemos que, si nos fijamos en la Prueba de Comparacion vemos que se trata de un caso especial de la Prueba M de Weierstrass, donde f k (z ) es sim-

plemente una funci on constante.

DEMOSTRACION 2:El residuo de la serie Σf k (z ) despues de n terminos es Rk(z ) = f k+1(z ) + f k+2(z ) +· · · . Ahora

| Rn(z ) |=| f k+1(z ) + f k+2(z ) + · · · | ≤ | f k+1(z ) + f k+2(z ) | + · · ·≤ M n+1 + M n+2 + · · ·

donde en el segundo paso hemos usado la Desigualdad del Triangulo, ademasM k+1 + M k+2 + · · · se puede hacer menor que ε eligiendo n > N , puesto que ΣM kconverge. Ya que N es claramente independiente de z , tenemos | Rk(z ) |< ε paran > N , y la serie es uniformemente convergente. Podemos ademas demostrarla convergencia absoluta, la cual se deduce inmediantamente de la Prueba por

Comparacion.

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Nota: Llamamos Rk (z ) = f k+1(z ) + f k+2(z ) + · · · = S(z ) − Sk(z ) el residuo de la serie infinita

∞k=1 f k (z ) despu´ es de n t erminos, se puede decir equivalente-

mente que la serie es uniformemente convergente a S(z ) en E si dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un n ´ umero N tal que para todo z en E, | Rn(z ) |=|S(z ) − Sn(z ) |< ε, para todo n > N .

Ejemplo 1:Mostrar que la funcion exponencial f (z ) = ez es uniformemente convergenteen cualquier conjunto acotado S ⊂C.

Dem: Escribimos ez como la serie∞

k=0z k

k! .Ahora vamos a demostrar que esta serie es uniformemente convergente en al-

guno disco D de radio r centrado en el origen. Para demostrar esto debemosencontrar algun M k tal que | z k

k! |≤ M k para toda z ∈ D.

Tomando que | z k |≤| z |k , y que | z |∈ R. Entonces | z |≤ r ∈ R y siguiendo que

| z k

k! |≤ |z |k

k! < r k

k! . Notamos que Rk

k! ∈ R, ası que ahora M k = r k

k! .

Para poder aplicar la prueba M de Weierstrass debemos demostrar que la serie∞k=0 M k converge.

Usando el criterio del cociente , notemos que

lımk

→∞

M k+1

M k= lım

k

→∞

r k+1

(k+1)!

r k

k!

= lımk

→∞

r

k + 1 = 0

⇒ ∞k=0 M k converge. Entonces por la prueba M de Weierstrass notamos que∞

k=0z k

k! es uniformemente convergente en algun disco D de radio r centradoen el origen.

Ejemplo 2: Probar la convergencia uniforme en la region indicada:

(a)

∞

k=1

z k

k√

k + 1, | z |≤ 1; (b)

∞

k=1

1

k2 + z 2, 1 <| z |< 2.

(a) Si f k (z ) = z k

k√

k+1, entonces | f k(z ) |= |z |k

k√

k+1≤ 1

k3 / 2 si | z |≤ 1. Llamando M k =

1k3 / 2 , vemos que ΣM k converge (una serie p con p = 3

2 ). Por esto, el criterio M de

Weierstrass da la convergencia uniforme (y absoluta) para

|z

|≤1.

(b) La serie dada es 112+z 2

+ 122+z 2

+ 132+z 2

+ · · · . Los primeros dos terminos sepueden omitir sin afectar la convergencia uniforme de la serie. Para k ≤ 3 y1 <| z |< 2, tenemos

| k2 + z 2 |≥| k2 | − | z 2 |≥ n2 − 4 ≥ n2 o | 1

k2 + z 2 |≤ 2

k2

Puesto que∞

k=32

k2 converge, se deduce del criterio M de Weierstrass (con M n =

2 /k 2) que la serie dada converge uniformemente (y absolutamente) para 1 <|z |< 2.

Observe que la convergencia, y de este modo la convergencia uniforme, nose tiene si | z |= 1 o | z |= 2 (simplemente en z = ±i y z ± 2i). Por esto la serie nopuede converger uniformemente para 1

≤|z |≤

2.

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