Mòdul IConceptes geomètrics bàsics

Autors: Gabriel Nicolau BestardMargalida Llompart Martorell

Juny 2007

Materials de Formació: Les matemàtiques de la geologia de les Illes Balears

Les matemàtiques de la geologia de les Illes Balears

Autors: Gabriel Nicolau Bestard, Margalida Llompart Martorell

Servei de Formació Permanent del ProfessoratDirecció General d’Innovació i Formació del ProfessoratConselleria d’Educació i Cultura

Juny de 2007

obra de Gabriel Nicolau Bestard i Margalida Llompart Martorell està subjecta a una llicència de Reconeixement-No comercial-

Compartir amb la mateixa llicència 3.0 Espanya de Creative Commons

2

CONVENCIONS

Els símbols utilitzats en aquest text són:

Activitats d'introduccióActivitats completament guiades amb exposició gradual de continguts, que permetin assegurar els continguts mínims de la programació del mòdul de formació.

Activitats de consolidació i reforç: Aquestes activitats presenten una dificultat un poc superior ja que no són tan guiades i permetran un millor domini dels temes estudiats.

Activitats de lliurament obligatLes activitats que vénen marcades per aquesta icona s'hauran d'enviar obligatòriament a la tutoria per tal de poder superar el curs de formació.

Activitats opcionalsActivitats d'ampliació de coneixements que permeti aprofundir en la temàtica tractada. No són obligatòries i no s’han de fer si es veu que hi haurà dificultat per seguir el ritme aconsellat per al curs.

Recomanacions o comentarisRecomanacions o comentaris que permetran una millor realització de les activitats encomanades.

AjudaPer algunes activitats, si la seva resolució presenta problemes, es podrà consultar l'ajuda que donarà pistes per facilitar la seva realització.

Recursos addicionalsPer poder ampliar els coneixements, es posa a la disposició dels alumnes una documentació complementària de consulta o d'ampliació.

3

Índex de contingut1.INTRODUCCIÓ..................................................................................................................................................5

2.ELS CONCEPTES GEOMÈTRICS INTUÏTIUS A L'ENSENYAMENT SECUNDARI............................6

2.1. PUNTS, RECTES I PLANS.........................................................................................................................62.3.SEMIPLANS.................................................................................................................................................92.4.ANGLES.......................................................................................................................................................9

3. POSICIONS RELATIVES..............................................................................................................................13

3.1. POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES..............................................................................................133.3. POSICIÓ RELATIVA D'UNA RECTA I UN PLA...................................................................................153.4. PERPENDICULARITAT..........................................................................................................................163.5. POSICIÓ RELATIVA DE DOS ANGLES................................................................................................173.6. ANGLES COMPLEMENTARIS I SUPLEMENTARIS...........................................................................18

4

1. INTRODUCCIÓ

Històricament es fixa l'inici de la Geometria a l'Antic Egipte, degut a la necessitat que es tenia de tornar delimitar els terrenys després de les inundacions que es produïen cada any a la vall del Nil.

La Geometria, però, va prendre entitat típicament matemàtica gràcies a Euclides qui, l'any 300 a.c., va fixar les bases de la Geometria axiomàtica en el seu llibre Els Elements. Euclides va intentar definir una sèrie de conceptes bàsics que, avui dia, consideram com a primaris i no definim, com per exemple punt, recta i pla.

En el segle XIX es va fer una revisió crítica de tota la matemàtica i es va formular la Geometria a partir de tres principis:

– Enunciar, sense definir, els conceptes bàsics.– Admetre, sense demostrar, certes propietats que relacionen aquests

conceptes, i enumerar els axiomes necessaris.– Deduir lògicament la resta de propietats o teoremes.

En aquesta època Hilbert va publicar els Fonaments de la Geometria, en què corregia els defectes de Els Elements i establia els pilars de la Geometria axiomàtica.

5

2. ELS CONCEPTES GEOMÈTRICS INTUÏTIUS A L'ENSENYAMENT SECUNDARI

Tot i el que hem comentat a la introducció, la manera com Euclides enfoca la Geometria es pot aprofitar bastant bé en aquests nivells. Això permet introduir els primers conceptes d'una manera clara i intuïtiva. Encara que aquesta manera d'introduir els termes no sigui estrictament rigorosa, és molt encertada pedagògicament.

2.1. PUNTS, RECTES I PLANS

Encara que els alumnes de secundària ja han de tenir aquests conceptes assimilats de cursos anteriors, donarem unes quantes maneres pràctiques per introduir-los o recordar-los:

a) Des del punt de vista físic, podem assimilar un punt a un gra d'arena o a la imatge que tenim d'un estel. Una recta es pot veure com un raig làser, un fil tens o les arestes d'una habitació i un pla seria una tela estirada, una paret,... Tot això són primeres aproximacions i simplement donen una idea del concepte. Seguidament s'ha d'aprofundir en el seu caràcter infinit.

b) Fent referència a les tres dimensions (longitud, amplada i altura) podem dir que els cossos que tenen només dues dimensions s'anomenen plans, els que en tenen una són rectes, i els que no en tenen cap, punts.

c) A través de les interseccions: la intersecció de dues rectes és un punt i la de dos plans és una recta.

d) Fent referència a les propietats, podem definir la recta com la línia més curta que uneix dos punts. També es pot aprofitar per posar de manifest que hi ha una única recta que passa per dos punts i que, per tant, dos punts ens serveixen per definir una recta.

Normalment denotarem els punts per lletres majúscules (P, Q, R,...); les rectes per lletres minúscules (r, s,...) i els plans amb lletres gregues (Π, Σ,...). En el cas de les rectes, per deixar clar el seu caràcter infinit, podem utilitzar fletxes en els dos sentits.

6

Activitat d'introducció 1

Descriu els elements matemàtics de la imatge

La següent imatge és un paisatge de les Illes. Tracta de localitzar els elements de la geometria vists fins ara, com a punts, rectes i plans.

7

SEMIRECTES I SEGMENTS

Un cop s'ha deixat clar el caràcter infinit d'una recta (no té principi ni final), es poden introduir els conceptes de semirecta i segment, de la següent manera: una semirecta és una part d'una recta que té principi però no té final, mentre que un segment és una part d'una recta que té principi i final.

Més formalment, donada una recta r i un punt de la recta P, podem dir que P 8

divideix la recta en tres parts: el propi punt P, i dues semirectes.

De la mateixa manera, donada una recta r i dos punts que hi pertanyen, P i Q, definim segment com el conjunt format per tots els punts de la recta que hi ha entre P i Q, i ho denotam per PQ.

2.3.SEMIPLANS

De la mateixa manera podem definir els semiplans. Donat un pla i una recta que hi està continguda, la recta divideix el pla en tres parts: la pròpia recta, i dos semiplans.

2.4.ANGLES

Podem definir angle d'una manera senzilla com un parell ordenat de semirectes que parteixen d'un punt comú. Així, a més, queda especificat el sentit de l'angle. Les dues semirectes s'anomenen costats de l'angle i el punt comú d'on parteixen, vèrtex

9

de l'angle.

Un angle també pot venir determinat per dos segments que tenen un punt en comú:

Els costats s'anomenen AB i AC i el vèrtex és el punt A. L'angle es pot anomenar de dues maneres diferents: Â o CÂB (en cas que l'angle sigui positiu, si es considera el sentit contrari seria BÂC).

10

Recordem alguns noms d'angles importants:

Angles aguts, obtusos

interseccions

11

Activitat d'introducció 2

Descriu els elements matemàtics de la imatge

La següent imatge és un paisatge de les Illes. L'activitat tracte de localitzar els elements de la geometria vists fins ara, com semirectes, segments, semiplans i angles.

12

3. POSICIONS RELATIVES

3.1. POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES

Considerarem dos casos:

1. Suposem primer que les rectes es troben restringides en un únic pla; en aquest cas les rectes podran ser secants (es tallen o coincideixen en un únic punt), coincidents (coincideixen en tots els seus punts) o paral·leles (no tenen cap punt en comú. Tornarem parlar del concepte de rectes paral·leles en un punt posterior):

2. Suposem ara que les rectes no tenen cap restricció, és a dir, es troben a l'espai; en aquest cas les rectes podran ser secant (com en el cas anterior es tallen o coincideixen en un únic punt), coincidents (també com en el cas anterior coincideixen en tots els seus punts), paral·leles (no tenen cap punt en comú, però tenen una mateixa direcció) o encreuades (no tenen cap punt en comú i tenen diferents direccions):

Rectes paral·leles

Rectes que es creuen

13

3.2. POSICIÓ RELATIVA DE DOS PLANS

Dos plans podran ser paral·lels (quan no tenen cap punt en comú), coincidents (quan tenguin tots els seus punts en comú) o secants (quan tenguin infinits punts en comú que formen una recta):

Plans paral·lels

Plans coincidents

Plans secants

14

3.3. POSICIÓ RELATIVA D'UNA RECTA I UN PLA

Donat un pla Π i una recta r, podem tenir tres situacions diferents: la recta pot estar continguda dins el pla (tots els punts de r pertanyen també a Π); la recta r pot ser incident en el pla, és a dir, la recta i el pla són secants (coincideixen en un punt) o la recta r pot estar continguda dins un pla paral·lel a Π (en aquest cas no coincideixen en cap punt):

r està continguda dins Π

r i Π són secants

r i Π són paral·lels

15

3.4. PERPENDICULARITAT

Aquest concepte es pot aplicar a dues rectes, dos plans o un pla i una recta. Podem dir que dues rectes són perpendiculars si es tallen formant un angle recte:

Una recta i un pla seran perpendiculars si la recta forma un angle recte amb qualsevol recta continguda dins el pla. Un exemple bastant gràfic que es pot donar a secundària per exemplificar aquest cas és el d'una columna i el terra d'un edifici.

Considerem dos plans secants Π1 i Π2, és a dir que es tallen en una recta r; considerem ara dues rectes perpendiculars a r pel mateix punt, s i t, i que estiguin contingudes cada una dins un dels dos plans. Si aquestes dues rectes són perpendiculars direm que Π1 i Π2 són perpendiculars:

16

3.5. POSICIÓ RELATIVA DE DOS ANGLES

Considerarem:

1. Angles externs: són angles que no tenen res en comú:

2. Angles oposats pel vèrtex: són angles que tenen en comú el vèrtex i els seus costats estan sobre la mateixa recta:

3. Angles consecutius: són angles que tenen en comú el vèrtex i un costat:

17

4. Angles adjacents: són angles que tenen un costat en comú i formen entre els dos un angle pla:

3.6. ANGLES COMPLEMENTARIS I SUPLEMENTARIS

Per acabar recordarem els conceptes d'angles complementaris i suplementaris.

Direm que dos angles són complementaris si, entre els dos, sumen 90º. No fa falta que els angles siguin consecutius, poden ser externs.

Direm que dos angles són suplementaris si, entre els dos, sumen 180º. No fa falta que estiguin en posició adjacent, poden ser angles exteriors.

18

Activitat d’entrega obligada 1

Posicions relatives a la natura

A les dues imatges de les activitats d'introducció 1 i 2, localitza les posicions relatives que podem trobar-hi. Marca les posicions a les imatges amb un programa de tractament d'imatges (el GIMP per exemple) i envia-les retocades a la tutoria. Ja que no pots enviar dos arxius de cop, comprimeix les dues imatges en un zip i envia'l fent servir l'eina d'enviament d'activitats de Moodle.

19