MÓDULO: Enseñanza de la Geometría Trapecios...

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Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria

MÓDULO: Enseñanza de la Geometría

Trapecios. Construcciones y

elaboración de criterios de congruencia

Clase 5

En esta clase les proponemos centrarnos en el estudio de los criterios de congruencia de

figuras. Entendemos esta temática en estrecha relación con el problema de la

construcción que estuvimos abordando en las cuatro primeras clases. Aquí nos

ubicaremos principalmente desde el aula de la escuela secundaria, aunque a veces nos

interese salir de allí para darle otro espesor a los objetos y prácticas que allí se viven.

¿Qué es un criterio de congruencia? ¿Cómo llega a formularse? ¿Es posible

validarlo en el aula? ¿Cómo y cuándo aparecieron en la matemática?

¿Se pueden trabajar otros criterios de congruencia para triángulos en el aula? ¿Qué valor

tendría?

¿Tiene sentido pensar en criterios de congruencia para cuadriláteros? ¿Por qué no se

conocen?

Estas son algunas de las preguntas que vamos a abordar en las dos últimas clases del módulo.

Como en todas las anteriores, los invitamos a trabajar a medida que van leyendo, así podrán

profundizar en los temas que se van proponiendo en el texto.

En esta Clase 5 analizamos posibles actividades para el aula centradas en la construcción

de un tipo particular de cuadriláteros: los trapecios.

Es nuestra intención desplegar un análisis matemático-didáctico, en particular,

queremos transitar algunos ejemplos que permitan dar mayor carnadura a nuestra

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afirmación de que los criterios de congruencia para triángulos pueden convertirse en

una herramienta para la argumentación.

Entendemos que la incorporación por parte del profesor de tareas y técnicas con las

cuales no está aún familiarizado representa un desafío para la enseñanza, pero

apostamos a que gradualmente se vaya instalando una variedad de contextos como

medio para enriquecer el hacer geometría por parte de los alumnos.

Conscientes de la novedad que puede representar para muchos docentes y, en el afán de

problematizar su uso, propondremos un conjunto de actividades para realizar con

GeoGebra, con el propósito de que sean discutidas, adaptadas, modificadas y

contextualizadas para el aula.

En el final de la clase vamos a profundizar algunas afirmaciones que hemos realizado en

la Clase 2 a propósito del “arrastre” de elementos en entornos computarizados como el

GeoGebra. Exploraremos dos problemas en donde el arrastre de determinados

elementos puede convertirse en una técnica interesante para incorporar al trabajo en el

aula.

1. Los cuatro lados como datos

Comenzamos en esta clase y continuamos en la siguiente el estudio del problema de la

construcción de un cuadrilátero dados sus cuatro lados, a partir de una exploración en

“lápiz y papel” y/o en GeoGebra.

¿Qué pasará si se intenta construir un trapecio dados los cuatro lados?

El estudio de esta problemática podría plantearse en el aula (de primero o segundo año

de la escuela secundaria) a partir de un enunciado inicial como el siguiente:

Problema 1

a) Construir si es posible un trapecio que tenga los lados congruentes a estos cuatro

segmentos:

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Al comenzar a manipular los datos seguramente aparecerá en el aula la pregunta acerca

de cuáles de los cuatro segmentos deben considerarse como los correspondientes a los

lados paralelos del trapecio. Probablemente se llegue a afirmar que el trapecio será

diferente según cuáles sean los dos lados paralelos entre los cuatro datos. Aunque, en

este inicio, eso puede ser una sospecha y no una evidencia. Nos parece necesario que se

decida colectivamente cuáles serán los lados paralelos para que toda la clase esté

discutiendo en torno a la misma situación. Concluida la construcción (los datos están

dados para que efectivamente exista un trapecio con esos lados), se puede pedir

considerar otros dos como paralelos para confirmar la sospecha del inicio.

Supongamos entonces que en la clase se decide que sean a y b los segmentos

congruentes a los dos lados paralelos del trapecio que se quiere construir.

Un primer procedimiento que intentarían los estudiantes podría ser ir acomodando los

segmentos de a uno, por ejemplo a y luego c adyacente, con un ángulo arbitrario entre

los dos. Luego, por el extremo libre de c trazar una paralela al lado a, para acomodar

sobre ella el tercer segmento b. Una construcción así ¡es casi imposible que concluya con

éxito!

Les proponemos intentarlo antes de seguir para que entiendan el camino que

podrían haber seguido los estudiantes.

La Figura 1 representa un trapecio QPRT así construido en un archivo GeoGebra; el

ángulo QPR resultó de 88,25° (usamos la opción ángulo para obtener la medida).

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Figura 1

Sobre una construcción así es posible reflexionar en el aula que la longitud del cuarto

lado TQ quedará totalmente determinada a partir de los tres primeros y el ángulo que

quedó determinado entre PQ y PR (respectivamente congruentes a “a” y “c”).

Probablemente, los estudiantes no tengan conciencia de que al elegir una posición para

el punto R –o para el segmento PR– están determinando un ángulo. Será un asunto a

discutir en el aula. También se puede preguntar a los estudiantes si se puede saber

cuánto medirá el ángulo PRT, activando conocimientos sobre las relaciones que ligan los

ángulos determinados por rectas paralelas y transversales.

Si los estudiantes realizaron diferentes construcciones de este tipo, individual o

grupalmente, se podrían poner en común qué ángulos fueron eligiendo y se les podría

decir que midan, de manera aproximada, cuánto le sobra o le falta al lado TQ en relación

al segmento d. La diversidad de medidas de ángulos y de aproximaciones podría crear

un clima que estimule la búsqueda de una construcción precisa que solucione el

problema de estas aproximaciones.

Estas discusiones, gestionadas por el docente, podrían colocar a los estudiantes

en posición de buscar otra vía para resolver el problema trabajando con regla y compás

en su hoja de papel.

Estamos pensando un aula en la que las producciones autónomas, individuales o

grupales de los estudiantes sean tomadas como punto de partida de discusiones

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colectivas que a su vez relancen el problema dando pie a otro tramo de trabajo

autónomo.

Una posibilidad con GeoGebra

Antes de continuar con una posible gestión para la construcción del trapecio nos gustaría

proponer una exploración con GeoGebra, en caso de

contar con los medios materiales y con una relativa

experiencia con el programa. Dependiendo también de

esta última, el archivo que presentamos a continuación

podría ser totalmente construido por los alumnos o, en

el otro extremo, se les podría pasar el archivo ya

terminado: en el medio de ambas opciones podemos

pensar en construirlo con ellos, con un proyector y una

pantalla para que todos puedan reproducir la construcción que se va realizando con el

aporte de los estudiantes a viva voz.

La nueva tarea podría enunciarse así:

Problema 1 (continuación)

En el archivo trapecioincompleto.ggb encontrarán una construcción del trapecio a medio

hacer. Exploren la figura arrastrando sus puntos móviles para lograr el trapecio pedido.

La tarea para los alumnos, además de participar en la construcción del archivo o

eventualmente discutir cómo fue construido, consiste en continuar la construcción para

poder lograr que el lado TQ sea congruente al segmento d. Una manera de lograrlo es

trazando una circunferencia de radio d centrada en el vértice Q, y arrastrar el punto R

hasta lograr que T pertenezca a esa circunferencia. La figura lograda por aproximación

sería:

La autonomía de los

estudiantes (trabajar con

GeoGebra no es más que un

ejemplo) es algo que se

construye, con plena

intencionalidad docente.

http://postitulo.matematica.infd.edu.ar/correlativas.cgi?wid_unidad=15582&wseccion=MO&wid_item=418155&wAccion=L&esMicrositio=no&obligatorio=&id_curso=1735


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Figura 2

Otra forma sería trazar una circunferencia de centro T y radio d, y arrastrar R hasta

lograr que la circunferencia pase por Q.

Invitamos a los profesores a jugar un poco con el archivo ggb, realizando alguna

de estas construcciones.

En cualquiera de los dos casos se llega a determinar el trapecio de manera aproximada,

con apoyo en lo visual. Es un tipo de procedimiento sólo posible en un archivo

GeoGebra, que posibilita ir modificando la construcción a medida que se arrastra el

punto R sobre la circunferencia.

Sea que hayan hecho construcciones en lápiz y

papel o con este procedimiento exploratorio en

un archivo GeoGebra, se trata de establecer

con los estudiantes que estas son respuestas

aproximadas y dependen de nuestra vista y/o

de instrumentos de medición.

Será necesaria una clara intervención docente

que informe la posibilidad de lograr una

construcción que pueda ser totalmente

realizada apoyándose en propiedades y que no dependa de la percepción ni de

herramientas de medida, que dan lugar siempre a respuesta aproximadas.

Pensamos en un aula dónde, a partir

de la resolución de diferentes tipos de

tareas, se jerarquizaron los

razonamientos y argumentos como

herramientas que permiten anticipar

lo que va a ocurrir, a diferencia de la

medición, que es aplicable a cada

figura particular.

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Puestos en la posición de buscar otra vía para resolver el problema, trabajando con regla

y compás en su hoja de papel o en GeoGebra, se podría proponer a los estudiantes

tratar de determinar un triángulo cuya construcción sea posible a partir de los datos de

los cuatro lados.

Una posibilidad sería realizar una figura de análisis de un trapecio cualquiera y trazar un

segmento paralelo a uno de los lados no paralelos.

Figura 3

En la Figura 3 se trazó EC // AB, quedando determinado un paralelogramo ABCE y un

triángulo ECD. Llegado a este punto se podría preguntar a los estudiantes si alguna de

las dos figuras queda determinada a partir de los datos:

En relación con el paralelogramo se trataría de acordar que se tiene como dato la

medida de sus lados, pero hay muchos paralelogramos a construir dependiendo del

ángulo que se considere entre el segmento AB y el AE.

La discusión sobre el triángulo se centraría en que se conocen la medida de dos de sus

lados, y el tercero corresponde a la diferencia entre las medidas de las bases (también

dadas). Es decir, los cuatro datos del problema original permiten determinar los tres

lados de este triángulo y por lo tanto es posible realizar su construcción, tarea que

queda a cargo de los estudiantes, tanto como la de completar el trapecio a partir del

triángulo.

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Figura 4

Notemos que para completar el trapecio se puede extender el segmento JK y trazar

paralelas, y esto fija el ángulo entre los lados IK e IO, que debe ser congruente al ángulo

MKJ. Justamente el valor de ese ángulo es el que se necesitaba en la primera

construcción que intentamos.

A partir de una construcción como ésta se podría discutir si puede haber un trapecio no

congruente con estos cuatro lados como datos (y con la elección de cuáles serán los

lados paralelos): es posible centrarse en que el triángulo por el cual se comienza es

único (así lo asegura un criterio de congruencia de triángulos). Una vez construido el

triángulo, puede ser que en el aula el trapecio se haya logrado extendiendo el triángulo

para un costado o para el otro, pero se lograrán trapecios simétricos y por lo tanto

congruentes.

La construcción realizada permite entonces formular un criterio de congruencia para

trapecios:

“Si un trapecio tiene todos sus lados congruentes a los lados de otro trapecio y los que

son paralelos en uno de ellos son congruentes a los lados paralelos en el otro, entonces

los trapecios son congruentes.”

Este enunciado encierra una condición que no ha sido aún estudiada:

¿Es necesario aclarar cuáles son los lados paralelos?

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Lo dejamos como problema para que lo piensen ustedes:

(1) Para resolver

Dados los segmentos

Construir, si es posible, dos trapecios diferentes con estos segmentos,

los lados paralelos pueden ser cualesquiera.

Otra pregunta interesante para discutir con los estudiantes, una vez resuelto el Problema

1, es preguntar “si siempre que se den cuatro segmentos, se puede lograr la

construcción del trapecio”.

Si los estudiantes realizaron la exploración que mencionamos al principio de esta clase

con el archivo trapecioincompleto.ggb, podrían modificar las medidas de los lados y

observar que a veces no se puede lograr la construcción.

Invitamos a los profesores a realizarlo. De esta exploración no es nada sencillo formular

qué condiciones sobre las medidas de los lados tienen que darse para que se pueda

construir un trapecio, pero la visualización permite tener una poderosa evidencia de que

no siempre se podrá construir.

Por otro lado, si se examina la construcción que realizamos a partir de un triángulo –sea

en papel, con regla y compás, o en GeoGebra– aparece como necesario que ese

triángulo efectivamente exista. Para eso, las medidas de sus lados no pueden ser

cualquiera: “los segmentos c, d y a-b deben cumplir la desigualdad triangular”. El resto

de la construcción, el paralelogramo “adosado”, no tiene ninguna restricción de medidas

para poder ser construido.



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Como lo hemos hecho en otras clases, a partir del Problema 1 de construcción, hemos

planteado diferentes preguntas que permiten profundizar en el estudio, más allá del

planteo inicial. Si en la clase se plantean todas estas preguntas o sólo algunas

dependerá de distintas condiciones en el aula y queda siempre a cargo del docente abrir

nuevas calles de estudio, dejar asuntos pendientes o dar por concluido el trabajo.

2. Cuando los datos son tres lados y un ángulo

Hemos estudiado en el punto 1 un problema que podría ser visto como la extensión del

criterio LLL de congruencia de triángulos: agregamos un lado para estudiar la

construcción y un posible criterio de congruencia para trapecios.

¿Qué pasaría si le agregamos un lado a otros criterios de congruencia para

triángulos? Por ejemplo, consideremos como datos tres lados y el ángulo comprendido

entre dos de ellos.

Análogamente a lo estudiado en el Problema 1 será necesario aclarar cuáles de los datos

corresponden a los lados paralelos.

Plantearemos un recorrido posible para estudiar este problema y dejamos para ustedes

realizar dicho estudio. A partir de este trabajo, los invitamos a elaborar problemas

posibles y potentes para el aula.

(2) Para resolver

Primera etapa: dados tres lados, incluyendo a los dos paralelos y el

ángulo entre dos de ellos…

-Construir un trapecio con esos datos. Indique condiciones para que la

construcción sea posible.

-Si se verifican las condiciones de existencia, ¿Es único el trapecio que

se puede construir? Justificar la respuesta.

Segunda etapa: ¿es posible elaborar un criterio de congruencia de

trapecios dados tres lados, entre ellos los dos paralelos y el ángulo

comprendido entre dos de los lados dato?

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Tercera etapa: si se dan tres segmentos y un ángulo cualquiera

¿siempre se puede construir el trapecio o hay alguna condición sobre

los datos?

Hasta aquí habrán estudiado el problema de construcción de un trapecio teniendo como

datos el ángulo α y los lados f, g y e marcados a modo de esquema en la Figura 5 a

continuación:

Figura 5

Utilizando el mismo esquema de la Figura 5, un nuevo problema a estudiar consiste en

considerar como datos los lados e, g y d y el ángulo α entre los dos primeros. De manera

no muy esperable, la situación cambia totalmente eligiendo como datos los dos lados no

paralelos y uno de los paralelos. Les proponemos que estudien esa situación:

(3) Para resolver

Dados el ángulo α los segmentos e, g y d de la Figura 5, construir, si

es posible, un trapecio NO congruente al de la Figura 5, con los lados

no paralelos congruentes a "e" y “d” y el ángulo entre e y g

congruente a α.

Si les parece que no es posible, justifiquen la respuesta.

Ahora, avancemos con una nueva posibilidad…

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3. Dos lados y dos ángulos como datos

Cuando se trata de dos lados y dos ángulos, habrá muchas situaciones diferentes según

se trata o no de los lados paralelos o de alguno de ellos, como así también de la

ubicación de los ángulos. Consideremos la siguiente figura como esquema:

Figura 6

Un simple cálculo combinatorio daría que hay 6x6 combinaciones posibles (al considerar

dos lados y dos ángulos en la figura). Les proponemos poner en juego dos de ellas, con

enunciado parecido pero muy diferente “desenlace”, para estudiar con detalle.

(4) Para resolver, usando el esquema de la Figura 6

4.1 Dados dos ángulos y dos segmentos, construir, si es posible, un

trapecio de manera que los lados e y g sean congruentes a los

segmentos dados y los ángulos α y β a los ángulos dados.

- ¿Es único el trapecio que se puede construir?

- ¿La construcción es posible para cualquier medida de los cuatro

datos?


trapecio de manera que los lados e y g sean congruentes a los

segmentos dados y los ángulos α y δ a los ángulos dados.


-¿La construcción es posible para cualquier medida de los cuatro

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datos?


trapecio de manera que los lados f y g sean congruentes a los

segmentos dados y los ángulos α y β a los ángulos dados.


-¿La construcción es posible para cualquier medida de los cuatro

datos?

Para aquellos que lograron ser atrapados por este problema, los

invitamos a explorar otras de las muchas variantes de este caso y

compartir sus estudios en el foro de consulta.

Como intentamos mostrar hasta acá en esta clase, son muchas las preguntas a hacerse

a partir del “problema de la construcción de un trapecio”. Discutimos algunas de ellas

como ejemplo del tipo de trabajo que podría generarse en un aula. En el aula de cada

uno, con la historia de trabajo de cada grupo, y con la modalidad de cada docente, sin

duda se dará lugar a desarrollos muy diferentes.

En el punto 1 de esta clase propusimos un trabajo de exploración con un archivo

GeoGebra que implicaba “arrastrar” un punto en una circunferencia para obtener una

construcción dinámica (trapecioincompleto.ggb). Para finalizar con esta clase y con los

contenidos de este módulo, queremos detenernos a reflexionar en torno a ese tipo de

“acción”, posible de realizar en el trabajo mediado por el programa GeoGebra.

4. Los tipos de arrastre

Hemos visto en la Clase 2 que las “figuras dinámicas” son representaciones capaces de

ser manipuladas utilizando una computadora. Es posible arrastrar algunos de sus

elementos para que ocupen diferentes posiciones en el plano-pantalla. El programa

garantiza que las propiedades que se han definido en ella se mantengan invariantes

durante el movimiento que produce dicho arrastre.

Esta “garantía” permite considerar el “arrastre” como una nueva técnica de trabajo;

decimos nueva ya que no existe tal cosa en un entorno no computarizado y viene a

sumarse a las ya utilizadas en geometría.

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Es interesante señalar que no siempre esta técnica es utilizada con una misma finalidad.

Les proponemos para este último tramo de la clase, distinguir entonces diferentes

funcionamientos dados por quien utiliza la técnica y por la tarea en la que está

enmarcada.

Como asuntos más salientes, el arrastre nos permite:

a) Explorar para reconocer determinadas propiedades de una figura dinámica en

búsqueda de una conjetura. Es decir, en este caso no existe aún una conjetura y se

realiza el arrastre con el fin de identificar alguna regularidad que permita interpretarse

en términos de propiedad geométrica.

b) Validar una determinada “propiedad”, es decir, verificar si lo producido corresponde a

lo esperado a través de una determinada invariancia reflejada en todas las

representaciones dadas por el arrastre.

Para entender mejor a qué nos estamos refiriendo, les proponemos analizar juntos dos

problemas:

1. Uno de ellos implica una tarea que puede prescindir del uso de una figura

dinámica, se trata de averiguar el perímetro de un triángulo definido por

condiciones determinadas desde el enunciado.

2. La segunda tarea está formulada en los términos que hemos estudiado en la

Clase 2, se trata de una actividad de producción de una figura dinámica.

Primer problema

Desde un punto P exterior a una circunferencia c se trazan las rectas tangentes a

ella, como muestra la Figura 7. A y C son los puntos de tangencia. Sobre el arco

AC (el de menor longitud) se elige un punto al cual llamaremos D. Luego se traza

la recta EF tangente a c por el punto D, como indica la Figura 7. Sabiendo que la

medida del segmento AP es de 10, hallar el perímetro del triángulo PFE.

Para un primer momento de

exploración es posible también

formular estas preguntas: ¿dónde

debe ubicarse el punto D para que

el perímetro sea mínimo? ¿y para

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Figura 7

que sea máximo?

Para comenzar a estudiar el problema y armar una conjetura, sugerimos en

principio no utilizar GeoGebra.

La situación requiere, como respuesta, el valor del perímetro del triángulo, para lo cual

se cuenta con una información numérica: el segmento AP. Dicho segmento AP está

constituido, en parte, por un lado del triángulo, y éste lado será variable de acuerdo al

punto D (perteneciente al arco AC) que hayamos elegido.

Las rectas son tangentes a la circunferencia de la cual solo sabemos que el punto P es

exterior a ella.

El problema encuentra su solución recurriendo a la siguiente propiedad: los

segmentos determinados por un punto exterior y cada punto de tangencia son iguales.

En este problema, esto vale para los puntos P, F y E, lo cual hace iguales los siguientes

pares de segmentos: PA y PC, EA y ED, FD y FC.

Esta propiedad hace que la medida del segmento AP sea la misma que las de PE y la de

ED sumados. Lo mismo ocurre con la relación entre las medidas de PC, PF y FD. Es decir,

que el perímetro del triángulo equivale a dos veces la medida de AP. Si bien el problema

podría generalizarse para cualquier medida de AP, pensamos que determinar su longitud

deja abierta la puerta a exploraciones y conjeturas basadas en las medidas de los

segmentos.

La propiedad que está en cuestión requiere identificar una invariante, a saber: no

importa qué punto exterior a la circunferencia tomemos, las distancias a sus puntos de

tangencia son iguales.

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El problema pareciera reducirse a conocer la propiedad de antemano o tener una

“intuición feliz” que haga sospechar sobre la congruencia de estos dos segmentos. Es

probable que la solución tarde en llegar ya que el contexto del problema deja varios

elementos sin determinar (posición del punto P, radio de la circunferencia y todas las

características del triángulo) lo que no favorece su identificación.

Aclaremos que estamos hablando aquí de la identificación de una propiedad y no

de las razones de su validez. Será necesario arribar a una conjetura para la solución del

problema inicial, luego habrá momento para la prueba que, en esta oportunidad,

dejamos en manos de ustedes.

No queremos tratar aquí la manera en que cada docente desea abordar la demostración,

pero sí nos parece importante el posicionamiento del alumnado a la hora de buscar

argumentaciones que validen una afirmación.

Es posible que los alumnos construyan las figuras a las que refiere el problema tanto en

papel como en GeoGebra. También puede ofrecerse un archivo construido en GeoGebra

por el docente, he aquí uno posible: Perimetro.ggb. El punto B, en color azul (ver aquí

Clase 2), permite modificar el radio de la circunferencia, el punto A modifica la posición

del punto P pero siempre manteniendo la misma distancia (10), y por último el punto D

puede cambiar su posición por el arco AC.

La exploración que permite el arrastre de estos puntos deja fijo el perímetro del

triángulo que hemos calculado previamente. Hemos decidido intencionalmente definir al

punto D como perteneciente a la circunferencia y no solo al arco AC. En caso que no se

cumpla con una exigencia del enunciado, es decir, que D no pertenezca al segmento AC,

el perímetro varía.

Como sabemos, la identificación de una propiedad no resuelve sin más ningún

problema, de ahí en adelante hay un camino que el alumno debe continuar. Lo que

estamos afirmando es que el arrastre, en este caso, es una buena técnica para

identificar una propiedad que deberá ser probada.

Lo inmediatamente visible en la exploración por arrastre es que el perímetro se mantiene

fijo. Para que los estudiantes comiencen a buscar razones para este hecho, se puede:

proponer que establezcan relaciones entre segmentos, destacar que en la medida que



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aumenta el segmento AE, el segmento CF disminuye (y al revés), fijar la atención de que

en la medida que AE crece también ED lo hará, etc.

Apostamos al valor formativo que tiene una conjetura cuando su formulación está

en manos de los alumnos, es en este sentido que decimos que la técnica de arrastre

viene a sumarse –con este u otros propósitos– a las tradicionales.

Avancemos con otro problema…

Segundo problema

Reproducir, en un archivo de GeoGebra, la siguiente figura, sabiendo que se trata de

tres circunferencias de radio igual a 2, tangentes entre sí dos a dos.

Figura 8

Será conveniente aquí convenir junto a los alumnos que la tarea está realizada

correctamente en la medida que se haya logrado una figura dinámica que mantenga las

propiedades señaladas en el enunciado. Es decir, cada circunferencia tendrá un radio de

2 y serán tangentes entre sí, lo cual debe “resistir” el arrastre de los puntos azules y

celestes (ver Clase 2 para más detalle).

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Construir la primera circunferencia, por ejemplo, la que tiene centro en A, no constituye

ninguna dificultad; basta con elegir un punto cualquiera del plano y un radio igual a 2.

Es la determinación de los otros centros –de manera que las circunferencias se

mantengan tangentes– lo que da sentido al problema.

Aquí se pone en juego la condición de tangencia en relación con el radio de una

circunferencia.

Podría pensarse en que los demás centros están a una distancia de 4 y utilizar un

procedimiento para la construcción de un triángulo a partir de la medida de sus lados o

directamente visualizar un triángulo equilátero. Nótese que, en principio, los puntos de

tangencia pueden ser arbitrarios, pero una vez definido uno de ellos los demás quedarán

determinados. Si se tiene la primera circunferencia, es posible definir el punto de

tangencia en cualquier punto de ella, y luego puede ubicarse uno de los otros centros

como el lugar donde se intercepta la recta tangente al punto de tangencia y la

circunferencia con centro en A y radio 4 (Figura 9).

Podría procederse de igual manera para encontrar el otro centro.

Figura 9

Es posible una variante de

este problema que consiste

en no dejar visibles los

centros; las relaciones que

deben establecerse en este

caso, se encuentran un

poco más ocultas.

Una vez construida la figura de manera correcta o no, puede procederse al arrastre

como medio para validar que las propiedades definidas en la construcción alcanzan para

determinar la figura pedida.

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La finalidad del arrastre de los objetos no fijos actúa garantizando que las

relaciones que se conservan fueron definidas por quien construyó la figura. En caso que

la construcción “no resista el arrastre” se podrá proponer a la clase la explicitación de

algunas razones que expliquen lo sucedido.

Si bien en el ejemplo que hemos elegido no se está verificando una propiedad explícita

de antemano por el alumno, la construcción de una figura dinámica supone establecer

relaciones geométricas que son las que tiene en cuenta el programa. Pueden visualizarse

dos circunferencias como tangentes, pero si no se han definido las relaciones que así las

determinan, el arrastre pondrá al descubierto este hecho.

Hemos sugerido varias construcciones con GeoGebra en las clases anteriores porque

creemos que es una manera de pensar nuevas formas de enseñanza. A la vez pensamos

que la incorporación de la tecnología en la clase de Geometría debe problematizarse

pensando los tipos de tareas que se agregan, la diferente naturaleza de las nuevas

técnicas, la manera de enriquecer algunos conceptos geométricos, la modificación en el

proceso por el cual se valida una afirmación, etc. Esperamos que este pequeño aporte

vaya en ese sentido.

En síntesis

En la Clase 5 hemos explorado el problema de la construcción de trapecios y la

elaboración de posibles criterios de congruencia para este tipo de cuadriláteros.

En el apartado 1 nos hemos detenido a estudiar juntos minuciosamente posibles

recorridos de este estudio cuando se consideran como datos los cuatro lados.

Imaginamos un recorrido que concluye con una construcción aproximada de la figura y

una validación visual de que se obtiene el trapecio buscado y otros recorridos posibles en

los cuales se puede argumentar, basándose en propiedades, que la figura construida

cumple lo pedido. Vimos que, si se especifica cuáles de los datos corresponden a los

lados paralelos, cuando se logra la construcción ésta es única, dando lugar a la

formulación de un criterio de congruencia. La unicidad pudo anticiparse gracias a los

criterios de congruencia para triángulos. Estudiamos también condiciones sobre los datos

que permitieran asegurar que el trapecio pedido existe, apoyándonos en la desigualdad

triangular para los lados de un triángulo.

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En los apartados 2 y 3 esbozamos un recorrido para un estudio similar en el caso en que

los datos sean tres lados y un ángulo y dos lados y dos ángulos, respectivamente. En

estos apartados el detalle del estudio quedó a cargo de ustedes.

En el apartado 4 hemos analizado dos problemas que trataron de ilustrar distintas

funciones del “arrastre” cuando se trabaja con geometría dinámica. No fue nuestro

objetivo mostrar todas las funciones que pueden incorporarse a partir del movimiento de

puntos en el plano, sino tratar de encontrar nuevos sentidos al estudio de objetos

geométricos mediados por un entorno computacional.

No se trata de “hacer lo mismo” pero con una computadora, ni de hacer lo mismo

y “sumarle” actividades con GeoGebra. Proponemos un hacer distinto, que problematice

nuestras prácticas a la vez que enriquece el espectro de conocimientos geométricos que

nuestros alumnos pueden poner en juego.

Seguimos construyendo juntos en los espacios de intercambio…

Lectura complementaria

● Itzcovich, H. (2050). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. Libros del

Zorzal: Buenos Aires.

Bibliografía de referencia

● Acosta Gempeler, M. (2005). “Comunicación: La Teoría Antropológica de lo

Didáctico y las Nuevas Tecnologías”. Boletín SEIEM. Disponible en:

http://www4.ujaen.es/~aestepa/TAD/Comunicaciones/Acosta.pdf

Actividad obligatoria

Actividad grupal

Actividad grupal Foro y Wiki: "Avanzando hacia el TF"

En esta clase comenzamos a elaborar el Trabajo Final en forma




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colaborativa. Para ello encontrarán un nuevo foro y wiki. La idea es que

resuelvan en equipo las tareas para resolver 2 y 4.3 presentadas en esta

clase y organicen en esos espacios las conclusiones a las cuales arribaron.

Actividades opcionales

Para resolver a lo largo de la clase se proponen algunas tareas o

problemas “Para resolver” y que no están indicadas como actividades de

entrega obligatoria. Recomendamos la resolución -de las tareas 1, 3, 4.1

y 4.2 de la clase o plantear dudas que pudieran ir surgiendo de la lectura

de la clase.

Foro de consultas generales del módulo

Como en las clases anteriores, cuentan con el foro de consultas generales

del módulo en el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en

relación con la propuesta de trabajo del módulo. En particular, con el texto

de esta clase y con las diferentes preguntas y problemas que quedaron

para que ustedes trabajen.

¡Los esperamos!

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Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 6: Trapecios. Construcciones y

elaboración de criterios de congruencia. Módulo: Enseñanza de la Geometría.

Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la

Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons

Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0

Autores del material:

El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Carmen Sessa y Daniel

Arias

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_AR

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