Mecánica Celeste

Bonny Lucia Ardila Gonzálezbonnylucia@yahoo.es

MECANICA CELESTE

Leyes de KeplerGravitación Universal

Ley de Gravitación Universal

Establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos separados una distancia r

La leyes con las que se rigen los cielosSon las mismas que gobiernan la Tierra.Realidad Blasfémica

Las condiciones para que una estrella se Convierta en un agujero negro se obtuvieronEn una primera aproximación de esta ecuación

La trayectoria que deben seguir las navesEspaciales son trazadas mediante esta ecuación

G = 6.67x10-11 Nm2/kg2

Medida de la Masa de la TierraLa Fuerza gravitacional que actúa sobre una partículaDe masa m se define como el peso

Suponiendo que una masa se encuentra sobre la Superficie de la Tierra, la distancia r es la distancia Entre m y el centro de la Tierra, es decir el radio De la Tierra.

RT =6.378 x 106 m

Si la magnitud a de la aceleración de una naveespacial o de un satélite se mide a una distanciadeterminada R del centro del planeta , entonces la masa se determina con una generalización de la ecuación anterior

G

arM

2

Satélites artificiales de la Tierra

¿Cuál es la magnitud de la Fuerza Gravitacional que ejerce la Tierra sobreun satélite de 1040 kg que viaja en unaórbita circular de 100kmSobre la superficie de la Tierra?•Determine la magnitud de la aceleración del satélite en dicha órbita.•Determine la velocidad del satéliteen esta órbita•Calcule el periodo del satélite

Velocidad de escape

Cuando se requiere escapar de la superficie de un cuerpo que genera efectos gravitatorios, se requiere para ello una velocidad dada para poder realizarlo, es lo que se denomina «velocidad de escape». Cuando mayor sea la atracción gravitatoria sobre un cuerpo, mayor tiene que ser la velocidad de escape.

E = KE + PEEnergía mecánica total

E = ½ mve² – GMm / R = 0.

½ mve² = GMm / R.

Ve = ( 2GM / R )½.

Newton usó un dibujo parecido al de arriba para analizar la velocidad de escape. Los proyectiles A y B caen a la Tierra. Los proyectiles C y D alcanzan una órbita a una altura fija. Pero, el proyectil E alcanza la velocidad de escape.

Agujeros Negros

• En el siglo XVIII, John Michell(1724 - 1793) se dio cuenta que la velocidad de escape de una estrella lo suficientemente grande y compacta excedería la velocidad de la luz (finita) para originar lo que ahora llamamos agujero negro.

• Ni siquiera la luz puede escapar de un agujero negro, pues v > c. El radio crítico al cual l masa M puede comprimirse para que l velocidad de escape sea igual a la de la Luz se denomina radio de Schwarzschild R,

Leyes de Kepler

Primera ley del movimiento planetario

Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

a

ce

Ecuación de la elipse en coordenadas polares

cos1

12

e

ear

Ejemplo Primera Ley

Cuando un planeta se encuentra en la posición P1

en la figura, está en el perihelio, su distanciamás cercana al Sol. Cuando se encuentra enP2 , está en el afelio, su distancia mayor al Sol.

P1 P2

• ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar deuna elipse cuando el planeta se encuentra enel afelio?

• Demuestre que el afelio se relaciona con elsemieje mayor con la excentricidad de laelipse mediante la siguiente fórmula

)1( earaf

• ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar deuna elipse cuando el planeta se encuentra enel perihelio?

• Demuestre que el perihelio se relaciona con elsemieje mayor con la excentricidad de laelipse mediante la siguiente fórmula

earperi

1

• La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 0.0167 y el semieje mayor de la órbita es de 1.496 x108 km. Determine el afelio y el perihelio.

Segunda Ley de Kepler• Una recta del Sol a un Planeta dado barre

áreas iguales en tiempos iguales

A los segmentos AB y CD les toma el mismo tiempo para recorrer

¿Dónde se mueve con mayor velocidad en el afelio o en el perihelio?

Tercera Ley de Kepler

• El cuadrado del periodo de un satélite es proporcional al cubo del radio de su órbita, siempre que la masa del satélite sea mínima comparada con la masa del planeta

3

2

2 4r

GMT

Unidades Acostumbradas3

2

2 4a

GMT

Unidad astronómica= UA = 1.496x1011 m

Periodo de la Tierra = 1 Año3

2

2)1(

4)1( UA

GMa

Por lo tanto 3

2214

UA

a

GM

La ecuación se simplifica 3

3

2

2 1a

UA

aT

• El periodo de la órbita de Júpiter es de 11.87 años. Determine el semieje mayor de la órbita de Júpiter