Mecnica Tcnica

Ingeniera de Ejecucin en Mecnica 1/2015 Beln Ramrez Bunster

1. Cinemtica de una partcula

Estudio del comportamiento de la partcula a medida que transcurre el tiempo. Movimiento itinerario: en

1D. Conceptos:

- Vector posicin:

- Velocidad media:

- Velocidad instantnea:

- Aceleracin media:

- Aceleracin instantnea:

1.1. Movimiento rectilneo. Coordenadas rectangulares

1.1.1. Movimiento rectilneo uniforme (1D)

1.1.2. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

1.2. Movimiento curvilneo

rapidez: magnitud de la velocidad.

, donde ds: diferencial del arco recorrido (longitud).

1.2.1. Sistema coordenado tangencial-normal (2D)

: radio de curvatura de la trayectoria para cada punto.

Velocidad siempre tangente a la trayectoria.

Componente tangencial de aceleracin indica cambio de

magnitud de la velocidad, y componente normal indica

cambio de direccin de la velocidad (curva).

2. Cinemtica de varias partculas

*Si es factible, se mide un mismo instante inicial para el tiempo de registro, con un sistema de referencia

(coordenadas) absoluto fijo.

2.1. Movimiento relativo entre dos partculas (independiente)

Ej: Posicin relativa en 1D de B respecto a A:

conceptos conceptos

relativos absolutos

2.2. Movimiento dependiente entre partculas (dependiente)

Posicin de una partcula depender de la posicin de otra o varias. Se define un parmetro constante en

el problema, que condicionar la expresin caracterstica.

Ej:

Sistema de poleas.

Longitud de las cuerdas que pasan por las poleas es constante.

Coordenadas de posicin de los bloques satisfacen:

Se pueden elegir arbitrariamente dos de las coordenadas, entonces

sistema tiene dos grados de libertad.

Para la velocidad y aceleracin se tiene una relacin similar, siempre y

cuando la relacin entre estas coordenadas de posicin sea lineal:

2.3. Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslacin

Se tienen dos partculas A y B que se mueven en el espacio, y cuyas posiciones absolutas respecto al

sistema fijo en O son: y .

Se puede definir un sistema de coordenadas relativo Axyz ubicado en el punto A, de modo que la

posicin del cuerpo B en un tiempo t respecto a este sistema queda definido por el vector .

Un sistema relativo de referencia puede estar en reposo (fijo) o en movimiento respecto al sistema

absoluto (siempre fijo) Oxyz.

Posicin de B absoluta (respecto a sistema absoluto)

para todo tiempo, se define entonces:

3. Cinemtica de cuerpos rgidos

Tipos de movimiento de un cuerpo:

3.1. Traslacin

Se definen trayectorias rectilneas y curvilneas, y se describe este movimiento si toda lnea recta trazada

dentro del cuerpo (o sobre l) mantiene la misma direccin durante el movimiento. Adems todos los

puntos el cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleracin en cualquier instante dado.

Definiendo entonces un vector relativo entre dos puntos (A y B) ubicados en el cuerpo:

donde el vector es constante dado que el cuerpo es rgido por ende no vara su magnitud, y no hay

rotacin, por lo que tampoco vara su direccin y sentido. Diferenciando en el tiempo, se tiene:

3.2. Rotacin alrededor de eje fijo

Oxyz: sistema de referencia absoluto (fijo)

AA': eje fijo (coincidente con eje z) respecto al cual rota un cuerpo rgido.

P: punto que pertenece al cuerpo

: vector posicin (absoluto) de P

3.2.1. Evaluamos rotacin del cuerpo rgido por medio de un punto P.

P debe permanecer a una distancia constante de B (interseccin entre eje AA y plano de rotacin de P). P

describir crculo de centro B y de radio , donde denota el ngulo formado por y AA.

Se describe un ngulo entre la lnea BP con el plano zx, definiendo la posicin de P y del cuerpo

completo; y cuyo plano es la coordenada angular del cuerpo, definiendo como positivo el sentido

contrario al de las manecillas del reloj, desde A'.

Coordenada angular se expresa en radianes (rad) o, en ocasiones, en grados

() o revoluciones (rev).

Se define la velocidad de punto P por rotacin del cuerpo como un vector

perpendicular al plano que contiene AA y a . Se define una velocidad

angular del cuerpo , cuyo vector se dirige a lo largo del eje de

rotacin, y cuyo sentido responde a la regla de la mano derecha segn

sentido de giro.

As:

La aceleracin de P queda definida diferenciando en dt:

donde

: componente tangencial de la aceleracin

: componente normal de la aceleracin

: aceleracin angular del cuerpo rgido, cuyo vector se dirige a lo largo del eje de rotacin,

y el sentido se rige por regla de la mano derecha considerando si existe una aceleracin a favor o en

contra del sentido de giro del cuerpo (rotacin cada vez ms rpida, o rotacin cada vez ms lenta o

frenada).

Evaluando en dos dimensiones, se tiene para la aceleracin del punto P del cuerpo rgido en rotacin:

3.2.2. Ecuaciones que definen la rotacin de un cuerpo rgido alrededor de eje fijo

Sigue un planteamiento anlogo que a la cinemtica rectilnea, considerando

Rotacin uniforme:

Rotacin acelerada uniformemente:

3.3. Movimiento en plano general

3.3.1. Traslacin + Rotacin

Movimiento que puede considerarse como la suma de un movimiento de traslacin ms uno de

rotacin. Para ello, se identifican dos puntos sobre el cuerpo rgido A y B, a los cuales se les definir su

cinemtica (cambio posicin, velocidad y aceleracin).

Ejemplo: Una barra unida en sus extremos a dos eslabones confinados a moverse en ranuras como se

muestra en la figura. La barra experimenta un movimiento en plano general, el cual evaluaremos en

dos pasos: movimiento de traslacin y movimiento de rotacin, utilizando la expresin de sistema

relativo para definir el movimiento de un punto (B, por ejemplo) en funcin del movimiento del otro

punto analizado (A, en este caso).

A lo largo de cierto intervalo, los dos puntos dados A y B se mueven, respectivamente, desde A1 hasta

A2 y desde B1 hasta B2. Este mismo resultado se obtiene mediante:

1/ Traslacin. Se escoge uno de los puntos para condicionar el movimiento, por ej: A. Entonces se

lleva a A y a B desde sus posiciones iniciales hacia A2 y B1 (la lnea AB del estado inicial se mantiene en

la misma direccin).

2/ Rotacin alrededor de punto fijo. En punto escogido para condicionar la traslacin (A en el

ejemplo) corresponder al punto fijo en la rotacin, dado que ya se encuentra en su posicin final (A2).

As se rota el otro punto (B) respecto a ste, para llevar a B desde B1 a B2, que corresponde a su

posicin final.

Aunque el movimiento original difiere de la combinacin de traslacin y rotacin cuando estos

movimientos se toman en forma sucesiva, el movimiento original puede duplicarse de manera exacta

mediante una combinacin de traslacin y rotacin simultneas.

Este movimiento puede evaluarse considerando el rol de cada punto en forma inversa; es decir, elegir

el punto B para condicionar el movimiento de traslacin Luego, se considera este punto B como punto

fijo para la rotacin, y se rota el punto A de la barra respecto a ste. Fijarse que el sentido de giro en la

rotacin ser siempre para llevar el punto que se rota hasta su posicin final condicionado por el

problema. Este caso se observa en la siguiente figura.

Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano general

Como se mencion, para definir la cinemtica se recurrir a la expresin que define movimiento por

medio de sistemas relativos de referencia.

Del ejemplo anterior, al elegir A como un punto de referencia, se expresa que el movimiento total

dado (o absoluto, medido respecto a un sistema fijo) es equivalente a la traslacin de la barra AB bajo

la condicin de traslacin de A (recordar que en traslacin todos los puntos se mueven con la misma

velocidad) y una rotacin simultnea del punto B alrededor de A (sistema de referencia relativo).

La velocidad absoluta de B se define entonces como la suma vectorial de la velocidad de traslacin

(aqu se escogi trasladar con las condiciones de A) ms la velocidad de rotacin (de B respecto al

punto A, ahora fijo).

vel. absoluta vel. de tras- vel de rotacin

de B lacin (A) de B respecto a A.

Recordando velocidad por rotacin en un cuerpo rgido:

donde corresponde a una velocidad angular asociada a la barra en el instante evaluado.

Al trabajar vectorialmente, se obtendr entonces un sistema de ecuaciones para el eje x (dado en ), y

para el eje y (dado en ).

En el extremo derecho de la figura anterior se tiene el polgono de velocidades, por medio del cual

(funciones trigonomtricas) tambin es posible obtener la magnitud de las velocidades sealadas.

Fijarse que | | ; y que es el vector de posicin relativo dirigido desde A hacia B.

Adems se puede demostrar que la velocidad angular del cuerpo rgido en movimiento plano es

independiente del punto de referencia.

Aceleracin absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano general

Se plantea el problema de la aceleracin de forma anloga a la velocidad, considerando sistema de

referencia relativo en el punto escogido para trasladar.

Se elige el punto A para la traslacin, de modo que todo el sistema barra AB experimenta la

aceleracin . Recordar que la aceleracin posee la misma direccin que la velocidad, pero el sentido

puede ser el mismo o contrario (dependiendo si se mueve ms rpido o ms lento); en la figura se

observan ambas opciones para el punto B. Estando el punto A en su posicin final, se debe rotar el

punto B respecto a este punto A, donde se ubica el sistema de referencia relativo; evaluando entonces

la aceleracin de B como un punto del cuerpo rgido que rota respecto al punto A. Recordar que esta

aceleracin por rotacin (aceleracin relativa ) puede descomponerse en dos: componente

tangencial ( ) perpendicular a la barra AB (que correspondera al radio de giro), y una

componente normal ( ) .

La componente normal est dirigida siempre sobre el brazo de giro y dirigida hacia el punto fijo de

rotacin; indicando el cambio de direccin de la velocidad. La componente tangencial indica el cambio

de magnitud de la velocidad, es perpendicular al brazo de giro (por ende tangente en ese punto a la

curva de rotacin), pero el sentido depender de si la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye

(si se mueve ms rpido o ms lento). Dado que pueden darse las dos opciones, se sealan estas

dos en la figura.

La aceleracin absoluta de B se define entonces:

acel. absoluta acel. de tras- acel. de rotacin

de B lacin (A) de B respecto a A.

( ) ( )

donde es una aceleracin angular asociada a la barra en cada instante de tiempo.