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Dr. A. Ozols 1

Dr. Dr. AndresAndres OzolsOzols

MECÁNICA MECÁNICA ESTADÍSTICAESTADÍSTICA

GASES IDEALESGASES IDEALES

Facultad de Ingeniería

UBA

2007

Dr. A. Ozols 2

MECÁNICA ESTADÍSTICAMECÁNICA ESTADÍSTICA

•Resulta de la aplicación de la teoría de la probabilidad al campo de la mecánica.

•Emplea las herramientas matemáticas para tratar los movimientos de poblaciones de partículas u objetos muy grandes.

•Provee el marco para relacionar las propiedades de átomos y moléculas individuales con las propiedades de los materiales .

•Explica la termodinámica como resultado de la estadística y mecánica (clásica y cuántica) a nivel microscópico.

•Permite calcular las propiedades termodinámicas a partir de datos espectroscópicos.

•Las predicciones macroscópicas están gobernadas por la segunda ley de la termodinámica a través de la entropía del medio.

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Postulado fundamentalPostulado fundamental

Un sistema aislado en equilibrio tiene microestados accesibles de la misma probabilidad

Si existen Ω microestados ⇒ la probabilidad de cada estado p = 1/ Ω

El sistema en equilibrio está constituido por el estado termodinámico(macroestado) más probable

MECÁNICA ESTADÍSTICAMECÁNICA ESTADÍSTICA

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CONJUNTO MICROCANÓNICO: CONJUNTO MICROCANÓNICO:

Conjunto integrado por copias de un sistema aislado.

Hipótesis 1: Cada sistema tiene una energía fija E.

Cada sistema puede tener varios microestados de energía E

Hipótesis 2: Cada microestado con la misma energía es equiprobable.

Ώ(E) = número de microestados para el valor de energía E

1/Ώ(E) es la probabilidad de cada microestado

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lnS k= Ω

Es un sistema aislado que cumple la segunda ley de la termodinámica:

La entropía del sistema, S, crece

Estado de equilibrio del sistema Ξ entropía máxima

ENTROPÍA

Ώ = número o multiplicidad de microestados en el conjunto

Definición

( ) /, , S kU V N eΩ =

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CONJUNTO CANÓNICOCONJUNTO CANÓNICO

La probabilidad Pi correspondiente del microestado con energía Ei

i

máxj

E

i jE

j

ePe

β

β

−

−=

∑

1kT

β =con

1máxi

ii

P =∑máx

j

jE

jZ e β−=∑El factor de normalización es

la función de particióniE

kT

iePZ

−

=

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CÁLCULO de los VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICOCÁLCULO de los VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICO

El valor medio o esperado de cualquier propiedad microscópica puede relacionarse con variables macroscópicas.

La <E> es interpretada como la definición microscópica de la variable termodinámica Energía Interna U

1iEii

E eZ

dZEZ d

β

β

−

= = −∑

1 lniEii dZ d ZE

Z d dE eZ

β

β β

−

− = −= =∑

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VALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICOVALORES MEDIOS en un CONJUNTO CANÓNICO

La dispersión de la energía dispersión de la energía ΔΔEE correspondiente a la distribución de sistemas:

( ) ( )2 2 22 2 22E E E E E E E E EΔ = − = + − = −

22

2j j jE E E

j jj j j

E e E e eβ β β

β β− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Pero

222

2

1 1 EZ ZE EZ Zβ β β β

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

22

lnE ZEβ β

⎛ ∂ ⎞ ∂Δ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

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En general si J es una propiedad su valor medio

iE

ii ii

i

eJ JJ pZ

β−

= =∑ ∑La vinculación con la función de partición se realiza considerando el efecto sobre la energía de la variación sobre el parámetro exterior J

i i

i i

E E i

i iE E

i i

J iEE

de e dJ

Je e

W

β β

β β

− −

− −

∂∂= =

Δ∑ ∑∑ ∑

JEE dJJ∂

=Δ∂

El trabajo realizado por el sistema como resultado

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1 1 1i

i i

i

E i

E Ei iE

i ii

Ee dJEdW J e dJ e dJ

e Z J Z J

β

β ββ β

−

− −−

∂⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑ ∑∑

1 1 1 lniE

i

Z Ze dJ dJ dJZ

dJ Z J J

W β

β β β−∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∑

Pero1 ln

JZ d F dJd

JW J

β∂

= =∂

FJ fuerza generalizada

E dJ J dJJ

dW ∂= − =

∂

También1 ln ZJ

Jβ∂

=∂

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CONECCIONES con la TERMODINÁMICACONECCIONES con la TERMODINÁMICALas magnitudes físicas importantes pueden expresarse en función de Z(β, J)

lln n lnZ ZdZJ

d J dββ

∂ ∂= +

∂ ∂

ln ZdW dJJ

β ∂=

∂ln dW E dd Z β β= −

lnE Zd dβ ββ

−∂

=∂

( )ln dW E d d dEd Z Eβ β β β= − + −

( ) ( )ln E dW dEd Z β β= ++

( )ln EZ Qd β βδ=+

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CONECCIONES con la TERMODINÁMICACONECCIONES con la TERMODINÁMICALa entropía

QdSTδ

=

( )ln EZ Qd β βδ=+

( )lndS k Z Eβ= +

Otra forma para obtener S a partir de la teoría de la información

( )ln ln lni i iE E E

i i ii i i

e e eS k p p k k E ZZ Z Z

β β β

β− − −⎛ ⎞

= − = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

ln lni iE E

i

i i i

E e eS k k Z k E k ZZ Z

β β

β β− −

= + = +∑ ∑ ∑

lnUS k ZT

= +

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CONECCIÓN TERMODINÁMICACONECCIÓN TERMODINÁMICA

( )ln ln lni i iE E E

i i ii i i

e e eS k p p k k E ZZ Z Z

β β β

β− − −⎛ ⎞

= − = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

ln lni iE E

i

i i i

E e eS k k Z k E k ZZ Z

β β

β β− −

= + = +∑ ∑ ∑

lnUS k ZT

= +

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GAS IDEALGAS IDEAL

Gas idealGas ideal ΞΞ Sistema MacroscSistema Macroscóópico de Partpico de Partíículasculas o o CuasipartCuasipartíículasculascon con interacciinteraccióón despreciable n despreciable

Gas ideal Ξ Estado de cada partícula independiente de las demás

El estado de equilibrio se alcanza por medio por intercambio de energía durante los choque entre las mismas.

El número de estas interacciones es muy pequeño para estos gases de densidad baja

Gas ideal Ξ Distancia media entre partículas que la distancia mínima de interacción (10 Å)

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GAS IDEALGAS IDEAL

El espectro de energías de cada partícula o clase de partículas Ei

Estado del gas Ξ Especificado por el número de partículas indistinguibles de una clase en cada nivel Ei: n1, n2, n3,…..

Estado del equilibrio Ξnúmero medio de partículas de cada nivel es independiente del tiempo

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GAS IDEALGAS IDEAL

Estado del sistema dado por los números de ocupación Ξn1, n2, n3,…..

El gas está integrado por N partículas idénticas sin estructura y encerradas en volumen V

Q son las coordenadas colectivas de cada partícula (3 componentes de la posición y el spin)

si designa al estado cuántico (3 componentes del impulso, dirección de orientación del spin) de cada partícula

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GAS IDEALGAS IDEAL

El estado cuántico de todo el gas está definido por el conjunto de números cuántico

1 2, ,......, Ns s s

La función de onda ( )1 2 1 2, ,......, , ,........

N Ns s s Q Q QΨ = Ψ

GAS CLASICO (Estadística de Maxwell GAS CLASICO (Estadística de Maxwell BoltzmannBoltzmann))

Partículas idénticas y distinguibles y pueden estar en el mismo estado cualquier número de partículas. Esta estad´stica representa una situación límite del gas cuántico

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Existen requisitos sobre la simetría de función de onda del sistema, cuando un par de partículas son intercambiadas

El intercambio no produce un nuevo estado o cambio de la función de onda

El número de estados accesibles del gas requiere considerar a las partículas como indistiguibles

GAS IDEALGAS IDEAL GAS CUÁNTICOGAS CUÁNTICO

Solo interesa la cantidad de partículas en cada estado

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Los requisitos de simetría de la función de onda están relacionados con el spin de las partículas, existiendo dos casos

a) Partículas de a) Partículas de spinspin entero (Estadística de entero (Estadística de BoseBose -- EinsteinEinstein) BE) BE

Cada partícula tiene spin total, en unidades ħ, enteros 0, 1, 2,…. (átomos de He4, fotones, protones)

La función de onda debe ser simétrica (no cambia con el intercambio de cualquier par de partículas)

( ) ( )1 1,... ,...., ,.... ,... ,...., ,....j i N i j NQ Q Q Q Q Q Q QΨ = Ψ

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b) Partículas de b) Partículas de spinspin semisemi--entero (Estadística de Fermi entero (Estadística de Fermi -- DiracDirac))

( ) ( )1 1,... ,...., ,.... ,... ,...., ,....j i N i j NQ Q Q Q Q Q Q QΨ = −Ψ

Cada partícula tiene spin total, en unidades ħ, semi-enteros 1/2, 3/2,…. (átomos de He3, electrones, neutrones)

La función de onda debe ser antisimétrica (cambia con el intercambio de cualquier par de partículas)

0Ψ = Si las partículas i y j están en el mismo estado

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GAS IDEAL Formulación del problema estadísticoGAS IDEAL Formulación del problema estadístico

El gas de partículas idénticas en un volumen V, en equilibrio a la temperatura T

•Los estados cuánticos posibles de una partículas r (o s)

•La energía de una partícula en el estado r, εr

•El número de partículas en el estado r, nr

•Los estados cuánticos posibles de todo el gas, R

Notación:

Hipótesis:

La interacción entre partículas es despreciable

1 1 2 2 3 3 .........R r rr

E n n n nε ε ε ε= + + + =∑ La suma se realiza sobre todos los estados de una partícula

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El número total de partículas es N rr

n N=∑

La función de partición 1 1 2 2( ........)RE n n

R RZ e eβ β ε ε− − + += =∑ ∑

La suma se realiza sobre todos los estados del gas total, para todos los valores posibles de n1, n2, n3,…..

1 1 2 2( ........)n ne β ε ε− + +Es la probabilidad relativa de que el gas se encuentra en un estado particular con n1 partículas en el estado 1, n2 partículas en el estado 2 …….., etc

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El número medio de partículas en el estado s es:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ........)

( ........)

n ns

Rs n n

R

n en

e

β ε ε

β ε ε

− + +

− + +=∑∑

1 1 2 2( ........)11

n n

R ss

s

eZn

Z Z

β ε ε

β εβ ε

− + +⎛ ⎞∂−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠= = −

∂

∑

1 lns

s

Znβ ε∂

= −∂

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Estadística de Maxwell Estadística de Maxwell BoltzmannBoltzmann

Las sumas son realizadas sobre todos los números posibles de partículas en cada estado: 0,1,2,......rn =

Los n1, n2, n3,….. sujetos a 1

rr

N n=

= ∑Las partículas son distinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintos puede considerarse como un nuevo estado distinto de todo el gas a pesar que los números nr permanezcan invariantes

Es necesario especificar el número de partículas en cada estado y cuales están en el mismo

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Estadística de Estadística de BoseBose -- EinsteinEinstein

Las sumas son realizadas sobre todos los números posibles de partículas en cada estado: 0,1, 2,......rn =


rr

N n=

= ∑

Las partículas son indistinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintos no genera un nuevo estado distinto de todo el gas

1 2 3, , ,....n n nBasta especificar para definir el estado del gas

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Estadística de Fermi Estadística de Fermi -- DiracDirac

Las sumas son realizadas sobre0,1rn =


rr

N n=

= ∑

Las partículas son indistinguibles

El intercambio o permutación de dos partículas entre estados distintos no genera un nuevo estado distinto de todo el gas

1 2 3, , ,....n n nBasta especificar para definir el estado del gas

No puede haber más de una partícula por estado

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GAS IDEAL Funciones de Distribución CuánticasGAS IDEAL Funciones de Distribución Cuánticas


1 1 2 2

1 1 2 2

( ........)

( ........)

n ns

Rs n n

R

n en

e

β ε ε

β ε ε

− + +

− + +=∑∑

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....( ........)

, ,.....

s s

s s

s

n n ns

n n n ns n n

n n n

n e en

e

β ε β ε ε

β ε ε

− − + +

≠− + +

≠

=∑ ∑

∑

Se puede separar como el producto

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GAS IDEAL GAS IDEAL Estadística de Fermi Estadística de Fermi -- DiracDirac

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....( ........)

, ,.....

s s

s s

s

n n ns

n n n ns n n

n n n

n e en

e

β ε β ε ε

β ε ε

− − + +

≠− + +

≠

=∑ ∑

∑

0,1rn =

rr

N n=∑

[ ]0 ( 1) 1( ) ( 1) ( ) / ( 1) 1

s

s s

ss

s s s s

e Z NnZ N e Z N Z N Z N e

βε

βε βε

−

− −

+ −= =

+ − − +

( ) 1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,..... r s

n ns

n n n nZ N e β ε ε− + +

≠

= ∑


N partículas tienen que distribuirse entre todos los estados, sin el estado s

( ) 1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....1

r s

n ns

n n n nZ N e β ε ε− + +

≠

− = ∑ N-1 partículas tienen que distribuirse entre todos los estados, sin el estado s

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( ) ( ) ( ) ( )lnln ln lns

s s s s

Z NZ N N Z N N Z N N

Nα

∂−Δ = − Δ = − Δ

∂

( )( 1)

ss

s

Z N eZ N

α=−( ) ( ) s N

s sZ N N Z N e α− Δ− Δ =

Como existen un estado posible sα α=( )ln Z N

Nα

∂=

∂

11ssn

eα βε+=+

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El parámetro alfa está determinado por la condición

rr

N n=∑

1 ln ZkT N kT

μα βμ∂= − = − = −

∂

( )1

1ssneβ ε μ−=

+

Es obtenido a partir de

Finalmente

Dr. A. Ozols 31

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

( ........)

, ,.....( ........)

, ,.....

s s

s s

n n ns

n n n ns n n

n n

n e en

e

β ε β ε ε

β ε ε

− − + +

≠− + +=

∑ ∑∑

0,1, 2,...rn =

rr

N n=∑


( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

0 1 2 2 .....1 2 .....

s s

s s

s ss

s s s

e Z N e Z Nn

Z N e Z N e Z N

βε βε

βε βε

− −

− −

+ − + − +=

+ − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

1 / 2 2 / .....

1 1 / 2 / .....

s s

s s

s s s s ss

s s s s s

Z N e Z N Z N e Z N Z Nn

Z N e Z N Z N e Z N Z N

βε βε

βε βε

− −

− −

⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦=⎡ ⎤+ − + − +⎣ ⎦

GAS IDEAL GAS IDEAL Estadística de Estadística de BoseBose -- EinsteinEinstein

Las sumas se pueden desarrollar en la forma

Dr. A. Ozols 32


( ) ( ) s Ns sZ N N Z N e α− Δ− Δ =Pero la relación entre Zetas

2 2

2 2

2 .....

1 .....

s s

s ss

e e e en

e e e e

βε βεα α

βε βεα α

− −− −

− −− −

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦=⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

( )

( )

1 1r s

r s r

r s r r s

n

n n r s sr

r s s ss n n n

r s r s

eZ

n en

e Ze

βε α

βε α

βε α βε α

β ε β ε

− +

− − ≠

≠− − − +

≠ ≠

∂∂

− −∂ ∂

= = =

∑∑∑ ∑

ln1 ss

s

Znβ ε∂

= −∂

Reemplazando

Dr. A. Ozols 33


( )( )1

1r s

s

ns

r s

Z ee

βε αβε α

− +− +

≠

= =−

∑Como

( ) 1sβ ε μ− ⟩Donde se asegura la convergencia de la serie si

ln1 11s

ss

s

Zneβε αβ ε +

∂= − =

∂ −

( )

11ssn

eβ ε μ−=−

Dr. A. Ozols 34

GAS IDEAL GAS IDEAL Estadística de Estadística de BoltzmannBoltzmann

1 1 2 2( ........)RE n n

R R

Z e eβ β ε ε− − + += =∑ ∑

La función de partición del gas ideal hecha sobre todas las configuraciones posibles

Las partículas ahora son distingubles

1 2 3

!! ! !.........

Nn n n

Las formas posibles de distribuir las partículas en los estados de partícula simple: n1 partículas en el estado 1, n2 partículas en el estado 2, etc será

Dr. A. Ozols 35


Cada una de estas configuraciones corresponde a estados posiblesdebido a la distinguibilidad, de modo:

1 1 2 2

1 2 3

( ........)

, , ,..... 1 2 3

!! ! !.........

n n

n n n

NZ en n n

β ε ε− + += ∑

Sometido a la condición rr

N n=∑

( )

( ) ( ) 31 231 2

1 2 3, , ,..... 1 2 3

! .....! ! !.........

nn n

n n n

NZ e e en n n

βεβε βε −− −= ∑Reescribiendo Z

Cada término de la suma corresponde al desarrollo de la suma

( )31 1 .........N

Z e e e βεβε βε −− −= + + +

Dr. A. Ozols 36


Cada término de la suma corresponde al desarrollo de la suma

( )31 1 ......... r

NN N

r

Z e e e eβεβε βε βε ξ−− − −⎛ ⎞= + + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

La suma entre paréntesis es la función de partición de una partícula simple

El cálculo de esa función requiere de hacer una aproximación a variable continua, es decir la aplicación del límite clásico

Dr. A. Ozols 37

GAS IDEAL GAS IDEAL –– Límite ClásicoLímite Clásico

Las componentes del vector de onda de una partícula confinada en una caja cúbica de dimensiones Lx, Ly y Lz

( )22 22 2 2

2 2 22 2 2

22x y z

yx zn n n x y z

x y z

nn nk k km m L L L

πε⎛ ⎞

= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2, ,x x y y z zx y z

k n k n k nL L Lπ π π

= = =

La energía de una partícula

El número de valores de K en un intervalo ΔK2 2 2, ,x x y y z z

x y z

k n k n k nL L Lπ π π

Δ = Δ Δ = Δ Δ = Δ

Los valores posibles de k son más próximos entre sí cuanto mayor es el Volumen macroscópico!! El número de estados crece con la energía!!

Dr. A. Ozols 38


( ) ( )3 3

3 32 2 2 2 2y x y zx z

x y z x y z x y z

L L L LL L Vd k n n n dk dk dk dk dk dk d kρπ π π π π

= Δ Δ Δ = = =

El número de estados de traslación para los en

( )3 3

32Vd k d kρπ

= 3d k Elemento de volumen en el espacio k

El número de estados de traslación para los p en

,k k dk⎡ ⎤+⎣ ⎦

[ ],p p dp+

( )

3 33 3

3 3 32p

V d p d pd p d k Vh

ρ ρπ

= = =

En cambio, el número de estados [ ],p p dp+

( )3 23 4p

Vd p p dph

ρ π=

Dr. A. Ozols 39


( ) ( ) ( )33 3

14 2 2 4 2 22p

V Vd p m d m m m dh h

ρ π ε ε π ε εε

= =

( ) ( )3/ 2 3/ 233 2 32 2 2

4pV Vd p m d m d dh ερ π ε ε ε ε ρ ε

π= = =

Para una partícula libre de un gas monoatómico2

2pm

ε =

( )3/ 22 3 2

4Vd m dερ ε ε επ

=

El número de estados en intervalo de energía [ ], dε ε ε+

Dr. A. Ozols 40

GAS IDEAL GAS IDEAL –– Cálculo de la Función de ParticiónCálculo de la Función de Partición

r

NN

r

Z e βε ξ−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Volviendo al cálculo de la función de partición en el límite clásico será

La función de partición de una partícula

( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2x y z x y zr

x y z

k k k k k km m m m

r r k k k

e e e e eβ β β ββεξ

− + + − − −−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Los términos sucesivos de la suma corresponden a incrementos muy pequeños pues2k

Lπ

Δ =2 2

2 2

2 22x xk km m

x x

e ek L

β βπ− −⎡ ⎤∂⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Dr. A. Ozols 41

GAS IDEAL GAS IDEAL –– Cálculo de la Función de ParticiónCálculo de la Función de Partición

Esta condición permite reemplazar la suma por una integral

2 22 2

2 222

2 2x x

x

k kx xm m

x xk

L L me e dkβ β

ξ ππ π β

∞∞ − −

=−∞ −∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≈ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∫

( )( )

3 3/ 23/ 2

32 32 2 22 2 2 2

yx zx y z

LL L m V m V mkTh

ξ ξ ξ ξ π π ππ π π β βπ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ≈ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ss

sen N e e

βεβεα

ξ

−−−==

s ss

s s

NN n e e eβε βεα

ξ− −−= = =∑ ∑

El número de partículas a una energía El número total de partículas

Dr. A. Ozols 42

GAS IDEAL GAS IDEAL –– Distribución de BoltzmannDistribución de Boltzmann

( )2 2 2

23

1 . . . . .x y y

x y z

p p pm

x y zV p p p

N e e dx dy dz dp dp dph

βα − + +−= ∫ ∫ ∫ ∫

Aplicando la aproximación clásica se calcula el número de partículas

( )2 2 232

3 . .x y y

x y z

m v v v

x y zv v v

e VN e m dv dv dvh

βα− − + += ∫ ∫ ∫

( )2 2 23 2

3 . .x y y

x y z

m v v v

x y zv v v

NVN m e dv dv dvh

β

ξ− + +

= ∫ ∫ ∫

( )( )2 2 2

3 2

3/ 2 33

. .2

x y y

x y z

m v v v

x y zv v v

NVN m e dv dv dvV mkT hh

β

π

− + += ∫ ∫ ∫

Dr. A. Ozols 43


( ) ( )2 2 23/ 2

2 . . , , . .2

x y y

x y z x y z

m v v v

x y z x y z x y zv v v v v v

mN N e dv dv dv n v v v dv dv dvkT

β

π− + +⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 23/ 22, ,

2x y ym v v v

x y zmn v v v N ekT

β

π− + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Así es posible definir la distribución de partículas en el intervalo[ ],v v dv+

Dr. A. Ozols 44


( )2

2 2 23/ 2 3/ 222 2. . 4

2 2x y y

x y z

mvm v v v

x y zv v v v

m mN N e dv dv dv N e v dvkT kT

β β

ππ π

− + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

Otra forma de función de distribución es por intervalo del módulo de la velocidad [v, v + dv]

23/ 222( ) 4

2

mvmn v N e vkT

β

ππ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

El número de partículas de velocidad v por intervalo de velocidad dv

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