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Mecánica Teórica

Jaume Carot Jesús Ibáñez

Copyright © Jaume Carot y Jesús Ibáñez (Coord.)

Esta edición: Copyright © Editorial Reverté, S. A., 2010 Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] http//:www.reverte.com

ISBN: 978-84-291-4359-1

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Edición en papel

ISBN: 978-84-291-9321-3Edición en e-book (PDF)

Prólogo

Este libro surgió como resultado de los sendos cursos que sobre MecánicaTeórica impartíamos en nuestras respectivas Universidades y que habían gene-rado, de modo independiente, una gran cantidad de material. La reunión dedichos recursos independientes, su ordenación, ensamblaje y puesta a puntodi lugar a una primera versión. Luego de largas consideraciones, modi�cacio-nes e incorporación de materiales que no �guraban en nuestras notas originalesalumbramos el texto presente.

Este texto está dirigido a estudiantes de ciencias o ing ien ería en los cursosdel grado o en cursos de máster. Se supone un conocimiento de la Mecáni-ca a nivel de primeros cursos de grado, es decir de las leyes de la dinámica,del problema del potencial central, del problema de varios cuerpos, pequeñasoscilaciones, etc. Hemos pretendido hacer un texto conciso que sea útil paraabordar, no solo estudios más especializados en Mecánica Teórica, sino paracomprender mejor otras materias como mecánica cuántica, astronomía, robó-tica etc. Para ello, desde el principio adoptamos una notación que es más útilpara abordar otras disciplinas en las que la Mecánica Clásica aporta una seriede conceptos fundamentales.

Esta idea nos ha servido, también, para la selección de los temas. Éstosconstituyen lo que de modo genérico se considera como el corpus de la MecánicaTeórica. Hemos incorporado, sin embargo, algunos aspectos que consideramosnovedosos en un texto de estas características, como son la teoría de lagrangia-nos equivalentes, el problema del lagrangiano inverso o consideraciones sobrelas ligaduras cinemáticas arbitrarias (no necesariamente lineales en las veloci-dades); asimismo resaltamos resultados como el de la invariancia y teoremas deconservación que provienen de la teoría de grupos. Para facilitar la lectura y eldesarrollo de la teoría hemos evitado el paso natural hacia la explicación de lamisma dentro del marco de la teoría de la geometría diferencial, utilizando asíel lenguaje y recursos propios de la teoría de variedades diferenciales. Ésta esla continuación formal más natural de la Mecánica Teórica, pero consideramos

o

,

que es posible e importante tener unos fundamentos sólidos de Mecánica Teóri-ca basados en conceptos de geometría euclidiana, diferenciación e integración,lo cual constituye la base de este texto. En todo momento hemos intentado queel texto fuera autocontenido sin perjuicio de lo expuesto anteriormente sobrelos conocimientos previos que se suponen al lector.

A lo largo del texto hemos incorporado ejemplos con la idea de ilustrar lasideas desarrolladas en cada capítulo y al �nal de los mismos presentamos unalista de ejercicios. Hemos hecho el esfuerzo de seleccionar aquellos ejercicios queilustren mejor las ideas expuestas en cada capítulo y cuya solución y desarrollosean accesibles a los estudiantes.

Finalmente queremos agradecer al Departamento de Física de la Universi-tat de les Illes Balears por su hospitalidad ya que este libro ha sido el resultadode sucesivas estancias que uno de nosotros ha hecho en dicha universidad. Agra-decemos también la colaboración del Servicio Editorial de dicha universidadque ha sido de gran ayuda en la edición de este libro. Por último, agradecemosa todos los colegas que nos han expresado sus opiniones y comentarios sobreel texto.

Palma de Mallorca, 20

iv Prólogo

10

Notación y convenciones

A lo largo del texto hemos intentado utilizar en todo momento notacionesestándar, explicando en su caso aquellas que pudieran precisar de alguna acla-ración adicional. No obstante lo anterior, hemos creído conveniente recogerlasen esta sección previa, junto con algunos convenios que hemos utilizado y queresumimos a continuación.

Convenciones relativas a la numeración y al texto

Los términos que aparecen por vez primera en el texto y cuya de�nición nose da en ese punto, aparecen en itálica, mientras que cuando se de�nen aparecenen negrita; así, por ejemplo, mencionamos ligaduras ideales sin de�nirlas hastamás adelante, punto en que aparecen como ligaduras ideales.

También aparecen en itálica los resultados, ya sean enunciados como teore-mas o aquellas conclusiones interesantes a las que se llega tras algún desarrolloy que conviene resaltar de algún modo, por ejemplo:

�Resumiendo, lo expuesto hasta aquí se puede enunciar diciendo que las

trayectorias del sistema en el espacio de fases son las órbitas, parametrizadas

por t, de la familia continua de transformaciones canónicas cuyo generador

in�nitesimal es el hamiltoniano del sistema.�

Los comentarios, precisiones y desarrollos complementarios, así como lasdemostraciones de los teoremas están redactados con un tipo de letra máspequeño que el texto principal y sangrados con respecto a éste:

Las relaciones entre xk, t y xk′, t′ expresadas por las ecuaciones (1.2) son

lineales. Es interesante notar que este hecho es una consecuencia directade asumir homogeneidad en el espacio y en el tiempo (ausencia de puntosy de instantes privilegiados). Véase la demostración dada en el Apéndice1 para más detalles...


Algunos comentarios breves, o recordatorios, sobre cuestiones de notaciónse han puesto en forma de notas a pie de página.

Los ejemplos están también redactados con un tipo de letra más pequeñoy enmarcados. Vienen numerados con el número del capítulo en que se hallan,seguido de un punto y otro número que indica el orden en que aparecen:

Ejemplo 2.13. Para el sistema analizado en los Ejemplos 2.11 y 2.12, lacomponente generalizada de la fuerza es Qθ = mga sen θ, y es inmediato ver queU(θ) = mga cos θ veri�ca la ecuación (2.66) ya que se tiene

Qθ = mga sen θ =d

dt

(∂(mga cos θ)

∂θ

)− ∂(mga cos θ)

∂θ.

Los capítulos se hallan divididos en secciones y éstas en subsecciones, siendoel formato de la numeración el estándar en los libros de texto; por ejemplo:Capítulo 2: 2; Sección 3 del capítulo 2: 2.3; subsección 2 de la sección 3 delcapítulo 2: 2.3.2. Hay también algunos apéndices al �nal de algunos capítulos.

Las ecuaciones se hallan numeradas correlativamente en cada capítulo, conun número que indica el capítulo, seguido de un número que indica el ordenen que aparece dicha ecuación en el capítulo, por ejemplo: (5.48).

Notación

Hemos seguido en todo momento los convenios habituales en GeometríaDiferencial en lo que respecta a índices, sumatorios, etc., utilizando subíndicesy superíndices según el carácter tensorial (o equivalentemente, según el com-portamiento frente a cambios de coordenadas) del objeto en cuestión. Ello notiene mayores consecuencias en nuestro caso, y podríamos haber usado tan sólosubíndices o superíndices.

Así, las coordenadas llevan superíndices

x1, . . . , xn, qα, qB, etc.

al igual que las componentes de los vectores (vectores contravariantes):

A =

3∑k=1

Akek.

viii

Las derivadas parciales se indican de diversas formas:

∂f

∂xk= ∂kf = f,k = fk

y de modo natural esto lleva a notaciones del tipo:

∂Ai

∂xk≡ Bi

k,∂Ai∂xk

≡ Bik.

Algunas magnitudes, como las componentes de los momentos o de lasfuerzas generalizadas llevan los índices abajo (vectores o magnitudes covarian-tes), y entonces:

pγ ,∂Bα∂pγ

≡ F γα .

Mención especial merecen la delta de Kronecker δ y el símbolo total-mente antisimétrico ϵ, que pueden aparecer de diversos modos:

δik, δik, δik,

en cualquier caso, y como es bien conocido

δik = δik = δik =

{1 i = k0 i = k

En cuanto al símbolo totalmente antisimétrico se tiene:

ϵijk =

1 ijk permutacion par de 123−1 ijk permutacion impar de 1230 dos o más índices repetidos

Puede aparecer también con los índices en distintas posiciones: ϵijk, ϵijk,

ϵijk, etc. En cualquier caso su valor es el mismo ya que

ϵijk =3∑

m=1

δimϵmjk, etc.

A partir de un cierto punto en el capítulo 2, se ha empleado el conveniode suma de Einstein, que establece que, en una expresión dada, los índices

Notación y convenciones ix


que aparezcan repetidos, el uno como subíndice y el otro como superíndice, seconsideran sumados, esto es:

3∑m=1

δimϵmjk −→ δimϵmjk,

3∑k=1

Rikxk −→ Rikx

k, etc.

Hemos mantenido sin embargo los sumatorios a lo largo del capítulo 1y al comienzo del capítulo 2 por razones de claridad. Asimismo, si los índicessumados eran ambos subíndices o superíndices, hemos explicitado el sumatorioa �n de evitar confusiones.

x

Índice general

Prólogo


1. Algunos conceptos básicos de la mecánica clásica 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Sistemas de referencia, observadores y coordenadas . . . . . . . 3

1.2.1. Sistemas de referencia inerciales. Principio de relatividad 6

1.3. Movimiento relativo entre sistemas de referencia . . . . . . . . . 10

1.3.1. Variación en el tiempo en los sistemas S y S′ . . . . . . 12

Apéndice 1. Transformaciones entre sistemas inerciales . . . . . . . . 14

Apéndice 2: Elementos de geometría diferencial . . . . . . . . . . . . 17

Curvas y vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Derivadas direccionales y vector tangente a una curva . 19

Generalización a n dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 21

Vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas . 23

Curvas en el plano y super�cies en R3 . . . . . . . . . . . . . . 24

Vector normal a una super�cie . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Formulación lagrangiana 29

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

v

vii

ii ÍNDICE GENERAL

2.2. Desplazamiento y trabajo virtual. Fuerzas generalizadas . . . . 31

2.3. Ecuaciones del movimiento: ecuaciones deLagrange de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Ligaduras geométricas y cinemáticas. Ligaduras ideales . . . . . 37

2.4.1. Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras 41

2.4.2. Ligaduras ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Ligaduras holónomas y anholónomas . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.1. Ecuaciones de movimiento y fuerzas de ligadura . . . . . 49

2.6. Espacio de con�guración y coordenadas generalizadas . . . . . . 52

2.7. Potenciales generalizados y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7.1. Función lagrangiana y ecuaciones de Lagrange . . . . . . 61

2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3. Mecánica lagrangiana: desarrollos 67

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. Principio de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4. Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. Lagrangianos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6. Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.8. Lagrangiano de una partícula libre . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.9. Invariancia de la acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4. El sólido rígido 103

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2. El tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.1. Ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

x

ÍNDICE GENERAL ix

4.3. Los ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.1. Las matrices de transformación . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.2. Velocidades angulares en función de los ángulos de Euler 116

4.4. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5. Ecuaciones del movimiento para el sólido rígido . . . . . . . . . 119

4.6. Algunos casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6.1. Sólido rígido con un punto �jo. Ecuaciones de Euler . . 121

4.6.2. Movimiento uniplanar del sólido rígido . . . . . . . . . . 124

4.7. Rodadura sin deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5. Formulación hamiltoniana 131

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.1. Transformaciones de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3. Espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.1. Principio variacional para las ecuaciones canónicas.Principio de mínima acción . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4. Corchete de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.5. Transformaciones en el espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.6.1. Corchete de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7. Función generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.8. Clasi�cación de la función generatriz . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.8.1. Transformaciones canónicas de tipo I . . . . . . . . . . . 163

5.8.2. Transformaciones canónicas de tipo II . . . . . . . . . . 165

5.8.3. Transformaciones canónicas de tipo III y IV . . . . . . . 166

5.9. Familia continua de transformaciones canónicas . . . . . . . . . 167

5.10. Transformaciones in�nitesimales 173

ii

simetrías y leyes de conservación,

x ÍNDICE GENERAL

5.11. Invariantes integrales de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.11.1. Invariantes integrales de primer orden . . . . . . . . . . 180

5.11.2. Invariantes integrales de orden superior . . . . . . . . . 185

5.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6. Ecuación de Hamilton-Jacobi 191

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.2. Función principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.3. Propiedades de la función principal . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.4. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.5. Función característica de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.6. Variables angulares de acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.7. Potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

vi

Bibliografía 219

Índice alfabético 221

Capítulo 1

Algunos conceptos básicos de lamecánica clásica

1.1. Introducción

El propósito de este capítulo es discutir brevemente, pero con claridad,determinados conceptos de interés en Mecánica Clásica, que son previos acualquier otro desarrollo. En particular, veremos de�niciones de conceptos muyrelacionados entre sí, aunque no completamente equivalentes, como son los desistema de referencia, observador y sistema de coordenadas.

El objeto de estudio de la Mecánica Clásica es el movimiento de objetosmacroscópicos sometidos a fuerzas y en el límite no relativista, esto es: cuandolas velocidades de tales objetos es pequeña comparada con la de la luz.

Existen pruebas experimentales de que, en estas condiciones (objetos ma-croscópicos y límite no relativista), el espacio en que tiene lugar el movimientode una masa puntual, esto es: el conjunto de todos los lugares posibles quepuede ocupar una masa puntual, es homogéneo (no existen lugares �puntos�privilegiados), isótropo (no existen direcciones privilegiadas) y forma un conti-nuo tridimensional en el que es válida la geometría euclidiana. En consecuenciase pueden de�nir distancias entre puntos y ángulos entre rectas que se cortan,de modo que se veri�can las reglas de la geometría euclidiana habitual: teoremade Pitágoras, suma de los ángulos interiores de un triángulo igual a π, etc. Enlo que sigue nos referiremos a dicho conjunto de puntos (posiciones posiblesque puede ocupar una masa puntual) simplemente como espacio.

2 Conceptos básicos

Matemáticamente, esto se puede enunciar diciendo que dicho espacio es unespacio afín tridimensional de�nido sobre el espacio eucl deo R3; esdecir:

a. Un punto cualquiera x de dicho espacio (i.e.: posición posible de una masapuntual) se puede desplazar mediante un vector cualquiera v de R3 (�e-cha con punto de aplicación en x), siendo el resultado otro punto y (otraposición posible) de ese espacio (la punta de la �echa v). Habitualmenteesto se escribe como x+ v = y.

b. Para cualquier punto x se tiene x+ 0 = x, siendo 0 el vector cero de R3.

c. (x + v) + w = x + (v + w) para un punto x y dos vectores cualesquierav, w (�echas con orígenes en los puntos x y x + v respectivamente en elcaso del primer miembro, y en el punto x ambas en el caso del segundomiembro, siendo éstas paralelas y de igual longitud a las correspondientesdel primer miembro con el mismo nombre).

d. Para cualquier par de puntos x, y de este espacio, existe un único vectorde R3, v, tal que y = x+ v. Dicho vector se denota habitualmente comov = −−−→y − x (esto es: una �echa con origen en x y extremo en y). En ellenguaje propio de la mecánica sería el vector de posición del puntoy respecto al punto x.

e. La distancia entre los puntos x e y se de�ne como

d(x, y) =

√−−−−→(y − x) · −−−−→(y − x),

donde el punto · designa el producto escalar habitual en R3; esto es:v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3, siendo v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3).En lo que respecta a la realización física de este concepto de distancia(que a su vez lleva implícito el concepto de ángulo entre dos vectores através de la de�nición usual del coseno en términos del producto escalary el módulo de dichos vectores), es interesante señalar que ello implicaescoger una unidad de longitud (varilla que se pueda considerar rígida yque se toma como estándar, de extremos A y B) y a continuación ponerlasobre la recta que une los puntos x e y, con A sobre x, trasladándoladespués sobre esa recta de modo que A pase a ocupar la posición queocupaba B y así sucesivamente hasta que B coincida con y, la distanciaentre x e y es igual entonces al número de veces que se ha efectuado estaoperación.1

1Esto puede parecer elemental, sin embargo, notemos que se pueden diseñar otras formas

í

1.2 Sistemas de referencia, observadores y coordenadas 3

Notemos que al �jar un punto de este espacio afín (i.e.: escoger un origen),cualquier otro punto queda unívocamente determinado mediante el vector deposición respecto al origen escogido, y la estructura del espacio (conjunto deposiciones posibles para una partícula) pasa a ser la del espacio vectorial R3,donde los vectores de posición que identi�can todos los puntos se pueden vi-sualizar como �echas, todas ellas con punto de aplicación en el punto escogidocomo origen (y la suma de vectores se puede realizar grá�camente mediantela regla del paralelogramo, etc.). Esto es exactamente lo que se hace al de�nirsistema de referencia, como veremos en la sección siguiente, de modo que lospuntos del espacio se identi�can (se confunden) con los vectores de R3. Estoscomentarios sobre estructura afín que deviene en estructura de espacio vecto-rial una vez se escoge un origen y la consiguiente identi�cación entre puntosy vectores, se pueden extender directamente al caso de la Relatividad Espe-cial, sin más que sustituir espacio por espacio-tiempo, R3 por R4 y el productoescalar Euclidiano por el de Lorentz.

Asimismo, y siempre dentro del marco de la Mecánica Clásica, la observa-ción de diferentes procesos, tales como el cambio en el estado interno de unapartícula localizada, de�ne un continuo unidimensional que llamamos tiempoy que parece ser universal en el sentido de transcurrir uniformemente, sin verseafectado por los sucesos físicos. Así pues, el tiempo viene descrito por un es-pacio afín unidimensional, o bien, una vez se escoge un origen, por un espaciovectorial unidimensional R.

En las secciones siguientes no nos referiremos explícitamente a la estructuraafín del espacio o del tiempo en Mecánica, y utilizaremos tan sólo el lenguajepropio de la teoría de espacios vectoriales.

1.2. Sistemas de referencia, observadores y coorde-

nadas

Las de�niciones que damos a continuación son de aplicación exclusiva en elámbito de la Mecánica Clásica, y de hecho corresponden a casos particulares delos conceptos del mismo nombre considerados en marcos teóricos más generales,como por ejemplo la Teoría de la Relatividad y que incluyen a la MecánicaClásica como límite.

de `medir' la distancia, matemáticamente coherentes con la de�nición de distancia en análisismatemático, pero que sin embargo no conducen a la geometría euclidiana.


Un sistema de referencia S consta de tres elementos:

S = {o, {ei}3i=1, T},

siendo o un punto del espacio que llamaremos origen, {e1, e2, e3} es una baseortonormal2 del espacio vectorial R3 �jada en o y orientada positivamente, estoes: las �echas que representan dichos vectores tienen punto de aplicación en o,veri�can ei · ek = δik, y están orientadas de modo que e1 × e2 = e3 al aplicarla �regla del sacacorchos�; y T es un reloj.

En la identi�cación llevada a cabo entre puntos del espacio (posicionesposibles de una partícula) y vectores de R3 (vectores de posición de esos puntoscon respecto al origen escogido), al origen o le corresponde el vector 0.

Una familia de observadores vinculada al sistema de referencia S es unconjunto de partículas, situadas una en cada punto del espacio, todas ellasen reposo con respecto al origen o de S y todas ellas equipadas con un relojsincronizado con T y con una copia exacta de la base ortonormal {e1, e2, e3}de S; es decir: en cada punto hay aplicados tres vectores ei, i = 1, 2, 3 que sonen todo momento paralelos a los aplicados en o.

Obviamente, la construcción anterior es una idealización conveniente. No-temos que todas las partículas que constituyen la familia de observadores, asícomo las copias de la base ortonormal de S, están en reposo las unas respectoa las otras (las partículas permanecen a la misma distancia las unas de lasotras todo el tiempo y las copias de los vectores ei no rotan las unas respectoa las otras). A menudo, y abusando del lenguaje, nos referiremos a la familiade observadores simplemente como el observador.

Dado un sistema de referencia S, se de�nen las coordenadas cartesianasen el sistema S de un punto p del espacio como las componentes del vectorde posición r(op) respecto a la base ortonormal {e1, e2, e3}, esto es: las coorde-nadas cartesianas de p, (x(p), y(p), z(p)) (equivalentemente xk(p), k = 1, 2, 3),vienen de�nidas vía r(op) = x(p)e1 + y(p)e2 + z(p)e3.

A partir de las coordenadas cartesianas, se pueden de�nir otros sistemasde coordenadas: qj = qj(xk), con j = 1, 2, 3, donde qk(x, y, z) son funcionestales que el determinante jacobiano del cambio existe y es diferente de cero en

2Naturalmente, lo de escoger la base ortonormal es por conveniencia, en realidad se podríaescoger cualquier otra base, pero en ese caso se deberían cambiar las de�niciones habitualesde producto escalar y vectorial, coordenadas cartesianas, etc.


una determinada región del espacio, esto es:

det

(∂qj

∂xk

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂q1

∂x∂q1

∂y∂q1

∂z∂q2

∂x∂q2

∂y∂q2

∂z∂q3

∂x∂q3

∂y∂q3

∂z

∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (1.1)

La región donde el determinante anterior existe y es distinto de cero, de�nela región donde el cambio de coordenadas es válido, además, el teorema de lafunción inversa asegura que en dicha región el cambio de coordenadas es inver-tible, es decir: las coordenadas cartesianas se pueden expresar como funcionesde las coordenadas qk: xi = xi(qk), para i = 1, 2, 3.

Las coordenadas cartesianas son, de algún modo, naturales en el espacioR3, y cualquier otro conjunto de coordenadas se puede de�nir a partir de ellas.Sin embargo, es posible de�nir un conjunto de coordenadas sin necesidad dehacerlo con respecto a las cartesianas. En el Apéndice 2 veremos una de�niciónque entronca directamente con la habitual en Geometría Diferencial, donde losconjuntos de puntos sobre los que se de�nen coordenadas, son objetos llamadosVariedades, de las cuales el espacio R3 y cualquier super�cie regular son casosparticulares.

Ejemplo 1.1: Coordenadas esféricas. Son las coordenadas {r, θ, ϕ}, de�nidasdel modo habitual:

r =√x2 + y2 + z2, θ = arccos

z√x2 + y2

, ϕ = arctany

x.

El determinante jacobiano del cambio vale (r2 sen θ)−1 y por lo tanto, dicho cam-bio es válido en todos los puntos salvo en los que están sobre el eje z, es decirR3 − {(0, 0, z)}, y el cambio inverso

x = r sen θ cosϕ, y = r sen θ senϕ, z = r cos θ

existe (está bien de�nido) también en esta región.

Ejemplo 1.2: Coordenadas cilíndricas. Se designan por {ρ, ϕ, z}; y estánde�nidas como sigue:

ρ =√x2 + y2, ϕ = arctan

y

x, z = z.


En este caso, el determinante jacobiano resulta ser√x2 + y2 y se anula en todos

los puntos con x = y = 0, es decir: el eje oz. Estas coordenadas son, pues, válidasen R3 − {oz}, y el cambio inverso existe para todos los puntos tales que ρ = 0:

x = ρ cosϕ, y = ρ senϕ, z = z.

1.2.1. Sistemas de referencia inerciales. Principio de relativi-

dad

Existen diversas de�niciones de sistema de referencia inercial en el ámbitode la Mecánica Clásica, todas ellas equivalentes entre sí, aunque con nivelesdiferentes de re�namiento. A continuación damos dos de ellas.

Un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el cualse veri�ca la primera ley de Newton.

En el enunciado anterior se puede sustituir �la primera ley de Newton� por�las leyes de Newton� en su enunciado habitual.

Un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia con laspropiedades siguientes:

1. Toda partícula aislada se mueve en línea recta en ese sistema.

2. Si el tiempo se cuanti�ca de�niendo la unidad de tiempo de modo queuna partícula aislada particular se mueva a velocidad constante en esesistema, entonces cualquier otra partícula aislada se mueve a velocidadconstante en dicho sistema.

La de�nición anterior tiene implicaciones sutiles; por ejemplo: los sistemasde referencia inerciales son necesariamente locales, esto es: no todos los puntosde R3 se pueden referir al origen de tal sistema, sino tan sólo los de un entornosuyo más o menos extenso. La razón es que están de�nidos en términos departículas aisladas, por lo que no pueden ser extendidos inde�nidamente, o de locontrario cambiaría el �grado de aislamiento�. Asimismo, la idea no-relativistade simultaneidad está implícita en la segunda de las propiedades de dichade�nición. Tales consideraciones son importantes en Física y han dado lugar aideas que están en la base de teorías tales como las de la Relatividad Especial y


General; no obstante no tienen mayor trascendencia en el marco teórico estrictode la Mecánica Clásica que aquí se considera.

De la de�nición de sistema inercial se desprende automáticamente que

1. Cualquier sistema de referencia que se mueva a velocidad constante3 conrespecto a un sistema inercial, es también un sistema inercial.

2. Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes en lo querespecta a la formulación de las leyes del movimiento.

Lo anterior se conoce con el nombre de Principio de Relatividad, y fueutilizado por vez primera por Christian Huygens, quien lo adoptó como unaley básica del movimiento. Más tarde Albert Einstein lo utilizó también comouno de los dos principios básicos de la Teoría de la Relatividad Especial.

En cuanto a las observaciones y medidas realizadas en dos sistemas iner-ciales, utilizando las coordenadas cartesianas propias de cada uno de ellos ylos tiempos medidos por sus respectivos relojes, se tiene el siguiente resultadoque enlaza directamente con la Teoría de la Relatividad Especial.

Teorema 1. Sean S y S′ dos sistemas inerciales con orígenes, bases orto-

normales y tiempos o, o′, ei, ei′, t, t′ respectivamente; y sean las coordenadas

cartesianas respectivas xk = x, y, z y xk′= x′, y′, z′. Supongamos:

1. S′ se mueve respecto a S con velocidad (constante) v = ve1, con v > 0.

2. Los ejes, orígenes y orígenes de tiempos están escogidos de modo que en

t = t′ = 0 se tiene o = o′, ei∥ei′ , para todo i, i′ = 1, 2, 3 (esto es: las

bases ortonormales coinciden en t = t′ = 0 y por lo tanto sus vectores

respectivos son paralelos4 en cualquier instante posterior).

Entonces las coordenadas y tiempos xk, t y xk′, t′ para una misma partícula en

movimiento están relacionadas como

x′ = γ(x− vt), y′ = y, z′ = z, t′ = γ(t− v

c2x), (1.2)

siendo c la velocidad máxima a la que se puede mover una partícula en un

sistema inercial (i.e.: respecto del origen del sistema), y

γ =

(1− v2

c2

)− 12

. (1.3)

3La velocidad como vector es constante, es decir: no puede haber rotación de un sistemacon respecto al otro.

4Para los observadores asociados a ambos sistemas de referencia se tendrá entonces quelas copias de las bases ortonormales que hay en cada punto del espacio, coinciden.


Damos la demostración de este resultado en el Apéndice 1 al �nal delpresente capítulo, limitándonos a continuación a comentar algunos extremos ya ver sus implicaciones en el caso de la Mecánica Clásica.

Las relaciones entre xk, t y xk′, t′ expresadas por las ecuaciones (1.2) son

lineales. Es interesante notar que este hecho es una consecuencia directade asumir homogeneidad en el espacio y en el tiempo (ausencia de puntosy de instantes privilegiados). Véase la demostración dada en el Apéndice1 para más detalles.

La hipótesis 2 en el teorema anterior no supone ninguna restricción física,ya que si se asume isotropía espacial (ausencia de direcciones privilegia-das en el espacio) siempre es posible llevar a cabo una rotación de los ejesde ambos sistemas de referencia de modo que se veri�que dicha hipótesis.Si v tiene una dirección arbitraria y las bases de S y S′ están orientadasarbitrariamente la una con respecto a la otra (i.e.: están relacionadasmediante una rotación constante) en t = t′ = 0, se tiene entonces, man-teniendo o = o′ en t = t′ = 0,

r ′ = r + (γ − 1)(r · v)v2

v − γtv, t′ = γt− γ

c2(r · v). (1.4)

La primera de las ecuaciones anteriores es una ecuación vectorial, y porlo tanto válida en cualquier base en que se desee escribir. Si se deseanobtener las relaciones entre coordenadas xk

′y xk, se tiene:

r =3∑k=1

xkek, r ′ =3∑

i′=1

xi′ei′ , donde ek =

3∑i′=1

Ri′

kei′ , (1.5)

siendo Ri′

k los elementos de una matriz de rotación constante (véase másadelante) que relaciona ambas bases ortonormales (matriz de cambio debase), así se tiene que para un vector cualquiera expresado en una y otrabase A =

∑k A

kek =∑i′ A

i′ ei′ , sus componentes estarán relacionadascomo Ai

′=∑k R

i′

kAk. Sustituyendo las expresiones (1.5) en (1.4):

xi′

=

3∑k=1

Ri′

kxk + (γ − 1)

(r · v)v2

3∑k=1

Ri′

kvk − γt

3∑k=1

Ri′

kvk,

t′ = γt− γ

c2(r · v). (1.6)

donde se ha puesto v =∑3k=1 v

kek =∑3i′=1 v

i′ ei′ y entonces vi′=∑3

k=1Ri′

kvk, como se discutió en el párrafo anterior.


En el caso de la Mecánica Clásica, no existe ningún límite para la velocidada la que se puede mover una partícula en un sistema de referencia inercial, estoes: c =∞ y por consiguiente γ = 1, con lo cual:

r ′ = r − vt, t′ = t o equivalentemente

xi′

=

3∑k=1

Ri′k

(xk − vkt

), t′ = t. (1.7)

Las transformaciones anteriores se llaman transformaciones de Galileoy tienen estructura de grupo con la operación composición (grupo de Gali-leo). Se puede comprobar fácilmente que la segunda ley de Newton se expresaigual en ambos sistemas de referencia. Salvo declaración expresa en sentidocontrario, éste será el caso aquí considerado.

Si las transformaciones de Galileo se asumen como válidas se tiene quees posible sincronizar los relojes de todos los sistemas inerciales con el deuno dado. Se hace además la hipótesis de que ello es también posible paralos sistemas de referencia no inerciales. Claramente, esto equivale a asumir laexistencia de un tiempo absoluto, que de ahora en adelante se designarásimplemente como tiempo, y que vendrá medido por un cierto reloj estándar.

Como es bien sabido, sí existe un límite superior �nito para la velocidada que se puede mover una partícula en un sistema de referencia inercial; asaber, la velocidad de la luz c, en cuyo caso γ > 1 y las transformaciones(1.2) o (1.4) son las transformaciones de Lorentz, que también tienenestructura de grupo con la operación composición, el grupo de Lorentz.Dado que el rango de velocidades en que tiene lugar el movimiento delas partículas objeto de estudio de la Mecánica Clásica es tal que v ≪ c,tiene sentido tomar el límite γ = 1, obteniendo así las transformacionesde Galileo.


1.3. Movimiento relativo entre sistemas de referencia

En la sección anterior encontramos la relación entre las coordenadas car-tesianas de una partícula asociadas a dos sistemas de referencia inerciales. Elpropósito de esta sección es describir el movimiento de una partícula desde dossistemas de referencia cualesquiera (inerciales o no), encontrando la relaciónentre ambas descripciones.

Sean S y S′ dos sistemas de referencia cualesquiera que se mueven el unocon respecto al otro de modo completamente arbitrario, y sean xk y xk

′las

coordenadas cartesianas asociadas a uno y otro sistema, respectivamente. Enlo que sigue, y de acuerdo con los comentarios que hicimos al �nal de la secciónprecedente, supondremos que los relojes de ambos sistemas están sincronizadosde modo que ambos miden el mismo tiempo t.

Sistema de referencia S S′

Origen o o′

Base ortonormal {ei}3i=1 {ei′}3i′=1

De la de�nición de sistema de referencia se deduce que la base ortonormal{ei} no varía en el tiempo para el observador vinculado al sistema S y lo mismose puede decir de la base {ei′} para el observador vinculado a S′. En cambio,el observador vinculado a S sí detectará, en el caso general, una variación enel tiempo de la base {ei′} y viceversa. Para un punto cualquiera del espacio,y considerando las copias de las bases vinculadas a ambos sistemas de refe-rencia que existen en ese punto se tendrá, de acuerdo con las consideracionesanteriores:

ei′(t) = R1i′(t)e1 +R2

i′(t)e2 +R3i′(t)e3 ≡

3∑k=1

Rki′(t)ek, (1.8)

ej(t) = R1′j (t)e1′ +R2′

j (t)e2′ +R3′j (t)e3′ ≡

3∑k′=1

Rk′j (t)ek′ , (1.9)

donde la dependencia en t se encuentra tan sólo en los coe�cientes Rki′(t) yRk

′j (t), que no son sino los elementos de una matriz de rotación, puesto que,

como se deduce del álgebra elemental, un cambio de base que relaciona dosbases ortonormales en el espacio vectorial R3 y que mantiene la orientación delas bases es necesariamente una rotación. Así las matrices cuyos elementos sonRki′(t) y R

k′j (t) son inversas la una de la otra

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