Segunda edición

Matemáticas básicas con trigonometría

Matemáticas básicas con trigonometría

Segunda edición

Ismael Gutiérrez GarcíaJorge Robinson Evilla

BarranquillaColombia, 2011

Gutiérrez García, Ismael.Matemáticas básicas con trigonometría / Ismael Gutiérrez García, Jorge

Robinson Evilla. -- 2a ed. Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 2011.

xi, 212 p. : 28 cm.Incluye referencias bibliográficas (p. 209) e índiceISBN 978-958-741-181-2 (pasta blanda)

1. Matemáticas. 2. Trigonometría. I. Evilla, Jorge Robinson. II. Tít.

512.13 G984m --22 ed. (CO-BrUNB : 82185)

© 2011, Editorial Universidad del Norte© 2011, Ismael Gutiérrez García y Jorge Robinson Evilla

Coordinación editorialZoila Sotomayor O.

EditorHumberto Llinás Solano

Corrección de textosHenry Stein

Procesos técnicosMunir Kharfan de los Reyes

Diseño de portadaJoaquín Camargo Valle

Hecho en ColombiaMade in Colombia

www.uninorte.edu.coKm 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569Barranquilla (Colombia)

Autores

Ismael GutIérrez García

Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del Atlántico. Magíster en Matemáticas, convenio Universidad del Valle-Universidad del Norte. Doctor en Matemáticas (Dr. rer. nat) de la Universidad de Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania) y miembro de la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Desde 1993 es profesor de tiempo com-pleto de la Universidad del Norte y actualmente es director del grupo de investigaciones en Álgebra de esta institución.

JorGe robInson evIlla

Licenciado en Ciencias de la Educación, énfasis en Mate-máticas y Física, de la Universidad del Atlántico. Especia-lista en Matemáticas de la Universidad del Norte. Desde 1995 es profesor catedrático de la Universidad del Norte.

, Indice general

1 Los Fundamentos XIII

lo Los números reales 1 1.1. Introducción. 1 1.2. Los axiomas de cuerpo 5 1.3. Los axiomas de orden 11 1.4. El principio de buen orden. 15 1.5. N úmeros enteros y racionales 19 1.6. El axioma del extremo superior 27 1.7. El valor absoluto: propiedades. 34

2. Exponentes racionales 43 2.1. Inducción matemática 43 2.2. Exponentes enteros . 49 2.3. Exponentes racionales y raíces 59 2.4. Aplicaciones. 70

3. Relaciones y funciones reales 81 3.1. Primeras definiciones . 82 3.2. Notación funcional alternativa. 87 3.3. Funciones polinómicas 91 3.4. Operaciones entre funciones 96

4. Ecuaciones e inecuaciones 109 4.1. Los números complejos. 109 4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2 115 4.3. Teoremas del residuo y del factor 125 4.4. El teorema fundamental del álgebra 131

VII

VII' Gutiérrez-Robinson

4.5. Inecuaciones .......................... 135

II Trigonometría

5. Trigonometría plana 5.1. Preliminares .... 5.2. Fórmulas de reducción .. 5.3. Funciones t rigonométricas 5.4. Ecuaciones trigonométricas 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos. 5.6. Funciones t rigonométricas inversas

Lista de símbolos

Alfabeto griego

Respuestas a los ejercicios

Bibliografía y referencias

íNDICE GENERAL

141

143 144 151 155 164 175 184

191

193

195

205

Prólogo

En este texto, diseñado inicialmente para estudiantes de los primeros semestres de ingenierías, se destacan claramente tres ejes temáticos: los números reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable real y los primeros elementos de la trigonometría plana.

La presentación de los números reales se hace axiomáticamente. En primer lugar presentamos los axiomas de cuerpo, y con base en ellos se demuestran propiedades de tipo algebraico, como la unicidad de los módulos y la unicidad de los inversos, entre otros.

Además de los resultados matemáticos, en esta parte presentamos la demostración como herramienta principal del quehacer matemático, con el propósito que los estudiantes puedan tener una aproximación direc-ta al método de construcción matemática. Esto permite que observen la coherencia y la importancia de obtener resultados sólo a partir de axiomas y definiciones, y por otro lado que observen en la demostra-ción un ejercicio de pensamiento estrictamente necesario para un juicio matemático.

El axioma del extremo superior, además de introducir una primera noción topológica de los números reales, nos permitirá caracterizar los números naturales, los enteros, teniendo como fundamento el principio de buen orden. Haremos énfasis especial en el uso de uno de los métodos de demostración más importantes de la matemática como es el principio de inducción matemática. Con éste demostraremos las propiedades de los exponentes enteros y racionales.

El segundo tema de este libro lo constituyen las funciones reales de variable real. Sin duda, uno de los grandes temas de la matemática. Hacemos una presentación formal de éste, es decir, presentamos las fun-ciones como conjuntos de parejas ordenadas que satisfacen propiedades específicas. Posteriormente presentamos una notación alternativa de la misma, con el propósito de sentar las bases para tratamientos posteriores

IX

x Gutiérrez-Robinson

de las funciones reales de variable real en cursos de cálculo diferencial, cálculo vectorial o álgebra lineal.

En la parte correspondiente a la trigonometría se hace especial énfasis en el manejo de las funciones trigonométricas, y además de presentar la forma de determinar sus valores y sus gráficas, se exponen y demuestran sus propiedades.

Las identidades trigonométricas se estudian como un caso particular de las ecuaciones trigonométricas y se discuten las aplicaciones comunes, tales como el teorema del seno y del coseno.

Otro de los objetivos de este texto es que los estudiantes tengan la posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitual-mente incluidos en los cursos regulares de álgebra y trigonometría pero que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Además colocar las bases para un recorrido formal y claro por las principales líneas del pen-samiento matemático. Tratamos entonces de evitar presentar resultados matemáticos sueltos e incrustados de manera incoherente o superficial.

Esperamos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte de toda la comunidad educativa, que sin lugar a dudas serán de gran valor y pertinencia en este arduo trabajo que es el aprendizaje en matemáticas.

En este punto deseamos agradecer a los colegas y amigos Sebastián Castañeda, MSc., por su impulso para materializar la idea, a Carlos Vega, MSc., por la lectura cuidadosa del manuscrito y por sus valiosas sugerencias, a Ricardo Prato, MSc., por su ayuda en la edición del texto, y con igual aprecio a Guillermo Cervantes, MSc., por su apoyo desde la dirección del departamento de Matemáticas.

íNDICE GENERAL

Prólogo a la segunda edición

En la presente edición se encontrarán algunas extensiones del material inicial, concretamente en lo referente a ejercicios propuestos y temas importantes de la trigonometría como lo son las funciones trigonométri-cas inversas. Otro elemento importante que hemos incorporado es una sección con las respuestas a un gran número de ejercicios.

N uevamente agradecemos a todos los colegas del departamento de Ma-temáticas de la Universidad del Norte por el apoyo, especialmente al Dr. Jairo Hernández por sus comentarios y sugerencias acertadas.

XI

Parte I

Los Fundamentos

Capítulo 1

Los números reales

Contenido

1.1. Introducción ...... 1

1.2. Los axiomas de cuerpo 5

1.3. Los axiomas de orden . 11

1.4. El principio de buen orden. 15

1.5. Números enteros y racionales 19

1.6. El axioma del extremo superior . 27

1. 7. El valor absoluto: propiedades .. 34

En este primer capít ulo presentamos los fundamentos del curso. Para lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordena-do de los números reales, además presentaremos las consecuencias más importantes de los axiomas asumidos.

1.1. Introducción

Existen múltiples formas para int roducir el conjunto de los número reales. Una muy usual es postular la exist encia del conjunto de los núme-ros naturales N = {l , 2, 3,· .. } y construir ampliaciones sucesivas de éste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los número reales. Esta opción por lo general carece de rigurosidad .

1

2 Gutiérrez-Robinson

Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los núme-ros reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descrip-ción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multipli­cación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postula-dos, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números reales.

Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la natu-raleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con lR.) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente alge-braica del conjunto R Los axiomas de orden nos permitirán comparar dos números reales y de alguna manera estos inducen una geometría en lR.. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la existencia de un número real especial asociado a subconjuntos no vacíos de lR., que son acotados superiormente. Con éste tenemos los primeros aspectos topológicos de R

Desde la Antigüedad se encuentran múltiples ejemplos de argumen-taciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandría1 pu-blicó múltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin duda una de las grandes joyas de las matemáticas a lo largo de toda la historia. Estos están divididos en trece libros, los seis primeros están dedicados a la geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técni-cas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudox02 .

Los libros séptimo al noveno tratan sobre teoría de números, el déci-mo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir , racionales e

lEuCLIDES(330 a.c. - 275 a.C.) , matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de él, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad.

2EuDOXO DE CNIDOS (400 a.c. - 350 a.c.), astrónomo y matemático griego nacido en Cnidos, actual Turquía. Estudió matemáticas con Arquites, filosofía en la escuela de Platón en Atenas y astronomía en Heliópolis.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría 3

irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio.

Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deduci-do lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones co-munes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las paralelas. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas "no euclidianas" , en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

Isaac Newton3 con su obra más importante, Philosophiae naturalis principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teoría fun-damentada en sistemas deductivos. En ella formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza; la segunda establece que la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, indica que por cada acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario. La mayoría de estas ideas formaban parte del ambiente científico de la época; pero fue Newton quien les dio el carácter sistemáti-co de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los protagonistas principales de la llamada "Revolución científica" del siglo XVII y en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna.

3I SAAC NEWTON (1642 - 1727) , científico inglés educado en la Universidad de Cam-bridge, donde asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes y Kepler, entre otros. Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo infinitesimal, que contribuiría a una profunda renovación de las matemáticas. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres.

1.1. Introducción

4 Gutiérrez-Robinson

Otro ejemplo lo encontramos en el matemático alemán David Hilbert4 ,

quien fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque princi-pal de los problemas científicos. Teniendo como fundamento a Euclides, publicó en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, for-muló sus principios de axiomatización. En esta obra Hilbert realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático.

A partir de 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemático austria-co Kurt Gode15 , el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.

Kurt Godel, a los 24 años de edad, como estudiante de la universidad de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lógi-ca elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas y solamente las verdades de la lógica. La demostración del teorema de completitud para el cálculo de predicados trajo la falsa esperanza a los matemáticos que trabajaban en esa área de que el programa de axioma-tización de Hilbert sería viable. No obstante, un año después, en 1931, el mismo Godel publicó en la revista alemana Monatshefte für Mathematik und Physik el extremadamente difícil y brillante articulo titulado "Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwand-ter Systeme" (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines) con el cual echaría por tierra el sueño hilbertiano.

4DAVID HILBERT (1862 - 1943) Matemático alemán. Estudió en Heidelberg, Berlín y Ki:inigsberg, donde se doctoró a finales de 1884. En el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista de 23 problemas que no habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de desarrollo que iba a seguir la matemática del siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas a la resolución de dichas cuestiones.

5KuRT GOOEL (1906 - 1978) Lógico austriaco , estudió en la universidad de Viena en una época de poco esplendor cultural. Obligado por la ocupación alemana de Austria viajó a los Estados Unidos en 1940. Fue miembro del Instituto para Estudios Avanzados de Princeton.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría 5

1.2. Los axiomas de cuerpo

Dado que el primer interés es abordar el estudio de la parte algebraica de los números reales, asumimos que sobre lR están definidas dos opera-ciones binarias, denominadas suma y mult iplicación , las cuales represen-taremos con " +" y "." respectivamente. Esto es, cada par de números reales x, y t iene asociado un único número real x + y (su suma) y de igual manera otro único número real x . y (su producto). Escribiremos simplemente xy en lugar de x . y.

Antes de considerar los axiomas de cuerpo introducimos las propieda-des que satisface el símbolo de igualdad en R

11 Reflexividad. Para todo x E lR, se verifica que x = x.

12 Simetría. Para todo x, y E lR, si x = y , entonces y = x.

13 Transitividad. Para todo x, y , z E lR, si x = y y y = z, entonces x = z.

14 Monotonía. Para todo x, y, z E lR, si x = y , entonces x + z = y + z y xz = y z.

Los axiomas de cuerpo para lR son los siguientes: Para todo x, y, z E lR

Cl Asociatividad. (x + y ) + z = x + (y + z) y (x y )z = x(y z).

C2 Conmutatividad. x + y = y + x y x y = yx .

C3 Existencia de módulos. Existe un números real O (cero) y un número reall (uno) tal que para todo x E lR se verifica x + O = x y x l = x.

C4 Existencia de inversos. Para todo x E lR existe y E lR tal que x+ y = O. Se denotará este y con - x. Además para todo O i= x E lR existe z E lR tal que xz = 1. La notación usual para este z es x-1

o l . x

C5 Distributividad. x(y + z) = x y + xz .

En este punto podemos decir que el conjunto lR con las operaciones suma y mult iplicación adquiere la estructura algebraica de cuerpo (tam-bién usualmente denominada campo).

Nota. Como consecuencia de Cl podemos escribir x + y + z para denotar (x + y ) + z o x + (y + z). De manera similar , la expresión x y z denota sin lugar a confusión (x y )z o x(y z).

1.2. Los axiomas de cuerpo

6 Gutiérrez-Robinson

Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son conse-cuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad .

1.2.1 Teorema. (Propiedad cancelativa) Sean x, y E R

1. Si x + y = x + z, entonces y = z

2. Si x y = xz y x i= O, entonces y = z

DEMOSTRACIÓN:

1. Sean x, y E R Entonces

y O + y

(( - x)+x)+ y

- x+(x+ y )

2. Sean x, y E R Entonces

- x+(x+z)

(( - x)+x)+z

O+z

z

y ly (x- l x )y

x- l (xy)

x-1(xz )

(x- l x)z

l z z D

En el siguiente teorema se demuestra que los módulos para la suma y la multiplicación en lR. son únicos.

1.2.2 Teorema. (Unicidad de los módulos) Existen a lo más un módulo para la suma y un módulo para la mult iplicación en R

DEMOSTRACIÓN: La existencia de los respectivos módulos está garan-t izada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son únicos.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría 7

Supongamos que existen dos números reales, O y 0' , que satisfacen C3. Entonces para todo x E lR. se t iene que x + O = x y x + 0' = x. Por lo tanto, x + O = x + 0' . Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que O = 0' .

De manera similar se demuestra que existe un único 1 E lR. que satisface el axioma C3. D

1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo número real x admite un único inverso adit ivo - x y todo número real no nulo x admite un único inverso mult iplicativo x-l.

DEMOSTRACIÓN: Sea x E lR. Y supongamos que x t iene otro inverso adit ivo y . Esto es, existe y E lR. tal que x + y = O. Entonces x + y = O = x + (- x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = - x y se t iene la unicidad .

Denotemos con lR. x el conjunto lR. \ {O} . Sea ahora x E lR. x y supon-gamos que para x existe otro número real y tal que x y = 1. Entonces x y = 1 = xx- l . Si usamos ahora 1.2.1(2) se t iene que y = x- l . D

1.2.4 Teorema. Sean a, b E R Entonces

1. Existe un único número real x tal que a + x = b. Este número x es usualmente denotado con b - a.

2. Si a i= O, entonces existe un único número real y tal que ay = b. Este número y lo notaremos con ~.

DEMOSTRACIÓN:

1. Existencia. Dado a E lR., siempre existe su inverso adit ivo - a E R Defínase x := b + (- a). Entonces

a+x x+a

(b +(- a))+a

b +(( - a)+a)

b + O

b

U nicidad. Supongamos que existe x ' E lR. tal que a + x ' = b. Entonces a + x = a + x' y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1).

1.2. Los axiomas de cuerpo