Mediciones y unidades Fisica

HERRAMIENTAS MATEMÁTICASPARA LA FÍSICA

FÍSICA BÁSICA

UNIDAD II:

TEMA:

SISTEMA DE UNIDADES

Introducción

La medición es de vital importancia para todos nosotros.

Es una de las formas concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo. Esto es muy particularmente cierto en la física. La física se refiere a la descripción y la comprensión de la naturaleza, y la medición es una de las herramientas más importantes.

La medición es por tanto una operación clave. Por lo cual la definimos como:

“Una técnica por medio de la cual asignamos un número a una magnitud física; como resultado de comparar dicha magnitud con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad”

El sistema inglésEl sistema técnico o terrestre El sistema cegesimal (cgs)El sistema MKS (SI)

Una Magnitud es todo aquello que se puede medir.

Las magnitudes en el SI se clasifican en fundamentales y derivadas. Las fundamentales son aquellas que son independientes de cualquier otra magnitud, mientras que, las derivadas serán las que se obtienen de operar las magnitudes fundamentales.

Sistemas de Unidades

Sistemas de Unidades

Sistema Internacional

Múltiplos y Submúltiplos (SI)

Factores de ConversiónSon relaciones numéricas entre los diferentes sistemas de unidades; es decir, sirven para transformar unidades a otro sistema distinto al original.

Factores de Conversión

Ejemplos

Entre los diferentes sistemas de unidades se han establecido una serie de fórmulas, deducidas experimentalmente y definidas por convenio, que relacionan las unidades fundamentales y derivadas mediante vínculos entre magnitudes.

Estas relaciones a las que se denominan ecuaciones dimensionales, se expresan por medio de su dimensión y no en unidades.

Dichas dimensiones se representan con letras mayúsculas. Mediante el análisis dimensional se puede probar si una fórmula es correcta (homogénea) dimensionalmente, se puede probar equivalencias dimensionalmente iguales, se puede dar unidades o dimensión a la respuesta de un problema.

Análisis Dimensional

Análisis DimensionalRecomendaciones básicas en el análisis dimensional: La suma o resta de las mismas unidades origina la misma unidad, es decir:

T +T –T + T = T-ML-1 + ML-1 = ML-1

Cualquiera que sea el coeficiente numérico, se reemplazan por 1:

2 M + 8 M = M+ 23,4 L = 1 + L = L

Se escriben en forma de entero, es decir:

Se escriben siempre entre corchetes y significa “ecuación dimensional de”. Por ejemplo: si “x” expresa longitud, entonces: x = L

La dimensión de un ángulo o de una función trigonométrica es un número, el cual es la unidad, es decir:

30º = tan 82º = cos 10º + sen 28º = 1

Las dimensiones de las magnitudes deben seguir el orden establecido en la siguiente ecuación:

Análisis Dimensional

Ejemplos

PROBLEMAS RESUELTOS DE ANÁLISIS DIMENSIONAL

Ejemplo 2.1. ¿Cuáles son las dimensiones de 𝑘1,𝑘2,𝑘3,𝑘4 en la relación dada por 𝑠= 𝑘1𝑡+𝑘2𝑡2 + 𝑘3𝑠+𝑘4? Donde 𝑠 representa a la longitud y 𝑡 representa al tiempo

Solución: Cada término de la suma debe tener la dimensión de una longitud, porque la ecuación debe ser homogénea.

𝐿= 𝑘1𝑇+ 𝑘2𝑇2 +𝑘3𝐿+𝑘4

𝐿= ቀ𝐿𝑇ቁ𝑇+ቀ

𝐿𝑇2ቁ𝑇2 +ሺ1ሻ𝐿+ሺ𝐿ሻ Por tanto:

𝑘1 = 𝐿𝑇 = 𝐿𝑇−1 Dimensión de una velocidad

𝑘2 = 𝐿𝑇2 = 𝐿𝑇−2 Dimensión de una aceleración

𝑘3 = 1 No tiene dimensión

𝑘4 = 𝐿 Dimensión de una longitud


Ejemplo 2.3. La potencia de una hélice impulsora de un barco es: 𝑃 = 𝐾𝑤𝑥𝑟𝑦𝜌𝑧;

siendo: 𝜔 la velocidad angular, 𝑟 el radio de la hélice y 𝜌 la densidad del agua de

mar. Hallar los valores de 𝑥,𝑦,𝑧. Solución: Calculamos en primer lugar las ecuaciones dimensionales de cada

uno de los elementos de la ecuación:

Potencia: [𝑃] = [𝐿2𝑀𝑇−3] (trabajo / tiempo)

Constante 𝐾: ሾ𝐾ሿ= [1] Velocidad angular: ሾ𝑤ሿ= [𝑇−1] (ángulo / tiempo)

Radio: ሾ𝑟ሿ= [𝐿] Densidad: ሾሿ= [𝐿−3𝑀] (masa / volumen)

Sustituyendo estos valores en la ecuación propuesta:

ሾ𝐿2𝑀𝑇−3ሿ= ሾ1ሿ[𝑇−1]𝑥[𝐿]𝑦[𝐿−3𝑀]𝑧

Osea, ሾ𝐿2𝑀𝑇−3ሿ= ሾ𝐿𝑦−3𝑧𝑀𝑧𝑇−𝑥ሿ De donde se tiene que: 𝑥 = 3,𝑦 = 5 y 𝑧 = 1

Ejercicio 2.8. Diga si las siguientes ecuaciones son o no homogéneas:

a) 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑥 b) 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + 12𝑎𝑡2 c) 𝑃 = 𝐹𝑣4

Donde: 𝑣0 es la rapidez inicial; 𝑣 la rapidez final; 𝑥 el espacio recorrido; 𝑎 la

aceleración; 𝑃 la potencia; 𝐹 la fuerza y 𝑡 el tiempo.

Solución:

a) [𝐿𝑇−1]2 = [𝐿𝑇−1]2 +[𝐿𝑇−2][𝐿] [𝑳𝑻−𝟏]𝟐 = [𝑳𝑻−𝟏]𝟐; si es

homogénea

b) ሾ𝐿ሿ= ሾ𝐿ሿ+ሾ𝐿𝑇−1ሿሾ𝑇ሿ+ሾ𝐿𝑇−2ሿ[𝑇2] ሾ𝑳ሿ= ሾ𝑳ሿ; si es homogénea

c) ሾ𝐿2𝑀𝑇−3ሿ= ሾ𝐿𝑀𝑇−2ሿ[𝐿𝑇−1] ሾ𝑳𝟐𝑴𝑻−𝟑ሿ= ሾ𝑳𝟐𝑴𝑻−𝟑ሿ; si es

homogénea


Ejemplo 2.6. Reducir a) 42 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 · ℎ−1 a 𝑐𝑚 · 𝑠−1 y b) 22 𝑙𝑏· 𝑝𝑖𝑒· 𝑚𝑖𝑛−2 a 𝑁

Solución: a) 42 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎ℎ = 42 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎ℎ × 1 609 𝑚1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 × 1 ℎ3 600 𝑠 × 100 𝑐𝑚1 𝑚 = 𝟏𝟖𝟕𝟕.𝟏𝟕 𝒄𝒎· 𝒔−𝟏

b) 22 𝑙𝑏·𝑝𝑖𝑒𝑚𝑖𝑛 2 = 22 𝑙𝑏·𝑝𝑖𝑒𝑚𝑖𝑛 2 × 1 𝑘𝑔2.205 𝑙𝑏 × 1 𝑚3.281 𝑝𝑖𝑒𝑠 × 1 𝑚𝑖𝑛 23 600 𝑠2 = 𝟎.𝟖𝟒 ×𝟏𝟎−𝟑𝑵

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Ejemplo 2.7. Cuál es la densidad 𝜌 en el SI de un cilindro hueco cuyo diámetro

exterior 𝐷 es de 4.0× 10−4 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎, diámetro interior 𝑑 de 2.0× 10−4 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 y tiene

una altura de 3.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, si la masa 𝑚 es de 8𝑙𝑏.

Solución: Sabemos que la densidad se define por 𝜌= 𝑚𝑉 , donde: 𝑉=𝜋4ሺ𝐷2 − 𝑑2ሻℎ

Entonces: 𝜌= 4𝑚𝜋ሺ𝐷2−𝑑2ሻℎ

Transformamos todos los datos a unidades SI:

𝑚= 8 𝑙𝑏× 453.5924 𝑔1 𝑙𝑏 × 1 𝑘𝑔1000 𝑔 = 3.63 𝑘𝑔

𝐷= 4.0 × 10−4 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 × 1609 𝑚1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 = 0.64 𝑚

𝑑= 2.0× 10−4 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 × 1609 𝑚1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 = 0.32 𝑚

ℎ= 3.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠× 2.54×10−2𝑚1 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎 = 0.089 𝑚

Reemplazando todos estos valores en la ecuación anterior se

obtiene:

𝜌= 4𝑚𝜋ሺ𝐷2−𝑑2ሻℎ = 4(3.63 𝑘𝑔)𝜋ሾሺ0.64 𝑚ሻ2−ሺ0.32 𝑚ሻ2ሿ(0.089 𝑚) =𝟏𝟔𝟗.𝟎𝟓 𝒌𝒈𝒎𝟑


Ejercicio 2.1. Convertir: a) 7.3 × 10−12𝑎ñ𝑜 𝑙𝑢𝑧 a 𝑝𝑖𝑒𝑠

b) 6.4 × 1010 𝑔 a 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠

Solución:

a) 7.3 × 10−12𝑎ñ𝑜 𝑙𝑢𝑧× 9.469× 1015 𝑚1 𝑎ñ𝑜 𝑙𝑢𝑧 × 3.281 𝑝𝑖𝑒𝑠1 𝑚 = 𝟐𝟐𝟔.𝟕𝟗× 𝟏𝟎𝟑 𝒑𝒊𝒆𝒔

b) 6.4 × 1010 𝑔× 1 𝑘𝑔1000 𝑔 × 1 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎1000 𝑘𝑔 = 𝟔𝟒.𝟎× 𝟏𝟎𝟑 𝒕𝒐𝒏𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂𝒔

Ejercicio 2.2. Transformar: a) 1 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 a 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 y b) 1 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 a 𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜𝑠

Solución:

a) 1 𝑁= 1 𝑁× 1 𝑘𝑔𝑚𝑠21 𝑁 × 1000 𝑔1 𝑘𝑔 × 100 𝑐𝑚1 𝑚 = 100000 𝑔𝑐𝑚𝑠2 = 𝟏𝟎𝟓 𝒅𝒊𝒏𝒂𝒔

b) 1 𝐽= 1 𝐽× 1 𝑘𝑔𝑚2𝑠21 𝐽 × 1000 𝑔1 𝑘𝑔 × ሺ100 𝑐𝑚ሻ21 𝑚2 = 10000000 𝑔𝑐𝑚2𝑠2 =𝟏𝟎𝟕 𝒆𝒓𝒈𝒊𝒐𝒔


Ejercicio 2.8. Diga si las siguientes ecuaciones son o no homogéneas:

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