MEDIDAS DE CENTRALIZACION - unac.edu.pe · 6 6 b) ¿Cuál fue el ingreso medio diario de un...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Capítulo 3:

MEDIDAS DECENTRALIZACION

INTRODUCCIÓN

Ante la necesidad en las empresas, negocios, investigaciones, etc. deconocer los instrumentos necesarios para que puedan saber a través de los

promedios sobre la economía de su empresa, sobre las investigacionessobre bacterias, muertes por año, se ha elaborado este capítulo a fin de

resolver sus inquietudes

121


33..11 MMEEDDIIDDAASS DDEE TTEENNDDEENNCCIIAA CCEENNTTRRAALL,, MMEEDDIIDDAASS DDEECCEENNTTRRAALLIIZZAACCIIOONN OO PPRROOMMEEDDIIOOSS

Es el típico representativo de un conjunto de datos y como tales datos tienden aconcentrarse alrededor de su valor central reciben el nombre de medidas decentralización o medidas de tendencias central. Los principales promedios son:

Los promedios pueden aplicarse o datos simples y datos agrupados.

Media aritmética (X)

Media geométrica (G)

Media armónica (H)

Media Cuadrática (RMS)

Mediana (Md)

Moda (Mo)

Los Cuartiles (Q1, Q2…)

Deciles (D1, D2)

Percentiles (Pi, P2)

Medias Principales (1,5,6)

Medias Secundarias ( 2,3,4,7,8,9 )

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3.1.1 DATOS SIMPLES:

Son aquellos que no han sido considerados en un cuadro de distribución de frecuencias.

3.1.2 DATOS AGRUPADOS PONDERADOS O CLASIFICADOS:

Son aquellos a los cuales se les aplicado los reglas para construir cuadro de distribuciónde frecuencia y se encuentran considerados en las clases de una distribución

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122






123


33..22 MMEEDDIIAA AARRIITTMMÉÉTTIICCAALa media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, familiar a todosnosotros y de mayor uso, también es fácil de calcular, ya sea de datos no tabulados(datos simples) como de datos tabulados (datos agrupados).

33..22 MMEEDDIIAA AARRIITTMMÉÉTTIICCAA SSIIMMPPLLEE

La media aritmética es el valor obtenido sumando todas las observaciones y dividiendoel total por el número de observaciones que hay en el grupo.

La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuentatodos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.

En la media aritmética simple cada una de los datos como un punto media o marca declase.

Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula

Donde:

x = media aritmética

Yi = Representa los valores de la variable o valores a promediar

= Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria

N = Es el número total de casos o número de valores a promediarse.

X= YiN

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Ejemplo:

a) En un examen con propósito de promoción se han obtenido las siguientescalificaciones 84, 91, 72, 68, 87, 78. Calcular la media aritmética simple:

Xi = 84+91+72+68+87+78 = 480

N = 6

X = 84 + 91 + 72 + 68 +87 +78 = 480 = 80.6 6

b) ¿Cuál fue el ingreso medio diario de un comerciante durante la última semana?

DIA DE LA SEMANA INGRESO DIARIO (Q)

Lunes 75

Martes 225

Miércoles 175

Jueves 300

Viernes 180

Sábado 400

TOTAL 1355

125


Xi = 75+225+175+300+180+400 = 1355

N = 6

APLICANDO LA FORMULA:

X = 1355 X = 225.836

INTERPRETACION:

Es como si el comerciante hubiera vendido diariamente, de lunes a sábado Q.225.83.

X = Yi

N

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c) ¿Cuál fue la producción media diaria de una fábrica? si en la última semanaprodujo:

Xi = 100+150+125+110+90+115 = 690

N = 6

APLICANDO LA FORMULA

X= 690 X= 115

6

INTERPRETACION:

Si la fábrica trabajara a igual ritmo todos los días de la semana, produciría 115 unidadesdiarias.

DIA DE LA SEMANA INGRESO DIARIO (Q)

Lunes 100

Martes 150

Miércoles 125

Jueves 110

Viernes 90

Sábado 115

TOTAL 690

X = Yi

N

127


33..22..22 MMEEDDIIAA AARRIITTMMÉÉTTIICCAA PPOONNDDEERRAADDAA

Es cuando se asigna ciertos coeficientes significación, pero importancia, etc. a los datosde una determinada actividad.

Ejercicio clásico de ponderación son los llamados coeficientes que se le asigna a ciertosexámenes.

Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

Donde:

x = media aritmética

= Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria

yi = Representa los valores de la variable o valores a promediar

ni = Frecuencia

N = Es el número total de casos o número de valores a promediarse.

5

X = ni yiN

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3.2.2.1 INCONVENIENTES DE SU USO:

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso ensituaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila enfunción de la cantidad y amplitud de los intervalos que seconsideren.

Es una medida a cuyo significado afectasobremanera la dispersión, de modo que cuanto menoshomogéneos sean los datos, menos informaciónproporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintasen su composición pueden tener la misma media.4 Porejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores deigual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estaturamedia de 1,95 m, valor que representa fielmente a estapoblación homogénea. Sin embargo, un equipo dejugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m,1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también,como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m,valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

En el cálculo de la media no todos los valorescontribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen máspeso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio deun empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto pesocomo el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se vemuy afectada por valores extremos.

No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos declase abiertos.

La estatura media como resumende una población homogénea(abajo) o heterogénea (arriba).

128









128









129


Ejemplo:

En una empresa hay 5 trabajadores que ganan Q.200; 4 que ganan Q.250; 8 que gananQ.175 y 3 que ganan Q.300. ¿Cuál es el promedio de salarios de la empresa?

APLICANDO LA FORMULA:

X = (5x200)+(4x250)+(8x175)+(3x300)20

X= 430020

X = 215

RESPUESTA: El promedio de salarios de la empresa es de Q.215.

SALARIOYi

NUMERO DE TRABAJADORESni

TOTALni Yi

200 5 1000250 4 1000175 8 1400300 3 900

ni Yi = 4300

X = ni Yi

N

130


33..22..22..22 MMEEDDIIAA AARRIITTMMEETTIICCAA DDEE DDIISSTTRRIIBBUUCCIIOONN DDEE FFRREECCUUEENNCCIIAASS DDEEVVAALLOORREESS AAGGRRUUPPAADDOOSS EENN IINNTTEERRVVAALLOOSS DDEE AAMMPPLLIITTUUDD CCOONNSSTTAANNTTEE OO

VVAARRIIAABBLLEE..

Para calcular la media aritmética de valores que están agrupados en intervalos deamplitud constante o variable, es necesario antes calcular la marca de clase o puntomedio de cada intervalo y multiplicarla por la frecuencia respectiva. La fórmula a aplicares la misma que uso en el cálculo anterior, teniendo presente que Xi representa lamarca de clase.

Ejemplo:

Calcular la media aritmética de los siguientes valores agrupados en intervalos deamplitud constante.

Intervalos f Marca de claseXi f.Xi

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

4

7

9

10

5

(10+19)/2 = 14.5

(20+29)/2 = 24.5

(30+39)/2 = 43.5

(40+49)/2 = 44.5

(50+59)/2 = 54.5

4x14.5 = 58.0

7x24.5 = 171.5

9x34.5 = 310.5

10x44.5 = 445.0

5x54.5 = 272.5

N = 35 f.Xi = 1257.5

OBSERVACION:

Las dos primeras columnas corresponden a los datos, las otras columnas soncalculadas.

131


PROCEDIMIENTO:

Primero calculamos las marcas de clase o puntos medios. Para eso sumamos los dosintervalos y al resultado le sacamos mitad.

Multiplicamos las frecuencias absolutas por las marcas de clase y obtenemos así, lacolumna f.Xi.

Sumamos la columna de frecuencias por puntos medios. Esta suma da como resultado:1257.5.

Calculamos la media aritmética por medio de la fórmula correspondiente:

x = (f.Xi)

N

SUSTITUYENDO VALORES EN LA FORMULA:

x = 1257.5

35

EFECTUANDO LA DIVISION

x = 35.928

APROXIMANDO EL RESULTADO A DOS DECIMALES:

_

X = 35.93 Media Aritmética

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EJERCICIOS DE MEDIA ARITMETICA

1.- Determinar el promedio de un alumno de medicina cuyas notas y coeficientes se dancontinuación:

Notas Yi Coeficiente ni ni.Yi

Promedio Anual 14 01 14

Examen Escrito 12 02 24

Examen Oral 08 03 24

N=6 niYi = 62

X = ni.Yi = 62 = 10.33

N 6

X = ni Yi

N

133


2.-Calcular la estatura media de 100 alumnos de la universidad, distribuidos en lasiguiente tabla de frecuencia.

L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni.Yi

1.495 - 1.545 1.50 - 1.54 1.52 5 7.6

1.545 - 1.595 1.55 - 1.59 1.57 12 18.84

1.595 - 1.645 1.60 - 1.64 1.62 40 64.8

1.645 - 1.695 1.65 - 1.69 1.67 26 43.42

1.695 - 1.745 1.70 - 1.74 1.72 11 18.92

1.745 - 1.795 1.75 - 1.79 1.77 6 10.62

N = 100 ni.Yi =164.2

X = ni.Yi = 164.2 = 1.642

N 100

X = ni Yi

N

134


3.-Calcular la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencias quenos indica los titulares de la libreta de una caja de ahorro con relación a la edad y sussueldos.

L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi Ni ni.Yi

45 – 55 45.5 – 54.5 50 4 200

55 – 65 55.5 – 64.5 60 12 720

65 – 75 65.5 – 74.5 70 20 1400

75 – 85 75.5 – 84.5 80 10 800

85 – 95 85.5 – 94.5 90 4 360

N = 50 ni.Yi =3480

_

X = ni.Yi = 3480 = 69.6

N 50

X = ni Yi

N

135


4.- Calcular la media aritmética de los siguientes cuadros de distribución de frecuencia.


0.0005 – 0.0025 0.0010 – 0.0020 0.0015 30 0.045

0.0025 – 0.0045 0.0030 – 0.0040 0.0035 50 0.175

0.0045 – 0.0065 0.0050 – 0.0060 0.0055 40 0.22

0.0065 – 0.0085 0.0070 – 0.0080 0.0075 20 0.15

0.0085 – 0.0105 0.0090 – 0.0100 0.0095 60 0.57

0.0105 - 0.0125 0.0110 – 0.0120 0.0115 10 0.115

0.0125 – 0.0145 0.0130 – 0.0140 0.0135 50 0.675

N = 260 ni.Yi = 3480X = ni Yi

N

X = ni.Yi = 1.95 = 0.0075

N 260

136


5.- Hallar la media aritmética Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia

L1 _L2 Yi Ni ni.Yi

0 – 10 5 12792 63960

10 – 20 15 11346 170190

20 – 30 25 17941 448525

30 – 40 35 19313 675955

40 – 50 45 18000 810000

50 – 60 55 15181 834955

N = 94573 niYi = 3003585

X = ni Yi

N

X = ni.Yi = 3003585 = 31.75943451

N 94573

137


6.- La media aritmética de 13 números es 10 y la media aritmética de otros 42 númeroses 16 hallar la media aritmética de los 55 números tomados conjuntamente.

YiNi Ni.Yi

10 13 130

16 42 672

N = 55 ni.Yi=802

X = ni.Yi = 802 = 14.58181818

N 55

X = ni Yi

N

138


7.- Hallar la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencia.


68 – 72 68.5 – 71.5 70 4 280

72 – 76 72.5 – 75.5 74 9 666

76 – 80 76.5 – 79.5 78 16 1248

80 – 84 80.5 – 83.5 82 28 2296

84 – 88 84.5 – 91.5 86 45 3870

88 – 92 88.5 – 91.5 90 66 5940

92 – 96 92.5 – 95.5 94 85 7990

96 – 100 96.5 – 99.5 98 72 7056

100 – 104 100.5 – 103.5 102 54 5508

104 – 108 104.5 – 107.5 106 38 4028

108 – 112 108.5 – 111.5 110 27 2970

112 – 116 112.5 – 115.5 114 18 2052

116 – 120 116.5 – 119.5 118 11 1298

120 – 124 120.5 – 123.5 122 5 610

124 –128 124.5 – 127.5 126 2 252

N = 480 ni.Yi = 46064

139


8.- Los sueldos de cuatro empleados son: 500, 600, 650, 3000 nuevos soles.

a) Hallar la media aritmética de los sueldos.b) Se podría decir que este promedio es representativo de los sueldos ?

SOLUCIÓN

a)

b) La media de 1187.50 no es representativa de los sueldos. El dar este promedio sinmayor comentario conduciría a un error.

“La gran desventaja de la media aritmética es que es fuertemente afectada por losvalores extremos, razón por la cual no debe aplicarse para promedios, sueldos ósalarios.

X = ni Yi

N

X = ni.Yi = 46064 = 95.96666

N 480

X = Yi = 500+600+650+3000 = 4750 = 1187.50

N 4 4

X = Yi

N

140


9.- En una población los precios a que se vende el vino en 5 establecimientos son 8,9.5, 10, 11, 11.5 nuevos soles, las cantidades que se venden de los mismos son: 1500,2000, 1000, 500, 400 litros respectivamente.

Determinar la media aritmética simple y ponderada e indique cual es el verdaderopromedio.

a) Simple

b) Ponderada

_

X = Yi = 8+9.5+10+11+11.5 = 50 = 10

N 5 5

X = Yi

N

X = ni Yi

N

141


Yi Ni Ni.Yi

8 1500 12000

9.5 2000 19000

10 1000 10000

11 500 5500

11.5 400 4600

ni YI =51100N= 54000

X = ni.Yi = 51100 = 9.462962963

N 5400

142


10.- Calcular la frecuencia de la tercera y quinta clase de la siguiente distribución se lamedia aritmética es = 66.3.


59.5 – 62.5 60 - 62 61 5 305

62.5 – 65.5 63 – 65 64 7 448

65.5 – 68.5 66 – 68 67 X 67x

68.5 – 71.5 69 – 71 70 6 420

71.5 – 74.5 72 – 74 73 Y 73y

N = 30 ni.Yi =

143


_

X = 1173 + 67x + 73y 30 = 5 + 7 + x + 6 + y

30 30-18 = x + y

12 = x + y

66.3 * 30 = 1173 + 67x + 73y x = 12 - y

1989-1173 = 67x + 73y x = 12 - 2

816 = 67 ( 12 – y ) + 73y

816 = 804 - 67y + 73y x = 10

816 - 804 = - 67y + 73y

12 = 6y

2 = y

X = ni Yi

N

144


3.3 PROPIEDAD PRINCIPAL DE LA MEDIA ARITMETICA

La suma algebraica de todos los desvíos de un conjunto de datos con respecto a su mediaaritmética es igual á cero (0).

Ejercicio:

1.- Determinar la suma algebraica de los desvios de los números 3, 6, 9, 10, 12 con respecto asu media aritmética.

Yid = Yi –X

3 3 – 8 = -5

6 6 – 8 = -2 –7

9 9 – 8 = 1

10 10 – 8 = 2

12 12 – 8 = 4 +7

Yi = 40 (Yi-X) = -7 + 7 = 0

X = Yi = 3+6+9+10+12 = 40 = 8

N 5 5

145


33..44 MMEEDDIIAASS SSEECCUUNNDDAARRIIAASS

La media aritmética, la mediana y la moda son consideradas como Las medidas deposición más importantes debido a su utilidad, sencillez y aplicabilidad. Sin embargo,hay circunstancias en que se pueden ser útiles otras de Las medidas de tendenciacentral como la media geométrica, la media armónica, la media cuadratica y los cuartiles(cuartiles, diciles y percentiles)

145




145




146


33..55 LLAA MMEEDDIIAA GGEEOOMMEETTRRIICCAA (( GG ))

Se define la media geométrica como la raíz enésima del producto de "n" términos y seusa generalmente para:

a) Promediar razones.b) Tazas de cambio.c) Progresiones geométricas equilibrándolas.d) Promediar promedios de ventase) Tasa de crecimiento de las poblaciones (esperanza de vida de los pobladores y susproyecciones)f) Cultivo de bacterias ( número de colonias )

Se determina mediante la aplicación de las siguientes formulas:

1.- DATOS SIMPLES (FÓRMULA GENERAL):

G = n Yi1 * Yi2 * … * YiN

2.- POR LOGARITMOS:

G = Antilog Log Yi

N

147


3.- DATOS AGRUPADOS (FÓRMULA GENERAL)

G = n Yi1ni * Yi2ni * … * YiNni

4.- POR LOGARITMOS :

G = Antilog ni LogYi

N

148


Ejercicios:

1.- Calcular la media geométrica y aritmética de los números 2, 4 y 8 y establecer larelación entre los promedios.

X = Yi = 2 + 4 + 8 = 14 = 4.667

N 3 3

3 3

G = N Yi1* Yi2 * Yi3 = 2 * 4 * 8 = 64 = 4

G = Antilog ni log Yi = 1.80617998 = Antilog 0.302059993 = 4

N 3

Log 2 = 0301029995

Log 4 = 0.302059991

Log 8 = 0.903089987 X > G

4.667 > 4

149


2.- Calcular la media geométrica de -2 y +8

3.- Calcular la media geométrica de los números 7, 8, 9, 10 y 0

CONCLUSIONES :

1. Para cualquier seriede terminos que no sean iguales, la media geométrica essiempre menor que la media aritmética por ser esta ultima fuertemente afectada por losvalores extremos.

2. Cuando uno de los valores es negativo la media geométrica es imposible de calcular.

3. Cuando uno de los valores es igual a "0" la media geométrica tambien es igual a "0"y por lo tanto inadecuada.

Ejercicio:

1.- Calcular la media geométrica de los números 11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,26 ,29 ,332.-

8 8

G = 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 26 * 29 * 33 = 2.6433318 * 1010

G = 20.08024282

N

G = Yi1* Yi2 * Yi3 = -2 * 8 = -16 = 4 i

5 5

G = 7 * 8 * 9 * 10 * 0 = 0 = 0

150


2.- Calcular la media geométrica del siguiente cuadro de distribución de frecuencia que nos

indica el número de pacientes del servicio de obstetricia mediante la aplicación de la aplicación

de la formula general y logaritmo.

L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni Yi Log Yi Ni log Yi

45 –55 45.5 – 54.5 50 4 200 1.698970004 6.795880017

55 – 65 55.5 – 64.5 60 12 720 1.77815125 21.337815

65 – 75 65.5 – 74.5 70 20 1400 1.84509804 36.9019608

75 – 85 75.5 – 84.5 80 10 800 1.903089987 19.03089987

85 – 95 85.5 – 94.5 90 4 360 1.954242509 7.816970038

N = 50

ni.Yi =

3480 ni logYi =91.88352573

151


3. Calcular G por la fórmula general y por logarítmica de la siguiente distribución de

frecuencias

_ _

X = ni Yi = 3480 = 69.6 Siempre X > G

N 50

a) Fórmula General b) Por logaritmos

N ni ni ni G = Antilog ni log Yi

G = Yi1 * Yi2 * Yi3 N

G = Antilog 91.88352573

50

50

G = 50 4 * 60 12 * 70 20 * 80 10 * 904 G = Antilog 1.837670515

G = 68.81300359 G = 68.81300359

152


4. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias:

Y´ I - 1 - Y´ Í Y Í N í Log Y Í NiLogY I

200 - 224

225 - 249

250 - 274

275 - 299

300 - 324

325 - 349

350 - 374

212

237

262

287

312

337

362

26

21

39

52

30

24

14

2.326335861

2.374748346

2.418301291

2.457881897

2.494154594

2.527629901

2.558708571

60.48473238

49.86971527

94.31375036

127.8098586

74.82463782

60.66311762

35.82191999

N =

206

niLogYi =

503.787732

G = Antilog niLogYi = Antilog 503.787732

N 206

G = Antilog (2.445571514) = 278.979

153


5. Calcular G del siguiente cuadro de distribución de frecuencia haciendo uso de:

Fórmula general:

L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni Log Yi

1,495 - 1,545 1,50 - 1,54 1,52 5 0,181843587

154,5 - 1,595 1,55 - 1,59 1,57 12 1,145899652

1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 1,62 40 0,209515014

1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 1,67 26 0,222716471

1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 1,72 11 0,235528446

1,745 - 1,795 1,75 - 1,79 1,77 6 0,247973266

N=100 LogYi=1,24347644

G =6 152 157 1 62 1 67 1 72 1 77. . . . . .x x x x x

G =6 19 65515348.

G = 1.642779999

154


6. Calcular la media geométrica de las estaturas de 100 alumno de la Universidaddistribuidos de acuerdo a la siguiente tabla mediante :

a. La fórmula generalb. Mediante Logaritmos

Y´ I - 1 - Y´ Í Y Í N í Log Y Í niLogY I

1.50 - 1.54

1.55 - 1.59

1.60 - 1.64

1.65 - 1.69

1.70 - 1.74

1.75 - 1.79

1.52

1.57

1.62

1.67

1.72

1.77

5

12

40

26

11

6

0.181843587

0.195899652

0.209515014

0.222716471

0.235528446

0.247973266

0.909217939

0.2350795829

0.8380600582

0.579062825

0.2590812916

0.1487839598

N =

50

niLogYi =

21.50989511

G = 100 1.525 * 1.5712 * 1.6240 * 1.6726 * 1.7211 * 1.776

G = Anti log niLogYi = 21.50989511

N 100

G = Anti log (0.2150989511) = 1.640963613

155


7. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias :

Y´ I - 1 - Y´ Í Y Í N í Log Y Í niLogY I

200 - 224

225 - 249

250 - 274

275 - 299

300 - 324

325 - 349

350 - 374

212

237

262

287

312

337

362

26

21

39

52

30

24

14

2.326335861

2.374748346

2.418301291

2.457881897

2.494154594

2.527629901

2.558708571

60.48473238

49.86971527

94.31375036

127.8098586

74.82463782

60.66311762

35.82191999

N =

216

niLogYi =

631.5975907

G = Anti log niLogYi = Anti log 503.787732

N 216

G = Anti log (2.332350611) = 214.9565144

156


33..55..11 TTAASSAASS DDEE CCRREECCIIMMIIEENNTTOO DDEE LLAASS PPOOBBLLAACCIIOONNEESS

Una de las aplicaciones de la estadística es para determinar la tasa decrecimiento de las poblaciones.

Todos los países que desean proyectarse hacia el futuro tienen quetrazarse planes de desarrol lo y en el caso del Perú, este estudio eselaborado por el Insti tuto Nacional de Estadística e Informática (INEI) conel auspicio del Fondo de Población de las Naciones Unidas y el CentroLatinoamericano de Demografía.

El censo de 1993 nos señalo las siguientes proyecciones de la poblacióndel Perú entre 1995 y 2025.

1. Uno de los principales factores que explicó la disminución de la tasa decrecimiento poblacional en el Perú de 2.9% en el quinquenio de 1960-1965ha disminuido a 1.7% en el quinquenio de 1990-1995, se debe aldecremento de la tasa de fecundidad.

Si entre 1960 y 1965, una mujer peruana tenía un promedio de 6.9 hi jos enel quinquenio de 1990-1995 es de 3.4 hi jos en promedio, estimándose quepara el año 2025 el número promedio de hi jos al término de un períodoreproductivo será de 2.1 por mujer. Según el estudio del número promediode hi jos por mujer genera una reducción de la tasa de natal idad con unaclara tendencia decreciente.

157


2. En el período l960-l965 la tasa era de 46.3 nacimientos por cada milhabitantes, mientras que en el quinquenio de l990-l995 la proporción erade 27.6 por cada mil. Para el año 2005 se proyecta un crecimiento de l6.2nacimientos por cada mil pobladores.El INEI informó que en los últ imos 10 años se ha reducido de 82 a 56defunciones por cada mil nacidos vivos proyectándose para el 2025 en 45las defunciones de menores de un año.

3. La esperanza de vida al nacer también ha variado. La poblaciónperuana a aumentado de 44 años en el quinquenio de l940-l945 a 67 añosen el periodo de l990-l995.

4. Se estima que el periodo de vida de los será de 75 años. Estadisminución en las tasas de mortal idad infanti l y el aumento de laesperanza de vida se ha manifestado pr incipalmente en el área urbana.

5. En el año 2025 más de la mitad de la población tendrá 32 años en lospróximos 30 años la estructura por edades de la población cambiarásignif icativamente.

6. La edad mediana de la población que en 1965 era de 18 años en 1995alcanza los 21.6 años y en 2025 será de 31.7 años como resultado de losdescensos del ri tmo de fecundidad y mortal idad.

7. Al analizar la estructura de la población por grandes grupos de edades,se señaló que en el período 1995-2025 la proporción de la poblaciónmenor de 5 años disminuirá del 12% al 8%.

8. La población en edad de trabajar de (15 a 64 años) aumentará de 60%al 68% y el porcentaje de la población mayor de 65 años se incrementarádel 4% al 9% de la población total.

9. En términos absolutos, la población menor de 15 años se mantiene entorno a los 8.4 mil lones con tendencias a decrecer, también las personasde 65 años ó más se tripl icará para pasar de 1 a 3 mil lones.

158


10. La población de 15 a 64 años se incremento en 10 millones al pasar de14 a 24 mil lones en el período de 1995-2025.

11. En el 2025 habrá 9.39 mil lones de alumnos de nivel primaria con unincremento de 11000 alumnos promedio por año entre el período de 2005a 2025.

12. Al 2015 los requerimientos de maestros para atender los servicios deenseñanza en nivel primaria será 168 mil.

13. La población de adultos mayores de 60 años crece anualmente 2.5%,mientras que la población de 0 a 60 años se incrementó en 1.7%. EnAmérica Latina al comenzar el próximo siglo los mayores de 60 añossuperarán el 10% poblacional.

14. En América Latina ya existen países en los que hay más del 10% demayores de 60 años, ejemplo: Chile, Cuba, Argentina, Uruguay. En el Perúde acuerdo a las cifras del últ imo censo la población mayor de 60 añoscorresponde al 6.4% sobre un total de 23´854,017. La proyección demayores de 60 años en el Perú para el 2000 es de 6.97%. Lo que setraduce 1´833,000 de una población total de 26´275,504 habitantes.

159


FÓRMULA PARA CALCULAR LA TASA DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES:

A = POBLACIÓN DEL ÚLTIMO CENSO

B = POBLACIÓN DEL CENSO TOMADO COMO BASE

N = DIFERENCIA EN AÑOS ENTRE UNO Y OTRO CENSO

G = TASA DE CRECIMIENTO

G = - 100 %B

An

160


Ejercicio:

Considerando los resultados de los censo de población y vivienda realizados en Perúdeterminar:

a. La tasa de crecimiento entre censo y censob. La población del Perú para los años 2000, 2010, 2020, 2030, 2040, 2050.c. En qué año se duplicará la población de 1997

Año de censo Tiempo ti/x Población/yi

1940 0 7023,1

1961 21 10420,4

1972 32 14121,6

1981 41 17762,2

1993 53 22639,4

%100B

AG n

161


a)

N = 1961 - 1940 = 21

A = 10,420.4

B = 7.023.1

21 10420

7 0231. - 100% = 1.018966222 - 100%

101.8966222% - 100% = 1.8966222%

G = 1.8966222%

b)

N = 1972 - 1961 = 11

A = 14.121.6

B = 10.420.4

G =11 12121 6

10420 4

.

. - 100% = 1.028016194 - 100%

G = 102.8016194% - 100%

G = 2.8016194%

162


c)

N = 1981 - 1972 = 9

A = 17762.2

B = 14121.6

G =17762 2

141216

.

.- 100% = 1025812754 - 100%

G = 102.58812754 - 100%

G = 25812754%

d. N = 1993 - 1981 = 12A = 22639.4

B = 17762.2

G =2.17762

4.22639- 100% = 1020424036 - 100

G = 1020424036% - 100%

G = 20424036%

Tomado cinco años base la población del año 2000

Datos:

N =2000-1993=7 Elevando ambos miembros a la séptima potencia

A2000 = X200

B1993 = 22’639.4

Tasa de crecimiento (g1) = 1.020424036

163


FORMULA PARA DETERMINAR LAS PROYECCIONES DE POBLACION

La fórmula para determinar las proyecciones de la población a futuro es la misma de la

tasa de crecimiento sin considerar el 100 %.

Nota: Dado que en el Perú no hay una política de censos, la tasa de crecimiento a

futuro es la que se obtuvo en el último censo.

Cuando hay igual amplitud entre uno y otro censo, la tasa de crecimiento a futuro es el

promedio.

Del ejercicio anterior

b) N = 2000 – 1993 = 7

A2000 = ?

B1993 = 22’639.4

G = 1.020424036

G = N AB

164


Población para el 2000

71.02042403581 = __A___

22’639.4

1.152032565 = __A___

22’639.4

A = 1.152032565 * 22’639.4

A = 26081.32605

A = 26’08132.06


101.02042403581 = __A___

26’08132.06

1.224071521 = __A___

26’081.32606

A = 1.224071521 * 26’081.32606

A = 31925.40847

A = 31’925408.47


101.02042403581 = __A___

31’925.40847

1.224071521 = __A___

31’925.40847

A = 1.224071521 * 31’925.40847

A = 39078.98332

A = 39’078983.32


101.02042403581 = __A___

39078.98332

1.224071521 = __A___

39078.98332

A = 1.224071521 * 39078.98332

A = 47835.47057

A = 47’835470.57

165


C). Cuando de duplicara y triplicara:


101.02042403581 = A

47835.47057

1.224071521 = A 47835.47057

A = 1.224071521 * 47835.47057

A = 58554.03724

A = 58’554037.24


101.02042403581 = A

58554.03724

1.224071521 = A 58554.03724

A = 1.224071521 * 58554.03724

A = 71674.32945

A = 71’674329.45

Se duplicará :

N1.02042403581 = 2 ( 26081.32606 ) N = 0.301029995

26081.32606 0.008780679

1.02042403581 = N

2 = 2 1/N N = 34.28322364

Aplicando logaritmos :

Log 1.02042403581 = 1 Log2

N Se duplicará el 2000 + 34.28 =2034

N = Log 2

Log 1.02042403581

166


Se triplicará :

1.02042403581 = 3 ( 26081.32606 ) N = 0.477121254

26081.32606 0.008780679

1.02042403581 = N

3 = 3 1/N N = 54.33762636

Aplicando logaritmos :

Log 1.02042403581 = 1 Log3

N Se triplicará el 2000 + 54.34 =2054

N = Log 3

Log 1.02042403581

167


DATOS AGRUPADOS

H = . N .

niYi

33..66 MMEEDDIIAA AARRMMOONNIICCAA ((HH))

Se define la media armónica como la recíproca de la media aritmética de los recíprocos

de los números y se caracteriza por la menor afectada por los valores extremos, razón

por la cual se le utiliza para:

◊ Promediar tasa de productividad

◊ Promediar velocidad

◊ Promediar valores que no deben su afectos por los valores extremos

◊ En relaciones industriales para pagar en forma justa de acuerdo al rendimiento a

los obreros y empleados.

Se determina mediante la aplicación de:

DATOS SIMPLES

H = . N .

1Yi

168


Ejercicios:

1.- Al calcular la media armónica de los números 2, 4, 8

H = . N . = 3 = 3 = 24 = 3.248571429

1 1 + 1 + 1 4+2+1 7Yi 2 4 8 8

H = 3.248571429

DATOS SIMPLES

H = . N .

1Yi

169


2.- Calcular la media armónica del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni/Yi

1.495 - 1.545 1.50 - 1.54 1.52 5 3.289473684

1.545 - 1.595 1.55 - 1.59 1.57 12 7.643312102

1.595 - 1.645 1.60 - 1.64 1.62 40 24.69135802

1.645 - 1.695 1.65 - 1.69 1.67 26 15.56886228

1.695 - 1.745 1.70 - 1.74 1.72 11 6.395348837

1.745 - 1.795 1.75 - 1.79 1.77 6 3.389830508

N = 100 ni/Yi =

60.97818543

H =. N . = 100 = 1.639930720

ni 60.97818543Yi

170


3.6.1 TASA DE PRODUCTIVIDAD

Una de las aplicaciones de la media armónica es para promediar tasas de productividad

de obreros y empleados debido a que no es influenciada por los valores externos como

sucede con otros promedios, razón por la cual debe ser utilizada en todo tipo de

empresas para pagar en forma justa y de acuerdo a su rendimiento.

Ejercicios:

1.- Un laboratorio de productos farmacéuticos ha asignado a que un grupo de 4

trabajadores para completar una orden de 700 artículos de un mismo tipo. Las tasas de

productividad de cada uno de los trabajadores están dadas a continuación.

Trabajadores Tasa de productividad

H

I

J

K

4 mint. por art.

6 mint. por art.

10 mint. por art.

15 mint. por art.

171


Determinar :

a) El promedio de minutos por producto para el grupo de trabajadores.

b) En qué tiempo estará listo el pedido

c) Qué cantidad de productos se entregara a cada trabajador

d) Si por cada producto que entrega el trabajador recibe s/.0.50 ¿ Cuanto tendrá que

abonarse a cada uno de los trabajadores y cuanto tendrá que abonar la empresa por

derecho de mano de obra?

Solución :

a)

b)

4 = 4 = 240 = 48 = 6.857142857

1 + 1 + 1 + 1 15 +10 + 16 + 4 35 7

4 6 10 15 60

48 __ 1 X = 700 * 48 Estará listo en 4800 minutos

7 7 lo que equivale a 80 horas.

X __ 700 X = 4 800

172


c)

d)

e)

Si demora 4800 minutos, cada uno tendrá 1200 minutos

H _ 1200 / 4 300

I _ 1200 / 6 200

J _ 1200 / 10 120

K _ 1200 / 15 80

700

H _ 300 * 0.50 150

I _ 200 * 0.50 100

J _ 120 * 0.50 60

K _ 80 * 0.50 40

350

7000 * 6 6/7 700 * 48 = 4800

7

4800 = 1200 = 20 horas

1er _ 8

2do _ 8 equivale a 2 días y medio

3er _ 4

20

173


DATOSAGRUPADOS

RMS = ni.Yi2

N

33..77 MMEEDDIIAA CCUUAADDRRAATTIICCAA ((RR..MM..SS))

Se define la media R.M.S como la raíz cuadrada del cuadrado de la media y que se le

utiliza para la determinación de:

1. Investigaciones de laboratorio

2. Aplicaciones físicas y químicas

3. Para la determinación de la desviación estándar se determina mediante la aplicación

de las siguientes fórmulas:

DATOS SIMPLES

RMS = Yi2

N

174


Ejercicios

1.- Calcular la media cuadrática de los números 2, 4, y 8.

2.- Calcular la RMS del siguiente cuadro de distribución de frecuencia.

L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni Yi2 ni Yi2

45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 2500 10000

55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 3600 43200

65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 4900 98000

75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 6400 64000

85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8100 32400

N = 50 ni.Yi2 = 247 600

RMS = 22 + 42 + 82 = 4 + 16 + 64 = 84 = 5.29150262

3 3 3

175


Solucion:

RELACIÓN DE PROMEDIOS

En un conjunto de números positivos se pueden establecer la siguiente relación entre

los promedios:

RMS = ni.Yi2 = 247600 = 4952 = 70.37044834

N 50

R.M.S > X > G > H

176


Ejercicios:

1.- Calcular la relación de los promedios de los números 2, 4, y 8.

RMS > X > G > H

5.29 > 4.67 > 4 > 3.43

_

X = Yi = 14 = 4.6

N 3

G = log N = 1.806179974 = Antilog.0.602059624 = 4

N 3

RMS = Yi2 = 5.291502622

N

H = N = 3 = 3 __ = 3 * 8 = 24 = 3.428571429 1 1 + 1 + 1 4 + 2 + 1 7 7Yi 2 4 8 8

RMS > X > G > H

5.29 > 4.67 > 4 > 3.43

177


33..88 LLAA MMEEDDIIAANNAA ((MMdd))

Es el valor que impide a una distribución de modo tal que a cada lado de ella queda unnúmero igual de términos.

CÁLCULO DE LOS MD PARA DATOS SIMPLES:

La medida de un conjunto de datos ordenados según su magnitud es el valor central enel caso de un número impar de datos o la media aritmética de los dos valores centralesen el caso de un número par de datos.

Ejemplos :

a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 b) 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10

Md = 5 Md = 1 (5 + 7)2

Md = 6

178


CALCULO DE LA MD PARA DATOS AGRUPADOS PONDERADOS OCLASIFICADOS

Se determina por interpelación mediante la aplicación de los siguientes fórmulas:

Donde :

L1 = Limite real inferior de la clase mediana.

N2 = Mitad del total de frecuencias absolutas.

( Ni)1 = Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.

ni Md = Frecuencia de la clase mediana

"i" ó "c" = Amplitud de clase.

N - ( Ni)1Md = L1 + 2 i

niMd

179


NOTA:

La formula de la mediana a diferencia de otros promedios necesita deun proceso previo para determinar en qué clase está contenida lamediana.

El proceso consiste en:

1. Construir la columna de frecuencias acumuladas Ni.2. Determinar el valor N/2 y buscar en cual de las frecuencias acumuladas menoresestá contenido, esto nos indicará cual es la clase que contiene a la mediana.3. Determinar los datos y aplicar la formula.

Ejercicios:

1.- Determinar la mediana del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi ni Ni

45 - 55 50 4 4

55 - 65 60 12 16

65 - 75Clase Mediana 70 20 36

75 - 85 80 10 46

85 - 95 90 4 50

N = 50

180


Proceso :

1.- Determinar los datos.

Proceso

1) Ni2) N/2 = 50 = 25

2

Un número en Ni que sea el menor que contenga a 25, en este caso es el 36 por lo tantotodo esa recta es la clase MD

Datos:

L1 = 65

N/2 = 25

(ni)1 = 16 un número anterior a la clase mediano

Nimd = 20

i ó c = 10

L1 = 65

N = 50 =25

2 2

(Ni)1 = 16

ni Md = 20

"i" = 10

Md = 65 + 25-6 10

20

Md = 65 + 90

20

Md = 65 + 4.5

Md = 69.5

181


Ejercicio:

Calcular la mediana de los siguientes cuadros de la distribución de frecuencia:

L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni Ni

1,495 - 1,545 1,50 - 1,54 5 5

1,545 - 1,595 1,55 - 1,59 12 17

1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 40 57

1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 26 83

1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 11 94

1,745 - 1,795 1,75 - 1,70 6 100

100

182


DATOS:

L1 = 1.595

N/2 = 50

(ni) = 17

Nimd = 40

i = 0.05

Md = 1.595 + (50-17) = 0.05

40

Md = 1.595 + 1.65

40

Md = 1.595 + 0.04125

Md = 1.636625

L

Nn i

m i m d1 2 1

( )

/

183


33..99 LLAA MMOODDAA

En términos psicológicos la moda es aquello de mayor aceptaciónpopular. En estadística la moda conocida también como modo o mediamodal es el valor que se repite con mayor frecuencia, lo que equivaldría adecir que es el término, número o valor que está de moda.

3.9.1 CALCULO DE LA MODA PARA DATOS SIMPLES

Puede o no tener moda o no ser única.

a) 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 10 No existe

b) 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9 Unimodal Mo = 5

c) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 Bimodal Mo = 3 y 6

d) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 9 , 9 , 9 Multimodal Mo = 3 , 6 y 9

184


3.9.2 CCAALLCCUULLOO DDEE LL AA MMOODDAA PPAARR AA DD AATTOOSS AAGGRRUUPPAADDOOSS:

Se determina por interpolación mediante la aplicación de la siguiente fórmula :

DONDE :

l1 = lImite real inferior de la clase modal

d1 = Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la

clase contigua anterior.

d2 = Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la

clase contigua posterior ó superior.

"i" = Amplitud de clase

NOTA:

La clase modal es aquella que tiene la mayor frecuencia de clase.

Mo = L1 + d1 i

d1 +d2

185


Ejercicios:

1.- Calcular la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi Ni

45 - 55 50 4

55 - 65 60 12

65 - 75 Clase modal 70 20

75 - 85 80 10

85 - 95 90 4

Datos :

L1 = 65

d1 = 20 - 12 = 8

d2 = 20 - 10 = 10

"i" = 10

d1d1

d2

185


Ejercicios:



45 - 55 50 4

55 - 65 60 12


75 - 85 80 10

85 - 95 90 4

Datos :

L1 = 65

d1 = 20 - 12 = 8

d2 = 20 - 10 = 10

"i" = 10

d1d1

d2

185


Ejercicios:



45 - 55 50 4

55 - 65 60 12


75 - 85 80 10

85 - 95 90 4

Datos :

L1 = 65

d1 = 20 - 12 = 8

d2 = 20 - 10 = 10

"i" = 10

d1d1

d2

186


Mo = 65 + 8 10

8 + 10

Mo = 65 + 80

18

Mo = 65 + 4.44

Mo = 69.44

Reemplazando :

Ejercicio:

Determinar la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencia:

L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni

1,495 - 1,545 1,50 - 1,54 1,52 5

1,545 - 1,595 1,55 - 1,59 1,57 12

1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 1,62 40

1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 1,67 26

1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 1,72 11

1,745 - 1,795 1,75 - 1,70 1,77 6

N= 100

187


Datos:

L1 = 1.595

d1 = 28

d2 = 14

i ó c = 0.05

Mo = 1.595 + 28 x 0.05/42

Mo =

Mo = 1.6283333333

1595 28

28 140 05

. ( ).

187


Datos:

L1 = 1.595

d1 = 28

d2 = 14

i ó c = 0.05

Mo = 1.595 + 28 x 0.05/42

Mo =

Mo = 1.6283333333

1595 28

28 140 05

. ( ).

187


Datos:

L1 = 1.595

d1 = 28

d2 = 14

i ó c = 0.05

Mo = 1.595 + 28 x 0.05/42

Mo =

Mo = 1.6283333333

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