MEKANIKA EORIKOA - ikasmaterialak.ehu.eus · laugarren ikasturtean, «Mekanika Teorikoa» ikasten...

MEKANIKA TEORIKOA

Juan M. AguirregabiriaFisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila

etaEuskara Institutua

Universidad

eman ta zabal zazu

Euskal Herrikodel País Vasco Unibertsitatea

ii

Mekanika Teorikoa

Juan M. Aguirregabiria

Euskal Herriko UnibertsitateaZientzia eta Teknologia FakultateaFisika Teorikoa eta Zientziaren Historia SailaP. K. 644, 48080 Bilbo

Telefonoa: +34 946015915Faxa: +34 946015399Posta elektronikoa: [email protected] orria: http://tp.lc.ehu.es/jma.html

Copyright c© 2007, Juan M. AguirregabiriaAll rights reserved

Osorik edo zatiz, eskuz, makinaz zein informatikaz kopiatzea, jabearenidatzizko baimenik gabe, debekaturik dago.

2007KO ARGITARALDIA : 2007KO IRAILAREN 21A

2008KO ARGITARALDIA : 2008KO MAIATZAREN 27A

Egileak berak konposatu du testu hau LATEX 2ε formatuan eta marraztuditu irudiak,Dynamics Solver programaren bidez.

ISBN 978-84-691-3630-0

Azalean:Okinaren transformazioa.Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/kaosa/Duffing_okina.html.

Aurreko orrialdean :Moore-ren orbita periodikoa. Orbita egonkor berean higitzen dira hiru gorputz berdin, elkarrekintza gra-bitatorioaren ondorioz:http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/moore.ds.

mailto:[email protected]

http://tp.lc.ehu.es/jma.html

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/kaosa/Duffing_okina.html

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/moore.ds

HITZAURREA

Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturarenlaugarren ikasturtean, «Mekanika Teorikoa» ikasten ari direnentzat idatzi da testu hau.

Gaur egun fisikaren ikerketa-lerro nagusitik at badago ere,ez da interes gabekoa mekanikaanalitikoa.

• Hasteko, fisikaren historian izan duen garrantzia aipatu behar da, eta ez bakarrik fisika kla-sikoaren historian: adibidez, Böhr eta Sommerfelden teoria kuantikoaren (eta kuantizazioerdiklasikoaren) oinarrian daude ekintza-aldagaiak eta oso ezaguna da Hamilton eta Jaco-biren ekuazioaren eragina Schrödingerren formulazioan.

• Ikuspuntu matematikotik oso dotorea da: XIX. mendeko fisikamatematikoaren gailurra(eta XX. mendeko geometria sinplektikoaren hasiera).

• Hemen ikusiko ditugun kontzeptu batzuk (aldakuntza-printzipioak, simetrien eta kontser-bazio-legeen arteko erlazioa eta perturbazio-metodoak, esaterako), behar den moduan ego-kitu ondoren, garrantzi handikoak dira fisika modernoan.

• Oraindik ere mekanika analitikoaren teknika batzuk (batezere, perturbazio-teoria kanoni-koa) behar-beharrezkoak dira astronomian eta zientziarenbeste atal batzuetan (hala nolaazeleragailuetako partikula-sorten egonkortasunaren azterketan).

• Hiru gorputzen problema klasikoarekin hasi zen kaos deterministaren historia eta alor ho-rretan orain egiten den ikerkuntzan oinarrizkoak dira ikasgai honetako kontzeptu batzuk(sistema dinamiko ez-integragarriak, adibidez).

Zuzenketak eta bestelako material osagarria hurrengo orrian aurki daitezke:http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa.html

Nire esker beroenak Jesús Ibañez irakasle eskuzabalari, bere ikasmateriala emateagatik.

Leioa, 2006–2007 eta 2007–2008 ikasturteak

iii

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa.html

iv HITZAURREA

AURKIBIDE OROKORRA

HITZAURREA iii

IRUDIEN ZERRENDA ix

TAULEN ZERRENDA xi

1 Formalismo lagrangearra 11.1 Loturak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Lotura holonomoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1.2 Lotura ez-holonomoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.3 Desplazamendu birtualak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41.1.4 Dinamikaren ekuazio orokorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

1.2 Koordenatu orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61.2.1 Energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2.2 Indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.3 Bigarren motako Lagrangeren ekuazioak . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 91.4 Indar kontserbatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12

1.4.1 Potentzial orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121.5 Lehen motako Lagrangeren ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 13

1.5.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan . . . . . . . . . .. . . . . . 141.6 Indar ez-kontserbatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

1.6.1 Rayleighen iraungipen-funtzioa . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 161.7 Puntu-transformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

1.7.1 Puntu-transformazioekiko aldaezintasuna . . . . . . . .. . . . . . . . 191.8 Gaugealdaezintasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.9 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2 Aldakuntza-printzipioak 232.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 242.2 Loturadun muturrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

2.2.1 Lagrangeren biderkatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 262.3 Funtzionalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.4 Ekintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282.5 Muturreko kurbak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.6 Hamiltonen printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

2.6.1 Ekintza minimoaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 312.7 Loturadun muturrekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32

v

vi AURKIBIDE OROKORRA

2.7.1 Lagrangeren biderkatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 322.7.2 Geodesikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.8 Lotura-indarrak eta Lagrangeren biderkatzaileak . . . .. . . . . . . . . . . . . 342.8.1 Lotura-indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 352.8.2 Estatika analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

2.9 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3 Simetriak eta kontserbazio-legeak 413.1 Momentu kanoniko konjugatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42

3.1.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . 423.2 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

3.2.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa . . . . . . . . . . . . . .. . . . 433.2.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobiren integrala . . . . . 44

3.3 Transformazio-taldeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 443.3.1 Transformazio infinitesimalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45

3.4 Noetherren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463.4.1 Simetria-transformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 463.4.2 Simetria orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

3.5 Partikula-sistemen kontserbazio-legeak . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 483.5.1 Energia mekanikoaren kontserbazioa . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 483.5.2 Momentu linealaren kontserbazioa . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 483.5.3 Momentu angeluarraren kontserbazioa . . . . . . . . . . . . .. . . . . 483.5.4 Masa-zentroaren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49

3.6 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

4 Formalismo hamiltondarra 554.1 Legendreren transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 56

4.1.1 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564.2 Hamiltonen ekuazio kanonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 574.3 Fase-espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

4.3.1 Notazio laburtua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.3.2 Sistema dinamiko hamiltondarrak . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 59

4.4 Aldagai dinamikoak fase-espazioan . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 604.4.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . 604.4.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa . . . . . .. . . . . . . . . . 61

4.5 Poissonen makoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .614.5.1 Eboluzio-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .624.5.2 Higidura-konstanteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

4.6 Liouvilleren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 634.7 Hamiltonen printzipio aldatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 644.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

5 Transformazio kanonikoak 715.1 Transformazio kanonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 725.2 Poissonen makoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .735.3 Lagrangeren parentesiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 765.4 Funtzio sortzailea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 77

AURKIBIDE OROKORRA vii

5.4.1 Hamiltondar berria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .795.5 Transformazio kanonikoen motak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

5.5.1 Lehen motako transformazio kanonikoak . . . . . . . . . . . .. . . . . 805.5.2 Bigarren, hirugarren eta laugarren motako transformazio kanonikoak . . 82

5.6 Transformazio kanoniko infinitesimalak . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 835.6.1 Liouvilleren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .855.6.2 Simetriak eta kontserbazio-legeak . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 85

5.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

6 Hamilton eta Jacobiren ekuazioa 896.1 Hamiltonen funtzio nagusia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 90

6.1.1 Soluzio osoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .916.1.2 Ekintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

6.2 Hamiltonen funtzio karakteristikoa . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 936.3 Aldagaien banantzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 94

6.3.1 Koordenatu ziklikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .946.3.2 Hamiltondar banangarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

6.4 Higidura kuasi-periodikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 976.5 Angelu- eta ekintza-aldagaiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1006.6 Keplerren problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1026.7 Hamiltondar osoki integragarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 104

6.7.1 Hamiltondar ez-integragarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1056.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

7 Perturbazio-teoria 1117.1 Perturbazio erregularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1127.2 Poincaré eta Lindstedt-en metodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1127.3 Perturbazio-teoria kanonikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 114

7.3.1 Dimentsio bakarreko sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1157.3.2 Osziladore kuasi-harmonikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1177.3.3 n dimentsioko sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

7.4 Teorema adiabatikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1187.5 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

ERANSKINAK 123

A Osagarri matematikoak 125A.1 Koordenatu-sistema erabilienak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 125

A.1.1 Koordenatu cartesiarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 125A.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 126A.1.3 Koordenatu polar esferikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 127A.1.4 Koordenatu parabolikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128A.1.5 Koordenatu eliptikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128

A.2 Forma diferentzialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129A.2.1 Forma zehatzak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129A.2.2 Forma itxiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130A.2.3 Poincaréren lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

viii AURKIBIDE OROKORRA

A.3 Emaitza erabilgarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 130A.3.1 Teorema bat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131A.3.2 Integral pare bat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

B Problema batzuen soluzioak 133

BIBLIOGRAFIA 139

AURKIBIDE ALFABETIKOA 143

IZENDEGIA 149

HIZTEGIA 151

IRUDIEN ZERRENDA

1.1 Joseph-Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11.2 Pendulu matematikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21.3 Desplazamendu erreala eta birtuala. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4

2.1 Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.2 f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 242.3 Maximoanf(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak horizontalak dira. .. . . 252.4 Ekintza kalkulatzeko bi bide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 282.5 Funtzionalaren bi integrazio-biden = 1 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .292.6 Hagatxoaren oreka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

3.1 Emmy Amalie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.1 Sir William Rowan Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 554.2 Pendulu matematikoaren fase-espazioa. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 584.3 Fase-espazioko eremu baten eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 64

5.1 Siméon Denis Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71

6.1 Carl Gustav Jacob Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 896.2 (Qi, Pi) bikote normalaren eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .976.3 Penduluaren fase-espazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 986.4 (6.55) hamiltondarraren fase-orbita bat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 996.5 Hénon eta Heilesen hamiltondarraren hiru toru. . . . . . . .. . . . . . . . . . 996.6 Hénon eta Heilesen sistemaren Poincaréren sekzioak. . .. . . . . . . . . . . . 106

7.1 Jules Henri Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1117.2 Osziladore kuasi-harmonikoaren soluzioa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1147.3 Osziladore harmonikoaren eboluzio adiabatikoa. . . . . .. . . . . . . . . . . . 119

A.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 125A.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 126A.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 127

ix

x IRUDIEN ZERRENDA

TAULEN ZERRENDA

A.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 125A.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 126A.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 127

xi

xii TAULEN ZERRENDA

1. GAIA

Formalismo lagrangearra

1.1 IRUDIA Joseph-Louis Lagrange (1736, Turin – 1813, Paris). 1788an argitaratu zuenMé-canique Analytiqueliburua.

1

2 1 Formalismo lagrangearra

Mekanika Klasikoatestuliburuan ikusi genuen lehenengoz Lagrangeren formalismoa. Hemenmodu sistematiko sakonagoan aztertuko dugu, hurrengo gaietarako bidea prestatzeko.

1.1 Loturak

Hasteko, sistema mekanikoa definitu behar da, bete behar diren baldintzen bidez.

1.1.1 Lotura holonomoak

Eman dezagun sistema mekaniko batenN partikula puntualen posizio-bektoreakrk (k =1, 2, . . . , N) direla, une batean, erreferentzia-sistema inertzial batean. Partikulen higidurak betebehar duen

f (t, r1, r2, . . . , rN) = 0 (1.1)

egiturako baldintza bati,lotura holonomoa, finitua edogeometrikoadeitzen zaio. Lotura-ekua-zioan denbora ez bada esplizituki agertzen,

∂f

∂t= 0 ⇐⇒ f (r1, r2, . . . , rN) = 0, (1.2)

loturaeskleronomoaedoegonkorra dela esango dugu. Bestela, loturaerreonomoaedohigiko-rra da. Partikula batf(r) ekuazioak emandako gainazalean higitu beharra da lotura holonomoegonkorren adibide ezagunena.

1.2 IRUDIA Pendulu matematikoa.

Adibide moduan,1.2irudia pendulu matematikoaren kasuan bi lotura holonomo eskleronomoditugu:

z = 0, (1.3)

x2 + y2 − l2 = 0, (1.4)

edota

r · k = 0, (1.5)

|r| − l = 0. (1.6)

Penduluaren luzera, konstantea izan beharrean,l(t) legeezagunbaten arabera aldatzen bada,lotura holonomo higikor bat bete behar du sistemak.

1.1 Loturak 3

1.1.2 Lotura ez-holonomoak

Denborarekiko deribatua kalkulatuz, (1.1) loturaren forma diferentziala lortzen dugu:

df

dt=∂f

∂t+

N∑

k=1

∂f

∂rk· rk = 0. (1.7)

Hemen, gradientearen orokorpena den ondoko notazio laburtu erabilgarriaz baliatu gara:

∂

∂u≡ ∇u ≡ ∂

∂ux

i +∂

∂uy

j +∂

∂uz

k. (1.8)

Jakina,∂/∂r gradientea nabla eragilea da. (1.7) ekuazioan, beraz, hauxe dugu:

∂f

∂rk≡ ∂f

∂xki +

∂f

∂ykj +

∂f

∂zkk. (1.9)

dt diferentzialarekin biderkatuz, (1.7) forma diferentzial baten moduan idazten da:

Adt+

N∑

k=1

Bk · drk = 0. (1.10)

Ageri denez, honako definizio hauek erabili ditugu:

A ≡ ∂f

∂t, Bk ≡ ∂f

∂rk. (1.11)

(1.10) egiturako baldintza batlotura diferentziala edozinematikoa deitzen da. (1.11) bal-dintzak betetzen baditu,f funtzio egoki batekin (ikusA.2.3 ataleko Poincaréren lema), loturaintegragarria dela esaten da eta hautazkoC parametro konstantearen funtzioan adierazitako lo-tura holonomoen familia baten baliokidea da:

f (t, r1, r2, . . . , rN) − C = 0. (1.12)

1.1 ARIKETA Adibide moduan kontsidera dezagunOXY planoan higitzen diren bi partikula.Bien artekoL distantzia konstantea da eta masa-zentroaren abiadura posizio erlatiboarekiko paraleloa(irristailu batean bezala). Hortaz, honela idazten dira lotura-ekuazioak:

z1 = 0, (1.13)

z2 = 0, (1.14)

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 − L2 = 0, (1.15)

x1 + x2

x2 − x1

− y1 + y2

y2 − y1

= 0. (1.16)

Froga ezazu (1.16) ez dela integragarria eta, ondorioz, sistema ez dela holonomoa.

Bestalde, orain arte aztertutako lotura guztiakaldebikoak izan dira; baina, adibidez,

f (t, r1, r2, . . . , rN) ≥ 0 (1.17)

lotura aldebakarrekoa da. Horrelakoa da hari malgu baten bidez lotutako bi partikulen siste-makoa. Horrelako lotura battentsiopeandago (1.17) baldintzan berdintza betetzen denean etahigidura bi zatitan azter daiteke: lotura tentsiopean dagoenean lotura holonomoa dela kontsideradezakegu eta bestela ez dela existitzen. (Ikus2.14problema.)

Hemendik aurrera aztertuko ditugun sistema guztietan loturak holonomoakizango dira, hau da, (1.1) egiturakoak.


1.1.3 Desplazamendu birtualak

Eman dezagun sistemanL lotura holonomak independente daudela:

fl (t, r1, r2, . . . , rN) = 0, (l = 1, 2, . . . , L). (1.18)

Modu diferentzialean honela idazten dira:

∂fl

∂tdt+

N∑

k=1

∂fl

∂rk· drk = 0, (l = 0, 1, . . . , L). (1.19)

Higiduran gertatzen direndrk = rk dt desplazamendu infinitesimalek baldintza hauek bete behardituzte. Geroago ikusiko dugunez, mekanika analitikoa egitean oso erabilgarriak izango dira bes-telako desplazamendu infinitesimal batzuk:desplazamendu birtualakdeitzen diren hauek den-bora aldatu gabe, lotura higikorrakizoztutabaleude bezala, gertatzen dira. Desplazamendu mate-matikoak dira hauek, geure buruan gertatzen direnak: izan ere, loturak mantendu behar direnez,ondoko baldintza betetzen dituzten desplazamendu infinitesimal geometriko guztiak izango dira:

N∑

k=1

∂fl

∂rk

· δrk = 0, (l = 0, 1, . . . , L). (1.20)

(δ notazioa erabiliko dugu desplazamendu birtualak adierazteko etad diferentziala higiduranbarrena gertatzen direnekin.)

1.3 IRUDIA Desplazamendu erreala eta birtuala.

Adibidez moduan, kontsidera dezagun1.3irudiko sistema: plano aldapatsu leunaV abiadurahorizontal konstantez higitzen da eta gainean duen blokea grabitazioaren eraginpean. Ezkerreanerakusten da higiduran gerta litekeendr desplazamendu bat eta eskuinean desplazamendu birtualbat (jakina, gauzak ikusi ahal izateko, irudiko desplazamenduak ez dira infinitesimalak). Marrus-kadura arbuiatzen dugunez, blokeak pairatutako lotura-indarraN normala izango da. AgeriandagoN · δr lan birtual infinitesimala zero dela,dr desplazamenduan normalak lan infinitesimalbat egiten badu ere:

N · dr 6= 0, baina N · δr = 0. (1.21)

Sistemakn ≡ 3N − L askatasun-gradudituenez, nahi den moduan aukera daitezkeδxk,δyk etaδzk desplazamendu birtualen artekon. Besteak ondoko3N − n ekuazioek emandakoakizango dira:

N∑

k=1

(∂fl

∂xkδxk +

∂fl

∂ykδyk +

∂fl

∂zkδzk

)= 0, (l = 0, 1, . . . , L). (1.22)

1.1 Loturak 5

1.2 irudiko pendulu matematikoaren kasuan (1.3)–(1.4) lotura holonomoetatik lortzen dira des-plazamendu birtualek bete behar dituzten bi baldintzak:

δz = 0, (1.23)

x δx+ y δy = 0. (1.24)

Partikula batek pairatzen dituen indarrak bi zatitan bilduko ditugu:

• Nk lotura-indarrean loturek k. partikulan eragindakoak eta

• Fk indar eragilean partikula horretan aplikatutako beste guztiak.

Hemendik aurrera lan birtualosoazero dela suposatuko dugu beti:

N∑

k=1

Nk · δrk = 0. (1.25)

Baldintza hori betetzen denean, loturakidealak direla esaten da eta praktikan horrelakoak dira,marruskadura lehor dinamikoa (baina ez estatikoa) arbuiatzen bada. Beste kasu batzuetan, (1.25)lortzeko nahikoa da lan birtuala egiten duten lotura-indarrak indar eragileen artean jartzea. Pen-dulu matematikoaren kasuan, lotura-indarra izango da sokak eragindako ukipen-indarra (sokarententsioaren berdina dena, sokaren masa arbuiagarria denean) eta indar eragileamg pisua.

1.1.4 Dinamikaren ekuazio orokorra

Dinamika egiteko, partikula bakoitzak betetzen duen Newtonen bigarren legea erabili behardugu:

mkrk = Nk + Fk, (k = 1, 2, . . . , N). (1.26)

Ekuazio hauekNk + Fk −mkrk = 0, (k = 1, 2, . . . , N), (1.27)

moduan idatziz, hautazkoδrk desplazamendu birtualekin biderkatu ondoren,k partikula-indizea-rekiko batzen baditugu,

N∑

k=1

(Nk + Fk −mkrk) · δrk = 0 (1.28)

lortzen da eta loturak idealak direla eta (1.25) betetzen dela (edo, nahiago bada, lan birtuala egitenduten indar guztiakFk gaietan batu direla) suposatuzdinamikaren ekuazio orokorra lortzen da:

N∑

k=1

(Fk −mkrk) · δrk = 0. (1.29)

Hala ematen badu ere, hau ez da ekuazio bakar bat, desplazamendu birtualak (1.20) definizioa-ren edozein soluzio izan baitaitezke. Baina gogoratu desplazamendu birtualek loturak manten-du behar dituztela eta, oro har,δrk bektore guztiak ez direla independenteak. Horrexegatik, ka-su orokorrean ezin ondoriozta daiteke (1.29) ekuaziotik batugai bakoitza zero denik. Izan ere,Fk −mkrk = 0 ekuazioa, loturik gabeko kasuari dagokio bakarrik eta, orohar, ez da problema


orokorraren (1.27) ekuazio dinamikoa. Ez da beti egia desplazamendu infinitesimal bakoitza-ren koefizientea nulua denik:δri aldaketa infinitesimalak loturak bermatzeko moduan —hau da,(1.20) betetzeko moduan— aukeratu behar dira.

Sistemakn askatasun-gradu baditu,n modu independentera aukera daitezke desplazamendubirtualak etan higidura-ekuazio independente geratuko dira. Horrela kalkula daitezke, printzi-pioz,n koordenatu cartesiarren eboluzioa,Fk indar eragileak eta hastapen-baldintza egokiak eza-gunak badira. Beste3N − n = L koordenatuen eboluzioa (1.18) lotura-ekuazioek emandakoakizango dira. Amaitzeko, (eta praktikan gutxitan egin nahi dugu hori fisikan) (1.26) ekuazioakerabil daitezke lotura-indarrak kalkulatzeko.

1.2irudiko pendulu matematikoan honela idazten da dinamikaren ekuazio orokorra:

(mg −mr) · δr = 0 ⇐⇒ −mx δx+ (mg −my) δy −mz δz = 0. (1.30)

Hemen (1.23)–(1.24) baldintzak erabiltzen badira,

−m

[x+

x

y(g − y)

]δx = 0 (1.31)

lortzen da, eta orainδx nahi den moduan aukera daitekeenez,

yx+ x (g − y) = 0. (1.32)

1.2 ARIKETA Egiaztatu (1.32) eta penduluaren ohiko higidura-ekuazioa baliokideak direla.

1.2 Koordenatu orokortuak

(1.18) lotura-ekuazioen soluzioak errazago aurkitzen dira parametroak erabiliz, hau da, unebakoitzean definitzen dutenR3N espazioko gainazala (n dimentsiokoa dena) modu parametrikoanidazten badaq1, q2, . . . , qn parametroen bidez:

rk = rk (t, q1, q2, . . . , qn) , (k = 1, 2, . . . , N). (1.33)

Soluzio parametrikoak direnez,transformazio-ekuaziohauek (1.18) lotura-ekuazioetan ordez-katzen badira, azken hauek identitate bihurtzen dira.

Denbora aldatzean, (1.33) transformazio-ekuazioetan definitutakoq1, q2, . . . , qn koordenatuorokortuak ere aldatuko dira. Koordenatu orokortuen balioen(q1, q2, . . . , qn) multzo bakoitzaksistemarenkonfigurazio bat definitzen du: (1.33) ekuazioek emandako partikula guztien posi-zioen multzo bat. Konfigurazio guztien multzoa, hau da, koordenatu orokortuetakoQ espazioabstraktua,konfigurazio-espazioadeitzen da eta hor aztertuko dugu sistemaren eboluzioa. Lo-turak egonkorrak badira, denbora ez da esplizituki agertuko (1.33) transformazio-ekuazioetan,∂rk/∂t = 0, eta konfigurazio-espazioa beti daR3N espazioarenn dimentsioko azpiespazio bera.

1.2 irudiko pendulu matematikoak askatasun-gradu bakarra du,konfigurazio-espazioal erra-dioko zirkunferentzia bat da, eta koordenatu orokortutzatq = θ aukeratzen bada, transformazio--ekuazioa

r = l (sin θ i + cos θ j) (1.34)

da eta (1.5)–(1.6) lotura-ekuazioetan ordezkatuz identitateak geratzen dira.

1.2 Koordenatu orokortuak 7

Erabil ditzagun (1.33) transformazio-ekuazioak desplazamendu birtualak koordenatu orokor-tuetan kalkulatzeko:

δrk =

n∑

i=1

∂rk

∂qiδqi, (k = 1, 2, . . . , N). (1.35)

(Gogoratuδt = 0 dela.) Pendulu matematikoaren kasuan, hauxe dugu:

δr = l (cos θ i − sin θ j) δθ. (1.36)

Dinamikaren ekuazio orokorrean (1.35) ordezkatuz, batuketa-ordena aldatzen bada, honakohau dugu:

N∑

k=1

n∑

i=1

(Fk −mkrk) ·∂rk

∂qiδqi =

n∑

i=1

N∑

k=1


∂qi

δqi = 0. (1.37)

Baina orain koordenatu orokortuak elkarren independenteak direnez,δqi balioak nahi den mo-duan aukera daitezke eta, azken berdintza betetzeko, mako arteko batugai bakoitzak zero izanbehar du nahitaez:

N∑

k=1


∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (1.38)

(Nahikoa da, adibidez,δqj = 0 hartzeaj 6= i balio guztietarako,i indizeari dagokion batugaiaberreskuratzeko.) Beraz, honela idazten diran higidura-ekuazio independenteak:

N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi=

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n). (1.39)

Orain koordenatu orokortuak eta euren deribatuak (abiadura eta azelerazio orokortuak dire-nak) erabiliz idatzi behar dira ekuazio hauen gaiak.

1.2.1 Energia zinetikoa

Hasteko, (1.39) higidura-ekuazioen eskuineko gaiaren esanahia aztertuko dugu.rk abiadurakqi abiadura orokortuen bidez nola adierazten diren ikusteko,posizio-bektoreak (eta koordenatucartesiarrak) koordenatu orokortuen bidez ematen dituzten (1.33) transformazio-ekuazioak deri-batuko ditugu:

rk =drk

dt=∂rk

∂t+

n∑

j=1

∂rk

∂qjqj . (1.40)

Loturak holonomoak direnez, (1.40) deribatuan abiadura orokortuak esplizituki agertzen dirasoilik, eta ez deribatu partzialetan. Beraz,

∂rk

∂qi=∂rk

∂qi. (1.41)

Koordenatu orokortuak, ordea, inplizituki bakarrik agertzen dira etat-rekiko deribatu osoa etaqi-rekiko partziala elkarrekin truka daitezke:

∂rk

∂qi=

∂

∂qi

∂rk

∂t+

n∑

j=1

∂

∂qi

(∂rk

∂qj

)qj =

∂

∂t

∂rk

∂qi+

n∑

j=1

∂

∂qj

(∂rk

∂qi

)qj =

d

dt

∂rk

∂qi. (1.42)


Orain, (1.39) higidura-ekuazioen eskuineko gaian zatikako integrazioa eginez,

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi=

d

dt

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi−

N∑

k=1

mkrk ·d

dt

∂rk

∂qi(1.43)

dugu eta (1.41)–(1.42) erabiliz,

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi=

d

dt

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi−

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi

=d

dt

∂

∂qi

1

2

N∑

k=1

mkrk · rk

− ∂

∂qi

1

2

N∑

k=1

mkrk · rk

. (1.44)

Mako artean bi aldiz agertzen den

T =1

2

N∑

k=1

mk rk · rk (1.45)

magnitudea sistemaren energia zinetiko osoa dela kontuan hartuz, hauxe dugu:

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi=

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi. (1.46)

1.3 ARIKETA Egiaztatu pendulu matematikoaren kasuan, hauxe dugula:

T =1

2ml2θ2, (1.47)

d

dt

∂T

∂θ− ∂T

∂θ= ml2θ. (1.48)

(1.40) abiadurak (1.45) definizioan ordezkatzen badira, energia zinetikoaqi abiadura orokor-tuekiko bigarren mailako polinomio bat dela ikusten dugu:

T = T0 + T1 + T2, (1.49)

T0 ≡ a0, (1.50)

T1 ≡n∑

i=1

aiqi, (1.51)

T2 ≡1

2

n∑

i,j=1

aij qiqj, (1.52)

non denboraren eta koordenatuen ondoko funtzioak erabili ditugun:

a0 (t, q1, q2, . . . , qn) ≡ 1

2

N∑

k=1

mk

(∂rk

∂t

)2

, (1.53)

ai (t, q1, q2, . . . , qn) ≡N∑

k=1

mk∂rk

∂t· ∂rk

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (1.54)

aij (t, q1, q2, . . . , qn) ≡N∑

k=1

mk∂rk

∂qi· ∂rk

∂qj= aji, (i, j = 1, 2, . . . , n). (1.55)

1.3 Bigarren motako Lagrangeren ekuazioak 9

Gainera, [1] testuan frogatzen denez,n koordenatu orokortuak independenteak direnez,T2 formakoadratikoa ez da endekatua, hau da, koefizienteen matrizeaalderanzgarria da:

det(aij

)ni,j=1

6= 0. (1.56)

1.2.2 Indar orokortuak

(1.39) higidura-ekuazioen ezkerreko gaiak definitzen duqi koordenatu orokortuari dagokionQi indar orokortua:

Qi ≡N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi. (1.57)

Jakina, horrelako bat dugu askatasun-gradu bakoitzeko: denetaran. Gainera, dimentsioen aldetikqi edonolakoa izan daitekeenez, gauza bera gertatzen daQi indar orokortuarekin; baina, hori bai,beti dugu[qiQi] = [Fk · rk] = ML2T−2.

Pendulu matematikoaren kasuanF = mg j eta (1.34) —edo (1.36)— erabiliz, honela idaztenda indar orokortua, indar-momentuaren− (r ×mg)z osagaia dena:

Q = F · drdθ

= mg j · l (cos θ i − sin θ j) = −mgl sin θ. (1.58)

1.3 Bigarren motako Lagrangeren ekuazioak

(1.46) eta (1.57) kontuan hartuz, honela idazten dira (1.39) higidura-ekuazioak:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi, (i = 1, 2, . . . , n). (1.59)

Eman dezagunQi indar orokortuakt denboraren,qi koordenatu orokortuen etaqi abiaduraorokortuen funtzioen ezagutzen direla. (1.59) ekuazioen lehen gaiak garatzen badira,1.2.1ata-lean energia zinetikoaren egiturari buruzko ikasitakoa erabiliz, honela geratzen dira higidura--ekuazioak:

n∑

j=1

aij qj + · · · = Qi (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2 . . . , qn) , (1.60)

non eten-puntuak jarri ditugunqj azelerazio orokorturik gabeko gaien ordez. (1.56) propietatea-ren ondorioz, beti aska daitezke azelerazio orokortuak ekuazio horietatik:

qi = Φi (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2 . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (1.61)

Existentzia eta bakartasunaren teoremaren ondorioz (ikus, adibidez, [22]), bigarren ordenakon ekuazio diferentzial hauek soluzio bakar bat onartzen dute(q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) al-dagaien2n hastapen-baldintzen multzo bakoitzeko.

Pendulu matematikoaren kasuan (1.47) eta (1.58) emaitzen ondorioz ohiko higidura ekuazioaberreskuratzen dugu:

ml2θ = −mgl sin θ ⇐⇒ θ +g

lsin θ = 0. (1.62)

Jarraian ikusiko dugu nola erabiltzen diren bigarren motako Lagrangeren ekuazio hauek zen-bait kasu interesgarritan.


Loturarik gabeko partikula-sistema

Koordenatu orokortutzat cartesiarrak erabiltzen baditugu, energia zinetikoa

T =1

2

N∑

k=1

mk r2k =

1

2

N∑

k=1

mk

(x2

k + y2k + z2

k

)(1.63)

da etaqi = xj denean,i etaj indize egokietarako, (1.59) ekuazioen ezkerreko gaia hauxe:

d

dt

∂T

∂xj− ∂T

∂xj= mj xj . (1.64)

Dagokion indar orokortua,

Qi ≡N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂xj= Fj · i = Fjx, (1.65)

j partikularen gainean eragiten duenFj indarrarenx osagaia da, eta Lagrangeren ekuazioa

mj xj = Fjx. (1.66)

yj etazj koordenatuekin antzeko gauza bat dugu, noski, eta, ondorioz, sistemako partikulen hi-gidura-ekuazioak, Newtonen bigarren legeak emandakoak, berreskuratzen dira:

mj rj = Fj . (1.67)

(Adibide honetan loturarik ez dagoenez, partikularen gainean eragiten duenFj indar osoa daindar eragilea.)

Partikula bakarra koordenatu esferikoetan

Partikularen higidura aztertzeko koordenatu esferikoak aukeratzen badira, honela idazten daenergia zinetikoaA.1.3ataleko emaitzak erabiliz:

T =1

2m r2 =

1

2m

[r2 + r2

(θ2 + sin2 θ ϕ2

)]. (1.68)

Hemendik, hauexek ditugu higidura-ekuazioak:

d

dt

∂T

∂r− ∂T

∂r= m

(r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ

)

= Qr = F · ∂r∂r

= F · r = Fr, (1.69)

d

dt

∂T

∂θ− ∂T

∂θ= m

(r2θ + 2rrθ − r2ϕ2 sin θ cos θ

)

= Qθ = F · ∂r∂θ

= rF · θ = rFθ = (r × F)ϕ , (1.70)

d

dt

∂T

∂ϕ− ∂T

∂ϕ= m

(r2ϕ sin2 θ + 2rrϕ sin2 θ + 2r2θϕ sin θ cos θ

)

= Qϕ = F · ∂r∂ϕ

= r sin θF · ϕ = r sin θFϕ = − sin θ (r × F)θ . (1.71)

1.3 Bigarren motako Lagrangeren ekuazioak 11

Beraz, koordenatu esferikoetan azelerazioaren osagaiak,kalkulu zuzenaren bidezA.4 ariketanaurkitzen direnak, hauexek dira:

ar =Fr

m= r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ, (1.72)

aθ =Fθ

m= rθ + 2rθ − rϕ2 sin θ cos θ, (1.73)

aϕ =Fϕ

m= rϕ sin θ + 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ. (1.74)

Koordenatu zilindrikoen kasua1.1probleman aztertzen da.

Erreferentzia-sistema birakaria

Loturarik gabeko partikula baten higidura deskribatzeko,S0 erreferentzia-sistema inertzia-leanω abiadura angeluarraz biratzen ari denS sistemaez-inertzialarenkoordenatu cartesiarrakaukeratuko ditugu. Inertzia-indarren eragina esplizituki ez sartzeko, energia zinetikoaS0 sistemainertzialean kalkulatuko dugu, nahiz etaS sistemako koordenatuez baliatu. Coriolisen teorema-ren arabera,S sisteman partikularen abiadurar denez,S0 delakoanr0 = r + ω × r da eta, beraz,energia zinetikoa

T =1

2mr2

0 =1

2m (r + ω × r)2 . (1.75)

Koordenatu orokortuak cartesiarrak direnez, badakigu loturarik gabe indar orokortuak indar osoa-ren osagai cartesiarrak izango direla:Qx = Fx, Qy = Fy etaQz = Fz. Koordenatu bakoitzaridagokion Lagrangeren ekuazioa ez idazteko, (1.8) bektore-notazio erabilgarriaz baliatuko garan = 3 ekuazioak honela idazteko:

d

dt

∂T

∂r− ∂T

∂r= F. (1.76)

1.4 ARIKETA Frogatu hurrengo bi emaitzak:

∂T

∂r= m (r + ω × r) , (1.77)

∂T

∂r= −mω × (r + ω × r) . (1.78)

Ondorioztatu bigarren motako Lagrangeren (1.76) ekuazioak honako hauek direla:

m[r + ω × r + 2ω × r + ω × (ω × r)

]= F. (1.79)

Hortaz, sistema birakariaren koordenatuak erabili dugunez, biraketak sorturiko inertzia-indarrakagertzen dira azelerazioari dagokion gaia askatzean:

mr = F −mω × r − 2mω × r −mω × (ω × r) . (1.80)

1.2probleman aztertuko da translazioak sorturiko inertzia-indarren agerpena.


1.4 Indar kontserbatzaileak

Eman dezagunFk indar eragile guztiak kontserbatzaileak direla eta sistemaren energia po-tentzial osoaV (t, r1, r2, . . . , rN):

Fk = −∂V

∂rk= −

(∂V

∂xki +

∂V

∂ykj +

∂V

∂zkk

). (1.81)

Orduan, (1.33) transformazio-ekuazioak erabiliz, energia potentzialaV (t, q1, q2, . . . , qn) mo-duan1 idazten bada, hauxe dugu:

Qi =N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi= −

N∑

k=1

∂V

∂rk

· ∂rk

∂qi

= −N∑

k=1

(∂V

∂xki +

∂V

∂ykj +

∂V

∂zkk

)·(∂xk

∂qii +

∂yk

∂qij +

∂zk

∂qik

)

= −N∑

k=1

(∂V

∂xk

∂xk

∂qi+∂V

∂yk

∂yk

∂qi+∂V

∂zk

∂zk

∂qi

). (1.82)

Beraz, indar orokortu kontserbatzaileen eta energia potentzialaren arteko erlazioa ezin errazagoada:

Qi = −∂V∂qi

. (1.83)

Energia potentzialaqi abiadura orokortuen menpekoa ez denez,∂V/∂qi = 0, modu honetan ereidatz daitezke indar orokortuak:

Qi = −∂V∂qi

=d

dt

∂V

∂qi− ∂V

∂qi. (1.84)

(Oraintxe ikusiko dugu zergatik idatzi diren era horretan.)Pendulu matematikoaren kasuan, honela berreskuratzen da (1.58) indar orokortua energia

potentzialetatik:

V = −mgl cos θ, (1.85)

Q = −∂V∂θ

= −mgl sin θ. (1.86)

1.4.1 Potentzial orokortuak

Indar orokortuaV (t, q1, q2, . . . , q2) potentzial arrunt batetik, (1.83) ekuazioaren bidez, lor-tzen ez bada ere, batzuetan badagoU (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) egiturako potentzial oro-kortu bat, (1.84) erlazioaren antzeko bat betetzeko modukoa:

Qi =d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi. (1.87)

1Notazio zehatzagoa erabiliz, balio bera baina egitura matematiko desberdinak dituzten funtzioak adierazteko,letra desberdinak erabili beharko genituzke:V (t, q1, q2, . . . , qn) = V (t, r1, r2, . . . , rN ) adibidez. Horrela egingodugu, esate baterako,1.7atalean; baina beti egitea laster bihurtzen astun eta aspergarri.

1.5 Lehen motako Lagrangeren ekuazioak 13

Elektrodinamikan aurkitzen dugu kasurik interesgarriena. Eman dezagunq karga batE eremuelektrikoan etaB eremu magnetikoan higitzen dela. Pairatzen duen indar elektromagnetikoa,Lorentzen indarra da:

F = q (E + r ×B) . (1.88)

Bestalde, eremu elektromagnetikoaren potentzial eskalarraΦ(t, r) bada eta potentzial bektorialaA(t, r), honela idazten dira eremuak.

E = −∇Φ − ∂A

∂t, (1.89)

B = ∇× A. (1.90)

Kontsidera ditzagun

U = q (Φ − r · A) = q(Φ − xAx − yAy − zAz

)(1.91)

energia potentzial orokortua eta dagokion indar orokortua:

Qx =d

dt

∂U

∂x− ∂U

∂x

= q

(−dAx

dt− ∂Φ

∂x+ x

∂Ax

∂x+ y

∂Ay

∂x+ z

∂Az

∂x

)

= q

(−∂Ax

∂t− x

∂Ax

∂x− y

∂Ax

∂y− z

∂Ax

∂z− ∂Φ

∂x+ x

∂Ax

∂x+ y

∂Ay

∂x+ z

∂Az

∂x

)

= −q(∂Φ

∂x+∂Ax

∂t

)+ q

[y

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)− z

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)]

= −q(∇Φ +

∂A

∂t

)

x

+ q[y (∇× A)z − z (∇×A)y

]

= −q(∇Φ +

∂A

∂t

)

x

+ q[r × (∇×A)

]x

= q (E + r× B)x . (1.92)

y etaz koordenatuekin kalkulu bertsua eginez, Lorentzen indarra(1.91) potentzial orokortutiklortzen dela frogatzen da.

1.5 Lehen motako Lagrangeren ekuazioak

Orain arte egin dugun hipotesi bakarra lotura guztiak holonomoak eta idealak direla izan da.Hemendik aurrera, gainera, hurrengo bi hipotesietako bat egingo dugu beti.

1. Indar eragileak kontserbatzaileak dira eta, ondorioz, (1.84) adierazpenaren bidez lor dai-tezkeV (t, q1, q2, . . . , qn) energia potentzial arrunt batetik. Lagrangeren ekuazioak, beraz,honela idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= −∂V

∂qi=

d

dt

∂V

∂qi− ∂V

∂qi, (1.93)

edo, eragile diferentzialak linealak direla erabiliz,

d

dt

∂(T − V )

∂qi− ∂(T − V )

∂qi= 0. (1.94)


SistemarenlagrangearraL ≡ T − V (1.95)

moduan definitzen badugu, honela idazten dira (lehen motako) Lagrangeren ekuazioak:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (1.96)

2. Indar orokortuakU (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) energia potentzial orokortu batetik lordaitezke (1.87) adierazpenaren bidez. Lagrangeren ekuazioak, beraz, honela idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi=

d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi, (1.97)

edo, eragile diferentzialen linealtasuna erabiliz,

d

dt

∂(T − U)

∂qi− ∂(T − U)

∂qi= 0. (1.98)

Sistemaren lagrangearra orainL ≡ T − U (1.99)

moduan definitzen badugu, Lagrangeren (1.96) ekuazioak lortzen dira, berriro ere.

1.5.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan

Orain arte ikusitakoa laburbilduz, mekanika analitikoan problema mekaniko bat ebaztekohurrengo metodoa erabili behar dela azpimarratu nahi dugu.

1. Kalkulatu zenbat diren loturak (edo konfigurazioa zehazteko behar diren aldagai indepen-denteak), askatasun-graduen kopurua jakiteko.

2. Aukeratu koordenatu orokortuegokiak(problemaren simetriak gordetzeko moduan, adibi-dez).

3. Idatzi (1.33) transformazio-ekuazioak eta kalkulatu (1.40) abiadurak aurrekoak deribatuz.(Urrats hau ez da guztiz beharrezkoa problema errazetan.)

4. Idatzi sistemaren energia zinetiko osoa koordenatu orokortuetan.

5. Idatzi sistemaren energia potentzial (orokortu) osoa koordenatu orokortuetan.

6. Kalkulatu (1.95) —edo (1.99)— lagrangearra eta Lagrangeren (1.96) ekuazioak. Lagran-gearreanqi abiadura orokortuak agertzen direnez, denborarekiko deribatua egiteanqi aze-lerazio orokortuak agertuko dira. Lagrangeren ekuazioak,beraz, bigarren ordenakon ekua-zio diferentzial arrunt izango dira.

7. Aztertu (eta, ahal delarik, ebatzi) higidura-ekuazioak(agian, geroago ikusiko ditugun kon-tserbazio-printzipioez baliatuz).

Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan, (1.47) energia zinetikoa eta (1.85) energia poten-tziala erabiliz, honela idazten dira lagrangearra eta higidura-ekuazioa:

L =1

2ml2θ2 +mgl cos θ, (1.100)

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ= ml2θ +mgl sin θ = 0. (1.101)

1.6 Indar ez-kontserbatzaileak 15

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

Partikularen masam bada eta koordenatu orokortuak(x, y, z) cartesiarrak badira, honelaidazten da energia zinetikoa:

T =1

2m(x2 + y2 + z2

). (1.102)

Energia potentzialaV (x, y, z) bada, lagrangearra

L = T − V =1

2m(x2 + y2 + z2

)− V (x, y, z) (1.103)

izango da eta Lagrangeren ekuazioak hurrengoak:

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= mx+

∂V

∂x= 0, (1.104)

d

dt

∂L

∂y− ∂L

∂y= my +

∂V

∂y= 0, (1.105)

d

dt

∂L

∂z− ∂L

∂z= mz +

∂V

∂z= 0. (1.106)

Argi dagomr = −∇V higidura-ekuazioaren osagai cartesiarrak direla aurrekoak. Izan ere, no-tazio laburraz baliatuz honela ere lortzen dira:

L =1

2mr2 − V (r) =⇒ d

dt

∂L

∂r− ∂L

∂r= mr +

∂V

∂r= 0. (1.107)

1.5 ARIKETA Indar zentralak .Aurkitu indar zentralen menpeko higidura-ekuazioak, atal hone-tako formalismoaren bidez.

1.6 Indar ez-kontserbatzaileak

Kontsidera dezagun lotura holonomo eskleronomoek definituriko sistema mekaniko bat:

rk = rk (q1, q2, . . . , qn) , (k = 1, 2, . . . , N). (1.108)

Partikula bakoitzak pairatzen duen indar osoaFk bada, indarrek egindako potentzia osoa, honelaidazten da, (1.57) indar orokortuak erabiliz:

dW

dt=

N∑

k=1

Fk · rk =N∑

k=1

Fk ·

n∑

i=1

∂rk

∂qiqi

=

n∑

i=1

N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi

qi, (1.109)

dW

dt=

n∑

i=1

Qiqi. (1.110)

Indarrak kontserbatzaileak badira etaV (q1, q2, . . . , qn) energia potentziala denboraren inde-pendentea, hauxe lortzen da (1.83) erlaziotik:

dW

dt=

N∑

k=1

Fk · rk =

n∑

i=1

Qiqi = −n∑

i=1

∂V

∂qiqi = −V . (1.111)


Hemendik, indar bizien teoremaren araberaT = dW/dt dela gogoratuz, zuzenean berreskuratzenda energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa: indarguztiak kontserbatzaileak (edo lanikegiten ez dutenak) badira,(T + V ) = 0 dugu.

Batzuetan, indarrek ez badute lanik egiten,giroskopikoak direla esaten da:

N∑

k=1

Fk · rk =n∑

i=1

Qiqi = 0. (1.112)

Horrelakoak dira, adibidez, indar magnetikoak eta Coriolisenak, abiadurarekiko perpendikularrakbaitira.

Potentzia beti negatiboa (edo zero) denean,

N∑

k=1

Fk · rk =

n∑

i=1

Qiqi ≤ 0, (1.113)

indarrakiraungitzaileak direla esaten da. Horrelakoak dira, adibidez, abiadurarenproportziona-lak diren marruskadura-indarrak,

Fk = −βkrk, (βk > 0), (1.114)

zeren, orduan, hauxe baitugu:

N∑

k=1

Fk · rk =n∑

i=1

Qiqi = −N∑

k=1

βkr2k ≤ 0. (1.115)

1.6.1 Rayleighen iraungipen-funtzioa

Indarrak (1.114) egiturakoak direnean, honela idazten dira indar orokortuak (loturak egonko-rrak badira):

Qi = −N∑

k=1

βkrk ·∂rk

∂qi= −

N∑

k=1

βk

n∑

j=1

∂rk

∂qj· ∂rk

∂qiqj . (1.116)

Hemen

γij = γji ≡N∑

k=1

βk∂rk

∂qi· ∂rk

∂qj(1.117)

definizioak erabiltzen badira, hauxe dugu:

Qi = −n∑

j=1

γij qj . (1.118)

(1.114) adierazpenetik lortzen ez badira ere, indar orokortuak (1.118) moduan idazten badira

γij = γji koefiziente simetrikoen bidez, indarrak iraungikorrak izango diran∑

i,j=1

γijxixj forma

koadratikoa positiboa bada, zeren orduan —eta horrelakoa da (1.114) kasua— hauxe dugu po-tentzia:

dW

dt=

n∑

i=1

Qiqi = −n∑

i,j=1

γij qiqj ≤ 0. (1.119)

1.7 Puntu-transformazioak 17

Gainera, (1.118) indarren kasuan Rayleighen iraungipen-funtzioa

R ≡ −1

2

dW

dt=

1

2

n∑

i,j=1

γij qiqj ≥ 0 (1.120)

moduan definitzen bada,

Qi = −∂R∂qi

(1.121)

erlazioa dugu eta (1.59) higidura-ekuazioak ondoko moduan idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi+∂R∂qi

= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (1.122)

Indarren artean batzuk kontserbatzaileak edo kontserbatzaile orokortuak badira eta besteak(1.118) motako indar iraungitzaileak,

Qi =d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi− ∂R∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n) (1.123)

honela idatziko dira higidura-ekuazioakL = T − U definizioarekin:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi+∂R∂qi

= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (1.124)

1.7 Puntu-transformazioak

Eman dezagunQ konfigurazio-espazioan koordenatuak aldatzen direla ondoko adierazpenekemandakoqi → qi legearen arabera:

qi = fi (t, q1, q2, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (1.125)

Beti suposatuko dugu transformazioaren jacobiarra ez delazero,

∂ (q1, q2, . . . , qn)

∂ (q1, q2, . . . , qn)6= 0, (1.126)

hau da, transformazioa alderanzgarria dela eta alderantzizko transformazioa existitzen dela:

qi = fi (t, q1, q2, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (1.127)

Abiadura orokortuen transformazioa, jakina, honako hau dugu:

˙qi =∂fi

∂t+

n∑

j=1

∂fi

∂qjqj, (i = 1, 2, . . . , n). (1.128)

Lagrangearraren balioa puntu bakoitzean (konfigurazio bakoitzean) ez da aldatuko baina baibere funtzio-egitura:

L(t, q1, q2, . . . , qn, ˙q1, ˙q2, . . . , ˙qn

)= L (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) . (1.129)


Koordenatu cartesiarrak eta polarrak

Adibide ezaguna dugu nola idazten den indar zentralen menpeko higiduraren lagrangearraOXY higidura-planoan:

L (x, y, x, y) =1

2m(x2 + y2

)− V

(√x2 + y2

)= (1.130)

L (r, ϕ, r, ϕ) =1

2m(r2 + r2ϕ2

)− V (r). (1.131)

Translazioak

Hurrengo adibidean, eman dezagun partikula bat higitzen delaOX ardatzean,V (x) energiapotentzialaren eraginpean:

L (x, x) =1

2mx2 − V (x). (1.132)

Translazio konstante batean,

x = x+ a, (1.133)˙x = x, (1.134)

honela idazten da lagrangear berria

L(x, ˙x)

=1

2m ˙x2 − V (x− a). (1.135)

Biraketak

Demagun, orain, partikulaOXY plano cartesiarrean higitzen dela,

L (x, y, x, y) =1

2m(x2 + y2

)− V (x, y), (1.136)

eta hurrengo biraketa egiten dugula:

x = x cosα− y sinα, (1.137)

y = x sinα + x cosα. (1.138)

Erraz ikusten da (alderantzizko biraketaz baliatuz) lagrangearra honela idazten dela orain:

L(x, y, ˙x, ˙y

)=

1

2m(

˙x2 + ˙y2)− V (x cosα + y sinα,−x sinα + x cosα). (1.139)

1.6 ARIKETA Froga ezazu problema berean koordenatu polarrak erabiltzen badira hauxe dugula:

r = r, (1.140)

ϕ = ϕ + α, (1.141)

L (r, ϕ, r, ϕ) =1

2m(r2 + r2ϕ2

)− V (r, ϕ), (1.142)

L(r, ϕ, ˙r, ˙ϕ

)=

1

2m(

˙r2 + r2 ˙ϕ2

)− V (r, ϕ − α). (1.143)

1.8 Gaugealdaezintasuna 19

1.7.1 Puntu-transformazioekiko aldaezintasuna

Koordenatu orokortu guztietan modu berean idazten dira Lagrangeren ekuazioak, puntu--transformazioekiko aldaezinak baitira:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n) ⇐⇒ d

dt

∂L

∂ ˙qj− ∂L

∂qj= 0, (j = 1, 2, . . . , n). (1.144)

Ez da zaila zuzenean hau egiaztatzea, baina ez da beharrezkoa, aurreko ataletako teorian ez bai-tugu zehaztu nolako koordenatu orokortuak erabiltzen genituen.

1.8 Gauge aldaezintasuna

Dakigunez, energia potentzialari konstante bat batzen bazaio, indar-eremua ez da aldatzen.Lagrangeren ekuazioek, honez gain, askoz ere zabalagoa etagarrantzitsuagoa den aldaezintasunbat erakusten dute:lagrangearrariG (t, q1, q2, . . . , qn) egiturako edozein funtzioren denborare-kiko deribatu osoa batzen bazaio, Lagrangeren ekuazioak ezdira aldatzen, hau da, Lagrangerenhigidura-ekuazio berberak lortzen diraL etaL+ dG/dt lagrangearretatik.

Emaitza zuzenean egiaztatzeko, nahikoa da deribatu osoaren definizioa erabiltzea:

G =∂G

∂t+

n∑

j=1

∂G

∂qjqj , (1.145)

∂G

∂qi=∂G

∂qi, (1.146)

d

dt

∂G

∂qi=

∂2G

∂t∂qi+

n∑

j=1

∂2G

∂qj∂qiqj , (1.147)

∂G

∂qi=

∂2G

∂qi∂t+

n∑

j=1

∂2G

∂qi∂qjqj , (1.148)

d

dt

∂G

∂qi− ∂G

∂qi= 0, ∀ (t, q1, q2, . . . , qn) . (1.149)

Hortaz, Lagrangeren ekuazioetanL etaL + G erabiliz gauza bera lortuko da: bi lagrangearrakbaliokideak dira. (Beste ikuspuntu batetik frogatuko duguemaitza hau2.1probleman.)

Adibide interesgarriena1.4.1ataleko eremu elektromagnetikoarena da. Eman dezagun poten-tzialak ondoko modura aldatzen direla:

Φ(t, r) → Φ(t, r) − ∂Λ

∂t, (1.150)

A(t, r) → A(t, r) + ∇Λ, (1.151)

nonΛ(t, r) funtzio eskalarra edonolakoa den.

1.7 ARIKETA Egiaztatu (1.89)–(1.90) eremuak ez direla aldatzen (1.150)–(1.151) transforma-zioan.

Eremuak aldatzen ez direnez, higidura-ekuazioak ere ez dira aldatuko. Izan ere, (1.91)-ren ondo-rioz, honela aldatzen da lagrangearra:

L = T − q (Φ − r · A) → L+ q

(∂Λ

∂t+ r · ∇Λ

)= L+

d

dt(qΛ) . (1.152)


1.9 Problemak

1.1 Aurki bitez puntu materialaren azelerazioaren osagai zilindrikoak, Lagrangeren ekuazioenbidez.

1.2 S sistema ez-inertziala azeleraturik dago inertzia-sistema batean, baina sistema bien artekoorientazioa konstantea da. Aurki bitez puntu materialarenhigidura-ekuazioak, koordenatu oro-kortutzatS sistemako cartesiarrak erabiliz. Iruzkina egin emaitzari.

1.3 Weberren elektrodinamikan bi kargen arteko elkarrekintzadeskribatzeko honako potentzialorokortu hau agertzen zen partikulen artekor = |r1 − r2| distantzia erabiliz:

U =q1q2

4πǫ0r

(1 − α

r2

c2

),

non α zenbakia konstantea den. Aurki itzazu indar horri dagokionindar-eremua eta higiduralauaren ekuazioak.

1.4 S erreferentzia-sistema inertzialean,S sistemaren jatorriaren posizioaR(t) lege ezagunakemandakoa da. Koordenatu orokortuakS sistemako cartesiarrak dira. Froga ezazu−mR(t) atoi--indarraV (t, r) = mR(t) ·r potentzial arruntetik etaU(t, r) = −mR(t) · r potentzial orokortutiklor daitekeela.

1.5 Karga baten lagrangearra. Eremu elektromagnetiko baten potentzial eskalarraΦ(t, r) badaeta potentzial bektorialaA(t, r), zein da bertan higitzen denq kargaren lagrangearra?

1.6 Nielsen-en ekuazioak. Froga ezazu bigarren motako (1.59) Lagrangeren ekuazioak ondokoera baliokidean idatz daitezkeela:

∂T

∂qi− 2

∂T

∂qi= Qi, (i = 1, 2, . . . , n).

1.7 Bi partikula puntualez osaturiko sistema batean indarrak honelakoak dira:

F1 = −F2 = −k (r1 − r2) , (k > 0).

Aurkitu dagokion Rayleighen iraungipen-funtzioa.

1.8 Azter dezagun

L =1

2m(x2 + y2

)− k(αx− βy)

lagrangearra, nonα etaβ konstanteek ondoko baldintza betetzen duten:

α2 + β2 = 1.

Idatzi lagrangearra hurrengo puntu-transformazioa egin ondoren:

x = αx− βy,

y = βx+ αy.

Zein da transformazio honen esanahia? Iruzkina egin emaitzari.

1.9 Problemak 21

1.9 Kalkulatu nola idazten den

L =1

2m(x2 + y2 + z2

)− V

(x cos

z

h+ y sin

z

h

)

lagrangearra hurrengo puntu-transformazioa egin ondoren:

x = x cosα− y sinα,

y = x sinα + y cosα,

z = z + hα.

Iruzkina egin emaitzari.

1.10 Irudiko pendulu matematikoarenO esekidura-pun-tuaa azelerazio bertikal konstantez mugiarazten da. Koor-denatu orokortuaθ angelua da.(a) Idatzi lagrangearra eta higidura-ekuazioa laborategikoS sisteman.(b) Idatzi lagrangearra eta higidura-ekuazioaO-rekin ba-tera higitzen denS erreferentzia-sistema azeleratuan, iner-tzia-indarrak ahaztu gabe.(c) Zergatik dira berdinak higidura-ekuazioak, nahiz etalagrangearrak desberdinak izan?

1.11 S erreferentzia-sistema inertzialean,S sistemaren jatorriaren posizioaR(t) lege ezagunakemandakoa da. Koordenatu orokortuakS sistemako cartesiarrak dira. Frogatu hurrengo hiru la-grangearrekin higidura-ekuazio berdinak lortzen direla:

L1 =1

2m(R + r

)2

− V (r),

L2 =1

2mr2 −

[V (r) +m R · r

],

L3 =1

2mr2 −

[V (r) −m R · r

].

Azaldu zein den lagrangear bakoitzaren esangura eta zergatik diren baliokideak.

2. GAIA

Aldakuntza-printzipioak

2.1 IRUDIA Leonhard Euler (1707, Basilea, Suitza – 1783, SanPetersburgo, Errusia). 1740anargitaratu zuenMethodus inveniendi lineas curvas. . .izeneko liburuan hasten da aldakuntzenkalkuluaren azterketa sistematikoa.

23

24 2 Aldakuntza-printzipioak

Mekanika eta eremuen teoriak egiteko —eta, halaber, matematikan eta ingeniaritzan— hainemankorra den aldakuntzen kalkuluaren funtsezko kontzeptuak eta emaitzak aztertuko dira gaihonetan. Fisikarien notazioa eta egiteko modua erabiliko dira, noski. Matematikarien oinarrizkoikuspuntua [24] testuan aurki daiteke.

2.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak

Funtzioen mutur-puntuak (maximoak, minimoak eta abar) kalkulatzeko deribatuak erabili ohidira, baina, atal honetan ikusiko dugunez, aldaketa infinitesimalez baliatzea baliokidea da.

Aldagai bakarreko funtzioa

Kontsidera dezagun2.2 irudiko funtzioa etax puntu batean aldagai independentearendx al-daketa infinitesimalari dagokion funtzioaren aldaketa:

df ≡ f (x+ dx) − f(x) =df

dx(x) dx. (2.1)

2.2 IRUDIA f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak.

Fisikariok «aldaketa infinitesimala» esatean, aldaketa lineala —Taylorren garapeneko gai li-neala, hain zuzen— dugu buruan, azken adierazpenean egin dugun antzera. Bertan ikusten duguderibatua zero izatea eta aldaketa infinitesimala zero izatea guztiz baliokideak direla, mutur-pun-tuak (maximoak, minimoak eta inflexio-puntuak) kalkulatzean. Azkena izango da hemen auke-ratuko dugun ikuspuntua. Aldaketa infinitesimala zero deneko puntuak dira mutur-puntuak:

df = 0 ⇐⇒ df

dx= 0. (2.2)

Aldaketa infinitesimala zuzen tangentean gertatzen da, deribatuaren esangura geometrikoarenondorioz. Hortaz, mutur-puntuetan zuzen horizontal batean jazotzen da aldaketa infinitesimalaeta bere balioa zero da, irudiko adibidean erakusten den legez.

2.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak 25

x

y

f

x

2.3 IRUDIA Maximoanf(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak horizontalak dira.

Bi aldagaiko funtzioa

Funtzioa orain(x, y) planoan definiturik badago,dx etady aldaketei dagokienf(x, y) fun-tzioaren aldaketa infinitesimala honako hau da:

df ≡ f (x+ dx, y + dy) − f(x, y) =∂f

∂x(x, y) dx+

∂f

∂y(x, y) dy. (2.3)

dx etady aldaketak elkarren independenteak direnez (adibidez, zero egin daiteke bat bestea aldatugabe), deribatu partzialak edota funtzioaren aldaketa infinitesimalguztiakzero egitean lortzendira mutur-puntuak:

df = 0 ⇐⇒ ∂f

∂x=∂f

∂y= 0. (2.4)

Aldaketa infinitesimalak (linealak) plano tangentean gertatzen dira, eta mutur-puntuetan azkenhau horizontala da eta aldaketa linealak zero. (Ikus2.3irudiko adibidea.)

Aldaketa infinitesimal birtuala

Kontsidera dezagun orainf (t, q1, q2, . . . , qn) funtzioa etat aldatu gabe gertatzen diren alda-ketak, mekanika analitikoan birtualak deitzen direnak:δt = 0. δqi aldaketei dagokien aldaketalineala hurrengoa da:

δf = f (t, q1 + δq1, q2 + δq2, . . . , qn + δqn) − f (t, q1, q2, . . . , qn) =

n∑

i=1

∂f

∂qiδqi. (2.5)

Ondorioz,t-ren balio finko bakoitzeko, mutur-puntuak aldaketa infinitesimal birtual posible guz-tiak zero direnean gertatuko dira:

δf = 0 ⇐⇒ ∂f

∂q1= · · · =

∂f

∂qn= 0. (2.6)


2.2 Loturadun muturrak

(2.5)-tik (2.6)-ra joateko aldagai guztien aldaketa infinitesimalak elkarren independenteakdirela suposatu dugu. Azter dezagun orain zer gertatzen denhori egia ez bada,qi aldagaien arteanhurrengo modukom baldintza independente bete behar baitira:

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.7)

Orain, aldaketa infinitesimalen arteko hurrengo erlazioakditugu:

δgl (t, q1, q2, . . . , qn) =n∑

i=1

∂gl

∂qiδqi = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.8)

Beraz, aldaketa infinitesimalak ezin dira nahi den moduan aukeratu: aurreko baldintzak betebehar dira.

2.2.1 Lagrangeren biderkatzaileak

Oraindik zehaztu gabe geratuko direnλl konstanteak sartzen baditugu, hasierakof funtzioaketa

f ≡ f +

m∑

l=1

λl gl (t, q1, q2, . . . , qn) (2.9)

aldatuak mutur-puntu berdinak dituzte, (2.7) baldintzen ondorioz. Beraz, mutur-puntuak kalku-latzeko

δf =

n∑

i=1

∂f

∂qiδqi =

n∑

i=1

∂f∂qi

+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

δqi = 0 (2.10)

ebatzi ahal da.δqi aldaketen arteann−m bakarrik aukera ditzakegu nahi dugun moduan, bainaorain λk biderkatzaileak ere aukeran daude. Beraz, denetara hautazko n magnitude daudenez,(2.10) baturakon batugaiak zero izateko eska dezakegu. Adibidez, eman dezagun aldagai inde-pendenteak hasierakon−m koordenatu orokortuak direla. Kasu horretan, hurrengom baldintzakbetetzeko moduan aukera ditzakegum biderkatzaileak:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = n−m+ 1, n−m+ 2, . . . , n). (2.11)

Hauekin

δf =n−m∑

i=1

∂f

∂qiδqi =

n−m∑

i=1

∂f∂qi

+m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

δqi = 0 (2.12)

baldintzan geratzen diren desplazamendu birtualak independenteak direnez, batugai bakoitzakzero izan behar du:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n−m). (2.13)

2.3 Funtzionalak 27

Bete behar diren baldintzak, ondorioz, hurrengoak dira:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (2.14)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.15)

Beraz,n+m ekuazio ebatzi behar dira mutur-puntuetakon koordenatuak etam biderkatzaileakaurkitzeko.

Adibidea

Demagun ondoko ekuazioek emandako zirkunferentzianf(x, y, z) = x−yz funtzioak dituenmuturrak aurkitu nahi ditugula:

x+ y + z = 1, (2.16)

x2 + y2 + z2 = 1. (2.17)

Printzipioz (2.16)–(2.17) lotura-ekuazioak erabil daitezke problematiky etaz, adibidez, ezaba-tzeko. Baina erro karratuak daudenez, errazagoa da Lagrangeren biderkatzaileez baliatzea. Betebehar diren baldintzak,

1 + λ1 + 2λ2x = 0, (2.18)

−z + λ1 + 2λ2y = 0, (2.19)

−y + λ1 + 2λ2z = 0, (2.20)

x+ y + z = 1, (2.21)

x2 + y2 + z2 = 1, (2.22)

erraz ebazten dira. Bi soluzio daude:

x = −1

3, y = z =

2

3, λ1 = −4

9, λ2 =

5

6, (2.23)

x = 1, y = z = 0, λ1 = 0, λ2 = −1

2. (2.24)

2.3 Funtzionalak

Atal honetan eta hurrengoan funtzioen menpekoak diren objektu matematikoak, funtzionalak,kontsideratu ditugu. Era askotakoak izan daitezke horrelakoak, baina fisikan gehienetan agertzenden kasu berezia aztertzera mugatuko gara hemen.t aldagai errealekoq1, q2, . . . , qn funtzioak(infinitu dimentsio dituen konfigurazio-espazio batean) aukera bakoitzeko, hurrengo integral mu-gatuaren bidez definitzen da funtzionalaren balioa[t1, t2] tartean:

I [q1, q2, . . . , qn] ≡∫ t2

t1

L[t, q1(t), q2(t), . . . , qn(t), q1(t), q2(t), . . . , qn(t)

]dt. (2.25)

HemengoL (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) funtzioaren egitura,t1 eta t2 integrazio-mugak etaq1(t1), q2(t1), . . . ,qn(t1), q1(t2), q2(t2), . . . ,qn(t2) balioak ezagunak eta aldaezinak dira problemabakoitzean.

Funtzionalen adibiderik garrantzitsuena mekanika analitikoan agertzen zaigu:2.4atalean de-finituko dugun ekintza. Kasu horretanqi funtzioak konfigurazio-espazioan definiturikoak dira.Baina azter dezagun lehenago adibide geometriko bat.


Kurben luzera

Kontsidera ditzagun espazioko bi puntu —P1 = (x1, y1, z1) etaP2 = (x2, y2, z2)— lotzendituzten kurba guztiak,

(x(t), y(t), z(t)

)erako ekuazioen bidez adieraziko ditugunak,t parame-

tro egoki baten bidez.t = t1, t2 balioei dagozkien kurbetako puntuakP1 etaP2 izateko moduanaukeratzen dugut parametroa. Kurba bakoitzaren luzera hurrengo funtzionalak emandakoa da:

s =

∫ P2

P1

√dx2 + dy2 + dz2 =

∫ t2

t1

√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 dt. (2.26)

Beraz,(q1, q2, q3) = (x, y, z) eta

L =√x2 + y2 + z2 =

√q21 + q2

2 + q23 (2.27)

aukerekin, (2.25) moduko funtzionala da luzera.

Notazioa

Hemendik aurrera,n dimentsioko espazio abstraktuetanq ≡ (q1, q2, . . . , qn) bektore-notaziolaburtua erabiliko dugu komeni denean. Adibidez, honela idatziko dugu (2.25) funtzionala:

I [q] ≡∫ t2

t1

L [t,q, q] dt. (2.28)

2.4 IRUDIA Ekintza kalkulatzeko bi bide.

2.4 Ekintza

Eman dezagunt1 etat2 aldiuneak hautatu ondoren dagozkien bi konfigurazio aukeratzen ditu-gula mekanika analitikoan:q1 ≡ q (t1) etaq2 ≡ q (t2). Aipaturiko aldiuneak eta konfigurazioakez dira aldatuko, baina bestet bakoitzekoq(t) konfigurazio bat aukeratzen dugu,qi(t) funtzioakerregularrak1 izateko baldintza bakarra betetzeko moduan. Azpimarratu behar da, konfigurazioak

1Funtzio baterregularra izateko, berak eta bere deribatuek «erregular» adjektiboaagertzen den enuntziatuabermatzeko jarraitutasun-baldintzak bete behar dituzte.Aipaturiko baldintza beharrezkoak, puntu (edo leku geome-triko) berezi batzuetan izan ezik, bete egiten direla suposatzen dugu beti testu honetan. Puntusingular horiek, halaere, garrantzi handikoak izaten dira fisikan (bertan dago, adibidez, grabitazio-eremurik errazena sortzen duen masapuntuala).

2.5 Muturreko kurbak 29

aukeratu ditugunez,t aldiune bakoitzean loturak bete behar direla; baina, oro har, higidura-ekua-zioak ez dira beteko aipaturiko aukeretan.t aldatzeant1 etat2 aldiunetan aukeraturiko konfigu-razioak lotzen dituen kurba erregular bat lortzen da,qi koordenatuetakoQ konfigurazio-espazioabstraktuan. Konfigurazio-bide horri dagokion sistema mekanikoaren ekintza, definizioz, hurren-go integralaren balioa da:

I [q1, q2, . . . , qn] ≡∫ t2

t1


]dt, (2.29)

nonL (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) funtzioa sistemaren lagrangearra den.

2.1 ARIKETA Froga ezazu ekintza eta Planckenh konstantea dimentsio berekoak direla. Beste-lako zer magnitude fisiko ezagunen dimentsioak dira ekintzarenak?

2.5 IRUDIA Funtzionalaren bi integrazio-biden = 1 kasuan.

2.5 Muturreko kurbak

Horrelako funtzionaletan argumentuekδq ≡ (δq1, q2, . . . , δqn) aldaketa infinitesimalak (fun-tzio osoak direla kontuan harturikaldakuntza infinitesimalak deitzen direnak) pairatzen dituzte-nean, honela aldatzen da funtzionala bera:

δI ≡ I [q + δq] − I [q]

=

∫ t2

t1

L[t,q(t) + δq(t), q(t) + δq(t)

]dt−

∫ t2

t1

L[t,q(t), q(t)

]dt

=

∫ t2

t1

L[t,q(t) + δq(t), q(t) + δq(t)

]− L

[t,q(t), q(t)

]dt

=

∫ t2

t1

δL dt. (2.30)

Hemen inplizituki eta2.5 irudian esplizituki egin dugun bezala,t1 eta t2 integrazio-mugakaldatzen ez direlako hipotesiaegingo dugu beti. Gainera, tarteko puntuetanqi funtzioak aldatuarren,aipaturiko integrazio-mugetan ez direla aldatzen, hau da,

δt1 = δt2 = 0, δq (t1) = δq (t2) = 0 (2.31)


betetzen dela suposatuko dugu. Hipotesi hau,

δqi(t) =d

dtδqi(t) (2.32)

erlazioa eta zatikako integrazioa erabiliz, hauxe dugu:

∫ t2

t1

∂L

∂qiδqi dt =

∫ t2

t1

[d

dt

(∂L

∂qiδqi

)− d

dt

∂L

∂qiδqi

]dt

=∂L

∂qiδqi

∣∣∣∣t2

t1

−∫ t2

t1

d

dt

∂L

∂qiδqi dt = −

∫ t2

t1

d

dt

∂L

∂qiδqi dt. (2.33)

Ondorioz, (2.5) erabiliz, funtzionalaren aldakuntza hauxe dela ikusten dugu:

δI =

∫ t2

t1

δL dt =

∫ t2

t1

n∑

i=1

(∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qiδqi

)dt

=

∫ t2

t1

n∑

i=1

[(∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi

)δqi

]dt. (2.34)

Horrelako funtzional bat maximoa edo minimoa denean bere aldakuntza infinitesimal (lineal)guztiak zero izango dira. Kasu horietan —eta funtzionalaren aldakuntza infinitesimala zero denbeste guztietan ere— funtzionalaegonkorra dela esango dugu eta hori gertatzeko aukeratu behardirenq ≡ (q1, q2, . . . , qn) funtzioek definituriko kurbamuturrekoa dela.δqi aldakuntzak elka-rren independenteak direnez,

δI = 0 ⇐⇒ ∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (2.35)

Funtzionala egonkorra izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa, hortaz,Euler eta Lagrange-ren ekuazioakbetetzea da:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (2.36)

Hauxe frogatu dugu, beraz:Euler eta Lagrangeren ekuazioen soluzioak dira, (2.25) funtzio-nala egonkor egiten duten muturreko kurbak. Ekintzaren kasuan, lehen motako Lagrangeren(1.96) ekuazioak dira Euler eta Lagrangeren ekuazioak.

Distantzia minimoa

Kontsidera ditzagun espazioko bi puntu lotzen dituzten kurba erregular guztiak,t parametrogeometrikoa erabiliz

(x(t), y(t), z(t)

)moduan idazten direnak. Kurba bakoitzean zehar neurtu-

tako puntuen arteko distantzia (2.26) da:

s =

∫ t2

t1

√x2 + y2 + z2 dt. (2.37)

2.6 Hamiltonen printzipioa 31

Hau minimoa izateko bete behar denδs = 0 baldintza hurrengo hiru ekuazioen baliokidea da:

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x=

d

dt

x√x2 + y2 + z2

= 0, (2.38)

d

dt

∂L

∂y− ∂L

∂y=

d

dt

y√x2 + y2 + z2

= 0, (2.39)

d

dt

∂L

∂z− ∂L

∂z=

d

dt

z√x2 + y2 + z2

= 0. (2.40)

Ekuazio hauen lehen integralak honako hauek dira:

x√x2 + y2 + z2

= C1, (2.41)

y√x2 + y2 + z2

= C2, (2.42)

z√x2 + y2 + z2

= C3, (2.43)

nonC1,C2 etaC3 integrazio-konstanteak diren. Ekuazio hauen esanahia argia da, muturreko kur-barekiko tangentea denr/ |r| bektore unitarioa konstantea da eta, ondorioz, muturrekoazuzena.Izan ere,α ≡ C2/C1 etaβ ≡ C3/C1 definizioekin

y = αx, z = βx, (2.44)

dugu eta,x0, y0 etaz0 integrazio-konstanteak erabiliz,

y − y0 = α (x− x0) , z − z0 = β (x− x0) . (2.45)

Distantziarik laburrena, beraz, bi puntuak lotzen dituen lerro zuzenean barrena lortzen da:

y − y0

x− x0

= α,z − z0x− x0

= β. (2.46)

2.6 Hamiltonen printzipioa

Gogora dezagun nola egin daitekeen mekanika analitikoa guztiz desberdina den beste abia-puntu batetik. Ikuspuntu hau, behar bezala egokitu ondoren, oso emankorra izaten da fisika mo-dernoan eremuen teoriak eraikitzean.

2.6.1 Ekintza minimoaren printzipioa

Ekintza kalkulatzeko,Q konfigurazio-espazioko bi puntu lotzen dituen edozein kurba izandaiteke integrazio-bidea: loturak bete egingo dira, bainaez beti higidura-ekuazioak. Integrazio--bidea aldatzean ekintza bera ere aldatuko da eta minimoa izateko bete behar den baldintza beha-rrezkoa ekintza egonkorra izatea da,2.5 atalean azaldu denez. Baina azken baldintza hori lehenmotako Lagrangeren ekuazioen baliokidea dela frogatu da2.5atalean. Beraz, mekanikaren oina-rrizko printzipiotzat har dezakegun Hamiltonen printzipioa frogatu dugu:


Eman dezagun sistema mekaniko batean lotura guztiak holonomoak eta idealak direla etaindar eragileak kontserbatzaileak (edo potentzial orokortu batetik lortzen direnak). Bi konfigura-zio ezagun lotzen dituzten ibilbide guztien artean, higidurari dagokiona muturrekoa da, hau da,ekintza egonkorra izateko aukeratu behar dena:

δ

∫ t2

t1


]dt = 0. (2.47)

Kasu interesgarri gehienetan (bi konfigurazioak behar bezain hurbil badaude, adibidez) higi-durari dagokionQ konfigurazio-espazioko ibilbidean ekintza minimoa bada ere, zela-puntu batizatea ere gerta daiteke2. Baina hemen ez gara horrelako ñabardurez arduratuko.

Printzipio honen garrantzia teorikoa da, gaur eguneko fisikan ere hainbat fenomenoren deskri-bapenaren funtsezko abiapuntutzat hartzen baita. Baina praktikan, higidura-ekuazioak idazteko,ikuspuntu matematikotik baliokideak diren Euler eta Lagrangeren (2.36) ekuazioak, hau da, lehenmotako Lagrangeren (1.96) ekuazioak erabiltzen dira.

2.7 Loturadun muturrekoak

(2.34)-tik Euler eta Lagrangeren ekuazioak lortzekoqi guztien aldaketa infinitesimalak elka-rren independenteak direla suposatu dugu. Azter dezagun orain zer gertatzen den hori egia ezbada etaqi aldagaien artean modu honetakom lotura independente bete behar badira:

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.48)

Beraz, aldaketa infinitesimalen artean

δgl (t, q1, q2, . . . , qn) =

n∑

i=1

∂gl

∂qiδqi = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.49)

erlazioak bete behar direnez, aldaketa infinitesimalak ezin dira aukeratu nahi den moduan.

2.7.1 Lagrangeren biderkatzaileak

λl biderkatzaile konstanteak erabiltzen baditugu, hasierakoL funtzioak eta

L = L+

m∑

l=1

λl gl (t, q1, q2, . . . , qn) (2.50)

aldatuak muturreko berdinak dituzte, (2.48) baldintzen ondorioz. Beraz, muturrekoak aurkitzeko,

δI = δ

∫ t2

t1

L dt =

∫ t2

t1

n∑

i=1

(∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi

)δqi

dt

=

∫ t2

t1

n∑

i=1

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

δqi

dt = 0 (2.51)

2Ikus, adibidez, [25] artikulua.

2.7 Loturadun muturrekoak 33

ebatzi behar da.δqi aldaketen artekon−m bakarrik hauta ditzakegu nahi dugun moduan, bainaorain λk biderkatzaileak ere aukeran daude. Beraz, denetara hautazko n magnitude daudenez,(2.51) baturakon batugaiak zero izateko eska dezakegu. Baldintza hauek eta (2.48) direlakoakerabiliz, muturrekoek

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (2.52)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.53)

edo

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (2.54)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.55)

sistema baliokidea bete behar dute.

2.7.2 Geodesikoak

Kontsidera dezagunR3 espazioan ondoko ekuazioak definitzen duen gainazala:

Φ(x, y, z) = 0. (2.56)

Gainazalean dagoen kurba bat noiz den geodesikoa, hau da, (2.37) luzera noiz den minimoa(edo maximoa) jakiteko,δ(s + λΦ) = 0 baldintza aztertu behar da, (2.56) loturarekin batera.Horretarako,s =

∫ √r2 dt =

∫|r| dt dela erabiliz, (2.54) ekuazioak bete behar dira:

d

dt

∂ |r|∂r

− ∂ |r|∂r

= λ∂Φ

∂r. (2.57)

Baina, kurbaren bektore unitario tangentea, kurbadura-erradioa, eta bektore unitario normala

et =r

|r| =∂ |r|∂r

, (2.58)

ρ =

∣∣∣∣det

ds

∣∣∣∣−1

, (2.59)

en = ρdet

ds=ρ

s

det

dt=ρ

s

d

dt

∂ |r|∂r

, (2.60)

dira. Gainera,|r| ez dar-ren menpekoa. Ondorioz, geodesikoak, (2.56) ekuazioaz gain, betebehar duen baldintza, hauxe da:

|r|ρ

en = λ∇Φ. (2.61)

∇Φ bektorea gainazalarekiko normala denez,geodesikoaren normal nagusia gainazalarekikoperpendikularra da.Erraz ikusten da propietate hau betetzen dela gainazal esferiko bateko geo-desikoak diren zirkunferentziak maximoetan: normala erradiala da. Paralelo baten kasuan, ordea,normal nagusia paraleloaren planoan dago eta ez da erradiala (paraleloa ez bada ekuatorea).


2.8 Lotura-indarrak eta Lagrangeren biderkatzaileak

Mekanika analitikoaren abantailen artean, lotura-indarrak desagertzea dago; baina, noizeanbehin, horiek ere kalkulatu nahi (edo behar) ditugu. Adibidez, lotura-indarra noiz egiten den zerokalkulatu behar da lotura ez-holonomoak dituzten zenbait sistema mekaniko aztertzeko (ikus,adibidez,2.14problema).

Hauxe da lotura-indarrak kalkulatzeko egin behar den oinarrizko hipotesia: koordenatu oro-kortu independenteak aukeratzean ez ditugula lotura-ekuazio guztiak erabili. Beraz, gure sistema-ren konfigurazioak adierazteko aukeratu ditugunqi koordenatu orokortuak independenteak izanbeharrean, era honetakom lotura-ekuazio independente betetzen dituztela suposatuko dugu:

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.62)

Hamiltonen printzipioaren arabera higidura-ekuazioak hurrengoaren baliokideak dira:

δ

∫ t2

t1

Ldt = 0. (2.63)

Baina, orain,δqi guztiak independenteak ez direnez,2.7atalean azaltzen den Lagrangeren bider-katzaileen metodoa erabili behar da. Beraz,

L = L+

m∑

l=1

λl gl (t, q1, q2, . . . , qn) (2.64)

lagrangear aldatua erabiliz, ekintza egonkorra izateko bete behar diren baldintzak,

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (2.65)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.66)

edota

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (2.67)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.68)

moduan idatzi behar dira.Ikus dezagun nola aplika daitekeen metodo hau pendulu matematikoaren kasuan. Koorde-

natu esferikoetan,ϕ = 0 lotura erabiliz, koordenatu orokortutzatr etaθ aukeratzen baditugu,lagrangearra

L =1

2m(r2 + r2θ2

)+mgr cos θ (2.69)

da etar = l lotura-ekuazioa (hau da,g1 ≡ r−l = 0) betetzen denez, ebatzi behar diren ekuazioakhonako hauek dira:

d

dt

∂L

∂r− ∂L

∂r= m

(r − rθ2 − g cos θ

)= λ

∂g1

∂r= λ, (2.70)

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ= m

(r2θ + 2rrθ + gr sin θ

)= λ

∂g1

∂θ= 0, (2.71)

r = l. (2.72)

2.8 Lotura-indarrak eta Lagrangeren biderkatzaileak 35

Azken ekuazioa aurreko bietan ordezkatuz,

−mlθ2 −mg cos θ = λ, (2.73)

ml2θ +mgl sin θ = 0. (2.74)

Bigarren adierazpena (1.62) higidura-ekuazioa da eta lehenengoaλ biderkatzailearen balioa.

2.8.1 Lotura-indar orokortuak

Lagrangeren biderkatzaileen esangura fisikoa aztertzeko,idatz dezagun lagrangearraL =T − V (edoL = T − U) moduan eta,1.5ataleko kalkulua deseginez, (2.67)–(2.68) ekuazioak

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi +

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (2.75)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (2.76)

eran, indar eragileei dagozkien indar orokortuen bidez:

Qi =

N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi=

−∂V∂qi

,

d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi.

(2.77)

Ageri denez, (2.75) ekuazioak bigarren motako Lagrangeren (1.59) ekuazioen egitura du-te eta, ondorioz,

∑ml=1 λl ∂gl/∂qi gaia indar orokortutzat ulertu behar da, problema baliokideen

kontzeptu emankorraz baliatuz ikusiko dugun bezala. Eman dezagun, (2.76) loturak kentzen ditu-gula, baina jatorrizko kasuko lotura-indarren berdinak direnNk indar eragileak gehitzen ditugula.Argi dago bi problemak guztiz baliokideak izango direla. Adibidez, pendulu matematikoaren ka-suan soka (etar = l lotura) kendu ondoren, jatorrizko probleman sokak eragindakoN indarrarenberdina den indar eragile bat (konputagailuz kontrolaturiko suziri txiki batek eragindakoa edo)sartzen dugu problema baliokidean. Bi kasuetanm masa modu berean higituko da (berdin bai-ta zein den1.2 irudiko gorputz askearen diagramakoN indarraren jatorria, sokak edo suziriak).Problema berriaren higidura-ekuazioak bigarren motako Lagrangeren (2.75) ekuazioen antze-koak izango dira, baina orain indar orokortuetan bi ekarpenegongo dira: jatorrizko problemakoindar eragileen (2.77) adierazpenetakoQi indar orokortuak eta hango lotura-indarren berdinakdirenNk indar eragile berriei dagozkienak:

Q(L)i =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂qi. (2.78)

Higidura-ekuazioak, beraz, hauexek dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi +Q

(L)i , (i = 1, 2, . . . , n). (2.79)

(2.75) eta (2.79) baliokideak direnez, argi dago jatorrizko problemarenNk lotura indarrei dagoz-kien indar orokortuak direla (2.67) ekuazioetako eskuineko gaiak:

Q(L)i =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi. (2.80)


Ondorioz, Lagrangeren biderkatzaileak kalkulatu ondoren, lotura-indar orokortuak zuzenean eza-gutzen ditugu.

Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan lotura-indar orokortuak (2.73)–(2.74) ekuazioeta-ko eskuineko gaiak dira:

Q(L)r = N · ∂r

∂r= N · r = λ, (2.81)

Q(L)θ = N · ∂r

∂θ= rN · θ = 0. (2.82)

Beraz, sokak eragindako ukipen-indarra denez, lotura-indarra erradiala da (Nθ = 0) eta bereosagai erradialaNr = λ = −(mlθ2 +mg cos θ).

2.8.2 Estatika analitikoa

Estatika analitikoan ere erabil daiteke Lagrangeren biderkatzaileen metodoa lotura-indarrakkalkulatzeko. (2.62) loturak kentzen badira, oreka-baldintzak (2.75)–(2.76) higidura-ekuazioetanT = 0 eginez lortzen dira:

Qi +

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (2.83)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.84)

Hemendik oreka-konfigurazioa(k) etaλl biderkatzaileak kalkulatu ondoren, lotura-indar orokor-tuak (2.80) dira. Jakina, indar eragileak kontserbatzaileak badira,oreka-ekuazioak honako hauekdira, (1.83) erlazioen ondorioz:

∂V

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (2.85)

gl (t, q1, q2, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (2.86)

2.6 IRUDIA Hagatxoaren oreka.

Adibide moduan kontsidera dezagun2.6 irudiko hagatxo homogeneoaren oreka. Koordenatuorokortutzatα angelua eta mahaiaren ertzetik neurturiko masa-zentroarenX etaZ koordenatuakaukeratzen baditugu,V = mgZ dugu eta bi lotura-ekuazio geratzen zaizkigu:

g1 = X +l

2cosα− a = 0, (2.87)

g2 = Z − l

2sinα + a tanα = 0. (2.88)

2.8 Lotura-indarrak eta Lagrangeren biderkatzaileak 37

(2.85) ekuazioak, beraz, hauexek dira:

∂V

∂X= 0 = λ1

∂g1

∂X+ λ2

∂g2

∂X= λ1, (2.89)

∂V

∂Z= mg = λ1

∂g1

∂Z+ λ2

∂g2

∂Z= λ2, (2.90)

∂V

∂α= 0 = λ1

∂g1

∂α+ λ2

∂g2

∂α= λ1

(− l

2sinα

)+ λ2

(− l

2cosα +

a

cos2 α

). (2.91)

Beraz,λ1 = 0, λ2 = mg eta ondoko oreka-baldintza lortzen dira:

α = arccos3

√2a

l. (2.92)

Lotura-indar orokortuak, (2.89)–(2.91) ekuazioetako azken gaiak dira:

Q(L)X =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂X=

N∑

k=1

Nk

· i = 0, (2.93)

Q(L)Z =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂Z=

N∑

k=1

Nk

· k = mg, (2.94)

Q(L)α =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂α=

N∑

k=1

r∗k ×Nk

· j = mg

(− l

2cosα +

a

cos2 α

)= 0. (2.95)

Hasierako bi adierazpenek hagatxoaren gainean eragiten duen indar osoa zero dela baieztatzendute:

N∑

k=1

Nk −mgk = 0. (2.96)

Masa-zentroarekiko lotura-indarren momentuareny osagaia zero dela dio hirugarrenak (masa--zentrotik neurtutako posizio-bektorea dar∗k bakoitza). Informazio gehiago erabili behar da (edolotura gehiago kendu behar dira) lotura-indar bakoitzarenbalioa aurkitzeko.

2.2 ARIKETA Erabili lotura-indarrak bi puntutan aplikatzen direla etaloturak idealak direla —eta, beraz,N1 hagatxoarekiko perpendikularra etaN2 horizontala—N1 etaN2 kalkulatzeko. Egiaz-tatu (2.95) baldintzak masa-zentroarekiko lotura-indarren momentua zero dela adierazten duela.


2.9 Problemak

2.1 Gauge aldaezintasuna. Erabili Hamiltonen printzipioa1.8ataleko emaitza berriro frogatze-ko.

2.2 Aurkitu nolakoak diren gainazal zilindriko bateko geodesikoak.

2.3∗ Brakistokronoa. Partikula puntual bat burdinazko hari leun batean barrenahigitzen da gra-bitatearen eraginpean, bi puntu finkoren artean. Pausagunetik askatzen bada, nolakoa izan behardu hariaren formak, bidea egiteko behar den denbora minimoaizateko?Iradokizuna: Suposatu hariaren formay = f(x) ekuazioak emandakoa dela. Erabili energiamekanikoaren kontserbazio-printzipioa abiadura kalkulatzeko. Adierazi integral baten moduanbidea egiteko behar den denbora eta balia zaitez aldakuntzen kalkuluaz denboraren minimoa aur-kitzeko.

2.4∗ Loturak eragindakoa da gainazal esferiko batean higi daitekeen partikula puntual batek pai-ratzen duen indar bakarra. Kalkulatu bi punturen arteko soluzio fisikoari dagokionI0 ekintza etafrogatu esplizituki balio hori dela bi puntuak lotzen dituzten kurba guztietan barrena kalkulatuta-ko ekintzen minimo absolutua.Iradokizuna: Aukeratu koordenatu polar esferikoak modu egokian.

2.5 Hamiltonen printzipio orokortua . Problema batzuetan ondoko erako Hamiltonen printzi-pioa erabiltzen da, lagrangearra azelerazio orokortuen menpekoa baita:

δ

∫ t2

t1

L (t,q, q, q) = 0.

Egin berriro2.5ataleko kalkulua orain higidura-ekuazioak ondokoak direla frogatzeko:

d2

dt2∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n).

2.6 Aplikatu 2.5problema emaitza ondoko lagrangearrari:

L =1

2mxx+

1

2kx2.

Nolako sistema deskribatzen du?

2.7 Azter dezagun nola aldatzen den (2.29) ekintza,soluzio fisiko batean, integralaren muturrakaldatzen direnean. Froga ezazu Lagrangeren ekuazioak betetzen dituztenq(t) funtzioak ordezka-tzen badira ekintzan eta honetanti → ti + δti moduan aldatzen badira muturrak, honela aldatzendela ekintza:

δI =

n∑

i=1

pi δqi −H δt

2

1

,

non geroago aztertuko dugun hamiltondarra erabili dugun:

H ≡n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L.

2.9 Problemak 39

Oharra. Emaitza nagusian agertzen den goiko muturraren aldaketanbi ekarpen daude:

δ[qi (t2)

]= δqi (t2) + qi (t2) δt2.

(Jakina, antzeko gauza bat gertatzen da beheko muturran.)

2.8 Bi puntu finkoren arteko distantziad da eta soka tenkatu baten bidez lotu dira. Bigarrensokaren luzeraL0 ≥ d da. Nola jarri behar da azken hau aipaturiko puntuen artean,bi sokekdefinitutako azalera maximoa izateko?

• Aukeratu triedro egokiena kalkuluak egiteko.

• Idatzi problema aldakuntza-problema baten moduan (ez da orain arte ikusitakoen berdina,baina bai antzekoa).

• Ebatzi problema, ekuazio traszendente baten soluzioaren funtzioan.

• Ebatzi aipaturiko ekuazioa zenbait kasu partikularretan,L0/d zatiduraren balio egokiakaukeratuz.

• Zein da Lagrangeren biderkatzailearen esanahia?

• Zein da analisiak emandako azalera minimoa? Zergatik?

2.9∗ Irudiko hagatxoa orekan dago hemisferio leun ba-tean. Kalkulatu lotura-indarrak, Lagrangeren biderkatzai-leen metodoaren bidez. Eztabaidatu lortzen dituzun ekua-zioen esanahia.

2.10 Irudiko esfera gainazal hemisferiko batean ari dahigitzen labainketarik gabe. Kalkulatu higidura lauarenekuazioa(k), lotura-indarrak eta oszilazio txikien maizta-suna.

2.11 Irudiko zirkunferentziaω abiadura angeluar kons-tantez ari da biratzen bere diametro bertikalaren inguruan.Demagun partikula puntual bat zirkunferentzian zehar hi-gi daitekeela marruskadurarik gabe. Aurki bedi dagokionhigidura-ekuazioa. Konstantea al da partikularen energia?Zein puntutan egon daiteke oreka erlatiboan? Egonkorra alda aipaturiko oreka? Zein da oreka erlatibo egonkorrekopuntuen inguruko oszilazio txikien maiztasuna? Kalkulaitzazu lotura-indarrak.


2.12 Irudiko prisma isoszelea gainazal leun horizontal ba-tean zehar higi daiteke. Hasieran prisma eta partikula pun-tuala pausagunean daude eta partikulaA puntuan. Marrus-kadura arbuiagarria bada, noiz iritsiko da partikula gaina-zal horizontalera? Aurkitu bi higidura-konstante. Kalkulaitzazu lotura-indarrak.

2.13 Eraztun bertikal leun batean higitzen den partikulabeheko puntuarekin loturik dago malguki baten bidez, iru-dian erakusten den bezala. Goiko puntutik abiadura ar-buiagarriarekin askatzen bada, zein izango da partikula-ren abiadura behean? Erabili Lagrangeren biderkatzaileak,eraztunak partikularen gainean eragiten duen lotura inda-rra posizioaren menpean kalkulatzeko.Oharra: Kalkuluak errazteko malgukiaren luzera propioaarbuiagarria dela suposa dezakezu.

2.14∗ Aurkitu zein den bolatxoari eman behar zaionv abiadura, irudiko billar bertikaleko zentroan dagoen zu-loan sartzeko.Oharra: Arbuiatu bolatxoaren erradioa eta marruskadura.Billarraren erradioaR da.

3. GAIA

Simetriak eta kontserbazio-legeak

3.1 IRUDIA Emmy Amalie Noether (1882, Erlangen, Alemania – 1935, Bryn Mawr, AEB).1915ean argitaratu zuen gai honetan aztertuko dugun teorema.

41

42 3 Simetriak eta kontserbazio-legeak

Simetrien eta kontserbazio-legeen arteko erlazio sakona aztertuko da gai honetan. Hemenikusiko duguna, behar den bezala orokortu eta egokitu ondoren, oso emankorra izaten da eremuenteoria modernoetan.

3.1 Momentu kanoniko konjugatuak

Dakigunez,qi koordenatu orokortuari dagokion momentu kanoniko konjugatua honako hauda:

pi ≡∂L

∂qi. (3.1)

(1.100) gogoratuz, pendulu matematikoaren momentu kanonikoa momentu angeluarra delaikusten dugu:

p =∂L

∂θ= ml2θ. (3.2)

Horrexegatik momentu hauek, koordenatuak bezala, «orokortuak» dira: edonolakoak izan daitez-ke dimentsioen aldetik, bainapiqi biderkaduraren dimentsioak ekintzarenak dira beti,[piqi] = [h].

3.1.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak

Momentu kanonikoen definizioarekin, Lagrangeren ekuazioak

pi =∂L

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n) (3.3)

eran idazten dira. Bestalde,qj koordenatu orokortuaziklikoa edoahanzgarria dela esaten dugulagrangearrean esplizituki agertzen ez bada:

∂L

∂qj= 0. (3.4)

Definizio hau eta (3.2) erabiliz, kontserbazio-printzipio bat frogatu dugu:

∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0, (3.5)

hau da,koordenatu zikliko bati dagokion momentu kanoniko konjugatua higidura-konstantea da.Emaitza honek simetrien eta kontserbazio-legeen arteko erlazio estua dagoela frogatzen du. Izanere, koordenatu bat aldatzean lagrangearra ez dela aldatzen adierazten du koordenatua ziklikoaizateak: halako simetria bat dugu kasu horretan eta, ondorioz, dagokion kontserbazio-lege bat.

3.1 ARIKETA Indar zentralak .Aztertu koordenatu ziklikoei dagozkien kontserbazio-legeak in-dar zentralen menpeko higiduran.

Momentu linealaren eta angeluarraren kontserbazio-printzipioen orokorpenak gogoratu ditu-gu atal honetan. Energia mekanikoari dagokiona ikusteko, magnitude berri bat definitu beharkodugu.

3.2 Hamiltondarra 43

3.2 Hamiltondarra

Sistema mekanikoaren hamiltondarra energiaren dimentsioak dituen hurrengo magnitudeada:

H ≡n∑

i=1

qi pi − L =n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L. (3.6)

3.2.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa

Hamiltondarra energia mekanikoaren berdina izateko baldintza nahikoak emango ditugu ja-rraian. Horretarako, sistema mekaniko batnaturala dela esango dugu (loturak holonomoak etaidealak izateaz gain)

1. indar eragileak kontserbatzaileak badira,

L = T − V (t, q1, q2, . . . , qn) , (3.7)

2. eta denbora ez bada esplizituki agertzen (1.33) transformazio-ekuazioetan (lotura guztiakegonkorrak direlako edo):

∂rk

∂t= 0 ⇐⇒ rk = rk (q1, q2, . . . , qn) , (k = 1, 2, . . . , N). (3.8)

Definizio honekin, hauxe dugu hamiltondarraren esangura:sistema mekaniko naturalen hamil-tondarra energia mekanikoa da,

H = T + V. (3.9)

Izan ere, (1.33) transformazio-ekuazioetan denbora esplizituki agertzen ez bada, energia zineti-koaren (1.49) adierazpenean bakarrik geratzen da forma koadratikoa:

T = T2 =1

2

n∑

j,l=1

ajl qj ql, (3.10)

non forma koadratiko honen koefiziente simetrikoak (1.55) diren. Koefiziente hauekqi koorde-natu orokortuen menpekoak izan arren,qi abiadura orokortuen independenteak dira eta, batuke-ta-indize mutuen izenak aldatuz etaaij = aji simetria erabiliz,

∂T

∂qi=

1

2

n∑

l=1

ail ql +1

2

n∑

j=1

aji qj =n∑

j=1

aij qj (3.11)

lortzen dugu, eta hortikn∑

i=1

qi∂T

∂qi=

n∑

i,j=1

aij qiqj = 2T. (3.12)

Funtzio homogeneoen Eulerren teorema ezagunaren kasu berezia den emaitza hau, hamiltonda-rraren (3.6) definizioa eta (3.7) erabiliz, teoremaren frogapena amaitzen dugu:

H =

n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L =

n∑

i=1

qi∂T

∂qi− L = 2T − (T − V ) = T + V = E. (3.13)

Ondorioz, pendulu matematikoaren hamiltondarra honako hau da:

H = T + V =1

2ml2θ2 −mgl cos θ. (3.14)


3.2.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobiren integrala

Hamiltondarraren (3.6) definizioa denborarekiko deribatuz,

H =d

dt

n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L

=n∑

i=1

qi∂L

∂qi+

n∑

i=1

qid

dt

∂L

∂qi−

∂L∂t

+n∑

i=1

∂L

∂qiqi +

n∑

i=1

∂L

∂qiqi

=n∑

i=1

qi

(d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi

)− ∂L

∂t. (3.15)

Denborarekiko deribatu osoa higiduran zehar kalkulatzen denez, azken baturako parentesiak nu-luak dira, Lagrangeren ekuazioen ondorioz. Hortaz,higiduran zehar

dH

dt= −∂L

∂t(3.16)

betetzen dela frogatu dugu. (Deribatu osoen eta partzialenarteko desberdintasuna azpimarratze-ko, ez dugu hemen erabiliH = −∂L/∂t notazio baliokide laburra.)

Badakigu orain noiz kontserbatzen den hamiltondarra:hamiltondarra higidura-konstantea dabaldin eta soilik baldin denbora ez bada esplizituki agertzen lagrangearrean. Hemen ere sime-tria baten eta higidura-konstante baten arteko erlazioa ikusten dugu: denbora ez bada esplizitukiagertzen lagrangearrean, denbora-translazioekiko aldaezina da.

3.3 Transformazio-taldeak

Ikuspuntu pasibotik aztertu genituen (1.125) puntu-transformazioak1.7 atalean. Honekinesan nahi dugu(q1, q2, . . . , qn) eta(q1, q2, . . . , qn) multzoek puntu bera adierazten dutela bi koor-denatu-sistema desberdinetan. Badago, ordea, aipaturikotransformazioakikuspuntu aktibotikulertzea: koordenatu-sistema berean(q1, q2, . . . , qn) puntutik (q1, q2, . . . , qn) delakora joatekoaraua izan daitezke (1.125) puntu-transformazioak. Ikuspuntu hau ez da oso naturala koorde-natu cartesiarretik polarretara joateko transformazioenkasuan, baina, adibidez, (1.133) transfor-mazioa izan daiteke puntua aldatu gabe koordenatuen jatorria −a i puntura eramatea edo koor-denatuak aldatu gabeQ konfigurazio-espazioko puntueia i balioko translazioa aplikatzea. Eraberean, ardatz cartesiarreiOZ ardatzaren inguruan−α balioko biraketa aplikatzea izan daitezke(1.137)–(1.138) transformazioak; baina ekuazio berdinak erabili behar dira koordenatuak aldatugabe puntuekα balioko biraketa pairatzen badute.

Ikuspuntu aktiboan koordenatuak aldatzen ez direnez, lagrangearraren funtzio-egitura ez daaldatzen, baina bai bere balioa,Q konfigurazio-espazioko puntua aldatzen baita:

qi → qi = fi (t, q1, q2, . . . , qn) , (3.17)

L (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) → L(t, q1, q2, . . . , qn, ˙q1, ˙q2, . . . , ˙qn

). (3.18)

Horrela, (1.135) lagrangear berriaren ordez, orain

L(x, ˙x)

=1

2m ˙x2 − V (x) =

1

2mx2 − V (x+ a) (3.19)

3.3 Transformazio-taldeak 45

dugu eta (1.143)-ren ordez honako hau:

L(r, ϕ, ˙r, ˙ϕ

)=

1

2m(

˙r2 + r2 ˙ϕ2)− V (r, ϕ) =

1

2m(r2 + r2ϕ2

)− V (r, ϕ+ α). (3.20)

Azken bi adibideetan transformazioak parametro baten menpekoak dira:a etaα edonolakokonstanteak dira. Oro har, (1.125) transformazioaka parametro konstantearen menpekoak badira,notazio esplizituagoa erabil daiteke:

qi = fi (a; t, q1, q2, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (3.21)

Eman dezagun parametroaren bi balioetako transformazioakhurrenez hurren aplikatzean hau-xe dugula:

qi → qi = fi (a; t, q1, q2, . . . , qn) , (3.22)

qi → ˜qi = fi (b; t, q1, q2, . . . , qn) , (3.23)

qi → ˜qi = fi (c; t, q1, q2, . . . , qn) . (3.24)

Transformazioen konposizioan agertzen denc parametroa

c = Φ(a, b) (3.25)

moduan idazten bada etaΦ funtzioak parametroen espazioan definituriko konposizio-legeak taldebaten propietateak betetzen baditu, parametro bakarreko transformazio-talde bat definitzen dute(3.21) adierazpenek. Horixe gertatzen da goian ikusitako translazioen eta biraketen kasuan, bietanΦ konposizio-legea batuketa baita,Φ(a, b) = a + b, eta, ondorioz, transformazio-talde horiekabeldarrak dira.

3.3.1 Transformazio infinitesimalak

Ez dugu hemen astirik, transformazio-taldeen teoria emankorra aztertzeko. Nahikoa izango daaipatzea parametroarenδa balio infinitesimalekoak konposatuz lortzen dela (3.21) transformaziofinitua. Eman dezaguna = a0 denean identitate transformazioa lortzen dela:

fi (a0; t, q1, q2, . . . , qn) = qi, (i = 1, 2, . . . , n). (3.26)

Orduan, honela adierazten da transformazio infinitesimal bat, Taylorren garapenaz baliatuz:

qi = fi (a0 + δa; t, q1, q2, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n), (3.27)

qi = qi + δqi, (i = 1, 2, . . . , n), (3.28)

δqi = gi (t, q1, q2, . . . , qn) δa, (i = 1, 2, . . . , n), (3.29)

gi ≡∂fi

∂a

∣∣∣∣a=a0

, (i = 1, 2, . . . , n), (3.30)

˙qi = qi + δqi, (i = 1, 2, . . . , n), (3.31)

δqi =dδqidt

= gi δa =

∂gi

∂t+

n∑

j=1

∂gi

∂qjqj

δa, (i = 1, 2, . . . , n). (3.32)


Adibidez, (1.133) translazioaren kasu infinitesimalean

δx = δa, (3.33)

dugu eta (1.137)–(1.138) biraketarenean

δx = −y δα, (3.34)

δy = x δα. (3.35)

3.4 Noetherren teorema

Kalkula dezagun nola aldatzen den lagrangearra (3.28)–(3.29) transformazio infinitesima-lean:

L (t,q + δq, q + δq) = L (t,q, q) + δL (t,q, q) , (3.36)

δL =n∑

i=1

(∂L

∂qigi +

∂L

∂qigi

)δa. (3.37)

3.4.1 Simetria-transformazioak

(3.28)–(3.29) ekuazioek emandakoa simetria-transformazioa dela esango dugu lagrangearra-ren aldaketaΩ (t, q1, q2, . . . , qn) funtzio baten deribatua bada:

δL = Ω δa =

∂Ω∂t

+

n∑

i=1

∂Ω

∂qiqi

δa. (3.38)

1.8ataleko gauge aldaezintasuna gogoratuz, argi dago simetria-transformazio batek ez dituelaaldatzen higidura-ekuazioak (eta hauen soluzioak).

Adibide moduan, kontsidera dezagunE = E i eremu elektrostatiko uniforme konstanteareneraginpeanOX ardatzean barrena higitzen ari denq karga:

L =1

2mx2 + qEx. (3.39)

x→ x+ δa translazioan, honela aldatzen da lagrangearra:

δL = qE δa. (3.40)

Hortaz, aipaturiko translazioa simetria-transformazioada, ondoko funtzioari dagokiona:

Ω(t) = qEt. (3.41)

Simetria-transformazioanΩ = 0 aukera daitekeenean,aldaezintasun-transformazioadelaesango dugu, kasu horretan, Lagrangearra bera ere ez baita aldatzen. Jakina, horrelakoak diraaldagai zikliko bat aldatzen dutenak:

δqi =

0, i 6= j;

δa, i = j;baldin

∂L

∂qj= 0. (3.42)

3.4 Noetherren teorema 47

3.1 TEOREMA (Noether) (3.29) transformazioa simetria bat bada, ondoko magnitudea higi-dura-konstantea da:

G ≡n∑

i=1

∂L

∂qigi − Ω

∝

n∑

i=1

pi δqi − δ

∫Ldt

. (3.43)

(3.37) aldaketa (3.38) baldintzan ordezkatu ondoren zatikako integrazioa eginez, hauxe dugu:

0 =

n∑

i=1

(∂L

∂qigi +

∂L

∂qigi

)− Ω =

d

dt

n∑

i=1

∂L

∂qigi − Ω

−

n∑

i=1

(d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi

)gi. (3.44)

Lagrangeren ekuazioen ondorioz higiduran azken parentesiak zero dira eta, hortaz,G = 0.Adibidez, (3.42) translazio orokortuariG = pj momentu kanonikoa dagokionez, koordenatu

zikliko bati dagokion momentu kanoniko konjugatuaren kontserbazioa berreskuratzen dugu kasuberezi horretan.

Bestalde, (3.39) lagrangearraren kasuan (3.41) dugu eta dagokion higidura-konstantea hauxe:

G = mx− qEt. (3.45)

Momentu linealaren eboluzioa adierazten du honek,t = t0 uneanx = x0 bada, hauxe baitugu:

mx = mx0 + qE (t− t0) . (3.46)

3.4.2 Simetria orokortuak

Interpretazio geometrikoa hain argia ez bada ere, abiaduren menpekoak diren transformazioenkasura heda daiteke Noetherren teorema, frogapena aldatu gabe.

3.2 TEOREMA Eman dezagun

δqi = gi (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) δa, (i = 1, 2, . . . , n), (3.47)

δqi = gi δa, (i = 1, 2, . . . , n) (3.48)

transformazioa aplikatzean lagrangearraren aldaketa

δL ≡ L (t,q + δq, q + δq) − L (t,q, q) = Ω δa (3.49)

moduan idazten dela,Ω (t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) funtzio egoki batekin1. Orduan, higidura--konstantea da (3.43) magnitudea.

Adibide moduan, azter dezagun nola lor daitekeen Jacobirenintegrala. Kontsidera dezagunhigidurak berak sorturiko denbora-translazio inplizitua2:

δqi = qi δa, (i = 1, 2, . . . , n). (3.50)

Denbora ez bada esplizituki agertzen lagrangearrean,∂L/∂t = 0, simetria orokortua da hau:

δL =

n∑

i=1

(∂L

∂qiqi +

∂L

∂qiqi

)δa = L δa. (3.51)

Dagokion higidura-konstantea hamiltondarra da, horixe lortzen baita (3.43) magnitudeanΩ = Letagi = qi ordezkatzean.

1Ohar zaitez orainΩ =∂Ω

∂t+

n∑

i=1

(∂Ω

∂qi

qi +∂Ω

∂qi

qi

)dela, oro har.

23.13probleman aztertzen da nola sartzen den formalismoant → t + δt denbora-translazio esplizitua.


3.5 Partikula-sistemen kontserbazio-legeak

Kontsidera dezagun loturarik gabe higitzen direnN partikula puntualez osaturiko ondokosistema:

L =1

2

N∑

k=1

mkr2k − U (t, r1, r2, . . . , rN , r1, r2, . . . , rN) . (3.52)

3.5.1 Energia mekanikoaren kontserbazioa

∂U/∂t = 0 bada, une guztiak baliokideak dira lagrangearra idazteko:denboraren homo-geneotasun honi hamiltondarraren kontserbazio-legea dagokio. Sistema, gainera, naturala bada,U = V (r1, r2, . . . , rN), energia mekanikoa hamiltondarraren berdina eta higidura-konstantea da.(Ikus, gainera,3.13problema.)

3.5.2 Momentu linealaren kontserbazioa

Eman dezagun (3.52) lagrangearra ez dela aldatzen ondoko translazioan:

δxk = δa, δyk = δzk = 0, (k = 1, 2, . . . , N). (3.53)

Argi dago energia zinetikoa horrelako translazioekiko aldaezina dela, abiadurak ez baitira alda-tzen. Energia potentziala ere aldaezina izateko, nahikoa da, adibidez, (denboraren, abiaduren eta)ri−rj posizio erlatiboen menpeko hutsa izatea:U (t, r1 − r2, r1 − r3, . . . , r1, r2, . . . , r1, . . . , rN).Momentu lineal osoaren orokorpenarenx osagaia da dagokion higidura-konstantea:

G =

N∑

k=1

∂L

∂xk=

N∑

k=1

mkxk −N∑

k=1

∂U

∂xk≡ Px. (3.54)

Antzeko emaitza duguy etaz norabideetan, noski.Puntu guztiak baliokideak badira lagrangea-rra idazteko, hau da espazioa homogeneoa bada,

P ≡N∑

k=1

mkrk −N∑

k=1

∂U

∂rk(3.55)

momentu lineal orokortua higidura-konstantea da. Ageri denez, higidura-konstante hau ohikomomentu lineala da energia potentziala ez bada abiaduren menpekoa.

3.5.3 Momentu angeluarraren kontserbazioa

Kontsidera dezagunOZ ardatzaren inguruko (3.34)–(3.35) biraketa infinitesimala:

δxk = −yk δα, δyk = xk δα, δzk = 0, (k = 1, 2, . . . , N). (3.56)

3.2 ARIKETA Egiaztatu zuzenean energia zinetikoa aldaezina dela, abiaduren moduluen menpe-ko hutsa baita.

3.5 Partikula-sistemen kontserbazio-legeak 49

Energia potentziala ere aldaezina izateko, nahikoa da, adibidez, distantzia eta abiadura eskalar er-latiboen menpeko hutsa izatea:U

(t, |r1 − r2| , |r1 − r3| , . . . , |r1 − r2| , |r1 − r3| , . . .

). Momen-

tu angeluar osoaren orokorpenarenz osagaia da dagokion higidura-konstantea:

G =N∑

k=1

mk (xkyk − ykxk) −N∑

k=1

(∂U

∂yk

xk −∂U

∂xk

yk

)≡ Lz. (3.57)

Antzeko emaitza dugu beste norabideetan, noski.Norabide guztiak baliokideak badira lagran-gearra idazteko, hau da, espazioa isotropoa bada,

L ≡N∑

k=1

mkrk × rk −N∑

k=1

rk ×∂U

∂rk(3.58)

momentu angeluar orokortua higidura-konstantea da.

3.5.4 Masa-zentroaren teorema

Azter dezagun orain arte erabili dugun erreferentzia-sistema inertzialeanδa i abiaduraz higi-tzen den bigarren erreferentzia-sistema inertzial paralelora joateko Galileoren transformazioa:

δxk = t δα, δyk = δzk = 0, (k = 1, 2, . . . , N), (3.59)

δxk = δα, δyk = δzk = 0, (k = 1, 2, . . . , N). (3.60)

Energia potentziala transformazio honekiko aldaezina izango da, adibidez,ri − rj posizio etaabiadura erlatiboen menpeko hutsa denean:

U (t, r1 − r2, r1 − r3, . . . , r1 − r2, r1 − r3, . . .) =⇒ δU = 0. (3.61)

Energia zinetikoa, ordea, ez da aldaezina izango baina, Taylorren garapena erabiliz, hauxe dugu:

δL = δT =

N∑

k=1

mkxk δa =d

dt

N∑

k=1

mkxk

δa. (3.62)

Ondorioz, (3.61) betetzen bada, Galileoren transformazioa simetria bat da—erlatibitatearen prin-tzipioa dugu hemen!— eta dagokion (3.43) higidura-konstantea hauxe:

G = t

N∑

k=1

mkxk −N∑

k=1

mkxk = tPx −MX, (3.63)

non Px delakoaP momentu lineal osoarenx osagaia den,M =∑N

k=1mk sistemaren masaosoa,X = R · i masa-zentroaren abszisa etaMX masa-momentuarenx osagaia. Beste ardatzcartesiarren norabideetan gauza bera eginez, hauxe ikusten dugu:(3.61) egiturakoa bada ener-gia potentziala, Galileoren transformazioak simetriak dira eta dagozkien higidura-konstanteak,masa-zentroarenR posizioaren higidura ematen duen ondoko bektorearen hiru osagai indepen-denteak:

G = tP −MR. (3.64)


Aurreko ataletan ikusitakoaren ondorioz, (3.52) lagrangearrean energia potentzial orokortuaU(|r1 − r2| , |r1 − r3| , . . . , |r1 − r2| , |r1 − r3| , . . .

)egiturakoa bada, hamar higidura-konstante

ditugu:

H =N∑

k=1

∂L

∂rk

· rk − L = T + U −N∑

k=1

∂U

∂rk

· rk, (3.65)

P =

N∑

k=1

mkrk −N∑

k=1

∂U

∂xk, (3.66)

L =N∑

k=1

mkrk × rk −N∑

k=1

(∂U

∂yk

xk −∂U

∂xk

yk

), (3.67)

G = tP −MR. (3.68)

Gainera sistema naturala bada,U = V(|r1 − r2| , |r1 − r3| , . . .

), hauexek dira hamar kontserba-

zio-legeak:

H = T + V, P =

N∑

k=1

mkrk, L =

N∑

k=1

mkrk × rk, G = tP−MR. (3.69)

3.6 Problemak 51

3.6 Problemak

3.1 Lerro zuzen batean barrena higitzen den partikula baten lagrangearra honako hau da:

L =1

2m(x2 − ω2x2

)e2γt.

(m, ω etaγ konstanteak positiboak dira.)(a) Higidura-konstantea al da hamiltondarra? Zergatik?(b) Erabili q ≡ eγtx puntu-transformazioa, higidura-konstante bat aurkitzeko.(c) Nolako sistema mekanikoari dagokio lagrangear hori?Iruzkina egin emaitzei.

3.2 Kontsidera dezagun hurrengo lagrangearra:

L =1

8αx2

x.

(α konstantea da.) Aurkitu koordenatu berria zikliko bihurtzen duenq = q(t, x) puntu-transfor-mazio egoki bat. Iruzkina egin emaitzari.

3.3 Erabili 3.2 probleman ikasitakoa ondoko lagrangearraren soluzio orokorra idazteko, ia kal-kulurik egin gabe:

L =1

8αx2

x− 1

2βx.

(α etaβ konstanteak dira.) Iruzkina egin emaitzari.

3.4 Momentu linealaren kontserbazioa. Froga ezazu nahikoa dela

Z =

N∑

k=1

∂U

∂xk

magnitudea zero izatea,3.5 ataleko partikula-sistemaren (3.53) translazioa aldaezintasun-trans-formazioa izateko. Zer gertatzen daZ konbinazioaΛ (t, r1, r2, . . . , rN) funtzio baten denborare-kiko deribatu osoa denean?

3.5 Momentu angeluarraren kontserbazioa. 3.4 ildotik, aurkituU energiak bete behar duenbaldintza nahiko bat,3.5ataleko (3.56) biraketa (3.52) lagrangearraren simetria izateko.

3.6 Masa-zentroaren teorema. Aurkitu U energia potentzialak bete behar duen baldintza nahi-ko bat,3.5ataleko (3.59)–(3.60) transformazioa (3.52) lagrangearraren simetria izateko.

3.7 Indar zentralak. Partikula puntual bat indar-eremu zentral batean higitzen bada, honelaidazten da lagrangearra indar-poloan zentratutako koordenatu polar esferikoetan:

L =1

2m(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θ ϕ2

)− V (r).

Aztertu3.5ataleko kontserbazio-printzipioen artean zeintzuk aplikatzen diren.


3.8 Bi gorputzen problema. Bi partikula puntualen masakm1 etam2 dira eta bakoitzak paira-tzen du besteak sorturiko indar zentrala. Idatzi sistemaren lagrangear osoa eta aztertu3.5atalekokontserbazio-printzipioen artean zeintzuk aplikatzen diren.

3.9∗∗ Keplerren problema. Kontsidera dezagun Keplerren problema koordenatu cartesiarretan:

L =1

2mr2 +

k

r, r2 = r2.

Froga ezazu ondoko transformazioa simetria orokortua dela:

δr = m[2xr − xr − (r · r) i

]δa.

Frogatu dagokion higidura-konstanteaLaplace, Runge eta Lenz-en bektorearenAx osagaia de-la:

A = p × L −mkr

r.

Erabili A · r biderkadura orbitaren ekuazioa berreskurazteko. Zenbat higidura-konstante berrilortzen dira bektore honen bidez?

3.10∗ Kontsidera dezagun berriro1.8problemako sistema. Frogatu ondoko hiru transformazioaksimetriazkoak direla eta aurkitu dagozkien higidura-konstanteak:

δx = δa, δy = 0,

δx = 0, δy = δa,

δx = β δa, δy = α δa.

Zein da transformazio bakoitzaren eta dagokion higidura-konstantearen esangura? Aurkitu lauhigidura-konstante funtzionalki independente. Zertarako erabil daitezke? Zure ustez, gauza beraegin daiteke problema askotan?

3.11 Aurkitu 1.9problemako sistemaren bi higidura-konstante.

3.12 Noetherren teorema. Eman dezagun, koordenatu orokortuez gain, denbora ere aldatzendela transformazio infinitesimal batean:

t = t+ δt = t+ h(t,q) δa,

qi = qi + δqi = qi + gi(t,q) δa, (i = 1, 2, . . . , n).

Eman dezagun ekintza ez dela aldatzen transformazio honetan,∫ t2

t1

L(t, q, ˙q

)dt =

∫ t2

t1

L (t,q, q) dt,

edo, orokorpen moduan, ondoko baldintza betetzeko modukoΩ(t,q) funtzio bat existitzen dela:∫ t2

t1

L(t, q, ˙q

)dt =

∫ t2

t1

[L (t,q, q) + Ω δa

]dt,

Froga ezazu transformazioa aplikatzean ez direla aldatzenhigiduraren soluzioak (hau da, sime-tria-transformazioa dela) eta ondoko magnitudea higidura-konstantea dela:

G =n∑

i=1

∂L

∂qi(gi − hqi) + Lh− Ω.

3.6 Problemak 53

3.13 Denbora-translazioa. Kontsidera dezagun denbora-translazio esplizitu konstante bat:

δt = δa, δqi = 0, (i = 1, 2, . . . , n).

Froga ezazu lagrangearra ez denean denboraren esplizitukimenpekoa (∂L/∂t = 0), transforma-zio hau3.12probleman aztertutako simetria-transformazioetakoa dela. Zein da dagokion higidu-ra-konstantea?

3.14 Partikula puntual bat loturarik gabe higitzen da bigarren mailako funtzio homogeneoa denenergia potentzial batean:

V (ar) = a−2V (r), ∀a.Erabili energia mekanikoaren kontserbazio-legea, Noetherren teoremaren bidez bigarren higidu-ra-konstante bat aurkitzeko. Zer adierazten du kontserbazio-legeak, aipaturiko higidura-konstan-tearen deribatuan higidura-ekuazioak ordezkatzean?

4. GAIA

Formalismo hamiltondarra

4.1 IRUDIA Sir William Rowan Hamilton (1805, Dublin – 1865, Dublin).

55

56 4 Formalismo hamiltondarra

Hamiltonen formalismo kanonikoari buruz [7] liburuan ikusitakoa berrikusteaz eta sakon-tzeaz gain, notazio erabilgarri bat sartuko dugu, kalkulu eta frogapen batzuk egiteko oso lagun-garria izango dena.

4.1 Legendreren transformazioa

Gai honetan kontsideratu ditugun lagrangearrak beti izango diraez-singularrak, hau da, abia-durekiko hesiarra ez da zero izango:

det

(∂2L

∂qi∂qj

)n

i,j=1

6= 0. (4.1)

Baldintza hau, adibidez, beti beteko da energia potentziala ez bada abiadura orokortuen menpe-koa,V (t, q1, q2, . . . , qn) egiturak eta (1.49)–(1.56) emaitzek frogatzen duten bezala.

Lagrangeren (1.96) ekuazioetan oinarrizko aldagai independenteakt denbora,qi koordenatuorokortuak etaqi abiadura orokortuak dira. Bestalde, momentu kanonikoak aipaturiko aldagaienmenpean adierazten dira (3.1) definizioan:

pi ≡∂L

∂qi(t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (4.2)

(4.1) baldintzaren ondorioz,n definizio hauetatikn abiadura orokortuak aska daitezke denbora-ren, koordenatu orokortuen eta momentu orokortuen funtzioan:

qi = qi (t, q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn) . (4.3)

Hauxe da Legendreren transformazioa eta hemendik aurrera honetaz baliatuko gara magnitudefisiko guztiak, oinarrizko aldagai independente berriak diren denboraren, koordenatu orokortueneta momentu orokortuen menpean idazteko. Adierazpenak arintzeko, lehenago ere egin dugunez,n dimentsioko espazio abstraktuetakoq ≡ (q1, q2, . . . , qn) eta p ≡ (p1, p2, . . . , pn) bektore--notazio laburtua erabiliko dugu askotan. Honela idazten da aipaturiko transformazioa, beraz:

q = q (t,q,p) . (4.4)

Pendulu matematikoaren kasuan, (3.2) momentua erabiliz, hauxe dugu Legendreren transfor-mazioa:

θ =p

ml2. (4.5)

4.1.1 Hamiltondarra

Hemendik aurrera hamiltondarra, (3.6) barik,

H(t,q,p) =

n∑

i=1

pi qi(t,q,p) − L[t,q, q(t,q,p)

](4.6)

izango da, nonqi abiadura orokortuak Legendreren (4.3) transformazioa erabiliz ezabatu ditugun.Honela idatziko dugu, beraz, pendulu matematikoaren (3.14) hamiltondarra gai honetan:

H =p2

2ml2−mgl cos θ. (4.7)

4.2 Hamiltonen ekuazio kanonikoak 57

Kalkula ditzagun (4.6) hamiltondarraren deribatuak oinarrizko aldagai berri hauetan, momen-tuen (3.1) definizioa erabiliz:

∂H

∂t=

n∑

i=1

pi∂qi∂t

−

∂L∂t

+n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂t

= −∂L

∂t, (4.8)

∂H

∂qj=

n∑

i=1

pi∂qi∂qj

−

∂L∂qj

+n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂qj

= − ∂L

∂qj, (4.9)

∂H

∂pj= qj +

n∑

i=1

pi∂qi∂pj

−n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂pj

= qj(t,q,p). (4.10)

4.2 Hamiltonen ekuazio kanonikoak

Lagrangeren (3.3) ekuazioak honela idazten dira (4.9) deribatuaren bidez:

pi = −∂H∂qi

. (4.11)

Bainan ekuazio hauek momentuen eboluzioa ematen digute, baina ez koordenatuena, honeta-rako (4.10) ekuazioak behar baitira. Hamiltonen formalismoan higidura-ekuazioak, Lagrangeren(1.96) ekuazioen baliokideak diren ekuazio kanonikoak, honela idazten dira:

qi =∂H

∂pi

, (i = 1, 2, . . . , n), (4.12)

pi = −∂H∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n). (4.13)

Adibidez, honela idazten dira ekuazioa kanonikoak pendulumatematikoaren kasuan:

θ =p

ml2, p = −mgl sin θ. (4.14)

4.1 ARIKETA Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan . Frogatu (1.103) la-grangearretik lortutako hamiltondarra eta ekuazio kanonikoak hauexek direla:

H =p2

2m+ V (r), (4.15)

r =∂H

∂p=

p

m, (4.16)

p = −∂H

∂r= −∂V

∂r= −∇V. (4.17)

4.3 Fase-espazioa

Lagrangeren formalismoan (1.96) higidura-ekuazioak bigarren ordenakon ekuazio diferen-tzial arrunt dira. Aldagai independentea denbora da eta menpekoakn koordenatu orokortuak.


Ekuazio diferentzialak ebatziz gero,n koordenatu orokortuen etan abiadura orokortuen hasta-pen-baldintzen multzo bakoitzeko soluzio bat dugu,qi koordenatu orokortuek konfigurazio-espa-zioan duten eboluzioa ematen duena. Adibidez, pendulu matematikoarenθ(t) eboluzioa konfigu-razio-espazioan kalkulatzeko, (1.101) ekuazioa ebatzi behar da hasierakoθ angelua etaθ abiaduraangeluarra erabiliz.

Hamiltonen formalismoan (4.12)–(4.13) higidura-ekuazioak lehen ordenakoak dira, baina2ndenetara. Aldagai independentea denbora da eta menpekoakn koordenatuak etan momentu oro-kortuak. Eboluzioa, beraz, fase-espazioa deritzon(q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn) koordenatuen es-pazio abstraktuan gertatzen da. Hastapen-baldintzak, berriro ere,2n dira: hasierako koordenatuaketa momentuak.

4.2 IRUDIA Pendulu matematikoaren fase-espazioa1.

Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan,(θ, p) fase-espazioan sistema adierazten duenpuntuaren eboluzioa ematen dute ekuazio kanonikoek.4.2 irudian erakusten dira fase-ibilbidebatzuk.

(4.12) ekuazioak Legendreren transformazioak dira,q(t,q,p) funtzioak ematen baitizkigute.Hortik, alderantzizkop(t,q, q) funtzioak askatu ondoren (4.13) ekuazioetan ordezkatzen badira,Lagrangeren bigarren ordenakon ekuazio diferentzialak berreskuratzen dira, jakina.

4.3.1 Notazio laburtua

Fase-espazioaren aldagai guztiak batera adierazteko, ondoko notazioa erabiliko dugu:

si ≡ qi, (i = 1, 2, . . . , n), (4.18)

sn+i ≡ pi, (i = 1, 2, . . . , n). (4.19)

Horrela puntu baten koordenatuak,(q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn) edo (s1, s2, . . . , s2n) moduanadieraz daitezke.

Gainera,

ωαβ = −ωβα ≡

1, β = α + n;

−1, α = β + n;

0, bestela

(4.20)

1Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/faseak.html simulazioa.

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/faseak.html

4.3 Fase-espazioa 59

indizeak erabiliz, honela definitzen da2n× 2n matrize sinplektikoa:

ω =(ωαβ

)2n

α,β=1=

(0n 1n

−1n 0n

)=

0 0 · · · 0 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 1 · · · 0...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · 0 0 0 · · · 1

−1 0 · · · 0 0 0 · · · 00 −1 · · · 0 0 0 · · · 0...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · −1 0 0 · · · 0

. (4.21)

Ageri denez,ω matrizea antisimetrikoa, ortogonala, unimodularra eta alderanzgarria da:

ω⊤ · ω = ω · ω⊤ = −ω2 = 12n, (4.22)

ω−1 = ω⊤ = −ω, (4.23)

det ω = det ω⊤ = det ω−1 = 1. (4.24)

(4.22) propietatearen osagaiak

2n∑

α=1

ωαβωαγ =

2n∑

α=1

ωβαωγα = δβγ, (β, γ = 1, 2, . . . , 2n) (4.25)

moduan idazten dira esplizituki, identitatearen osagaiakdiren Kroneckerren deltaren balioak era-biliz:

δαβ ≡

1, α = β;

0, α 6= β.(4.26)

Baina hemendik aurrera,1-tik 2n-ra doazen indize grekoekinEinsteinen batuketa-hitzarme-naerabiliko dugu:indize greko bat behin baino gehiagotan agertzen bada adierazpen batean,dagozkion2n balioetarako batuketa egiten dela ulertu behar da. Horrela, (4.25) ekuazioak ho-nela idazten diraα-rekiko batuketa inplizituarekin:

ωαβωαγ = ωβαωγα = δβγ , (β, γ = 1, 2, . . . , 2n). (4.27)

4.3.2 Sistema dinamiko hamiltondarrak

Sistema hamiltondar batean, honela agertuko zaizkigu notazio laburrean Hamiltonen (4.12)–(4.13) ekuazio kanonikoak:

sα = ωαβ∂H

∂sβ, (α = 1, 2, . . . , 2n). (4.28)

Alderantziz, eman dezagun2n dimentsioko espazio batean ondokosistema dinamikoa(hauda, lehen ordenako2n ekuazio diferentzial arrunten sistema) dagoela definiturik:

sα = Sα (t, s1, s2, . . . , s2n) , (α = 1, 2, . . . , 2n). (4.29)


Argi dago (4.28) sistema hamiltondar guztiak direla (4.29) egiturakoak. Eta alderantziz? Noizizango da hamiltondarra (4.29) sistema dinamikoa? Hau da, noiz existituko da

Sα = ωαβ∂H

∂sβ

, (α = 1, 2, . . . , 2n) (4.30)

baldintzak betetzen dituenH (t, s1, s2, . . . , s2n) funtzio bat? (4.27) erabiliz, modu baliokide ho-netan idazten dira azken baldintzak:

ξγ ≡ Sαωαγ =∂H

∂sγ

, (γ = 1, 2, . . . , 2n). (4.31)

A.2.3ataleko Poincaréren lema gogoratuz, argi dago —azken hauekbetetzeko eta—(4.29) siste-ma dinamikoa hamiltondarra izateko bete behar diren baldintza beharrezko eta nahikoak haue-xek direla:

∂ξα∂sβ

=∂ξβ∂sα

, (α, β = 1, 2, . . . , 2n). (4.32)

Era baliokide honetan ere idazten dira baldintza horiek:

ωαγ∂Sγ

∂sβ

= ωβγ∂Sγ

∂sα

, (α, β = 1, 2, . . . , 2n). (4.33)

Baldintza hauek betetzen direnean, (4.30) adierazpenekoH hamiltondarra bakarra da, denborarenmenpeko hautazko funtzio gehigarri bat izan ezik.

Adibidez,n = 1 bada,

s1 = s1, (4.34)

s2 = s2 (4.35)

ez da hamiltondarra, hauxe baitugu:

ω1γ∂Sγ

∂s2=∂S2

∂s2= 1 6= ω2γ

∂Sγ

∂s1= −∂S1

∂s1= −1. (4.36)

4.4 Aldagai dinamikoak fase-espazioan

Hamiltonen formalismoan aldagai dinamikoa deritzo oinarrizko aldagaien edozein funtziori:F (t,q,p) = F (t, q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn) Aldagai dinamikoen arteko kasu bereziak diraqi koordenatu bakoitza,pi momentuetako bat etaH hamiltondarra, besteak beste.

4.4.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak

Formalismo lagrangearrean koordenatu bat ziklikoa dela esaten da lagrangearrean esplizitukiagertzen ez bada, baina, (4.9) erabiliz, argi dago koordenatua hamiltondarrean ez agertzea delaziklikoa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa:

∂L

∂qi= −∂H

∂qi= 0. (4.37)

Horrelako kasuetan lagrangearrak eta hamiltondarrak duten simetria honi dagokion kontserbazio--printzipioa (3.2) ekuaziotik lortzen zen han eta horren ordezkoa den (4.13) ekuazioaren ondoriozuzena da hemen:

∂H

∂qj= 0 ⇐⇒ ∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0. (4.38)

4.5 Poissonen makoak 61

4.4.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa

Hamiltondarraren kontserbazio-legea ikusi baino lehenago, azter dezagun aldagai dinamikobaten eboluzio-ekuazioa:

F =∂F

∂t+∂F

∂sαsα =

∂F

∂t+∂F

∂sαωαβ

∂H

∂sβ. (4.39)

Adierazpen honetanF = H egiten bada,

H =∂H

∂t(4.40)

lortzen duguωαβ = −ωβα antisimetriaren ondorioz eta, (4.8) gogoratuz:

dH

dt=∂H

∂t= −∂L

∂t. (4.41)

Ondorioz,hamiltondarra higidura-konstantea da baldin eta soilik baldin denboraren funtzio es-plizitua ez bada edo, gauza bera dena, denbora ez bada esplizituki agertzen lagrangearrean:

∂H

∂t= 0 ⇐⇒ ∂L

∂t= 0 ⇐⇒ H = 0. (4.42)

Penduluaren kasuan hamiltondarra higidura-konstantea eta energia mekanikoaren berdina da:

H(θ, p) =p2

2ml2−mgl cos θ = E. (4.43)

Kontserbazio-printzipio honek fase-espaziokoθ etap aldagaien arteko erlazio bat ematen duenez,4.2 irudiko fase-orbiten (edo fase-ibilbideen) ekuazioa da. Oszilazio txikien kasuan osziladoreharmonikoaren fase-orbitak elipseak direla ikusten dugu:

1

2ml2p2 +

mgl

2θ2 ≈ E +mgl. (4.44)

Horixe bera ikusten da4.2 irudiko jatorriaren inguruan.

4.5 Poissonen makoak

(4.39) ekuazioko azken gaian oinarritzen garaF (t,q,p) etaG(t,q,p) aldagai dinamikoenPoissonen makoa (edo parentesia2) definitzeko:

[F,G] ≡ ∂F

∂sαωαβ

∂G

∂sβ(4.45)

=

n∑

i=1

(∂F

∂qi

∂G

∂pi− ∂F

∂pi

∂G

∂qi

)=

n∑

i=1

∂(F,G)

∂(qi, pi). (4.46)

Ageri denez, antisimetrikoak dira Poissonen makoak,

[G,F ] = − [F,G] , (4.47)

[F, F ] = 0, (4.48)

2Liburu batzuetan,[·, ·] notazioaren ordez,(·, ·) edo·, · erabiltzen da.


eta erraz egiaztatzen da ezkerretik eta eskuinetik linealak direla, hauxe baitugua etab konstanteakbadira:

[F, aG+ bK] = a [F,G] + b [F,K] , (4.49)

[aF + bG,K] = a [F,K] + b [G,K] . (4.50)

Bestalde, honela geratzen da Leibnizen erregela:

[F,GK] = [F,G]K + [F,K]G, (4.51)

[FG,K] = F [G,K] +G [F,K] . (4.52)

Garrantzi handikoa da4.13probleman frogatuko dugunJacobiren identitatea:[F, [G,K]

]+[G, [K,F ]

]+[K, [F,G]

]= 0. (4.53)

G = sα eginez,

[sα, F ] = ωαβ∂F

∂sβ

, (α = 1, 2, . . . , 2n), (4.54)

[qi, F ] =∂F

∂pi

, (i = 1, 2, . . . , n), (4.55)

[pi, F ] = −∂F∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n), (4.56)

dugunez, honela geratzen diraoinarrizko makoak :[sα, sβ

]= ωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n), (4.57)[

qi, qj]

= 0, (i, j = 1, 2, . . . , n), (4.58)[pi, pj

]= 0, (i, j = 1, 2, . . . , n), (4.59)[

qi, pj

]= δij , (i, j = 1, 2, . . . , n). (4.60)

(Baliokide kuantikoak diren trukatzaileek ere propietatehauek betetzen dituzte, azken emaitzani~ bat sartzen bada Kroneckerren deltaren aurrean.)

4.5.1 Eboluzio-ekuazioak

Aldagai dinamiko baten (4.39) eboluzio-ekuazioa, honela idazten da, beraz,

F =∂F

∂t+ [F,H ]. (4.61)

Adierazpen honetanF = H egiten badugu, (4.48)-ren ondorioz (4.40) berreskuratzen dugu.Bestalde,F = sα eginez, era baliokide honetan idazten dira Hamiltonen ekuazio kanonikoak:

sα = [sα, H ] , (α = 1, 2, . . . , 2n), (4.62)

edo, nahiago bada,

qi = [qi, H ] , (i = 1, 2, . . . , n), (4.63)

pi = [pi, H ] , (i = 1, 2, . . . , n). (4.64)

4.6 Liouvilleren teorema 63

4.5.2 Higidura-konstanteak

Azken ekuazioan,pi momentu kanonikoa higidura-konstantea izateko bete beharden baldin-tza, hamiltondarrarekin duen makoa zero izatea dela ikusten dugu:

[pj , H

]= 0 ⇐⇒ ∂H

∂qj= 0 ⇐⇒ ∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0. (4.65)

Orokorki,F aldagaia higidura-konstantea izango da ondoko baldintza betetzen denean:

∂F

∂t+ [F,H ] = 0. (4.66)

Bereziki denboraren menpekotasun espliziturik gabekoF (q,p) aldagai dinamikoaren eboluzio--ekuazioa

F = [F,H ] (4.67)

denez,F (q,p) aldagaia higidura-konstantea izango da baldin eta soilik baldin hamiltondarra-rekin duen makoa zero bada:[F,H ] = 0.

4.6 Liouvilleren teorema

Kalkuluak errazteko, eman dezagun sistema mekanikoak askatasun-gradu bakarra duela3; fa-se-espazioaren dimentsioa 2 izango da, beraz. Kasu berezi honetako fase-planoaren azaleraren(eta kasu orokorrean, fase-espazioaren hiperbolumenaren) eboluzioa aztertzeko, ikus dezagunnola aldatzen den higiduran zehar4.3 irudiko E(t) eremu bat4. Sistema batt unean adieraztenduen(q, p) puntuat′ aldiunean(q′, p′) ≡ (φ(t′), ψ(t′)) puntuan egongo da, baldin etaφ(t′) etaψ(t′) funtzioek sistemaren soluzio bat osatzen badute:

φ(t′) =∂H

∂p

[φ(t′), ψ(t′)

], ψ(t′) = −∂H

∂q

[φ(t′), ψ(t′)

], (4.68)

φ(t) = q, ψ(t) = p. (4.69)

t′ aldiunean4.3 irudikoE(t) eremuko puntuakE(t′) delakoan egongo dira, eta azken honenazalera hurrengoa izango da:

S(t′) =

∫

E(t′)

dq′ dp′ =

∫

E(t)

∂(φ(t′), ψ(t′)

)

∂(q, p)dq dp. (4.70)

Integrala(q, p) koordenatu konstanteen bidez adierazteko, aldagai-aldaketa egokia egin dugu bi-garren integralean; horrela,t′ aldagaiarekiko menpekotasuna integrazio-eremutik integrakizuneraigarotzen da eta bertan errazago deribatzen da, azalerarenaldaketa kalkulatzeko:

dS

dt=dS(t′)

dt′

∣∣∣∣∣t′=t

=

∫

E(t)

D(q, p) dq dp, (4.71)

35.6.1atalean ikusiko dugu frogapen orokorra.4Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/Liouville.html orriko si-

mulazioa.

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/Liouville.html


4.3 IRUDIA Fase-espazioko eremu baten eboluzioa.

non integrakizuna jacobiarraren deribatua den,

D(q, p) =d

dt′∂(φ(t′), ψ(t′)

)

∂(q, p)

∣∣∣∣∣t′=t

. (4.72)

Hau erraz kalkulatzen da (4.68) eta (4.69) erabiliz:

D(q, p) =d

dt′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t′=t

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t′=t

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t′=t

=

∣∣∣∣∣∣∣

∂2H

∂q∂p

∂2H

∂p2

0 1

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣

1 0

−∂2H

∂q2− ∂2H

∂p∂q

∣∣∣∣∣∣∣=∂2H

∂q∂p− ∂2H

∂p∂q= 0. (4.73)

Askatasun-gradu guztietarako betetzen den emaitza honen orokorpena, mekanika estatisti-koan garrantzi handia duen Liouvilleren teorema da:fase-espazioaren hiperbolumena higidura--konstantea da. Hastapen-baldintza desberdinei dagozkien fase-espazioko puntuak fluido konpri-miezinen antzera higitzen dira: horrexegatik, jario hamiltondarra deitzen zaio higidura (abstraktu)honi batzuetan.

4.7 Hamiltonen printzipio aldatua

Ikus dezagun nola lor daitezkeen aldakuntza-printzipio batetik ekuazioa kanonikoak. Haste-ko, ondoko lagrangear aldatua definituko dugu:

L∗(t,q,p, q, p) ≡n∑

i=1

piqi −H(t,q,p). (4.74)

4.7 Hamiltonen printzipio aldatua 65

(Ageri denez,∂L∗/∂pi = 0 dugu.) Azpimarratu behar da hau bakarrik dela ohiko lagrangearrarenberdina higiduran barrena; bestela, askatasun osoa daukagu pi momentuak nahi den moduanaukeratzeko. Horrela, bi aldiune (t1 etat2) eta fase-espazioko bi puntu (P1 = (q1,p1) etaP2 =(q2,p2) lotzen dituen kurba geometriko bat

qi = qi(t), pi = pi(t), (t1 ≤ t ≤ t2; i = 1, 2, . . . , n) (4.75)

aukeratzen badira, dagokien ekintza aldatua hauxe izango da:

I∗[q,p] ≡∫ t2

t1

L∗ dt. (4.76)

Horrelako kurba geometrikoen artean, ekintza aldatua minimoa (muturrekoa) egiten duena izangoda higidura fisikoa. Izan ere,

δI∗[q,p] = 0 (4.77)

ebazteko askatu behar diren Euler eta Lagrangeren ekuazioak hauexek dira orain:

d

dt

∂L∗

∂qi− ∂L∗

∂qi= pi +

∂H

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (4.78)

d

dt

∂L∗

∂pi

− ∂L∗

∂pi

= −qi +∂H

∂pi

= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (4.79)

Argi dago ekuazio kanonikoak direla.


4.8 Problemak

4.1 Aurkitu ondoko lagrangearrari dagokion hamiltondarra:

L =1

2m (q1 + q2)

2 − V (q1, q2) .

4.2 Karga baten lagrangearra. Eremu elektromagnetiko baten potentzial eskalarraΦ(t, r) badaeta potentzial bektorialaA(t, r), zein da bertan higitzen denq kargaren lagrangearra?

4.3 Koordenatu parabolikoak. m masako partikula puntualaV (r) energia potentzialean higi-tzen da. Idatzi koordenatu parabolikoetan5 dagokion hamiltondarra.

4.4 Koordenatu eliptikoak. m masako partikula puntualaV (r) energia potentzialean higitzenda. Idatzi koordenatu eliptikoetan6 dagokion hamiltondarra.

4.5 Lagrangear ez-singularrak. Erabili (1.126) propietatea, (1.125) puntu-transformazio ba-tean lagrangearra singularra (ez) izateko propietatea ez dela aldatzen.

4.6 Hamiltondar ez-singularrak. Froga ezazu lagrangearra singularra ez izatea eta hamiltonda-rra singularra ez izatea propietate baliokideak direla:

det

(∂2L

∂qi∂qj

)n

i,j=1

6= 0 ⇐⇒ det

(∂2H

∂pi∂pj

)n

i,j=1

6= 0.

4.7 Legendreren alderantzizko transformazioa. Froga ezazu hamiltondar bat singularra ez de-nean, hau da,4.6problemako baldintza betetzen denean,

∂H

∂pi

= qi, (i = 1, 2, . . . , n)

ekuazioetatik lor daitezkeelapi = pi (t,q, q) transformazioak eta lagrangearra

L =n∑

i=1

qi pi (t,q, q) −H[t,q,p (t,q, q)

]

moduan definitzen bada, Hamiltonen ekuazio kanonikoak Lagrangeren ekuazioetara laburtzendirela:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i,= 1, 2, . . . , n).

4.8∗ Eztabaidatu hurrengo sistema dinamikoa hamiltondarra den:

x =x

x2 + y2, y =

y

x2 + y2.

4.9 Nola aldatzen dira momentu kanonikoak eta hamiltondarra,G(t,q) funtzioak definitutakoL→ L+ G gauge transformazioan? Zer gertatzen da Jacobiren integralarekin?

5IkusA.1.4atala.6IkusA.1.5atala.

4.8 Problemak 67

4.10 Demagunω bektorea konstantea dela eta partikula puntual bati koordenatu cartesiarretandagokion hamiltondarra

H =p2

2m− ω · (r × p).

Kalkulatu dagokion lagrangearra. Nolako sistema fisikoa deskribatzen du?

4.11 Partikula erlatibista. EgiaztatuV (r) energia potentzialean higitzen den partikula erlati-bista baten hamiltondarra honako hau dela:

H =√m2c4 + c2p2 + V (r).

Zein da honen esangura fisikoa? Eta dagokion lagrangearra? Zer gertatzen da abiadura txikikolimitean?

4.12∗∗ Azter dezagun koordenatu cartesiarretan idatzitako ondoko hamiltondarra:

H =cp

n(r),

nonp = |p| den,c konstante bat etan(r) posizioaren funtzio ezagun bat. Aurkitu higidura-ekua-zioak eta dagokion lagrangearra. Idatziω ≡ H etak = p, hamiltondarrak nolako sistema fisikoadeskribatzen duen ikusteko. Ebatzi higidura-ekuazioak,n = ax kasu partikularrean (a konstantebatekin).

4.13∗ Jacobiren identitatea. Frogatu (4.53) propietatea.

4.14 Egiaztatu Poissonen makoen ondoko propietateak, kalkulu asko egiteko oso erabilgarriakdirenak:

[f(sα), F

]= f ′(sα)ωαβ

∂F

∂sβ,

[f(qi), F

]= f ′(qi)

∂F

∂pi,

[f(pi), F

]= −f ′(pi)

∂F

∂qi.

Oharra: Azpimarratu behar da kasu bakoitzean aldagai bakarreko funtzioa delaf .

4.15∗ Poissonen makoen teorema. Demagun2n dimentsioko espazio batean ondoko sistemadinamikoa dugula:

sα = Sα (t, s1, s2, . . . , s2n) , (α = 1, 2, . . . , 2n).

Frogatu ondoko hiru baieztapenak baliokideak direla:

1. Sistema hamiltondarra da.

2. Soluzio guztietan betetzen da ondoko baldintzaF etaG aldagai dinamiko guztiekin:

d

dt[F,G] = [F , G] + [F, G].


3. Ondoko baldintzak betetzen dira:

[sα, Sβ

]=[sβ, Sα

], (α, β = 1, 2, . . . , 2n).

4.16 Levi-Civitaren permutazio-ikurra . Kalkulu batzuk egiteko,(1, 2, 3)-ren permutazio ba-ten zeinua adierazten duenǫijk ikurra erabiltzen da:

ǫijk ≡

1, (i, j, k) hirukotea(1, 2, 3)-ren permutazio bikoitia da;

−1, (i, j, k) hirukotea(1, 2, 3)-ren permutazio bakoitia da;

0, bestela;

(i, j, k = 1, 2, 3).

Frogatu ondoko propietateak:

ǫijk = ǫkij = ǫjki,

ǫijk = −ǫikj = −ǫjik = −ǫkji,

ǫiik = ǫijj = ǫkjk = 0.

4.17 Einsteinen batuketa-hitzarmena. Beste testuinguru askotan ere erabil daiteke (erabiltzenda) hitzarmen hau. Horrela, Levi-Civitaren permutazio-ikurraren

3∑

k=0

ǫijkǫlmk = δilδjm − δimδjl

propietatea, honela idazten da:

ǫijkǫlmk = δilδjm − δimδjl.

Egiaztatu propietate hori eta hurrengoak:

ǫijkǫljk = 2δil,

ǫijkǫijk = 3!,∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a31 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= ǫijka1ia2ja3k = ǫijkai1aj2ak3.

4.18 Biderkadura bektoriala eta momentu angeluarra. 4.16eta4.17problemetako emaitzakerabiliz, egiaztatu honela idazten direlaa = b× c biderkadura bektorialaren osagaiak:

ai = ǫijkbjck, (i = 1, 2, 3).

Ondorioz, partikula puntual batenL = r×p momentu angeluarraren osagai cartesiarrak hauexekdira:

Li = ǫijkxjpk, (i = 1, 2, 3).

Egiaztatu hauxe ere betetzen dela:

ǫijkLk = xipj − xjpi.

4.8 Problemak 69

4.19 Poissonen makoak eta momentu angeluarra. Erabili 4.16, 4.17eta4.18problemak, par-tikula puntual baten ondoko makoak kalkulatzeko, koordenatu cartesiarretan:

[r,L], [r2,L], [p,L], [p2,L], [r · p,L], [L,L], [L2,L].

4.20 Poissonen teorema. DemagunF etaG aldagai dinamikoak higidura-konstanteak direla.Frogatu[F,G] makoa ere higidura-konstantea dela.

4.21 Demagun hamiltondarra etaF aldagai dinamikoak higidura-konstanteak direla. Frogatu∂F/∂t deribatu partziala ere higidura-konstantea dela.

5. GAIA

Transformazio kanonikoak

5.1 IRUDIA Siméon Denis Poisson (1781, Pithiviers, Frantzia – 1840, Sceaux, Frantzia).

71

72 5 Transformazio kanonikoak

Hemen aztertuko ditugun transformazio kanonikoak, berez garrantzi teorikoa dutenak,6. eta7. gaietan beharko ditugu.

5.1 Transformazio kanonikoak

Kontsidera ditzagun fase-espazioaren koordenatu-aldaketa alderanzgarriak,1.7 ataleko pun-tu-transformazioen orokorpenak direnak:

qi = fi(t,q,p),

pi = gi(t,q,p),

(i = 1, 2, . . . , n;

∂ (f1, f2, . . . , fn, g1, g2, . . . , gn)

∂ (q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn)6= 0

). (5.1)

Puntu-transformazio bat egitean, higidura-ekuazioak beti dira Lagrangerenak eta lagrangearra-ren balioa (egitura ez bezala) ez da aldatzen:L(t, q, ˙q) = L(t,q, q). Baina puntu-transformaziobatean,q → q aldaketa definitzen dutenn funtzioak aukeratu ondoren abiadura orokortuentransformazioa (1.128) da. Formalismo kanonikoan, ordea, askatasun handiagoa dugu, 2n fun-tzio aukera baititzakegu nahi den moduan. Horrexegatik higidura-ekuazioak ez dira halabeharrezizango (4.12)–(4.13) ekuazio kanonikoen egiturakoak.

Azter dezagun adibide erraz bat. Dimentsio bakarrekoH = p2/2m + kq2/2 osziladore har-monikoan

q = q, p =√p− aq2 (5.2)

aldagai-aldaketa egingo dugu, dimentsio egokietakoa konstantea erabiliz. Higidura-ekuazioakhauexek dira:

˙q = q =p

m=

(p+ aq2

)2

m?=

∂H

∂p, (5.3)

˙p =p

2√p− 2aqq = − kq

2(p+ aq2

) − 2aq(p+ aq2

)2

m?= −∂H

∂q. (5.4)

Erraz ikusten da kasu askean (k = 0) aldagai berrietan sistema hamiltondarra dela, galdera-iku-rreko berdintzak betetzen baitiraH =

(p+ aq2

)3/3m hamiltondarra erabiliz (baina ohar zaitez

H hau ez delaH = p2/2m hamiltondarrean aldagai-aldaketa egitean lortzen dena).Bestalde,aipaturiko berdintzak ez dira inoiz betetzenk 6= 0 bada, hau da, aldagai berrietan sistema dina-mikoa ez da hamiltondarra, (4.33) baldintzak betetzen ez baitira:

∂ ˙q

∂q=

4aq(p+ aq2

)

m6= −∂

˙p

∂p=

4aq(p+ aq2

)

m− kaq2

(p+ aq2

)2 . (5.5)

Hau dela eta, (5.2) transformazioa,p2/2m hamiltondarrarekikokanonoideadela esaten da, bai-na (5.1) erako transformazio batkanonikoa izateko, aldagai berrietan erehamiltondar guztieidagozkien sistema dinamikoak hamiltondarrak izateko eskatzen da.Alabaina, ez da eskatzen al-dagai berrietan hamiltondarra hasierakotik aldagai-aldaketa egitean lortzen dena izateko.

Transformazio kanonikoen adibiderik errazena (identitatea honen kasu partikularra baino ezbaita) eskala-aldaketa da:

qi = aqi, pi = bpi, (i = 1, 2, . . . . , n), (5.6)


non a eta b konstante ez-nuluak diren:ab 6= 0. Izan ere, agerian dago (4.12)–(4.13) ekuaziokanonikoak ondoko moduan idazten direla:

˙qi =∂H

∂pi, (i = 1, 2, . . . , n), (5.7)

˙pi = −∂H∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n), (5.8)

H ≡ abH. (5.9)

Jakina azken adierazpenean ulertu behar daH funtzioan ere egin dela aldagai-aldaketa. Era be-rean, erraz ikusten da koordenatuak eta momentuak elkarrekin trukatzen dituen

qi = api, pi = bqi, (i = 1, 2, . . . , n; ab 6= 0), (5.10)

transformazioa ere kanonikoa dela,H = −abH hamiltondar berriarekin.Transformazio kanonikoa denboraren menpekoa izan daiteke. Horrela,

q =a

tp, p = − t

aq (5.11)

transformazioa kanonikoa da (t > 0 balioetan, adibidez), hauxe baitugu:

H ≡ H − qp

t, (5.12)

˙q =a

tp− a

t2p = −a

t

∂H

∂q− a

t2p =

∂H

∂q

∂q

∂p− q

t=

∂H

∂p, (5.13)

˙p = − t

aq − q

a= − t

a

∂H

∂p− q

a= −∂H

∂p

∂p

∂q+p

t= −∂H

∂q. (5.14)

5.2 Poissonen makoak

Honela idazten da,4.3.1ataleko notazio laburtuan,n askatasun-graduko espazioko aldagai--aldaketa alderanzgarri bat:

sα = ha (t, s1, s2, . . . , s2n) ,

(α = 1, 2, . . . , 2n;

∂ (h1, h2, . . . , h2n)

∂ (s1, s2, . . . , s2n)6= 0

). (5.15)

5.1 TEOREMA Ondoko hiru baieztapenak baliokideak dira (5.15) transformazioarentzat:

1. Transformazioa kanonikoa da, hau da,n askatasun-gradukoH (t, s1, s2, . . . , s2n) hamil-tondar bakoitzekoH (t, s1, s2, . . . , s2n) funtzio bat existitzen da,

sα = ωαβ∂H

∂sβ, (α = 1, 2, . . . , 2n) (5.16)

eboluzio-ekuazioak aldagai berrietan honela idazteko modukoa:

˙sα = ωαβ∂H

∂sβ

, (α = 1, 2, . . . , 2n). (5.17)


2. Hamiltondarraren independente denc 6= 0 konstante bat existitzen da, oinarrizko aldagaizaharren Poissonen makoak aldagai berrietan honelakoak izateko moduan:

˜[sα, sβ] =1

c[sα, sβ] =

1

cωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n). (5.18)

(sα aldagai berriekiko Poissonen makoa da[ , ].)

3. Badagoc 6= 0 konstante bat,(F,G) aldagai dinamikoen bikote guztien Poissonen makoakhonelakoak izateko modukoa:

[F,G] =1

c[F,G]. (5.19)

Teorema frogatzen hasteko, eman dezagun hasteko transformazioa kanonikoa dela. Frogatuko

dugun bezala, hipotesi horrekin,mαβ ≡ ˜[sα, sβ] makoak konstanteak dira etaωαβ/c balioenberdinak.

Hasteko, hamiltondar guztien artean aukera dezagun konstante bat:H = C. Ageri denez,sα = 0 dira orduan higidura-ekuazioak eta makoen eboluzioa errazkalkulatzen da aldagai be-rrietan eta zaharretan:

mαβ = ˜[sα, sβ] + ˜[sα, sβ] = 0 =

=∂mαβ

∂t+ [mαβ , C] =

∂mαβ

∂t=⇒ ∂mαβ

∂t= 0. (5.20)

Makoak, hortaz, ez dira denboraren esplizituki menpekoak.Koordenatuen independenteakdirela ikusteko, aukera ditzagunCα hautazko konstanteen bidezH = Cαsα moduan idaztendiren hamiltondar lineal guztiak. Aurreko kalkulua berriro egiten badugu, higidura-ekuazioaksα = ωαβCβ direla kontuan hartuz, hauxe dugu:

mαβ = ˜[sα, sβ] + ˜[sα, sβ] = ˜[ωαγCγ, sβ] + ˜[sα, ωβγCγ ] = 0 =

= [mαβ , Cµsµ] =∂mαβ

∂sλωλµCµ =⇒ ∂mαβ

∂sλ= 0. (5.21)

(Cα hautazkoak direla erabili dugu∂mαβ/∂sλ ωλµ = 0 ondorioztatzeko, eta hortik azken emaitzalortzekoω matrizea alderanzgarria dela.)

Mako konstante horien balioak lortzeko, erabil ditzagunCαβ = Cβα hautazko konstanteenmenpeko hamiltondar koadratikoak:H = 1

2Cαβsαsβ. Higidura-ekuazioaksα = ωαβCβγsγ dira

eta, ondorioz,

mαβ = ωαλCλµ[sµ, sβ] + [sα, sµ]ωβλCλµ = ωαλCλµmµβ −mαµCµλωλβ = 0. (5.22)

Hemen (4.21) etaM ≡

(mαβ

)2n

α,β=1, C ≡

(Cαβ

)2n

α,β=1= C⊤ (5.23)

matrizeak erabiliz, honela geratzen zaigu lortutakoa:ω · C · M − M · C · ω = 0. Emaitza hauezkerretik eta eskuinetikω−1 = −ω matrizearekin biderkatzen bada,C · M · ω = ω · M · Cdugu eta,C = 1 aukerarekin,M · ω = ω · M eta, ondorioz,C · (M · ω) = (M · ω) ·C. Baina,A.1 teoreman frogatzen den bezala, matrize simetriko guztiekin dituen biderkadura trukakorrabada, matrizea identitatearen multiploa da:M · ω = k1. Azken hauω−1 = −ω matrizearekin


biderkatuz,M = −kω = ω/c geratzen zaigu,c ≡ −1/k definizioarekin. Azken emaitza hau dafrogatu nahi genuen (5.18) baldintza:

mαβ =∂sα

∂sµ

ωµν∂sβ

∂sν

=1

cωαβ. (5.24)

Honekin, (5.19)-ren frogapena kalkulu zuzena da:

[F,G] =∂F

∂sαωαβ

∂G

∂sβ=∂F

∂sµ

∂sµ

∂sαωαβ

∂sν

∂sβ

∂G

∂sν=

1

c

∂F

∂sµωµν

∂G

∂sν=

1

c[F,G]. (5.25)

Amaitzeko, (5.19) betetzen bada,4.15 problemako Poissonen makoen teorema gogoratuz,aldagai berrietan ere hamiltondarra dela sistema frogatuko dugu, jatorrizko aldagaietan hamil-tondarra dela erabiliz:

d

dt[F,G] =

1

c

d

dt[F,G] =

1

c[F , G] +

1

c[F, G] = [F , G] + [F, G]. (5.26)

Balentzia deitzen zaioc 6= 0 konstanteari, eta beti har daitekec = 1, (5.6) eskala-aldaketaosagarri bat egiten badac = ab balioarekin.

Frogatu berri dugun teoremarekin erraz egiaztatzen datransformazio kanoniko baten alde-rantzizkoa ere kanonikoa dela. Izan ere, (5.18) betetzen bada,

∂sα

∂sµ

ωµν∂sβ

∂sν

=1

cωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n) (5.27)

dugu eta, beraz,

[sα, sβ] =∂sα

∂sµωµν

∂sβ

∂sν= c

∂sα

∂sµ

∂sµ

∂sσωσρ

∂sν

∂sρ

∂sβ

∂sν(5.28)

= c δασωσρδρβ = c ωαβ = c ˜[sα, sβ], (α, β = 1, 2, . . . , 2n). (5.29)

Alderantzizkoaren balentzia, hortaz,1/c da. Ildo beretik,5.1probleman frogatuko dugun askata-sun-graduko fase-espazioan definitutako transformazio kanonikoen multzoa, dimentsio infinitukotransformazio-talde bat dela eta bi transformaturen balentziak c1 etac2 badira, bien konposizioa-renac1c2 dela.

Atal honetan ikasitakoarekin badaukagu (5.15) transformazioa kanonikoa denetz jakiteko eraerraz bat, nahikoa baita

[sα, sβ] = c ωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n), (5.30)

edo, nahiago bada,

[qi, qj ] = [pi, pj] = 0, [qi, pj ] = c δij, (i, j = 1, 2, . . . , n), (5.31)

betetzen den egiaztatzea.Adibide moduan, kontsidera dezagun 2 askatasun-gardutan definitutako ondoko transforma-

zioa:

q1 = q1 cosα− p2

asinα, p1 = aq2 sinα + p1 cosα, (5.32)

q2 = q2 cosα− p1

asinα, p2 = aq1 sinα + p2 cosα, (5.33)


(a etaα konstanteak dira.) Transformazio hau kanonikoa dela frogatzeko, nahikoa da alderan-tzizkoa horrelakoa dela egiaztatzea:

[q1, q2] = −1

asinα cosα

([q1, p1] + [p2, q2]

)= 0, (5.34)

[p1, p2] = a sinα cosα([q2, p2] + [p1, q1]

)= 0, (5.35)

[q1, p1] = cos2 α + sin2 α = 1, (5.36)

[q1, p2] = 0, (5.37)

[q2, p1] = 0, (5.38)

[q2, p2] = cos2 α + sin2 α = 1. (5.39)

Bestalde, (5.2) transformazioa kanonikoa ez dela arinago ikusteko nahikoa da ondoko makoaez dela konstantea frogatzea:

[q, p] = [q,√p] =

1

2√p. (5.40)

5.3 Lagrangeren parentesiak

Atal honetan kalkulu guztiak egingo dira une batean eta, notazioa errazteko, ez dugu esplizi-tuki idatzikot parametroa.sα aldagaien2n funtzio independente baditugu,

uα (s1, s2, . . . , s2n) , α = 1, 2, . . . , 2n;

∂ (u1, u2, . . . , u2n)

∂ (s1, s2, . . . , s2n)6= 0

, (5.41)

lehenengoak bigarrenen menpean idatz daitezke eta honela definitzen dira, kasu partikular hone-tan, Lagrangeren parentesiak:

uα, uβ ≡ ωµν∂sµ

∂uα

∂sν

∂uβ. (5.42)

Adibidez,uα = sα aukeratzen bada, erraz egiaztatzen dira hurrengo propietateak:

sα, sβ = ωαβ, α, β = 1, 2, . . . , 2n, (5.43)

edota

qi, qj = pi, pj = 0, qi, pj = δij , (i, j = 1, 2, . . . , n). (5.44)

Hurrengo propietatea frogatzeko, (4.27) eta

∂sα

∂uµ

∂uµ

∂sβ=∂sα

∂sβ= δαβ ,

∂uα

∂sµ

∂sµ

∂uβ=∂uα

∂uβ= δαβ (5.45)

erabili behar dira:

[uα, uλ]uβ, uλ = ωµνωρσ∂uα

∂sµ

∂uλ

∂sν

∂sρ

∂uβ

∂sσ

∂uλ= ωµνωρσδνσ

∂uα

∂sµ

∂sρ

∂uβ

= ωµνωρν∂uα

∂sµ

∂sρ

∂uβ= δµρ

∂uα

∂sµ

∂sρ

∂uβ=∂uα

∂sµ

∂sµ

∂uβ

= δαβ . (5.46)

5.4 Funtzio sortzailea 77

Hemen,uα = sα aukeratu ondoren,

M ≡([sα, sβ]

)2n

α,β=1, L ≡

(sα, sβ

)2n

α,β=1(5.47)

matrizeak erabiliz,M ·L⊤ = 1 lortzen dugu eta, (5.30) emaitza etaω⊤ = ω−1 = −ω gogoratuz,

M = cω ⇐⇒ cω · L⊤ = 1 ⇐⇒ cL⊤ = −ω ⇐⇒ L =1

cω. (5.48)

Beraz, (5.15) transformazioa kanonikoa izateko (5.30) baldintza beharrezkoa eta nahikoa

sα, sβ =1

cωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n), (5.49)

da edota

qi, qj = pi, pj = 0, qi, pj =1

cδij , (i, j = 1, 2, . . . , n), (5.50)

Jakina, alderantzizko transformazioa erabiliz, ondokoa ere baliokidea da:

˜sα, sβ = c ωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n). (5.51)

Baldintza hau∂sµ

∂sαωµν

∂sν

∂sβ= c ωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n) (5.52)

denez, transformazioaren matrize jacobiarra,

J ≡(∂sα

∂sβ

)2n

α,β=1

=

(∂q

∂q

) (∂q

∂p

)(

∂p

∂q

) (∂p

∂p

)

, (5.53)

erabiliz, honela idazten da kanonikoa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa:

J⊤ · ω · J = cω. (5.54)

Baldintza hauc = 1 balentziarekin betetzen duten matrizeei,sinplektikoak deitzen zaie etac 6= 0, 1 denean matrize sinplektiko orokortuak. (5.54) baldintzaren determinantea kalkulatuz,(detJ)2 det ω = c2n det ω, etadet ω = 1 erabiliz, transformazio kanonikoaren jacobiarra hone-lakoa dela ikusten dugu:

detJ =∂ (s1, s2, . . . , s2n)

∂ (s1, s2, . . . , s2n)= cn. (5.55)

(Ondorioz, transformazio bat kanonikoa izateko baldintzabeharrezkoa —baina ez nahikoa— dajacobiarra konstantea izatea.)

5.4 Funtzio sortzailea

Hemen eret denboraren balio finko bat hartzen dugula azpimarratzeko, desplazamendu bir-tualen notazioa erabiliko dugu, (5.15) transformazioari dagokion ondoko forma diferentziala de-finitzeko:

θ ≡n∑

i=1

pi δqi − c

n∑

i=1

pi δqi = γαβ sα δsβ − c γαβsα δsβ. (5.56)


Hemen ondoko notazioa erabili dugu:

γαβ ≡ δα β+n =

1, (α, β) = (n+ 1, 1), (n+ 2, 2), . . . , (2n, n);

0, bestela;(5.57)

(γαβ

)2n

α,β=1=

(0n 0n

1n 0n

). (5.58)

Aldagai independentetzatsα aukeratuz, honela idazten da forma hori:

θ = Aα δsα, Aα ≡ γµν sµ∂sν

∂sα

− c γµαsµ. (5.59)

Forma itxia den jakiteko,

∂Aα

∂sβ

= γµν

(∂sµ

∂sβ

∂sν

∂sα

+ sµ∂2sν

∂sβ∂sα

)− c γβα, (5.60)

∂Aβ

∂sα

= γµν

(∂sµ

∂sα

∂sν

∂sβ

+ sµ∂2sν

∂sβ∂sα

)− c γαβ, (5.61)

kalkulatu eta erkatu behar dira. Ageri denez,

γαβ − γβα = −ωαβ (5.62)

dugu eta, ondorioz,

∂Aα

∂sβ− ∂Aβ

∂sα= ωµν

∂sµ

∂sα

∂sν

∂sβ− c ωαβ = ˜sα, sβ − c ωαβ, (α, β = 1, 2, . . . , 2n) (5.63)

dugu. Poincaréren lema eta (5.51) gogoratuz, hauxe frogatu dugu(5.15) transformazioa kanoni-koa dela baldin eta soilik baldinθ forma diferentziala zehatza bada, hau da, ondoko baldintzabetetzeko modukoF (t, s1, s2, . . . , s2n) funtzio sortzaile bat existitzen bada:

n∑

i=1

pi δqi − cn∑

i=1

pi δqi = γαβ sα δsβ − c γαβsα δsβ = −δF, (δt = 0). (5.64)

δsα-ren koefizienteak kalkulatuz, honela ere idazten da aurrekoa:

∂F

∂sα= c γµαsµ − γµν sµ

∂sν

∂sα, (α = 1, 2, . . . , 2n). (5.65)

Honako hau ere gauza bera da:

∂F

∂qi= cpi −

n∑

i=1

pj∂qj∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n), (5.66)

∂F

∂pi

= −n∑

i=1

pj∂qj∂pi

, (i = 1, 2, . . . , n). (5.67)

5.4 Funtzio sortzailea 79

Kalkulu honetan denbora parametroa izan denez,F sortzailea bakarra da, denboraren funtziogehigarri bat izan ezik. HorrelaF etaF + g(t) transformazio kanoniko berdinari dagozkiog(t)guztietarako.

Hori kontuan hartuz, (5.6) eskala-aldaketa hauexek ditugu (5.66)–(5.67) baldintzak:

∂F

∂qi= abpi − abpi = 0,

∂F

∂pi= 0 =⇒ F = 0. (5.68)

(5.10) transformazioaren kasuan

∂F

∂qi= −abpi,

∂F

∂pi

= −abqi =⇒ F = −abn∑

i=1

qipi (5.69)

lortzen da eta (5.11) transformazioarekin honako hau:

∂F

∂q= p,

∂F

∂p= q =⇒ F = qp. (5.70)

Hiru adibideetan ikusten da funtzio sortzaile bakoitza hainbat transformazio kanonikori dagokie-la.

5.4.1 Hamiltondar berria

Koordenatu berrietan eta zaharretan kalkula daiteke˙sα deribatua, ondokoa lortzeko:

˙sα = ωαβ∂H

∂sβ

=∂sα

∂t+ ωµν

∂sα

∂sµ

∂H

∂sν

=⇒ ∂sα

∂t= ωαβ

∂H

∂sβ

− ωµν∂sα

∂sµ

∂H

∂sν

. (5.71)

Emaitza hau, (5.51) eta zatikako integrazioa (5.65) delakoaren deribatuan erabiliz, hauxe dugu:

∂2F

∂t∂sα

= −γµν sµ∂2sν

∂t∂sα

− γµν∂sµ

∂t

∂sν

∂sα

= −γµν∂

∂sα

(sµ∂sν

∂t

)+ γµν

∂sµ

∂sα

∂sν

∂t− γµν

∂sµ

∂t

∂sν

∂sα

= − ∂

∂sα

(γµν sµ

∂sν

∂t

)− ωµν

∂sµ

∂sα

∂sν

∂t

= − ∂

∂sα

(γµν sµ

∂sν

∂t

)− ωµνωνσ

∂sµ

∂sα

∂H

∂sσ

+ ωµνωρσ∂sµ

∂sα

∂sν

∂sρ

∂H

∂sσ

= − ∂

∂sα

(γµν sµ

∂sν

∂t

)+ δµσ

∂sµ

∂sα

∂H

∂sσ

+ ωρσ˜sα, sρ

∂H

∂sσ

= − ∂

∂sα

(γµν sµ

∂sν

∂t

)+∂H

∂sµ

∂sµ

∂sα+ c ωρσωαρ

∂H

∂sσ

= − ∂

∂sα

(γµν sµ

∂sν

∂t

)+∂H

∂sα− c

∂H

∂sα. (5.72)

Ondorioz,∂

∂sα

(H − cH − γµν sµ

∂sν

∂t− ∂F

∂t

)= 0 (5.73)


dugu eta parentesi artekoat-ren funtzio hutsa da. BainaH-ri (edoF -ri) t-ren funtzio bat batzeakezer aldatzen ez duenez, hamiltondar berria beti aukera daiteke ondoko moduan:

H = cH +∂F

∂t+ γµν sµ

∂sν

∂t

= cH +∂F

∂t+

n∑

i=1

pi∂qi∂t. (5.74)

Adibidez, (5.11) transformazioanF = qp etac = 1 direnez,

H = H − t

aq

(− a

t2p

)= H +

qp

t= H − qp

t, (5.75)

73. orrian aurkitu genuen bezala.Bestalde, (5.65) eta (5.74) erabiliz, hauxe lortzen dugu:

F =∂F

∂t+∂F

∂sα

sα = H − cH − γµν sµ∂sν

∂t+ c γµαsµsα − γµν sµ

∂sν

∂sα

sα

= H − cH − γµν sµ˙sα + c γµαsµsα = H − cH −

n∑

i=1

pi˙qi + c

n∑

i=1

piqi, (5.76)

n∑

i=1

pi˙qi − H = c

n∑

i=1

piqi −H

− F . (5.77)

Azken adierazpena erabiliz, beste ikuspuntu batetik uler daitezke transformazio kanonikoak. Izanere, (4.74) lagrangear aldatua eta (4.76) ekintza aldatua gogoratuz,

L∗ = cL∗ − F , (5.78)

I∗ = cI∗ − (F2 − F1) , (5.79)

δI∗ = cδI∗ (5.80)

dugu:δI∗ = 0 etaδI∗ = 0 baldintzak guztiz baliokideak dira eta aldagai multzo bietan higidura--ekuazioak hamiltondarrak dira.

5.5 Transformazio kanonikoen motak

Orain arte kalkulu guztietanq,p aukeratu ditugu aldagai independentetzat; baina badaudebestelako aukerak. Oraintxe ikusiko dugun bezala, horrelako aukerek transformazio kanonikoensailkapen partzial bat ematen digute.

5.5.1 Lehen motako transformazio kanonikoak

Eman dezagun (5.1) transformazio alderanzgarriak ondoko baldintza betetzen duela:

∂ (q1, q2, . . . , qn)

∂ (p1, p2, . . . , pn)6= 0. (5.81)

Adierazpen honetant denbora etaqi guztiak parametrotzat joz,pi momentu bakoitza denborarenetaq eta q koordenatuen funtzioan idatz daiteke eta, ondorioz,t, q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qnaukera daitezke koordenatu independentetzat.

5.5 Transformazio kanonikoen motak 81

5.2 TEOREMA (5.81) baldintza betetzen duen (5.1) transformazio alderanzgarria kanonikoada baldin eta soilik baldin

∂F1

∂qi= cpi,

∂F1

∂qi= −pi,

(i = 1, 2, . . . , n) (5.82)

baldintzak identikoki betetzeko modukoc 6= 0 konstante bat etaF1(t,q, q) funtzio bat existitzenbadira. Gainera, horrela bada, funtzio sortzailea eta hamiltondar berria

F (t,q,p) = F1

(t,q, q(t,q,p)

), (5.83)

H = cH +∂F1

∂t(5.84)

dira eta baldintza hau betetzen da:

det

(∂2F1

∂qi∂qj

)n

i,j=1

6= 0. (5.85)

Alderantziz,c 6= 0 konstante bakoitzeko (5.85) baldintza betetzen duenF1 funtzio batek trans-formazio kanoniko bat definitzen du (5.82) ekuazioen bidez eta (5.81) eta (5.84) propietateakbetetzen dira.

F1(t,q, q) ≡ F(t,q,p(t,q, q)

)idatzi ondoren

δF =

n∑

i=1

∂F1

∂qiδqi +

∂F1

∂qiδqi (5.86)

ondorioa erabiltzen badugu, (5.64) baldintza beharrezko eta nahikoaren baliokideak dira (5.82)ekuazioak, zeren orain independentetzat aukeratu ditugunδqi, δqi diferentzialen koefizienteakbaitira. Orain,∂F/∂t deribatua (5.74) eta (5.83) emaitzetatik kalkulatzen bada, (5.82) ekuazioakerabiliz,

∂F

∂t=∂F1

∂t+

n∑

i=1

∂F1

∂qi

∂qi∂t

=∂F1

∂t−

n∑

i=1

pi∂qi∂t

(5.87)

= H − cH −n∑

i=1

pi∂qi∂t

(5.88)

dugu eta (5.84) erlazioa dago hor. Bestalde, alderantzizko transformazioaren jacobiarra alderan-tzizkoa denez, (5.82) transformazioa berriro erabiliz, hauxe dugu:

det

(∂2F1

∂qi∂qj

)n

i,j=1

= cn∂ (p1, p2, . . . , pn)

∂ (q1, q2, . . . , qn)= cn

[∂ (q1, q2, . . . , qn)

∂ (p1, p2, . . . , pn)

]−1

(5.89)

eta (5.81) eta (5.85) baliokideak dira.


Horrelako transformazio kanonikoak lehen motakoak direlaesango dugu. (5.6) eskala-alda-keta eta identitatea, adibidez ez dira lehen motakoak, (5.81) adierazpeneko jacobiarra zero delako.(5.10) transformazioaren kasuan, ordea,

∂ (q1, q2, . . . , qn)

∂ (p1, p2, . . . , pn)= an 6= 0 (5.90)

dugu eta (5.69)-ren ondorioz hauxe:

F1 = −bn∑

i=1

qiqi. (5.91)

Argi dago (5.11) transformazioa ere lehen motakoa dela eta hurrengoa dugula:

F1 =t

aqq. (5.92)

5.5.2 Bigarren, hirugarren eta laugarren motako transformazio kanoni-koak

5.3 TEOREMA Eman dezagun (5.1) transformazio alderanzgarriak ondoko baldintzetako batbetetzen duela:

∂ (p1, p2, . . . , pn)

∂ (p1, p2, . . . , pn)6= 0,

∣∣∣∣∂ (q1, q2, . . . , qn)

∂ (q1, q2, . . . , qn)6= 0,

∣∣∣∣∂ (p1, p2, . . . , pn)

∂ (q1, q2, . . . , qn)6= 0. (5.93)

Horrela bada, koordenatu independentetzat ondokoak aukeratuko ditugu:

t,q, p,∣∣∣∣ t,p, q,

∣∣∣∣ t,p, p. (5.94)

Transformazioa kanonikoa da baldin eta soilik baldin

∂F2

∂qi= cpi,

∣∣∣∣∂F3

∂pi= −cqi,

∣∣∣∣∂F4

∂pi= −cqi, (5.95)

∂F2

∂pi

= qi,

∣∣∣∣∂F3

∂qi= −pi,

∣∣∣∣∂F4

∂pi

= qi, (5.96)

baldintzak identikoki betetzeko modukoc 6= 0 konstante bat eta

F2(t,q, p)

∣∣∣∣ F3(t,p, q)

∣∣∣∣ F4(t,p, p) (5.97)

funtzio bat existitzen badira. Gainera, horrela bada, funtzio sortzailea eta hamiltondar berria

F = F2 −n∑

i=1

qipi,

∣∣∣∣ F = F3 + c

n∑

i=1

qipi,

∣∣∣∣ F = F4 +

n∑

i=1

(cqipi − qipi), (5.98)

H = cH +∂F2

∂t

∣∣∣∣ H = cH +∂F3

∂t

∣∣∣∣ H = cH +∂F4

∂t(5.99)

5.6 Transformazio kanoniko infinitesimalak 83

dira eta baldintza hau betetzen da:

det

(∂2F2

∂qi∂pj

)n

i,j=1

6= 0,

∣∣∣∣ det

(∂2F3

∂pi∂qj

)n

i,j=1

6= 0,

∣∣∣∣ det

(∂2F4

∂pi∂pj

)n

i,j=1

6= 0. (5.100)

Alderantziz,c 6= 0 konstante bakoitzeko (5.100) baldintza betetzen duen funtzio batek transfor-mazio kanoniko bat definitzen du (5.95)–(5.95) ekuazioen bidez eta (5.93) eta (5.99) propietateakbetetzen dira.

5.1 ARIKETA Egiaztatu (5.6) eskala-aldaketa bigarren eta hirugarren motakoa dela, ondoko fun-tzio sortzaileekin:

F2 = a

n∑

i=1

qipi, F3 = −b

n∑

i=1

piqi. (5.101)

Frogatu laugarren motakoa ere dela (5.10) transformazioa ondoko funtzio sortzailearekin:

F4 = a

n∑

i=1

pipi. (5.102)

Egiaztatu gauza bera gertatzen dela (5.11) transformazioaren kasuan hurrengoarekin:

F4 =a

tpp. (5.103)

Aztertu ditugun lau motak transformazio kanonikoen sailkapen partziala besterik ez dira: adi-bideetan ikusi dugunez, transformazio bat bi motatakoa izan daiteke eta,5.9 probleman frogatudugunez, gerta daiteke transformazio kanoniko bat ez izatea mota horietakoa. Beste motak etasailkapen partzial orokorra [1] testuan aurki daitezke.

5.6 Transformazio kanoniko infinitesimalak

a parametroaren balio bakoitzeko

sα = hα (a; t, s1, s2, . . . , s2n) , (α = 1, 2, . . . , 2n) (5.104)

transformazioa kanonikoa bada, parametro bakarreko transformazio kanonikoen familia bat du-gu. Eman dezagun balentziac = 1 dela etaa = a0 denean transformazioa identitatera laburtzendela. Orduanδa balio infinitesimal bakoitzeko, ondoko transformazio infinitesimala dugu:

sα = hα (a0 + δa; t, s1, s2, . . . , s2n) , (i = 1, 2, . . . , 2n), (5.105)

sα = sα + δsα, (i = 1, 2, . . . , 2n), (5.106)

δsα = gα (t, s1, s2, . . . , s2n) δa, (i = 1, 2, . . . , 2n), (5.107)

gα ≡ ∂hα

∂a

∣∣∣∣a=a0

, (i = 1, 2, . . . , 2n). (5.108)

5.4 TEOREMA (q,p) → (q + δq,p + δp) transformazio infinitesimala kanonikoa (1 ba-lentziakoa) da baldin eta soilik baldin ondoko baldintzak betetzeko modukoG(t,q,p) aldagaidinamiko bat existitzen bada:

δqi =∂G

∂piδa, δpi = −∂G

∂qiδa, (i = 1, 2, . . . , n). (5.109)


Notazio laburtua erabiliz, honela idazten da kasu honetan (5.51) baldintza:

ωαβ =∂sµ

∂sαωµν

∂sν

∂sβ=

(δαµ +

∂gµ

∂sαδa

)ωµν

(δβν +

∂gν

∂sβδa

)

= ωαβ +

(ωαν

∂gν

∂sβ+ ωµβ

∂gµ

∂sα

)δa. (5.110)

Beraz, transformazio kanonikoa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa

∂

∂sα

(gµωµβ

)− ∂

∂sβ

(gµωµα

)= 0, (α, β = 1, 2, . . . , 2n) (5.111)

da eta, Poincaréren lemaren arabera azken hau ondoko baldintza betetzen duenG(t, s) funtzioa-ren existentziaren baliokidea da:

gµωµβ =∂G

∂sβ, (β = 1, 2, . . . , 2n). (5.112)

Hauωαβ-rekin biderkatu ondoren batura kalkulatzen bada,

ωαβ∂G

∂sβ= gµωµβωαβ = gµδµα = gα, (α = 1, 2, . . . , 2n), (5.113)

moduan idazten da eta, ondorioz, (5.109) baldintzen baliokidea den ondoko eran ere bai:

δsα = ωαβ∂G

∂sβδa, (α = 1, 2, . . . , 2n). (5.114)

G(t,q,p) aldagaia transformazio kanoniko infinitesimalarensortzaile infinitesimala da etabakarra da, denboraren hautazko funtzio gehigarri bat izanezik.

Ikuspuntu aktiboan,(sα) → (sα + δsα) transformazioak, koordenatu kanonikoen aldaketabat izan beharrean, puntua nola aldatzen den adierazten du eta honela aldatzen daF (t, s) aldagaidinamiko bat:

δF ≡ F (t, s + δs) − F (t, s) =∂F

∂sαδsα =

∂F

∂sαωαβ

∂G

∂sβδa, (5.115)

δF = [F,G] δa. (5.116)

Kasu partikularrak dira (5.114),

δsα = [sα, G] δa, (α = 1, 2, . . . , 2n), (5.117)

eta (5.109):δqi = [qi, G] δa, δpi = [pi, G] δa, (i = 1, 2, . . . , n). (5.118)

Adibidez,G = pk sortzaile infinitesimalakqk koordenatuaren translazio abstraktua (benetakotranslazioa, biraketa edo bestelako transformazioa izan daitekeena) sortzen du:

δqi = [qi, pk] δa = δik δa, (5.119)

δpi = [pi, pk] δa = 0, (5.120)

δF = [F,G] δa =∂F

∂qkδa =

∂F

∂qkδqk. (5.121)

5.6 Transformazio kanoniko infinitesimalak 85

Bestalde, transformazio kanonikoetan denbora aldatzen ezdenez,δF = ∂F/∂t δt denbora-trans-lazio esplizitua ez da kanonikoa, baina bai denbora-translazio inplizitua, hamiltondarrak sortzenduena:

G = H(t,q,p), (5.122)

δa ≡ dt, (5.123)

δF = [F,H ] dt =

(F − ∂F

∂t

)dt = dF − ∂F

∂tdt, (5.124)

δqi = dqi, (i = 1, 2, . . . , n), (5.125)

δpi = dpi, (i = 1, 2, . . . , n). (5.126)

(Aurrekoetan,δa ≡ dt egin ondoren,dF = F dt idatzi dugu eboluzioan barrena gertatzen denaldaketa infinitesimala adierazteko.)

Ikuspuntu aktiboan, eboluzioak berak (hau da, higidura-ekuazioen soluzioak) definitzen duen(q(t0),p(t0)

)→(q(t),p(t)

)transformazioa,t parametroko transformazio kanonikoen familia

bat da, (5.31) baldintzak une guztietan betetzen baitirac = 1 balentziarekin. (5.122), (5.125)eta (5.126) adierazpenetan ikusten dugu eboluzioaren sortzaile infinitesimala hamiltondarra beradela (denboraren esplizituki menpekoak ez diren aldagai dinamikoen kasuan, behintzat).

5.6.1 Liouvilleren teorema

Emaitza hau eta (5.55) erabiliz, honela geratzen da (4.69) adierazpena kasu orokorrean:

S(t′) =

∫

E(t′)

ds′1 ds′2 . . . ds

′2n =

∫

E(t)

∣∣∣∣∣∂(s′1, s

′2, . . . , s

′2n

)

∂ (s1, s2, . . . , s2n)

∣∣∣∣∣ ds1 ds2 . . . ds2n

=

∫

E(t)

ds1 ds2 . . . ds2n = S(t). (5.127)

Honela frogatzen dugu, berriro, fase-espazioaren hiperbolumena higidura-konstantea dela.

5.6.2 Simetriak eta kontserbazio-legeak

G(q,p) aldagaiak sortutako transformazio kanonikoa, simetria-transformazioa dela esangodugu hamiltondarra aldatzen ez badu:

δH = [H,G] δa = 0. (5.128)

Hau eta (4.61) erabiliz, argi dagoG(q,p) aldagaia higidura-konstantea dela baldin eta soilikbaldin sortzen duen transformazio kanoniko infinitesimalasistemaren simetria bat bada. Berriroikusten dugu,3. gaian bezala, simetrien eta kontserbazio-legeen arteko erlazio estua.


5.7 Problemak

5.1 Froga ezazu itzazu ondoko hiru emaitzak:

• transformazio kanonikoen multzoa talde bat da,

• bi transformaturen balentziakc1 etac2 badira, bien konposizioarenac1c2 da,

• c balentziako transformazio kanoniko baten alderantzizkoaren balentzia1/c da.

5.2 Puntu-transformazioak. Aurkitu zein den (1.125) transformazioak (Legendreren transfor-mazioaren bidez) definitzen duen (5.1) transformazioa eta frogatu azken hau beti dela alderanz-garria eta kanonikoa. Aurkitu balentzia eta funtzio sortzaileak.

5.3 Aurkitu

x = x cosα− y sinα,

y = x sinα+ y cosα,

z = z + hα

puntu-transformazioari dagokion transformazio kanonikoa eta dagozkien balentzia eta funtziosortzaileak.

5.4 Partikula erlatibista. Erabili transformazio kanoniko egokia,4.11problemako hamiltonda-rra koordenatu polar lauetan honela idazten dela frogatzeko:

H =

√√√√m2c4 + c2

(p2

r +p2

ϕ

r2

)+ V (r).

5.5 Partikula erlatibista. Egin berriro5.4problema hiru dimentsiotan.

5.6 Aztertu ondoko transformazioa kanonikoa den eta izatekotan zein den bere balentzia, hamil-tondarren arteko erlazioa, mota(k) eta funtzio sortzailea(k):

q = q, p = p+ q.


q =p

m, p =

pt

m− q.


q = ln(1 +

√q cos p

)p = 2

(1 +

√q cos p

)√p sin p.

5.9 Frogatu ondoko transformazioa kanonikoa dela baina ez azterturiko motetakoa:

q1 = q1, q2 = p2, p1 = p1, p2 = −q2.

Kalkulatu balentzia, funtzio sortzailea etaH.

5.7 Problemak 87

5.10 Osziladore harmonikoa. Erabili ondoko funtzioak sorturikoc = 1 balentziako transfor-mazio kanonikoa osziladore harmonikoaren soluzioa aurkitzeko:

F1 =1

2mωx2 cot x.


5.11 Frogatu (5.109) transformazio kanonikoa bigarren motakoa dela. Aurkitu dagokionF2 fun-tzioa.

5.12 Gauge transformazioa. FrogatuG(t,q) funtzio bakoitzekoL → L ≡ L + G gauge--transformazioak transformazio kanoniko bat definitzen duela. Aurkitu dagozkion balentzia etafuntzio sortzaileak.

5.13∗ Aurkitu koordenatu kanonikoak aldatzen ez dituzten transformazio kanoniko guztiak, da-gozkien funtzio sortzaileak eta nola aldatzen diren hamiltondarra eta lagrangearra. Iruzkina eginemaitzari.

5.14 Froga ezazu ondoko transformazio infinitesimala kanonikoadela:

δx = −p δa, δp = m2ω2x δa.

Egiaztatuzuzeneantransformazioa ondoko hamiltondarraren simetria bat dela:

H =p2

2m+

1

2mω2x2.

Zein da dagokion higidura-konstantea?

5.15 Aurkitu 5.3 problemako transformazioari dagokion transformazio kanoniko infinitesimala(α = δa eginez lortzen dena) eta dagokion sortzaile infinitesimala. Aurreko gaietan aurkitu dugunsistema baten simetria da hau, ez al da?

6. GAIA

Hamilton eta Jacobiren ekuazioa

6.1 IRUDIA Carl Gustav Jacob Jacobi (1804, Potsdam, Prusia –1851, Berlin).

89

90 6 Hamilton eta Jacobiren ekuazioa

Testu honetan aztertuko dugun mekanikaren azken formalismoa da gai honetakoa. Ikuspuntuteorikotik duen garrantzia ahaztu gabe, esan behar da problema zailak ebazteko (agian7. gaikoperturbazioen bidez) oso egokia izaten dela. Gainera, Hamilton eta Jacobiren ekuazioaren ordez-ko kuantikoa da Schrödingerrena.

6.1 Hamiltonen funtzio nagusia

Eman dezagun

qi =∂H

∂pi

, pi = −∂H∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n) (6.1)

sistema hamiltondarra ebatzi nahi dugula eta

qi = qi(t,q,p), pi = pi(t,q,p), (i = 1, 2, . . . , n) (6.2)

transformazio kanonikoa aplikatuz lortzen den hamiltondar berriaH = 0 (edo konstantea edoH = f(t)) dela. Horrela bada, aldagai berrietan sistema dinamikoaren soluzio orokorra honelaidazten daa1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn hautazko konstanteen bidez:

qi = ai, pi = bi, (i = 1, 2, . . . , n). (6.3)

Baina hau (6.2) transformazioaren

qi = qi(t, q, p), pi = pi(t, q, p), (i = 1, 2, . . . , n) (6.4)

alderantzizkoan ordezkatzen bada, aldagai berrietan ere lortzen da (printzipioz) soluzio orokorra:

qi = qi(t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn), (i = 1, 2, . . . , n), (6.5)

pi = pi(t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn), (i = 1, 2, . . . , n). (6.6)

Kontua da nola aurkitu horrelako transformazio kanonikoren bat.Hasteko, eman dezagun horrelako bat existitzen dela,c = 1 balentzia duela eta bigarren mo-

takoa dela, hau da,F2 = S(t,q, p) funtzio sortzaile egoki batetik lortzen dela: (5.100) baldintzabetetzen da,

det

(∂2S

∂qi∂pj

)n

i,j=1

6= 0, (6.7)

(5.95)–(5.96) transformazioa

∂S

∂qi= pi,

∂S

∂pi= qi, (i = 1, 2, . . . , n) (6.8)

da eta hamiltondar berria (5.99) delakoa:

H = H[t,q,p(t,q, p)

]+∂S

∂t= 0. (6.9)

Baina hemen (6.8) transformazioak emandakopi(t,q, p) funtzioak ordezkatzen badira, Hamiltoneta Jacobiren ekuazioa lortzen da:

H

(t, q1, q2, . . . , qn,

∂S

∂q1,∂S

∂q2, . . . ,

∂S

∂qn

)+∂S

∂t= 0. (6.10)

Deribatu partzialetako ekuazio hau da,Hamiltonen funtzioa nagusiadeitzen zaionS funtzioakbete behar duen baldintza beharrezkoa eta, oraintxe frogatuko dugunez, nahikoa.

6.1 Hamiltonen funtzio nagusia 91

6.1.1 Soluzio osoa

t, q1, q2, . . . , qn aldagai independenteakn + 1 direnez, soluzio oso bakoitzeann + 1 hau-tazko konstante egongo dira; baina (6.10) ekuazioan bakarrik agertzen diraS ezezagunaren de-ribatuak eta, ondorioz, hautazko konstante bat beti izan daiteke gehigarria (hau da,S soluzioabada,S + C ere soluzioa da,C balio konstante guztietarako). Argi dago horrelako konstan-te batek ez duela aldatzen aurkitu nahi dugun (6.8) transformazioa eta, ondorioz, ez du inola-ko eraginik sistema hamiltondarraren soluzioan (eta gauzabera gertatzen da (6.10)-ren bigarrengaian, 0-ren ordez, konstante bat edof(t) funtzio bat jartzen badugu). Horrexegatik, gai hone-tan,b1, b2, . . . , bn hautazko konstanteen bidez adierazten denS (t, q1, q2, . . . , qn, b1, b2, . . . , bn)funtzio bat (6.10) ekuazioaren soluzio oso bat dela esango dugu baldin eta ekuazioaren soluzioaizateaz gain ondoko baldintza betetzen badu:

det

(∂2S

∂qi∂bj

)n

i,j=1

6= 0. (6.11)

Azpimarratu behar da soluzio osoa ez dela, oro har, bakarra baina bat nahikoa (osoa) da, sistemahamiltondarraren soluzioa orokorra honela kalkula baitaiteke printzipioz:

• S soluzio oso bat ezagutzen bada,

• (6.1) sistema dinamikoaren soluzio orokorra, honela idazten daa1, a2, . . . , an hautazkokonstanteak erabiliz:

∂S

∂qi= pi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.12)

∂S

∂bi= ai, (i = 1, 2, . . . , n). (6.13)

Izan ere, ekuazio hauek lortzeko nahikoa da (6.8) transformazio-ekuazioetanH = 0 ha-miltondarrari dagokion (6.3) soluzioa ordezkatzea.

• (6.11) baldintza betetzen denez, (6.13) ekuazioen alderantzizkoak existitzen dira:

qi = qi (t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn) , (i = 1, 2, . . . , n). (6.14)

Hauek (6.12) ekuazioetan ordezkatuz, zuzenean lortzen da soluzio orokorraren bigarrenerdia:

pi = pi (t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn) , (i = 1, 2, . . . , n). (6.15)

Adibide moduan, kontsidera dezagun kasurik errazena: zuzen batean higitzen den partikulaaske bat. HamiltondarraH = p2/2m denez, Hamilton eta Jacobiren ekuazioa

1

2m

(∂S

∂x

)2

+∂S

∂t= 0 (6.16)

da. Agerian dago soluzio bat lortzen dela batugai bakoitza konstantea bada,

∂S

∂x= b

∂S

∂t= c

=⇒ S = bx+ ct, (6.17)


etab2/2m+ c = 0 baldintza betetzen bada. Ondorioz,

S = bx− b2

2mt (6.18)

funtzioa soluzio osoa da,∂2S

∂x∂b= 1 6= 0, (6.19)

eta sistema hamiltondarraren (6.14)–(6.15) soluzioa ondokoa:

∂S

∂b= a =⇒ x− b

mt = a, p =

∂S

∂x= b. (6.20)

6.1 ARIKETA Aurkitu eta ebatzi hiru dimentsiotan higitzen den partikula askearen Hamilton etaJacobiren ekuazioa.

6.1.2 Ekintza

Eman dezagun hastapen-baldintzakt = t0 unean ematen direla. Higidurak berak definitzenduen

(q (t0) ,p (t0)

)→(q(t),p(t)

)transformazioa kanonikoa da,t bakoitzeko, eta gauza bera

gertatzen da alderantzikoarekin:(q(t),p(t)

)→ (q, p) ≡

(q (t0) ,p (t0)

). Baina azken balioak

higidura-konstanteak direnez, hauxe da gaiaren hasieratik bilatzen genituen transformazio kano-nikoetako bat. Gainera, dagokion funtzio sortzailea, hau da, Hamiltonen funtzio nagusia,higidu-ran barrenakalkulatutako ekintza da. Izan ere,2.7problemant1 = t0 etat2 = t egiten badugu,hauxe dugu:

∂I

∂qi= −pi,

∂I

∂qi= pi, (i = 1, 2, . . . , n). (6.21)

Lehen motako funtzio sortzailea da hau (aldagai independenteakq, q baitira); baina horrela-koekin lortzen den Hamilton eta Jacobiren ekuazioa berriroda (6.10), H = H + ∂S/∂t erlazioaeta momentuenpi = ∂S/∂qi adierazpenak berdinak baitira lehen eta bigarren motako transfor-mazio kanonikoekin.

Badirudi hauxe izan zela Hamiltonek lehenengoz proposatu zuen funtzio nagusia, baina horiaurkitzeko higidura-ekuazioen soluzioa ezagutu behar denez, ez du laguntzen problema ebazten,garrantzi teoriko handikoa bada ere. Jacobi konturatu zen horretarako (6.10) ekuazioarenedozeinsoluzio oso erabil daitekeela.

Dimentsio batean higitzen den partikula askearen kasuan, higidura-ekuazioaren soluzioax =x0 + v (t− t0) da eta ekintza honako hau:

I =1

2m

∫ t

t0

x2 dt =1

2mv2 (t− t0) =

1

2m

(x− x0)2

t− t0. (6.22)

Erabili dugun soluzioa berreskuratzen dugu hemendik:

− p0 =∂I

∂x0

= −mx− x0

t− t0, p =

∂I

∂x= m

x− x0

t− t0. (6.23)

6.2 Hamiltonen funtzio karakteristikoa 93

6.2 Hamiltonen funtzio karakteristikoa

Hamiltondarra higidura-konstantea denean, denbora ez da esplizituki agertzen Hamilton etaJacobiren ekuazioan:

H

(q1, q2, . . . , qn,

∂S

∂q1,∂S

∂q2, . . . ,

∂S

∂qn

)+∂S

∂t= 0. (6.24)

Horrelakoetan beti saia daiteke

S = W (q1, q2, . . . , qn) − Et (6.25)

egiturako funtzio nagusia,E hautazko konstantea erabiliz. Izan ere, honako ekuazio haugeratzenzaigu:

H

(q1, q2, . . . , qn,

∂W

∂q1,∂W

∂q2, . . . ,

∂W

∂qn

). = E (6.26)

Aldagai independente bat kendu (banandu) dugu eta problemanolabait erraztu. Horixe izan daaurreko adibidean (6.18) emaitzan egin duguna. Izan ere, adibide horretan honela geratzen da(6.26) ekuazioa:

1

2m

(∂W

∂x

)2

= E. (6.27)

Hemendik zuzenean lortzen diraW =√

2mE x etaS =√

2mE x− Et.(6.25) ekuazioaren soluzio osoanb1, b2, . . . , bn−1 hautazko konstanteak agertuko dira,E ba-

koitzeko. Osoa izateko, hortaz, hauxe eskatuko dugu,bn ≡ E notazioaz baliatuz:

det

(∂2W

∂qi∂bj

)n

i,j=1

= det

(∂2S

∂qi∂bj

)n

i,j=1

6= 0. (6.28)

Horrelako bat dugunean, (6.13) ekuazioak

∂W

∂bi= ai, (i = 1, 2, . . . , n− 1), (6.29)

∂W

∂E= t− t0 (6.30)

moduan agertzen dira (an ≡ −t0 egiten badugu). (6.29) ekuazioetan denbora agertzen ez denez,ibilbideen ekuazioak dira eta (6.30) delakotik lortzen da denborarekiko menpekotasuna.

(6.29)–(6.30) erlazioen alderantzizkoek koordenatuak ematen dituzte:

qi = qi (t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn) , (i = 1, 2, . . . , n). (6.31)

Hauek ordezkatzen badira (6.12) ekuazioetan, momentuak lortzen ditugu:

pi =∂W

∂qi= pi (t, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn) , (i = 1, 2, . . . , n). (6.32)

Adibidez, osziladore harmonikoaren kasuan,

1

2m

(dW

dx

)2

+1

2mω2x2 = E (6.33)


ekuaziotik,

W =

∫ √2mE −m2ω2x2 dx (6.34)

lortzen da eta (6.30) ekuazioak ematen digu soluzio orokorra:

t− t0 =∂W

∂E= m

∫dx√

2mE −m2ω2x2=

1

ω

∫dx√

A2 − x2,

(A ≡ 2E

mω2

), (6.35)

t− t0 =1

ωarcsin

x

A, (6.36)

x = A sinω (t− t0) . (6.37)

Momentua nahi bada,

p =∂W

∂x=

√2mE −m2ω2x2 = mAω cos (t− t0) . (6.38)

6.3 Aldagaien banantzea

Orain arte aztertu ditugun adibide guztietan, Hamilton etaJacobiren ekuazioan eta Hamilto-nen funtzio nagusiant, q1, q2, . . . , qn aldagai independenteak banandurik agertu dira. Problemabaten ebazpena (edo azterketa partziala) erraztu egiten dahori gertatzen denean aldagai batzuekin(edo, hobe, guztiekin).

6.3.1 Koordenatu ziklikoak

Denbora esplizituki agertzen ez denean hamiltondarrean,t banandu dugu6.2atalean. Antze-ko gauza bat egin daiteke koordenatu orokorturen bat agertzen ez denean. Horrela,qj ziklikoakbadiraj = k + 1, k + 2, . . . , n balioetarako,

S = U (t, q1, q2, . . . , qk) +n∑

j=k+1

bjqj (6.39)

saiatzen badugu (6.10) ekuazioan, hauxe geratzen da:

H

(t, q1, q2, . . . , qk,

∂U

∂q1,∂U

∂q2, . . . ,

∂U

∂qk, bk+1, bk+2, . . . , bn

)+∂U

∂t= 0. (6.40)

Denbora ere ez bada esplizituki agertzen eta

S = U (q1, q2, . . . , qk) +n∑

j=k+1

bj−1qj − Et (6.41)

saiatzen badugu, honela geratzen zaigu (6.10) ekuazioa:

H

(q1, q2, . . . , qk,

∂U

∂q1,∂U

∂q2, . . . ,

∂U

∂qk, bk, bk+1, . . . , bn−1

)= E. (6.42)

Adibide moduan, kontsidera dezagun higidura laua potentzial zentral batean:

H =p2

r

2m+

p2ϕ

2mr2+ V (r). (6.43)

6.3 Aldagaien banantzea 95

(Keplerren problema laua berreskuratzen duguV = −k/r denean.) Hemendik lortzen den

1

2m

(∂S

∂r

)2

+1

2mr2

(∂S

∂ϕ

)2

+ V (r) +∂S

∂t= 0 (6.44)

Hamilton eta Jacobiren ekuazioan

S = U(r) + ℓϕ− Et (6.45)

saiatzean,U ′2

2m+

ℓ2

2mr2+ V (r) = E (6.46)

geratzen da eta hortik, energia potentzial eraginkorrarendefinizioa gogoratuz,

U = ±∫ √

2m[E − Ve(r)

]dr, Ve(r) ≡ V (r) +

ℓ2

2mr2. (6.47)

Emaitza honekin,t = t0 denean hastapen-baldintzak(r, ϕ) = (r0, ϕ0) badira, honela geratzendira (6.13) soluzioak:

ϕ0 =∂S

∂ℓ= ϕ∓

∫ r

r0

ℓ dr

r2

√2m[E − Ve(r)

] , (6.48)

−t0 =∂S

∂E= −t±

∫ r

r0

dr√2m

[E − Ve(r)

] . (6.49)

Horrela berreskuratzen ditugu [7] liburuko emaitzak. Orbitaren ekuazioa da (6.48) etar(t) ebo-luzio erradiala ematen du (6.49) delakoak.

Hemendik aurrera hamiltondarra higidura-konstantea dela,H = H(q,p),suposatuko dugu gai honetan.

6.3.2 Hamiltondar banangarriak

Eman dezagun

W =

n∑

i=1

Wi (qi) (6.50)

egiturako funtzio karakteristikoa saiatzean (ohartu zaitez batugai bakoitzean bakarrik agertzendela koordenatu orokortu bat) deribatu partzialetako (6.26) ekuazioan ekuazio diferentzial arrun-ten sistema batera laburtzen dela:

Hi

[qi,W

′i (qi)

]= bi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.51)

Hi (qi, pi) funtzio egokiekin. Aldagai guztiekin hori gertatzen denean, sistema hamiltondarraba-nangarria dela esaten da eta ebazpenaWi (qi, ai, bi) funtzioak ematen dituzten koadraturetaralaburtzen da, ekuazio bakoitzean bakarrik baitago aldagaiindependente bat. Arrazoi beragatik,

pi =∂Wi

∂qi(6.52)


dugu eta momentu bakoitza bakarrik izango da (integrazio-konstanteen eta) dagokion koordena-tuaren menpekoa.

Hamiltondar banangarrien artean, ondoko egiturakoak diraerrazenak:

H(q,p) =

n∑

i=1

Hi (qi, pi). (6.53)

Horrela gertatzen da, adibidez, oszilazio txikietan koordenatu normalak erabiltzen badira, zerenorduan lagrangearra

L =n∑

i=1

[1

2

(Q2

i − ω2iQ

2i

)](6.54)

moduan idazten denez (ikus [7]), hauxe baita hamiltondarra:

H =

n∑

i=1

[1

2

(P 2

i + ω2iQ

2i

)]. (6.55)

Baina (6.53) egitura nahikoa bada ere, ez da beharrezkoa, (6.43) hamiltondarrarekin, adibidez,ikusten den bezala. Izan ere,

1

2m

(∂W

∂r

)2

+1

2mr2

(∂W

∂ϕ

)2

+ V (r) = E (6.56)

ekuazioanW = A(r) +B(ϕ) (6.57)

ordezkatzen badugu,

r2[A′(r)

]2 − 2m[E − V (r)

]+[B′(ϕ)

]2= 0 (6.58)

lortzen da eta, aldagai independenteak gai banatan agertzen direnez, ondoko modu baliokideanidatz daiteke hauℓ banantze-aldagaia erabiliz:

B′(ϕ) = ℓ, (6.59)

A′(r) = ±√

2m

[E − V (r) − ℓ2

2mr2

]. (6.60)

Ageri denez,6.3.1ataleko adibidearen soluzioa berreskuratzen dugu hemendik aurrera.Azpimarratu behar da aukeratu diren koordenatu orokortuenmenpeko propietatea dela siste-

ma bat banangarria izatea (edo aldagairen bat banandurik agertzea): sistema bat banangarria izandaiteke koordenatu polarretan, adibidez, koordenatu cartesiarretan propietate hori eduki gabe,V (r) potentzial zentral gehienen kasuan gertatzen den bezala. Berriro ere ikusten dugu koorde-natu orokortuen aukera egokiak duen eragina problemaren ebazpena erraztean.

Kasu batzuetan, bakarrik banan daitezke1 ≤ k < n aldagaiak honelako saio bat eginez:

W =

k∑

j=1

Wj

(qj)

+ U(qk+1, qk+2, . . . , qn

). (6.61)

Horrela, sistema partzialki banangarria izateak problemaren ebazpena erraz dezake.Egitura bereziko beste hamiltondar batzuekin, bestelako metodoak erabili behar dira proble-

ma ebazteko. Kasu batzuk aztertzen dira, adibidez, [1] testuko 27. atalean.

6.4 Higidura kuasi-periodikoa 97

6.4 Higidura kuasi-periodikoa

Sistema banangarri batean, (6.51) ekuazioak ematen du fase-orbita bakoitzak(qi, pi) planoanduen proiekzioa:

Hi (qi, pi) = bi. (6.62)

Garrantzi fisikoko problema askotan, momentuekiko koadratikoa da hamiltondarra eta, hortaz,(higidura-konstanteen eta)qi koordenatuaren balio bakoitzekopi momentuaren bi balio daudeeta, askotan (higidura bornatua bada), higiduraren proiekzio hori periodikoa, itxia, da. Horrelagertatzen da oszilazio txikien kasuan, non proiekzio bakoitza elipse bat den:

Q2i

2bi/ω2i

+P 2

i

2bi= 1. (6.63)

6.2 IRUDIA (Qi, Pi) bikote normalaren eboluzioa.

Jakina, oro har, proiekzio horiek, itxiak badira ere, ez dira elipseak izango. Adibide moduan,kontsidera dezagun pendulu matematikoa. Askatasun gradu bakarreko hamiltondar guztiak beza-la, bananduta dago eta energiaren kontserbazioak ematen digu fase-orbiten ekuazioa:

p2

2ml2−mgl cos θ = E. (6.64)

Anplitude (energia) txikiko orbitak bakarrik dira eliptikoak hurbilketa onean. Gainera, adibidehonetaz baliatuko gara kontuzko puntu matematiko bat aztertzeko. Penduluaren energiaE > mglbada,θ = π edoθ = −π maximoraino helduko da eta harantzago joango da:θ koordenatua eten-gabe handituko edo txikituko da (p momentuaren zeinuaren arabera). Hala ere, ez da pentsatubehar higidura hau periodikoa ez dela: pendulua behin eta berriro igarotzen da posizio beretikabiadura berdinarekin! Kontua daθ = −π etaθ = π balioak konfigurazio fisiko bakar bati da-gozkiola, pendulua garaiera maximoan egoteari, alegia. Horrexegatik, benetako fase-espazioa ezda−∞ < θ <∞,−∞ < p <∞ plano osoa,−π < θ ≤ π,−∞ < p <∞ zilindroa baizik,θ + 2nπ balio guztiak baliokideak baitiran ∈ Z guztietarako.

Ikuspuntu fisikotik orbiten energia da desberdintasun bakarra, baina ikuspuntu geometrikotikbadago beste bat:E > mgl energiako fase-orbitek zilindroa inguratzen dute eta ezindira puntubatera laburtu deformazio jarraitu baten bidez. Batzuetanesaten da horrelako higidurabirake-ta dela etaE < mgl kasuko bakoitzalibrazioa. Alabaina, kasu bietan (hau da,E = −mgl

1http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/pendulua.ds

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/pendulua.ds


6.3 IRUDIA Penduluaren fase-espazioa1.

oreka-puntua2 etaE = mgl energiari dagokionbanantzaileakenduta) fase-orbitaren topologiaS1 zirkunferentziarena3 da: hau da, badago orbita bakoitzaren eta zirkunferentzia baten puntuenarteko bana-banako korrespondentzia jarraitu bat,6.3 irudian ikusten den bezala.

Salbuespen batzuk alde batera utzita, fase-orbitek(qi, pi) plano guztietan dituztenCi proiek-zioakS1 topologiakoak badira, orbita gehienen topologiaTn = S1×S1×· · ·×S1 toruarena izangoda eta sistema dinamikoaosoki integragarria dela esaten da. Toruaren azalean biribilkatzen dirafase-orbitak eta(qi, pi) plano bakoitzean duten proiekzioa zirkunferentzia baten baliokidea da.Torua beraaldaezinada: toru batean aukeratzen baditugu hastapen-baldintzak,soluzio betida-nik eta betiko dago toru horretan: fase-orbitek ez dute torurik zeharkatzen, toru baten barrenahigitzen baitira.

Donutsbaten azala da toru bat topologian; baina gogoratu mekanikahamiltondarrean laudimentsioko fase-espazio bateko bi dimentsioko gainazaladelaT2 torua. Horrexegatik, kontuzibili behar da torua irudikatzen saiatzean.

Bi askatasun-graduko fase-espazio batek dituen lau dimentsioetatik hirura jaitsi daiteke ha-miltondar kontserbatuarenE balio bakoitzekoH (q1, q2, p1, p2) = E ekuazioak definitzen duenhiru dimentsiokoenergia-gainazalaaztertuz.

Kasu erraz bat marraztu dugu6.4irudian. Oszilazio txikien (6.55) hamiltondarrarenE = 1/2balioa (unitate egokietan) aukeratu dugu etaP2 = ±

√2E − P 2

1 − ω21Q

21 − ω2

2Q22 denez, bakarrik

geratzen zaizkigu(Q1, Q2, P1) koordenatuak. Fase-orbita baten zati bat proiektatu da ezkerrean,baina ez da erraz ulertzen toruaren proiekzioa zilindro zati bat dela koordenatu horietan! Horre-xegatik, dimentsio bat gutxiago (eta horrela irudi ulergarriak) lortzeko,Poincaréren sekzioakerabiltzen dira askotan: energia-gainazalean orbitak duen proiekzio osoa marraztu beharrean,

2(θ, p) = (0, 0) puntuan oreka egonkorra da etazentro bat dela esaten da, bere inguruko orbiten geometriakontuan hartuz.

3Sn ikurra erabiltzen dan dimentsioko esfera topologikoak adierazteko. Horrela,S1 zirkunferentzia da etaS2

ohiko gainazal esferikoa.4http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/txikiak.ds. Gainera,

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon_Poincare.html

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/txikiak.ds


6.4 Higidura kuasi-periodikoa 99

6.4 IRUDIA (6.55) hamiltondarraren fase-orbita baten proiekzioak eta Poincaréren sekzioak4.

bakarrik azaltzen dira aukeratutako gainazal baten eta orbitaren arteko ebakidura-puntuak. Adi-bidez, bigarren irudian,H = 1/2 baldintzaz gain,Q2 = 0 betetzen den bakoitzean(Q1, P1)koordenatuetako puntua marraztu da. Ageri denez, zirkunferentzia batean daude:Q2-ren balioguztietarako marraztuko bagenitu(Q1, P1) puntuak, orbitarenC1 proiekzio jarraitua izango li-tzateke azpian dagoen zirkunferentzia hori (zirkularra daω1 = 1 aukeratu dugulako).Q1 = 0denean fase-orbitak dituen(Q2, P2) koordenatuetako puntuak marraztu dira hirugarren irudian.(Q2, P2) planoan orbitak duenC2 proiekzioa aurkezten da laugarren irudian. Gogoratu, gainera,adibide hau errazena dela eta toruak topologikoak direla: euren geometrikoa nahiko korapilatsuaizan daiteke.

6.5 IRUDIA Hénon eta Heilesen hamiltondarraren hiru toru5.

6.5 irudian aztertzen daH = 1/2(p2

x + p2y + x2 + y2

)+ x2y + 2y3 hamiltondarra (ikus,

105. orrian, Hénon eta Heilesen hamiltondarra)E = 0.01 energia-gainazalean (dimentsio gabekoaldagaietan). Hiru toruren launa ebaki erakusten dira.

5Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon_Heiles_int.ds simu-lazioa.

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon_Heiles_int.ds


Oro har, proiekzio bakoitzarenTi periodoa aldatu egingo da orbita batetik bestera (bainaez oszilazio txikien kasuan, nonTi = 2π/ωi den). Gerta daiteke orbita batzuetann periodoakelkarneurgarriak izatea, hau da multiplo komun bat edukitzea: higidura periodikoa izango da kasuhorretan. Baina gehienetan periodoak ez dira elkarneurgarriak izango eta koordenatu guztienbalioak ez dira aldi berean gertatuko bi aldiz: higidura kuasi-periodikoa,periodo anitzekoa,izango da eta soluzioak torua betetzen dut → ∞ limitean. Horixe da6.4 irudian gertatzendena:ω2/ω1 =

√2 denez, bakarrik marraztu da orbitaren proiekzioaren zati labur bat, irudiaren

bereizmen finituaren ondorioz irudi bete beltz bat lortzen baita oso arin.

6.5 Angelu- eta ekintza-aldagaiak

Sistema hamiltondar banangarri bat osoki integragarria denean,Ci ziklo bakoitzeko definitzenda ekintza-aldagai bat6:

Ji =1

2π

∮

Ci

pi dqi. (6.65)

Ekintzaren dimentsioak ditu honek etaCi proiekzioaren periodo osoa erabili denez, higidura--konstantea izango da. Izan ere, argi dagoCi kurbak(qi, pi) planoan inguratzen duen azalera dela|2πJi| eta, torua bezala, aldaezina da bere barruaren proiekzioenazalera.

qi koordenatua ziklikoa bada,pi momentua higidura-konstantea da eta periodo guztiak onar-tzen ditu. Hemen2π aukeratuko dugu eta dagokion ekintza-aldagaia hauxe izango da:

Ji = pi. (6.66)

(6.65) ekuazioan (6.52) ordezkatzen badugu,

Ji =1

2π

∮

Ci

∂Wi

∂qidqi (6.67)

geratzen da eta, integrala egiteanqi desagertzen denez,Ji = Ji (b1, b2, . . . , bn) funtzioa geratukozaigu. Gainera,∂Wi/∂qi = ∂W/∂qi denez,

det

(∂Ji

∂bj

)n

i,j=1

∝ det

(∂

∂bj

∮

Ci

∂W

∂qidqi

)n

i,j=1

= det

(∮

Ci

∂2W

∂qi∂bjdqi

)n

i,j=1

=

∮

C1×C2×···×Cn

det

(∂2W

∂qi∂bj

)n

i,j=1

dq1 dq2 . . . dqn 6= 0 (6.68)

dugu, zeren (6.28) baldintzaren ondorioz integrakizuna ez da inoiz zero eta ondorioz beti posi-tiboa edo beti negatiboa. Baina emaitza honek esan nahi duJi = Ji (b1, b2, . . . , bn) funtzioenalderantzizkoak existitzen direla,bi (J1, J2, . . . , Jn), eta horiek erabiliz, Hamiltonen funtzio ka-rakteristikoaW (q1, q2, . . . , qn, J1, J2, . . . , Jn) moduan idatz daitekeela. Beraz,H = bn hamil-tondarra ekintza-aldagaien funtzio hutsa da:

H = H (J1, J2, . . . , Jn) . (6.69)

6.2 ARIKETA Egiaztatu (6.68) kalkuluko azken urratsan = 3 kasuan.

6Liburu batzuetanJi =∮Ci

pi dqi definizioa erabiltzen da.

6.5 Angelu- eta ekintza-aldagaiak 101

(q,p) → (φ,J) transformazio kanonikoa osatzeko, bigarren motakoW (q,J) funtzio sor-tzailea erabiliko dugu, (5.96) ekuazioetanJi momentu berriei dagozkien koordenatu kanonikokonjugatu berriak,angelu-aldagaiakdeitzen direnak, honela definitzeko:

φi =∂W

∂Ji, (i = 1, 2, . . . , n). (6.70)

(6.69) emaitzaren ondorioz, koordenatu hauek guztiak ziklikoakdira (eta dagozkienJi momentukanonikoak higidura-konstanteak) eta modu linealean aldatzen dira:

φi = ωi (J1, J2, . . . , Jn) ≡ ∂H

∂Ji, (i = 1, 2, . . . , n). (6.71)

Aldagai hauetan, beraz, soluzioa modu honetan idazten da:

φi = ωit+ ai, (i = 1, 2, . . . , n). (6.72)

Angelu-aldagaien esanahi fisikoa ulertzeko ikus dezagun nola aldatzen denφi aldagaiaCj zi-kloan barrena, bakarrik aldatzen badaqj koordenatua. Zikloan ekintza-aldagai guztiak konstan-teak direnez,

δjφi =∂

∂qj

(∂W

∂Ji

)dqj (6.73)

dugu aipaturiko desplazamendu birtualean etaφi-ren aldaketa honako hau da:

∆jφi ≡∮

Cj

δjφi =

∮

Cj

∂2W

∂Ji∂qjdqj =

∮

Cj

∂2Wj

∂Ji∂qjdqj =

∂

∂Ji

∮

Cj

∂Wj

∂qjdqj

=∂

∂Ji

∮

Cj

pj dqj = 2π∂Jj

∂Ji= 2πδij. (6.74)

Beraz,φi bakarrik aldatzen da bere zikloan barrena eta bertan duen aldaketa2π da, angelu batenabezalakoa. Ondorioz,(J1, J2, . . . , Jn) aukera bakoitzeko toru bat —eta dagokion (6.69) hamil-tondarraren balioa— dugu eta toru horretako puntu bakoitzaren (φ1, φ2, . . . , φn) posizioa des-kribatzeko,Ci ziklo bakoitzean duen proiekzioaren posizioa ematen duenφi angelua erabiltzenda.

Interpretazio honez gain, beste abantaila bat du formalismo honek: higidura kuasi-periodi-koen maiztasunak kalkula daitezkeela Hamilton eta Jacobiren ekuazioa osorik ebatzi gabe. Ho-rretarako nahikoa da

• aldagaiak banantzea Hamilton eta Jacobiren ekuazioan,

• (6.65) ekintza-aldagaiak kalkulatzea,

• hamiltondarra azken hauen menpean, (6.69) eran, idaztea eta

• maiztasunak (6.71) formularen bidez kalkulatzea:

ωi (J1, J2, . . . , Jn) =∂H

∂Ji

, (i = 1, 2, . . . , n). (6.75)


Osziladore harmonikoa

(6.34) funtzio karakteristikoa

W = mω

∫ √A2 − x2 dx,

(A ≡

√2E

mω2

)(6.76)

moduan idazten badugu, agerian dago hor (edo, nahiago bada,energia mekanikoaren kontserba-zio-legean)−A ≤ x ≤ A dugula. Horrela, ziklo bat izan daitekex koordenatua 0-tikA handitzea,hortik −A-raino txikitzea eta berriro handitzea 0-raino. Hau errazago idazteko, ekintza-aldagaiadefinitzen duen integralean,x = A sin θ aldagai-aldaketaz baliatzen bagara, hauxe dugu:

J =mω

2π

∮

C

√A2 − x2 dx =

mωA2

2π

∫ 2π

0

cos2 θ dθ =1

2mωA2 =

E

ω. (6.77)

Beraz, torua bereizten duen ekintza-aldagaiaren balioa energia mekanikoa proportzionala da. Ho-nekin erraz idazten daH = E hamiltondarraJ-ren funtzioan eta maiztasuna berreskuratzen da:

H = ωJ, (6.78)

ω =dH

dJ. (6.79)

Beharrezkoa ez bada ere, kalkula dezagun angelu-aldagaia,bere esanahi fisikoa aztertzeko:

φ =∂W

∂J=

2

mω

∂W

∂A2=

∫dx√

A2 − x2= − arccos

x

A+ C1 = arcsin

x

A+ C2. (6.80)

(6.72) ekuazioaφ = ωt+ a denez,x = A cos(ωt+ a) soluzio ezaguna berreskuratzen dugu etaφ angelu-aldagaia osziladorearen fasea7 (hau da, fasorearen orientazioa) dela ikusten dugu.

6.6 Keplerren problema

Propietate orokorrak aztertzeko eta perturbazio-teoria prestatzeko (zeruko mekanikan era-biltzeko edo sateliteen higiduraren perturbazioak aztertzeko), ez dugu hemen hasieratik erabilikoorbita laua dela. Koordenatu polar esferikoetan, honela idazten diraV = −k/r energia potentzia-lean higitzen den partikularen lagrangearra, momentu kanonikoak, hamiltondarra eta Hamiltoneta Jacobiren ekuazioa:

L =1

2m

[r2 + r2

(θ2 + sin2 θ ϕ2

)]− k

r, (6.81)

pr = mr, (6.82)

pθ = mr2θ, (6.83)

pϕ = mr2 sin2 θ ϕ, (6.84)

H =p2

r

2m+

p2θ

2mr2+

p2ϕ

2mr2 sin2 θ− k

r, (6.85)

E =1

2m

(∂W

∂r

)2

+1

2mr2

(∂W

∂θ

)2

+1

2mr2 sin2 θ

(∂W

∂ϕ

)2

− k

r. (6.86)

7Zehazkiago, fasea gehi konstante bat daφ.

6.6 Keplerren problema 103

Aldagaiak banantzekoW = Wr(r) +Wθ(θ) +Wϕ(ϕ) (6.87)

saiatzen badugu,

1

2m

[W ′

r(r)]2

+1

2mr2

[W ′

θ(θ)]2

+1

2mr2 sin2 θ

[W ′

ϕ(ϕ)]2

− k

r= E (6.88)

geratzen da eta, aldagaien menpekotasuna kontuan hartuz, ondoko hiru ekuazio diferentzialaklortzen ditugu:

W ′ϕ(ϕ) = bϕ, (6.89)

[W ′

θ(θ)]2

+b2ϕ

sin2 θ= b2θ, (bθ ≥ 0), (6.90)

[W ′

r(r)]2

+b2θr2

= 2m

(E +

k

r

). (6.91)

6.3 ARIKETA Egiaztatu aurreko hiru ekuazioek hurrengo hiru magnitudeen kontserbazio-legeakadierazten dituztela: momentu angeluarrarenLz = bϕ osagaia etaL = bθ modulua etaE energiamekanikoa.

Higidura periodikoa izateko,k > 0,E < 0 kasua aztertuko dugu bakarrik: horrela,r etaθ-reneboluzioak librazioak izango dira etaϕ-rena biraketa. Azken aldagaia ziklikoa denez, (6.66) hi-tzarmenak ematen digu dagokion ekintza-aldagaia:

Jϕ =1

2π

∮

Cϕ

W ′ϕ(ϕ) dϕ =

1

2π

∮

Cϕ

bϕ dϕ = bϕ. (6.92)

Formulak errazteko,bϕ > 0 izateko moduan aukeratuko duguOZ ardatzaren noranzkoa.Bigarren ekintza-aldagaiaren

Jθ =1

2π

∮

Cθ

W ′θ(θ) dθ =

1

2π

∮

Cθ

√b2θ −

b2ϕsin2 θ

dθ (6.93)

definizioan(arcsin bϕ/bθ, π/2− arcsin bϕ/bθ) tartea bi aldiz egiten denez, hauxe dugu (A.40) in-tegralaren ondorioz:

Jθ =4bθ2π

∫ π/2

arcsin bϕ/bθ

√

1 −b2ϕ/b

2θ

sin2 θdθ = bθ − bϕ. (6.94)

Azken ekintza-aldagaiaren

Jr =1

2π

∮

Cr

W ′r(ϕ) dr =

1

2π

∮

Cr

√2mE +

2mk

r− b2θr2dr (6.95)

integraleanr distantzia bi aldiz aldatzen da,r = 0 baldintzak definitutako absideen artean, hauda,r− ≤ r ≤ r+ dugu, erraz egiaztatzen diren hurrengo balio ezagunekin:

r± ≡ p

1 ∓ ε, (6.96)

p ≡ b2θmk

, (6.97)

ε ≡√

1 +2b2θE

mk2. (6.98)


Orain (A.48) integrala erabiliz, hauxe dugu azkenean:

Jr =bθπ

∫ r+

r−

√(1

r−− 1

r

)(1

r− 1

r+

)dr = bθ

(r− + r+2√r−r+

− 1

)=

bθ√1 − ε2

− bθ

= k

√m

−2E− bθ. (6.99)

Hortaz, honela idazten da energia mekanikoa (6.92), (6.94) eta (6.99) ekintza-aldagaien fun-tzioan:

E = − mk2

2(Jr + Jθ + Jϕ

)2 . (6.100)

Hiru ekintza-aldagaiak batura moduan agertzen direnez, osoki endekatua da higidura, maiztasunbakarra baitu:

ω =∂E

∂Jr

=∂E

∂Jθ

=∂E

∂Jϕ

=mk2

(Jr + Jθ + Jϕ

)3 . (6.101)

Horrexegatik, higidura laua eta itxia da (eta Böhrren atomoan zenbaki kuantiko bakar bat beharda energia idazteko).6.6probleman aztertuko dugun Keplerren problema erlatibistan endekapenbakarra geratuko da: higidura laua izango da baina, oro har,ez periodikoa.

(6.101) emaitza eta ardatz nagusiaren luzera2a = r− + r+ = −k/E dela erabiliz, Keplerrenhirugarren legea berreskuratzen dugu:

ω =

√−8E3

mk2, (6.102)

T =2π

ω= πk

√m

−2E3=

√4π2ma3

k. (6.103)

6.7 Hamiltondar osoki integragarriak

Aurreko ataletan aurkitu ditugun sistema hamiltondar osoki integragarriak banangarriak izandira; baina baldintza hau ez da beharrezkoa. Nahikoa da higidura bornatua izatea eta orain azter-tuko ditugun baldintzak betetzea. Sistema banangarria bada, ekintza-aldagaiak higidura-konstan-teak dira,

[Ji, H ] = 0, (i = 1, 2, . . . , n), (6.104)

eta, momentu kanonikoak direnez, independenteak dira etainboluzioan daude:

[Ji, Jj] = 0, (i, j = 1, 2, . . . , n). (6.105)

6.1 TEOREMA (Liouville, Arnold) Eman dezagunn askatasun-gradukoH(q,p) hamilton-darraren

Ii(q,p); i = 1, 2, . . . , n

aldagai dinamikoak

• funtzionalki independenteak izateaz gain,

• higidura-konstanteak direla,

[Ii, H ] = 0, (i = 1, 2, . . . , n), (6.106)

6.7 Hamiltondar osoki integragarriak 105

• eta inboluzioan daudela:

[Ii, Ij] = 0, (i, j = 1, 2, . . . , n). (6.107)

Orduan,

• (I1, I2, . . . , In) = (C1, C2, . . . , Cn) aukera konstante bakoitzeko toru8 aldaezin bat dugueta horrelakoetan biribilkatzen dira fase-orbitak.

• Higidura kuasi-periodikoa da.

• Angelu- eta ekintza-aldagaien sistema bat onartzen du sistema hamiltondarrak.

[16] testuan aurki daiteke teorema zail honen frogapena. Hemenohar batzuk egingo ditugu ba-karrik.

• Teoremaren hipotesiak betetzen badira, sistema osoki integragarria da (banangarria ez ba-da ere) etaprintzipiozproblemaren ebazpena koadraturetara laburtzen da.

• Beti aukera daitekeI1 = H.

• Ondorioz,n = 2 askatasun-graduko sistemetan nahikoa da aurkitzea bigarren higidura--konstante independente bat, sistema osoki integragarriaizateko.

6.7.1 Hamiltondar ez-integragarriak

Jakina, badaude integragarriak ez diren sistema hamiltondar asko eta garrantzi handikoak dirakaos deterministaren teorian. Hemen adibide famatu bat aipatzera mugatuko gara.

Kontsidera dezagun Hénon eta Heilesen hamiltondarra, galaxia batean izar bat nola higitzenden (eta molekula triatomikoen oszilazioak) aztertzeko eredu erraztua dena. Honela idazten dadimentsio-gabeko aldagaietan:

H =1

2

(p2

x + p2y + Ax2 +By2

)+ Cx2y +Dy3. (6.108)

A, B, C etaD konstanteak aldatzean, sistema integragarria da hurrengolau kasuetan:

1. C = 0 (ikus6.1problema).

2. A = B etaC = 3D (ikus6.2problema).

3. D = 2C (ikus 6.13problema).

4. B = 16A eta16C = 3D (ikus [20]).

Kaos deterministaren historian aparteko garrantzia duA = B = C = −3D = 1 kasuak,integragarria ez denak.6.6irudian erakusten dirax = 0 Poincaréren sekzioetako(y, py) puntuak,

8Fase-espazioa trinkoa eta konexua (eta, beraz, higidura bornatua) delako hipotesia egiten ari gara.9http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon-Heiles1.ds

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon-Heiles2.dshttp://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon-Heiles3.dshttp://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon_Poincare.html

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/jacobi/Henon-Heiles1.ds





6.6 IRUDIA Hénon eta Heilesen sistemarenx = 0 Poincaréren sekzioak9.

energiaren hiru baliotarako.E = 1/12 denean, orbita gehienak toruetan daude eta Poincarérensekzioak kurba itxietan gertatzen dira.E = 1/8 balioarekin, orbita batzuk toruetan gertatzenbadira ere, toruen arteko espazioa betetzen dute beste batzuek. Irudian horrelako soluziobakarbatek sortutako puntuak erakusten dira gorriz: orbita ez dakuasi-periodikoa, kaotikoa baizik.E = 1/6 denean, ia-ia espazio osoa betetzen du orbita batek, baina oraindik ikus daitezke torutxiki batzuk.

6.8 Problemak 107

6.8 Problemak

6.1 Hénon eta Heilesen hamiltondarra (I). Frogatu (6.108) banangarria delaC = 0 denean.

6.2 Hénon eta Heilesen hamiltondarra (II). Frogatu (6.108) banangarria dela konstanteak ho-nela aukeratzen direnean:A = B etaC = 3D.

6.3 m masako partikula batg k eremu grabitatorio uniformean higitzen ari da. Ebatzi dagokionHamilton eta Jacobiren ekuazioa funtzio nagusia erabiliz,soluzio osoa lortzeko.

6.4 Irudiko sistema mekanikoan marruskadura arbuiaga-rria da eta goiko konfigurazioan malgukiak deformatu ga-be daude. Aurkitu koordenatu egokiak hamiltondarra ba-nantzeko eta ebatzi higidura-ekuazioak Hamiltonen fun-tzio nagusia erabiliz.

6.5 m masako partikula batg k eremu grabitatorio uniformean higitzen ari da. Ebatzi dagokionHamilton eta Jacobiren ekuazioa funtzio karakteristikoa erabiliz, zuzenean ibilbidearen ekuazioalortzeko, soluzio osoa kalkulatu gabe.

6.6∗ Keplerren problema erlatibista (I) . Azter dezagunV = −k/r energia potentzialean higi-tzen ari den partikula erlatibistaren higidura laua.(a) Gogoratu4.11 eta 5.4 problemak, Hamilton eta Jacobiren ekuazioa koordenatu polarretanidazteko.(b) Frogatu banangarria dela eta idatzi Hamiltonen funtzionagusia koadratura baten bidez.(c) Balia zaitez (6.13) ekuazio egokiaz, orbitarenr(ϕ) ekuazioa integral baten bidez idazteko.(d) Erabili u = 1/r aldagai-aldaketa integrala egiteko eta egiaztatzeko honela idazten dela, bikasu desberdinetan:

r =p

1 + ǫ coshµ (ϕ− ϕ0),

r =p

1 + ǫ cosµ (ϕ− ϕ0).

(e) Sailkatu orbitak eta eztabaidatu euren forma kualitatiboa. Iruzkina egin emaitzari.(f) Kalkulatu, hurbilketa egokian, planeten perihelioaren prezesioa erlatibitate berezian.(g) Aplikatu emaitzak Merkurioren perihelioaren aurrerapenaren kasuan eta erkatu erlatibitateorokorraren emaitzarekin (ikus7.4problema).Oharrak: Erabili hurrengo integrala,∆ ≡ 4AC −B2 < 0 denean:

∫dx√

Ax2 +Bx+ C=

1√A

arccosh2Ax+B√

−∆, (A > 0);

1√−A

arccos2Ax+B√

−∆, (A < 0).

Ondoko helbidean aurki daitezke Merkurioren datuak:http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/mercuryfact.html.

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/mercuryfact.html


6.7∗ Partikula bat hurrengo energia potentzialean higitzen da:

V = −kr

+mgz.

Hau da, indar newtondar bat eta eremu uniforme bat pairatzenditu. Laburtu problema koadratu-retara,A.1.4 ataleko koordenatu parabolikoak erabiliz.

6.8 q karga plano batean higitzen da eremu magnetiko uniforme etakonstante baten eraginpean.Erabili Coulomben gaugea,

A =1

2B × r,

Hamilton eta Jacobiren ekuazioa idazteko. Saiatu

W = U(x) + V (y) + Cxy

egiturako funtzio karakteristiko bat eta aukeratuC konstantea etaV (y) funtzioa aldagaiak ba-nantzeko. Aurkitu ibilbidearen ekuazioa eta eboluzioa.

6.9 Ebatzi6.8problema Landauren gaugea erabiliz:

A = Bx j =⇒ B = B k.


6.10 Banantzailea. Zenbat fase-orbita daude pendulu matematikoaren banantzailean?

6.11 Osziladore harmonikoa. Froga ezazu osziladore harmonikoaren angelu- eta ekintzaalda-gaiak honako hauek direla:

φ = arctanmωx

p, J =

p2

2mω+

1

2mωx2.

Zein da alderantzizko transformazioa?

6.12 Osziladore harmonikoa. Aurkitu (x, p) → (φ, J) transformazio kanonikoarenF1 sortzai-lea, osziladore harmonikoaren kasuan. Iruzkina egin emaitzari.

6.13 Hénon eta Heilesen hamiltondarra (III).D = 2C denean (6.108) osoki integragarria delafrogatzeko, ondoko aldagai dinamikoa higidura-konstantea dela esaten da [20] liburuan:

F = x4 + 4x2y2 − 4px(pxy − pyx) + 4Ax2y + (4A− B)(p2

x + Ax2).

Egiaztatu hori ez dela egia (akatsen bat dagoelako aurreko adierazpenean) eta erabili arrazoibidefisiko bat, higidura-konstantea zein den asmatzeko.

6.14 Keplerren problema. Kontsidera dezagun hiru dimentsioko Keplerren problemarenL mo-mentu angeluarra. FrogatuH hamiltondarrak,Lz osagaiak etaL2 moduluaren karratuak, Jacobi-ren teoremaren hipotesiak betetzen dituztela. Higidura-konstanteak izango diraLx etaLy? Inbo-luzioan egongo dira?

6.8 Problemak 109

6.15OX ardatzean barrena higitzen da partikula bat,V = F |x| energia potentzialean. (ZerdaF konstante positiboa?) Erabili ekintza-aldagaien metodoa, oszilazioen periodoa energiarenfuntzioan aurkitzeko.

6.16 Pendulu zikloidala. Burdin hari bertikal baten itxura zikloide batena da, hurrengo ekuazioparametrikoek emandakoa:

x = a(θ − sin θ), y = a(1 + cos θ), (0 ≤ θ ≤ 2π).

Kalkulatu marruskadurarik gabe higitzen den iduneko batenoszilazioen periodoa. Iruzkina eginemaitzari.

6.17 Orbitaren prezesioa. Partikula puntual bat ondoko potentzial zentralean higitzen da:

V = −kr

+C

r2, (k > 0).

Idatzi orbita bornatuen energia ekintza-aldagaien funtzioan eta kalkulatu maiztasunak. Aurkituperizentroaren prezesioa, momentu angeluarraren funtzioan. Noiz da itxia orbita? Zer gertatzendaC txikia denean?Oharra: Ia-ia ez da kalkulurik egin behar.

6.18∗ Keplerren problema erlatibista (II) . Egin berriro6.6 ataleko kalkulua erlatibitate bere-zian, energia ekintza-aldagaien funtzioan idazteko. Nolaaldatzen da endekapena? Zein da horrenondorio fisikoa?Oharra: Ia-ia ez da kalkulurik egin behar.

6.19∗ Keplerren problema erlatibista (III) . Erabili 6.18problema, maiztasunen lehen hurbil-keta erlatibista kalkulatzeko. Idatzi maiztasunak energia eta momentu angeluarraren funtzioan.Kalkulatu orbitaren prezesioa eta alderatu6.6problemako emaitzarekin.Oharra: Erabili ikur-kalkulua egiteko sistemaren bat.

7. GAIA

Perturbazio-teoria

7.1 IRUDIA Jules Henri Poincaré (1854, Nancy, Frantzia – 1912, Paris).

111

112 7 Perturbazio-teoria

Era zehatzean ebatz daitezkeen sistema dinamikoak oso urriak dira eta hurbilketa-metodoe-tara jo behar da gehienetan. Azken hauen artean, zenbakizkometodoak oso erabilgarriak (etaerabiliak) izaten dira, ordenagailuen bidez problemapartikularrak askatzeko; baina propietatekualitatiboak aztertzeko, guztiz beharrezkoak dira metodo analitiko hurbilduak. Zorionez, per-turbazio-kalkulu astunetan ikur-kalkulua egiteko ere erabil daiteke ordenagailua (Delauney-ek20 urtetan egindako kalkulu famatua minutu batzuetan egiaztatzeko, adibidez).

XIX. mendean zeruko mekanikan garatu ziren perturbazio-metodoak, Ilargiaren eta beste as-troen higidurak aztertzeko (eta geroago aipatuko ditugun oztopoak aurkitu zituzten bidean). Gauregun, gainean, perturbazio-teoria klasikoa beharrezkoa da, adibidez, azeleragailuetako partikula--sorten egonkortasuna aztertzeko.

Nolabait ebatzi dugun sistema baten oso desberdina ez den beste sistema baten soluzioa, lehe-nengoaren soluzioaren oso desberdina ez dela izango da perturbazio-teoriaren oinarrizko ideia.Zehaztugabekoa (eta batzuetan okerra) bada ere, horixe izango da gure abiapuntua gai honetan.

7.1 Perturbazio erregularrak

Eman dezagun ondoko osziladore ez-linealaren soluzio periodikoak aurkitu nahi ditugula,ǫ parametroa txikia denean:

x+ 2x = sin t+ ǫx2. (7.1)

Hasteko,ǫ = 0 denean oinarrizko osziladore lineala (harmonikoa) berreskuratzen dugu.

7.1 ARIKETA Froga ezazux + 2x = sin t ekuazioaren soluzio periodiko bakarrax = sin t dela.

Kasu ez-lineala zailagoa da, noski. Funtsezko ideia erabiliz,

x = sin t+ ǫx1 + O(ǫ2) (7.2)

erako soluzio hurbildua bilatuko dugu, ekuazioaǫ parametroaren lehen ordenaraino betetzekomoduan.

7.2 ARIKETA Egiaztatu (7.2) hurbilketa (7.1) ekuazioan ordezkatuz gero hauxe lortzen dela:

ǫ

[x1 + 2x1 =

1 − cos 2t

2

]+ O(ǫ2). (7.3)

Askatu ekuazioa eta frogatu soluzio periodikorako lehen ordenako hurbilketa honako hau dela:

x = sin t + ǫ1 + cos 2t

4+ O(ǫ2).

7.2 Poincaré eta Lindstedt-en metodoa

Azter dezagun hurrengo hamiltondarra duen osziladore kuasi-harmonikoa:

H =p2

2m+

1

2mω2

0x2

(1 +

1

2ǫx2

), (7.4)

nonǫ perturbazio-parametroa positiboa eta txikia den.

7.2 Poincaré eta Lindstedt-en metodoa 113

7.3 ARIKETA Egiaztatu (7.4) hamiltondarrari dagokion higidura-ekuazioa

x + ω2

0

(x + ǫx3

)= 0 (7.5)

dela eta soluzio guztiak periodikoak direla.

ǫ = 0 deneanω0 maiztasuneko osziladore harmonikoa dugu eta, ondorioz, badirudi naturala delaondoko egiturako soluzioa saiatzea:

x = A cos(ω0t+ δ) + ǫy + O(ǫ2). (7.6)

7.4 ARIKETA Egiaztatu (7.6) soluzioa (7.5) higidura-ekuazioan saiatzean

ǫ

y + ω2

0y +

ω2

0A3

4

[cos 3(ω0t + δ) + 3 cos(ω0t + δ)

]

+ O(ǫ2) = 0 (7.7)

geratzen dela. Aurkitu honen soluzioa eta ondorioztatu (7.5) ekuazioarena honela idazten dela

x =

[A − ǫ

3A3

16

]cos(ω0t + δ) + ǫ

A3

32

[cos 3(ω0t + δ) − 12tω0 sin(ω0t + δ)

]+O(ǫ2) = 0. (7.8)

Soluzio honetan bi gai periodikoak dira, baina hirugarrenaǫt-rekiko proportzionala da eta, ha-sieran txikia bada ere, mugarik gabe handituko da. Hortaz,ǫy gaia zero ordenakoa baino askoztxikiagoa delako funtsezko hipotesia, gezur bihurtuko da azkenean: erabili dugun perturbazio--metodoa ez da tinkoa eta hurbilketa ez da ona izango|t| ≪ 1/|ǫ| tartetik kanpo. Lehenengozastronomiako problemak aztertzean agertu zirenez, gai horiek mendetakoakdirela esaten da etaerresonantziadagoelako agertzen dira. Izan ere, (7.7) ekuazioa

y + ω20y = −ω

20A

3

4

[cos 3(ω0t+ δ) + 3 cos(ω0t+ δ)

](7.9)

moduan idazten badugu, gai ez-homogeneoan osziladore askearen maiztasun bera duen gai bat(kanpo-indar bat) agertzen dela ikusten dugu.

Oztopo hau gainditzeko, osziladore ez-linealaren maiztasuna,ω0 izan beharrean, anplitudea-ren menpekoa dela erabil dezakegu. Gainera, dimentsioak kontuan hartuz, dimentsio gabekoǫA2

parametroaren menpekoa izango dela espero dezakegu. Horrexegatik,A2 gaiaωn-ren definizioansartzen badugu,

ω = ω0 + ǫω1 + O(ǫ2) (7.10)

garapena erabiliz, hauxe dugu lehen ordenako hurbilketaren egitura:

x = A cos [ω0t+ δ + ǫtω1] + ǫy + O(ǫ2). (7.11)

7.5 ARIKETA Egiaztatu (7.11) soluzioa (7.5) higidura-ekuazioan saiatzean

ǫ

y + ω2

0y +ω2

0A

4

[A2 cos 3(ω0t + δ) +

[3A2 − 8

ω1

ω0

]cos(ω0t + δ)

]+ O(ǫ2) = 0. (7.12)

geratzen dela.


(7.12) ekuazioan ere mendetako gai bat dugu; baina orain, askatasun handiagoa dagoenez, gaierresonante hori ezabatu dezakegu bere koefiziente konstantea deuseztatzen badugu hurrengoaukerarekin:

ω1 =3

8A2ω0, (7.13)

ω = ω0

(1 +

3

8ǫA2

)+ O(ǫ2). (7.14)

7.6 ARIKETA Egiaztatu (7.13) aukerarekin, soluzioa honela idazten dela:

x = A cos

[ω0

(1 +

3

8ǫA2

)t + δ

]+ ǫ

A3

32cos 3(ω0t + δ) + O(ǫ2) (7.15)

7.2 IRUDIA Osziladore kuasi-harmonikoaren soluzioa1.

7.2 irudian duguǫA2 = 0.1 kasuko soluzio bat,x(0) = A eta x(0) = 0 baldintzei dago-kiena. Lerro etenaz marrazten da 0 ordenakox = A cos(ω0t + δ) soluzioa eta lerro jarraituez(7.8) adierazpeneko lehen ordenako hurbilketa gorakorra eta Poincaré eta Lindstedt-en metodoakemandako (7.15) hurbilketa periodikoa eta ekuazio osoaren zenbakizko soluzioa. Azken biak ezdira bereizten irudian eta agerian dago beren periodoa (maiztasuna) txikiagoa (handiagoa) dela.

7.3 Perturbazio-teoria kanonikoa

Transformazio kanonikoak erabiliko ditugu atal honetan, soluzio periodikoetarako hurbilke-tak kalkulatzeko. Nolabait ebatzi dugunH0 hamiltondar banangarri bat izango da gure abiapuntuaeta funtsezko hipotesiak hurrengoak:

• Hamiltondar osoa ez dela oso desberdina, hau da,

H = H0 + ǫH1, (|ǫ| ≪ 1) (7.16)

egiturakoa dela

1http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/eregularra.ds

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/eregularra.ds

7.3 Perturbazio-teoria kanonikoa 115

• eta sistema osoaren soluzioak (kuasi-)periodikoak direla(hortaz,H0 etaH osoki integra-garriak dira).

7.3.1 Dimentsio bakarreko sistemak

Eman dezagun nolabait kalkulatu ditugulaH0-ren(φ0, J0) angelu- eta ekintza-aldagaiak. Ho-riek erabiliz,H0 = H0 (J) izango da, dagokion maiztasuna

ω0 (J) = H ′0 (J) , (7.17)

eta hamiltondar osoaH (φ0, J0) = H0 (J0) + ǫH1 (φ0, J0) . (7.18)

Hamiltondar osoari dagozkien(φ, J) angelu- eta ekintza-aldagaiak urratsez urrats lortzea izangoda gure asmoa. Horretarako perturbazio-serieen bidez eraikiko ditugu (φ0, J0) → (φ, J) trans-formazio kanonikoa eta dagokion bigarren motakoF2 = S (φ0, J) funtzio sortzailea:

S (φ0, J) = φ0J + ǫS1 (φ0, J) + ǫ2S2 (φ0, J) + · · · (7.19)

J0 =∂S

∂φ0= J + ǫ

∂S1

∂φ0+ ǫ2

∂S2

∂φ0+ · · · (7.20)

φ =∂S

∂J= φ0 + ǫ

∂S1

∂J+ ǫ2

∂S2

∂J+ · · · (7.21)

Hamiltondar osoaJ-ren funtzio hutsa izango da,

E(J) ≡ H[φ0(φ, J), J0(φ, J)

]= E0(J) + ǫE1(J) + ǫ2E2(J) + · · · (7.22)

etaJ0 = J puntuaren inguruan garatzen badugu,φ0 aldatu gabe,

H (φ0, J0) = H (φ0, J) + (J0 − J)∂H

∂J0

(φ0, J) +1

2(J0 − J)2 ∂

2H

∂J20

(φ0, J) + · · · , (7.23)

hauxe dugu (7.20)-ren ondorioz:

H (φ0, J0) = H (φ0, J) +

(ǫ∂S1

∂φ0+ ǫ2

∂S2

∂φ0+ · · ·

)∂H

∂J0(φ0, J)

+1

2

(ǫ∂S1

∂φ0+ ǫ2

∂S2

∂φ0+ · · ·

)2∂2H

∂J20

(φ0, J) + · · ·

= H (φ0, J) + ǫ∂S1

∂φ0

∂H

∂J+ ǫ2

[∂S2

∂φ0

∂H

∂J+

1

2

(∂S1

∂φ0

)2∂2H

∂J2

]+ · · · (7.24)

Azken adierazpenean ondoko notazio erraztua erabili da:

∂H

∂J≡ ∂H (φ0, J)

∂J=∂H

∂J0(φ0, J) . (7.25)

Orain (7.24) garapenean (7.18) egitura ordezkatzen badugu, ondokoak dira (7.22) seriearen koe-fizienteak, (7.17) funtzioa erabiliz:

E0(J) = H0(J), (7.26)

E1(J) = H1 (φ0, J) +∂H0

∂J

∂S1

∂φ0= H1 (φ0, J) + ω0(J)

∂S1

∂φ0, (7.27)

E2(J) =∂H1

∂J

∂S1

∂φ0+ ω0(J)

∂S2

∂φ0+

1

2ω′

0(J)

(∂S1

∂φ0

)2

. (7.28)


Ej etaSj funtzioak kalkulatu behar dira ekuazio hauetatik eta horretarako batez besteko ba-tzuk erabiliko ditugu.J0 aldatzen ez deneanφ0-ren aldaketa2π bada,H0 hamiltondarrarenC0 zi-klo batean barrena higitzen da fase-espazioko puntua eta, ondorioz, hasierako eta amaierako pun-tuak berdinak dira eta bertanJ-ren balioa berdina da,φ0 etaJ aldagai independenteak baitira.Ondorioz,J aldatu gabe,φ0-ren aldaketa2π bada hasierako eta amaierako puntu berdinak di-tuen beste kurba itxi bat lortuko dugu fase-espazioan eta, (7.20)–(7.21) ekuazioakǫ guztietarakobetetzen direnez,∂Sj/∂φ0 eta∂Sj/∂J ez dira aldatzen: periodikoak izango diraJ konstante ba-koitzeko.Sj funtzioak ere periodikoak izango dira2 eta honelako Fourieren garapen bat onartukodute:

Sj (φ0, J) =∞∑

m=−∞

ajm(J) eimφ0 . (7.29)

J balio bakoitzeko,φ0-rekiko batez bestekoa

〈F 〉 ≡ 1

2π

∫ 2π

0

F (φ0, J) dφ0 (7.30)

moduan definitzen bada —eta deribatuan (7.29) garapenetako gai konstantea desagertzen delakontuan hartuz— hauxe lortzen dugu:

⟨∂Sj

∂φ0

⟩= 0, (j = 1, 2, . . .). (7.31)

Emaitza hau eta⟨Ej

⟩= Ej erabiliz, hauxe da (7.27) adierazpenaren batez bestekoa:

E1(J) = H1 (φ0, J) + ω0(J)∂S1

∂φ0

= 〈E1〉 = 〈H1〉 . (7.32)

Emaitza hau∂S1

∂φ0=

〈H1〉 −H1 (φ0, J)

ω0(J)(7.33)

ekuazio diferentziala denez, printzipioz hemendik kalkula daitekeS1 funtzioa. Izan ere,7.8pro-bleman frogatuko dugunez, hauxe dugu:

S1 =i

ω0

∑

k 6=0

ak(J)

keikφ0 , (7.34)

ak(J) ≡⟨[H1 (φ0, J) − 〈H1〉

]e−ikφ0

⟩. (7.35)

Era berean,7.9probleman ikusiko dugunez, hauxe daS2 lortzeko ebatzi behar dugun ekuaziodiferentziala:

∂S2

∂φ0=

1

ω20

[⟨H ′

1

⟩〈H1〉 −

⟨H1H

′1

⟩+(H1 − 〈H1〉

)H ′

1

]

+ω′

0(J)

2ω30

[⟨H2

1

⟩−H2

1 + 2 〈H1〉(H1 − 〈H1〉

)], (7.36)

2Printzipioz, deribatuakφ0-rekiko periodikoak badira,Sj funtzioanCjφ0 gai bat egon daiteke; baina bakarrikbehar dugu transformazio kanoniko egoki bat eta hemen eraikitzen ari garen transformazio partikularreanCj = 0hartuko dugu beti.

7.3 Perturbazio-teoria kanonikoa 117

nonH ′1 ≡ ∂H1/∂J idatzi dugun.

S1 etaS2 kalkulatu gabe ere aurki daitekeE(J) funtzioa, (7.26)–(7.28) eta (7.33)–(7.36)ekuazioak (7.22) garapenean ordezkatuz, hauxe baitugu:

E(J) = H0(J)+ǫ 〈H1〉+ǫ2

ω0

[⟨H ′

1

⟩〈H1〉 −

⟨H1H

′1

⟩+ω′

0(J)

2ω0

(⟨H2

1

⟩− 〈H1〉2

)]+· · · (7.37)

Hemendik kalkula daiteke, hurbilketa berean,ω = E ′(J) maiztasun berria.

7.3.2 Osziladore kuasi-harmonikoa

Azter dezagun berriro (7.4) hamiltondarra.6.11 probleman frogatu dugunez, hauexek dirahasierako angelu- eta ekintza-aldagaiak:

φ0 = arctanmω0x

p, J0 =

p2

2mω0

+1

2mω0x

2. (7.38)

(Aurreko ataleko notazioarekin bat etortzeko, osziladoreaskearen maiztasunaω0 dela idatzi duguhemen.) Hemendik erraz lortzen dira hurrengoak:

p = mω0x cotφ0, (7.39)1

2ω0x

2 =J0

msin2 φ0, (7.40)

H0 = ω0J0, (7.41)

H1 =1

mJ2

0 sin4 φ0. (7.42)

J0 → J aldaketa eginez, honela geratzen zaigu (7.32) gaia:

E1 = 〈H1〉 =J2

2πm

∫ 2π

0

sin4 φ0 dφ0 =3J2

8m. (7.43)

Ondorioz, hauxe dugu sistema osoaren maiztasuna:

ω = E ′(J) = ω0 + ǫE ′1(J) + O(ǫ2) = ω0 +

3ǫJ

4m+ O(ǫ2). (7.44)

7.10probleman frogatuko dugu (7.14) emaitzaren baliokidea dela hau eta7.11probleman aurki-tuko dugu(φ0, J0) → (φ, J) transformazio kanonikoa, lehen ordenako hurbilketa honetan.

7.3.3 n dimentsioko sistemak

Ideiak berdinak dira, baina kalkuluak apur bat luzeagoak. Hemen bakarrik bilduko ditugulehen ordenako emaitzak notazio laburtua erabiliz. Hamiltondarra, zero ordenako angelu- etaekintza-aldagaietan

H(φ0,J0

)= H0 (J0) + ǫH1

(φ0,J0

)(7.45)

bada, hauxe dugu:

E(J) = H0 (J) + ǫ 〈H1〉 + O(ǫ2), (7.46)

〈F 〉 ≡ 1

(2π)n

∫ 2π

0

dφ1

∫ 2π

0

dφ2 · · ·∫ 2π

0

dφn F (φ1, φ2, . . . , φn,J) . (7.47)


Badirudi dena dela oso antzekoa, baina ikus dezagun nola idazten den funtzio sortzailea:

S(φ0,J

)= φ0 · J + iǫ

∑

k 6=0

ak(J) eik·φ0

k · ω0, (7.48)

ak(J) ≡⟨[H1

(φ0,J

)− 〈H1〉

]e−ik·φ

0

⟩. (7.49)

k = (k1, k2, . . . , kn) ∈ Zn denez,

k · ω0 = k1ω01 + k2ω02 + · · · + knω0n (7.50)

izendatzaileren batzuk nuluak dira zero ordenako maiztasunak elkarneurgarriak direnean, hau da,erresonantziadagoenean. Ageri denez, kasu endekatu horiekin ezin da erabili perturbazio-teoriakanonikoa. Areago, erresonantzia zehatzik ez badago ere,k · ω0 izendatzaileren bat txikia bada,nahiz etaǫ txikia izan, (7.48) funtzio sortzailearen bigarren gaia lehenengoa baino askoz han-diagoa izan daiteke: perturbazio-seriea ez da nahitaez hurbiltzailea izango.Izendatzaile txikienproblema hau gertatzen denean kontuz ibili behar da, perturbazio txiki batek zero ordenako to-ruak deusezta baititzake eta sistema osoa integragarria delako hipotesia ez da beti egia izango:perturbazio-metodoa ez da egokia. Toruen deuseztapena nola gertatzen den aztertzen daKAMteoreman3.

7.4 Teorema adiabatikoa

Eman dezaguna parametroaren balio konstante bakoitzekoH(s; a) hamiltondarra osoki inte-gragarria dela. Angelu- eta ekintza-aldagaiaka-ren menpekoak izango dira, oro har. Oraina pa-rametroaren ordez,a(t) funtzio bat badago —adibidez, pendulu matematikoaren luzera aldatzendelako—, sistema ez da oro har integragarria izango; bainat bakoitzean lehenago bezala kalkuladaitezke angelu- eta ekintza-aldagaiak. Alabaina, orainJi aldagai bakoitza ez da higidura-kons-tantea izango, denboraren menpekoa baizik.

Hemendik aurreraa parametroaren aldaketaadiabatikoa dela suposatuko dugu: periodo ba-tean energiaren∆E/E aldaketa proportzionala txikia da eta ez da inolako erresonantziaren sor-tzen. Gainera, periodo bateana ia konstantea eta txikia dela emango dugu,a2 eta ordena handia-goko gaiak arbuiatu ahal izateko. OrainW (q,J) funtzio sortzailea denboraren esplizituki men-pekoa denez, honako hauek izango dira hamiltondar berria eta ekintza-aldagaien deribatua:

H = H(J) +∂W

∂t= H(J) +

∂W

∂aa,

Ji = −∂H∂φi

= − ∂2W

∂φi∂aa.

T periodoko ziklo batean barrena kalkulatutako⟨Ji

⟩= − 1

2π

∫ 2π

0

∂2W

∂φi∂aa dφi (7.51)

batez bestekoan hauxe dugu,a ia konstantea baita:⟨Ji

⟩≈ − a

2π

[∂W

∂a

∣∣∣φi+2π,a(t+T )

− ∂W

∂a

∣∣∣φi,a(t)

]. (7.52)

3Kolmogorov, Arnold eta Moser matematikariek enuntziatu eta frogatu zuten teorema famatu eta zail hau.

7.4 Teorema adiabatikoa 119

W sortzaileaφi-rekiko periodikoa denez, honako hau lortzen dugu:

⟨Ji

⟩≈ − T

2π

∂2W

∂a2a2 ≈ 0. (7.53)

Hauxe dugu teorema adiabatikoa:a funtzioa oso astiro aldatzen bada,Ji ia-ia konstantea izangoda, batez beste.Aldaezin adiabatikoa dela esaten da. Ondorioz,E(J, a) energiaren aldaketaia-iaa parametroaren aldaketaren ondorio hutsa izango da.

Osziladore harmonikoaren kasuan, fase-orbita eliptikoaren azalerarekiko proportzionala daJ = E/ω ekintza-aldagaia. Osziladorearenω maiztasun propioa, konstantea izan beharrean, osoastiro aldatzen bada,ω(t) lege baten arabera, orbita astiro-astiro aldatzen den elipse bat da; bainabere azalera ia konstantea izango da eta energiadE/E ≈ dω/ω legearen arabera aldatuko da.

7.3 IRUDIA Osziladore harmonikoaren eboluzio adiabatikoa4.

7.3 irudian ikusten dugu zer gertatzen denω konstantea eta txikia denean. Ezkerrean dagofase-orbitaren zati bat eta eskuineanω etaE-ren eboluzioa eta ziklo bat (x = 0 denean) hasizenetik kalkulatutako

∫p dx magnitudea. Ziklo bat amaitzen denean (grafikoaren goiko puntu

lodi batean) zikloaren azaleraren berdina da magnitude hori. Agerian dago ia konstantea dela.Gainera,ω handituz doanean, periodoa (eten-puntu lodien arteko distantzia) txikituz doa.

4Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/adiabatikoa.ds etahttp://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/adiabatikoa.html

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/adiabatikoa.ds

http://tp.lc.ehu.es/jma/mteorikoa/poincare/adiabatikoa.html


7.5 Problemak

Oharra : Gai honetako problemak egiteko, biziki gomendatzen da ikur-kalkulua egitekoprogramaren bat erabiltzea.

7.1 Aurkitu 7.1ataleko problemaren soluzioaren hurrengo hurbilketa.

7.2 Osziladore kuasi-harmonikoa (I). Egiaztatu (7.15) soluzioan maiztasunaǫ-ekiko garatzenbada, (7.8) adierazpena berreskuratzen dela. Iruzkina egin emaitzari.

7.3∗ Osziladore kuasi-harmonikoa (II). Erabil ezazu energia mekanikoaren kontserbazio-legea,(7.4) osziladorearen periodoaren hurbilketa zuzenean lortzeko. Egiaztatu (7.14) emaitza.

7.4 Merkurioren perihelioaren prezesioa. Keplerren problema erlatibitate orokorrean azter-tzen denean, orbitaren ekuazioa honela idatz daiteke koordenatu polarretan:

d2u

dϕ2+ u =

1

p+ ǫ p u2,

u = 1/r izanik.ǫ = 0 denean Bineten formula (ikus, adibidez, [7]) berreskuratzen dugu. Bestal-de, ekuazio honekǫ = 3M⊙G/pc

2 ≈ 8 × 10−8 balioarekin emandakoa da Eguzkiaren inguru-ko Merkurioren orbita. Erabili lehen ordenako perturbazio-teoria orbita kalkulatzeko, mendetakogairik gabe. Ondoz ondoko perihelio biren arteko angelua —hau da,u-ren ondoz ondoko maximobiren arteko angelua— kalkulatu eta egiaztatu ez dela2π balioaren berdina: perihelioa prezesa-tzen ari da, beraz. Merkuriok mende batean Eguzkiaren inguruko 415 bira egiten dituela erabiliz,frogatu erlatibitate orokorraren arabera Merkurioren perihelioaren prezesioa denbora-tarte berdi-nean43′′ baliokoa dela. (Emaitza hau bat dator balio neurtuarekin:43.11 ± 0.45′′/mende.)

7.5 Osziladore harmoniko erlatibistaErabili Poincaré eta Lindstedten metodoa osziladore har-moniko erlatibistaren ekuazio kanonikoen soluzioaren lehen zuzenketa erlatibista kalkulatzeko,1/c2-rekiko garapenean.

7.6∗ Osziladore indargetua (I). Poincaré eta Lindstedten metodoan higidura-ekuazio osoarensoluzioak ere periodikoak direla erabili da. Hori ez da egiaizango ondoko probleman:

x+ 2ǫx+ x = 0, x(0) = 0, x(0) = A0.

Aurkitu soluzio analitikoa. Egiaztatu perturbazio erregularraren bidez mendetako gaiak agertzendirela. Perturbazio-metodo bat erabiltzeko, eman maitasuna etaA anplitudeadirela ǫ parame-troen menpekoak eta erabili hipotesi horiek erresonantziak ezabatzeko.Iradokizuna: Aurkituko denA′(0) etaA(0) = A0 balioen arteko erlazioaA′(t) etaA(t) funtzioe-tara hedatu behar da.

7.7∗ Osziladore indargetua (II). 7.6problemaren ildo beretik ebatzi

x+ ǫx3 + x = 0

ekuazioa perturbazioen bidez eta erabili emaitza oreka-puntuaren egonkortasuna eztabaidatzeko,ǫ balio txiki positibo eta negatiboetarako.

7.5 Problemak 121

7.8 Frogatu (7.34)–(7.35) emaitzak.

7.9 Frogatu (7.36) emaitza.

7.10∗ Osziladore kuasi-harmonikoa. Frogatu (7.44) emaitza lehenago lortu genuen (7.14) maiz-tasunaren baliokidea dela.

7.11∗ Osziladore kuasi-harmonikoa. Aurkitu (φ0, J0) → (φ, J) transformazio kanonikoa (ǫ-enlehen ordenaraino) (7.4) hamiltondarraren kasuan.

7.12 Osziladore harmoniko erlatibistaErabili perturbazio-teoria kanonikoa osziladore harmo-niko erlatibistaren maiztasunaren lehen zuzenketa erlatibista kalkulatzeko,1/c2-rekiko garape-nean. Idatzi∆ω/ω zuzenketa proportzionala energiaren funtzioan.

7.13∗ Bi osziladore harmonikoren arteko mihiztadura ez-linealaadierazteko ondoko hamiltonda-rra erabiltzen da, dimentsio egokiko aldagaietan:

H =1

2

(p2

x + p2y

)+

1

2ω2

xx2 +

1

2ω2

yy2 + ǫω2

xω2yx

2y2.

Aurkitu bi maiztasunetarako lehen hurbilketa.

7.14 6.15problemakoF parametroa astiro-astiro aldatzen bada, nola aldatuko dira oszilazioenenergia mekanikoa, anplitudea eta periodoa?

7.15 Pendulu matematiko bat plano aldapatsu leun batengainean oszilatzen da. (a) Nola aldatzen da oszilazio txi-kien anplitudea, horizontalarekikoα angelua astiro-astiroaldatzean? (b) Adibidez, nola aldatzen da,α angelua30--tik 60-ra joatean?

ERANSKINAK

123

124 ERANSKINAK

A ERANSKINA

Osagarri matematikoak

A.1 Koordenatu-sistema erabilienak

A.1.1 Koordenatu cartesiarrak

Posizioa: r = x i + y j + z k.

Oinarria: i =∂r

∂x, j =

∂r

∂y, k =

∂r

∂z, i · j = j · k = k · i = 0, i× j = k.

Arkua: dr = dx i + dy j + dz k, ds =√

dx2 + dy2 + dz2.

Bolumena: dV = dx dy dz.

Abiadura: r = x i + y j + z k, r2 = x2 + y2 + z2.

Transformazioak:

x = ρ cos ϕ;y = ρ sin ϕ;z = z.

x = r sin θ cos ϕ;y = r sin θ sinϕ;z = r cos θ.

A.1 TAULA Koordenatu cartesiarrak.

A.1 IRUDIA Koordenatu cartesiarrak.

125

126 A Osagarri matematikoak

A.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak

Posizioa: r = ρ ρ + z k.

Oinarria: ρ =∂r

∂ρ, ϕ =

1

ρ

∂r

∂ϕ, k =

∂r

∂z, ρ · ϕ = ϕ · k = k · ρ = 0, ρ × ϕ = k.

Arkua: dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz k, ds =√

dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz2.

Bolumena: dV = ρ dρ dϕdz.

Abiadura: r = ρ ρ + ρϕ ϕ + z k, r2 = ρ2 + ρ2ϕ2 + z2.

Transformazioak:

ρ =√

x2 + y2;

ϕ = arctany

x;

z = z.

ρ = r sin θ;ϕ = ϕ;z = r cos θ.

A.2 TAULA Koordenatu polar zilindrikoak.

A.2 IRUDIA Koordenatu polar zilindrikoak.

A.1 ARIKETA Froga ezazu koordenatu zilindrikoek definituriko bektore unitarioak

ρ = cosϕ i + sinϕ j, (A.1)

ϕ = − sinϕ i + cosϕ j, (A.2)

k = k (A.3)

moduan idazten direlai, j,k oinarrian eta egiaztatu euren propietateak.

A.2 ARIKETA Frogatu honela idazten dela azelerazioa koordenatu zilindrikoetan:

r =(ρ − ρϕ2

)ρ + (ρϕ + 2ρϕ) ϕ + z k. (A.4)

A.1 Koordenatu-sistema erabilienak 127

A.1.3 Koordenatu polar esferikoak

Posizioa: r = r r.

Oinarria: r =∂r

∂r, θ =

1

r

∂r

∂θ, ϕ =

1

r sin θ

∂r

∂ϕ, r · θ = θ · ϕ = ϕ · r = 0, r× θ = ϕ.

Arkua: dr = dr r + r dθ θ + r sin θ dϕ ϕ, ds =

√dr2 + r2

(dθ2 + sin2 θ dϕ2

).

Bolumena: dV = r2 sin θ dr dθ dϕ.

Abiadura: r = r r + rθ θ + r sin θ ϕ ϕ, r2 = r2 + r2(θ2 + sin2 θ ϕ2

).

Transformazioak:

r =√

x2 + y2 + z2;

θ = arctan

√x2 + y2

z;

ϕ = arctany

x.

r =√

ρ2 + z2;

θ = arctanρ

z;

ϕ = ϕ.

A.3 TAULA Koordenatu polar esferikoak.

A.3 IRUDIA Koordenatu polar esferikoak.

A.3 ARIKETA Froga ezazu koordenatu esferikoek definitzen dituzten bektore unitarioak

r = sin θ (cosϕ i + sin ϕ j) + cos θ k, (A.5)

θ = cos θ (cosϕ i + sin ϕ j) − sin θ k, (A.6)

ϕ = − sinϕ i + cosϕ j (A.7)

moduan idazten direlai, j,k oinarrian eta egiaztatu euren propietateak.

A.4 ARIKETA Frogatu honela idazten dela azelerazioa koordenatu esferikoetan:

r =(r − r θ2 − r ϕ2 sin2 θ

)r+

(r θ + 2r θ − r ϕ2 sin θ cos θ

)θ+

(r ϕ sin θ + 2r ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ

)ϕ. (A.8)


A.1.4 Koordenatu parabolikoak

Honela definitzen diraξ, η, ϕ koordenatu parabolikoak, zilindrikoak erabiliz:

ξ =√ρ2 + z2 + z, (0 ≤ ξ <∞), (A.9)

η =√ρ2 + z2 − z, (0 ≤ η <∞). (A.10)

A.5 ARIKETA Egiaztatu hauxe dela alderantzizko transformazioa:

ρ =√

ξη, (A.11)

z =ξ − η

2. (A.12)

A.6 ARIKETA Frogatu honela idazten dela abiaduraren karratua koordenatu parabolikoetan:

r2 =1

4(ξ + η)

(ξ2

ξ+

η2

η

)+ ξηϕ2. (A.13)

A.7 ARIKETA Egiaztatu ondoko erlazioak eta ondorioztatuOZ simetria-ardatzeko biraketa-pa-raboloide bat delaξ (η) konstanteko leku geometrikoa.

z = −ρ2

2ξ+

ξ

2, (A.14)

z =ρ2

2η− η

2. (A.15)

A.1.5 Koordenatu eliptikoak

Honela definitzen dira,σ parametroaren balio bakoitzeko,ξ, η, ϕ koordenatu eliptikoak,zilindrikoak erabiliz:

ξ =

√ρ2 + (z + σ)2 +

√ρ2 + (z − σ)2

2σ, (1 ≤ ξ <∞), (A.16)

η =

√ρ2 + (z + σ)2 −

√ρ2 + (z − σ)2

2σ, (−1 ≤ η ≤ 1). (A.17)

A.8 ARIKETA Egiaztatu hauxe dela alderantzizko transformazioa:

ρ = σ

√(ξ2 − 1

) (1 − η2

), (A.18)

z = σξη. (A.19)

A.9 ARIKETA Frogatu honela idazten dela abiaduraren karratua koordenatu eliptikoetan:

r2 = σ2

(ξ2 − η2

)( ξ2

ξ2 − 1+

η2

1 − η2

)+ σ2

(ξ2 − 1

)(1 − η2

)ϕ2. (A.20)

A.10 ARIKETA Egiaztatu ondoko erlazioak eta ondorioztatuξ konstanteko leku geometrikoaOZ simetria-ardatzeko biraketa-elipsoide bat dela etaη konstanteko leku geometrikoaOZ ardatzekobiraketa-hiperboloide bat.

z2

σ2ξ2+

ρ2

σ2(ξ2 − 1

) = 1, (A.21)

z2

σ2η2− ρ2

σ2(1 − η2

) = 1. (A.22)

A.2 Forma diferentzialak 129

A.2 Forma diferentzialak

Kontsidera dezagunRn espaziokoΩ eremu irekian definiturikofi (x1, x2, . . . , xn) funtzioerregularrak1. Ondoko konbinazioak forma diferentzial lineal bat definitzen du:

α =n∑

i=1

fi (x1, x2, . . . , xn) dxi. (A.23)

Partikula puntual baten gainean eragiten duenF(r) indar-eremuak egindako lan infinitesimaladugu adibiderik ezagunena hiru dimentsiotan:

F · dr = Fx(x, y, z) dx+ Fy(x, y, z) dy + Fz(x, y, z) dz. (A.24)

A.2.1 Forma zehatzak

(A.23) formazehatzadela esaten da ondoko hiru baldintza baliokideak betetzen badira:

1. Formaren zirkulazioa zero daΩ-koC kurba erregular itxi guztietan barrena:

∮

C

n∑

i=1

fi dxi = 0. (A.25)

2. Formaren lerro-integrala berdina da mutur komunak dituztenΩ-ko kurba erregular guztie-tan: ∫ 2

1,C1

n∑

i=1

fi dxi =

∫ 2

1,C2

n∑

i=1

fi dxi. (A.26)

3. Funtziopotentzial bat (eta, konstante gehigarri bat ahaztuta, soilik bat) existitzen da ondo-ko baldintzak betetzeko modukoa:

n∑

i=1

fi dxi = −dV ⇐⇒ fi = −∂V∂xi

, (i = 1, 2, . . . , n) . (A.27)

Baldintza hauen arteko baliokidetasuna erraz frogatzen daformaren eta potentzialaren artekoerlazioa honako hau dela kontuan hartuz:

V (x1, x2, . . . , xn) = V0 −∫ P

P0

n∑

i=1

fi dxi, (A.28)

nonP = (x1, x2, . . . , xn) den etaV0 delakoa,P0 = (x10, x20, . . . , xn0) puntuan potentzialak duenbalioa. (P0 etaV0 balioak etaP0 etaP puntuak lotzen dituen integrazio-kurba nahi den moduanaukera daitezke.)

Horrela, zehatza da (A.24) lanaF indar-eremua kontserbatzailea bada:

F · dr = −dV ⇐⇒ F = −∇V. (A.29)

1Ikus28. orriko oin-oharra.


A.2.2 Forma itxiak

(A.23) forma itxia dela esaten da deribatu gurutzatuak berdinak badira:

∂fi

∂xj=∂fj

∂xi, (i, j = 1, 2, . . . , n) . (A.30)

Dakigunez, (A.24) lana itxia daF indar-eremua irrotazionala denean:

∇× F = 0. (A.31)

A.2.3 Poincaréren lema

Ageri denez, forma zehatza (eta erregularra) bada, itxia izango da, (A.27) emaitzaren ondo-rioz. Gainera,Ω eremua konexua bada —hau da, ez baduzulorik—, (A.23) forma zehatza dabaldin eta soilik baldin itxia bada.Integragarritasun baldintzak deitzen dira (A.30) baldin-tza beharrezko eta nahikoak eta eremu bektorial kontserbatzaileen errotazionala zero izatearenorokorpena dira.

Eremua zulorik gabekoa izateko eskatzearen arrazoia ikusteko, kontsidera dazagunOZ arda-tzean barrena doanI k intentsitate konstanteko korronte infinituak sortutako eremu magnetikoa:

B =µ0I

2π

−y i + x j

x2 + y2. (A.32)

Ondo dakigunez, eremu magnetikoa ez da potentzial baten gradientearen kontrakoa:B ·dr formaez da zehatza eta, Ampèreren legearen arabera, hauxe da eremu magnetikoaren zirkulazioa, erlo-juaren orratzen kontrako noranzkoan korrontea behin inguratzen duen ibilbide itxi batean barrenaI bada: ∮

C

B · dr = µ0I. (A.33)

Hala ere, erraz egiaztatzen da forma finitua denekoΩ =(x, y, z) : x2 + y2 > 0

eremuan itxia

dela, honela idazten baita hor Ampèreren legea:

x2 + y2 > 0 =⇒ ∇× B = 0. (A.34)

Kontua daΩ eremuanx2 + y2 = 0 zuloa dagoela (eta bertan dago, hain zuzen ere, korrontea).Eremua konexua izateko baldintza nahikoa da, ez beharrezkoa: karga puntual batek sortzen dueneremu elektrostatikoa irrotazionala eta kontserbatzailea da, nahiz eta definituta dagoen eremuanzulo bat egon: karga bera.

A.3 Emaitza erabilgarriak

Testuan erabiltzen diren emaitza matematiko erabilgarri batzuen frogapenak biltzen dira atalhonetan.

A.3 Emaitza erabilgarriak 131

A.3.1 Teorema bat

A.1 TEOREMA Matrize simetriko guztiekin biderkadura trukakorra duen matrize bat identi-tatearen multiploa da:

M · S = S ·M, (∀S = S⊤) =⇒ M = k 1, (k ∈ R,C). (A.35)

Izan ere, honela idazten da hipotesia indizeak erabiliz:∑

j

MijSjk =∑

j

SijMjk, (∀i, k). (A.36)

Hemen hautazko matrize diagonal bat,Sij = λiδij , ordezkatuz,∑

j

Mijλjδjk =∑

j

λiδijMjk =⇒ λkMik = λiMik, (∀i, k) (A.37)

dugu etaλi 6= λk aukeratuz (i 6= k denean),M diagonala dela ondorioztatzen dugu:

Mij = aiδij, (∀i, j). (A.38)

Emaitza hau (A.36) hipotesian ordezkatuz,∑

j

aiδijSjk = aiSik =∑

j

Sijajδjk = akSik, (∀i, k) (A.39)

dugu eta,Sik balioak hautazkoak direnez,k ≡ a1 = a2 = . . . dugu, frogatu nahi genuen bezala.

A.3.2 Integral pare bat

Hasteko,

I ≡∫ π/2

arcsina

√1 − a2

sin2 θdθ =

π

2(1 − a), (0 ≤ a ≤ 1) (A.40)

integrala kalkulatzeko,θ → ψ aldagai-aldaketa egingo dugu, ondoko definizioaren bidez:

cos θ =√

1 − a2 sinψ,

(arcsin a ≤ θ ≤ π

2,

π

2≥ ψ ≥ 0

), (A.41)

sin θ =√

1 − cos2 θ =

√cos2 ψ + a2 sin2 ψ, (A.42)

dθ = −√

1 − a2cosψ

sin θdψ = −

√1 − a2

cos2 ψ + a2 sin2 ψcosψ dψ, (A.43)

I =(1 − a2

)∫ π/2

0

dψ

1 + a2 tan2 ψ. (A.44)

Azkenik, ohi bezala,u ≡ tanψ aldagai-aldaketa erabiliz, hauxe dugu:

I =(1 − a2

)∫ ∞

0

dψ(1 + u2

) (1 + a2u2

) =

∫ ∞

0

(1

1 + u2− a2

1 + a2u2

)du

=[arctanu− a arctan au

]∞0

=π

2(1 − a). (A.45)


Bestalde, taulak (edo ikur-kalkulua) erabiliz aurki daitekeen ondoko integrala erraz egiazta-tzen da:

∫ √(b− u)(u− a)

u2du = −

√(b− u)(u− a)

u

+a+ b√ab

arctan

[√b

a

√u− a

b− u

]

− 2 arctan

√u− a

b− u, (0 < a < u < b). (A.46)

Jarraitua denez, hauxe dugu:

∫ b

a

√(b− u)(u− a)

u2du = π

(a + b

2√ab

− 1

), (0 < a < b). (A.47)

Hemenr ≡ 1/u, r− ≡ 1/b etar+ ≡ 1/a eginez, honako hau lortzen da:

∫ r+

r−

√(1

r−− 1

r

)(1

r− 1

r+

)dr = π

(r− + r+2√r−r+

− 1

), (0 < r− < r+). (A.48)

Plano konplexuan kalkulatzen da integral hau [2] liburuan.

B ERANSKINA

Problema batzuen soluzioak

1. GAIA

1.5 L =1

2mr2 − q (Φ − r · A).

1.8 y ziklikoa da.

1.9 L =1

2m(

˙x2 + ˙y2 + ˙z2)− V

(x cos

z

h+ y sin

z

h

).

1.3 F =1

r2

(1 + α

r2 − 2rr

c2

)r

r.

1.10 L− L =d

dt

[malt cos θ +

1

6ma(g − a)t3

].

1.11 Gauge aldaezintasunagatik.

2. GAIA

2.2 Helizeak.

2.3 (x0, y0) puntutik askatzen bada,ϕ parametroaren bidez emandakox = x0 ± a(ϕ − sinϕ),y = y0 − a(1 − cosϕ) zikloidea. Ibilbidea beste puntutik pasatzeko moduan aukeratu behar daa > 0 parametroa.

2.4 Bi puntuen arteko distantzia (zirkunferentzia maximo batean barrena neurtua)s bada eta

bidaia egiteko denborat, I0 =ms2

2t.

2.6 Osziladore harmonikoa.

2.9 N = −mg.

133

134 B Problema batzuen soluzioak

2.10 Normalam(rϕ2 + g cosϕ

)da eta marruskadura

2

7mg sinϕ.

2.11 Nr = −mg cos θ −mRω2 sin2 θ −mRθ2, Nθ = 0, Nϕ = 2mRωθ cos θ.

2.12 N = mg/√

2.

2.13 Nr = kR− (mg + kR)(2 + 3 cosϕ).

2.14 v =

√(2 +

√3)gR.

3. GAIA

3.2 q =√x.

3.3 A etaC integrazio-konstanteak erabiliz,x = A2 cos2

(√β

αt+ C

).

3.5N∑

k=1

(xk∂U

∂yk− yk

∂U

∂xk+ xk

∂U

∂yk− yk

∂U

∂xk

)= Λ.

3.6N∑

k=1

(t∂U

∂xk+∂U

∂xk

)= Λ.

3.7 Hamiltondarra (energia mekanika) eta momentu angeluarraren hiru osagaiak.

3.8 Denak.

3.10 Lau higidura-konstante funtzionalki independente, adibidez, hauexek dira:

mx+ kαt, my − kβt, mx−mxt− 1

2kαt2, my −myt+

1

2kβt2.

3.11 Energia mekanikoa etaL + hp bektorearenz osagaia.

3.13 Hamiltondarra.

3.14 G = mr · r − 2Et. Funtzio homogeneoei buruzko Eulerren teorema.

4. GAIA

4.1 Bat ere ez.

4.2 H =1

2m(p− qA)2 + qΦ.

5. GAIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK 135

4.3 H =2

m

ξp2ξ + ηp2

η

ξ + η+

p2ϕ

2mξη+ V (ξ, η, ϕ).

4.4 H =1

2mσ2(ξ2 − η2

)[(ξ2 − 1

)p2

ξ +(1 − η2

)p2

η +

(1

ξ2 − 1+

1

1 − η2

)p2

ϕ

]+V (ξ, η, ϕ).

4.8 Lokalki bai, baina ezR2 − (0, 0) osoan.

4.9 H → H − ∂G/∂t.

4.10 Partikula askea erreferentzia-sistema birakari batean.

4.11 L = −mc2√

1 − r2/c2 − V (r).

4.12 Ardatzak beti aukera daitezke soluzio osoanz = pz = 0 izateko moduan. Gainera, ibilbi-

dearen ekuazioax = C cosh

(y

C+D

)da.

4.19 [xi, Lj] = ǫijkxk, [pi, Lj ] = ǫijkpk, [Li, Lj ] = ǫijkLk, [r2,L] = [p2,L] = [r · p,L] = 0.

5. GAIA

5.2 qi = qi(t,q), pi =n∑

j=1

∂qj∂qi

pj . c = 1, F = 0. F2 =n∑

i=1

qi(t,q) pi, F3 = −n∑

i=1

qi(t, q) pi.

5.5 H =

√√√√m2c4 + c2

(p2

r +p2

θ

r2+

p2ϕ

r2 sin2 θ

)+ V (r).

5.6 c = 1, H = H, F2 = qp− 12q2, F3 = −pq − 1

2q2, F4 = 1

2(p− p)2.

5.7 c = 1/m, F =qp

m− p2t

2m2.

5.8 c = 1, F3 = −(eq − 1

)2

tan p.

5.9 c = 1, F = q2p2, H = H.

5.11 F2 =

n∑

i=1

qipi +G(t,q, p) δa.

5.12 qi = qi, pi = pi +∂G

∂qi.

5.13 qi = qi, pi = cpi +∂f(t,q)

∂qi, nonf(t,q) delakoa hautazko funtzioa den.L = cL+ f .

5.15 G = xpy − ypx + hpz. Gogoratu1.9eta3.11problemak.


6. GAIA

6.10 Hiru.

6.11 x =

√2J

mωsinφ, p =

√2mωJ cosφ.

6.12 5.10problemakoa.

6.13 F = C(x4 + 4x2y2

)− 4px(pxy − pyx) + 4Ax2y +

4A−B

C

(p2

x + Ax2)

.

6.14 Bai. Ez.

6.15 T =

√32mE

F.

6.16 T = 4π

√a

g.

6.17 δΦ = 2π

[(1 +

2mC

L2

)−1/2

− 1

].

6.18 E = mc2/

√√√√√1 +k2/c2

[Jr +

√(Jθ + Jϕ

)2 − k2/c2]2 .

6.19 E energiatikmc2 gaia kentzen bada,

ωr = ω0

[1 +

3

4

E

mc2+ O

(1

c4

)],

ωθ =

ωϕ = ω0

[1 +

3

4

E

mc2+

k2

2c2ℓ2+ O

(1

c4

)],

δφ ≈ πk2

c2ℓ2,

(ω0 ≡

√− 8E3

mk2, ℓ ≡ Jθ + Jϕ.

)

7. GAIA

7.1 x = sin t+ ǫ1 + cos 2t

4+ ǫ2

7 sin t− sin 3t

28+ O(ǫ3).

7. GAIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK 137

7.5

ω = ω0 −3A2ω3

0

16c2+ O

(1

c4

),

x = A cos(ωt+ δ) +3A3ω2

0

28c2cos 3(ωt+ δ) + O

(1

c4

),

p = −mAω sin(ωt+ δ) − mA3ω30

56c2[21 sin(ωt+ δ) + 11 sin 3(ωt+ δ)

]+ O

(1

c4

).

7.6 x = A0e−ǫt sin t+ O(ǫ2).

7.7 x =2A0√

4 + 3A20ǫt

cos (t+ δ) + ǫ

A20

32sin[3 (t+ δ)

]

+ O(ǫ2).

7.11

J = J0 − ǫJ2

0

8mω0(4 cos 2φ0 − cos 4φ0) + O(ǫ2),

φ = φ0 + ǫJ0

16mω0(8 sin 2φ0 − sin 4φ0) + O(ǫ2).

7.12ω − ω0

ω0

= −3

8

E

mc2, (hemengoE energian ez dagomc2 gaia).

7.13 ω1 = ωx + ǫωxωyJ2 + O(ǫ2), ω2 = ωy + ǫωxωyJ1 + O(ǫ2).

7.14E

E= − T

T= −2

A

A=

2

3

F

F.

7.15 (a) θmax ∝ sin−1/4 α. (b) 3−1/8 ≈ 0.87 balioarekin biderkatzen da.

BIBLIOGRAFIA

Irakurri eta ikasi beharreko testuak

[1] F. R. Gantmájer,Mecánica Analítica, Editorial URSS, Moscú (1996).

[2] H. Goldstein,Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass. (2001);Mecánica Clásica, 2a ed., Reverté, Barcelona (1994).

[3] J. Ibáñez,Manual de Mecánica Teórica, Euskal Herriko Unibertsitatea, Leioa (2001).

[4] J. J. José and E. J. Saletan,Classical Dynamics, Cambridge University Press, New York(1998).

[5] L. D. Landau and E. M. Lifshitz,Mechanics, 3rd ed., Pergamon Press, New York (1976);Mecánica, Reverté, Barcelona (1994).

[6] L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics, Dover, Mineola, NY (2003).

Testuak osagarriak

[7] J. M. Aguirregabiria,Mekanika Klasikoa, EHUko Ikasmaterialen Sare Argitalpenak, Eus-kara Errektoreordetza:http://testubiltegia.ehu.esEuskal Herriko Unibertsitatea,Leioa (2004).

[8] J. M. Agirregabiria eta J. R. Etxebarria,Mekanika Analitikoa, 2. argitarapena, Udako EuskalUnibertsitatea, Iruñea (1988).

[9] O. D. Johns,Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics, Oxford Univer-sity Press, Oxford (2005).

[10] L. N. Hand and J. D. Finch,Analytical Mechanics, Cambridge University Press, New York(1998).

Problema-bildumak

[11] G. L. Kotkin y V. G. Serbo,Problemas de Mecánica Clásica, 2a ed., Mir, Moscú (1988).

[12] M. R. Spiegel,Mecánica teórica, Schaum, McGraw-Hill, Madrid (1996).

139

http://testubiltegia.ehu.es

140 BIBLIOGRAFIA

[13] D. A. Wells,Dinámica de Lagrange, Schaum, McGraw-Hill, México (1972).

[14] L. Yung - kuo,Problems and Solutions on Mechanics, World Scientific, Singapore (1994).

Testu aurreratuak

[15] R. Abraham and J. E. Marsden,Foundations of Mechanics, Benjamin/Cummings, Reading,Mass. (1978).

[16] V. Arnold, Méthodes Mathématiques de la Mécanique Classique, Mir, Moscou (1976);Mathematical methods of classical mechanics, Springer, New York (1978).

[17] E. Corinaldesi,Classical Mechanics for Physics Graduate Students, World Scientific, Sin-gapore (1998).

[18] A. Fasano and S. Marmi,Analytical Mechanics, Oxford University Press, Oxford (2006).

[19] E. Ott, Chaos in dynamical systems, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge(2002).

[20] M. Tabor,Chaos and integrability in nonlinear dynamics: An introduction, Wiley, New York(1989).

[21] W. Thirring,Classical Mathematical Physics, 3rd ed., Springer, New York (1997).

Bestelako erreferentziak

Osagarri matematikoak

[22] J. M. Aguirregabiria,Fisika Ikasleentzako Ekuazio Diferentzial Arruntak, Euskal HerrikoUnibertsitateko Argitalpen Zerbitzua, Bilbo (2000).

[23] G. B. Arfken and H. J. Weber,Mathematical Methods for Physicists, 4th ed., AcademicPress, San Diego (1995).

[24] L. Elsgoltz,Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, 4a ed., Editorial URSS, Moscú(1994).

Testuan aipatutako artikuluak

[25] C. G. Gray and E. F. Taylor, “When action is not least”, American Journal of Physics, Vol.75, 434–458 (2007).

BIBLIOGRAFIA 141

Sistema dinamikoak ebazteko programa

[26] J. M. Aguirregabiria,ODE Workbench, Physics Academic Software, American Institute ofPhysics (1994);Dynamics Solver, http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html.

Mekanikaren historia

[27] R. Dugas,A History of Mechanics, Dover, New York (1988).

[28] J. J. O’Connor and E. F. Robertson,MacTutor History of Mathematics archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html.

[29] T. H. Boyer “Unfamiliar trajectories for a relativistic particle in a Kepler or Coulomb po-tential”, American Journal of Physics, Vol.72, 992–997 (2004).

http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

142 BIBLIOGRAFIA

AURKIBIDE ALFABETIKOA

AAbiadura orokortua,7, 8, 14, 56Aldaezin adiabatikoa,119Aldaezintasun-transformazioa,46, 51Aldaezintasuna

gauge aldaezintasuna,19, 38, 46, 133puntu-transformazioekiko aldaezintasuna,19

Aldagaiaangelu-aldagaia,100, 115, 118ekintza-aldagaia,100, 104, 115, 118oinarrizko aldagaia,56

Aldagai dinamikoa,60–63Aldagaien banantzea,94Aldaketa

eskala-aldaketa,72, 75, 79, 82, 83Aldaketa adiabatikoa,118Aldaketa infinitesimala,24–27Aldaketa infinitesimal birtuala,25Aldakuntza,29Aldakuntza-printzipioa,23Aldakuntzen kalkulua,24–33, 38Aldebakarreko lotura,3Aldebiko lotura,3Alderantzizko transformazioa

Legendreren alderantzizko transformazioa,66Ampèreren legea,130Angelu-aldagaia,100, 115, 118Askatasun-gradua,4, 14Atomoa

Böhrren atomoa,104Azelerazioa

koordenatu esferikoetan,11koordenatu zilindrikoetan,20

Azelerazio orokortua,9, 14

BBaldintza

hastapen-baldintza,6, 95integragarritasun-baldintza,130oreka-baldintza,36, 37

Balentziatransformazio kanonikoaren balentzia,75

Banantzailea,98, 108Banantzea

aldagaien banantzea,94Batuketa-hitzarmena

Einsteinen batuketa-hitzarmena,59, 68Bektore-notazioa,11

BektoreaLaplace, Runge eta Lenzen bektorea,52

Bektore unitarioa,31, 126, 127Bektore unitario normala,33Bektore unitario tangentea,33Biderkadura bektoriala,68Biderkatzailea

Lagrangeren biderkatzailea,26, 32, 34–37, 39Bigarren motako Lagrangeren ekuazioak,9–11, 20Bigarren motako transformazio kanonikoa,82–83Bigarren ordenako ekuazio diferentzial arrunta,14, 57Bi gorputzen problema,52Bineten formula,120Biraketa,18, 97Böhrren atomoa,104Brakistokronoa,38

CCoriolisen indarra,16Coriolisen teorema,11

DDelta

Kroneckerren delta,59, 62Denbora-translazioa,47, 53, 85Desplazamendu birtuala,4–5, 25Diagrama

gorputz askearen diagrama,35Dinamikaren ekuazio orokorra,5–6Distantzia minimoa,30

EEboluzio-ekuazioa,61–63Einsteinen batuketa-hitzarmena,59, 68Ekintza,28–29, 38, 92Ekintza-aldagaia,100, 104, 115, 118Ekintza aldatua,65, 80Ekintza minimoaren printzipioa,31–32Ekuazioa

eboluzio-ekuazioa,61–63Hamilton eta Jacobiren ekuazioa,89higidura-ekuazioa,9ibilbidearen ekuazioa,93, 107mekanikaren ekuazio orokorra,5orbitaren ekuazioa,52, 107transformazio-ekuazioa,6, 7, 12, 14, 43

Ekuazioak

143

144 AURKIBIDE ALFABETIKOA

bigarren motako Lagrangeren ekuazioak,9–11,20

Euler eta Lagrangeren ekuazioak,30, 65Hamiltonen ekuazio kanonikoak,57, 62Lagrangeren ekuazioak,31, 35, 42, 44, 47, 56–

58, 66lehen motako Lagrangeren ekuazioak,13–15Nielsenen ekuazioak,20

Ekuazio diferentzialabigarren ordenako ekuazio diferentzial arrunta,

14, 57Ekuazio kanonikoak,57, 62, 65

Hamiltonen ekuazio kanonikoak,59, 66Elektrodinamika

Weberren elektrodinamika,20Energia-gainazala,98Energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,16, 38,

48, 53, 120Energia potentziala,12, 13Energia potentzial eraginkorra,95Energia potentzial orokortua,14, 20Energia zinetikoa,7–9Eragilea

nabla eragilea,3Erlatibitatearen printzipioa,49Erlatibitate orokorra,120Erradioa

kurbadura-erradioa,33Erreferentzia-sistema ez-inertziala,11, 20, 21, 135Erreferentzia-sistema inertziala,2, 11, 49Erresonantzia,113, 118Errotazionala,130Eskala-aldaketa,72, 75, 79, 82, 83Espazioa

fase-espazioa,57–60konfigurazio-espazioa,6, 58

Eulerren teorema,43Euler eta Lagrangeren ekuazioak,30, 65

FFase-espazioa,57–60Fase-ibilbidea,58, 61Fase-orbita,61Fasea,102Fasorea,102Fluido konprimiezina,64Forma diferentziala,3, 129Forma diferentzial itxia,130Forma diferentzial zehatza,129Forma koadratikoa,9, 43Formalismo hamiltondarra,55, 57, 58, 60Formalismo lagrangearra,1, 57Formula

Bineten formula,120Funtzio erregularra,28Funtzio homogeneoa,43Funtzio karakteristikoa

Hamiltonen funtzio karakteristikoa,93, 100, 107Funtzio nagusia

Hamiltonen funtzio nagusia,90, 107Funtzionala,27–29Funtzional egonkorra,30Funtzio potentziala,129Funtzio sortzailea,77–80

GGainazala

energia-gainazala,98Galileoren transformazioa,49Garapena

Taylorren garapena,24, 45Gauge aldaezintasuna,19, 38, 46, 133Gauge transformazioa,66, 87Geodesikoa,33Gorputz askearen diagrama,35Gradua

askatasun-gradua,4, 14

HHamiltonen ekuazio kanonikoak,57, 59, 62, 66Hamiltonen funtzio karakteristikoa,93, 100, 107Hamiltonen funtzio nagusia,90, 107Hamiltonen printzipioa,31–32, 38Hamiltonen printzipio aldatua,64Hamiltondar banangarria,95, 107Hamiltondar ez-integragarria,105Hamiltondar ez-singularra,66Hamiltondar osoki integragarria,98, 104, 108Hamiltondarra,38, 43–57

Hénon eta Heilesen hamiltondarra,99, 105, 107,108

Hamiltondarra eta energia mekanikoa,43Hamiltondarraren esangura,43Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,44, 61Hamilton eta Jacobiren ekuazioa,89Hastapen-baldintza,6, 95Hénon eta Heilesen hamiltondarra,99, 105, 107, 108Higidura

periodo anitzeko higidura,100Higidura-ekuazioa,9Higidura-konstantea,52, 63, 69, 95, 104Higidura kuasi-periodikoa,97Hirugarren motako transformazio kanonikoa,82–83Hurbilketa-metodoa,112

IIbilbidea

fase-ibilbidea,58, 61Ibilbidearen ekuazioa,93, 107Identitatea

Jacobiren identitatea,62, 67Ikurra

Levi-Civitaren permutazio-ikurra,68Ikuspuntu aktiboa


transformazio baten ikuspuntu aktiboa,44Ikuspuntu pasiboa

transformazio baten ikuspuntu pasiboa,44Inboluzioa,104Indar bizien teorema,16Indar eragilea,5, 43Indar giroskopikoa,16Indar iraungitzailea,15–17Indar kontserbatzailea,12, 13, 15, 32, 36, 43, 129Indar magnetikoa,16Indar orokortua,9, 35Indarra

Coriolisen indarra,16inertzia-indarra,11, 20, 21Lorentzen indarra,13lotura-indarra,4, 5, 34, 39marruskadura-indarra,16

Indar zentrala,15, 18, 42, 51Inertzia-indarra,11, 20, 21Inflexio-puntua,24Integragarritasun-baldintza,130Integrala

Jacobiren integrala,44, 47, 61, 66Integrazioa

zatikako integrazioa,8, 30Iraungipen-funtzioa

Rayleighen iraungipen-funtzioa,16, 20Izendatzaile txikien problema,118

JJacobiren identitatea,62, 67Jacobiren integrala,44, 47, 61, 66Jacobiarra,64Jario hamiltondarra,64

KKalkulua

aldakuntzen kalkulua,24–33, 38Kaos determinista,105Keplerren hirugarren legea,104Keplerren problema,52, 95, 102, 108Keplerren problema erlatibista,104, 107, 109Kepler-en problema,120Konfigurazio-espazioa,6, 58Konfigurazioa,6, 32Konstantea

higidura-konstantea,52, 63, 69, 95, 104Plancken konstantea,29Plancken konstante laburtua,62

Kontserbazio-printzipioa,14, 41, 42, 60, 85, 103energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,

16, 38, 48, 53, 120hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,44, 61momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa,

48, 51momentu linealaren kontserbazio-printzipioa,48,

51

Koordenatu-sistema,125Koordenatua,125Koordenatu ahanzgarria,42Koordenatu cartesiarra,7, 10, 11, 15, 18, 20, 57, 125Koordenatu eliptikoa,66, 128Koordenatu esferikoa,10, 34, 38, 127Koordenatu normala,96Koordenatu orokortua,6–9, 56, 58Koordenatu parabolikoa,66, 108, 128Koordenatu polar esferikoa,51, ikuskoordenatu esfe-

rikoaKoordenatu polar laua,18Koordenatu polar zilindrikoa,ikus koordenatu zilin-

drikoaKoordenatu ziklikoa,42, 60, 94Koordenatu zilindrikoa,20, 126Kroneckerren delta,59, 62Kurba

loturadun muturrekoa,32–33muturreko kurba,29–33

Kurba baten luzera,28Kurbadura-erradioa,33

LLagrangeren biderkatzailea,26, 32, 34–37, 39Lagrangeren ekuazioak,31, 35, 42, 44, 47, 56–58, 66

bigarren motako Lagrangeren ekuazioak,9–11,20

lehen motako Lagrangeren ekuazioak,13–15Lagrangeren parentesia,76–77Lagrangear aldatua,64, 80Lagrangear ez-singularra,56, 66Lagrangearra,14, 29Lan birtuala,4Laplace, Runge eta Lenzen bektorea,52Laugarren motako transformazio kanonikoa,82–83Legea

Ampèreren legea,130Keplerren hirugarren legea,104Newtonen bigarren legea,5, 10

Legendreren alderantzizko transformazioa,66Legendreren transformazioa,56–58Lehen motako Lagrangeren ekuazioak,13–15Lehen motako transformazio kanonikoa,80–82Lema

Poincaréren lema,3, 60, 78, 84, 130Levi-Civitaren permutazio-ikurra,68Librazioa,97Liouvilleren teorema,63, 85, 104Liouville eta Arnolden teorema,104Lorentzen indarra,13Lotura,2–6

aldebakarreko lotura,3aldebiko lotura,3diferentziala,3finitua,2geometrikoa,2


holonomoa,2ideala,5integragarria,3zinematikoa,3

Lotura-indarra,4, 5, 34, 39Loturadun muturra,26–27Loturadun muturrekoa,32–33Lotura egonkorra,2, 6, 15, 16Lotura erreonomoa,2Lotura eskleronomoa,2Lotura ez-holonomoa,3Lotura higikorra,2Lotura holonomoa,2, 13, 32Lotura ideala,13, 32Luzera

kurba baten luzera,28

MMakoa

Poissonen makoa,67, 69, 73Makoen teorema

Poissonen makoen teorema,67, 75Marruskadura-indarra,16Masa-zentroa,3, 36Masa-zentroaren teorema,49, 51Matrize jacobiarra,77Matrize sinplektikoa,59, 77Matrize sinplektiko orokortua,77Maximoa,24Mekanika

zeruko mekanika,112Mekanika estatistikoa,64Mendetako gaia,113, 120Merkurioren perihelioaren prezesioa,120Metodoa

hurbilketa-metodoa,112Poincaré eta Lindstedten metodoa,112, 114, 120

Minimoa,24Momentu angeluarra,68, 69Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa,48,

51Momentu kanonikoa,42Momentu linealaren kontserbazio-printzipioa,48, 51Momentu orokortua,56, 58Mutur-puntua,24–27

loturadun muturra,26–27Muturreko kurba,29–33

loturadun muturrekoa,32–33

NNabla eragilea,3Newtonen bigarren legea,5, 10Nielsenen ekuazioak,20Noetherren teorema,46–47, 52, 53Normal nagusia,33Notazioa,28

bektore-notazioa,11

Notazio laburtua,58–59

OOinarrizko aldagaia,56Oinarrizko Poissonen makoa,62Okinaren transformazioa,iiOrbita

fase-orbita,61Orbitaren ekuazioa,52, 107Oreka-baldintza,36, 37Osziladore harmonikoa,61, 72, 87, 93, 102, 108, 119,

133Osziladore harmoniko erlatibista,120, 121Osziladore harmoniko indargetua,120Osziladore kuasi-harmonikoa,112, 117, 120, 121

PParentesia

Lagrangeren parentesia,76–77Partikula-sistema,10, 48Partikula erlatibista,67, 86, 107, 109Pendulu matematikoa,2, 5–9, 12, 14, 34, 36, 42, 43,

56–58, 61, 97, 108, 118Periodo anitzeko higidura,100Permutazio-ikurra

Levi-Civitaren permutazio-ikurra,68Perturbazio-teoria,111Perturbazio-teoria kanonikoa,114, 121Perturbazio erregularra,112, 120Plancken konstantea,29Plancken konstante laburtua,62Poincaréren lema,3, 60, 78, 84, 130Poincaréren sekzioa,98Poincaré eta Lindstedten metodoa,112, 114, 120Poissonen makoa,61–63, 67, 69, 73

oinarrizko Poissonen makoa,62Poissonen makoen teorema,67, 75Poissonen teorema,69Potentzial orokortua,12–13Prezesioa,109

Merkurioren perihelioaren prezesioa,120Printzipioa

aldakuntza-printzipioa,23ekintza minimoaren printzipioa,31–32energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,

38erlatibitatearen printzipioa,49Hamiltonen printzipioa,31–32, 38Hamiltonen printzipio aldatua,64hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,44, 61kontserbazio-printzipioa,14, 41, 42, 60, 85, 103

Problemabi gorputzen problema,52izendatzaile txikien problema,118Keplerren problema,52, 95, 102, 108Keplerren problema erlatibista,104, 107, 109Keplerren problema erlatibitate orokorrean,120


Kepler-en problema,120Problema baliokidea,35Problema erlatibista

Keplerren problema erlatibista,104, 107, 109Keplerren problema erlatibitate orokorrean,120

Puntu-transformazioa,17, 20, 21, 51, 66, 72, 86Puntu-transformazioekiko aldaezintasuna,19Puntua

inflexio-puntua,24loturadun muturra,26–27mutur-puntua,24–27

Puntu singularra,28

RRayleighen iraungipen-funtzioa,16, 20

SSekzioa

Poincaréren sekzioa,98Simetria,41, 42Simetria-transformazioa,46, 52, 53, 85Simetria orokortua,47Sistema

erreferentzia-sistema ez-inertziala,11, 135koordenatu-sistema,125partikula-sistema,10, 48

Sistema dinamikoa,59, 67Sistema dinamiko hamiltondarra,59–60Sistema mekaniko naturala,43Soluzioa osoa,91Sortzaile infinitesimala,84

TTaldea

transformazio-taldea,75Taylorren garapena,24, 45Teorema

Coriolisen teorema,11Eulerren teorema,43indar bizien teorema,16Liouvilleren teorema,63, 85, 104Liouville eta Arnolden teorema,104masa-zentroaren teorema,49, 51Noetherren teorema,46–47, 52, 53Poissonen makoen teorema,67, 75Poissonen teorema,69

Teorema adiabatikoa,118Teoria

perturbazio-teoria,111Teoria kanonikoa

perturbazio-teoria kanonikoa,114, 121Transformazio-ekuazioa,6, 7, 12, 14, 43Transformazio-taldea,44–46, 75Transformazioa

aldaezintasun-transformazioa,46, 51Galileoren transformazioa,49gauge transformazioa,66, 87

Legendreren alderantzizko transformazioa,66Legendreren transformazioa,56–58okinaren transformazioa,iipuntu-transformazioa,17, 20, 21, 51, 66, 72, 86simetria-transformazioa,46, 52, 53, 85

Transformazio baten ikuspuntu aktiboa,44Transformazio baten ikuspuntu pasiboa,44Transformazio infinitesimala,45Transformazio kanonikoa,71–85

bigarren motako transformazio kanonikoa,82–83

hirugarren motako transformazio kanonikoa,82–83

laugarren motako transformazio kanonikoa,82–83

lehen motako transformazio kanonikoa,80–82Transformazio kanonikoaren balentzia,75Transformazio kanonikoaren mota,80–83Transformazio kanoniko infinitesimala,83–85Transformazio kanonoidea,72Translazioa,18

denbora-translazioa,47, 53, 85Trukatzailea,62

WWeberren elektrodinamika,20

ZZatikako integrazioa,8, 30Zentroa,98

masa-zentroa,3, 36Zeruko mekanika,112Zikloidea,109, 133

IZENDEGIA

Jarraian zerrendatzen dira testuan aipatutako zientzialari gehienen izen osoa, jaiotza- eta he-riotza-urteekin. Gainera, mako artean adierazten da zein urtetan lortu zuten saria Nobel saridunek.

Ampère, André Marie (1775–1836)Arnold , Vladimir Igorevich (1937–)Binet, Jacques Philippe Marie (1786–1856)Böhr, Niels Henrik David (1885–1962)[1922]Coriolis, Gaspard Gustave de (1792–1843)D’Alembert , Jean Le Rond (1717–1783)Descartes, René (1596–1650)Einstein, Albert (1879–1955)[1921]Euler, Leonhard (1707–1783)Galileo, Galileo Galilei (1564–1642)Hamilton , Sir William Rowan (1805–1865)Heiles, Carl (1939–)Heisenberg, Werner Karl (1901–1976)[1932]Hénon, Michel (1931–)Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804–1851)Kepler, Johannes (1571–1630)Kronecker, Leopold (1823–1891)Lagrange, Joseph-Louis (1736–1813)Laplace, Pierre-Simon (1749–1827)Legendre, Adrien-Marie (1752–1833)Lenz, Wilhelm (1888–1957)Levi-Civita , Tullio (1873–1941)Liouville , Joseph (1809–1882)Lissajous, Jules Antoine (1822–1880)Lorentz, Hendrik Antoon (1853–1928)Newton, Sir Isaac (1643–1727)Noether, Emmy Amalie (1882–1935)Planck, Max Karl Ernst Ludwig (1858–1947)[1918]Poincaré, Jules Henri (1854–1912)Poisson, Siméon Denis (1781–1840)Rayleigh, John William Strutt (Lord Rayleigh) (1842–1919)Runge, Carle David Tolmé (1856–1927)Schrödinger, Erwin Rudolf Josef Alexander (1887–1961)[1933]Sommerfeld, Arnold Johannes Wilhelm (1868–1951)Taylor , Brook (1685–1731)Weber, Wilhelm Eduard (1804–1891)

150 IZENDEGIA

HIZTEGIA

Testuan erabilitako zenbait hitz eta esapide tekniko biltzen dira hurrengo orrietan, irakurleakjakin dezan testu honetan euskaraz ikasten duena nola idazten den inguruko erdaretan eta na-zioarteko fisikaren hizkuntzan. Matematika eta Fisika hiztegietan agertzen diren hainbat adieraez daude hemen eta gehienok ezagutzen eta erabiltzen ditugunak ere kanpoan geratu dira. Orobat,[7] eta [22] testuliburuetan hiztegi luzeak bildu nituenez, hango sarrerak eta egitura berekoak ezdira hemen agertuko.

15

2H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaaldaezin adiabatiko invariant adiabatique invariante adiabático adiabaticaldaezintasun-transformazio transformation d’invariance transformación de invariancia invariance transformationaldagaien banantze séparation de variables separación de variables separation of variablesaldebakarreko lotura liaison unilatéral ligadura unilateral unilateral constraintaldebiko lotura liaison bilatéral ligadura bilateral bilateral constraintangelu-aldagai variable d’angle variable de ángulo angle variablebanantzaile séparatrice separatriz separatrixEinsteinen batuketa-hitzarmen convention de sommation d’Einstein convenio de suma de Einstein Einstein summation conventionekintza-aldagai variable d’action variable de acción action variableenergia-gainazal surface d’énergie superficie de energia energy surfaceforma diferentzial forme différentielle forma diferencial differential formforma diferentzial itxi forme différentielle fermée forma diferencial cerrada closed differential formforma diferentzial zehatz forme différentielle exacte forma diferencial exacta exact differential formforma koadratiko forme quadratique forma cuadrática quadratic formfuntzio karakteristiko fonction caractéristique función caracteristica characteristic functionfuntzio nagusi fonction principale función principal principal functionfuntzio sortzaile fonction génératrice función generatriz generating fonctiongauge aldaezintasun invariance jauge invariancia gauge

invariancia de escalainvariancia de medida

gauge invariance

gauge transformazio transformation de jauge transformación gauge gauge transformationgeodesiko géodésique geodésica geodesicHamiltonen funtzio karakteristiko fonction caractéristique de Hamilton función caracteristica de Hamilton Hamilton’s characteristic functionHamiltonen funtzio nagusi fonction principale de Hamilton función principal de Hamilton Hamilton’s principal functionhamiltondar banangarri hamiltonien séparable hamiltoniano separable separable Hamiltonianhamiltondar ez-integragarri hamiltonien non intégrable hamiltoniano no integrable nonintegrable Hamiltonian

non-integrable Hamiltonianhamiltondar ez-singular hamiltonien non singulier hamiltoniano no singular nonsingular Hamiltonianhamiltondar osoki integragarri hamiltonien séparable hamiltoniano separable separable Hamiltonianhigidura kuasi-periodiko mouvement quasipériodique movimiento cuasiperiódico quasiperiodic motioninboluzio involution involución involutionindar giroskopiko force gyroscopique fuerza giroscópica gyroscopic forceindar iraungitzaile force dissipative fuerza disipativa dissipative forceintegragarritasun-baldintza condition d’intégrabilité condición de integrabilidad integrability conditioniraungipen-funtzio fonction de dissipation función de disipación dissipation functionizendatzaile txikien problema problème de petits diviseurs problema de pequeños divisores problem of small denominators

HIZ

TE

GIA

15

3Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesajario hamiltondar flot hamiltonien flujo hamiltoniano Hamiltonian fluxLagrangeren biderkatzaile multiplieur de Lagrange multiplicador de Lagrange Lagrange multiplierLagrangeren parentesi parenthèse de Lagrange paréntesis de Lagrange Lagrange bracketlagrangear ez-singular lagrangien non singulier lagrangiano no singular nonsingular Lagrangianlan birtual travail virtuel trabajo virtual virtual worklibrazio libration libración librationmatrize sinplektiko matrice symplectique matriz simpléctica symplectic matrixmendetako gai terme séculaire término secular secular termokinaren transformazio transformation du boulanger transformación del panadero baker’s transformationperiodo anitzeko higidura mouvement multipériodique movimiento multiperiódico multiperiodic motionpermutazio-ikur symbole de permutation símbolo de permutación permutation symbolperturbazio erregular perturbation régulière perturbación regular regular perturbationperturbazio-teoria théorie des perturbations teoría de perturbaciones perturbation theoryPoincaréren sekzio section de Poincaré sección de Poincaré Poincaré sectionPoissonen mako crochet de Poisson corchete de Poisson Poisson bracketprezesio précession precesión precessionpuntu-transformazio transformation ponctuelle transformación puntual point transformationsimetria-transformazio transformation de symétrie transformación de simetría symmetry transformationsortzaile infinitesimal générateur infinitésimal generador infinitesimal infinitesimal generatorteorema adiabatiko théorème adiabatique teorema adiabático adiabatic theoremtransformazio kanoniko transformation canonique transformación canónica canonical transformationtransformazio kanonoide transformation canonoïde transformación canonoide canonoid transformationtransformazio-talde group de transformations grupo de transformación transformation grouptrukatzaile commutateur conmutador commutatorzeruko mekanika mécanique céleste mecánica celeste celestial mechanics

MEKANIKA EORIKOA - ikasmaterialak.ehu.eus · laugarren ikasturtean, «Mekanika Teorikoa» ikasten...

Documents

Transcript of MEKANIKA EORIKOA - ikasmaterialak.ehu.eus · laugarren ikasturtean, «Mekanika Teorikoa» ikasten...