ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

ASOCOLME

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M E M O R I A S

Procesos de aprendizaje y estándares básicos de matemáticas

2, 3 y 4 de Octubre de 2003

Procesos de aprendizaje y estándares básicos de matemáticas

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA DE MATEMÁTICAS

M • E • M • O • R • I • A • S

ESCUELA DE MATEMÁTICAS

MEMORIAS QUINTO ENCUENTROCOLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVAPrimera edición, 2003

ISBN:958-96936-8-7

Compilador:PEDRO JAVIER ROJAS GARZÓN

Edición y Diagramación:Grupo Editorial GaiaCalle 74 No. 22-70Teléfono: 482 20 61Bogotá, D.C. Colombiagaiaeditorial@gmail.com

Diseño de carátula:Pedro Enrique Espitia Zambrano

Reservados derechos de autor. Prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación mediante

cualquier proceso de reproducción, digital, fotocopia u otro, sin permiso escrito de los autores.

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CONTENIDOPRESENTACIÓN ..................................................................................................................................... 5

CAPÍTULO I CONFERENCIASLa experimentación: una necesidad para generar intuiciones y un pensamiento probabilístico .. 7

Extensiones del modelo de van Hiele fuera del ámbito de la geometría elemental ...................... 11

Una experiencia de acompañamiento a docentes en una escuela indígena ............................... 15

Átomos y núcleos de infinitesimales ........................................................................................... 16

La calculadora TI 92 plus y el cbr en la modelación del movimiento pendular ........................... 20

Alternativas emergentes para una mejor comprensiónde la práctica pedagógica del profesor de matemáticas ............................................................. 21

Las situaciones problema: Estrategia para la implementación delos estándares básicos de matemáticas en el currículo de matemáticas ................................... 22

Tecnología Informática: Innovación en el Currículo deMatemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia .................................. 23Los procesos en la propuesta de estándares básicos de calidad .............................................. 24

CAPÍTULO II CURSOSLa enseñanza de estrategias de resolución de problemas aritméticos.Sus posibilidades y limitaciones ................................................................................................. 25

El trabajo con situaciones problema Comunicación /interdisciplinariedad / democracia ............. 26

Sentido y potencialidad de los estándares básicos de matemáticas ........................................... 28

Estándares de pensamiento variacional y currículo de álgebra en la escuela ............................ 28

CAPÍTULO III TALLERESPerspectiva socio-cultural en el desarrollo de la competencia multiplicativa ............................... 31

¿Qué hacer con las pruebas que usted tiene?: Herramientas para la reflexión .......................... 32

Proceso de aprendizaje de lo aditivo numérico y estándares en Educación Básica .................. 36

Formación de profesores en la transición aritmética al álgebra .................................................. 37

El currículo como factor de formación en Educación Matemática .............................................. 39

La modelación matemática mediada por una herramienta tecnológica ....................................... 41

Las situaciones problema como alternativa para generarprocesos de aprendizaje matemático en la Educación Básica .................................................. 44

La geometría dinámica en la enseñanza de la demostración ..................................................... 47

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CAPÍTULO IV COMUNICACIONES BREVES

La evaluación en matemáticas en el nivel universitario: más que buenos instrumentos ............. 48

Paradojas y movimiento: Una aproximación a los 7 problemas del continuo ............................. 49

Una mirada a organizadores curriculares, apoyada enuna investigación de análisis de textos de octavo grado ............................................................. 50

El estudio de las construcciones antiguas de Barranquilla:Una propuesta para abordar el principio de simetría en los estudiantes de séptimo grado ......... 52

Caracterización del papel de la modelación de problemasgeométricos en la adquisión de los elementos básicos del lenguaje algebraico ......................... 53

De lo abstracto a lo concreto ...................................................................................................... 54

La tienda escolar: una estrategia para la construcción del pensamiento aditivo en primaria ........ 54

Un método alternativo para calcular potenciascuadradas y resolver algunos productos notables ..................................................................... 55

Nuestros juegos autóctonos acercan a los niñosa la medición en sus primeros años de escolaridad .................................................................. 55

Análisis exploratorio de datos en la escuela ............................................................................... 56

Los problemas del triángulo simétrico lateral .............................................................................. 58

Una experiencia en etno-matemática ......................................................................................... 58

El trabajo con situaciones problema como posibilidad para contribuiral desarrollo de valores democráticos en el aula de matemáticas .............................................. 59

Lógica animada: Una buena experiencia ................................................................................... 60

Una experiencia de aula sobre comprensión de funciónlineal en estudiantes de noveno grado ........................................................................................ 61

Transformaciones básica de las funciones: una experiencias de aula ....................................... 62

La función seno mediada por la calculadora TI-92+ ................................................................... 63

Resolución de problemas y formación de profesores: Una experiencia de aula ........................ 64

Construcciones y gráficas .......................................................................................................... 66

Aprendizaje del teorema de pitágoras para triángulosrectángulos a partir de situaciones problemas ............................................................................ 66

La trisección de un ángulo .......................................................................................................... 67

El computador en la clase de matemáticas: Un enfoque semiótico ............................................ 68

Matemática recreativa en el aula ............................................................................................... 68

Estándares Básicos: Aportes para el análisis ............................................................................ 69

Evaluación de logros en matemáticas en la EducaciónBásica Secundaria, Media y Técnica del Departamento del Cesar ........................................... 71

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E l Encuentro Colombiano de MatemáticaEducativa, organizado por la AsociaciónColombiana de Matemática Educativa –

ASOCOLME–, constituye un espacio de interac-ción entre profesores de matemáticas, innovadorese investigadores, que contribuye a fortalecer lacomunidad académica de educadores matemáticosa nivel nacional.

Este año, con el apoyo de la Universidad Indus-trial de Santander –UIS, se realizó el Quinto En-cuentro Colombiano de Matemática Educativa,en la ciudad de Bucaramanga, entre el 2 y el 4 deOctubre de 2003, cuyo núcleo temático fue Proce-sos de aprendizaje y estándares básicos de ma-temáticas. En el marco de este evento se desarro-llaron cursos cortos, conferencias, talleres y comu-nicaciones breves, en las cuales se reportaron ex-periencias de aula, avances de investigación y pro-puestas de innovación; actividades a cargo de pro-fesores e investigadores de la Universidad del Valle,del Magdalena, de Antioquia, Popular del Cesar, Na-cional de Colombia, Pedagógica Nacional, DistritalFrancisco José de Caldas, de Nariño, entre otras yprofesionales del ICFES, de COLCIENCIAS y delMinisterio de Educación Nacional.

La conferencia inaugural, titulada la experimen-tación: una necesidad para generar intuicio-nes y un pensamiento probabilístico, estuvo acargo del Doctor Gabriel Yánez de la UniversidadIndustrial de Santander y la conferencia de cierre,titulada los estándares de competencia, estuvo acargo del Doctor Carlos Eduardo Vasco, de laUniversidad del Valle. Además se realizó un en-cuentro de investigadores, grupos de investigacióny redes en educación matemática, coordinado por

PRESENTACIÓN

la profesora Gloria García de la Universidad Peda-gógica Nacional, así como un conversatorio sobreel análisis de la nueva propuesta de estándaresbásicos para matemáticas del MEN.

En estas memorias se publican los resúmenes delos trabajos presentados y de las actividades desa-rrolladas durante el encuentro, dirigidas fundamen-talmente a profesores de matemáticas de la edu-cación básica (primaria y secundaria) y media vo-cacional, a estudiantes para profesor y a profeso-res universitarios cuyo interés sea la EducaciónMatemática.

Teniendo en cuenta el compromiso de la Asocia-ción de contribuir al proceso de socialización de lostrabajos en el área de la educación matemática de-sarrollados por los grupos de investigación del país,en el marco de este evento se realizó el lanzamientodel libro Nº 6 de la Colección Cuadernos de Mate-mática Educativa, titulado Tareas que promueven

el razonamiento en el aula a través de la geome-

tría, escrito por las profesoras Carmen Samper deCaicedo, Leonor Camargo Uribe y CeciliaLeguizamón de Bernal, de la Universidad Pedagó-gica Nacional, en el cual se presentan algunos re-sultados de la investigación desarrollada por las au-toras con el apoyo de esta institución.

La Asociación Colombiana de Matemática Edu-cativa, en nombre de los participantes a este Quin-to Encuentro, agradece a las directivas académi-cas de la Universidad Industrial de Santander elapoyo brindado. Agradece de manera especial aldirector de la Escuela de Matemáticas, profesorGermán Moreno, y al profesor Jorge Fiallo, coordi-nador regional del evento, cuyo apoyo fue decisivopara el éxito del mismo.

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CAPÍTULO I

CONFERENCIAS

La experimentación: unanecesidad para generarintuiciones y unpensamiento probabilístico

GABRIEL YÁÑEZ CANALgyanez@uis.edu.co

En los últimos años la probabilidad ha pasado aformar parte del currículo de los programas dematemáticas en la educación básica de una grancantidad de países del mundo. Esta realidad plan-tea un reto didáctico que conlleva no sólo la elabo-ración de los programas para cada nivel educativo,sino su implementación didáctica en el salón de cla-se. Por la experiencia alcanzada en los cursos uni-versitarios y por las investigaciones didácticas rea-lizadas recientemente, se acepta que la probabili-dad es un tema particularmente difícil.

No obstante el arraigo que en la vida social tienentérminos como el azar, la incertidumbre, las posibili-dades, lo poco o lo muy probable, las intuiciones yconcepciones que las personas se forman alrededorde ellos - y aquí surge el problema - no se corres-ponden con los resultados de la teoría matemáticade la probabilidad. Este es precisamente el conflic-to: su enorme potencial de aplicabilidad a muchassituaciones sociales y el poco entendimiento que desus ideas fundamentales tienen las personas.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE

SANTANDER - UIS

Si bien es cierto que, a primera vista, el aspectoformal de la teoría matemática que se contemplaen los currículos matemáticos escolares no repre-senta mayores dificultades, la falta de ideas y refe-rentes claros que respalden este formalismo y quegeneren intuiciones válidas hace que la creaciónde los modelos que permitan resolver problemasde probabilidad se convierta, muchas veces, en retoinsuperable para los estudiantes.

Una de las razones para la brecha entre el pen-samiento y la realidad de la gente y las ideas mate-máticas es la falta de oportunidades que tienen laspersonas para observar muchas repeticiones de unexperimento aleatorio y, por lo tanto, percibir susregularidades. Esto hace, por ejemplo, que las per-sonas asuman el concepto de probabilidad asocia-do con el posible resultado en una próxima repeti-ción de un experimento aleatorio, y no con un con-junto grande de repeticiones. Este enfoque en elresultado aislado, como lo llamó Konold (1991),es una de las grandes barreras que dificultan unabuena comprensión de los procesos aleatorios y dela medida de probabilidad.

Así las cosas, si el problema radica en la falta deun número suficiente de repeticiones, la solución debeser, entonces, diseñar experimentos y repetirlos unnúmero grande de veces. Fischbein (1982), por ejem-plo, resalta la necesidad de la práctica controlada deexperimentos aleatorios como el medio más eficazde desarrollar nuevas intuiciones probabilísticas:

... para crear nuevas y correctas intuiciones el estudiante debeinvolucrarse activamente en un proceso de realización de ex-

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perimentos aleatorios, de predecir resultados y evaluar posibi-lidades, de confrontar resultados individuales y grupales conunas predicciones calculadas a priori, etc. Nuevas y podero-sas intuiciones probabilísticas no pueden ser producidas por lasola práctica de las fórmulas de probabilidad (p. 12).

En este mismo sentido, los Estándares Curricula-res de la NCTM (National Council of Teachers ofMathematics), desde su primera edición de 1989 yratificada en la versión del 2000, destacan el enfo-que experimental de la probabilidad, la comparaciónde sus resultados con los resultados teóricos, las pre-dicciones basadas en probabilidades, la realizaciónde simulaciones para estimar probabilidades, comoactividades básicas para generar intuiciones válidasacerca de los procesos aleatorios, de la medida deprobabilidad y de la relación de los modelos teóricoscon los resultados prácticos o reales.

Ahora bien, lo que los Estándares no mencionanes la forma como se deben implementar estas ac-tividades en el salón de clase para producir los be-neficios requeridos, y cuáles son las malas con-cepciones que se deben combatir.

Para llenar este vacío, en esta charla propone-mos un esquema básico de realización de situacio-nes experimentales o de simulación que satisfaganlos lineamientos propuestos.

A partir de dos problemas elementales de urna, unocon sustitución y otro sin ella, presentamos las res-puestas más comunes que se presentan en las perso-nas de todas las edades cuando se les proponen estosproblemas u otros equivalentes, y proponemos la for-ma de mejorarlas. El primer problema nos permiteintroducir el enfoque frecuencial de la probabilidad,en tanto que el segundo se refiere a algunas ideasclaves alrededor de los experimentos compuestos ypor ende de la probabilidad condicional.

Problema 1

Consideremos una urna que contiene una bolablanca y una bola negra. El experimento consisteen extraer con sustitución una bola de la urna eidentificar su color.

1) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraídasea negra?

2) Si realizamos 10 extracciones, ¿cuántas bolasnegras se extraerán?

La investigación en didáctica de la probabilidadha reportado que muchas personas responden de

la siguiente forma a cada una de las preguntas an-teriores:

1) "Como existen dos bolas y una de ellas esnegra, la probabilidad de obtener una bolanegra es ½".

Esta respuesta, en un sentido positivo, puede es-tar reflejando una intuición válida de la proba-bilidad clásica1 como modelo teórico a priori. Sinembargo, desde otro punto de vista puede ser elreflejo de un esquema de proporcionalidad que laspersonas en general poseen y que aplican en elcaso de la probabilidad, sin mucha claridad sobrelas condiciones subyacentes y mucho menos sobresus consecuencias predictivas, tal como lo mues-tran las respuestas a la segunda pregunta.

2) "Por lo tanto, si realizo 10 extracciones sedeben obtener 5 bolas negras". Otra respues-ta muy popular es que "puede obtenersecualquier cantidad".

La primera respuesta evidencia una concepcióndeterminista en la interpretación del valor de la pro-babilidad, que muchas veces hace que se nieguesu carácter predictor cuando, al realizar las repeti-ciones, observen que su predicción no concuerdaen la mayoría de los casos con los resultados obte-nidos. La segunda respuesta muestra una concep-ción muy generalizada entre las personas, en elsentido de que lo aleatorio es incontrolable y por lotanto carente de regularidades y donde todos loseventos son equiprobables.

Para combatir tanto el enfoque aritmético del va-lor de probabilidad como la idea de equiprobabilidadde los eventos aleatorios, lo mejor es repetir el expe-rimento un número "suficiente" de veces. En el sa-lón de clase se puede pedir a los estudiantes que seagrupen en parejas y que realicen 100 extraccionescon sustitución de una bolsa con dos bolas (o querealicen el experimento equivalente de lanzar unamoneda) y que lleven el registro de los resultadosobtenidos en una tabla con varias columnas, dondeademás de los resultados individuales se registre elnúmero de bolas negras obtenidas acumuladas y lafrecuencia relativa asociada a este resultado. El grá-fico 1 muestra algunas gráficas diferentes de las fre-cuencias relativas que se podrían producir con laexperimentación de los estudiantes.

1Si un experimento aleatorio tiene un número finito N de resultados posibles, se obtieneel modelo clásico de probabilidad, que define la probabilidad de obtener un evento A dela forma siguiente:

NAP

A a favorables resultados de total)( =

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Las diferentes gráficas de las frecuencias relativasnos permiten observar tres hechos fundamentales:

1. La existencia de la variabilidad, es decir de losdiferentes valores que toman las frecuencias re-lativas. Esta variabilidad, además, es diferentepara las diversas muestras obtenidas.

2. La variabilidad de las frecuencias relativas ob-tenidas disminuye a medida que se aumentan elnúmero de repeticiones del experimento.

3. Se infiere que si se siguen aumentando el núme-ro de repeticiones, la variabilidad se hará cadavez más pequeña, y por tanto el valor de lasfrecuencias relativas debe tender a un valorconstante.

Para corroborar la última conjetura, juntando losresultados de todas las parejas de estudiantes, o si-mulando el experimento en un computador que per-mite repetir miles de veces el experimento, se puedepercibir la convergencia de las frecuencias relativaspara cualquiera de las muestras que se generen.

Las actividades diseñadas para obtener las ex-presiones (1) y (2) nos permiten resaltar las siguien-tes ideas fundamentales asociadas con el concep-to de probabilidad:

1. La identificación del valor de probabilidadfrecuencial sólo es posible cuando se realiza unagran cantidad de repeticiones del experimento.

2. La probabilidad frecuencial es solo una; lo queson múltiples son las aproximaciones obtenidas,que dependen tanto de la muestra generadacomo de su tamaño. Las aproximaciones sonmejores cuanto mayor sea el tamaño de lamuestra.

3. Existen dos formas de controlar los resultadosque se obtienen al realizar el experimento: porel número de repeticiones y por la relación queexiste entre los resultados posibles. Estas for-mas son equivalentes cuando en realidad losresultados son igualmente probables, lo que jus-tifica el modelo teórico clásico.

4. El carácter predictivo de la probabilidad se aso-cia con conjuntos de repeticiones y no con elsiguiente resultado al realizar una repetición másdel experimento aleatorio.

De la expresión (2), y considerando un número fini-to de realizaciones de un experimento, podemos ob-tener una expresión que, además de caracterizar elcarácter predictor de la probabilidad, tiene consecuen-cias operativas muy interesantes en problemas de in-ferencia probabilística (cuando se trata de deducirprobabilidades a partir de probabilidades conocidas),como veremos en el problema 2 más adelante:

Problema 2

Gráfico 1. Frecuencias relativas vs repeticiones

0,0000,2000,4000,6000,800

0 20 40 60 80 100 120

Repeticiones

Fre

cuen

cias

rel

ativ

as

Los resultados de la experiencia se resumen en lasiguiente expresión que, además de introducir el con-cepto de probabilidad frecuencial, ratifica la cerca-nía entre el resultado proporcionado por el modeloclásico y los resultados de la experimentación:

)1(,2

1)(

n

nnegraP bn≈=

siendobn

n las extracciones donde se obtuvo unbola negra y n el total de extracciones efectuadas.

Con base en modelos semejantes, donde en lu-gar de dos bolas se cuente con un mayor número yen proporciones diferentes, es factible que los es-tudiantes lleguen a la siguiente conclusión, que pre-sentamos en su forma simbólica, donde el infinitoes asumido en términos de una cantidad enormede repeticiones:

)2(,lim)(n

n

N

NAP

A

n

A

∞→==

)3().(. APnnA

≈

donde A

N son los resultados favorables a A y Nson el total de resultados posibles, en tanto que

An

son las repeticiones donde se obtuvo un resultadofavorable a A y n el total de repeticiones.

Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolasnegras. Se extraen sin sustitución dos bolas.

1) Si se extrae una bola blanca en la primera ex-tracción, ¿cuál es la probabilidad de obtener unabola blanca en la segunda extracción?

2) Si se extrajo una bola blanca en la segunda ex-tracción, ¿cuál es la probabilidad de que se hayaextraído una bola blanca en la primera?

3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolablanca en la segunda extracción?

Se han reportado las siguientes respuestas:

1) "Como ya se extrajo una bola blanca que-

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dan dos bolas negras y una blanca, por lotanto la probabilidad de obtener una blan-ca en la segunda es 2/3". Intuición válida deprobabilidad condicional cuando la relación "cau-sal" es directa, o, desde otro punto de vista, larelación condicional está en la misma direccióndel tiempo: el evento condicionante es anterioral evento condicionado. Esta intuición sobre lacondicionalidad se complementa con el enfoqueclásico de la probabilidad.

2) "½ porque la primera extracción no se veafectada por la segunda". Esta respuesta res-ponde a una concepción causal-cronológica dela probabilidad condicional (Falk, 1979) en la quese asume que el evento condicionante no puedesuceder después del evento condicionado.

Respondiendo a una intuición de la probabilidadcondicional relacionada con el enfoque frecuencialde la probabilidad, para combatir esta mala creen-cia se realizarían varias repeticiones del experimentopara luego calcular el cociente del número de re-peticiones, donde se obtienen bolas blancas enambas extracciones sobre el total de extraccionesdonde la segunda bola extraída es blanca.

Si bien de esta forma se obtiene una respuestaque contradice la intuición inicial y que conduce ala respuesta acertada, la experimentación en símisma no concede una razón intuitiva que justifi-que el resultado obtenido. Como es claro que laaplicación de la regla de Bayes no genera una in-tuición acerca del problema y de su solución, pro-ponemos dos formas diferentes de hacerlo: unaprimera idea es percibir que el experimento de lasdos extracciones, una después de la otra, es equi-valente a extraer las dos extracciones simultánea-mente, y por lo tanto, la condicionalidad no se aso-cia con el tiempo y puede realizarse en los dos sen-tidos con resultados iguales. La segunda forma seaprovecha de una intuición que las personas po-seen y que se manifiesta cuando la pregunta sepropone en los siguientes términos: Si se extrajouna bola blanca en la segunda extracción, qué esmás probable: ¿extraer en la primera extracción,una bola blanca o una negra? Las personas res-ponden que "si se extrajo una bola blanca en lasegunda es porque había más bolas blancas en labolsa al realizar la segunda extracción, cosa quesólo se produce extrayendo una bola negra en laprimera extracción. Luego es más probable obte-ner una bola negra en la primera". Este razona-miento y el resultado de la experimentación pue-den provocar un razonamiento semejante a este:"Si ya salió una blanca en la segunda extracción,

quiere decir que en la primera solo se deben consi-derar dos bolas negras y una blanca, por lo tanto laprobabilidad requerida es 1/3".

3) "Depende de la primera extracción: Si enla primera extracción la bola es blanca, laprobabilidad de que la segunda sea blancaes 1/3; si por el contrario, la bola de la pri-mera extracción es blanca, la probabilidadde que la segunda sea blanca es 2/3".

Esta respuesta es típica del uso del llamado enfo-que en el resultado aislado que mencionamos pre-viamente, y que se caracteriza por asumir el valorde probabilidad como una medida de certeza res-pecto a un solo resultado del experimento aleatorio.El razonamiento utilizado tiene un cierto sabor lógi-co que no es compatible con el razonamientoprobabilístico asociado con muchos resultados. Unforma de resolver esta pregunta utilizando la intui-ción que existe sobre las probabilidades condiciona-les directas, y que muestra que las simulaciones sepueden realizar mentalmente y que los resultados sepueden obtener como una consecuencia de la defi-nición frecuencial de la probabilidad utilizando laexpresión (3), es la siguiente: Al realizar n repeticio-nes del experimento, según (3) en aproximadamen-te n. ½ de ellas se obtiene una bola blanca, y en otrotanto bolas negras. De cada una de estas cantida-des se obtienen (n. ½).? y (n. ½).? bolas blancas enla segunda extracción, respectivamente. Luego porel mismo enfoque frecuencial de la probabilidad setiene que la probabilidad de obtener una bola blancaen la segunda extracción es igual a

2/1)3/2()2/1()3/1()2/1(3/2).2/1.(31).21.(

)(2

=+=+=n

nnBP

Una representación gráfica de este procedimientose asocia con el diagrama de árbol que aparece enla gráfica 2 que en sí mismo es una opción operativapara problemas de probabilidad condicional quedebe ser incentivada en el salón de clase.

Gráfica 2. Representación del enfoquefrecuencial restringido en un diagrama de árbol

B: (n. ½).?

B: n.( ½)

N: n.( ½)

N: (n. ½).?

B: (n. ½).?

N: (n. ½).?

n

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Conclusiones

Como se observa, el enfoque frecuencial de laprobabilidad le imprime un carácter de laboratorioal tratamiento de la probabilidad, y se constituye enun referente para dirimir las discusiones que alre-dedor de la creación de modelos en probabilidadmuchas veces se dan. La realización de experi-mentos aleatorios en el salón de clases, además deconsiderar la equivalencia de experimentosaleatorios, permite confrontar las intuiciones erra-das que las personas poseen respecto al compor-tamiento de las secuencias aleatorias y del signifi-cado de la probabilidad. Por su limitación en la for-mación de intuiciones, las experimentaciones enclase deben acompañarse de razonamientos rela-cionados que permitan la justificación de los resul-tados y la formación de buenas intuicionesprobabilísticas. El enfoque frecuencial, cuando seaborda de acuerdo a la expresión (3) y que llama-

mos enfoque frecuencial restringido, permite re-solver problemas de inferencia probabilística sintener que realizar físicamente el experimento(Yáñez, 2003).

Referencias bibliográficas

FALK, R. (1979). Revision of Probabilities and the Time Axis.In: Proceedings of the third international conference for thepsychology of mathematics education, 64-66, Warwick, England.

FISCHBEIN, E., (1982). Intuitions and proof. In: For theLearning of Mathematics, 3(2), 9-19.

KONOLD, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs aboutProbability. In: Von Glasersfeld (ed.). Radical Constructivism inMathematics Education, 139-156. Kluwer.

YÁÑEZ, G. (2003). Estudios del efecto del enfoque frecuencialde la probabilidad implementado a través de la simulacióncomputacional en la comprensión de los procesos aleatorios,la probabilidad y la probabilidad condicional. Tesis Doctoral,CINVESTAV-IPN, México.

Extensiones del modelo devan Hiele fuera del ámbitode la geometría elemental

ANDRÉS DE LA TORRE GÓMEZ

Entre los continuadores de Piaget se cuentan losesposos Pierre y Dina van Hiele, quienes introdu-jeron en Holanda, a partir de 1957, el modelo de losniveles de pensamiento con el propósito de desa-rrollar en los alumnos de la escuela elemental elinsigtht en la geometría [14], [15]. El modelo des-pertó de inmediato el interés de los psicólogos en laUnión Soviética, hasta el punto que A. M. Pyshkalo,en 1963, lo tomó como base para su programa deenseñanza de la geometría. En los Estados Unidos,Izaak Wirszup introdujo formalmente las ideas delos van Hiele mediante la conferencia titulada SomeBreakthroughs in the Psychology of Learningand Teaching Geometry, ante el encuentro anualdel National Council of Teachers of Mathematics(NCTM), de Atlantic City, realizado en 1974. Al-gunas publicaciones, como las de Hans Freudenthal[7], Alan Hoffer [9] y A. Coxford [2], ayudaron adespejar el camino.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Aunque los van Hiele recibieron una fuerte in-fluencia de Piaget, se separaron de éste en puntoscruciales, como los siguientes:

i) La teoría psicológica de Piaget se refiere pri-mordialmente al desarrollo del niño, más que alaprendizaje. En el modelo de van Hiele, en cam-bio, es esencial el asunto de cómo estimular alos niños para que asciendan de un nivel al si-guiente. La teoría de las fases de aprendizajede van Hiele responde a esta necesidad.

ii) Piaget no captó en toda su dimensión el papelque juega el lenguaje en el paso de un nivel aotro por parte del aprendiz. En el modelo de vanHiele, en cambio, el aprendiz desarrolla un len-guaje específico para cada nivel de pensamien-to.

iii) Piaget no veía la existencia de estructuras enun nivel superior como resultado del estudio deun nivel inferior. En el modelo de van Hiele sólose alcanza el nivel superior si las reglas que go-biernan el nivel inferior han sido hechas explíci-tas y estudiadas, convirtiéndose así en una nue-va estructura.

Siguiendo a Hoffer [8], quien se inspira para elloen la interpretación de los niveles de pensamientocomo categorías, se pueden identificar los objetospara cada uno de los niveles en la siguiente forma:

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Nivel 0: Los objetos son los elementos básicos delestudio.

Nivel 1: Los objetos son propiedades que analizanlos elementos básicos.

Nivel 2: Los objetos son enunciados que relacio-nan las propiedades.

Nivel 3: Los objetos son ordenaciones parciales (ósucesiones) de los enunciados.

Nivel 4: Los objetos son propiedades que analizanlas ordenaciones parciales.

La aplicación del modelo a una materia particu-lar necesita el establecimiento de una serie dedescriptores para cada uno de los niveles estudia-dos, que permitan la detección de los mismos a partirde la actividad de los aprendices. Para que puedanser considerados dentro del modelo de van Hiele,los niveles diseñados deben ser jerárquicos,recursivos, secuenciales y formulados de maneratal que permitan detectar un progreso del entendi-miento como resultado de un proceso gradual; lostest –de cualquier tipo– que se diseñen para la de-tección de los niveles, deben recoger la relaciónexistente entre un nivel dado y el lenguaje emplea-do por los aprendices situados en ese nivel; el dise-ño de los test debe tener como objetivo primordialla detección de niveles de pensamiento, sin con-fundir a éstos con niveles de habilidad computacio-nal o conocimientos previos.

Tomamos de Hoffer [8] su versión simplificadade los niveles de pensamiento, tal como fueron apli-cados por van Hiele a la geometría:

Nivel 0: Los alumnos reconocen las figuras por suapariencia global. Pueden aprender el empleo de ciertovocabulario para identificar algunas figuras (por ejemplo,las palabras “triángulo”, “cuadrado”, “cubo”). Pero noson capaces de identificar explícitamente las propiedadesde las figuras.

Nivel 1: Los alumnos analizan las propiedades de lasfiguras (por ejemplo, con enunciados como “losrectángulos tienen diagonales iguales”, “un rombo tienetodos los lados iguales”). Pero no son capaces deinterrelacionar explícitamente las figuras con suspropiedades.

Nivel 2: Los alumnos relacionan las figuras con suspropiedades (por ejemplo, con enunciados como “todocuadrado es un rectángulo”). Pero no son capaces deorganizar los enunciados en forma secuencial, parajustificar sus observaciones.

Nivel 3: Los alumnos organizan sucesiones de enunciadosque les permiten deducir un enunciado a partir de otro(por ejemplo, para mostrar que el postulado de lasparalelas implica que la suma de los ángulos de untriángulo es 180º). Pero no reconocen la necesidad delrigor y no alcanzan a comprender las relaciones entrevarios sistemas deductivos.

Nivel 4: Los alumnos analizan diversos sistemasdeductivos con un grado de rigor comparable al exigidopor D. Hilbert en sus tratamiento de la geometría. Losalumnos comprenden las propiedades de que puedegozar un sistema deductivo, como la consistencia, laindependencia y la completitud de los postulados.

Entre las primeras investigaciones acerca del mo-delo de van Hiele que escaparon al ámbito de lageometría se encuentra la tesis doctoral de Judy Land[11], la cual empleaba el modelo para describir pro-cesos cognitivos que se daban en la mente de estu-diantes universitarios del college americano, y seocupaba de las funciones exponencial y logarítmica,en un contexto de manipulación algebraica. Plan-teaba con precisión sus objetivos: (i) Definiroperacionalmente la conducta de los estudiantes encada nivel usando el modelo de van Hiele. (ii) De-terminar si las respuestas de los alumnos a una en-trevista escrita pueden ser caracterizadas de acuer-do con los niveles de pensamiento. (iii) Formulardescriptores de los niveles de pensamiento.(iv)Explorar el empleo de las fases de aprendizajepara facilitar el recorrido de los estudiantes desdeun nivel dado al nivel inmediatamente superior.

Pueden señalarse dos defectos principales en eltrabajo de Land: (i) se centró más en el estudio dehabilidades y destrezas de tipo algebraico ymanipulativo, que en el pensamiento y el razona-miento de los alumnos, y (ii) se apoyó en un núme-ro muy pequeño de entrevistas individuales. Sinembargo, dicha tesis abrió el camino para una se-rie de investigaciones orientadas a la extensión delmodelo de van Hiele al ámbito del análisis mate-mático en la educación universitaria, llevadas a caboen el departamento de matemática aplicada de laUniversidad Politécnica de Valencia, España.

Los trabajos en dicha dirección se han manteni-do en el contexto geométrico y visual en el que sedesarrollaron las investigaciones iniciales de los vanHiele. En primer término, se estudió cómo razonael aprendiz con respecto al problema de la existen-cia de la recta tangente a una curva en un punto,tomando como nivel 0 las nociones intuitivas depunto, recta y curva. El instrumento de ataque fue

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la idea de zoom o escalamiento simultáneo en am-bas variables, pues si una curva tiene tangente enun punto debe convertirse en una recta después devarios zooms. La investigación permitió caracteri-zar, mediante los descriptores de los niveles 1, 2 y3, la aplicación del modelo de van Hiele al concep-to de aproximación local en su contexto de rectatangente [12].

En segundo término, se abordó el problema de lavisualización de la noción de continuidad de unacurva plana en un punto, tomando como instrumen-to de estudio el estiramiento horizontal, que consis-te en escalar la abscisa, sin cambiar la ordenada,pues una curva es continua en un punto, según ladefinición de Cauchy, si aparece plana después devarios estiramientos. Se logró caracterizar, mediantelos descriptores de los niveles 1, 2 y 3, la extensióndel modelo de van Hiele al concepto de continui-dad local, visualizado a través de la imagen decontrolabilidad de errores [1].

En las investigaciones mencionadas sobre la tan-gente y la continuidad se empleó, de manera esen-cial, la técnica de la entrevista clínica, pues es lamás adecuada para explorar los procesos de pen-samiento que se dan en la mente del aprendiz: Ellapermite analizar el lenguaje empleado por los alum-nos, el cual es la base para comprender el procesode construcción y descubrir los niveles de pensa-miento relativos al concepto estudiado en la inves-tigación. Tanto en el caso de la tangente como dela continuidad se diseñaron guiones modelo de en-trevistas semiestructuradas, que no son cerradas sinoque permiten la intervención del entrevistador a te-nor de las respuestas del entrevistado. Las entrevis-tas individuales debían también convertirse en ex-periencias de aprendizaje para los adultos entrevis-tados, por lo cual se siguió en ellas el método socrá-tico, tal como éste se expone en los Diálogos dePlatón: el propósito que se persigue con la entrevistasocrática es que el aprendiz reflexione no sólo acer-ca de las preguntas que se le formulan sino, tam-bién, acerca de sus propias respuestas y que lleguea hacer conciencia de las relaciones y propiedadesque utiliza en sus razonamientos. El entrevistadordebe poner especial cuidado en el vocabulario em-pleado por el aprendiz, quien, a lo largo de la entre-vista, va elaborando su propio lenguaje con preci-sión cada vez mayor. Como resultado de la entre-vista, el aprendiz hace manifiesto su nivel de pensa-miento con respecto al concepto estudiado.

Con una metodología similar a la de los trabajosarriba mencionados se abordaron posteriormentelos siguientes temas de investigación: (i) el análisisde la noción de suma de una serie, visualizando lostérminos de ésta como segmentos de un zig-zaginfinito y su suma como la longitud de dicho zig –zag [10]; (ii) la recta tangente entendida como laposición límite de un haz de secantes, que es laforma tradicional de enseñanza del concepto detangente, y el estudio comparativo de esta metodo-logía con la alternativa, vía zoom [6]; (iii) la con-vergencia de una sucesión numérica, en un con-texto estrictamente visual que propicie la forma-ción en el aprendiz de un concepto imagen ade-cuado, sin exigirle destrezas específicas de tipooperacional o de manipulación de símbolos lógicos[13]. También en estas investigaciones se empleóde manera intensa el asistente matemático en losinstrumentos de estudio diseñados.

Sin embargo, el modelo de van Hiele postula ex-clusivamente la existencia de niveles de pensamien-to y no tiene que supeditarse al apoyo visual en elordenador. De la Torre llevó a cabo una investiga-ción, en el marco de la teoría de los niveles de pen-samiento de van Hiele, sobre el continuo comomodelo matemático del espacio y del tiempo y so-bre los obstáculos que debe enfrentar el aprendizen la construcción de tal modelo, en un contexto depuro razonamiento que no contó con ningún apoyovisual en el ordenador [3], [4], [5].

El objeto de la investigación llevada a cabo porde la Torre en su tesis doctoral [3] fue validar unapropuesta metodológica, alternativa a la tradicio-nal, orientada a acercar a los estudiantes de primeraño de universidad a la modelización matemáticadel espacio recorrido por un móvil y a la del tiempoempleado en el movimiento. En ambos casos, elmodelo, es decir, la estructura teórica construidaen el proceso, es el sistema de los números realesque se conoce como continuo aritmético, caracte-rizado en el análisis matemático como un campoordenado completo arquimediano. Este es equiva-lente al continuo geométrico lineal, visualizado ha-bitualmente como una recta indefinida.

Dicha modelización abrió paso a la solución demúltiples problemas físicos, relativos a los cuerposmateriales, como, por ejemplo, las cuerdas vibran-tes y los sólidos rígidos, pero llevaba consigo uncúmulo de obstáculos. Zenón de Elea, en el sigloIV a.C., señaló con claridad las principales dificul-

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tades del modelo y las enunció bajo la forma deparadojas. La teoría de conjuntos, cuyo desarrollose vio estimulado en el último tercio del siglo XIXpor los aportes de George Cantor, constituye elmarco en el cual se resuelven satisfactoriamentedichas paradojas.

El asunto central bajo estudio, por parte de laTorre, fue el razonamiento seguido por el aprendizen la construcción del concepto de continuo comomodelo matemático del espacio y del tiempo. Des-de las primeras etapas de la investigación surgie-ron, con fuerza manifiesta, dos temas preponde-rantes: por un lado, el concepto cantoriano deequipotencia de agregados infinitos de puntos y, porotro, la explicación de las paradojas de Zenón –lade Aquiles y la tortuga y la de la flecha- a la luz delmodelo.

El principal instrumento de la investigación fue laentrevista socrática, la cual fue dividida en dos fa-ses bien diferenciadas: la primera, mediante un len-guaje estrictamente geométrico, permitió analizarla asimilación del concepto matemático de conti-nuo por parte del aprendiz. En esta fase, el entre-vistador conduce gradualmente al aprendiz hastael momento en que éste mismo formula la defini-ción cartesiana de equipotencia de dos figuras geo-métricas. Se completó el estudio clínico de casosindividuales, llevado a cabo en la primera fase, conuna prueba escrita que reprodujo el guión de laentrevista, sustituyendo las acciones socráticas deésta por aportes de información y reflexión inter-calados en el test.

La segunda fase de la entrevista se ocupó de losprocesos de modelización involucrados, a saber, ladel espacio y del tiempo como un continuo y la delfenómeno del movimiento como una función. Enesta fase, el objetivo del entrevistador es el de en-contrar, mediante un lenguaje más coloquial quegeométrico, el camino seguido por el aprendiz en laformulación del modelo matemático y la explica-ción posterior que éste permite darles a los hechosdel mundo físico.

En cada una de las investigaciones llevadas a caboen la Universidad Politécnica de Valencia, que sir-vieron de fundamento a seis tesis doctorales, seobtuvieron los descriptores para los niveles 1, 2 y3, relativos al concepto específico en considera-ción. Se diseñaron, además, los modelos de guiónpara los entrevistas clínicas, semiestructuradas y

socráticas por medio de los cuales se hallaron losdescriptores de los niveles y se clasificó a los estu-diantes en sus respectivos niveles. Se comprobó,en fin, mediante sendos cuestionarios escritos derespuesta múltiple, que se aplicaron sobre mues-tras amplias de estudiantes, que los niveles 1, 2 y 3pueden ser efectivamente detectados en las mues-tras; el oportuno tratamiento estadístico permitióasignarle automáticamente a cada alumno su co-rrespondiente nivel.

Referencias bibliográficas

[1] CAMPILLO H., P., PÉREZ CARRERAS, P., La noción decontinuidad desde la óptica de los niveles de van Hiele, Divulga-ciones Matemáticas, v 6, No 1, 1998, 69-8.

[2] COXFORD, A., Research directions in geometry, en: R.Lesh & D. Mizkiewcz (eds.), Recent Research Concerning theDevelopment of Spatial and Geometric Concepts, Columbus,Ohio, ERIC/SMEAC, 1978.

[3] DE LA TORRE, Andrés, La modelización del espacio y deltiempo: su estudio vía el modelo de van Hiele, Tesis doctoral,Universidad Politécnica de Valencia, 2000.

[4] DE LA TORRE, Andrés, Una aplicación del modelo de vanHiele al concepto de continuo, Matemáticas Enseñanza Uni-versitaria, v. VIII, No 1,2, 2000, pp. 115-139.

[5] DE LA TORRE, Andrés, La modelización del espacio y deltiempo, Editorial Universidad de Antioquia, Medellín, 2003.

[6] ESTEBAN, Pedro V., Estudio comparativo del conceptode aproximación local vía el modelo de van Hiele, Tesis docto-ral, Universidad Politécnica de Valencia , 2000.

[7] FREUDENTHAL, H., Mathematics as an Educational Task,Reidel, Dordrecht, 1973.

[8] HOFFER, A., Van Hiele-based research, en: R.Lesh & M.Landau (eds.), Acquisition of Mathematical Concepts andProcesses, Nueva York, Academic Press, 1973.

[9] HOFFER, A., Geometry, A Model of the Universe, Addison –Wesley, Menlo Park, 1979.

[10] JARAMILLO, Carlos M., La noción de serie convergentedesde la óptica de los niveles de van Hiele, Tesis doctoral,Universidad Politécnica de Valencia , 2000.

[11] LAND, J., Appropriateness of the van Hiele model fordescribing students’ cognitive processes on algebra tasks astypified by college students’ learning of functions, Tesis docto-ral, University of Boston, 1991.

[12] LLORENS, J.L., PÉREZ CARRERAS, P., An Extension ofvan Hiele´s Model to the Study of Local Approximattion, Int.J. Math. Educ. Sci. Technol. 28, No 5, 1997, 713-726.

[13] NAVARRO, María, Un estudio de la convergencia encua-drada en el modelo educativo de van Hiele y su correspondien-te propuesta metodológica , Tesis doctoral, UniversidadPolitécnica de Valencia , 2002.

[14] VAN HIELE, P., Levels of Thinking, How to Meet Them,How to Auoid Them, Seattle NCTM Meeting, 1980.

[15] VAN HIELE, P., Structure and Insight: A Theory ofMathematics Education, Academic Press, Orlando, Florida, 1986.

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Una experiencia deacompañamiento a docentesen una escuela indígena

MAGDA LILIANA GONZÁLEZEstudiante de Matemáticas

mlgonzalez@matematicas.unal.edu.co

En la ponencia se relata parte de la experienciade trabajo realizada durante el primer semestre delpresente año con los docentes de preescolar, bási-ca primaria y básica secundaria del Colegio “Fran-cisco de ”, del resguardo indígena de Macedonia,ubicado a 55 Kms. de la ciudad de Leticia en lacabecera del río Amazonas, a partir de una iniciati-va hecha por la misma comunidad educativa, en laque se solicitaba a la Universidad Nacional de Co-lombia apoyo en distintas áreas académicas, entreellas matemáticas. La asesoría la realicé en com-pañía de un compañero de inquietudes en cuanto alfactor educativo relacionado con nuestra carrera:Matemáticas, guiados de cerca por los valiososaportes y la experiencia de la profesora MyriamAcevedo.

El proceso de acompañamiento docente nos dioa conocer carencias en la parte pedagógica y delconocimiento mismo de la matemática que tienenlos docentes, así como distintas concepciones quecirculan en la institución escolar con respecto a laenseñanza de las matemáticas.

Las concepciones que tienen los maestros sobrelas matemáticas y la visión que tienen de cómo debeser una clase se ven reflejadas en su práctica peda-gógica. Para la mayoría de ellos, las matemáticasson un cúmulo invariable de reglas o procedimientospara el trabajo con los números y operaciones, y elaprendizaje de estas reglas garantiza un buen des-empeño en la materia. En la visión del prototipo declase, los estudiantes desconocen los temas y no tie-nen mayor deber que el de escuchar, en cambio elmaestro es el único autorizado a hablar y su papeles el de transmisor de un conocimiento transparen-te, acabado, que no admite mayores explicaciones yque los niños deben entender y asimilar bastandopara ello con una simple exposición que consiste enuna charla magistral del maestro, que precede a unarepetición del tema por parte de los estudiantes. Conesta manera de afrontar la enseñanza-aprendizaje

de las matemáticas, el maestro es el que sabe, peropreguntamos ¿qué sabe?

Pudimos determinar que los docentes mantienenen su práctica una enseñanza basada en el aprendi-zaje memorístico, enfatizando en un trabajooperatorio mecanicista, dejando de lado la formula-ción y resolución de problemas, la existencia de dis-tintos modos de abordar correctamente un ejercicio,el significado y el uso de las operaciones en distintoscontextos. La práctica se centra en el dominio nu-mérico, en especial las cuatro operaciones aritméti-cas, intentando en cada grado aumentar el rangonumérico en el que se realizan las operaciones.

Como factor de especial importancia considera-mos que se deben adelantar y promover este tipode conexiones directas que contribuyan al mejora-miento de la calidad de la educación de un área tanimportante como lo es la matemática. Carecemosde estudios que hablen de las prácticas matemáti-cas de nuestras comunidades indígenas. Ellos comonosotros deben tener posibilidades de educaciónacordes con la reglamentación dada para el paíspor los organismos pertinentes, respetando susindividualidades como grupo étnico o social quemaneja conocimientos y prácticas diferentes a lasnuestras, teniendo en cuenta que deben ser trata-dos con equidad y respeto, y que tienen propósitosde educarse para poder competir como iguales encualquier sector educativo o productivo del país.

Es la búsqueda de un equilibrio necesario para lajuventud indígena, de cara a los retos que se plan-tean en este tiempo, frente a aspectos como laglobalización económica y la tan mentada“competitividad”, somos nosotros los llamados ahacer aportes significativos en la tarea de formardocentes a partir de observaciones directas en si-tuaciones concretas que puedan dar cuenta de lascaracterísticas individuales de grupos étnicos o so-ciales diversos.

¿Cómo va a responder el indígena si no se efec-túa este proceso? ¿Negando su realidad? ¿Permi-tiendo que se arroye su tradición y volviéndose manode obra calificada y competitiva? ¿Contentándosecon un nivel de educación que no cubre ni siquieralos estándares mínimos propuestos por esa partedel país que parece haberlos olvidado?.

Se hace necesaria la reflexión sobre la manerade fomentar en el país el conocimiento y uso eficazde los avances que en campo de la educación mate-

UNIVERSIDAD NACIONAL

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mática han surgido para mejorar el proceso de en-señanza y aprendizaje del área, articulando lossaberes de comunidades académicas como la nues-tra, con los conocimientos locales de nuestras co-munidades indígenas y con los aspectos regionalesy mundiales que son comunes en la matemática.

Esta articulación de saberes genera varias pre-guntas, unas relacionadas con la matemática mis-ma y la pertinencia de algunos temas en el contex-to de una comunidad indígena, la preocupación porque los documentos legales que regulan la educa-ción están pensados para las regiones centrales delpaís y su aplicabilidad en regiones de frontera nose promueve o se hace superficialmente.

Presentación

Leibniz se enfrentó con dos grandes problemasteóricos: el primero, dar una explicación convincen-te del concepto de infinitesimal. El segundo, mostraruna regla que permita la eliminación de infinitesima-les comparativamente de orden mayor que otros. Aambos les dio una solución práctica, pues no sólofundó el moderno cálculo diferencial e integral, sinoque le permitió resolver innumerables problemascuya solución era considerada imposible, haciendouso de los métodos tradicionales de cálculo.

La respuesta a la controversia sobre el funda-mento lógico matemático del cálculo tuvo que es-perar tres siglos, con el análisis no estándar deRobinson1 . A partir de allí, el sistema numéricoreal es considerado una estructura numérica de bajacomplejidad comparado con un sistema de mayorcomplejidad, conocido con el nombre de sistemanumérico hiperreal *R.

El cálculo infinitesimal, o sea, el cálculo con infi-nitamente grandes e infinitamente pequeños,

Átomos y núcleosde infinitesimales

KEMEL GEORGEUNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

El trabajo de acompañamiento tuvo resultadosconcretos como la producción conjunta por docen-tes y asesores de un documento para el plan deestudios, y la voluntad de las partes en continuar elproceso involucrando más instituciones que pue-dan aportar nuevas luces para promover desde laeducación matemática cambios profundos en elproceso enseñanza-aprendizaje de esta área, y ha-cer aportes para que las comunidades de las regio-nes más apartadas del país gocen en lugar de su-frir en el proceso de intercambio de saberes rela-cionados con la matemática.

después de Robinson, se despliega en varias direc-ciones de investigación y grandes tendencias, quede una u otra forma repercuten en el aula de clase.Destacamos, en primer lugar, la que se ha delinea-do desde Nelson2 , que consiste en insertar tresnuevos axiomas en la teoría axiomática de los con-juntos de Zermelo-Fraenkel cuyas siglas son ZFC.Surge así la Teoría Interna de Conjuntos IST.

Hay métodos de construcción de la recta noestándar, como los de Hurd-Loeb3 y Lindstrom4,quienes obtienen el campo de los hiperreales -contres tipos de cantidades, reales ordinarios, realesinfinitos e infinitesimales- utilizando sucesionesnumerables de reales ordinarios, identificadas en-tre sí mediante ultrafiltros.

Algunos autores han llegado a plantear que sólocon el apoyo de la Teoría de Modelos y aplicacio-nes del Principio de Transferencia, (fórmulas ver-daderas en los reales son verdaderas en el nuevomodelo no estándar) se pueden entender loshiperreales, lo que haría casi imposible su introduc-ción en los cursos elementales de cálculo diferen-cial e integral. Si esto fuera así, tendríamos que dar-les la razón, porque desde el punto de vista cognitivono es nada claro que estos métodos sean más atrac-tivos en el aula de clase que los tradicionales.

1Robinson A. Non-Standard Analysis, North-Holland Pub. Co. Amsterdam, 1966. Revisededition, 1974.

2E.Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bol. of theAmerican Mathematical Soc., Vol.83, Nov.6, 1977.

3A.E.Hurd, P.A.Loeb, An Introduction to Nonstandard Real Analysis, Academic Press, Inc.1985.

4T.Lindstrom, An Invitation to Nonstandard Analysis -Nonstandard Analysis and itsApplications, Edited by N.Cutland, Cambridge University Press, 1988.

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Nuestro interés es precisamente, evitar en lo po-sible esta situación, al presentar unas construccio-nes que combinan varias metodologías, con un ob-jetivo cognitivo y didáctico. Y esta es precisamen-te la tendencia que nos interesa destacar, la que seorienta hacia la educación matemática, o sea quesu énfasis es el proceso de enseñanza-aprendizaje,en el que se usa el análisis no estándar como he-rramienta. Este esfuerzo puede percibirse en cier-ta medida en Keisler5 y se encuentra reforzada porlos grupos de investigación en México, con Imaz6,entre otros. La propia denominación de la activi-dad, el Cálculo con Infinitesimales, retoma lasideas originales de Leibniz y Newton y reafirmanla inclinación de esta metodología.

El sistema numérico hiperreal. La base numé-rica del cálculo con infinitesimales es el campo delos números reales extendidos, también llamada larecta hiperreal *R. El conjunto *R es un campolinealmente ordenado, que contiene al campolinealmente ordenado de los números reales R. Esteconjunto *R está organizado como estructura arit-mética, donde cohabitan tres tipos de números: losinfinitesimales o infinitamente pequeños, incluidoel cero; estos son números que en valor absolutoson menores que cualquier real ordinario. Los fini-tos, entre los cuales se encuentran los reales ordi-narios; y los infinitos, que son número en valorabsoluto mayores que cualquier real ordinario.

Estos tres tipos de cantidades y las operacionesque sobre ellas se erigen - suma, resta, multiplica-ción, división, raices y potencias, exponenciales ylogaritmos, funciones trigonométricas, etc.- difie-ren de manera drástica del manejo convencional ytradicional que se conoce sobre los números realesque se enseñan en el aula de clase.

Vamos a demostrar que son suficientes dos supo-siciones, para que podamos hacer cálculo con infini-tesimales. En primer lugar, aceptaremos que existeun campo ordenado *R, extensión de los númerosreales R, o sea, R ⊂ *R; en segundo lugar, esta ex-tensión es tal que las funciones y operaciones queconocemos en R son funciones y operaciones admi-tidas en *R. A continuación, demostraremos que en*R existen elementos infinitos, finitos e infinitesima-les, donde infinitesimal significa, como es entendi-

5H.J.Keisler, Elementary Calculus, Prindle, Weber & Schmidt, Inc., 1976.

6C.Imaz, "Infinitesimal models for Calculus", Bol.Sociedad Matemática Mexicana, Vol.29,2,1984.

do, una cantidad menor que todo real e infinito esuna cantidad mayor que todo real.

Infinitos e infinitesimales. En efecto, la suposi-ción de que existe un campo totalmente ordenado*R tal que R ⊂ *R tiene profundas consecuenciasaritméticas y lógicas. Como R es parte de *R, ob-viamente todos los reales ordinarios son hiperreales.Pero si existe al menos un elemento *r de *R queno es elemento de R, entonces es posible extraeralgunas conclusiones sobre este extraño elemento.Como *r no puede ser cero, necesariamente *r esmenor o mayor que cero, ya que los hiperrealesforman un campo ordenado.

Vamos a suponer *r > 0. ¿Habrá un real ordina-rio u que esté comprendido entre 0 y *r, esto es,que cumpla la condición 0 < u < *r? Si no lo hay,entonces *r es menor que todo real ordinario, yesto es precisamente lo que hemos dicho que sedenomina infinitesimal. Por tanto, *r sería uninfinitesimal y tendríamos otro tipo de cantidad dis-tinta de las reales ordinarias.

Puede ocurrir que existiera un real ordinario u talque 0 < u < *r. Entonces solo quedan dos alternati-vas. O bien hay un real ordinario s a la derecha de*r, o no lo hay. En caso que lo haya, diremos que *res finito (porque está acotado a la izquierda y a laderecha por un real ordinario, donde u es cota infe-rior y s es una cota superior de *r. Tenemos pues,0 < u < *r < s. El conjunto A de reales ordinariosmenores que *r es no vacío, ya que u ∈ A. Ade-más , está acotado superiormente por s. Luego Atiene una máxima cota inferior que es un real ordi-nario. Similarmente, el conjunto B de reales ordi-narios mayores que *r es no vacío, ya que s ∈ B.Además , está acotado inferiormente por u. Luegotiene una mínima cota superior que es un real ordi-nario. El par A, B es lo que se denomina cortadu-ra de Dedekind7en los reales ordinarios, ya queninguno de ellos es vacío, todo elemento de A esmejor que todo elemento de B, la unión de los dosconjuntos es R y la intersección de los dos es va-cía. Por consiguiente, o bien la máxima cota infe-rior es elemento de A o bien, la mínima cota supe-rior es elemento de B.

Sea r la máxima cota inferior y supongamos quees elemento de A. Como r < *r llamemos α la can-

7R. Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications, Inc. New York,[1901], 1963

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tidad positiva α= *r - r. No puede haber ningúnreal ordinario u que cumpla 0 < u < α porque en-tonces tendríamos u < *r - r, u + r < *r, y estocontradice que r es la máxima cota inferior. Su-pongamos que la mínima cota superior r es ele-mentos de B. Como r < r llamemos α la cantidadpositiva α = r - *r. No puede haber ningún realordinario s que cumpla 0 < s < α porque entoncestendríamos s < r - *r, *r < r - s, y esto contradiceque r es la máxima cota inferior. Conclusión, enambos casos, a es menor que todo real ordinariopositivo, o sea, es infinitesimal. Ello significa que elhiperreal finito *r se separa en dos sumandos: elreal ordinario r y el infinitesimal α. En otras pala-bras, hemos demostrado que todo hiperreal finito*r es de la forma *r = r + α. Esta descomposiciónes única, porque si separamos a *r como *r = s + βentonces r - s = α - β y siendo r - s un real ordina-rio y un infinitesimal, está obligado a ser elinfinitesimal 0.

Queda otra posibilidad: el hiperreal *r que toma-mos no está acotado superiormente por ningún realordinario s. Esto quiere decir que es mayor que todoreal ordinario, que es la definición de hiperreal infi-nito. Y tenemos el tercer tipo de hiperreales. Comopodemos ver, la existencia de un campo totalmenteordenado *R extensión de los reales R implica, ne-cesariamente, la existencia de cantidades de natu-raleza aritmética distinta a la de los reales ordina-rios: los infinitesimales, los finitos, y los infinitos.

El lenguaje hiperreal. Para familiarizarnos conel sistema numérico hiperreal son suficientes algu-nas definiciones y ejemplos, que expondremos acontinuación. Hemos visto que los infinitesimales oinfinitamente pequeños, α, β, etc., -incluido el cero-son aquellas cantidades que en valor absoluto sonmenores que cualquier real ordinario

∀

. Dado un infinitesimal α, se es-cribe α ≈ 0. En general, si tenemos dos hiperrealesa, b cualesquiera y ocurre que la diferencia b - a esinfinitesimal, decimos que a está muy cerca de b yse escribe a ≈ b. Otro tipo de cantidades son losreales infinitos M, que son aquellas en valor abso-luto mayores que todo real ordinario, y por enderesultan ser inversos multiplicativos de los infini-tesimales, MrRr <→∈∀ . En otras palabras, unnúmero real distinto de cero es infinito si y sólo sisu inverso multiplicativo es infinitesimal. Entre losreales infinitos, nos interesa destacar los enterosinfinitos N, M, etc., y a los que frecuentemente sellaman hiperenteros.

Hemos visto que otro tipo de números son losreales finitos *r, que son de la forma *r = r+α, don-de r es real ordinario y α es infinitesimal positivo,negativo o cero.

rrRr <∈∃ *,

Los finitos incluyen los reales ordinarios s, t, u, v,etc. que ocurren precisamente cuando α = 0. Si *res hiperreal finito de forma *r = r + α, el real ordi-nario r se denomina parte estándar de *r y se es-cribe st (*r) = r.

El siguiente sorprendente ejemplo es toma-do de un texto clásico de cálculo infinitesimal8 . Si

H es infinito, entonces 11 −−+ HH esinfinitesimal, porque

( )( )

011

2

11

111111

≈−++

=

=−−+

−++−−+=−−+

HH

HH

HHHHHH

ya que el denominador es la suma de hiperrealesinfinitos, de modo que su inverso es infinitesimal.

El átomo de un real. Uno de los hechos másespectaculares de *R es que, para cada real ordi-nario, podemos considerar el conjunto de todos loshiperreales que están muy cerca a él. Particular-mente, podemos considerar el conjunto de todoslos infinitesimales, o sea, de todos los hiperrealesque están infnitamente cerca de cero. Esto es loque se denomina el átomo de cada real ordinario.

En otras palabras, siempre que a sea realordinario, se llama A(a), el átomo de a, todos los btales que a ≈ b, aunque algunos autores, entre ellos,el mismo Robinson, lo llaman la mónada de a. Comotodo hiperreal finito tiene una parte estándar, dichohiperreal pertenece al átomo de su parte estándar.La relación de pertenecer o no al mismo átomo, esuna relación de equivalencia por lo siguiente: esclaro que a ≈ a, por cuanto a - a = 0. Además, si a≈ b, a - b = a, a infinitesimal, luego b - a = - a,infinitesimal. Finalmente, si a - b = a y b - c = βentonces a - c = a - β, infinitesimal.

Como vemos, el átomo A(a) es el conjuntode todos los hiperreales finitos de la forma a + a ,donde a es real ordinario y α es infinitesimal. Por

8H.J.Keisler, Elementary Calculus, Prindle, Weber & Schmidt, Inc., 1976.

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consiguiente, como la distancia entre dos realesordinarios distintos no puede ser infinitesimal, susátomos tienen intersección vacía. Esto es un atri-buto único de los hiperreales, porque quiere decirque los átomos separan, en sentido estricto, a cadareal ordinario de otro. Recordemos que todos losinfinitesimales conforman el átomo de cero A(0).

Hay que ser cuidadoso con las operacionesentre infinitesimales. Por ejemplo, si N es infinito,los siguientes cuatro números son infinitesimales,

1

10

1

20

20

1

10

3N N

N

N N+≈

+≈

+≈

+≈, , ,

Si dividimos el primero por el segundo, obtene-mos un hiperreal muy cerca de 1,

,11

2

11

2 α+=+

++

=++

NN

N

N

N

mientras que si dividimos el tercero por el cuarto,obtenemos un infinitesimal:

N

N

++

≈1

20

3,

Se dice que las dos primeras cantidades tienenigual orden de magnitud, mientras que la tercera esde menor magnitud que la cuarta. Esta cuestióncrucial de comparación de cantidades está fueradel alcance del cálculo tradicional.

Conviene aquí hacer un comentario sobreun hecho inesperado en los hiperreales: se puedenexhibir conjuntos acotados que no tienen mínimascotas superiores ni máximas cotas inferiores. Porejemplo, el átomo de cualquier real ordinario. Así,el átomo de 0 está acotado superiormente por cual-quier real ordinario positivo, pero no existe el ma-yor de los infinitesimales, o el menor de los infini-tesimales, o algo por el estilo.

Esta situación inesperada, de poder com-parar magnitudes, nos lleva a preguntarnos si nohay un método que nos permita despreciar canti-dades de mayor orden en relación a otras cantida-des de orden menor, que es lo que a continuaciónvamos a demostrar.

El núcleo de un infinitesimal. Comparar infini-tesimales nos permite resolver definitivamente unode los más importantes problemas teóricos que en-frentaron -infructuosamente- los fundadores delcálculo: la eliminación de infinitesimales que com-parativamente son de orden mayor que otros.

Supongamos que tenemos el infinitesimal2αα + . Es deseable eliminar el segundo suman-

do, para lograr la identificación 2ααα +≡ . Y enefecto, esto es lo que hacían Leibniz y sus seguido-res, quienes declaraban que, en comparación conun infinitesimal, su orden cuadrático es "desprecia-ble". El criterio para saber cuando una cantidad eso no despreciable, lo podemos resolver satisfacto-riamente de la siguiente manera.

Sea A(0) el átomo de 0. Definamos allí la siguienterelación entre infinitesimales. Diremos que dos ele-mentos no nulos del átomo de cero son equivalen-tes si y sólo si el cociente de ambos está en el áto-mo de la unidad. En otras palabras,

δβαβα +=↔≅ 1 , donde δ es otro infinitesimal.

Esta es una relación de equivalencia porque

1=αα

. Además, si

δβα += 1

, el inverso es ηαβ += 1 .

Finalmente,

( )( ) ληδγβ

βα

γαη

γβδ

βα +=++==+=+= 111,1,1 .

La clase de equivalencia de cada infinitesimal αla denominaremos núcleo de a y la escribiremosN(α). Por supuesto, la clase del cero es el ceromismo. Dado un infinitesimal α, diremos que elinfinitesimal δ es despreciable comparado a si α+ δ pertenece a N(α). Por ejemplo, 2

3αα + es ele-

mento de N(α) porque αα

αα31

32

+=+ . Luego 2

3α

es despreciable comparado con α . Claro que el

núcleo de

23α

estás bastante lejos del núcleo de α,y un elemento de este núcleo tendría que ser, diga-

mos, el infinitesimal 7253 αα − . Por tanto, el segun-

do sumando es despreciable en relación con el pri-mero.

Como 0 es infinitesimal y α + 0 = α, esobvio que 0 es despreciable respecto a cualquierotro infinitesimal.

Podemos separar el átomo de cada real ordinarior distinto de cero en sus respectivos núcleos, su-mando a este real cada núcleo del átomo de cero. Osea, definimos N(r+α) = r + N(α). Así, podremosdecir que el real finito q +δ es despreciable compa-rado con el real finito p + α si tienen idéntica parteestándar p = q y δ es despreciable respecto a α.

La existencia de núcleos en un átomo tiene, ade-más, un sabor didáctico. Muchos podrían pensar

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que el átomo de cero es algo muy pequeño, pero elinterior del átomo, a su vez, se separa en toda unaconstelación de núcleos, uno por cada infinitesimal.

La regla de Leibniz. Uno de tantos ejemplosque nos puede ilustrar la aplicación de nuestrométodo, es la regla de Leibniz de la diferencial delproducto de dos funciones. Dado el producto yx× ,

si

dx

son infinitesimales, la diferencial,

( ) ( ) ( ) dydxxdyydxyxdyydxxyxd ×++=×−+×+=×

pero el infinitesimal dydx× es despreciable com-

parado con el infinitesimal

y

porque si

ambas funciones tienen derivada, el cociente

yd

porque r es real finito, luego es infinitesimal. Estopermite escribir al clásica fórmula

( ) xdyydxyxd +=×

La calculadora TI 92 plusy el cbr en la modelacióndel movimiento pendular

ÓSCAR ALBERTO NARVÁEZGUERRERO

MEN – UNIVERSIDAD DE NARIÑO –INEM PASTO

La introducción a la clase de matemáticas de lacalculadora TI 92 Plus y otros dispositivos, talescomo el CBR, están generando una nueva culturamatemática, caracterizar algunos rasgos de éstefenómeno educativo en la modelación del movimien-to pendular es el propósito central de la presenteinvestigación. El trabajo de los estudiantes permi-tió observar en la práctica los constitutivos delmarco teórico del Proyecto de Incorporación deNuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticasde Colombia, como son: Mediación Instrumental,Representaciones Ejecutables, Cognición Situada,Solución de Problemas, Fluidez Algorítmica y Flui-dez Conceptual.

El problema de investigación. ¿Cuáles son al-gunos aspectos fundamentales del uso de la calcu-ladora TI 92 Plus y el CBR en la modelación mate-mática de la oscilación de un péndulo?

Objetivo general. Identificar algunos rasgos im-portantes acerca del uso de la calculadora TI 92Plus y el CBR en la modelación matemática de laoscilación de un péndulo.

Metodología. La investigación fue de carácterCUALITATIVO ETNOGRÁFICO EN EDUCA-CIÓN. Por las características de los resultados esDESCRIPTIVA NORMAL.

Categorías y subcategorías. Éstas se formula-ron a partir de las 6 teorías que constituyen el Mar-co Teórico mencionado al inicio.

Actividades realizadas por los estudiantes. Losestudiantes realizaron básicamente tres tipos de ac-tividades: Primera. Debían articular el CBR y lacalculadora TI 92 plus, para obtener la representa-ción gráfica del movimiento pendular. Segunda.Resolver una guía de trabajo relacionada con elmovimiento pendular y sus representacionessemióticas. Tercera. Resolver un cuestionario com-plementario.

Conclusiones

Los resultados de la investigación ayudan a com-prender, caracterizar y ampliar los referentes teó-ricos que fundamentan el Proyecto de Incorpora-ción de Nuevas Tecnologías al Currículo de Mate-máticas. Es así como en lo relacionado con laMEDIACIÓN INSTRUMENTAL, se concluyeque sin la calculadora TI 92 Plus y el CBR, hubie-se sido casi imposible que estos estudiantes de 10ºgrado contextualizarán el modelo matemático aso-ciado al movimiento pendular. Las REPRESEN-TACIONES SEMIÓTICAS EJECUTABLES dela calculadora TI 92 Plus permitieron a los estu-diantes acceder y explorar estos objetos virtualesa fin de comprender el movimiento pendular y susmodelos matemáticos. El trabajo en equipo permi-tió caracterizar LA COGNICIÓN SITUADA, as-pectos como la motivación grupal, la sana compe-tencia, el respeto a los demás, entre otros fueronlos aspectos observados en la experiencia. LaZONA DE DESARROLLO PROXIMO formu-lada por Vigotsky, hizo su presencia en todos losinstantes de la experiencia: Los estudiantes alcan-zan un alto grado motivacional y de conflictocognitivo, ingredientes que favorecen el aprendi-zaje si el docente en su calidad de “experto”, comolo manifiesta Vigotsky, aprovecha esta situación para

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Alternativas emergentespara una mejor comprensiónde la práctica pedagógicadel profesor de matemáticas

DIANA JARAMILLOUNICAMP-BRASIL

Resumen

Comprender la práctica pedagógica de los pro-fesores que enseñan Matemáticas está convirtién-dose en un tema de fundamental interés para laEducación Matemática como área de conocimien-to, específicamente en lo que se refiere a la forma-ción inicial y continuada de profesores de esta dis-ciplina. Mas, se trata de una compresión de la prác-tica pedagógica que transgrida el paradigma deformación de profesores que, en muchos casos, aúnatiende al modelo de la racionalidad técnica. Esemodelo, generalmente, hace que la relación entrela <<formación>> recibida por el profesor y la prác-tica pedagógica que él desarrolla se constituya enuna dicotomía. En esta dicotomía, de un lado, es-tán las instituciones que <<forman>> al docente,

con sus discursos, sus teorías y sus prácticas y, deotro lado, está la escuela y la práctica pedagógicade ese docente. Así, procurando esa transgresión,diferentes alternativas se vienen investigando enun ámbito internacional. Alternativas que retomanla experiencia y los saberes producidos por el pro-fesor a lo largo de su vida personal y profesional.Alternativas que he llamado de emergentes, masellas no necesariamente son nuevas o desconoci-das para los profesores de Matemáticas e investi-gadores en Educación Matemática, talvez lo quepuede estar siendo todavía desconocido es la po-tencialidad de estas alternativas en los procesos deformación inicial y continuada de los profesores queenseñan Matemática. Estas alternativas, ademásde ayudar en la comprensión de la práctica peda-gógica, con certeza, contribuyen también para queel profesor se sienta sujeto protagónico de su pro-pia práctica pedagógica y al mismo tiempo produc-tor – no mero consumidor – de saberes dirigidos asu profesión. Alternativas que pueden tambiénconvertirse en instrumentos que posibiliten unapráctica pedagógica reflexiva e investigativa delprofesor. En esta conferencia pretendo presentary ejemplificar algunas de estas alternativas emer-gentes. Destaco, entre otras: las autobiografías;la lectura, el análisis y la discusión de textos; elanálisis de episodios o casos; los diarios reflexivosy los textos escritos o narrativas.

lograr que sus estudiantes se apropien de las ideasy conceptos matemáticos objeto de estudio. Indu-dablemente que el desarrollo de la experiencia per-mitió que los estudiantes plantearan y pusieran enpráctica las diferentes estrategias propias de LASOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Formulación yverificación de hipótesis y soluciones. La compren-sión y ejecución de instrucciones escritas con el finde hacer una correcta toma de datos por medio delCBR y la calculadora TI 92 Plus, ponen en escena-rio la FLUIDEZ ALGORÍTMICA que poseen losestudiantes. La experiencia permitió observar dife-rentes niveles de logro en lo concerniente a la flui-dez conceptual: Comprensión del movimiento pen-dular, tanto en sus causas como en sus efectos, com-prensión de la relación entre el modelo físico y susdiferentes representaciones semióticas (numéricas,gráficas, algebraicas). Se identificó una escasa ela-boración conceptual de tópicos tales como: Varia-bles, clases de proporcionalidad, cambio de escalas,

sistemas de unidades de medida, entre otros. Otroaspecto donde se observan deficiencias es en lo co-municativo, tanto en forma verbal, como escrita. Eluso de la calculadora TI 92 Plus y el CBR permitie-ron que los estudiantes contextualizaran el conceptode funciones trigonométricas en una situación coti-diana, como es el movimiento de un péndulo.

Referencias bibliográficas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (2002). Semi-nario Nacional de Formación de Docentes: Uso de NuevasTecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá: MEN.

TEXAS INSTRUMENTS INCORPORATED (1977). Concep-tos Básicos del CBR.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (2003).Estándares Básicos de Calidad. Matemáticas. Material Foto-copiado. Bogotá.

NCTM (1992). Estándares Curriculares y de Evaluación parala Educación Matemática. Traducción de la Edición en Caste-llano: Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES.

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Las situaciones problema:Estrategia para la implemen-tación de los estándares bá-sicos de matemáticas en elcurrículo de matemáticas

GILBERTO OBANDO ZAPATAUNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

En este momento la educación matemática en elpaís se encuentra cruzando por un período críticocaracterizado por transformaciones fruto de la im-plementación de las políticas del Ministerio de Edu-cación Nacional. Una de ellas, relacionada con losestándares básicos de matemáticas, son punto neu-rálgico para el sistema educativo en general. Suimplementación en las instituciones educativas delpaís deberá generar espacios de reflexión, debate,análisis, confrontación, etc., a partir de los cualesse introduzcan formas nuevas de comprender, im-plementar, evaluar y transformar el currículo de ma-temáticas de nuestro país.

Los estándares básicos de matemáticos, en tan-to que un conjunto de formulaciones que tienencomo meta normalizar el currículo, pero a la vez,dejando espacio para la libertad curricular de lasinstituciones, exigen del diseño de planes de estu-dio acordes con las necesidades institucionales, perocon pertinencia en el marco nacional propuesto porlos estándares.

Los estándares no pueden, ni deben, asumirsecomo una reforma curricular. Estos han sido con-cebidos sobre la base de los Lineamientos Curri-culares1 , y como tal, pretenden ser un elementodecisivo en la implementación de éstos en el siste-ma educativo colombiano. En esta perspectiva, unacompleta comprensión de la intención pedagógicade los estándares pasa por la comprensión de losplanteamientos presentes en los LineamientosCurriculares. Entre ellos, uno de gran importanciaes el relativo al del contexto como elemento fun-damental para recrear los conceptos matemáticosen el aula. Desde los Lineamientos curriculares sepropone que los contextos deben ser entendidoscomo espacios creados en el seno del aula de cla-se cuyo objetivo es permitir el desarrollo de la acti-vidad matemática en los alumnos.

Una manera de generar tales contextos es a tra-vés de las situaciones problema. Una situación pro-blema se puede interpretar como:

contexto de participación colectiva para el aprendizaje,en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos mismos,y con el profesor, a través del objeto de conocimiento,dinamizan su actividad matemática, generando procesosconducentes a la construcción de nuevos conocimientos.Así, ella debe permitir la acción, la exploración, lasistematización, la confrontación, el debate, la evaluación,la autoevaluación, la heteroevaluación. (MUNERA, J;OBANDO, G, 2003)

El diseño de situaciones problema en una clasede matemáticas implica poner en juego una seriede elementos teóricos y metodológicos a través delos cuales se logre el desarrollo de una estructuraen la que alumnos y profesores asumen responsa-bilidades diferentes, pero orientadas a un mismofin: la construcción conceptual por parte de los alum-nos de aquello que se les desea enseñar. Dichoselementos teóricos se pueden resumir en el siguienteesquema tomado el artículo antes mencionado.

1MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1998). Lineamientos curriculares,Matemáticas. Santafé de Bogotá.

Motivo Red Conceptual

Medios Mediadores

ACTIVIDADES:

Generadores de la actividad matemática del alumno: Elaboración de interrogantes,

formulación de hipótesis, desarrollo de planes de acción, validación y reformulación del trabajo, elaboración de generalizaciones,

INSTITUCIONALIZACIÓN

Responsabilidad del Alumno

Responsabilidad del Maestro

Responsabilidad del Maestro

Autonomía

Mecanismos internos de

Validación

Las situaciones problema, en tanto que integranredes conceptuales, y analizan las herramientasmetodológicas a través de las cuales diseñar pro-puestas de aula, se constituyen en una herramientaimportante para la implementación de los estándaresbásicos de matemáticas. Esta afirmación se en-tiende mejor si se analiza con cuidado dos hechosfundamentales de la estructura de los estándares.

En primer lugar, que el grupo de estándares deun determinado pensamiento matemático no pue-de analizarse aislado de los demás grupos deestándares de los otros pensamientos. Por tanto,una planeación curricular debe ser integradora delos pensamientos, y esto no puede lograrse si la

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planeación se realiza por temas con tiempos y es-pacios específicos a lo largo del año escolar.

En segundo lugar, que una situación problémicaen particular, propuesta para una red conceptualdeterminada, necesariamente implica puntos decontactos con otras redes conceptuales. Esto es,una planeación curricular realizada a través de si-tuaciones problémicas no puede aislar una estruc-tura conceptual de las matemáticas como si exis-tiera independiente del resto de la estructura con-ceptual de las matemáticas.

Así pues, en el marco de las ideas antes expues-tas las situaciones problema se muestran como unaalternativa conceptual y metodológica para la im-plementación de los estándares básicos de mate-

máticas. Por supuesto que esto plantea un reto fun-damental: ¿cómo lograr el diseño de situacionesproblema que sean fuente integradora de redesconceptuales, y por tanto, que permitan el desarro-llo e implementación de los estándares de una ma-nera armónica e integrada?. Un intento de respuestano es simple, ni inmediato, pero si positiva en tér-minos de las posibilidades de desarrollo de la edu-cación matemática del país.

Referencias bibliográficas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1998).Lineamientos curriculares, Matemáticas. Santafé de Bogotá: MEN.

OBANDO, G. y MÚNERA, J. (2003). Las situaciones proble-mas como estrategia para la conceptualización matemática.En: Revista educación y pedagogía. Vol. XV, Nº. 35, (enero-abril). Universidad de Antioquia, Facultad de Educación.

Tecnología Informática:Innovación en el Currículode Matemáticas de laEducación Básica Secundariay Media de Colombia

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBAHENRY URQUINA LLANOSMINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL

La conferencia gira en torno a los resultados al-canzados en el proceso de implementación nacionaldel proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologíasal Currículo de Matemáticas de la Educación Bási-ca Secundaria y Media de Colombia”, que el Minis-terio de Educación nacional vienen impulsando en elpaís con el apoyo permanente de 23 Universidades.

Comprende tres aspectos fundamentales:

• Inicia con una ubicación concisa de los antece-dentes, propósitos, naturaleza y estructura bási-ca del proyecto.

• Continúa con el planteamiento de los logros y avan-ces relevantes alcanzados en su proceso deimplementación, como un aporte significativo almejoramiento de la calidad de la educación mate-mática colombiana con mediación de nuevos sis-temas computacionales gráficos y algebraicos y,

• Finaliza, con el planteamiento de algunas pers-pectivas del proyecto en el contexto de la Re-volución educativa, especialmente en lo relativoa la política nacional de calidad y el programade fomento de nuevas tecnologías para el mejo-ramiento de competencias.

Los resultados que se colocan a consideraciónde la comunidad nacional, son producto de los apor-tes y registros hechos por todos los participantesdel proyecto en el país, evidenciados en los proce-sos de monitoreo, asesoría y acompañamiento pre-sencial y virtual. Se han consolidado a través de laarticulación y comprensión sistemática de los in-formes periódicos de los maestros, de las respues-tas a sondeos aplicados en distintos momentos delproceso de implementación, de las evaluaciones delos procesos de formación y actualización en elmanejo técnico y el uso pedagógico y didáctica denuevas tecnologías en la educación matemática, yde los reportes escritos y en video de algunas ex-periencias de aula con tecnología.

El impulso que el proyecto viene dando al mejo-ramiento de la calidad de la educación matemáticadel país aprovechando el potencial de las nuevastecnologías computacionales gráficas y algebrai-cas, constituye evidencia significativa de su aporteal establecimiento una nueva cultura informáticaen la sociedad colombiana.

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Los procesos en lapropuesta de estándaresbásicos de calidad

MYRIAM ACEVEDO CAICEDOUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

Los Estándares Básicos de Calidad del área dematemáticas, propuestos y publicados por el MENen el primer semestre de este año, reflejan el enfo-quen de los Lineamientos Curriculares (MEN,1998) en el sentido de organizar el currículo rela-cionando: procesos generales (razonamiento, reso-lución de problemas y comunicación), conocimien-tos básicos (orientación conceptual que debe tenerel currículo, que parte de reconocer no sólo las re-laciones entre conceptos asociados a un mismopensamiento, sino las relaciones con conceptos deotros pensamientos) . En el documento deestándares de calidad no se proponen pues estoselementos aislados sino que se retoma la idea delos lineamientos de considerar como un eje los pro-cesos cognitivos de los estudiantes cuando se en-frentan en su actividad matemática a la construc-ción y uso no sólo de tópicos matemáticos especí-ficos sino de los sistemas simbólicos y de repre-sentación característicos del conocimiento mate-mático.

En este sentido si se realiza un análisis cui-

dadoso de los estándares propuestos se pueden

evidenciar distintos niveles de complejidad con-

ceptual a través de la relación entre: procesos -conocimientos básicos - contextos. A medida quese avanza en los grupos de grados de la básica, lacomplejidad no se percibe exclusivamente en as-pectos formales de la disciplina, sino en el tipo deprocesos cognitivos que los estudiantes deberíanestar en capacidad de realizar. Pero además, en lamedida que los estudiantes disponen de mejorescomprensiones conceptuales, y desarrollan proce-sos de mayor complejidad están en capacidad deenfrentar situaciones de mayor nivel de abstrac-ción, esto es, los contextos dentro de los cualespueden desplegar su actividad matemática reflejanasí mismo mayores niveles de complejidad. Losprocesos se desarrollan pues gradual e

NIVEL ESTÁNDARES PENSAMIENTO VARIACIONAL

De 1 a 3 Describir cualitativamente situaciones de cambio y varia

ción utilizando el lenguaje natural y gráfico.

De 4 a 5 Predecir patrones de variación en una secuencia numérica.

Representar y relacionar patrones numéricos con tablas y

reglas verbales.

De 6 a 7 Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en

contextos aritméticos y Geométricos.

De 8 a 9 Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.

integradamente, con niveles de complejidad cre-ciente. En el siguiente ejemplo se aprecia la men-cionada relación y la diferenciación de los niveles:

En los estándares que se presentan en la tablase pueden reconocen también algunos aspectos quese discuten en los Lineamientos cuando se describeun proceso el de razonamiento, son ellos: formu-lar hipótesis, hacer conjeturas, usar hechos conoci-dos y propiedades, identificar patrones y expresarlosmatemáticamente, pero estos en la propuesta actualaparecen no solo ligados a otros procesos (comuni-cación y modelación) sino a los conocimientos bási-cos (variación, proporcionalidad, función) y a loscontextos y formas de representación.

En esta conferencia presentaré un análisis deldocumento de Estándares de Calidad desde la pers-pectiva mencionada, intentando describir mas am-pliamente los procesos que allí se consideran y di-ferenciando los niveles según grupos de grados.

Referencias bibliográfica

ACEVEDO M, GARCÍA, G. La evaluación de las competenciasen Matemáticas y el currículo: un problema de coherencia yconsistencia. EN: Competencias y Proyecto pedagógico. Uni-versidad nacional de Colombia. Unilibros. 2.000.

ACEVEDO M, La evaluación en el aula de Matemáticas. EN:Trazas y Miradas. Universidad Nacional de Colombia. Unilibros.2.003

ASOCOLME Estándares Curriculares-Área Matemáticas: Apor-tes para el análisis. Bogotá: ASOCOLME-Gaia. 2002.

MEN, Matemáticas. Lineamientos Curriculares. Áreas Obliga-torias y Fundamentales. Bogotá: Cooperativa Editorial Magis-terio. 1998.

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CAPÍTULO II

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JORGE CASTAÑO GARCÍA

En general en las prácticas de enseñanza de lamatemática, la acción de resolver problemas es unatarea común. Fridman afirma que la habilidad pararesolver problemas constituye uno de los principalesexponentes del nivel de desarrollo matemático queel alumno ha alcanzado y de la profundidad con laque ha logrado asimilar el material de enseñanza; élafirma que “ no en balde cualquier examen de ma-temática, cualquier evaluación de conocimientos,contiene como parte principal y, principalmente, comola más difícil una sección de problemas “(1989).

Si bien la actividad de resolución de problemasen la enseñanza y el aprendizaje de la matemáticano es nueva, es necesario reconocer que el cono-cimiento acumulado en últimos cincuenta años, so-bre el proceso de resolución de problemas en ge-neral y en particular de las matemáticas ha deriva-do cambios en las practicas de enseñanza, aunqueno tan generalizados como se quisiera. Todavía seve en libros de textos y en prácticas escolares quelos alumnos tienen que limitarse a aprenderalgoritmos de las operaciones y manejos de forma-lismos de las mismas, antes de que puedan apro-piarse de significados ligados a contenidos menosabstractos y relacionados con contextos conocidosque las hagan compresibles. Cada vez es mayor elconsenso en educación matemática alrededor de

La enseñanza de estrategiasde resolución de problemasaritméticos. Sus posibilida-des y limitaciones

la idea de promover la construcción de conceptosmatemáticos en el marco de resolución de verda-deros problemas y de promover niveles de com-prensiones de los estudiantes que les permita exhi-bir desempeño flexibles que los hagan capaces deresolver problemas con cierto nivel de novedad, encuanto contenido y forma , con relación a los quese trabajan en las condiciones de enseñanza.

Al revisar un poco en la historia de la enseñanzade resolución de problemas en matemática, se pue-den delinear algunas tendencias “Hasta el día dehoy el único método de enseñanza que se conoceen efecto, ha consistido en mostrar a los estudian-tes los métodos para resolver determinados tipo deproblemas y hacer una gran cantidad de ejerciciosque en ocasiones son extenuantes, a fin de domi-nar dichos métodos” (Fridman). A lado de esta ten-dencia, poco a poco, en parte con los aportes delas investigación en cognición y en parte en de losderivados de la investigación en didáctica de la ma-temática, se ha ido configurando una segunda ten-dencia, que podría, en un primera distinción, carac-terizarse como la enseñanza de estrategia de reso-lución de problemas: Esta tendencia se empieza adelinear muy especialmente a partir de los trabajosde Polya alrededor de la mitad del siglo pasado, yde los avances de la psicología y de la inteligenciaartificial. Estos trabajos han dado lugar a propues-tas en las que se busca la enseñanza explícita deestrategias de resolución de problemas: se asumeque un sujeto no se vuelve más capaz de resolverproblemas por el simple hecho de ejercitarse en suresolución, sino que dado que se pueden identificarunas estrategias que se ponen en juego cuando unapersona resuelve un problema , estas estrategiasson enseñables y hacerlo permite a los estudiantesser más eficientes como resolutores de problemas.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

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Aunque este argumento de la enseñanza de es-trategias para resolver problemas a primera vistaparece razonable y deseable, conviene tomar pre-cauciones. La tesis que sostendrá y desarrollaráen el curso es que en este caso sucede como sueleocurrir cuando una persona intenta comprender unhecho cualquiera: esta comprensión no va más alláde lo que está en condiciones de comprender; deforma más precisa, no va allá de lo que el pensa-miento de quien intenta comprender se lo permite.De manera que una estrategia particular de reso-lución de problemas será aprendida de manera com-prensiva por parte de un alumno, si el pensamientodel alumno está en un nivel tal que le posibilita apren-derlo comprensivamente-

En términos gruesos podemos distinguir dos ten-dencias que orientan la investigación sobre resolu-ción de problemas. Una que considera el procesode resolución de problemas determinado por capa-cidades de tipo general, más o menos independien-te del dominio en el que se formula el problema; lostrabajos de Polya se pueden ubicar en este senti-do. Otra tendencia considera que no existen pro-cesos generales para resolver problemas, que másbien éstos están ligados a dominios específicos, enesta dirección podrían ubicarse los estudios del tipoexpertos-novatos.

La pretensión de la utilidad práctica de los resul-tados de las investigaciones sobre resolución de

JORGE RODRÍGUEZ BEJARANO

El trabajo consituaciones problemaComunicación/interdisciplinariedad/democracia

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Presentación

La reconceptualización del Examen de Estado,que a partir del año 2000 tiene la intención de enfa-tizar la evaluación de competencias interpretativa,argumentativa y propositiva, en otras palabras, eva-

problemas en el campo de la enseñanza, no es tanclara, como parece a primera vista y es puesta encuestión , por algunos autores. “Tanto las investi-gaciones sobre la actuación de expertos y novatoscomo otros trabajos sobre solución de problemasparecen indicar que los procedimientos utilizadospara solucionar problemas dependen tanto del tipode conocimientos que poseen los sujetos como delas características del contenido al que se aplica “(Pérez y Pozo. 1994). Estos mismos autores afir-man “puede que instruir a un estudiante para quedivida un problema en subproblemas no sea muyútil, debido a que este estudiante no sabe cómo debeutilizar esta estrategia en ese problema. Nickerson, Perkins y Smith (1985) señalan que la enseñanzade las estrategias, aunque es deseable y puedenproducir efectos positivos, se encuentran con dostipos de problemas. Una que es difícil saber cuan-do estas estrategias sirven para resolver un tipo deproblema determinado y otra, que no pueden ser losuficientemente concretas para su realización den-tro de un terreno poco familiar.

En el curso se hará una revisión crítica de lasinvestigaciones realizadas de los procesos cogniti-vos al resolver problemas cierto tipo de problemasmatemático y del enfoque de resolución de proble-mas, con el fin de identificar posibilidades y limita-ciones y de inferir formas apropiadas de interven-ción pedagógica.

luar lo que los estudiantes saben hacer con loque saben, distanciándose de la perspectiva ante-rior: evaluar lo que los estudiantes saben, desen-cadenó entre muchos académicos colombianos uninterés reflexivo y crítico importante en torno a laidea de competencias, interés que tocó en lo fun-damental dos aspectos: la idea misma de compe-tencias y la evaluación de competencias.

Sin embargo, el aspecto concerniente a procesosde formación a través de lo cuales contribuir aldesarrollo de competencias, aún no ha sido abor-dado suficientemente: en la literatura que circulaen torno al tema de las competencias, es muy pocala producción académica orientada a formular pro-puestas de formación orientadas hacia el aspectodestacado arriba.

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Por otra parte, el interés de profesores(as) y di-rectivos de instituciones escolares ha ido crecien-do cada vez más: en un momento inicial, motivadapor los “bajos” resultados obtenidos en general porlos estudiantes de grado 11, surgió una gran pre-ocupación en las instituciones educativas escolarespor adelantar procesos de preparación de sus estu-diantes para que pudieran enfrentar el Examen deEstado con más éxito, preocupación que ha ido cam-biando, como era de esperarse, a una más orientadaa los procesos de formación. Es decir, consciente, oinconscientemente, se está pensando en superar elproblema de la no correspondencia entre los proce-sos de formación usuales y la evaluación de compe-tencias a través del Examen de Estado.

Objetivo General

Contribuir a la reflexión en torno a la idea de com-petencias, desde la perspectiva de los procesos deformación en Educación Básica y Media, y acercarla distancia entre estos, y la evaluación universal através del Examen de Estado, mostrando que desdeella es posible contribuir no solo al desarrollo de com-petencias en matemáticas, lo que conlleva construc-ción, en el uso, de conocimiento matemático esco-lar, sino también a la formación de valores demo-cráticos, y a la integración curricular de las distintasáreas de conocimiento tratadas en el ámbito esco-lar, es decir, a la interdisciplinariedad en la escuela.

Objetivos específicos• Poner en consideración de la comunidad educa-

tiva asistente al Quinto Encuentro Colombianode Matemática educativa, una propuesta de tra-bajo de aula (Álvarez, O et al, 2001), desarrolla-da en el espacio de la Especialización en Educa-ción Matemática ofrecida por la Universidad Dis-trital en la Universidad de Sucre, en convenio conella. Propuesta que está siendo validada en elColegio Antonio Lenis de Sincelejo, en el marcode una investigación para tal fin, avalada y finan-ciada por la Universidad de Sucre (Escorcia, J.et all, 2003. En desarrollo), y fue utilizada paramostrar que el tipo de trabajo sugerido en ella,contribuye a la formación de valores democráti-cos (Ortiz, F Perafán, B. y. 2003).

• Responder a las expectativas de quienes asis-tieron al IV encuentro, y participaron de un cur-so similar, pero en el que se enfatizó la evalua-

ción de competencias, y en él que se “prome-tió”, por la inquietud surgida en el curso, pasar aconsiderar los procesos de formación, susten-tados en los dos trabajos relacionados en 1., quepor la época de la IV reunión se encontrabanen desarrollo.

• Contribuir a la formación de profesores de Edu-cación Básica y Media, a través de un trabajoteórico y práctico que pretende mostrar la posi-bilidad de desarrollo de competencias en el tra-bajo de aula, con base en el abordaje de situa-ciones problema.

Sesiones del curso1. Primera sesión: Se abordará la sustentación teó-

rica de la propuesta de trabajo de aula, y la pre-sentación propiamente dicha de ella.

2. Segunda sesión: Se propondrá una situación pro-blema a los asistentes, concebida para el con-texto del Encuentro.

3. Tercera sesión: con base en la situación proble-ma atrás aludida, abordar la reflexión en torno alas múltiples y diversas posibilidades de forma-ción escolar a través de la propuesta de trabajoen el aula en consideración.

Referencias bibliográficas

ÁLVAREZ, O. et al. (2001). Las situaciones problema, undinamizador para el trabajo de aula orientado al desarrollo decompetencias comunicativas en matemáticas. Trabajo de Gra-do (Especialización en Educación Matemática). UniversidadDistrital Francisco José de Caldas/ Universidad de Sucre. BogotᤠSincelejo.

ORTIZ, F. y PREAFÁN, B. (2003). El trabajo con situacionesproblema como posibilidad para contribuir al desarrollo devalores democráticos en el aula de matemáticas. Trabajo degrado (Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemá-ticas). Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá.

HERNÁNDEZ, C. et al. (1998). Exámenes de estado: Unapropuesta de evaluación por competencias. Serie investigacióny evaluación educativa. Bogotá: ICFES.

DEWEY, J. (1995). Democracia y educación. Madrid: Morata.

MATURANA, H. (1994). La democracia es una obra de arte.Bogotá: Magisterio.

DOMÍNGUEZ, I. et al (1999). Evaluación de competencias enmatemáticas a través de la resolución de problemas (Trabajo deGrado Especialización en Educación Matemática). UniversidadDistrital Francisco José de Caldas/Universidad de Sucre. Bogotá/Sincelejo.

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El objetivo del curso es socializar y propiciar unaespacio de reflexión a los profesores de matemáti-cas de la Educación Básica, en torno a los princi-pios que subyacen en la formulación de losEstándares con la finalidad de orientar su articula-ción y pertinencia como marco de referencia enlos proyectos educativos institucionales.

Para lograr este objetivo, el desarrollo del cursose organiza en las siguientes tres fases:

Sentido y potencialidadde los estándares básicosde matemáticas

GLORIA GARCÍA O.UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

Estándares de pensamientovariacional y currículo deálgebra en la escuela

• Presentación y discusión de los principios queorientan la formulación de los Estándares Bási-cos para el área de Matemáticas.

• Presentar un taller sobre la coherencia horizon-tal y vertical de los Estándares, elaborando unestudio de caso para uno de los Estándares, parapropiciar la discusión sobre posibles planes deorganización en los currículos institucionales yplanes de aula.

• Identificar y producir posibles contextos deaprendizaje, en torno a un Estándar, en relacióncon criterios y procesos de evaluación

Se trabajará con el documento de Estándares Bá-sicos de Matemáticas, publicados por el Ministeriode Educación Nacional, como material de apoyo.

La Ley General de Educación - Ley 115 de 1994-instaura la autonomía escolar y flexibilidad curricularen las instituciones educativas del país. Esta auto-nomía se materializa en lo particular y propio decada Proyecto Educativo Institucional que deberesponder a situaciones y necesidades de la comu-nidad educativa local y nacional. La flexibilidadcurricular se convierte así, en la vía de acceso a uncurrículo que oriente el quehacer académico,viabilice la innovación y adaptación a las caracte-rísticas propias del entorno de la institución. Sinembargo, esta autonomía y flexibilidad son condi-cionadas a los fines de la educación y a pautascurriculares emanadas por el Ministerio de Educa-ción Nacional con el fin de construir elementosimportantes de una identidad nacional.

Entre los lineamientos generales de los procesoscurriculares que el Ministerio ha promulgado tene-

mos: Los indicadores de logro para los diferentesniveles de escolaridad en las distintas áreas delconocimiento y de la formación; los lineamientoscurriculares de las áreas básicas y, en los últimosmeses, los estándares básicos de calidad. Es decirque, en la actualidad, respecto al área de Matemá-ticas se cuenta con elementos teóricos y metodo-lógicos, expresados en estos lineamientos, que sir-ven de base para los diseños y desarrolloscurriculares de las instituciones escolares del país.

Teniendo en cuenta lo anterior, reconocemos elpapel protagónico de la institución escolar en el di-seño y desarrollo de sus propios currículos, la res-ponsabilidad de los integrantes de la comunidad edu-cativa, en este proceso y la existencia de elementosdirectrices para el diseño e implementación curricularen matemáticas. Al Grupo de Álgebra, quien desa-rrolla el proyecto Iniciación al álgebra escolar.Actividades funcionales, de generalización ymodelación1 , nos interesa acompañar a los maes-tros de matemáticas, agentes motores de esa comu-nidad educativa, en la reflexión sobre el diseño eimplementación del currículo en Matemáticas, pun-tualmente el currículo de álgebra.

LIGIA AMPARO TORRES R.ROCÍO MALAGÓN P.LUZ EDITH VALOYES.

UNIVERSIDAD DEL VALLE

1 Proyecto aprobado por COLCIENCIAS en la línea de investigación de Didáctica de lasmatemáticas del Grupo de Educación Matemática de la Universidad del valle

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Estas reflexiones se abordaran desde un cursocorto, a realizarse en el marco 5° Encuentro co-lombiano de matemática educativa, coordinado porASOCOLME. Curso que ubica elementos impor-tantes sobre la generación de ambientes de forma-ción que den cuenta de aprendizajes significativosy funcionales del álgebra y del desarrollo del pen-samiento variacional, lo que presupone, reconocerlos cambios esenciales para ver lo curricular másallá de una lista de contenidos y parcelación de estosen el tiempo escolar y, reflexionar sobre algunosaspectos epistemológicos y didácticos del álgebraque cohesionan el currículo propuesto y las practi-cas en el aula.

Este curso, pretende ser, por lo tanto, uno de losespacios de reflexión colectiva a partir de los cua-les los maestros puedan no sólo generar diseñoscurriculares pertinentes y coherentes, sino que pue-dan apropiarse de elementos para operativizar di-chos diseños, procurando dar respuesta a la ten-sión entre teoría y práctica.

Abordar aspectos histórico epistemológicos delálgebra que permitan deliberar acerca de la cons-trucción histórica de la variación y de los sistemasanalíticos de tal forma que se caracterice la distan-cia entre dicha construcción y la manera como sonreelaborados para su inclusión en el currículo, esun elemento fundamental, ya que, por un lado, di-buja la distancia entre las matemáticas como disci-plina y las matemáticas escolares; por otro lado,pone en juego las distintas concepciones de losmaestros respecto de los objetos que se conside-ran propios de este campo especifico del saber ysus prácticas pedagógicas.

Conceptos articuladores, como los de variación,variable, función, ecuación etc. y ejes temáticos,como cambio-variación y medida, cambio-variacióny número, función- ecuación y dependencia etc. so-portan la construcción del pensamiento variacionaly es necesario explicitarlos en el currículo, comotambién, los distintos dispositivos a través de los cua-les se posibilita en la escuela su desarrollo. Este ele-mento es objeto de trabajo en el curso propuesto ypara lograr tal cometido se establecen relacionesentre estos aspectos conceptuales y los otros com-ponentes organizadores del currículo, como son loscontextos y procesos. Por ejemplo, La organizacióny estudio de la variación en contextos de dependen-cia, identificada a través de procesos de observa-ción y medición y descrita mediante diferentes re-

gistros de representación, como los enunciados ver-bales, las representaciones tabulares, gráficascartesianas o sagitales, representaciones pictóricase icónicas, fórmulas y expresiones analíticas.

Además, se considera que el estudio de la varia-ción y el cambio debe iniciarse desde la educaciónbásica primaria, lo que presupone una postura di-dáctica que cohesiona el diseño curricular y deter-mina otros conceptos como relevantes en la cons-trucción de la variación, desde estos cursos inicia-les, como los de magnitud, proporcionalidad y el usode contextos y procesos adecuados a estos niveles.

En síntesis, nos interesa, generar elementos dereflexión en torno a los criterios de organización,planeación, ejecución y evaluación de los conteni-dos, procesos y contextos algebraicos en una es-tructura curricular, teniendo en cuenta conceptosarticuladores, ejes temáticos y campos problemáti-cos en la relación pensamiento variacional y álge-bra. También, examinar los procesos de variación,modelación, y generalización presentes en la acti-vidad algebraica en la escuela, conjugado esto conla valoración de los diversos contextos, tanto ma-temáticos, cotidianos y de otras disciplinas en lasignificación de los objetos algebraicos.

Conjugar lo anterior en el quehacer pedagógico esposible a través de situaciones problemas que sematerializan en proyectos de aula, situaciones didác-ticas o actividades integradoras de aspectos de losdistintos pensamientos – numérico, métrico,variacional, geométrico, aleatorio -. Por ello, el tra-bajo del curso centra su atención en el estudio de lascondiciones escolares propias para el desarrollo delpensamiento variacional, en particular, la caracteri-zación de las actividades que movilizan el aprendi-zaje del álgebra a través de situaciones funcionales,de generalización y modelación en la construcciónde objetos algebraicos. Es en este último aspectodonde podemos compartir, con mayor solidez, con lacomunidad de educadores matemáticos del país ylos docentes de matemáticas, en general, nuestrosresultados de la investigación que adelantamos.

Curso

Primera sesión:

1. Estándares de pensamiento variacional ylineamientos curriculares de matemáticas.

2. Hacia una estructura curricular en matemáti-cas. Álgebra y pensamiento variacional:

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• Conceptos articuladores.

• Ejes temáticos – Campos problemáticos.

• Variación

• Modelación

• Generalización.

Segunda sesión:

1. Análisis de algunas situaciones funcionales, degeneralización y modelación.

2. Plenaria.

Referencias bibliográficas

FILLOY, E. (1998). Aspectos teóricos del álgebra educativa.México: Iberoamericana.

GALLARDO, A. ROJANO, T.(1988). Áreas de dificultad enal adquisición del lenguaje aritmético - algebraico. In:Recherches en didactique des mathematiques, Vol. 9, Nº 2, pp.155, 188.

GRUPO AZARQUIEL. (1993). Ideas y actividades para ense-ñar el álgebra. Madrid: Síntesis.

JANVIER, C. (1996). Modeling and the initiation into álge-bra. In: BEDNARZ, N., KIERAN, C. and LEE, L.(Eds.)Aproaches to Álgebra. Perspectives for Research and Teaching,pp. 225, 236, Mathematics Education Library. Dordrecht –Boston – London: Kluwer.

KIERAN, C. Y FILLOY, E.,(1989), El aprendizaje del álgebraescolar desde una perspectiva psicológica, Enseñanza de lasciencias, Vol. 7, pp. 229,240.

LEE, L.,(1996). An Initiation into algebraic culture throughgeneralization activities. In: BEDNARZ, N., KIERAN, C. andLEE, L.(Eds.). Aproaches to Álgebra. Perspectives for Researchand Teaching, pp.87, 106, Mathematics Education Library.Dordrecht – Boston – London: Kluwer.

MASON, J., (1996). Expressing generality and roots of algebra.In: BEDNARZ, N., KIERAN, C. and LEE, L.(Eds.) Aproachesto Álgebra. Perspectives for Research and Teaching, pp. 65,86,Mathematics Education Library. Dordrecht – Boston – London:Kluwer.

MASON, J. y Otros (1999). Rutas hacia el / Raíces del Álge-bra [traducción al castellano: Cecilia Agudelo] Tunja: Univer-sidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.

NEMIROVSKY, R., (1996). Mathematical narratives,modelling, and algebra. In BEDNARZ, N., KIERAN, C. andLEE, L.(Eds.) Aproaches to Álgebra. Perspectives for Researchand Teaching, pp.197,220, Mathematics Education Library.Dordrecht – Boston – London: Kluwer.

RADFORD, L., (1996), Some reflections on teaching algebrathrough generalization; In: Bednarz, N., Kieran, C. Y Lee,L.(Eds.) Aproaches to Álgebra. Perspectives for Research andTeaching, pp.107,114, Mathematics Education Library. KluwerAcademic Publishers. Dordrecht – Boston – London.

SFARD, A. (1991). On the dual nature of mathematicalconceptions: Refletions on proceses and objects as differentsides of the same coin. Educational Studies in Mathematics,Vol. 22, pp.1, 36.

SOCAS, M. Y Otros (1989). Iniciación al álgebra. Madrid:Síntesis.

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RODOLFO VERGEL C.LUZ MARINA CASALLAS

(Estudiantes Maestría en Docenciade la Matemática U.P.N.)

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REPUBLICANA

I.E.D. CHUNIZA - BOGOTÁ

Perspectiva socio-culturalen el desarrollo de lacompetencia multiplicativa

CAPÍTULO III

TALLERES

El taller emana de las discusiones, reflexiones y

avances conceptuales generados al interior del gru-

po de investigación que indaga por los “Modelos y

Prácticas Evaluativas de las Matemáticas en la Edu-

cación Básica: El caso del Campo Multiplicativo”,

proyecto financiado por Colciencias y la Universi-

dad Pedagógica Nacional (Código 1108-11-11328).

El espacio está dirigido a profesores de matemáti-

cas de la educación básica primaria y pretende, fun-

damentalmente, generar la reflexión en torno a la

complejidad conceptual de los conceptos de multi-

plicación y división, complejidad que se manifiesta,

por un lado, cuando estas operaciones se examinan

no desde la perspectiva del cómputo sino desde cómo

ellas pueden modelar situaciones (Greer, 1992;

Freudenthal, citado por Puig, 2000). En este senti-

do, se reconoce que si bien la multiplicación, en tan-

to relación cuaternaria (Vergnaud, 2000), pertenece

al dominio de la experiencia del niño en situaciones

de compra, en contextos aritméticos, este dominio

se complejiza cuando el contexto, además de abor-

dar distintos tipos de números, incorpora otros do-

minios como la geometría, medición, probabilidad,

estadística, biología, química, física, ingeniería, en-

tre otros. Por otro lado, la complejidad también se

evidencia cuando el análisis del concepto de multi-

plicación pone de manifiesto las relaciones lógicas

entre éste y conceptos como división, razón, pro-

porción, proporcionalidad, función lineal,...

1 La teoría de los Campos Conceptuales, al decir de García (2003), emerge como categoríaepistémica rica que incluye tanto la componente situacional, como los elementosactuativos y discursivos. La noción debilita los objetivos inmediatistas, por cuanto deentrada señala, que el proceso de aprendizaje y el desarrollo de competencias aditivaso multiplicativas, es un proceso largo, y en este, las competencias se tornan cada vezmás complejas. Este desarrollo de competencias, por ejemplo multiplicativas, estánreguladas por el contrato didáctico (Brousseau, 1986), más específicamente, las cláusulasdel contrato didáctico están estrechamente ligadas a las características específicas dela organización de los contenidos matemáticos y organizan las relaciones que alumnosy enseñantes mantienen con el saber.

Los resultados de investigación cognitiva de algu-

na manera cuestionan la forma como se presentan

en el currículo los conceptos matemáticos (como

conceptos atomizados), además que aportan para

rupturar la idea que la adquisición de conceptos pue-

de continuar siendo considerada lineal y que es asunto

de presentarlos como listado de temas. Es en esta

dirección que se plantearán distintas actividades so-

bre situaciones ligadas a distintos contextos que son

modeladas por la multiplicación y que serán objeto

de trabajo con los maestros de la básica primaria

con el ánimo de mostrar cómo Vergnaud (1993) con

su teoría de los Campos Conceptuales1 logra supe-

rar la tradicional atomización que de los conceptos

matemáticos se hace en el currículo.

Referencias bibliográficas

BROUSSEAU, G. (1986). Fundamentos y métodos de la Didác-tica de las Matemáticas. En: Recherches en Didactique desMathèmatiques, Vol 7, No. 2, pp. 33-115.

GREER, B. (1992). La Multiplicación y la División como Mo-delos de Situaciones. En D. GROUWS (Eds). Handbook ofresearhc on mathematics teaching and learning Macmillan: N.Y. Pg vii-xxviii.

PUIG, L. (2000). Análisis fenomenológico. En: RICO, L.(Coord.). La Educación Matemática en la Educación Secunda-ria. 2º edición. Barcelona: Horsori.

VERGNAUD, G. (1993). La Teoría de los Campos Conceptuales. En:Lecturas en Didáctica de las Matemáticas Escuela Francesa. Sección deMatemática Educativa del CINVESTAV- IPN. México. Pg. 88-117.

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¿Qué hacer con las pruebasque usted tiene?:Herramientas parala reflexión

Los instrumentos de evaluación externa estánahora en manos de la comunidad educativa, espe-cíficamente las pruebas desarrolladas por el ICFES.Desde el año 2002 se llegó a concretar un procesode divulgación que ha llevado a pasar de la re-flexión en lo abstracto a la reflexión desde los ins-

JANNETH CARVAJALPATRICIA PEDRAZA

YULY MARSELA VANEGAS

trumentos mismos; sin duda este nuevo escenariocambia la perspectiva de trabajo. Por ello conside-ramos necesario profundizar en algunos elementosde la evaluación externa: las preguntas y su tras-fondo evaluativo: disciplinar y cognitivo. Con estetaller pretendemos, entonces construir colectivamen-te preguntas que corresponderían a la evaluacióndesde el saber hacer con lo que se sabe. En estaactividad se irán develando las conceptualizacionesy a su vez se hará un reconocimiento de la comple-jidad presente en la construcción de los instrumen-tos de evaluación que, esperamos, aporten a la cua-lificación de los procesos de evaluación de aula.De esta manera, consideramos sería el aporte des-de la evaluación externa a los procesos de forma-ción en la educación básica y media.

• Los LineamientosCurriculares paraMatemáticas y losIndicadores de Lo-gro Curriculares.

• Servirán como guía sobre los tópicos y temáticas a abordar en cada gradoy ciclo. Es necesario resaltar que de estos tópicos se abordaran aquellosque se consideren fundamentales para dar cuenta de las competenciasen matemáticas, durante la formación básica y media. Los aspectos másespecíficos serán discutidos en el transcurso de las sesiones de induc-ción y de revisión.

• Formas de Preguntar

Estas pruebas, por serde cobertura nacional yde aplicación masiva,tienen ciertasespecificidades quees necesario tener encuenta para cumplir supropósito. Algunas deellas son:

• Partiendo del enfoque de resolución de problemas, se construyen situa-ciones matematizables, de las cuales surgen problemas específicos encada tópico o área evaluada y con una intencionalidad desde los procesoscognitivos considerados.

• Las situaciones y los problemas pueden ser expresados en forma afirma-tiva o interrogativa, pueden ser una gráfica, una tabla, una proposición,una descripción, etc.

• Las opciones se construyen teniendo en cuenta su pertinencia, coherenciae intencionalidad con la situación inicial. Para cada problema se proponencuatro opciones de respuesta entre las cuales está una opción válida parasolucionarlo. Las demás opciones deben apuntar a identificar aspectos oelementos no válidos en relación con la resolución del problema planteado,tanto en sus aspectos conceptuales como procesuales y de solución.

• Pertinencia, en cuanto al grado que se está evaluando, la población, lospropósitos

• Coherencia, en cuanto a que es una opción posible de obtener del contex-to de la situación-problema, que surge «naturalmente» de ella.

• Intencionalidad, en cuanto a que asegure que proporciona informaciónsobre los aspectos evaluados

• El lenguaje a utilizar en las preguntas debe ser lo más «universalizado»posible, ya que las pruebas son de cobertura nacional, que sin intentardesplazar algunos aspectos del contexto regional, dejen ver lo fundamen-tal de la formación matemática escolar en la básica y la media.

• Cada pregunta debe estar caracterizada desde lo conceptual y desde loprocesual (ejes conceptuales) y desde las acciones que configuran cadacompetencia, así como plantear para cada una la complejidad teórica quele subyace, es decir bajo la cual fue construida.

Instrumento de evaluación

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Referentes para la evaluación de competen-cias matemáticas. La caracterización de las com-petencias matemáticas se fundamenta en las ma-temáticas escolares, ya que éstas posibilitan los di-ferentes sentidos que son plausibles ante una si-tuación problema matematizable. De esta manerael estudiante, al enfrentarse con situaciones que leexijan distintos tipos de razonamientos, usar con-ceptos, establecer relaciones, aplicar procedimien-tos y construir estrategias para validar, explicar odemostrar, está desarrollando su pensamiento ma-temático, propósito fundamental de la matemáticaescolar.

De acuerdo con lo anterior, en esta evaluaciónse propone indagar por el pensamiento matemáti-co que han logrado construir los estudiantes, a tra-vés de la manifestación de sus competencias liga-das al hacer matemático escolar. Algunos de lossupuestos de esta evaluación se centran en:

• La evaluación de las competencias, a partir desituaciones problema reconoce la importanciade la resolución de problemas en la construc-ción del conocimiento matemático escolar.

• La evaluación de competencias asume que lassituaciones matematizables permiten evidenciarlas distintas significaciones de los conceptosmatemáticos.

• La evaluación de las competencias exige al es-tudiante enfrentarse a distintos tipos de proble-mas con diferentes opciones de solución, quetienen validez en la matemática escolar.

• La evaluación de competencias reconoce tantoaspectos procedimentales del conocimiento ma-temático como aspectos conceptuales, entendi-dos no solamente como definiciones, términos,notación aisladamente, sino como las conexio-nes, relaciones y elementos que configuran lasestructuras conceptuales en su totalidad.

Desde esta perspectiva, para evaluar la compe-tencia matemática de los estudiantes, se identifi-can ciertas acciones que permiten dar cuenta delas conceptualizaciones que han logrado, a partirde la modelación que hace de la situación. Estasacciones se refieren a la interpretación, la argu-mentación y la proposición en el contexto de lamatemática escolar.

Estas acciones son puestas en juego en lo que seha denominado ejes conceptuales, que respondeny toman cuerpo a partir de lo que se haconceptualizado como matemática escolar,enfatizando en los aspectos que se consideran fun-damentales al momento de organizar el conocimien-to matemático escolar e ilustrando la complejidadde las estructuras matemáticas pertinentes. La in-tención de definir ejes conceptuales y no ejes te-máticos, es poder abordar los conceptos matemá-ticos desde distintas perspectivas y tener presen-tes para cada uno de ellos algunas característicasy relaciones intrínsecas que permitan construirlossignificativamente en el contexto de la matemáticaescolar. Estos ejes son conteo, medición, variacióny aleatoriedad. Tanto ejes conceptuales como ac-ciones, configuran las dos dimensiones que se tie-nen en cuenta para evaluar la competencia mate-mática de los estudiantes y en la prueba las pre-guntas reflejan lo especificado, teniendo en cuentaque se proponen situaciones que permiten plantearproblemas cuyo énfasis responde a un eje concep-tual y a la vez tienen un matiz especial frente aalguna de las competencias evaluadas.

Caracterización de cada uno de los resulta-dos de la prueba. Este puntaje da cuenta de lacompetencia matemática de un estudiante, aten-diendo a los aspectos que se han trabajado en laprueba como son las acciones y los ejes concep-tuales. Este puntaje está dado en tres categoríasque expresan su competencia global en la prueba.

Corresponde a un estudiante cuyas respuestas no permiten evidenciar de manera consistente su competencia matemática enaspectos básicos de la matemática escolar. Las situaciones que es capaz de abordar contienen elementos rutinarios que le exigenanalizar información puntual, establecer estrategias directas que se caracterizan por tener una sola relación, operación o algorítimopara su resolución y en donde lo conceptual está caracterizado por construcciones nocionales.

Corresponde a un estudiante que es capaz de desenvolverse competentemente en ciertos contextos, pero no en otros;consiguiendo abordar algunos aspectos básicos de la matemática escolar. Las situaciones a las que se enfrenta contienenelementos no ritunarios que le exigen relacionar diferente información o condiciones para reorganizarla, así como el abordaje dediferentes formas de representación y su traducción, el establecimiento de estrategias en las cuales priman elementos másnocionales que conceptuales.

Corresponde a un estudiante que ha desarrollado competencias matemáticas y es capaz de desenvolverse adecuadamente endiversos contextos que le posibilitan trabajar los elementos básicos de la matemática escolar. Las situaciones que pueden abordarlos estudiantes en este grado de competencia matemática son no rutinarias, requieren relacionar y conectar mayor cantidad deinformación y/o condiciones, establecer estrategias, como la generalización y la inferencia, que involucran conceptualizacionesmás formales.

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1Implica modelar situaciones en donde se utiliza la sintaxis y semántica propia de la matemática escolar, para dar sentido y significado a los conceptos matemáticos trabajados en la situación.

Grupos de preguntas. Los grupos de preguntas se han conformado a partir de los ejes conceptuales.El propósito de esta agrupación es dar cuenta, de manera general, del desempeño relativo del estudianteen cada uno de los ejes propuestos, considerados como fundamentales en las matemáticas escolares. Eldesempeño en cada grupo es relativo al desempeño en los otros grupos de preguntas de la prueba. Através de estos grupos se pueden analizar las fortalezas o debilidades que se tengan frente al trabajo querequiera, por ejemplo, del uso del número, de la función, de la métrica, o del promedio; en cuál de ellos sudesempeño es superior; en cuál o cuáles debe mejorar; etc.

Para su análisis, se caracterizan cada uno de los ejes o grupos propuestos

GRUPO 1Conteo

GRUPO 2Medición

GRUPO 4Aleatoriedad

GRUPO 3Variación

Este eje refiere los diferentes sentidos en la construcción del concepto de número. Se consideran la conceptualizaciónde diferentes sistemas numéricos, con las operaciones, relaciones, y propiedades que han permitido su caracterizacióny su complejización desde los naturales hasta los reales, a partir de la identificación y uso, utilizando formas derepresentación propias.

Los conceptos que configuran el eje son: medida, métrica, espacio y las relaciones que entre éstos se puedan generara partir de las experiencias con la medida, las formas geométricas y las diferentes aplicaciones de la métrica. Seconsideran el manejo que hace el estudiante de las formas, las mediciones asociadas a ellas, sus movimientos y lascondiciones invariantes en ellas.

Este eje se configura alrededor del concepto de variable y los diferentes conceptos y relaciones en los que estáninvolucradas. Se consideran elementos de análisis de la variable teniendo en cuenta su naturaleza, el tipo de regularidadque establece, sus posibilidades de modelación en diferentes contextos, el uso de la variable en las diferentes clasesde funciones, el manejo y uso de diferentes formas de representación y su análisis.

Este eje refiere el manejo de datos, el uso de descripciones y representaciones gráficas, el uso de conceptosrelacionados con la descripción de datos: medidas de tendencia central (media, mediana, moda) Se consideran,además, los diferentes aspectos que caracterizan procesos de conteo como arreglos, permutaciones y combinaciones,y la interpretación y uso de probabilidades asociadas a eventos.

Caracterización por competencias. Cada una de las preguntas que conforman la prueba de mate-máticas puede ser caracterizada desde las acciones que llevan a dar cuenta de la competencia delestudiante. Esta agrupación pretende dar información sobre el nivel de competencia, interpretativa,argumentativa o propositiva, que un estudiante ha demostrado a través de sus respuestas. De manerageneral, se han explicitado tres grados de competencia entre los cuales se moverá el estudiante.

Los estudiantes que se ubican en este grado resuelven situaciones problema rutinarias que indagan por la observaciónde características de una gráfica, la identificación y el reconocimiento de eventos a partir de la información dada, lacontrastación a partir de relaciones directas entre los diferentes datos o aspectos puntuales de la situación.

Los estudiantes que se ubican en este grado solucionan problemas no rutinarios que requieren interpretaciones, traduc-ciones y/o identificación de simbología propia del lenguaje matemático para matematizar1 la situación.

Los estudiantes que se ubican en este nivel abordan situaciones problema no rutinarias que exigen interpretacionesque permiten modelar por medio de expresiones matemáticas la situación, para ello requieren distintas interpretacio-nes y re-interpretaciones de los datos, relaciones, expresiones, afirmaciones que se presentan en la situación demanera explícita o implícita.

COMPETENCIA INTERPRETATIVA

GRADO A

GRADO B

GRADO C

COMPETENCIA ARGUMENTATIVA

Los estudiantes que se ubican en este nivel enfrentan con éxito situaciones que exigen argumentos fundamentados en casosparticulares de la situación inicial; los argumentos refieren afirmaciones expuestas en la situación, que buscan ratificarse ocontradecirse.

Los estudiantes que acceden a este nivel pueden abordar situaciones problema que impliquen el reconocimiento deestrategias, explicaciones y justificaciones - que pueden considerarse usuales – con las cuales puede ser modelada yexplicada una situación. Estas justificaciones, explicaciones o estrategias permiten realizar una comprobación directa desdela información ofrecida en la situación

Los estudiantes que logran este nivel pueden abordar con éxito problemas que implican el establecimiento de condiciones desuficiencia y necesidad para elaborar argumentos; estos argumentos – no se consideran usuales – pueden ser justificacionesen lenguaje natural o en lenguaje matemático que ponen en juego distintos tipos de razonamientos, procedimientos yestrategias en donde se relacionan diversos conceptos.

GRADO A

GRADO B

GRADO C

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Recomendaciones*Con base en el aprendizaje adquirido a través del

desarrollo de esta prueba que evalúa competen-cias en matemáticas, podemos hacer las siguientessugerencias respecto a la construcción de situacio-nes problema:• No hacer énfasis sólo en consultar un conoci-

miento o indagar por un resultado.• No enfatizar en aspectos donde necesariamen-

te se tenga que utilizar el recuerdo de un cono-cimiento.

• Los cuestionamientos hechos en las situacionesproblema no deben exigir respuesta única, sinopermitir la pluralidad en sus respuestas.

• Las respuestas deben ser descriptivas, de talmanera que permitan evidenciar las acciones yprocesos realizados para dar solución a la situa-ción planteada.

• Lo expresado en las opciones como respuesta,debe estar asociado, o ser acorde con la situa-ción planteada y ser verosímil.

• Las opciones validas presentadas como respues-ta, deben variar en su orden de complejidad.

• El orden de complejidad de las respuestas pre-sentadas, no debe entenderse como la variaciónen la forma de presentar una misma respuesta,sino como diferentes soluciones con variado tipode exigencia dentro de la disciplina y el contex-to planteado.

• Las situaciones problema planteadas, deben es-tar acorde con los logros esperados de u un alumnode undécimo grado en la matemática escolar.

• Los contextos planteados en las situaciones pro-blema, deben ser explotados al máximo hacien-do uso de diferentes preguntas que evalúen lasdistintas competencias.

• La identificación del tipo de pensamiento y/osistema matemático en el que se ubique un de-terminado problema, depende del proceso ma-temático utilizado en la solución o verificaciónde la opción dada como respuesta válida.

• Las opciones planteadas como respuestas váli-das, no deben depender de supuestos matemá-ticos o de supuestos del contexto planteado enla situación problema.

• El planteamiento de preguntas y opciones de res-puesta, se facilita cuando el contexto planteado,en la situación problema, es rico en aspectos yrelaciones matematizables, de la vida cotidiana,de la misma disciplina u otras ciencias.

• Las soluciones de las preguntas planteadas deun mismo contexto, pueden darse cada una apartir del uso de diferentes pensamientos y/oprocesos matemáticos.

Si la situación problema evalúa la competenciainterpretativa:• Se debe indagar por acciones que permitan la

comprensión de diversos significados en deter-minados contextos.

• Enfatizar en relaciones y confrontaciones queconlleven a aspectos significativos en el con-texto planteado.

• La interpretación que se realiza puede ser pormedio de la modelación, identificación o traduc-ción de la información dada.

Si la situación problema evalúa la competenciaargumentativa:• Se exigen explicaciones coherentes en campos

significativos.• Se indaga por acciones que permitan dar razo-

nes o justificaciones.• Se pregunta por las condiciones que deben te-

nerse en cuenta para que se cumpla la proposi-ción dada.

Los estudiantes que se ubican en este nivel pueden enfrentar con éxito situaciones en las que se exige proponer lo quesucedería en una situación dada si algunas de sus condiciones iniciales fueran modificadas de determinada manera.

Los estudiantes que acceden a este nivel de competencia pueden abordar situaciones problema que implican el reconoci-miento de ciertas proyecciones ante una situación dada; estas proyecciones pueden ser encontradas a partir del descubri-miento o la creación de ciertas regularidades o generalizaciones; así mismo pueden exigir al estudiante, reconocer ypredecir como deberían ser modificadas las condiciones de la situación inicial para poder garantizar que cierto hecho seproduzca en el futuro.

Los estudiantes que logran este nivel de competencia propositiva pueden abordar situaciones problema que implicanuna reorganización de la situación para determinar las nuevas condiciones con las cuales se puede optimizar unprocedimiento, un método o un resultado; estas situaciones pueden exigir también dar razones de por qué surgenesas nuevas condiciones.

GRADO C

GRADO A

GRADO B

*DOMÍNGUEZ Y OTROS “Evaluación de competencias en matemáticas a través de laresolución de problemas”. Trabajo de grado. Especialización en Educación Matemática.Universidad Distrital. 1999

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AMPARO FORERO SÁENZPONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Proceso de aprendizajede lo aditivo numéricoy estándares enEducacion Básica

Resumen. Tradicionalmente la escuela aborda laenseñanza de lo aditivo-numérico sometiendo a losniños al entrenamiento para resolver problemas tipo,y presupone que cuando estos se enfrenten a laresolución de problemas novedosos lo clasifican enuno de los modelos conocidos y aplican el procedi-miento aprendido. La preocupación central de laescuela en este campo es que los niños manejenrápidamente los algoritmos formales de la suma yde la resta para dar respuesta así a la demandaque culturalmente se le hace. Esta práctica de en-señanza presenta serias limitaciones en el aprendi-zaje y comprensión por parte de los niños. Susten-tadas en una idea mecanicista del conocimientoocurre un aprendizaje memorístico y repetitivo queprepara a los niños para aplicar lo aprendido a si-tuaciones semejantes y que fácilmente olvidan; sinembargo cualquier cambio en un problema en elque estos tengan que enfrentarse a situacionesnovedosas, o vincularlo a experiencias y situacio-nes de la vida real o de la ciencia, es decir haceruso inteligente de los conceptos de lo aditivo, losaprendices no se encuentran preparados.

Los aportes de la psicología genética y del socio-constructivismo nos muestran otra forma de com-prender como conoce el sujeto, que le hace pre-guntas y problematiza la anterior idea de aprendi-zaje y de enseñanza. Según estas perspectivas elsujeto selecciona y organiza la información delmundo, es un asignador de significados y de senti-dos. Y esa construcción ocurre en contextossituacionales y esta mediada por los instrumentossimbólicos de la cultura. La enseñanza sería en-tonces diseñar experiencias y ambientes de apren-dizaje que favorezcan aprendizajes significativos yconstructivos que movilicen el pensamiento y eldeseo de los niños y el maestro se convierte en elprincipal mediador de ese proceso.

En ese sentido, el aprendizaje de lo aditivo-nu-mérico en los niños debe promover el pensamientonumérico. Desarrollar el pensamiento numéricoimplica que el sujeto coordine de manera simultá-nea las relaciones parte-todo. Para que esto ocu-rra ha de ser un aprendizaje comprensivo, estos esuna aprendizaje que flexibilice el pensamiento delaprendiz de tal forma que lo haga capaz de actuarde manera creativa ante lo novedoso, de igual for-ma que el aprendizaje sea duradero y que reorga-nice sus esquemas de pensamiento.

Potenciar este aprendizaje requiere del maestrotener una comprensión sobre aspectos como:

• El sistema conceptual numérico. En este aspectose trata de obtener una comprensión de lo aditi-vo-numérico desde lo disciplinar; es decir, so-

• Se pregunta por las razones o justificaciones delas conexiones de los hechos propuestos en lasituación planteada.

• Las razones o justificaciones deben ser del hechoo suceso ocurrido y planteado en la situación.

• Las razones y justificaciones no deben ser re-dactadas desde lo puramente cotidiano.

• Las opciones válidas deben justificar el plan-teamiento de la solución o estrategia, desde as-pectos relacionados y validados dentro de lasmatemáticas.

Si la situación problema evalúa competenciapropositiva:

• Se pregunta por razones o justificaciones de unasituación que se prevé.

• Se pregunta por razones no contenidas en eltexto de la situación dada y que intenta dar so-lución al problema.

• Se indaga por situaciones donde se pone en jue-go la creatividad o se realizan transformacionessignificativas en un determinado contexto

• Las respuestas permiten evidenciar la genera-ción de hipótesis, deducciones y conjeturas po-sibles, en una situación planteada.

• Las preguntas y respuestas ponen en evidenciauna forma de realizar un cálculo o dar una solu-ción a una situación planteada.

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bre ese objeto de conocimiento: ¿Cómo se en-tiende lo aditivo-numérico? ¿Qué clasificacio-nes o tipologías de problemas aditivos se propo-nen? ¿Cuál es su estructura lógica?

• Los procesos y procedimientos implicados en lacomprensión y resolución de los problemas adi-tivos por parte de los niños. Se trate de abordarpreguntas como: ¿qué exigencias cognitivas lehace a los niños la resolución de diferentes ti-pos de problemas aditivos? ¿Qué procedimien-tos utilizan los niños para resolverlos? ¿Quéotros procesos o competencias despliega elaprendiz cuando aprende? ¿Cómo se relacio-nan estos procesos y el nivel de desarrollo delos niños con la propuesta de estándares plan-teada por el MEN?

El tener una comprensión sobre estos aspectosenriquece y orienta la acción pedagógica, el diseñoy la implementación de las situaciones y experien-cias de aprendizaje que favorezcan la compren-sión de lo aditivo.

En la investigación que desde la universidad seviene realizando en el marco del proyecto Cogni-ción y Escuela, hemos venido profundizando enestas preguntas y se han diseñado diversas situa-ciones y materiales que se esperan compartir conlos participantes de este taller.

Resumen

Se presentaran actividades para el trabajo en elaula sosteniendo la hipótesis que el periodo escolarcomprendido entre grado cero y octavo grado esimportante para los procesos de generalización yabstracción, procesos cognitivos básicos en la cons-trucción del significado de la noción de variable yvariación. Se analizaran a partir de esas activida-des el papel de los conceptos asociados (número,sistemas posicionales de numeración, interpretacio-nes de la letra, representaciones semióticas, entreotros) y la manera como a partir del análisis de ca-sos el estudiante para profesor y el profesor en ejer-cicio configura conocimiento profesional alrededordel significado de ellos, en torno a la noción de va-riable en el álgebra escolar. Durante el análisis semirará el papel que juegan las concepciones que losprofesores desarrollan sobre el álgebra escolar des-de las practicas usuales. Además, se estudiarán re-sultados de investigaciones culminadas como las deKücheman, Kieran y el Grupo Pretexto.

NEILA SÁNCHEZFERNANDO GUERRERO

CLAUDIA SALAZARneila4@starmedia.com,

nfguerrero@hotmail.com,clanmaya@yahoo.com

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Formación de profesoresen la transición aritméticaal álgebra

Se enfatizará sobre la importancia que tiene parael profesor la investigación en el aula.

Objetivos

Al finalizar el taller, las y los participantes podránconfrontar sus conocimientos con relación al Co-nocimiento Didáctico de Contenido (CDC) en tor-no a la hipótesis del continuo en la transición arit-mética al álgebra.

En el taller mismo se espera que las y los partici-pantes:

Construyan un marco comprensivo sobre los pro-blemas didácticos vinculados con el significado dela noción de variable en el periodo comprendido en-tre el grado cero y octavo de la educación básica.

El taller contribuirá a procesos más generalestales como:

Razonamiento pedagógico de los profesores

Resolución de problemas

Análisis cognitivo de tareas

Temáticas• Estructuras aditivas y multiplicativas

• Interpretaciones de la letra

• Fracciones

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Programación

Referencias bibliográficas

1. Grupo Pretexto (1999). La transición aritmética al álgebra.Bogotá: Gaia.

2. Grupo MESCUD (1999). Aritmética y formación del profe-sor de matemáticas. Bogotá: Gaia.

Matemáticas para todos (2002). Bogotá: Fondo de pu-blicaciones Universidad Distrital.

Aritmética y resolución de problemas (2002). Bogotá:Gaia. Informe de Investigación Grupo Pretexto. La variablecomo problema puntual. Búsqueda de causas en grado octavo.(1996). Bogotá: UD-Colciencias.

TIEMPO ACTIVIDADO TEMA

OBJETIVO O SENTIDO DE CADA ACTIVIDAD O TEMA

¿Qué se espera que los participantesaprendan? ¿Qué procesos se van

a desarrollar? ¿Qué se esperaque los participantes realicen?

MODO DETRABAJO

MEDIOS,MATERIALESY LECTURAS

EVALUACIÓNDE PROCESOS

EVALUACIÓN DERESULTADOS

45Minutos

1. Problemasdel campoconceptualaditivo

Razonar pedagógicamente sobre losproblemas que tienen niños y jóvenespara conceptualizar la suma desde distintassituaciones problemas, representacionesy acciones cognitivas. Realizar lametacognición desde el análisis llevadoacabo con un instrumento de una investi-gación. Se van a desarrollar procesos paraaprender a enseñar la suma en distintoscontextos.

Individualy en grupos

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Resultados: Construir unmarco comprensivo sobrelos problemas didácticosvinculados con el significadode la noción de variable en elperiodo comprendido entreel grado cero y octavo de laeducación básica.Procesos: Razonamientopedagógico de los profesores,Resolución de problemas,Análisis cognitivo de tareas.

45Minutos

2. Problemasdel campoconceptualmultiplicativo

Razonar pedagógicamente sobre losproblemas que tienen niños y jóvenespara conceptualizar la multiplicacióndesde distintas situaciones problemas,representaciones y acciones cognitivas.Realizar la metacognición desde elanálisis llevado acabo con uninstrumento de una investigación.Se van a desarrollar procesos paraaprender a enseñar la multiplicación endistintos contextos.

Individualy en grupos

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45Minutos

3. Problemasen la interpre-tación de lafracción comorelación parte-todo

Razonar pedagógicamente sobre losproblemas que tienen niños y jóvenespara conceptualizar la fracción desde losatributos.Realizar la metacognición desde elanálisis llevado acabo con un instru-mento de una investigación. Se van adesarrollar procesos para aprender aenseñar la fracción en contextos con-tinuos y discretos.

Individualy en grupos

FotocopiasRetroproyector

Resultados: Construir unmarco comprensivo sobrelos problemas didácticosvinculados con el significa-do de la noción de variableen el periodo comprendidoentre el grado cero y octavode la educación básica.Procesos: Razonamientopedagógico de los profesores,Resolución de problemas,Análisis cognitivo de tareas.

45Minutos

4. Problemas enla interpreta-ción de la letra

Razonar pedagógicamente sobre los pro-blemas que tienen niños y jóvenes parainterpretar y usar la letra en contextosalgebraicos.Realizar la metacognición desde el análisisllevado acabo con un instrumento de unainvestigación. Se van a desarrollar proce-sos para aprender a enseñar procesos degeneralización y simbolización.

Individualy en grupos

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A manera de justificación. Hablar de currículoresulta muy familiar para un profesional de la do-cencia. El currículo, como campo de trabajo, seconvierte en un espacio de reflexión teórica y me-todológica que compromete entre otros los siguien-tes elementos:

1. La dimensión curricular implica factores de or-den político, filosófico, legal e institucional quegeneren un marco de relaciones para respon-der a las necesidades de formación, en este caso,en matemáticas de una determinada sociedad ycon unos intereses de desarrollo científico y tec-nológico. Desde este punto de vista, el currículoserá un dispositivo que interpreta los mandatoslegales, políticos e institucionales y construye unapropuesta de formación que responda efectiva-mente a tales demandas. De igual manera, es-tará en posibilidad de ser evaluado a la luz detales condiciones, en el sentido de laestandarización de saberes escolares.

2. En la perspectiva anterior, el currículo tendráque considerar, en particular, el perfil de forma-ción que se pretende desarrollar para una co-munidad educativa. Así por ejemplo, se identifi-caron currículos de matemáticas que enfatizanla formación en matemáticas para formar ma-temáticos, como los colegios de altos estudioscon énfasis en ciencias; currículos orientados ala formación de matemáticas para aplicacionestecnológica y técnica (como los de los colegiostécnicos), currículos encaminados a formar ha-bilidades matemáticas básicas, como los cole-gios académicos, entre otros.

3. El currículo es una construcción colectiva detipo complejo. Es decir, requiere de especialis-tas y de equipos académicos. Dada la cantidadde saberes que exige poner en juego el diseño

OLGA LUCÍA LEÓN C.DORA INÉS CALDERÓN1

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO

JOSÉ DE CALDAS

El currículo como factorde formación en EducaciónMatemática

curricular y el nivel de especialidad de tales sa-beres (filosófico, político, disciplinar, socio- psico-educativo), el diseño de currículo hace necesa-ria la presencia y la mirada de varios tipos deprofesionales que puedan entrar a reflexionar ya estructurar una propuesta de formación en lasdiferentes dimensiones de formación de los su-jetos y en los distintos componentes disciplinaresque la escolaridad requiere. De ahí que pensaren que el maestro en solitario está en posibili-dad de generar currículo es de por sí un despro-pósito. El profesor de matemáticas necesita deotras miradas y de otros campos que puedancolaborar en la construcción de una propuestade formación.

De igual manera, el diseño curricular es una ac-tividad intelectual de nivel secundario y de tipo es-pecializado, pues exige relacionar factores diver-sos, como se señaló anteriormente. Entonces, estalabor requiere de experiencia de los profesionalesinvolucrados tanto en el contexto de las políticaseducativas y sus procesos de regulación como enmodelos pedagógicos y didácticos e implicacionesde los mismos en la formación escolar. En estesentido, se hace necesario que quienes diseñancurrículo constituyan equipos de reflexión perma-nente que logren avanzar en esta tarea, gracias asus estrategias de trabajo intelectual, de regulaciónde productos y de socialización de resultados.

Nuestra propuesta de trabajo. De acuerdo conlas distintas teorías que circulan sobre lo que es elcurrículo, hemos considerado fundamental ofreceruna mirada del currículo como un objeto pedagógi-co susceptible de ser estudiado y analizado desdelos siguientes puntos de vista:

1. Desde el punto de vista filosófico: Como dis-positivo pedagógico de carácter regulador, quecomporta una propuesta de formación para ungrupo social. Es decir, que explicita factorescomo: La dimensión socio- cultural (política,antropológica y filosófica) que expresa la for-ma de concebir al sujeto que se pretende for-mar, de acuerdo con unos principios ideológi-cos. La dimensión epistemológica (forma deconcebir el conocimiento científico y tecnológi-co que es legítimo y necesario para el desarro-llo de la comunidad). La dimensión pedagógica,que determina el conjunto de explicaciones teó-ricas sobre la razón de ser de la educación y delas prácticas pedagógicas que realizan tales teo-rías. En esta perspectiva, el currículo se conci-be como un proyecto social.

1Miembros del Grupo de investigación interdisciplinaria en pedagogía del lenguaje y lasmatemáticas. Doctorado en Educación de la Universidad del Valle

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2. Desde el punto de vista estructural: Como unconsolidado de relaciones pedagógicas y didác-ticas que explicita aspectos como:

i) Un conjunto de criterios orientadores para laacción educativa; propone valores, priorida-des, formas de organización del conocimien-to y del trabajo, objetivos para los programas,roles de los actores involucrados (docentes,directivos, estudiantes, padres) y genera unsistema de logros por alcanzar.

ii) Un plan operativo para el trabajo del docenteque genera preguntas como ¿qué conocimien-to (por ejemplo, qué matemáticas) requieredesarrollar un determinado nivel; ¿cómo al-canzar objetivos, propósitos y procesos pre-vistos en el currículo?; ¿Qué estrategias pue-de usar el profesor para alcanzar los logrosen los estudiantes?; ¿cómo involucrar los fac-tores contextuales en el desarrollo del cono-cimiento escolar?, ¿Cómo integrar saberes yexigencias de formación según grados de es-colaridad de los estudiantes.?

iii) Un plan de formación, como un producto so-cial, de carácter intencionado, que proponeun conjunto de principios pedagógicos parala formación; es un espacio de reflexión paraplanear desde la acción en el aula y los cam-pos de conocimiento puestos en juego (comola educación matemática); incorpora una fi-nalidad y una perspectiva cultural (concep-ción de sujeto social, usos socio- culturalesdel conocimiento escolar, semiótica implícitaen las prácticas culturales); evidencia un pro-ceso de selección, organización ysecuenciación del conocimiento escolar.

El siguiente referente explicativo propone un con-junto de relaciones entre las categorías que estruc-turan teórica y metodológicamente las actividadesdel maestro: estructura curricular, plan de área yproyecto de aula. Cada una de las categorías se re-laciona de manera estructural y funcional con lasotras, puesto que dependen unas de otras tanto en laconstrucción como en la función que desempeñanen el contexto educativo. Además, en cada una deellas se consideran las tres dimensiones identifica-das, dado que se constituyen en objetos pedagógi-

cos y didácticos construidos para explicitar las for-mas de organización, de relación, de ejecución y deregulación de las acciones pedagógicas y didácticasen las instituciones educativas.

Objetivos del taller:

• Explicitar las relaciones: Currículo -Plan de área-Proyecto de aula.

• Estudiar un referente para la estructuración deplanes de área en matemáticas.

Aspectos metodológicos. El taller esta dirigidoa profesores que vienen desarrollando experien-cias de aula, a asesores de las diversos estamentosgubernamentales, a estudiantes de las facultadesde educación y a investigadores de la educación,en particular de la educación matemática. El tallerse desarrollara en dos sesiones con la siguientestemáticas por sesión:

1. La relación estructura curricular- plan de área.

2. La relación plan de área- proyecto de aula.

Referencias bibliográficas

CALDERÓN, D y LEÓN, O (2001). Requerimientos didácticosy competencias argumentativas en matemáticas. Bogotá: IDEP- Colciencias.

LEÓN, O. y Otros. (2003). Guía Curricular. Proyecto de Servi-cios integrados para jóvenes. Cartagena: Alcaldía de Cartagenade Indias.

MEN (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas delMEN. Referentes Curriculares. Bogotá: MEN.

MEN (1998). Estándares Curriculares de Matemáticas del MEN.Referentes Curriculares. Bogotá: MEN.

RICO, L. (Ed) (1997). Bases teóricas del currículo de matemá-ticas en Educación Secundaria. Madrid: Síntesis.

SACRISTÁN, J y PÉREZ, A. (1994). Comprender y transfor-mar la enseñanza. Madrid: Morata.

VASCO, C. (1999). Las Matemáticas Escolares en el año 2001.Material multiplicado.

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Contextualización. El presente trabajo preten-de dar una mirada de cómo es posible pensar losMIP -Medios Interactivos Programables- en la Edu-cación Matemática, así como contribuir desde uncaso particular, a instaurar las acciones deMODELACIÓN2 como un lugar privilegiado parael desarrollo del pensamiento matemático, más es-pecíficamente del pensamiento variacional; es de-cir, no se trata de transmitir conocimientos mate-máticos referidos al cálculo, el álgebra o cualquierrama particular de las matemáticas, se trata enton-ces de privilegiar y potenciar la acción del sujetoen pro de la construcción de conocimiento, en otraspalabras:

El conocimiento no es una copia de la realidad, conocerun objeto es actuar sobre él; es modificarlo, transformarloy comprender el proceso de esa transformación y comoconsecuencia entender cómo es construido. (Jean Piaget,citado por Antanas Mockus, 1988, Pág.40. El subrayadoes nuestro).

En este sentido la acción -sobre todo aquella queconcierne al ámbito de las matemáticas- se consti-tuye en fuente tanto de conocimiento como decomplejización de las estructuras cognitivas que ha-cen posible la resolución de una situación y su mo-dificación. Así, actuar matemáticamente significaentonces:

..."Traer al terreno de lo siempre ya conocido; es llevarde un juego de lenguaje en algún sentido incierto a otroque -al costo de limitaciones y regulaciones explícitas- haganado en certeza y universalidad"... (Antanas Mockus,1988, Pág.120)

JOHANNA ANDREA FUENTES DÍAZ EDGAR PÉREZ HUERTAS

Estudiantes Licenciatura en Matemáticas

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ

DE CALDAS

La modelación matemáticamediada por unaherramienta tecnológica1

De tal modo, pensar variacionalmente significa en-tonces poner las magnitudes cambiantes de tal formaque se visualicen3 y cuantifiquen las relaciones exis-tentes entre éstas, recurriendo para tal fin al uso dedispositivos ya sean gráficos y algebraicos que per-mitan representar y disponer dichas variaciones, peroque además permita entender los procesos que danlugar al cambio, en este sentido el pensamientovariacional es -por así decirlo- instrumental4.

Ahora bien, privilegiar estos actos deMODELACIÓN involucrando los MIP, implica enprincipio, permitir que la problemática de la acciónse concentre en las matemáticas y no en el aspec-to técnico de los recursos tecnológicos, de tal modoestos recursos deberían ostentar de "invisibilidad"para el sujeto actor del proceso de aprendizaje.Dicha "invisibilidad" no supone entonces una com-pleta indiferencia frente al recurso, por el contrarioimplica ponerlo de tal manera que el actor lo adhie-ra en sus estructuras de acción. Esto nos proponeen principio un reto, que a la vez se supera con laconstrucción de la Balanza virtual en el softwareCABRI, a partir de la cual se concentra toda acti-vidad de modelación en las posibilidades de proble-matización que ésta brinda por su característicadinámica, es decir, constituimos un contexto5 devariación a partir de la balanza virtual -como lo ha-bía mencionado Piaget (1972, Pág. 142-155), estu-diar las variaciones posibles en dicho instrumentoimplica acudir a la proporción como manera demodelar estas variaciones-.

Con ello se pretende, en última instancia, desa-rrollar pensamiento variacional por medio del estu-dio de una situación de variación desde el uso deun paquete de instrumentos construidos en el soft-ware Cabri. Estos instrumentos traen una riquezaconceptual en acción, es decir, observar el funcio-namiento de la balanza, así como indagar por elmismo, implica entrar en el terreno de la propor-ción inversa o directa, en últimas quien se enfrente

1 Trabajo realizado a modo de pasantia en el marco de la Investigación: Incorporación deNuevas Tecnologías en el aula de Matemáticas, del proyecto curricular de licenciatura eneducación básica con énfasis en matemáticas de la Universidad Distrital Francisco Joséde Caldas. Trabajo dirigido por el profesor Jaime Humberto Romero Cruz docente de estainstitución.

2 "La modelación matemática se trata de la utilización de todas las funciones conocidas,de otras ya inventadas pero desconocidas, así como de nuevas que se van a inventar,para simular, representar o modelar procesos reales que están ocurriendo en el mundo.Se trata de capturar las variaciones por medio de modelos matemáticos de distintos tipospara poder seguirlos, hacer simulaciones y predicciones, e intentar controlarlos ymodificarlos". (Vasco Carlos E, 2000, Pág.26. En: Formarse para la enseñanza de lasmatemáticas. Universidad del Valle).

3 Visualizar es pues "poner bajo un forma extencional, todo lo que siendo relevante paraalguna cuestión sea susceptible de grado e igualdad"; es decir, Visualizar -en un sentidocartesiano-aquello de lo que hablamos es necesariamente extensionalizado, transformadoen "magnitudes" (hoy preferimos decir "variables") cuyas relaciones pueden serpresentadas gráficamente y expresadas sintéticamente mediante signosalgebraicos.(Antanas Mockus, 1988, Pág. 120).

4 "La acción típicamente humana emplea instrumentos mediadores, tales como lasherramientas o el lenguaje, y estos instrumentos mediadores dan forma a la acción demanera esencial". (Wertsch, 1991, Pág. 29)

5 En particular, la característica dinámica que adquiere la balanza virtual, permite modificarpesos y distancias para obtener equilibrio o desequilibrio y por tanto brinda la posibilidadde iniciar estudios con respecto a las relaciones que guardan estas magnitudes.

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a la balanza necesariamente tendrá que pensar pro-porcionalmente6, además deberá someterse a losmovimientos que se pueden reproducir, de tal modoque se puedan poner de relieve las transformacionesque se suceden en ella, intentando explicar las razo-nes por las cuales se dan esas transformaciones.

Tales instrumentos son:

Primer Instrumento: Juego desebala

Segundo Instrumento: disbala

Estado: Balanza en estado de equilibrio o des-equilibrio.

Descripción: Esta balanza permite simular es-tados de equilibrio o desequilibrio de acuerdo a laubicación del peso en cada brazo de la balanza y lacantidad de peso que coloque allí. Los pesos sonrepresentados por un vector. Estos se disminuyeno aumentan en relación a la cantidad de peso7 quese desea colocar.

Funcionamiento: Esta balanza virtual, al igualque los siguientes instrumentos es manipulada porcuatro puntos que tienen como etiquetas

,,,,2121ppdd que se encuentra ubicados en la parte

inferior de la pantalla. Dichos puntos pueden serdesplazados únicamente de manera horizontal ycada uno tiene un espacio de desplazamiento, és-tos permiten transformar los pesos y las distanciasen la balanza.

El primer instrumento interviene en la iden-tificación de magnitudes variables; al realizar trans-formaciones en los pesos y distancias, a partir delos movimientos de los puntos ,,,,

2121ppdd en la

búsqueda del equilibrio o desequilibrio en la balan-za que permita visualizar la figura escondida. Jus-tamente estas acciones permiten la familiarizacióntanto con el funcionamiento de la balanza virtualcomo con el estado de equilibrio o desequilibrio enla misma.

6 Véase en referencia a éste tema: Piaget Jean, Inhelder B, DE LA LÓGICA DEL NIÑO ALA LÓGICA DEL ADOLECENTE: Ensayo sobre la construcción de las estructurasoperatorias formales. Buenos aires: Paidos, 1972.

7 Hablamos de peso como la fuerza ejercida sobre todos aquellos cuerpos inmersos en uncampo gravitacional, de acuerdo a la definición de Newton.

Estado: Balanza en estado de equilibrio o des-equilibrio.

El segundo instrumento permite iniciar explora-ciones en la búsqueda del equilibrio, donde no solose admite el planteamiento de una regla cualitativareferida al mismo -"El peso más grande debe en-contrarse más cerca al centro y el peso más pe-queño más alejado al centro con respecto al otro"-sino que además pone en explícito las magnitudesque cambian en la situación de variación.

Tercer Instrumento: discreba

Estado: Balanza discreta en estado de equilibrioo desequilibrio

Este tercer instrumento permite la cuantificaciónde las distancias y de los pesos desde el estableci-miento de una unidad de medida geométrica, así selogra establecer relaciones extensivas8 entre lasmagnitudes variables, donde para tal efecto semantienen fijas dos magnitudes de la misma natu-raleza -ya sean las distancias o los pesos-, promo-viendo de esta manera el estudio de la proporcióndirecta como una forma de variación.

8 De acuerdo con piaget las relaciones extensivas son aquellas donde se involucrancuantificaciones. (Introducción a la Epistemología Genética. El PensamientoMatemático.,México 1987, Pág. 200-203)

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Cuarto Instrumento: Inverbal nitudes puestas en un contexto netamente geomé-trico. De tal modo este instrumento -grafiba- permi-te pensar sobre los segmentos -que representan lospesos y distancias- y las relaciones entre estos, asícomo explicita las transformaciones que se sucedeen una magnitud con respecto a la otra.

Conclusiones

Así, es posible afirmar que en una actividad demodelación -particularmente aquella que concierneal estudio de la variación- las representaciones apa-recen como dispositivos a los cuales se recurre yasea para actos argumentativos o para instaurar enun mundo tal, que los fenómenos de variación sehagan explícitos en sus relaciones y cualidades. Ahorabien, es justamente en la relación discursiva con otrosdonde, tanto el cúmulo de representaciones comolas reglas que gobiernan el actuar con y sobre estasse instituyen como referentes culturales.

En última instancia no se trata de las representa-ciones en matemáticas, se trata entonces del re-presentar en matemáticas9 ,es el privilegio de laacción, por encima de la mera contemplación.

En éste sentido los instrumentos tecnológicos(MIP) -desde la perspectiva del estudiante- se ins-talan en este plexo como auxiliares en los actos demodelación, es decir, estos instrumentos por susposibilidades técnicas le confieren al estudiantemodos de intervención que de otro modo no sonposibles.

Por otro lado -desde la perspectiva del Docente-éstos instrumentos permiten el diseño de situacio-nes o simulaciones fenomenológicas tomadas delmundo Natural o del mundo netamente matemáti-co, que se constituyan en fuente enriquecedora deproblemas en el aula de matemáticas, así como éstediseño ostente de tal particularidad que las especi-ficaciones técnicas de estos instrumentos para suuso no se constituyan en obstáculo para las accio-nes de modelación matemática, sino que desde unuso específico -que determina el Docente en elmomento de configurar situaciones problema- seadquieran progresivamente.

Estado: Balanza discreta en estado de equilibrioo desequilibrio.

El cuarto instrumento introduce el estudio de lasrelaciones entre magnitudes de distinta naturaleza,explicitando de esta manera la proporción inversa,conservando para tal fin la unidad de medida geo-métrica.

Quinto Instrumento: grafiba.

Estado: Balanza discreta en estado de equilibrio

Este instrumento permite realizar un estudio des-de las relaciones puramente geométricas entremagnitudes de distinta naturaleza, así como propi-ciar el paso al plano cartesiano desde dicho estudioy no desde el uso de tablas y de expresiones sim-bólicas. De tal modo este instrumento induce apensar sobre los segmentos -que representan lospesos y distancias- y las relaciones entre estos, asícomo explicita las transformaciones que se sucedede una magnitud con respecto a la otra.

Hasta aquí, el estudio de las variaciones referidasa las magnitudes que posibilitan el equilibrio está to-talmente acentuado en lo simbólico, por lo cual serequiere realizar un estudio desde las relaciones pu-ramente geométricas entre magnitudes de distintanaturaleza, así como propiciar el paso al plano car-tesiano desde dicho estudio y no desde el uso detablas y de expresiones simbólicas, es decir, se pre-tende instaurar el plano cartesiano como un lugardonde se hacen visibles las relaciones entre las mag-

9 En este sentido se trata del privilegio de la acción y el lenguaje sobre la percepción: ..."Ennuestra época culmina un desplazamiento del eje de la autocomprensión del conocimiento.En vez de entenderse por referencia a la percepción o a un esquema que la reiteradesplazándola a otros terrenos, el conocimiento se autocomprende por referencia a la accióny el lenguaje. Es posible que éste giro corresponda más a una transformación histórica delconocimiento mismo que a una rectificación tardía o a un desvío arbitrario-pretérito o actual-de la tradición filosófica"...(Mockus, Antanas, Representar y Disponer, 1988).

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Propósito del taller

El taller tiene como propósito fundamental com-partir algunas experiencias en torno al trabajo de lamatemática escolar utilizando como estrategia laenseñanza problémica. Por lo tanto se desarrollarácon los asistentes una serie de situaciones; a partirde los cuales se harán reflexiones teóricas, condu-centes a visualizar las situaciones problema comoun instrumento de enseñanza y aprendizaje quepermite la estructuración de un currículo que mo-vilice la comprensión y el pensamiento matemáticode los estudiantes.

Metodología

El taller se orienta desde una metodología amplia-mente participativa: inicialmente los asistentes sonorganizados en grupos de a dos ó tres, con el fin deque aborden en un lapso de tiempo de 15 a 20 minu-tos una situación problema. A partir de los resulta-dos obtenidos, se realizará una plenaria, a partir dela cual se movilizan diferentes relaciones concep-tuales obtenidas. Además, simultáneamente, se ha-cen comentarios y reflexiones acerca de algunascaracterísticas de una situación problema. Después,bajo la misma orientación, de realizar otra situacióny socializar los aspectos centrales subyacentes; serealiza una breve presentación de la los elementosteóricos que fundamentan el papel de las situacio-nes problema en el currículo de matemáticas.

Mi experiencia en relación con la temática.

La institución Pedro Luis Álvarez Correa se a con-

JOHN JAIRO MÚNERA CÓRDOBAUNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Las situaciones problemacomo alternativa paragenerar procesos deaprendizaje matemáticoen la Educación Básica

vertido en un excelente laboratorio para diseñar,implementar y evaluar algunas situaciones proble-ma relacionadas con la construcción de conceptosmatemáticos. Dada mi participación en el grupoDidáctica de las matemáticas y la Física, acredita-do por Conciencias, de la universidad de Antioquia,he tenido la oportunidad de compartir distintos tra-bajos en este sentido y sistematizar algunas pro-ducciones (dos de ellas ya publicadas). Tambiénhe tenido la oportunidad de socializar algunas activi-dades teórico - prácticas, generadas de los resulta-dos obtenidos, en diferentes eventos académicosorganizados en mi región. También, desde esta pers-pectiva asesoré un trabajo de grado del semestre I-2002 al semestre I-2003, a un grupo de estudiantesde la facultad de Educación y he iniciado la asesoríade otro trabajo en el mismo sentido.

Fundamentos conceptuales. La concepción delas matemáticas como una ciencia formal y abs-tracta, usualmente llevada al aula, y caracterizadapor la manipulación mecánica de los sistemas sim-bólicos y estructurales, ha generado dificultades enlos docentes al intentar establecer redes concep-tuales que vinculen las capacidades y condicionessocioculturales de sus educandos. Desde esta pers-pectiva el papel del profesor ha sido similar a la deun matemático «clásico»: exhibir resultados de for-ma general, materializada en informaciones depu-radas de todo hecho exploratorio, y mediadas poruna sintaxis propia del quehacer matemático.

Los conocimientos matemáticos existentes hansurgido de una serie de problemas sociales acor-des a las necesidades culturales del momento; sinembargo, al ser publicados como conocimientoscientíficos aparecen desprovistos de todo tipo deanálisis particular de hechos concretos. Este mo-delo ha sido heredado en las prácticas educativascentradas en currículos convencionales caracteri-zados por la presentación lineal de contenidos. Deun lado, la intervención en el aula se caracterizapor una enseñanza centrada en la exposiciónacrítica de temáticas carentes de todo tipo de sig-nificado para los estudiantes; de otro, la relación

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vertical entre docente y estudiante no ha permitidouna comunicación apropiada alrededor de los obje-tos matemáticos.

Las alternativas que propendan la construcciónde un currículo desarrollado por estrategias queincorporen el aprendizaje significativo, parten deotro tipo de relaciones entre el objeto de conoci-miento, el estudiante y el profesor. Además, debenpermitir, entre otros elementos, vincular de maneraactiva al estudiante en las elaboraciones, hacer delarte de conocer un proceso no acabado, utilizaraspectos contextuales como herramientasdinamizadoras de aprendizaje y relacionar las con-ceptualizaciones particulares con las formas uni-versales socialmente construidas.

Respecto a lo expresado en las líneas anteriores,Guy Brousseau1 dice:

«El matemático no comunica sus resultados tal como losha hallado; los reorganiza, les da la forma más generalposible; realiza una «didáctica práctica» que consiste endar al saber una forma comunicable, descontextualizada,despersonalizada, atemporal.

El docente realiza primero el trabajo inverso al del científico,una recontextualización y repersonalización del saber:busca situaciones que den sentido a los conocimientospor enseñar. Pero, si la fase de personalización hafuncionado bien, cuando el alumno ha respondido a lassituaciones propuestas no sabe que ha «producido» unconocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Paratransformar sus respuestas y sus conocimientos en saberdeberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar yredescontestualizar el saber que ha producido, parapoder reconocer en lo que ha hecho algo que tengacarácter universal, un conocimiento cultural reutilizable».

En el momento actual la sociedad reclama necesi-dades y exigencias acordes a los desarrollos actua-les. Es indudable que a la escuela, desde sus distin-tos ámbitos de construcción de conocimiento, le com-pete aportar en la búsqueda de estos requerimien-tos. En particular, el aprendizaje de las matemáticaspor parte de los estudiantes adquiere importancia;por consiguiente, es tarea de los docentes decidirsepor acciones que garanticen el acercamiento y laadquisición del saber matemático básico.

Por lo tanto, se hace necesario una revisión cons-tante sobre los objetos de conocimiento matemáti-co y la naturaleza de las matemáticas escolares,

de manera tal, que podamos tomar decisiones encuanto a las matemáticas por enseñar y aprender.Más que planear una lista de contenidos, se hacenecesario reorganizarlos de modo que su enseñan-za y aprendizaje contribuya a desarrollar en losestudiantes capacidades, competencias, y actitu-des orientadas a la exploración, conceptualizacióny comunicación de ideas matemáticas.

La búsqueda y sistematización de estrategias quevinculen características como las antes menciona-das siguen siendo preocupación de las entidades yprofesores comprometidos con la educación mate-mática. En este sentido los lineamientos curricularespara el área de las matemáticas (MEN, 1998), pro-pone el replanteamiento de los programas de ma-temáticas para la educación básica y media. Porun lado, privilegian la selección de los contenidosbásicos; y por el otro, hacen énfasis en las estrate-gias metodológicas. Desde esta perspectiva, la pro-puesta pretende que la intervención pedagógicaposibilite la reflexión en el interior de los procesospara acceder al aprendizaje significativo de los con-ceptos matemáticos.

La implementación de estrategias que ofrezcanelementos para reestructurar el currículo de mate-máticas, de modo que se cualifique la visión linealdel conocimiento y genere otras motivaciones ha-cia el aprendizaje, puede emprenderse a partir deuna intervención basada en situaciones problema,tal como lo propone los lineamientos curricularesactuales, de tal manera que vincule al estudianteen un proceso de matematización y que le faciliteel redescubrimiento de los conocimientos matemá-ticos en forma cada vez más significativa.

La situación problema surge como un instrumen-to para la enseñanza y aprendizaje, en la medidaen que permite articular la actividad del estudiante,los conocimientos y los aportes del profesor. Esdecir, en el caso de las matemáticas, una situaciónproblema la podemos entender como un espaciopara generar y movilizar procesos de pensamientoque permitan la construcción sistemática de con-ceptos matemáticos.

La participación activa de los estudiantes en laconstrucción de los conocimientos hace que éstosmanifiesten sus concepciones frente al objeto encuestión, como también les permite que las expresey las comunique. El docente orienta las elaboracio-nes y modos de pensar de los alumnos de acuerdocon los propósitos planteados en la situación. De estamanera los conocimientos presentes en la situaciónse revisten de significado para el estudiante y em-

1 Guy Brousseau . Los diferentes roles del maestro. Texto de una conferencia pronunciadaen Canadá en enero de 1988. En Parra, Cecilia E Saiz, Irma. Didáctica de las matemáticas,Paidos, Buenos Aires, 1993. P. 65

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pieza a abrirse una gama de relaciones entre losconceptos, haciendo que no se agoten de inmediato.

En general, una situación problema la podemosinterpretar como un espacio para el aprendizaje,en el que los estudiantes al interactuar con los con-ceptos, dinamizan la actividad cognitiva, generan-do procesos de reflexión conducentes a la adquisi-ción de nuevos conocimientos.

El diseño de una situación problema requiere lacontextualización de las condiciones de la pobla-ción estudiantil, de tal manera que los medios ymediadores tengan una estrecha relación con laspreguntas orientadoras, ya que éstas son las en-cargadas de movilizar el proceso de pensamientoen la construcción de ideas matemáticas. De estamanera los alumnos son incorporados a un ambientede aprendizaje diferente al acostumbrado desde lasprácticas donde prima la exposición del profesor yla actitud pasiva del estudiante.

“Cuando las matemáticas se originan de forma natural apartir de situaciones problemáticas que tienen sentidopara los niños y están regularmente relacionadas con suentorno, pasan a ser relevantes y ayudan al niño a ligarsu conocimiento con distintos tipos de situaciones. A medidaque el niño avanza de nivel, debe encontrarse con tiposmás diversos y complejos de problemas que surjan tantodel mundo real como de contextos matemáticos” ,( NCTM,1989, p. 21).

Las situaciones problema, además de serdinamizadoras de la actividad del estudiante se con-vierten para él en formas de conocer; de ahí quedeben contener implícitos los conceptos que que-remos que aprenda; por lo tanto las preguntas nodeben ser demasiado abiertas. En este sentidoMORENO, L. y WALDEGG, G., escriben:

...La situación problema es el detonador de la actividadcognitiva, para que esto suceda debe tener las siguientescaracterísticas:

Debe involucrar implícitamente los conceptos que se vana aprender.

Debe representar un verdadero problema para elestudiante, pero a la vez, debe ser accesible a él.

Debe permitir al alumno utilizar conocimientosanteriores…(2002, p. 56)

Las reorganizaciones curriculares desde una es-trategia basada en situaciones problema modificasustancialmente el papel de los estudiantes, el pro-fesor y la naturaleza de las matemáticas a ense-ñar. Los alumnos participan activamente desde susconcepciones en la construcción de los conceptos,

se ven influenciados por diferentes formas expre-sivas para un mismo concepto y tienen la oportuni-dad de comunicar ideas matemáticas.

El usual rol protagónico del profesor en el salónde clases, también cambia en la medida en que losestudiantes, desde las situaciones problema, explo-ran, representan, discuten y hacen preguntas y eldocente debe estar atento a hacer la orientaciónde las mismas y a sus requerimientos de sus elabo-raciones. Desde esta perspectiva se genera un es-pacio de interacción donde priman los procesos deaprendizaje sobre los de enseñanza. “Los profeso-res han de crear una atmósfera que estimule a losniños a explorar, desarrollar, comprobar, discutir yaplicar ideas. Tienen que escuchar a los niños conatención y dirigir el desarrollo de sus ideas”.(NCTM, 1989, p. 15).

Las matemáticas escolares no pueden seguir sien-do fragmentos de contenidos a presentar de mane-ra desarticulada en el aula, ni caracterizadas porun marcado énfasis en procedimientos algorítmicos.La organización de los conceptos a través de si-tuaciones problema, busca precisamente que elcurrículo sea asimilado desde las diversas relacio-nes conceptuales, propiciando el desarrollo de ha-bilidades de pensamiento matemático.

Las situaciones problema en la educación mate-mática pueden asumirse como un instrumento deenseñanza y aprendizaje que propicia niveles deconceptualización y simbolización de manera pro-gresiva hacia la significación matemática. Para elloes importante establecer relaciones entre los con-ceptos, a modo de redes conceptuales, entendidasestas como especies de mallas, donde los nudosson los centros de las distintas relaciones existen-tes entre los conceptos asociados a los conocimien-tos que la situación permite trabajar. La estructuray desarrollo de la red dinamiza el currículo de lamatemática, en el sentido que elimina el carácterabsoluto y acabado de las temáticas, pues éstas,por el contrario, son recreadas desde la variedadde significados entre ellas.

La red conceptual es la encargada de que el pro-ceso de intervención genere, cada vez más, rela-ciones entre los conceptos, y que los procesos dematematización entre los mismos no se agoten. Esdecir, la red puede extenderse desde los distintosnudos (conceptos) a otros núcleos temáticos, posi-bilitando la motivación hacia nuevas representacio-nes de los objetos involucrados. Esto es posible a

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partir de una adecuada propuesta y sistematiza-ción de preguntas y actividades que orientan el pro-ceso de enseñanza y aprendizaje.

“La red de relaciones entre conceptos y estructurasmatemáticas son inagotables, permiten generarcontinuamente nuevos procedimientos y algoritmos; noes posible pues dar por terminado el dominio de ningúnconcepto en un breve período de tiempo, ni pretenderque se logre automáticamente una conexión significativaentre un conocimiento nuevo y aquellos conocimientospreviamente establecidos”. (MEN, 1998, p. 6).

Referencias bibliográficas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1998).Lineamientos Curriculares, Matemáticas. Santafé de Bogotá.

El taller tiene como propósito generar un espaciode reflexión sobre la actividad de demostrar en elámbito escolar y el potencial que brindan los soft-ware de geometría dinámica para la generación deambientes de aprendizaje que lleven a la compren-sión de la demostración. En la primera sesión ha-remos una caracterización de lo que concebimoscomo “demostrar” en el ámbito escolar y daremosargumentos a favor de rescatar la esta actividaden el currículo de secundaria. En la segunda se-sión, daremos a conocer algunos reportes investi-gativos que ilustran de qué manera la demostra-ción aparece en diversidad de contextos de geo-metría dinámica, refutando concepciones según lascuales esta actividad se ha visto en peligro por lapresencia de tales herramientas tecnológicas.

En ambas sesiones ilustraremos mediante ejem-plos, la idea según la cual, con diseños cuidadosa-mente elaborados y la gestión del profesor en elaula, estos ambientes brindan herramientas quefavorecen la enseñanza de la demostración al vin-cular efectivamente las estrategias heurísticas deresolución de problemas con el desarrollo del pen-samiento deductivo.

CARMEN SAMPER DE CAICEDOCLARA EMILSE ROJAS

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

La geometría dinámicaen la enseñanza dela demostración

El hilo conductor de la reflexión será la presenta-ción de dos tendencias investigativas diferencia-das según el interés hacia donde apunta el objetivode la actividad matemática acerca de la demostra-ción: aquellas en donde la experiencia investigativase centra en preparar para la demostración y aque-llas en donde se enseña a demostrar. En el primercaso, se busca que los estudiantes adquieran con-ciencia de la dependencia entre propiedades geo-métricas y sean capaces de formular tal depen-dencia en lenguaje matemático. En el segundo casose busca enseñar a demostrar a partir, bien sea delestablecimiento de un contrato didáctico en el cuállas conjeturas y/o las construcciones deben ser jus-tificadas, o bien de la introducción de la necesidadde demostrar como recurso para superar contra-dicciones o incertidumbres.

En el taller incluiremos actividades prácticas, rea-lizadas usando las calculadoras graficadoras que tie-nen incorporado el software CABRI, que permitana los participantes experimentar el modelo de situa-ciones que proponemos en la vía de la introducciónde la necesidad de demostrar como recurso parasuperar contradicciones o incertidumbres.

Referencias bibliográficas

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CAPÍTULO IV

COMUNICACIONESBREVES

Con la preocupación en las altas tasas de fraca-so estudiantil en los cursos iniciales de matemáti-cas en las facultades de ingenierías, y cuestionan-do el sistema o modelo de evaluación predominan-te en los niveles universitarios1 , el grupo de trabajosobre evaluación en matemáticas de la PontificiaUniversidad Javeriana. Seccional Cali2 , ha estadoimplementando, durante dos años y con elementosteóricos de fondo, un modelo de evaluación queinvolucra el análisis del saber matemático de base,el saber matemático circundante, la historia delestudiante y sus aspectos cognitivos y los instru-mentos que ponen en interrelación el saber mate-mático con el aspecto cognitivo3 .

En la comunicación corta, y tomando como ejem-plo una temática4 particular, se mostrarán los pro-

La evaluación enmatemáticas en el niveluniversitario: más quebuenos instrumentos

NAZLY E. SALASHAROLD CASTILLO SÁNCHEZ

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA.SECCIONAL CALI

cesos de análisis involucrados en el modelo de eva-luación y los resultados obtenidos con este modelo;de igual forma, se presentarán las reflexiones quese han dado al interior del grupo sobre los modelosevaluativos y los elementos curriculares en la ense-ñanza de las matemáticas en el nivel universitario.

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ROMBERG,T. and COLLIS, K. et al. (1982). The Developmentof Mathematical Problem-Solving Superitems. (Report on theNIE/ECS Item Development Project). Winsconsin Center forEducation Research. School of Education, University ofWinsconsin – Madison1El modelo predominante es del sumativo; cuyas características son las siguientes: (a)

se "evalúa" a los estudiantes con tres o cuatro instrumentos durante un semestreacadémico, (b) se clasifica a los estudiantes de acuerdo con una nota numérica que sele asigna a las respuestas que ellos dan a los ítemes incluidos en los instrumentosutilizados, (c) se cree que con esta nota, y con los ítemes incluidos en estos instrumentos,se determina el aprendizaje suficiente, de los estudiantes, sobre ciertos temas que le sonnecesarios para avanzar en la carrera de su elección.

2 Grupo que viene funcionando desde el segundo semestre de 2001 y que está conformadopor 7 profesores del área de matemáticas: Carlos E. Cardona, Carlos Garzón, HaroldCastillo, Jairo Acosta, Jorge Figueroa, Nazly Salas y Omar Martinez.

3Para el análisis del saber, tanto de base como circundante, se ha tomado la fenomenologíade Freudenthal, para los aspectos cognitivos la Taxonomía SOLO y los mapasconceptuales de Novak, modificados y aplicados a las matemáticas, y para losinstrumentos, la teoría de los superitems y los estándares curriculares y de evaluación dela NCTM.

4La temática que servirá de ejemplo será: El álgebra de los números Reales.

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Paradojas y movimiento:Una aproximación a los7 problemas del continuo

JOHN ALEXANDER CRUZ MORALES

Contextualización y propósitos

El concepto de continuidad es considerado fun-damental en la educación matemática de los nive-les medios (Rigo, 1994), así como en los primerosaños de la universidad, razón por la cual se hanvenido desarrollando una serie de investigacionestendientes a: establecer las distintas concepcionesy conflictos cognitivos que presentan los sujetos enla construcción de este concepto (Romero, 1996;De la Torre, 2001), aplicar modelos educativoscomo el propuesto por Van Hiele para el estudio dela continuidad (Pérez, 1998; Pérez y De la Torre,2000; De la Torre 2000). Otro tipo de estudios sonlos que ubican el problema de la continuidad al in-terior de las problemáticas del infinito, el númeroreal, el límite o la convergencia. (Núñez, 1997;Garbin, 2002).

Estas investigaciones han reconocido la impor-tancia de tematizar sobre la modelación matemáti-ca del espacio y el tiempo como continuos, en rela-ción con los modelos de recta como agregado depuntos, bien sea de tipo finitista o infinitista (de cortepotencial o actual) y la representación de los nú-meros reales en la recta, como problemáticas cen-trales del continuo, de tal forma que sea posibleestablecer las ideas de estudiantes y profesores, yasí formular secuencias didácticas que permitan unaconstrucción del concepto de continuidad1 .

En este marco, las paradojas de Zenón de Elea,surgen como situaciones idóneas para aumentar elespectro fenomenológico de los estudiantes y pro-poner discusiones con relación a las temáticas queseñalábamos en el párrafo anterior, al estar dise-ñadas, según la intención de su autor, para discutirel problema del movimiento vía la reflexión sobrela continuidad del tiempo y el espacio, y poner enevidencia los problemas que envuelven al infinito,el infinitesimal y la continuidad, como lo ha señala-

do Russell. De allí que consideremos de gran im-portancia, sustentados en el análisis histórico2 , te-ner en cuenta los argumentos planteados por Zenónen cualquier propuesta que pretenda abordar el con-cepto de continuo.

Por este motivo, en la presente comunicación seprocederá en dos momentos de reflexión, en loscuales se pretende:

1. Analizar las paradojas de Zenón como contextoprivilegiado que permita extender el campofenomenológico de los estudiantes con relacióna la continuidad.

2. Estudiar algunas concepciones sobre la conti-nuidad que se desprenden de la reflexión en tornoa las paradojas de Zenón y la problemática delmovimiento que plantean.

Conclusiones

El análisis de las paradojas de Zenón, permiteidentificar dos grandes concepciones sobre el con-tinuo, a saber, una concepción analítica y una con-cepción sintética. Dentro de la concepción analíti-ca, el continuo se conceptualiza como un agregadode puntos, mientras que en la concepción sintéticase rechaza tal proposición3 .

La dicotomía que plantea la composición del con-tinuo por medio de puntos o no, genera las principa-les problemática a que se enfrentan los estudiantesal momento de construir la noción de continuidad,como lo muestra De la Torre (2001). Tal problemá-tica surge en el contexto histórico, a la luz del intentode dar respuesta a las aporías propuestas por Zenón.,en las cuales la discusión central está planteada conel fin de esclarecer la estructura del continuo y de-terminar sus elementos constituyentes.

En el sentido señalado al final del párrafo ante-rior, como espacio de discusión que posibilita re-flexionar sobre la estructura del continuo por me-dio de la “intuición” de la continuidad del espacio yel tiempo, es que se considera el principal aportede las paradojas de Zenón a la didáctica de lasmatemáticas., puesto que no solo proporciona ele-mentos de análisis para comprender las formas de

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

1 Señalemos que las investigaciones que hemos referenciado privilegian una idea decontinuidad a la manera de Dedekind-Cantor, por lo cual ésta se presenta como laconcepción a ser transpuesta en el discurso escolar.

2 Este análisis corresponde al trabajo de investigación que el autor ha venido realizandoen la Universidad Distrital, para optar al título de Licenciado en Matemáticas, bajo ladirección del profesor Oriol Mora.

3 Como ejemplos característicos de estas concepciones, en el contexto histórico, setiene para el caso de la concepción analítica la teoría de Cantor-Dedekind y para laconcepción sintética la teoría Aristotélica y la teoría Peirceana.

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construcción de los sujetos sobre el concepto decontinuidad, sino que a su vez brinda experienciassusceptibles de ser trabajadas en el aula de clase.

Referencias bibliográficas

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GARBIN, S. (2002). Infinito actual e inconsistencias: Acercade las incoherencias en los esquemas conceptuales de los alum-nos de 16-17 años. En: Enseñanza de las Ciencias, Vol 20, pp87-113.

Cuando se caracteriza al currículo como plan deformación, podemos determinar un nivel específicoque se refiere a las directrices sobre el plan de for-mación que va a tener lugar en el aula. En este caso,el plan de formación se concreta al determinar lossiguientes aspectos: objetivos, contenidos, metodo-logía y criterios e instrumentos de evaluación, estascuatro componentes caracterizan al currículo comoplan operativo de actuación para el profesor.

Alrededor los anteriores aspectos se problematizala elaboración de este plan operativo de actuacióndel profesor al argumentar que para el profesor enel momento de planificar, no existe una clara dife-rencia entre los objetivos de una planificación alre-dedor de geometría o una alrededor de álgebra, porejemplo, y que lo mismo ocurre con la metodologíay la evaluación, prácticamente la única diferenciaentre una planificación y otra es el contenido ma-temático, por ello, el análisis sobre las cuatro com-

Una mirada a organizadorescurriculares, apoyada enuna investigación de análisisde textos de octavo grado

ponentes se reduce a el análisis de los contenidos ya consideraciones genéricas de los otros tres as-pectos o componentes. Estos conocimientos sobreel contenido, que generalmente maneja el profesor,son conocimientos de las diferentes disciplinasmatemáticas (álgebra, análisis, aritmética,..) y cum-plen las dos condiciones para ser llamados organi-zador curricular, es decir son conocimientos concarácter objetivo y ofrecen una diversidad de op-ciones para estructurar unidades didácticas.

Se puede proceder a interrogar sobre, ¿qué otrosconocimientos, distintos a los contenidos, son útilesy necesarios para una adecuada programación?Para abordar este interrogante se establece unejemplo alrededor de una investigación sobre unanálisis de textos en octavo grado, el cual se ubicaen el ambiente escolar, y del ambiente escolar endos espacios, uno de ellos los conceptos a ser en-señados, y el otro las herramientas de apoyo paralos procesos de aprendizaje de dichos conceptos.

En la investigación, en lo referente a los concep-tos se escogió el continuo numérico y en relacióncon las herramientas de apoyo, los textos escola-res de matemáticas de octavo grado. Para exami-nar el continuo numérico desde la matemática, enla investigación se plantean las preguntas: ¿Qué esun número?, ¿Qué es número real?, ¿En qué con-siste la continuidad?, y, ¿En qué sentido el paso delinfinito potencial al infinito actual garantiza el pasode los racionales a los reales? El abanico de posibi-lidades en cuanto a las disciplinas que pueden apo-yar unas sólidas respuestas al examinar el conti-

JEANNETTE VARGASHERNÁNDEZ

NUÑEZ, R. (1997). Infinito en lo pequeño y desarrollocognitivo: Paradojas y espacios consensuales. En: EducaciónMatemática, Vol 9, No 1, pp 20-32.

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nuo numérico, se traduce, entre otros, en informes de investigaciones sobre el recorrido histórico yepistemológico, los análisis cognitivos existentes, las diversas construcciones matemáticas de los núme-ros reales y los libros de matemáticas. Vale la pena anotar que al indagar sobre esos informes, el docenteestablece conocimientos sobre la temática y dichos conocimientos le brindaran herramientas para abor-dar el trabajo de programación. Por ser conocimientos objetivos y que ofrecen diversidad de opcionespara programar, se identifican como organizadores curriculares.

Teniendo en cuenta lo anterior, de la investigación, se retoma parte de una síntesis que ilustra conocimien-tos involucrados en el organizador curricular Evolución histórica de cada campo e incluso del concepto.

CONCEPCIÓN EUCLIDIANA CONCEPCIÓN DE STEVIN

De la concepción euclidiana se resaltan dos características:El 1 no es un número.El número sólo puede aplicarse al estudio de coleccionesdiscretas.Para Aristóteles, la divisibilidad es la operación fundamentalque permite la clasificación y definición de las cantidades:"...Un número es una cantidad divisible sólo un número finitode veces; su característica definitoria es ser discreto"

En la obra matemática de Stevin, se visualiza la rupturaexplícita con la concepción euclidiana a través de las si-guientes premisas:La unidad es un número.La unidad es divisible ilimitadamente.Las partes de la unidad son a su vez números.El gran cambio que encierra la concepción de Stevin es elque número es el medio para hacer evidente la cantidad(que es una propiedad de las cosas)

Con los conocimientos generales sobre las cons-trucciones de los números reales, en la investiga-ción se centra el referente teórico en el trabajorealizado por Richard Dedekind en la formalizacióndel concepto de continuidad, en esta parte de lainvestigación se encuentran entrelazados conoci-mientos relacionados con dos organizadorescurriculares; los conocimientos acerca de la evo-lución histórica del concepto y conocimientos es-pecíficos desde la disciplina matemática.

Como parte integrante del análisis de textos,se enuncian algunas observaciones que permi-ten reflexionar sobre el organizador curricular;diversidad de material manipulativo y de recur-sos que puedan emplearse en la enseñanza, através de la siguiente observación: “El texto unoenfoca su trabajo a argumentar la existencia denúmeros irracionales a partir de las magnitudesinconmensurables, a la vez que pretende forma-lizar la existencia de algunos irracionales me-diante actividades prácticas de medición y de-mostraciones algebraicas...”(PERILLA, C. yVARGAS, J., 2003).

A manera de conclusión. Con lo expuesto, semuestran brevemente de conocimientos sobre unconcepto matemático, conocimientos que son de-nominados organizadores curriculares por seraquellos conocimientos que adoptamos como com-ponentes fundamentales para articular el diseño,

desarrollo y evaluación de unidades didácticas. Seenuncian dentro de los organizadores curricularesa los conocimientos acerca de: Problemas u obs-táculos de aprendizaje que se detectan o plantenpara cada concepto; Diversidad de representacio-nes utilizadas para cada sistema conceptual;Fenomenología de los conocimientos implicados,así como aplicaciones practicas de cada bloquede contenidos; Diversidad de material manipulativoy de recursos que puedan emplearse en la ense-ñanza; Evolución histórica de cada campo e inclu-so del concepto.

Referencias bibliográficas

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En la actualidad no se puede desconocer que elconocimiento matemático está conectado con lavida social y cultural de una persona, dado que éstecontribuye a su formación como ciudadano críticoy le brinda herramientas para tomar determinadasdecisiones dentro de su contexto en forma indivi-dual y/o colectiva.

Es por esto que se deben relacionar los conteni-dos de aprendizaje con la experiencia cotidiana delos alumnos, a través de situaciones problémicas yde intercambio de puntos de vista.

Con este enfoque, el docente debe asumir el com-promiso de propiciar unas matemáticas accesiblesy agradables, que busquen minimizar el divorcioentre la abstracción y la utilidad social, es decir,pensar en unas "matemáticas significativas", tra-bajado en ambientes que estimulen el aprendizajecooperativo y que permitan la aplicación de cono-cimientos en contextos reales.

Ante esta realidad se elaboró una propuesta peda-gógica que consistió en un estudio de las construccio-nes antiguas de Barranquilla, donde el objetivo princi-pal se centro en involucrar los tres ejes fundamenta-les de la actividad matemática, propuestos en loslineamientos Curriculares (1998) que son: Procesosgenerales, Conocimientos Básicos y Contexto.

Los procesos generales tales como el razonamien-to, el planteamiento y solución de problemas y lacomunicación se fueron involucrando gradualmen-te a través del transcurso del proyecto. El contextodel proyecto se realizó en el barrio el Prado deBarranquilla, debido a que parece ser que sus ar-quitectos apreciaron particularmente una simetríabilateral y translatoria.

El estudio de lasconstrucciones antiguas deBarranquilla: Una propuestapara abordar el principio desimetría en los estudiantesde séptimo grado

Antes de abordar el estudio de las construccio-nes, motivé a mis estudiantes a realizar una tarea,la cual consistió en consultar la palabra simetría ycompartir estas definiciones en clase. Algunos alum-nos después que consultaron me preguntaron quesi podían explicar el tema en clase a través de ple-gados y recortes de figuras simétricas, no oponién-dome a sus ideas.

El día de la clase todos trabajaron con tijeras,colores y papel oficio. Lo interesante de la activi-dad, fue la participación activa de cada uno de losestudiantes.

Ya con la idea de mis alumnos clara pero un pocovaga del principio general de simetría, encontré a tra-vés de las construcciones antiguas del Barrio el Pra-do una propuesta importante para darle a este princi-pio un significado preciso, concreto y significativo.

El estudio consistió primero en comenzar a in-vestigar la historia e importancia del Barrio el Pra-do, sus pioneros y la influencia que tuvo la épocaen sus construcciones.

Después nos desplazamos a dicho barrio y comen-zamos a tomar fotografías a las construcciones an-tiguas que pertenecen al patrimonio histórico con laintención de buscar patrones y características deestética y belleza que resaltan estas obras.

En el salón de clase, frente a las exposiciones, fuemuy enriquecedor escuchar la discusión de los estu-diantes y mirar sus puntos de vista y sus percepcio-nes acerca de lo que observaban en las fotos. Susconclusiones y aportes fueron muy valiosos a la horade definir y apreciar el principio de simetría.

Al final mis estudiantes organizados en grupos,entregaron un informe de este estudio con sus res-pectivas fotografías.

Lo más provechoso de todo este estudio es quecada vez que los estudiantes que por alguna razónvisitan estos lugares, recuerdan que lo aprendidoen matemáticas fue valioso.

Referencias bibliográficas

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MILARET, G. Aprendizaje de las matemáticas. Cómo se Ense-ñan. Cómo se Aprenden. México: Pablo del Río, 1980.

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Desde la perspectiva metodológica de los Mode-los Teóricos Locales se aborda la problemática dela adquisición de los elementos básicos del lengua-je algebraico por parte de estudiantes de octavogrado de la escolaridad colombiana.

Esta perspectiva metodológica considera la ela-boración de un Modelo Teórico compuesto por cua-tro componentes interrelacionados que permitenobservar los fenómenos que se presentan en la ad-quisición del lenguaje algebraico; estas componen-tes son: el Modelo de Enseñanza; Modelo para losProcesos Cognitivos; Modelo de Competencia For-mal y Modelo de Comunicación.

Una hipótesis central del proyecto considera quela manera de iniciar el trabajo algebraico en laescuela, partiendo de los aspectos sintácticos, seconstituye en fuente de dificultad; por tanto elabordar este trabajo inicial en contextos a partirde los cuales se pueda construir significado paralos objetos algebraicos y sentido para las opera-ciones que se realizan con ellos es fundamental.El sentido pragmático del lenguaje algebraico, enel cual se considera a los sujetos como usuarioscompetentes, surge entonces como un aspecto devital importancia que orienta la elaboración de lassituaciones que se ponen en juego en el desarro-llo de la experimentación.

Así, en el marco de la construcción del ModeloTeórico Local, los resultados del análisis históricoepistemológico permiten resaltar dos aspectos cen-trales en el desarrollo del proyecto.

Por un lado, estos resultados han posibilitado laconsideración del álgebra como una disciplina cu-yos conceptos organizan fenómenos relacionados

Caracterización del papel dela modelación de problemasgeométricos en la adquisiónde los elementos básicos dellenguaje algebraico

con la variación y lo desconocido, los cuales seexpresan en un lenguaje particular denominadoalgebraico, con una semántica, sintaxis y prag-mática que adquieren características específicasen relación con otros lenguajes, y que tienen quever con la naturaleza de los signos que lo consti-tuyen, los usos y los ámbitos de estos usos, y lossignificados particulares que pueden atribuirse alos objetos algebraicos.

Esta manera de concebir el álgebra la ubica en elámbito en el cual ésta es el resultado de procesosde razonamiento que evolucionan de contextos vin-culados con problemáticas que habitan en el planode la cantidad, fuertemente ligados a la aritméticay a la geometría, hacia planos más formales en loscuales no hay compromisos ontológicos con estasdos disciplinas y que se caracterizan por un interéscentrado en las relaciones y operaciones con losobjetos más que en los objetos mismos .

Esta perspectiva entreteje a la historia de estadisciplina, elementos de vital importancia para lasmatemáticas como son la construcción del conceptode número y de los sistemas numéricos, y vincula-do a ello la construcción del continuo real, y permi-te caracterizar el proceso a partir del cual el hom-bre construye un lenguaje formal y autosuficienteen una actividad compleja de razonamiento que in-volucra procesos de generalización, tematización ymodelación.

Por otro lado, los resultados del análisis históricoepistemológico han permitido caracterizar el papelfundamental que en distintos momentos jugó la geo-metría en la consolidación del álgebra como disci-plina. Esta relación en la cual la geometría se cons-tituye como campo desde donde se justifican ac-ciones realizadas en el plano algebraico, o comoinstrumento de validación de resultados, tiene unpunto máximo en el trabajo de Descartes, el cuallogra a través de la integración de lo continuo y lodiscreto, del uso del método de análisis y del esta-blecimiento de una operatividad algebraica con lossegmentos consolidar el papel del álgebra en la his-toria de las matemáticas.

Todo lo anterior hace suponer que los contextosgeométricos pueden aportar de manera importanteno sólo en la enseñanza y aprendizaje del álgebrasino también en la construcción de su lenguaje.

LUZ EDITH VALOYES CHÁVEZUNIVERSIDAD DEL VALLE

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De lo abstracto a lo concreto

Las escuelas hoy en día están buscando entrenara los niños en la resolución de problemas, presu-miendo que en los grados superiores, cuando se en-frenten con un nuevo problema lo clasificarán enuno de los modelos estudiados. Sin embargo los he-chos en la actualidad han demostrado que en la prác-tica los niños tienden a olvidar estos procedimientos.

Frente a esta situación el proyecto denominado“la tienda escolar” ofrece herramientas a los maes-tros permitiéndoles ayudar a los niños a desarrollarsu pensamiento aditivo, de tal forma que lleguen aresolver un problema pues logran establecer las re-laciones que éste involucra, y no como consecuen-cia del aprendizaje mecánico de un procedimiento.

Esta actividad se desarrolla dentro del aula declase, donde los niños decoran su salón con avisos

La tienda escolar: unaestrategia para la construc-ción del pensamiento aditivoen primaria

HEMBER JESÚS LLANOS BOOZCOLEGIO HEBREO UNIÓN DE

BARRANQUILLA

alusivos a la tienda del colegio, pegando precios yhaciendo ofertas del día. Entre ellos salen volunta-rios para desempeñar la labor de vendedor y due-ño del negocio. Después de esto comienza la di-versión, los niños comienzan a comprar y otros avender los alimentos, utilizando monedas y billeteshechos en clase. Cada estudiante se le da la opor-tunidad de escoger lo que más le gusta y mirar sí eldinero que tienen le alcanza para comprarlo.

Aquí es interesante observar y registrar las conver-saciones de los niños cuando compran, darse cuentadel lenguaje que utilizan, la manera cómo entienden yresuelven las diferentes situaciones que se les pre-sentan, posibilitando de esta manera al docente laoportunidad de conocer los procesos y niveles de or-ganización del pensamiento de sus alumnos.

En resumen esta experiencia pedagógica, ade-más de ayudar a los niños a encontrar sentido a loque hacen, les permite ejecutar múltiples accionesy resolver una variedad de preguntas necesariaspara desarrollar su pensamiento aditivo.

Referencia bibliográfica

LABINOWICZ (ed). Introducción a Piaget. Pensamiento, apren-dizaje, enseñanza. Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.

La matemática es una ciencia creada por el hom-bre y aunque es fundamental en el desarrollo delos pueblos, causa temor y apatía en algunos estu-diantes. Por tanto, la enseñanza y el aprendizaje delos conceptos matemáticos deben estar orientadospor elementos del mundo exterior, que medien en-tre lo abstracto y lo concreto ampliando su sentidoy significado.

Las estrategias didácticas deben ser procesos devalidación en el quehacer escolar que busquen elequilibrio entre lo formal y lo aplicado, entre la exac-titud y la aproximación.

Para que las estrategias cumplan el objetivo se-ñalado deben estar fundamentadas en las compo-

STELLA MONCADAINEM - CÚCUTA

nentes o elementos que conforman el concepto odefinición, así como las relaciones establecidas en-tre ellas.

En el desarrollo de pensamiento matemático, elpensamiento numérico y los sistemas numéricos sonde gran importancia; definir el efecto de los opera-dores permite ir más allá, es ampliar su sentido ysignificado.

Para observar el efecto del operador fracciona-rio se ha utilizado el plegado de unidades rectangu-lares; a partir del conteo y medición de las partesplegadas se señalan los elementos o componentesde dicho operador. Este proceso facilita, posterior-mente ordenar, amplificar, simplificar y operar conlas unidades plegadas, permitiendo que los niños yniñas expliquen, argumenten y problematicen confraccionarios positivos.

En esta comunicación se presentará una expe-riencia de aula y los resultados del trabajo conlos niños.

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Descripción

Es tradición en los docentes de matemáticas en-señar y en los estudiantes resolver potencias cua-dradas multiplicando el número por si mismo, estoes porque no existe otra manera de hacerlo o sen-cillamente porque así lo aprendimos. Después deuna reflexión pedagógica y ciertos trabajos con losnúmeros y las reglas que los relacionan encontra-mos que es posible desarrollar un método que tam-bién permite calcular potencias cuadradas y poste-riormente servirá como herramienta para resolverproductos notables.

Este método consiste en tomar productos de nú-meros enteros y transformarlos en productos denúmeros decimales dividiendo cada factor por unapotencia entera de diez (10n-1; donde n es el núme-ro de cifras de la cantidad) luego se resta la partedecimal del segundo factor y se suma al primerfactor , se efectúa el producto resultante y al resul-tado se le suma el producto de los decimales final-mente lo convertimos en un número entero multi-plicando por 10n.

Un método alternativo paracalcular potencias cuadradasy resolver algunos productosnotables

ROBERTO CARLOS TORRES PEÑAAUGUSTO OSPINO MARTÍNEZ

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

Cálculo de potencias cuadradas (caso particularnúmero de dos cifras). Todo número de 2 cifras

ab

se puede escribir como ba +10 y de acuerdocon el Binomio de Newton tenemos

222 20100)10( bababa ++=+ . Veamos:

1 )10()10( baxba ++

2

)10

()10

(10

)10(

10

)10( bax

ba

bax

ba ++=++

3 Si restamos la parte decimal del segundo factor

y la sumamos al primer factor, nos queda:

5)

5( 2 ab

axab

a +=+

4 Multiplicamos la parte decimal 1001010

2bb

xb = y

la sumamos al resultado del paso 3, y nos queda:

1005

2

2 baba ++

5 A este resultado lo multiplicamos por 100 que

es el cuadrado de 10, así:

22

2

2 20100)1005

(100 bababab

ax ++=++

que es lo que se quería obtener.

Referencias bibliográficas

MATEMÁTICA NOVA 6°, 7° 9°. Editorial Voluntad.

APÓSTOL, Tom M. Análisis Real y Complejo.

Matemática Cultura y Aprendizaje: Iniciación al Álgebra # 23.Madrid-España: Edit. Síntesis.

Los lineamientos curriculares de matemáticasevidencian la práctica empleada en nuestras cla-ses de matemáticas al trabajar los procesos y con-ceptos relacionados con la medición y la medida:se desatiende la construcción de los conceptos decada magnitud; se impide conocer el desarrollo his-

Nuestros juegos autóctonosacercan a los niños a la me-dición en sus primeros añosde escolaridad

LUCÍA MARTÍNEZ DE AMAYAUNIVERSIDAD POPULAR

DEL CESAR

tórico de la medida, se reduce el proceso de medira la asignación numérica, no se trabajan los princi-pios en los cuales se apoya la medición, se descui-da el transfondo social de los procesos de medida.Es entonces necesario, cambiar el trabajo de aulapara lograr el desarrollo de los procesos del pensa-miento métrico y sistemas de medidas.

Se trata de una propuesta metodológica que utili-za actividades relacionadas con la cotidianidad delos niños: el juego; y con las costumbres de la re-gión para conducir al estudiante de básica primariaa un aprendizaje de la medida, y la medida de lalongitud.

Medir es mucho más que la actividad de hacermediciones numéricas., es un proceso que se inicia

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Análisis exploratoriode datos en la escuela

GLORIA C. OBREGÓN DE MORAUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

DE PEREIRA

Diseño, exploración de datos e interpretación sonelementos centrales del pensamiento estadístico.El análisis exploratorio de datos, que es la formacontemporánea de la estadística descriptiva, poten-ciada por numerosas y más elaboradas técnicasdescriptivas, pero especialmente por una filosofíadebida en gran medida a Jhon Tukey, tiene comopropósito la exploración sin restricción de los datosen búsqueda de patrones de interés. Las conclu-siones derivadas de la exploración son informales,basadas en lo que vemos en los datos y se aplican

solamente a los individuos y circunstancias de losdatos disponibles. Es un pre-requisito para la infe-rencia formal.

En la escuela, el desarrollo del pensamiento es-tadístico se debe iniciar con la exploración de losdatos para potenciar en el estudiante su espíritucrítico, analítico e investigativo y para comprome-terlos tempranamente en la interpretación de re-sultados lo cual puede ayudar a establecer buenoshábitos que pagarán dividendos cuando se enfren-ten a la inferencia formal. La motivación no es unproblema. A los estudiantes les gusta el análisisexploratorio de datos.

Con esto en mente, iniciamos la exploración delos datos (siempre con datos en un contexto) bus-cando los patrones generales de su distribución ob-servados en su representación gráfica y luego des-

con la observación e identificación de la propiedadfísica susceptible de medición (percepción de lo quese va a medir) y continúa con la comparación delos objetos que tienen la misma propiedad, utilizan-do un estándar de medida o referente

Una de las propiedades físicas que se puedenpercibir y después comparar para su medición esla longitud.

Toda medida debe cumplir las siguientes propie-dades

1. La medida del todo es igual a la suma de lasmedidas de sus partes. Propiedad que se cono-ce con el nombre de aditividad finita.

2. La medida de “nada” o ninguno es cero. Estapropiedad está implicada por la propiedad ante-rior.

3. La medida de una parte nunca es mayor que lamedida del todo. Esta propiedad se llama mo-notonía.

4. Si un experimento de medición se hace bajodeterminadas condiciones físicas, entoncescuando el experimento se repite bajo las mis-mas condiciones, los resultados obtenidos soniguales.

Conclusiones

Juegos autóctonos de la región de Valleduparcomo “La Cuarta”y “La Macana” en su formaoriginal y sus variaciones, condujeron a los niños,que los utilizaron, a dar significado a la magnitudlongitud, comparar la distancia entre dos objetos,desarrollar destrezas para medir, descubrir la ne-cesidad de un referente, utilizar procesos de esti-mación, elementos todos que potencian la capaci-dad de los estudiantes para enfrentarse a situacio-nes cotidianas.

Referencias bibliográficas

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MEN. Lineamientos curriculares de Matemáticas.

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cribiendo con números la distribución de los datos.Tendremos entonces un paquete de herramientasgráficas y numéricas para describir distribucionesy sobre todo una estrategia clara para explorardatos de una variable.

Diseño. En la escuela se introducen de maneraexploratoria conceptos básicos de diseño, despreo-cupándose del rigor matemático y estadístico de lastécnicas de diseños experimentales. Sin embargo, elprofesor debe tener siempre presente algunos crite-rios mínimos para involucrar al estudiante en la ge-neración de datos, objetivo primario del diseño.

Por ejemplo, en la elaboración de una encuestasencilla, la formulación clara y precisa de la pre-gunta o preguntas es el primer paso para iniciarcon paso firme una investigación. Preguntas ambi-guas o mal formuladas conducen a obtención dedatos que responden a inquietudes distintas a lasprevistas y echan a perder el tiempo y esfuerzoinvertido en la consecución de los datos. Por tanto,es importante tener claridad acerca del objetivo quese persigue al realizar una encuesta. En el aula declase, el diseño de un cuestionario debe ser claro,sencillo y generalmente su objetivo es el de utilizarla información que arroje la encuesta para explo-rar los resultados observados, teniendo presente elconcepto o conceptos estadísticos a estudiar. Cuan-do el estudiante se enfrenta a la recolección dedatos, empieza a tomar conciencia de la importan-cia de formular bien las preguntas y de recurrir algrupo de personas, animales o cosas que poseen lainformación que se busca; es decir empieza a te-ner claridad acerca de la población objetivo.

Las actividades en la consecución de los datosson diversas y muy variadas dependiendo del con-cepto a desarrollar, del grado en que se presenta yde la madurez matemática que el estudiante ha al-canzado. Involucrar al estudiante en la generaciónde datos hará más interesante y retador su análisis,porque el estudiante estará trabajando con datosque él mismo ha generado, es decir con sus datos.Vendrá luego la comparación de sus datos con losdatos obtenidos por sus compañeros y empezare-mos a guiar al estudiante en estudios comparati-vos, en el análisis de diferencias entresubpoblaciones y en la exploración de las diversascaracterísticas de las subpoblaciones.

El análisis exploratorio de datos. El análisisexploratorio de datos usa gráficas y resúmenesnuméricos para describir las variables en un con-junto de datos y las relaciones entre las variables.Un gran número de observaciones de una variablepueden resumirse en una tabla de frecuencias ofrecuencias relativas. Gráficos de barras ydiagramas de pastel muestran las distribuciones deuna variable categórica. Esas gráficas usan las fre-cuencias o frecuencias relativas de las categorías.Diagramas de tronco y hojas e histogramas mues-tran la distribución de variables cuantitativas. Cuan-do se examina una distribución, se investiga su for-ma, su centro, la dispersión y las desviaciones de laforma general.

Siguiendo los anteriores delineamientos explora-remos el patrón general de la distribución de losdatos, descrito compactamente por una curva dedensidad. Areas bajo una curva de densidad danlas frecuencias relativas para la distribución. Unconjunto de datos contiene información de una co-lección de individuos. Los individuos pueden serpersona, animales o cosas. Los datos para un indi-viduo, constituyen un caso. Para cada individuo,los datos dan valores para una o mas variables.Una variable describe alguna característica de unindividuo. Algunas variables son categóricas y otrascuantitativas. Una variable categórica coloca unindividuo en una categoría. Una variable cuantita-tiva toma valores numéricos que miden alguna ca-racterística de cada individuo.

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Los problemas relacionados con el Triángulo Si-métrico Lateral, que es el triángulo formado porreflexión de un punto del plano respecto a los ladosde un triángulo, fueron estudiados por el ingenieroy profesor francés Emile Lemoine (1840 - 1912).

El Grupo de Santa Marta, unidad del “Proyectode Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí-culo de Matemáticas”, conformado por los docen-tes: Jesús Tinoco del Valle y Pablo González Ro-mero, de la Universidad del Magdalena e Isnardo

Los problemas del triángulosimétrico lateral

JESÚS TINOCO DEL VALLEPABLO GONZÁLEZ ROMERO

ISNARDO CARREÑO GRANADOS

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

NORMAL MIXTA DISTRITAL SAN

PEDRO ALEJANDRINO

Carreño Granados de la Normal Mixta Distrital SanPedro Alejandrino, dirigidos desde Grenoble (Sui-za), por el Dr. Martín Acosta Gempeler, ha utiliza-do el asistente matemático CABRI GEOMETREII, para realizar exploraciones que permitan enun-ciar teoremas que enuncien condiciones de sufi-ciencia para algunos problemas relacionados conel Triángulo Simétrico Lateral.

Entre los problemas estudiados se encuentran:La Construcción del Punto de Lemoine, La Deter-minación del Lugar Geométrico de los Puntos delPlano que Originan Triángulos Simétricos Latera-les Rectángulos, La Construcción de TriángulosSimétricos Laterales con un Angulo de Medida De-terminada, La Determinación del Lugar Geométri-co de los Puntos del Plano que Originan TriángulosSimétricos Laterales Equiláteros y La Determina-ción del Lugar Geométrico de los Puntos del Planoque Originan Triángulos Simétricos Laterales Se-mejantes al Triángulo Original.

El objetivo central de esta comunicación es pre-sentar una experiencia de trabajo enmarcada en lalínea de investigación en etnomatemática y discutirlas posibles implicaciones de esta investigación parala educación matemática.

Partiendo de referentes teóricos de etnomatemá-tica (Bishop A, D’Ambrozio U. , Borba M.), asicomo de antecedentes investigativos de campo(Soto I., Carraher T.) se desarrolló un trabajo conindígenas Ticuna del resguardo de Macedonia enel departamento del Amazonas, orientado a descri-bir maneras en que la etnia Ticuna asume activida-des que han sido identificadas desde la perspectivacultural como generadoras del pensamiento mate-mático: “medir, contar, localizar, jugar, diseñar yexplicar”.

Una experiencia enetno-matemática

ALDO IVÁN PARRA(Estudiante de Matemáticas)

UNIVERSIDAD NACIONAL - SEDE BOGOTÁ

De otra parte, teniendo en cuenta que desde laeducación matemática se propone potenciar apren-dizajes significativos por parte de los estudiantes queden cuenta de sus saberes y que para grupos étnicoso sociales plenamente identificados, se promulga unaeducación que respete valore y atienda sus costum-bres, reglas y saberes ancestrales, se considera im-portante la inclusión de tópicos del entorno culturaldel estudiante tanto en los proyectos de aula o deárea como en el diseño del currículo.

En la comunicación se ilustrará la indagación quese hizo acerca de una de estas actividades (el dise-ño), mostrando la identificación y descripción (usan-do algoritmos) de distintos patrones de tejido utili-zados por los indígenas en la elaboración deartesanías y se discutirán las perspectivas que tie-ne este estudio para la construcción de propuestaspedagógicas que involucren las orientaciones plan-teadas. Es de resaltar que en documentos oficialescomo los Lineamientos y Estándares curricularesse reconoce la importancia del estudio de patronesy regularidades, pues aparecen en diferentes do-minios de la matemática, tanto es así que se for-mulan como estándares curriculares

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La desmotivación de los estudiantes al aprendiza-je de las matemáticas puede deberse en parte a quelas clases se han referido a conocimientos que notienen relación directa con problemas cotidianos yde índole social. También la relación jerárquica quemantiene el docente con sus estudiantes (que se re-fleja por ejemplo en recurrir a la motivación exter-na) influye en que los saberes matemáticos dejen deser atrayentes. Además, hay dificultades de com-prensión, argumentación y proposición que se refle-jan en bajos rendimientos académicos, lo cual puededeberse a que en el aula no hay espacio para la dis-

cusión, es decir, para la reflexión e interacción so-cial, racional y constructiva.

En la misma dirección, se identifica como pro-blema la distancia que existe entre el discurso de lademocracia (entendida como una experienciacomunicativa conjunta, y que se fundamenta en losvalores de respeto, autonomía y solidaridad) y loque ocurre en la realidad (la práctica en el aula decomportamientos que poco contribuyen a la gene-ración de espacios democráticos). Un cambio enlas dinámicas de aula en este sentido de la demo-cracia podría llevar a obtener mejores rendimien-tos académicos, además de mejores ciudadanos.

Partiendo de estas consideraciones, se elaboró yaplicó una propuesta de trabajo en el aula con las

El trabajo con situacionesproblema como posibilidadpara contribuir al desarrollode valores democráticos enel aula de matemáticas

FERLEY ORTIZ MORALES

BETSY PERAFÁN LIÉVANO

siguientes características. Primera, la metodologíautilizada correspondió a la resolución de proble-

mas, por cuanto ésta permite una dinámica de aulabasada en la discusión (clave en la democracia) decasos concretos y no matemáticos, y porque buscael desarrollo de competencias. Segunda, la pers-pectiva ética abordada (por el tema de los valo-

res) fue la del cuidado, ya que su eje es la respon-sabilidad (por uno mismo, por el otro y por el bien-estar social, que corresponden a los valores demo-cráticos de la autonomía, el respeto y la solidaridadrespectivamente). Por ello, la situación problemaseleccionada abordó el tema de la nutrición. Deesta manera, no solo se promovía la responsabili-dad sino también la motivación por la actividad ypor aprender matemáticas (Medidas de TendenciaCentral). Y la tercera característica de la propues-ta es que la dinámica de aula estuvo marcada poruna relación horizontal entre la profesora y los es-tudiantes. De acuerdo con este trabajo de investi-gación, los comportamientos de los estudiantes du-rante el desarrollo de la actividad reflejaron la vi-vencia de los valores democráticos en el aula:

El respeto. Según las categorías de análisis es-tablecidas, se encontró que: 1) las diferencias depensamiento contribuyeron a la construcción deconceptos; 2) el diálogo fue utilizado como proce-dimiento fundamental para el manejo de divergen-cias; 3) fueron tenidas en cuenta las posibles con-secuencias de las decisiones sobre las otras perso-nas; y 4) la identificación con otros puntos de vistaayudó a construir significados. Además, los estudian-tes manifestaron mejorías en su relación con loscompañeros y destacaron el trato no jerárquico.

La vivencia de la autonomía. Fue posible apre-ciar los siguientes comportamientos: 1) aparecie-ron cuestionamientos de las afirmaciones hechas;2) aceptaron las reglas construidas conjuntamen-te; 3) hubo participación activa para la

Referencias bibliográficas

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FUNDACION COMPARTIR

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

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Descripción. A continuación se recoge variasexperiencias de trabajo en el aula el cual se vienedesarrollando en la Universidad Del Magdalena conlos estudiantes de Facultad de Estudio General di-

Lógica animada:Una buena experiencia

HUBERTO NORIEGA NORIEGADARWIN PEÑA GONZÁLEZUNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

rigido por los docentes Huberto Noriega Noriega yDarwin Dacier Peña González. La idea consisteen utilizar nuevas metodologías que enriquezcan elaprendizaje y la evaluación de la lógica, en particu-lar las leyes de inferencia.

Para fines de nuestro trabajo utilizamos carica-turas, obras de teatros, acertijos, como una alter-nativa para el desarrollo de una clase dinámica yentretenida, la cual impacte en los estudiantes. Deesta manera logra una mayor participación de losprocesos que se implementan en el aula de clases.

reformulación de la actividad propuesta; 4) se in-vestigó por cuenta propia para aportar a la activi-dad.; 5) se plantearon propuestas de solución antealguna problemática presente; 6) se reconoció queen ocasiones puede no haber una única solución; y7) se manifestaron maneras de ver situaciones den-tro de la actividad, diferentes a las ya establecidas.En el mismo sentido, fueron comunes los comenta-rios de los estudiantes a favor de la motivación poraprender; la aplicación del conocimiento a la pro-pia vida; su propia participación en clase; y el aportepersonal a la actividad.

La vivencia de la solidaridad. El análisis mues-tra que con frecuencia se presentaron momentos enlos que: 1) las acciones que tenían que ver con eldesarrollo del problema fueron planeadas y ejecuta-das dentro de un proceso cooperativo; 2) hubo con-tribución a los otros para que comprendieran de mejormanera los conceptos abordados; 3) se procuró queprevalecieran las acciones de grupo; 4) en los argu-mentos se manifestó que el interés particular estabaen concordancia con el interés general; y 5) apare-cieron o soluciones que beneficiaban a personas aje-nas al grupo. Por otro lado, los educandos recono-cieron: el aprendizaje conjunto; las propuestas parala acción colectiva; la responsabilidad en el grupo; eltrabajo práctico hacia un objetivo común; y el apoyode los compañeros y de la profesora.

En conclusión, las diferentes miradas desde lasque se analizó la propuesta indican que en la reso-lución de problemas (que permite la discusión enclase, el cual es un paso para la experienciacomunicativa conjunta) hay una posibilidad paraque el docente de matemáticas –además de desa-rrollar competencias- abra espacios donde se vivala democracia, Pero además se requiere tomar una

perspectiva ética desde la cual el eje de las accio-nes sea la responsabilidad, que motiva interna-mente a la acción.

Referencias bibliográficas

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Resumen. El objetivo principal en la investiga-ción fue diseñar, implementar y sistematizar unaunidad didáctica para abordar la noción de funciónlineal bajo el marco de la Enseñanza para la Com-prensión (EpC).

Para esto, se creó una situación que gira en tor-no a la facturación de los servicios públicos y alre-dedor de la cual se construyeron unos desempeñosde comprensión en los que se proponen tareas alestudiante de acuerdo con las dimensiones y losniveles propuestos en la EpC.

Las dimensiones desde el marco de la EpC, refie-ren a los aspectos de la comprensión que pueden

Una experiencia de aulasobre comprensión defunción lineal en estudiantesde noveno grado

SANDRA ARÉVALOADRIANA OROZCO

NÉSTOR FERNANDO GUERRERO

LICEO FREINET, COLEGIONUESTRA SEÑORA DEL PILAR

Y UNIVERSIDAD DISTRITALFRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

desarrollarse en diferentes disciplinas y es posibleabordarlas a partir de las siguientes preguntas:

Contenido o conocimiento ¿Cuál es el conoci-miento y el contenido que trabajan los expertos enlas distintas disciplinas?, ¿Cuáles son las preguntasque se hacen los expertos?;

Método ¿Cómo los expertos llegan al conocimien-to?, ¿Cómo sé que lo que estoy aprendiendo esverdadero?; Propósito o praxis ¿Cómo utilizan losexpertos su conocimiento?, ¿Cuál es la importan-cia de lo que aprendemos?; Formas de comuni-

cación ¿Cómo hacen los expertos para mostrar loque conocen?, ¿Cómo puedo compartir con otrosmi conocimiento?.

A su vez, la capacidad de usar el conocimientoen todas las dimensiones es la que determina laprofundidad en la comprensión, dicha profundidad,es lo que se entiende (en la EpC) como nivel decomprensión:

Comprensión Ingenua: Las ideas se basan enel conocimiento intuitivo, los estudiantes no consi-deran el propósito y los usos de la construcción del

FUENTES:

• Geometría y sus aplicaciones, Clemen´s.

• Lógica-para-lingüística editorial paraninfo.

• Estudiantes del Ciclo de Formación General.

Contenido: El aprendizaje de la Matemática,Física, Química resulta difícil para la mayoría deestudiantes de todos los niveles, sin embargo po-cas veces se busca una explicación del porqué noaprenden las ciencias exactas los estudiantes.

Una de las muchas teorías es la siguiente: «Losalumnos no aprenden ciencias exactas, porque nosaben relacionar los conocimientos que se propor-cionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) conlos problemas que se le presentan en la vida real».

Debe entenderse que el trabajo que se realizaen la actualidad en la Universidad del Magdalenapropende por motivar a los estudiantes, quienescon ayuda de la «lógica matemática» en especiallas leyes de inferencias, logren encontrar relacio-nes entre los diferentes esquemas de aprendizaje,

con el fin de proporcionar una buena estructuracognitiva. Si el estudiante desarrolla estructuras depensamiento lógico-matemático puede relacionarestos conocimientos con los de otras áreas, de estamanera posee un discurso coherente, en el que lapresentación de conclusiones es una consecuencialógica de los enunciados propuestos (presentaciónde hipótesis, proposiciones, etc.).

Las tres experiencias anteriormente expuestas (ca-ricaturas, obras de teatros, acertijos), muestran unaforma alternativa para desarrollar académicamentetemas como las leyes de inferencias, pero hay quetener en cuenta que, no es el abracadabra, ni lospolvos mágicos para solucionar los paradigmas delaprendizaje de la lógica matemática, sólo son unasherramientas didácticas en CONSTRUCCIÓN paradesarrollar de manera más agradable y eficiente eltema de las leyes de inferencia, que infortunadamentelos estudiantes de esta región (Departamento delMagdalena) no poseen un conocimiento amplio ni unamanipulación correcta de ellas.

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En el desarrollo de esta actividad se pretende dis-cutir ¿cómo se transforma una función?, de la cualconocemos su representación gráfica y no su re-presentación algebraica. Esta surge en el desarro-llo de un curso ordinario de cálculo en el grado once,tratando de indagar acerca de, lo que el doctorcantoral llama, la familiaridad de los estudiantes conlas relaciones funcionales. Como resultado de estaindagación aparecieron cosas interesantes, comoque para los estudiantes la función valor absolutoes solo ½x½, que al hacer el análisis gráfico de laaproximación de una función a una recta que la

Transformaciones básicade las funciones: unaexperiencias de aula

TULIO RAFAEL AMAYA DE ARMASUNIVERSIDAD DE SUCRE

COLMERCEDES DE SINCELEJO

biseca, confunden los valores de la función con losvalores de la variable, entre otras; obstáculos queson muy comunes no solo entre estudiantes sinotambién entre educadores de matemáticas.

En relación a este tipo de problemas, “en el año1953 apareció en la revista American MathematicalMonthly en su volumen 60 apareció una pequeñanota firmada por K. O. May cuyo titulo es una pro-vocación al intelecto: una clase de problemas que

efectivamente certifica la familiaridad con las

relaciones funcionales”1 ; Este es uno de los ta-les problemas, propuestos recientemente por eldoctor Cantoral en su libro Calculo. Este tipo deproblemas reviste gran interés para cualquier do-cente que ose abordarla, dado que no es comúnabordar cualquier concepto sobre todo de cálculosin hacer uso de su representación algebraicas.

Esta es una temática que según cordero tiene unestatus epistemológico y puede ver tratado como

conocimiento; Principiante: La naturaleza y losobjetivos de la construcción del conocimiento sondescritos como procedimientos mecánicos paso porpaso; Aprendiz: El conocimiento es visto como unatarea compleja, que sigue procedimientos y crite-rios usados por expertos en el dominio; Maestría:La construcción del conocimiento se ve como unatarea compleja, y es expresado y comunicado aotros de manera creativa.

Para la construcción de los desempeños de com-prensión, se acudió además, a los planteamientoshechos por Ruiz (1998), respecto a las categoríasreferidas a la sucesión de obstáculosepistemológicos y actos de comprensión, propues-tos por la investigadora Anna Sierpinska, sobre lacaptación del significado de la noción de función,éstas son:

Identificación: o capacidad de diferenciar unobjeto del entorno en el que se encuentra; Discri-

minación: Capacidad de diferenciar dos objetos quese confundían antes (y comenzar a identificar suspropiedades); Generalización: Conciencia de laposibilidad de extender el rango de aplicaciones ydescubrir nuevas posibilidades de interpretación;

Síntesis: Percepción de las conexiones entre he-chos aparentemente aislados.

Luego del diseño de la Unidad, se llevó a cabo laexperiencia de aula con 13 estudiantes de novenogrado del Gimnasio Santa María del Alcázar en laciudad de Bogotá, el trabajo llevado a cabo permi-tió indagar sobre las tres primeras categorías pro-puestas por Sierpinska y los tres primeros nivelesplanteados en la EpC.

Como resultado de esta experiencia de aula seencontró, que los estudiantes desarrollaron com-prensión sobre la posibilidad de usar la función li-neal para modelar la situación de facturación delos servicios públicos.

Referencias bibliográficas

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GÓMEZ, P. Una comprensión de la noción de función. BogotáD.C.: Una empresa docente.

RUIZ, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológi-co y didáctico. Madrid: Universidad de Jaén.

STONE, M. (1999).La enseñanza para la comprensión. Vincu-lación entre la investigación y la práctica. Barcelona: Paidós.

1 Ricardo Cantoral Uriza. Calculo: un acercamiento didáctico y epistemológico.

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una categoría del conocimiento del calculo. Y elsolo echo de intentar resolver este tipo de proble-mas provoca una reflexión sobre los niveles deabstracción y sobre las bases del conocimiento delcalculo, cordero (1997, pag. 29). Según este autor,la dimensión epistemológica del comportamientotendencial de las funciones, provee explicacionessobre la naturaleza de este concepto en un contex-to matemático.

La actividad consiste en un estudio de las funcio-nes en un contexto gráfico apoyado en algunasaproximaciones numéricas que puedan ayudar enel trazado de las funciones que se propongan; loque permite relacionar inevitablemente el concep-to de la gráfica de una función compuesta con lasfunciones que la componen.

Se plantea en esta actividad el enfrentarnos a losobstáculos que pueden llevar a una ruptura con cier-tas practicas algebraicas a que estamos acostum-brados; y que en cierta medida han sido considera-das necesarias para el dominio de muchos concep-tos relacionados con el calculo. Se sugiere aquí loque según Albert es una alternativa para provocaren nuestros estudiantes tales obstáculos y paraayudarlos a superar, Albert (1997, Pág. 22 ).

Referencias bibliográficas

ALBERT, Armando. “Introducción a la epistemología”. Serie:Antologías N° 2. Centro de investigación y de estudios avanza-dos de IPN. México. 1997.

CANTORAL, Ricardo. Cálculo: un acercamiento didáctico yepistemológico. Editorial Iberoamérica. México. 2002.

CORDERO, Frencisco. “el comportamiento tendencial de lasfunciones como una categoría del conocimiento del cálculo”.Serie: Antologías N° 2. Centro de investigación y de estudiosavanzados de IPN. México. 1997

Resumen

Se presentan en este reporte algunos resultadosobtenidos en el aula de matemática a propósito deldesarrollo de la situación problema: ¿Qué rela-

ción existe entre el ángulo en posición nor-

mal y el cociente del lado opuesto y la

hipotenusa del triángulo rectángulo? (Fig. 1)

Esta actividad se implementó con el objetivo decontribuir al desarrollo del pensamiento variacionalde los alumnos de 10º grado jornada de la tarde delColegio Nacional Loperena de Valledupar, a travésde la mediación instrumental de la calculadora alge-braica TI-92+ y el uso de las distintas representa-ciones semióticas para movilizar el aprendizaje de lared conceptual subyacente a la función Seno.

La función seno mediadapor la calculadora TI-92+

ÁLVARO SOLANO SOLANOALCIDES FERNÁNDEZ GUERRERO

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

COLEGIO NACIONAL LOPERENA

Para el aprendizaje de las matemáticas, la me-diación instrumental se ha dado esencialmente através de los sistemas semióticos de representa-ción como la escritura, los números, el lenguajehablado,… y ahora las nuevas tecnologías como lacalculadora TI-92+ y sus programas ejecutables.Las formas de representación logradas a través delos recursos computacionales son de tipoejecutables y por ende estos constituyen un recur-so didáctico valioso, debido a que los objetos mate-máticos no son tangibles.

Los recursos tecnológicos permiten la combina-ción de variadas representaciones, posibilitando ma-yores oportunidades de conceptualización. Estos

Figura 1.

Figura 2.

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recursos se convierten en nuevas formas de mani-pulación, haciendo de las matemáticas algo tangi-ble y más visible.

Las teorías cognitivistas modernas reconocen lapertinencia del principio de mediación instrumentalpara que haya un aprendizaje y que puede ser através de instrumentos materiales o simbólicos (Mo-reno-Waldegg).

El uso de la TI-92+ facilita el tratamiento de losobjetos matemáticos de una manera casi real per-mitiendo a los alumnos la comprensión mediante laexploración y visualización y llevándolos a hacerinterpretaciones, conjeturaciones ygeneralizaciones.Para el caso en referencia, losalumnos observaron en las exploraciones que elvalor del seno de un ángulo está relacionado con elvalor de la ordenada y que el valor máximo delcociente entre la ordenada y el radio de lacircunferencia(hipotenusa del triángulo) es 1 sinimportar la longitud del radio y el valor mínimo es -1. Esta es una generalización lograda por los alum-nos gracias a la mediación de la calculadora por-que con papel y lápiz es muy difícil que esto suce-da sin la intervención del profesor. (Fig. 2)

También los estudiantes pudieron establecer porsu cuenta los signos de la función seno en los cua-tro cuadrantes, lo mismo que los intervalos dondela función es creciente y decreciente.

Conclusiones

La incorporación de la tecnología en su versiónde calculadoras TI-92+ al aula de clases ha desen-cadenado una serie de eventos positivos que favo-recen el aprendizaje de las matemáticas y unamotivación e interés hacia ellas, además los estu-diantes participan mas en la resolución de proble-mas y comunican sus ideas matemáticas con natu-ralidad.

También el uso de las nuevas tecnologías ha con-tribuido a desarrollar la capacidad interpretativa,argumentativa y propositiva de los estudiantes, ahacer inferencias a partir de las exploraciones efec-tuadas en la TI-92+, han interpretado y generaliza-do a través de los distintos sistemas de representa-ción que brinda esta tecnología.

Referencias bibliográficas

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RICO, Luis y otros. La educación matemática en la enseñanzasecundaria. Editorial Horsori, España. 1997.

Resumen. La experiencia de aula que presenta-mos surge de las reflexiones acerca de una pers-pectiva de enseñanza de las matemáticas que nosea la formalista, desde la cual orientar la formaciónde profesores de matemáticas para la educaciónbásica, en el contexto de la clase Didáctica de laAritmética I, de primer semestre del actual Proyec-to Curricular de Licenciatura en Educación Básicacon énfasis en Matemáticas de la Facultad de Cien-cias y Educación de la Universidad Distrital.

Resolución de problemasy formación de profesores:Una experiencia de aula

EUGENIA CASTILLO ECHEVERRIJOHN ALEXANDER CRUZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO

JOSÉ DE CALDAS

En tal proyecto se propone adoptar la perspecti-va de Resolución de Problemas tanto como orien-tación epistemológica, basada en la teoría de loscampos conceptuales de Vergnaud, en donde losconceptos no están aislados de otros conceptos, seforman en situaciones que les dan sentido, y de-penden tanto de las primeras experiencias con si-tuaciones que haya tenido el sujeto, como del co-nocimiento implícito y las maneras como éste sehaga explícito hasta volverse operatorio, así comometodológica, desde la perspectiva de Charnay,quien percibe un problema como una terna, situa-ción-alumno-saber, en la que hay una idea de obstá-culo a superar, y donde el entorno es un elementodel problema, en particular las condiciones didácti-cas, es decir, organización de clase, intercambios,expectativas explícitas o implícitas del docente, etc.

El curso de Didáctica de la Aritmética I, se de-sarrolló utilizando una metodología de clase arma-

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da por el grupo Matemáticas escolares de laUniversidad, donde a partir de una situación pro-blema, que pide efectuar una suma, las razonesmatemáticas del algoritmo y la manera de presen-tar a los niños la suma, se cumplen los objetivospropuestos por Charnay, como son: uno, metodoló-gico, que se relaciona con aprender a resolver pro-blemas, a investigar, a comunicar, a argumentar ya aceptar otros puntos de vista, y otro, cognitivo,que tiene que ver con la reconceptualización deconocimientos presentes y con la construcción denuevo conocimiento, y se va avanzando en la for-mación del campo conceptual aditivo, en la cons-trucción del objeto suma como un objeto complejo,tanto en lo matemático como en lo didáctico.

Como parte de la puesta en práctica de la meto-dología señalada, donde la pregunta desempeña unpapel fundamental, los estudiantes del curso logra-ron discutir sobre las algunas propuestas teóricasen el área de la Educación Matemática, en gene-ral, y de la didáctica de la suma, en particular.

Con respecto a lo matemático, en un principio, elobjeto suma se concibe por parte de los estudian-tes como un objeto simple, (“Es una operación arit-mética”. “Es la transformación que se aplica a dosnúmeros para que de otro”) a pesar de lo cual nose dan razones que justifiquen el algoritmo, distin-tas a “así me enseñaron” o “10 unidades formanuna decena, etc.”. A medida que comienzan aexplicitar razones de procedimiento y que los de-más se ponen en el ejercicio de comprender la ar-gumentación, empieza a perfilarse la necesidad deconstruir los sistemas de valor posicional, por unlado, y por otro la necesidad de significacionesconsensuadas dadas las múltiples interpretacionesque tienen en el lenguaje común y por tanto de cons-truir un lenguaje específico de la matemática, y devalidar e institucionalizar los resultados obtenidos.Al final del curso, los estudiantes lograron dar ra-zones matemáticas para el algoritmo de la suma,construidas solidariamente con la construcción dereglas de conformación de los números que arma-ron trabajando desde material concreto los núme-ros y la suma en varias bases a la vez.

Con respecto a lo didáctico, para ellos el acto deenseñanza es simple también, reduciéndose a re-petir el procedimiento “más despacio”. A final delcurso, los estudiantes lograron ver la diferenciaentre algunas posiciones teóricas sobre la didácti-ca de las matemáticas, y en particular sobre pro-puestas para abordar el campo aditivo.

Con el tipo de actividad propuesta:

• Se crea un equipo de estudio. En realidad másde ocho, pues los estudiantes deben trabajar engrupos de tres. Cada grupo tiene asesoría per-manente del profesor para los resultados par-ciales que se consignan en una carpeta. Las ex-posiciones de cada grupo pasa por tres etapas:elaboración en grupo y puesta en escena de unasolución, validación de soluciones, lainstitucionalización de conocimiento.

• Se crea un camino hacia la necesidad de lademostración, y por tanto, hacia la construc-ción de un lenguaje apropiado, con reglas es-pecíficas.

• Se crea un ambiente para la construcción desentido y un ambiente para la construcción deconsensos.

• Se crea un ambiente de indagación permanen-te, en la búsqueda de una solución cada vez máselaborada para la propuesta de cada grupo.

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Resumen

A la hora de realizar una construcción gráfica sehace necesario establecer la diferencia entre unteorema de geometría y un problema de geometríao construcción geométrica. En el teorema se dapor hipótesis una figura que satisface ciertas con-diciones y se pregunta demostrar tal o cual propie-dad; por el contrario en un problema de geometríao construcción geométrica se dan por hipótesis cier-tas condiciones o propiedades, y se pide construiruna figura que satisfaga tales condiciones.

Algunos problemas de geometría o construccio-nes se denominan determinadas, ya que tienen unnúmero limitado de soluciones; otras se denominanindeterminadas, ya que admiten infinitas solucio-nes, tal es el caso de construir un triángulo cuyasmedidas de los lados sean 8cm y 10 cm. Tambiénexisten construcciones geométricas imposibles, porejemplo: construir un triángulo cuyas medidas de

Construcciones y gráficas

ORLANDO ENRIQUE CASTAÑEZ DÍAZFABIO FIDEL FUENTES MEDINALUIS ANTONIO EGEA VARGAS

ANDERSON SMITH FLÓREZ FUENTESEMILIO ENRIQUE GODOY RAMÍREZ

UNIVERSIDAD

POPULAR DEL

CESAR

sus lados sean 10 cm, 6 cm y 17 cm; la construc-ción es imposible, porque la medida de cualquierlado debe ser menor que la suma y mayor que ladiferencia de las medidas de los otros dos.

Para construir una figura geométrica se debe in-vestigar si la construcción es determinada, indeter-minada o imposible, luego se debe encontrar unprocedimiento para la construcción de la figuradeseada.

Se construirán circunferencias, óvalos, espiralesy algunos polígonos regulares, partiendo de algu-nos elementos propios de la construcción. Todasestas construcciones se realizarán con el uso de laregla y el compás, considerado éste último como elinstrumento más perfecto.

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (2000).Estándares para la excelencia en la Educación Matemática. Bo-gotá: MEN.

MOISE, Edwin. (1972). Geometría: Serie Matemática Moder-na. Bogotá: Norma.

La importancia histórica y epistemológica delTeorema de Pitágoras, permite plantear la necesi-dad de reflexionar acerca de él, tanto en el aspectomatemático como en el didáctico.

Por observaciones directas de las autoras delpresente trabajo, en la enseñanza no se hace énfa-sis en la comprensión de los conceptos, con fre-cuencia los estudiantes tienen graves problemaspara aplicar eficazmente sus conocimientos a si-tuaciones nuevas. Por esta razón, la investigaciónquiso satisfacer el siguiente interrogante: “¿Podrán

Aprendizaje del teoremade pitágoras para triángulosrectángulos a partir desituaciones problemas

YAIRIS JIMÉNEZCÁNDIDA ÁLVAREZ

(estudiantes Lic. en matemáticas)

UNIVERSIDAD POPULAR

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las situaciones problemas conducir a un apren-

dizaje significativo del Teorema de Pitágoras

para Triángulos Rectángulos?”. Se necesitanentonces cambios profundos en la enseñanza delas matemáticas, que conduzcan no solamente anuevos contenidos, sino que formen educandos quesean flexibles en su forma de pensar y cuidadososen la toma de decisiones.

El trabajo de investigación realizado, posee se-siones fundamentales que definen un carácter cons-tructivo en cada instante de su desarrollo; razónpor la cual se vislumbran como la posibilidad de laapropiación del conocimiento matemático con pers-pectivas innovadoras, que estimulen un aprendiza-je significativo. Analizando los resultados obteni-dos de las actividades aplicadas a los estudiantesdel grado 7º del Colegio Nacional Loperena Garupaljornada Tarde, se deducen los siguientes aspectos:

• Con el uso de elementos creativos utilizados comomediadores; entre ellos el geoplano, los rompe-

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cabezas pitagóricos, además de los implemen-tos geométricos tradicionales, los estudiantesaprendieron y reforzaron los conceptos de for-ma atrayente y divertida.

• Con el planteamiento de situaciones problemas,los estudiantes manifestaron interés, al mismo tiem-po que compararon con situaciones de la vida co-tidiana las mismas, mostrando así que es impor-tante que el educando reformule o diseñe sus pro-pios problemas teniendo en cuenta aspectos comola comprensión, el procedimiento, la reflexión desituaciones problemas, la capacidad, recursividadinventiva, la argumentación, interpretación y la dis-ponibilidad de éste frente al proceso.

• El trabajo en el aula proporcionó suficiente es-pacio para el razonamiento y la reflexión. Deesta manera se dio a los educandos la oportuni-dad de reflexionar abiertamente sobre los con-ceptos, problemas y estrategias de resolucióndurante el aprendizaje del teorema

Referencias bibliográficas

.ACEVEDO CAICEDO, Miriam. HUERTAS CAMPO,Crescencio. El conocimiento profesional: Una mirada a la arit-mética de la escuela.

GONZALEZ URBANEJA, PM. Historia y Epistemología de laCiencia. Universidad Politécnica de la Catalunya. Barcelona1991. pp. 282-289.

Resumen

Los griegos fueron los primeros en realizar mu-chas construcciones de figuras geométricas. To-das las construcciones con regla y compás que hoyconocemos se la debemos a ellos. Gracias a elloses posible bisecar un ángulo, construir polígonos,construir las cónicas y muchas cosas más. Sin em-bargo, algunos problemas se resistieron por mu-chos años a su solución y todo lo que se hizo fue envano. Los tres grandes problemas que se resistie-ron a su solución, fueron: La duplicación del cubo,la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo.Sobre la trisección del ángulo con regla y compáslos griegos no encontraron la justificación, del por-que su no construcción. Sólo hasta hace poco sedemostró que era imposible. Con el uso de algunosinstrumentos ó de curvas auxiliares que construye-ron lograron su objetivo: trisecar un ángulo; tal escaso de Nicomedes, con la “Concoide”;Arquímedes con la “espiral”; Hipías de Elis con la“cuadratiz”, entre otros.

Con éste trabajo se pretende retomar un tema quefue discusión durante muchos siglos y que muy po-cos docentes del área de matemáticas conocen yaque la bibliografía existente es muy escasa. Por esonuestro interés está encaminado a reorganizar loescrito sobre el tema; además de darle a los docen-

La trisección de un ánguloFABIO FIDEL FUENTES MEDINA

ORLANDO ENRIQUE CASTAÑEZ DÍAZEMILIO ENRIQUE GODOY RAMÍREZ

LUIS ANTONIO EGEA VARGASANDERSON SMITH FLÓREZ FUENTES

UNIVERSIDAD POPULAR

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tes alternativas, para que en sus clases los estudian-tes retomen el uso de la regla y el compás comoherramienta que les permita “examinar y analizarlas propiedades de los espacios bidimensionales”(MEN), puesto que en la básica secundaria se lesdebe proveer de herramientas para analizar y desa-rrollar la capacidad de presentar argumentos mate-máticos acerca de las relaciones geométricas. Ade-más, el alto nivel de competencia en que vive la edu-cación mundial obliga a mejorar la calidad de lossaberes y competencias que deben tener los estu-diantes como resultado por los diferentes grados yciclos escolares.

Se realizarán las construcciones de los rayostrisectores para algunos ángulos especiales con eluso de la regla y el compás; al igual que las cons-trucciones para cualquier ángulo agudo en generalusando para ello regla y compás y una medida cual-quiera; y algunos instrumentos que han sido utiliza-dos para la trisección del ángulo.

En conclusión, con el uso de la regla y el compáses posible trisecar algunos ángulos especiales. Paraotros ángulos se hace necesario usar algunas herra-mientas auxiliares.

Referencias bibliográficasALVAREZ, Emiliano. (1996). Elementos de Geometría. Uni-versidad de Medellín.H. S. M, COXETER. (1971). Fundamentos de Geometría. Méxi-co: LimusaJ. REY, PASTOR. (1960). Geometría Racional. Madrid: Nue-vas Gráficas.MEN. (2000). Estándares para la excelencia en la EducaciónMatemática. Bogotá.MOISE, Edwin. (1972). Geometría: Serie Matemática Moder-na. Bogotá: Norma.

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Matemáticarecreativa en el aula

SANDRA LEÓN CEPEDADANIEL MORENO CAICEDO

GRUPO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

Resumen

En Colombia la matemática recreativa, no es di-fundida en los medios escolares. A través del pro-yecto de calendario matemático se da inicio a laimplementación de esta actividad en el ámbito esco-lar de algunas instituciones de Colombia, y en el caso

particular de Bucaramanga la llevamos a cabo entreinta (30) instituciones educativas del área metro-politana. En estas instituciones los estudiantes y do-centes que participan del proyecto a logrado unamejor aceptación de la matemática lo cual se mues-tra en el interés y un mejor nivel del mismo.

Los estudiantes de las instituciones participanteshan comprendido mejor el enfoque de resoluciónde problemas y han adquirido habilidadescognoscitivas que los ubican en un mayor nivel paraafrontar con destreza la solución de problemas comose pudo verificar en la prueba SABER de 2002 yla prueba ICFES de marzo de 2003.

El computador en laclase de matemáticas:Un enfoque semiótico

WALTER F. CASTRO G.PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA, CALI

Resumen

En este trabajo se muestran algunos resultadosde la investigación que se adelanta en el Departa-mento de Ciencias Básicas de la Pontificia Uni-versidad Javeriana, Cali, en donde se utiliza un en-foque semiótico para analizar los procesosinterpretativos que se ponen en juego en los diver-sos tipos de situaciones de estudio en el curso deecuaciones diferenciales. Estos procesos semióticosestán soportados en las potencialidades del soft-ware MatLab.

El curso de ecuaciones diferenciales que se dic-ta en las facultades de ingenierías obedece usual-mente a un enfoque procedimental, en donde serecurre a entidades ostensivas1 simbólicas casi ex-clusivamente para motivar procesos de significa-ción. Desde la perspectiva de la definición de con-cepto2 dada por Vergnaud, tal enfoque es muy li-mitado y permite sólo una configuración parcial delos conceptos que se estudian en el curso.

El trabajo que hemos venido desarrollando en elProyecto de uso de MatLab en el curso de ecua-ciones diferenciales, explora el uso del computa-dor para poner en juego otras entidades intensivasy extensivas a mas de entidades ostensivas en elproceso de significación.

La ponencia mostrará la estructura teórica sub-yacente a la propuesta de investigación, así comoalgunos de los instrumentos y los resultados preli-minares de la indagación; entre ellos el examen deentrada en donde se explora por las entidadessemióticas que los estudiantes ponen en juego cuan-do se enfrentan a cuestiones matemáticas, así comoalgunos de los registros de los trabajos que son pre-sentados a los estudiantes y sus respuestas, en tantoque estas respuestas obedecen a movilizaciones delas entidades semióticas puestas en juego con laayuda del computador.

Referencias bibliográficasBROWN, T. (1997).Mathematics Education and Languajes.Interpreting Hermeneutics and post- Structuralism. Dordrecht:Kluwer. A. P

GODINO, J.; BATANERO C. (1998). Funciones Semióticas enla enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Ponencia pre-sentada en el IX Seminario de Investigación e Educación Mate-mática (SIEM) de la Sociedad Portuguesa de Investigación enEducación Matemática. Guimaraes.

KAPUT, J. (1991). Notations and Representations as Mediatorsof Constructive Processes, en E. Von Glasersfeld (de): Radicalconstructivism in mathematics education (pp 53-74). Dordrecht:Kluwer A.P.

KAPUT, J. (1987). Toward a Theory of Symbol Use inMathematics, en Janvier C.(ed): Problems of representation inthe teaching and learning of mathematics (pp. 159-195).Hillsdale J.J.: Erlbaum A.P.

1 Los tipos de entidades de representación que se usan son: ·• Ostensivas: Todo tipo de representaciones materiales usadas en la actividad

matemática (símbolos, gráficos, tablas, diagramas, términos).• Intensivas: Ideas matemáticas, generalizaciones, abstracciones.• Extensivas: Problemas, fenómenos, aplicaciones, tareas, situaciones que inducen

actividades matemáticas.

2 La teoría de los campos conceptuales. Gerard Vergnaud. CNRS Y Université René Descartes.Recherches en didáctique des mathématiques, Vol . 10, no 2,3, pp.133-170, 1990.

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Estándares Básicos:Aportes para el análisis

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

ESPECIALIZACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

PEDRO JAVIER ROJAS G.

Hacia mediados del año 2002, el Ministerio deEducación Nacional presentó el documento de es-tudio “Estándares para la excelencia en Educa-ción”, para las áreas de matemáticas, lengua cas-tellana y ciencias naturales -en cada uno de losgrados, desde preescolar hasta grado once-; docu-mento que fue acogido por algunos secretarios deeducación y muchos rectores de colegio como de-finitivo, quienes en muchos casos, sin que mediarareflexión o análisis sobre su pertinencia, y sin eva-luar los avances y logros alcanzados en la cons-trucción de la estructura curricular de las institu-ciones, plantearon la necesidad de reorientar el di-seño y desarrollo curricular para ajustarlo a la pro-puesta de estándares.

Al interior de la comunidad académica, se gene-ró una discusión no sólo respecto a la propuestaespecífica de estándares sino también sobre susimplicaciones para el desarrollo de los Proyectos

Educativos Institucionales (PEI), sustentados en laautonomía escolar. Mientras para algunos se cons-tituía en una forma de garantizar la equidad, en tantodefinía criterios claros y públicos sobre lo espera-do en cuanto calidad de la educación, especifican-do explícitamente el conocimiento que deberían lo-grar los estudiantes en cada uno de los grados dela educación preescolar, básica y media; para otrosconstituía un intento de definir un currículo nacio-nal único, desconociendo la pluridad cultural, lascondiciones sociales y los intereses educativos pro-pios de las diversas regiones, reflejados en los PEI.

El reto está en construir, en forma consensuadacon la comunidad académica, referentes básicosque orienten las propuestas curriculares y los cam-bios requeridos para garantizar igualdad de oportu-nidades a los estudiantes, respeto a la diversidadcultural y reconocimiento de las necesidades espe-cíficas, pero que a su vez posibiliten el desarrollode las competencias requeridas en una sociedadcambiante, cada vez más exigente respecto de co-nocimientos y habilidades para un adecuado des-empeño. Otro aspecto que debe tenerse en cuentaes la gran movilidad estudiantil, generada por des-plazamientos, no siempre voluntarios, de muchasfamilias en búsqueda de nuevas oportunidades.

Es conocido el desinterés mostrado por nuestrosestudiantes hacia el estudio de las matemáticas ynosotros como docentes buscamos diferentes es-trategias metodológicas para despertar su interéshacia el área. Consideramos que por medio de lasactividades con matemática recreativa se logra lamotivación en el estudiante y su mejoramiento aca-démico e intelectual. Una de las dificultades de laaplicación del proyecto es el desconocimiento porparte de los docentes de las diversas actividadesque desarrolla la matemática recreativa. Por tantovemos la necesidad de impulsar el estudio y utiliza-ción de la matemática recreativa en el aula de cla-se. Dentro de las actividades que se realizan en elproyecto de calendarios matemáticos en el aula declase están:

• ¿Qué es matemática recreativa?

• Cuadrados Mágicos.

• Teoría de grafos.

• Problemas históricos de la matemática.

• Lógica recreativa.

• Alfaméticas

Este es un punto de partida para que los docen-tes de diferentes regiones del país apliquen conmayor frecuencia situaciones didácticas que llamenla atención del estudiantado y por consiguiente sumotivación, dándole a los docentes herramientaspara su quehacer diario.

Referencias bibliográficas

ZULUAGA, C. y Otros (2000-2003). Calendarios Matemáti-cos. Material multicopiado. Bogotá: Laboratorio de Matemáti-cas “Colombia Aprendiendo”.

ENZO CASAMENTO (1998). Juegos para desarrollar la inte-ligencia.

DENIS GUEDJ (1999). El imperio de las cifras y los números.

RAUDSEPP, E.(1997) Juegos Creativos

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Ante el debate suscitado, el MEN acogió partede las críticas y sugerencias aportadas por gruposde maestros, investigadores y asociaciones, quepara el área de matemáticas fueron canalizadaspor la Asociación Colombiana de Matemática Edu-cativa, ASOCOLME, y convocó a la comunidadacadémica, a través de las facultades de educa-ción, para participar en la elaboración de una nue-va propuesta de estándares. Esta propuesta fuepresentada a mediados del año 2003, y constituyeun avance significativo respecto al documento ini-cial de estudio, en tanto formula estándares bási-cos por grupos de grados, reconociendo no sólo ladiversidad en propuestas curriculares, sino tambiénel hecho que los procesos de aprendizaje de niñosy jóvenes no son homogéneos y se dan en tiemposy espacios diferenciados; en tal sentido, en estanueva propuesta no sólo se da importancia a losconocimientos específicos, sino también a los pro-cesos involucrados en su desarrollo y a la necesi-dad de trabajar en diversos contextos que permi-tan asignarles significado y darles sentido.

En la formulación de los estándares del área dematemáticas, se toma en cuenta algunos resulta-dos de investigación para establecer exigencias di-ferenciadas en cuanto a la complejidad de los con-ceptos y procesos asociados, a medida que se avan-za a través de los diferentes grupos de grados; ade-más, en la propuesta para cada grupo de grados sepropicia el establecimiento de conexiones entre losdiversos pensamientos (numérico, métrico, espa-cial, variacional y aleatorio), reconociendo, comose ha planteado anteriormente, la necesidad de re-lacionar conocimientos, procesos y contextos, queposibiliten un trabajo comprensivo de las matemá-ticas y de su utilidad. Sin embargo, debe tenerse encuenta que esta propuesta aún requiere de unavalidación por parte de la comunidad de educado-res matemáticos, para establecer su pertinencia enrelación con las necesidades y exigencias sociales.

Sólo después de un análisis de las experienciasde aula, de la investigación educativa, de posibili-dades de desarrollo de los PEI y de los resultadosde diversas evaluaciones (incluidas las pruebas decalidad y de estado), realizadas con base en esta

propuesta de estándares y de los referentes teóri-cos que la sustentan -los cuales aún no han sidodivulgados-, tendría sentido proponer ajustes omodificaciones a estos estándares, con el propósi-to de contar con mejores posibilidades para asumirel reto propuesto.

Ahora bien, garantizar la igualdad de oportunida-des y la posibilidad de una educación de calidad, nodepende únicamente de la formulación de unosestándares pues, si se tiene en cuenta recomenda-ciones como las de la PREAL (Programa Regio-nal de Educación para América Latina), se requie-re además el aumento de la inversión por alumnoen la educación básica, el apoyo y acompañamien-to a las instituciones, y el fortalecimiento de la for-mación inicial y continuada de docentes.

Para contextualizar en parte la reflexión presen-tada y aportar elementos para el análisis de la pro-puesta de estándares básicos, en esta comunica-ción se presenta un análisis de algunas dificultadesque encuentran los niños y jóvenes con respecto alpensamiento métrico, reportadas en estudios reali-zados a nivel nacional e internacional, y se relacio-nan algunos resultados de investigación en estecampo con el grupo de estándares propuestos porel MEN para los grados primero a tercero, con elpropósito de orientar propuestas de trabajo en elaula.

Referencias bibliográficas

ROJAS, P. (comp.) (2002). Estándares Curriculares-Área Ma-temáticas: Aportes para el análisis. Bogotá: ASOCOLME.

CHAMORRO, C. y BELMONTE, J. (1994). El problema de lamedida: Didáctica de las magnitudes lineales. Colección Ma-temáticas: Cultura y Aprendizaje, No. 17. Madrid: Síntesis.

DEL OLMO et al. (1993). Superficie y volumen:¿Algo másque el trabajo con fórmulas?. Colección Matemáticas: Culturay Aprendizaje, No. 19. Madrid: Síntesis.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (2002).Estándares para la excelencia en la educación. Documento deestudio, 1ª edición. Bogotá: MEN.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (1998). Mate-máticas: Lineamientos Curriculares. Áreas Obligatorias y Fun-damentales. Bogotá: Magisterio.

AUTORES VARIOS (Comp.) (2002). Estándares educativos:Evaluación y calidad de la educación. Bogotá: Magisterio.

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Evaluación de logros enmatemáticas en laeducación BásicaSecundaria, Mediay Técnica delDepartamento del Cesar

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESARTEOBALDO GARCÍA ROMERO

ARAMIS VEGA ARIAS

Resumen

A través de la evaluación se pretende mejorarlos niveles de aprendizaje de los estudiantes y enri-quecer el desarrollo profesional de los maestros.Pero la forma de concebir la evaluación no ha cam-biado mucho y la manera como se lleva a cabo,poco o nada contribuyen en la formación de perso-nas para lograr un nivel adecuado dentro de unasociedad democrática. Lo anterior se pudo com-probar durante los años de 1999, 2000 y 2001 cuan-do se realizó una experiencia de investigación, conlos alumnos de 7° a 11° grado, cuyo objetivo cen-tral fue: Contribuir al mejoramiento de las prácti-cas evaluativas y la formulación de logros delaprendizaje matemático en la enseñanza básica se-cundaria y media del Departamento del Cesar. Elenfoque fundamental reside en la concepción quelos conocimientos matemáticos se construyen usán-dolos en los dominios conceptuales matemáticospropuestos en los lineamientos curriculares por elMinisterio de Educación Nacional, donde ellos sonla carta de navegación para desarrollar el plan deestudio particular de cada Institución Educativa.

El presente artículo da cuenta de la investigaciónrealizada sobre «el estudio de la evaluación de lo-gros en la enseñanza básica secundaria y mediaoficial en el Departamento del Cesar», que por suimportancia en el proceso educativo, en él nos ocu-pamos de la influencia de los conceptos que tienenlos maestros de la evaluación tradicional y la nue-va evaluación, que busca analizar en forma globallos logros, dificultades o limitaciones del alumno ylas causas y circunstancias que, como factoressociables, inciden en su proceso de formación. Deesta manera la evaluación se constituye en una guíau orientación para el proceso pedagógico. La con-cepción de la evaluación de los docentes de estesector del caribe colombiano, se refleja en las teo-

rías de los autores que se ubican en la evaluacióncomo acción instrumentalista y la evaluación cuali-tativa por logros y competencia. Convencidos dela importancia que representa para la educaciónen el Departamento del Cesar conocer los resulta-dos de la investigación realizada, nos proponemosinformar acerca de ellos a toda la comunidad edu-cativa, comunidad de educadores matemáticos,Departamental y Nacional, con la esperanza quepuedan ser utilizados en la toma de decisiones enpro del mejoramiento de la calidad educativa y asícontribuir al desarrollo de la región y del país. Estetrabajo consta de lo siguiente:

1. De una introducción, donde se presentan aspec-tos de la problemática, del problema de investi-gación , de la hipótesis de trabajo, de los objeti-vos propuestos y la metodología empleada.

2. De un marco teórico donde se discuten laspremisas que guían esta investigación, como tam-bién se describen las características de cada unade ellas, comenzando con una breve cronologíasobre los orígenes y desarrollo de la evaluación,seguido por las concepciones de la evaluación.

3. De un diseño metodológico, donde se explicaen forma detallada como se desarrolló y ejecu-tó esta investigación.

4. De unos hallazgos y análisis, que presentan losresultados encontrados en el estudio de esta in-vestigación y su respectivo análisis.

5. De unas conclusiones y recomendaciones quede acuerdo al inciso cuarto formula el grupo in-vestigador, a todas las autoridades educativasdel orden Departamental y Municipal, a las ins-tituciones participantes, a los docentes de ma-temáticas, a la comunidad de educadores mate-máticos y a la universidad. Por último, debido ala naturaleza de nuestro problema de investiga-ción, nos apoyamos en las teorías de la Evalua-ción: como acción instrumentalista y cualitativaintegral por procesos y logros.

BibliografíaFLOREZ, R. (1999). Evaluación Pedagógica y Cognición. Bo-gotá: Mc. Graw-Hill..

GARCÍA, T. y Otros (2001). Estudio de la Evaluación de lo-gros en el Aprendizaje Matemático en la Enseñanza BásicaSecundaria y Media Oficial en el Departamento de l Cesar.Valledupar: Universidad Popular del Cesar.

Pérez, M. y BUSTAMANTE, G. (1996). Evaluación Escolar: ¿Resultados o Procesos? Bogotá: Magisterio.

RICO, L. y Otros (1997). La Educación Matemática en laEnseñanza Secundaria. Barcelona: Hursori.

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