Metodo de Flexibilidades

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA ACADEMIA DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES

FUNDAMENTOS

El método de análisis estructural conocido como Método de las Flexibilidades, utiliza como incógnitas fundamentales a las acciones internas y las reacciones de los apoyos para su formulación, aspecto que lo hace llamarlo también Método de las Fuerzas. Se basa en la continuidad de la deformación de la estructura, por esta razón se le conoce también con el nombre de Método de las Deformaciones Consistentes.

Toda estructura indeterminada estáticamente posee un número de acciones desconocidas, bien sean internas o externas, que excede al número de acciones que pueden obtenerse mediante las consideraciones de equilibrio estático, conocidas como redundantes. Por lo tanto, deben imponerse a la estructura condiciones adicionales que la modifique, de tal forma que permitan deducir las ecuaciones requeridas para calcular estas acciones redundante, pero utilizando únicamente las condiciones de la estática.

Para analizar la estructura utilizando únicamente las condiciones de la estática, es necesario reducirla a un sistema determinado; esto se logra liberando a la estructura de las restricciones redundantes. Bajo esta condición, la estructura modificada experimenta desplazamientos que no son compatibles con los de la estructura real. Para restituirla a su condición original, se aplican nuevamente las restricciones redundantes a la estructura modificada, en tal forma que su deformación coincida con la de la estructura real, obteniendo así las ecuaciones suplementarias necesarias. Este análisis requiere únicamente de la aplicación de las ecuaciones de la estática y del cálculo de desplazamientos; temas vistos en Mecánica de Materiales y Análisis Estructural.

OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS

La estructura de la figura será utilizada para ilustrar la formulación del método de las flexibilidades para el análisis de todo sistema estructural indeterminado estáticamente.

En todo análisis estructural de cualquier sistema mecánico, en primer lugar se tiene que definir claramente el modelo en términos de la geometría, las condiciones límite, las propiedades mecánicas del material y la carga actuante. En nuestro caso se trata de una viga de dos tramos de longitudes L 1

y L2, esta simplemente apoyada en los puntos A y B y empotrada en el punto C. En cada tramo el momento de inercia puede ser constante o variable y el módulo de elasticidad también puede variar en el sistema. En la figura se especifica una condición generalizada de carga.

Autor: Ing. Severiano Álvarez CruzPágina 1

2015

E2, A2, I2

L2L1

32

1

A2

A1

E1, A1, I1



PASO 1: Calculamos el grado de hiperestaticidad de la viga

PASO 2. Dibujamos tentativamente la elástica deformada de la viga original en base al análisis de la compatibilidad de los desplazamientos, según los tipos de apoyo y/o nudos que se tengan.


2015

Figura ilustrativa para explicar el proceso del Método de las flexibilidades.

NR=5NF=0

NRF=5

NEE=3

GH = NRF - NEE = 5 – 3 = 2ºEstructura estáticamente indeterminada externamente

A2

A1

A2

A1



PASO 3: Seleccionamos las redundantes que habrá que suprimir (igual al GH) de la estructura original, liberándolaasí para transformarla en una estáticamente determinada.En nuestro caso escogemos como redundantes las reacciones RO

1 y RO2, reduciéndose la viga hiperestática a una viga

isostática en voladizo.Bien podemos elegir otras redundantes y obtener otras vigas isostáticas, sin embargo se sugiere elegir la más sencilla para agilizar los cálculos.

PASO 4: Formamos la estructura original a través de la superposición de efectos de la estructura liberada, este proceso se efectúa así: Aplicamos a la estructura liberada las cargas originales, luego las redundantes retiradas una a una, pero con un valor unitario. Para cada caso de carga, describimos la elástica deformada y las reacciones derivadas. Las figuras señalan el procedimiento descrito.

PASO 5: Finalmente, aplicando el principio de superposición causas y efectos, escribimos las ecuaciones de desplazamiento sumando los efectos individuales de cada caso de carga de la estructura liberada. Resultando un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, igual al número de grados de libertad, mismas que al ser resueltas calculan las reacciones redundantes.

D1o=D1

L+ f 11 R1o+ f 12 R2

o

D2o=D2

L+ f 21 R1o+f 22 R2

o

Escritas en forma matricial quedan:

{D1o

D2o}={D1

L

D2L }+[ f 11 f 12

f 21 f 22 ]{R1o

R2o }

Resolviendo para las redundantes:

{R1o

R2o}=[ f 11 f 12

f 21 f 22 ]−1 [{D1

o

D2o }−{D1

L

D2L }]


Estructura liberada elegida, es estáticamente determinada externa e internamente al retirar las reacciones 1 y 2 de la viga original

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En forma compacta se escriben:

{ Dio }= { Ri

L}+ [ f ij ] {Rio }

Cuya solución es:

{R io }= [ f ij ] −1 [{ Di

o }−{ R iL} ]

PASO 5: Finalmente, aplicando las ecuaciones de equilibrio estático a la estructura original calculamos las reacciones restantes, o bien mediante el principio de superposición causas y efectos también pueden obtenerse escribiendo las ecuaciones en la forma siguiente.

R3o=R3

L+r31 R1o+r32 R2

o

R4o=R4

L+r41 R1o+r 42 R2

o

R5o=R5

L+r51 R1o+r52 R2

o

Escritas en forma matricial quedan:

{R3o

R4o

R5o }={R3

L

R4L

R5L }+[ r31 r32

r41r51

r42r52

]{R1o

R2o}

En forma compacta se escriben:

{ Reo }={ Re

L}+ [r ji ] {R io }


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r41

r51

f21f11

1r31

r42

r52

r32

f22f12

1

A2A1

A2

A1

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Las expresiones anteriores se dedujeron para una estructura de dos redundantes, sin embargo, el método de las flexibilidades puede generalizarse para una estructura de n redundantes, bien sean vigas, marcos, armaduras, etc. La generalización de las ecuaciones de desplazamiento se describen a continuación.

D1o=D1

L+ f 11R1o+ f 12 R2

o+ f 13 R3o+. ..+ f 1n Rn

o

D2o=D2

L+ f 21 R1o+f 22 R2

o+f 23 R3o+.. .+ f 2n Rn

o

D3o=D3

L+ f 31 R1o+f 32 R2

o+f 33 R3o+.. .+f 3n Rn

o

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮Dn

o=DnL+ f n1 R1

o+ f n2 R2o+ f n3 R3

o+ .. .+f nn Rno

Estas ecuaciones representan un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, donde Ronson

las reacciones redundantes de la estructura original que no pueden calcularse con las ecuaciones de

equilibrio estático.

Sin embargo, el caso general del método de las flexibilidades se presenta en una estructura

estáticamente indeterminada externa e internamente; donde las redundantes pueden ser tanto

reacciones como fuerzas internas. Por lo cual será más conveniente simbolizarlas redundantes con

un distintivomás apropiado para formular la generalización de estas ecuaciones. Utilizaremos la letra

X, modificándose la simbología de las ecuaciones de desplazamiento, como se indica a

continuación.


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D1o=D1

L+ f 11 X1+ f 12 X 2+f 13 X3+.. .+ f 1n Xn

D2o=D2

L+ f 21 X1+ f 22 X2+ f 23 X3+. . .+ f 2n Xn

D3o=D3

L+ f 31 X1+ f 32 X2+ f 33 X3+. ..+ f 3n Xn

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮Dn

o=DnL+ f n1 X 1+f n2 X 2+f n3 X3+. ..+ f nn Xn

Escritas matricialmente:

En forma compacta:

{ Dio }= { Di

L}+ [ f ij ] { X i }Cuya solución es:

{ X i }=[ f ij ]−1 [{ Di

o }−{ DiL}]

Donde:

Vector de desplazamientos de la estructura original.

Vector de desplazamientos de la estructura liberada, ocasionados por las

cargas originales


2

1c

{ Dio }

{ DiL }

{ X i }

1b

1a

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{D1

o

D2o

D3o

⋮Dn

o}={

D1L

D2L

D3L

⋮Dn

L}+[

f 11 f 12 f 13 .. .f 21 f 22 f 23 .. .f 31 f 32 f 33 .. .⋮f n1

⋮f n2

⋮f n3

.. .

.. .

f 1n

f 2n

f 3n

⋮f nn

] {X1

X2X3

⋮Xn

}



Vector de Redundantes de la estructura original.

Matriz de flexibilidades de la estructura.

fij: Factor deFlexibilidad

PARTICULARIDADES DEL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL POR EL MÉTODO DE FLEXIBILIDADES

1. Las ecuaciones y ofrecen las soluciones más generales de estructuras estáticamente indeterminadas externa e internamente, y donde además sus apoyos, nodos o miembros tienen algún tipo de deformación permanente, por ejemplo,originados por asentamientos, efectos de temperatura, de fabricación, por colocación, etc. Asimismo, en el cálculo pueden tomarse en cuenta los efectos de deformación por fuerza axial, por corte, por flexión y aún por torsión si así fuera necesario.

2. Cuando el análisis estructural se aplique a estructuras que no presenten deformaciones iniciales en sus apoyos, nodos o miembros, o bien que no sean significativas, las ecuaciones y se reducen a las expresiones siguientes.


δ

δ

δ

[ f ij ]

f ij} Si : i= j⇒ Flexibilidad directaSi : i≠ j ⇒Flexibilidad transversal

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δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ



{ DiL}+[ f ij ] { X i}=0

{ X i }=−[ f ij ]−1 { Di

L}3. Como señalamos anteriormente, en el cálculo pueden tomarse en cuenta los efectos de

deformación por fuerza axial, por corte, por flexión y por torsión. El método más apropiado para este fin es el Método de la Carga Virtual Unitaria. A continuación presentamos un resumen de tales fórmulas.

3.1ECUACIÓN GENERAL DEL MÉTODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA

δ i=∫o

L NnEA

ds+∫o

L V x v x

GAds+∫o

L V y v y

GAds+∫o

L M x mx

EI xds+∫o

L M y m y

EI yds+∫o

L T tGJm

ds

OBSERVACIONES

N, Vx, Vy, Mx, My y T son los valores de los elementos mecánicos del sistema real de cargas aplicado a la barra.

n, vx, vy, mx, my y t representan los valores de los elementos mecánicos ocasionados por la carga virtual unitaria aplicada en el punto y en la dirección en que se pretende calcular el desplazamiento.


δi

Pv

Barra sometida a un sistema de fuerzas arbitrarias en equilibrio.

Barra cargada con una carga virtual, Pv, adicional al sistema de cargas original, aplicada en el punto donde se desea calcular el desplazamiento lineal.

3

4

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Si se desea calcular desplazamientos lineales δ (traslaciones o corrimientos) se debe aplicar una fuerza virtual unitaria en el punto y en la dirección de interés de la estructura en análisis.

Si se desea calcular desplazamientos angulares (giros o rotaciones) se debe aplicar un par (o momento) virtual unitario en el punto y en la dirección de interés de la estructura en análisis.

En la solución de problemas específicos, inicialmente la dirección de los desplazamientos que se pretenden calcular se suponen (se indican arbitrariamente), los resultados finales nos señalaran la dirección real. La dirección de la fuerza virtual puede elegirse arbitrariamente, y el signo de la respuesta indica automáticamente la dirección correcta del desplazamiento. Un signo positivo significa que el desplazamiento tiene el mismo sentido que la fuerza virtual; un signo negativo indica que el desplazamiento es de sentido opuesto al de la carga virtual.

Los sistemas de ejes coordenados pueden estar orientados en forma diferente, por lo tanto es más conveniente escribir la ecuación general del Método de la Carga virtual Unitaria sin referenciarla a sistema coordenado alguno, expresándose dicha ecuación en la forma siguiente.

δ i=∫o

L NnEA

ds+∫o

L VvGA

ds+∫o

L MmEI

ds+∫o

L T tGJm

ds

3.2 SIMPLIFICACIONES DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA

a) Cuando la configuración de la estructura analizada este compuesta por elementos donde predominen los efectos de la deformación por fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, como pueden ser los marcos planos, la ecuación general del método de la carga virtual unitaria se reduce a:

δ i=∫o

L NnEA

ds+∫o

L VvGA

ds+∫o

L MmEI

ds


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b) Si son de interés en la estructura únicamente los efectos de flexión, como en el caso de vigas y en marcos planos, la ecuación general del método de la carga virtual unitaria se reduce a:

δ i=∫o

L MmEI

ds

c) APLICACIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE ARMADURAS PLANAS

Como sabemos, las hipótesis establecidas en el análisis estructural de las armaduras, señalan que sus barras que la componen están sometidas exclusivamente a fuerzas axiales o normales, y son elementos de longitudes finitas con secciones transversales constantes, por tanto la ecuación general del método de la carga virtual unitaria toma la estructura siguiente.

δ i=∫o

L NnEA

ds=∑i=1

n N i ni

Ei AiLi

LOS EJERCICIOS QUE RESOLVEREMOS A CONTINUACIÓN EJEMPLIFICAN LA APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS A VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS MEDIANTE EL MÉTODO DE FLEXIBILIDADES.


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1. La viga de la figura esta sometida a las cargas indicadas; el momento de inercia y el módulo de elasticidad es constante, E=30000 k/in2. Analice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considere únicamente los efectos de la deformación por flexión. Obtenga lo siguiente.

a) Las reacciones de los apoyos.b) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (cortante y momento flector)

2. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura. El soporte B desciende 1.5 in. Considere E= 29x103 ksi, I=750 in4

3. Determine las reacciones en los soportes de la viga de la figura. Dibuje los diagramas de cortantes y momentos flectores. Considere EI constante.


5

RAy=12.23 kRBy=5.55 kRCy=2.22 k

Δ

CBA20

12 24 1

12

210

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CBA

50

w=120

5ft12



4. La estructura plana de la figura, esta sometida a las cargas indicadas. Esta empotrada en los puntos A y D; el momento de inercia de la viga es el doble del momento de inercia de las columnas, el módulo de elasticidad es constante E=30000 k/in2. Analice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considerando únicamente los efectos de la deformación por flexión. Obtenga lo siguiente.

c) Las reacciones de los apoyos.d) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).

5. La estructura plana de la figura, esta sometida a las cargas indicadas, además de una perturbación en el apoyo derecho, D, originada por el asentamiento de 0.50 pulgadas que experimenta. La estructura esta empotrada en los puntos A y D; el momento de inercia de la viga es el doble del momento de inercia de las columnas, el módulo de elasticidad es constante E=30000 k/in2. Analice la estructura mediante el método de las flexibilidades, considerando únicamente los efectos de la deformación por flexión. Obtenga lo siguiente.

e) Las reacciones de los apoyos.f) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).


D

CB

A

1

1

9’

6’

6’

12

24

I

2

I

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6. La estructura plana de la figura, esta sometida a las cargas indicadas. En el nodo E esta aplicada una carga horizontal y en el punto C, punto intermedio del elemento BC, se aplica una fuerza horizontal. Asimismo en la figura se indican los valores relativos del área y momento de inercia de la sección transversal de cada barra, estos valores son constantes en cada barra. I= 450 in4, A=15 in2 y E=30000 k/in2. Analice la estructura aplicando el método de las flexibilidades, considere los efectos de la deformación por flexión y la deformación por fuerza axial como las únicas relevantes. Obtenga lo siguiente. a) Las reacciones de los apoyos.b) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).

7. Calcule las componentes horizontal y vertical del desplazamiento del punto C y la componente horizontal del desplazamiento en los puntos B y D de la estructura del problema 5.

8. La estructura plana de la figura está sometida al sistema de cargas indicado. También se muestran los valores relativos de área y del momento de inercia de la sección transversal de cada barra de la estructura, I= 500 in4 y A= 20 in2. El módulo de elasticidad es igual para las dos barras. Obtenga.

a) Las reacciones de los apoyos.b) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).


D

CB

A

1

1

9’

6’

6’

12

24

0.

I

2

I

2

2

1

1

8

26

2I, I,

4I, A

A

B

D

C

43

I,

2I, A

1

6

1

3

1

2

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9. Considerando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura original descrita en la figura. En la estructura se indican los valores relativos del momento de inercia de la sección transversal de cada barra; considere que el modulo de elasticidad, E, es constante en la estructura. Obtenga.

c) Las reacciones de los apoyos.d) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).

10. Considerando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la figura. También se indican los valores relativos del momento de inercia de la sección transversal de cada barra, I=600 in4; considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura, E= 30000 k/in2. Obtenga.

e) Las reacciones de los apoyos.f) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).


1

4

32

1

2

2

I

4

2

2

2

I

6

I1

5

1

4

32

1

1k/ft

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11. Considerando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la figura. También se indican los valores relativos del momento de inercia de la sección transversal de cada barra, I=600 in4; considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura, E= 30000 k/in2. Obtenga.

g) Las reacciones de los apoyos.h) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).

12. Considerando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la figura. También se indican los valores relativos del momento de inercia de la sección transversal de cada barra, considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura. Obtenga.

i) Las reacciones de los apoyos.j) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).


25k

25k

I

6

I

32

1

8’8’8’2

1

4

5 t -m

2

I

2

32

1 4

6

3

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13. Considerando únicamente las deformaciones producidas por la flexión, analice la estructura descrita en la figura. También se indican los valores relativos del momento de inercia de la sección transversal de cada barra, considere que el modulo de elasticidad es constante en la estructura. Obtenga.

k) Las reacciones de los apoyos.l) Dibuje los diagramas de fuerzas internas (fuerza normal, fuerza cortante y momento flector).


1 to

2 ton

1.5 ton

2.3 ton

5

3t/m

2t/m

3

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