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El Mtodo que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o delos desplazamientos. Se llama rigidez porque las ecuaciones finales asolucionar tienen como incgnitas los desplazamientos en funcin delas rigideces de los elementos.Encualquieradelosdosmtodosqueseplantea seutilizaelprincipio de superposicin,el cual se plantea el cual cumple parasistemaslineales,elsticosyqueexperimentandesplazamientosngulos.pequeos, o sea que las tangentes son iguales a losDebidoaqueeneselmtododelarigidezsetrabajacon losdesplazamientosLibertadimportantedefinirloqueesungradodeLos Grados de Libertad corresponden a las posibles formas demoverse que tiene una estructura, con ellos se puede describirla figura deformada de una estructura. Estos se miden en lospuntos de unin de elementos (nudos) o en los apoyos.En apoyos sabemos determinar cuando un grado de libertad eslibre o restringido, en nudos tambin podemos identificargrados de libertad libres.losParauna estructuracompletapodemoscontarprimeroloslosgrados de libertad libres y finalmente identificando los deapoyos.Esta estructurabidimensional tienesietegradoslibertadlibres, siconocemos losdesplazamientos encadaunadelasdireccionespodemos determinar la deformadade toda la estructura en funcin deestosellosdesplazamientos. Noteconstituyenquelosdesplazamientos de extremo de loselementos. Esta estructura tiene cinco grados de libertad libresDebidoa queunaestructuraestaformadopordiversoselementos estructurales es posible encontrar la matriz de rigidezdecadaunodesus elementos yluegodeprocederaensamblarla para toda la estructura.La Matriz de Rigidez de un elemento dependeLibertad involucrados en la barra a analizarde los grados deexisten diversostipos de barras en funcin a los esfuerzos que trasmiten, porejemplo puede haber barras que solo soportan fuerzas axiales ocorte o esfuerzos a flexin, torsin, etc. O combinando algunosdeestos efectos,porejemplolasbarrasdeunaarmaduraabsorben fuerzas axiales y de corte, en cambio una barra de vigao columna, absorbe esfuerzos a flexin corte y axial, en el casode un muro de corte es importante el esfuerzo cortante. Cuando la barra se analiza considerando sus coordenadas propiassin importar las referidas a toda la estructura es posible obteneruna matriz de rigidez por ejemplo en caso de una armadura:Dado que los elementos unidos conforman una estructura yteniendo en cuenta que las coordenadas globales no son iguales alas coordenadas locales del elemento, es necesario realizar unatransformacin de coordenada para lo cual plantearemos la matrizde Compatibilidad de Deformaciones.Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientosde extremocon los movimientos generales de toda la estructura en sus ejesglobales, tambin se conoce como matriz de transformacin decoordenadas.Su planteamiento asume entonces una conversin de ejes localesde los elementos a ejes globales de estos: La matriz de transformacin de coordenadas corresponde a lamatriz de compatibilidad de fuerzas y se expresar con la letra .Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos. Esta matriz tiene en general tres componentes que representan 3transformaciones (horizontal, vertical y giro) En el caso de armaduras solo hay 2 transformaciones (horizontal y vertical), por lo tanto la matriz seria:A partir de esta matriz podemos crear la matrizparaunaarmaduraqueseriadelasiguientemanera:Luego finalmente parasiguiente expresinencontrar la matriz globaltendramoslaElresultadoparaunaArmaduraes:Los ngulosdeben medirse en sentidoantihorario y con respecto aleje x positivoPara resolver ejercicios manualmente por el mtodo matricial derigidez se sugiere seguir la siguiente metodologa que ayudara asimplificar los clculos:Enumere todos los grados de libertad de la estructura, tanto libres como restringidos. No tienes que llevar un orden especfico, aunque se estila colocar primero los restringidos y luego los libresElimine voladizos llevando la carga y el momento al nudo prximo.(en Prticos).1.2.3.Estudie la estructura en cuanto a la posible forma de moverse, Identifiquecualesgradosdelibertadsonlibres ycualesson restringidos,comotambincualessoniguales yaseapuedeporsimetraopordespreciardespreciandeformacionesdeformacionesaxiales. Aqusetenerencuentasiaxialesono,porlogeneral,paravigasconcargasperpendiculares las deformacionesdesplazamientos horizontales es susaxiales se pueden despreciar y losextremos sern iguales. En este pasotambin es importante identificar si un elemento aporta o no rigidez a untipo de movimiento especificado.Ensamblar esquemticamente las matrices de rigidez de los elementos. Esto quiere decir que no se escriben los trminos interiores de la matriz,4.solo se identifican los nmeros de las filas y columnasgrado de libertad correspondiente. Se pierde tiempo altrminos que la final no se necesitan.El ensamble de la matriz se har teniendo en cuentacon el nmero delescribir todo estos5.las conectividadesentre barras y basando en los grados de libertad comunes6.Unavezensambladalamatrizenfilasycolumnasesquemticas,y restringidos yreconozca la separacin entre gradostrace dos lneas perpendiculares. Porde libertad libreslo tantodebededividirlamatrizglobal ensubmatricesdelasiguientemanera:En Donde:Kff=Matriz de rigidez correspondientea los gradosde libertad reales esde grado de libertadsimtrica de orden NxN, en donde N es el nmeroreales.Krr=Matrizcorrespondiente alosgrados de libertadrestringidos essimtrica de orden N1xN1, en donde N1 es el nmero de grado delibertad restringidos. Krf=Matriz de rigidez correspondiente a la influencia de los grados delibertad reales sobre los restringidos y de orden N1xN Kfr=Matriz de rigidez correspondiente a lo grados de libertad restringidossobre los reales y de orden NxN1El Mtodo Directo de Rigidez hace uso de cargas aplicadas sobre los nudos de la estructura estas cargas son positivas y estn dirigidas en el sentido positivo de las coordenadas globales. Si hubiesen cargas actuantes sobre lasbarrasdebedeaplicarseelprincipiodesuperposicindesdoblandolaestructura original en dos estados:Enesteestadoseaplican todaslassolicitacionesexternasyserestringen losgrados delibertad,produciendoempotramientosficticios, a partir de ah se obtienen reacciones en los apoyos ficticiosque se almacenan en el vector de reacciones, como estas reaccionesson ficticiasaplicando elno existen en la estructura original deberan eliminarseestado complementarioun vector de cargas nodalesEn este caso se aplica el vector de cargas nodales y se liberanlosgrados de libertad, este estado es el que se resuelve por el mtodode rigidez directo.Aclaracin importante:armaduras Parasoloseutilizaelestadoya quecomplementario, no es necesario primario,lascargas estascolocadasdirectamenteenlosnudos de la estructura. La Matriz de Prticos es:Encuentre, solo en los grados de libertad libres, el vector de cargas nodales= , No hay necesidad de hacerlo para los grados de libertadrestringidos o despreciados. Es por eso que a partir de ahora soloconsideramos libres.=vector de cargas nodales en los grados de libertadEncuentre los desplazamientos de los grados de libertad libres usando laexpresin: En donde:{Dr}= Desplazamiento en la direccin de los grados de libertad restringidos.Conocido {Df} las reacciones correspondientes al estado complementario secalculan mediante la expresin: =+

Estas reacciones debern sumarse con las obtenidas en el estadoobtener las reacciones finalesprimario para = + En donde: = {}Las fuerzas internas se pueden calcular por equilibrio esttico en los nudos