Metodo matricial de la rigidezMÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ

AUTOR

Melanie Gómez -Tostón. Gutiérrez

Ingeniería de Edificación

(El presente trabajo estará relacionado con el Método matricial de la

flexibilidad[1], de Lucas Pérez Monge)

RESUMEN

A continuación se presenta el método de cálculo en forma matricial de la

rigidez (cuya matriz llamaremos, ‘K’). Este método de cálculo es aplicable a

estructuras hiperestáticas de barras que trabajan de forma elástica y líneal,

incluyendo también estructuras estáticamente indeterminadas.

Esta aplicación de cálculo requiere de una transformación de coordenadas

para localizar las matrices K. Haciendo falta introducir un algoritmo para

encontrar esas matrices en otro sistema de coordenadas.

El método de rigidez directa se ejecuta mediante el método de los elementos

finitos. En una única ecuación podemos saber el comportamiento interno de la

estructura a calcular, siendo así los datos desconocidos para su posterior

calculo las fuerzas y desplazamientos aplicados en la estructura, que

podremos determinarlos resolviendo la ecuación por medio de este método

directo de la rigidez, mediante un programa del ordenador (como puede ser el

MATLAB u Octave, éste último utilizado por su licencia libre en prácticas de

Algebra Lineal para la Edificación).

SUMMARY

Below is the method of calculation of the stiffness matrix form (the parent call,

'K'). This calculation method is applicable to indeterminate bar structures that

work in a linear elastic, also including statically indeterminate structures.

This application requires computing a coordinate transformation matrix to locate

K. Making necessary to introduce an algorithm to find these matrices in another

coordinate system. The direct stiffness method is performed by finite element

method.

In a single equation we know the internal behavior of the structure to calculate,

making it the unknown data for subsequent calculation of forces and

displacements applied to the structure, we can determine them by solving the

equation by this method of stiffness by a computer program (such as MATLAB

or Octave, the latter used by your free license practices for Building Linear

Algebra).

INDICE

Tabla de contenidos

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1 INTRODUCCIÓN

2 ORIGEN

3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

4 MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

4.1 MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL

4.1.1 Barra recta bidimensional de nudos rígidos

4.1.2 Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

4.1.3 Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

4.1.4 Barra recta tridimensional de nudos rígidos

4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

5 SOLUCIÓN DEL SISTEMA GLOBAL DE ECUACIONES

6 MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

7 LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ

8 DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZ

9 CONCLUSIONES APLICADAS AL CAMPO DE ALGEBRA PARA LA EDIFICACIÓN

10 VÉASE TAMBIÉN

11 REFERENCIAS BIBLIOGÁFRICAS

12 LICENCIA

INTRODUCCIÓNEn los métodos matriciales para el cálculo de estructuras tantos hiperestáticos

como elementales siempre hay 2 variables, dependiendo del:

Método de la flexibilidad [2], siendo las incógnitas las fuerzas, que se basa

a su vez en el método de los desplazamientos (abordado este tema por mi

compañero Lucas Pérez Monge

Método de la rigidez , siendo las incógnitas los desplazamientos. En el que

hay tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos.

Como muestra en un ejemplo la Imagen 1.1

Las barras de una estructura se las relaciona con los desplazamientos que

presentan en los nodos de las estructuras, con las fuerzas exteriores

necesarias para que se produzcan estos desplazamientos. Relacionando esta

matriz de rigidez las fuerzas nodales y desplazamientos sobre los nodos de la

estructura a estudiar, obtenemos la ecuación Imagen 1.2.:

= [3]

Donde:

Fi son las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son los

desplazamientos de la estructura; y di el número de grados de libertad de la

estructura.

La rigidez de una estructura consiste en que no sobrepasen un límite que están

íntimamente ligados con la funcionalidad o estabilidad en la elasticidad lineal

de la pieza a estudiar.

La deformación elástica se expresa también mediante esta matriz de rigidez

mediante la Imagen 1.3:

= · = [4]

Del teorema de Maxwell-Betti [5] se deduce que la matriz de rigidez debe ser

simétrica en el que deduce que:

Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que

se produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si

la causa actuase en B. (J. C. Maxwell)

Con lo que interpreta que sólo existe la acción de una fuerza y no un conjunto

de éstas.

Este teorema es aplicable a la matriz de rigidez de una estructura lineal en

el que establece que ésta debe ser simétrica, como muestra en la Imagen

1.4:

[6]

ORIGENM. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad o de las

fuerzas para el análisis de estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por

L.B. Wehle y W. Lansing. Levy fue el primero también en proponer el método

de la rigidez o desplazamientos para su análisis estructural, en un artículo

publicado en 1953, y ya estableció las ecuaciones en forma matricial,

resolviéndolas mediante el ordenador. [7]

Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática

lineal en estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis

de estructuras más complejas incluyendo en este análisis el método de los

elementos finitos.

Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores

para los métodos de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este

método resurgió en aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el

comportamiento estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras

que en Ingeniería Estructural necesitaban otros métodos que contrastasen

diseños más complejos, por lo que se ha seguido estudiando este método. El

mayor inconveniente era su gran tiempo en la ejecución de sus cálculos. Pero

con la coincidencia en la misma época de la entrada de los ordenadores (en

especial con la utilización del programa informático MATLAB u Octave, éste

último con licencia libre) facilitaron la resolución de estas ecuaciones de forma

rápida y directa.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULOEl procedimiento de cálculo, según la demostración obtenida de Roberto

Aguiar Falconí. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS[8]

para hallar la matriz de rigidez de una estructura K se consigue mediante los

siguientes pasos:

1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.

2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos

afiliado a la deformada elemental.

3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en

cargas internas P a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la

ecuación matricial: P= k•p

4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la

estructura.

5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.

6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el

vector de las cargas que son los elementos de la matriz de rigidez de la

estructura.

Ahora veremos (Imagen 3.1) un ejemplo[9] donde va siguiendo estos pasos:

Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las

siguientes ecuaciones:

-

-

La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado

es:

=

Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial

Donde es de la siguiente forma:

=

De donde:

Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la

matriz de rigidez de cada elemento por su vector de deformaciones,

obteniéndose:

Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:

=

Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la

matriz de rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo

resultado final es el siguiente:

=

MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICASEn el estudio de una estructura por el método de la rigidez[10] se establecen

tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplir.

Ecuaciones de compatibilidad

Ecuaciones constitutivas

Ecuaciones de equilibrio

Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas

mediante matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas

conclusiones diferenciándola con la rigidez ya que, se calcula mediante un

campo vectorial y matricial de desplazamientos.

Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de

grados de libertad pudiéndose calcular mediante un numero definido con el

mismo número de ecuaciones que de incógnitas en forma algebraica.

La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz

de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los

desplazamientos con las cargas que actúan (Imagen 4.1).

= [11]

Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra

será de orden 4 como muestra la Imagen 4.2.

=

y los vectores de carga y de movimientos (Imagen 4.3):

[12]

Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como

muestra en la Imagen 4.4.

= [13]

Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados

debido a los g.d.l. resultndoa la siguiente matriz simplificada (Imagen 4.5)

= [14]

Este método dependerá de una serie de condiciones que se designará a

cada barra elástica de la estructura a estudiar, estos factores dependen [15]

de:

las condiciones de enlace en su extremo (articulación, nudo rígido, etc.)

la forma de la barra: si es recta, curvada, etc.

Las constantes elásticas del material de la barra, ya sea longitudinal o

transversal.

También podremos decir que a partir de las fuerzas aplicadas sobre la barra se

forma el vector de fuerza que equivale a las acciones exteriores sobre la

estructura. Las únicas incógnitas que nos encontraremos serán las posibles

reacciones sobre la estructura en sus apoyos. En el que con todos estos datos

construimos un sistema lineal de ecuaciones para los desplazamientos que se

produzcan y las incógnitas de sus apoyos. Este número de desplazamientos y

reacciones incógnitas dependerán del número de nodos; siendo:

Si es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un

problema tridimensional. Este sistema se divide en dos subsistemas de

ecuaciones que cumplen:

Subsistema 1: Agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original

que sólo tiene desplazamientos como incógnita.

Subsistema 2: Agrupa al resto de ecuaciones, en el que resuelto el

subsistema 1 y sustituido en el subsistema 2 obtendremos el resultado

de las reacciones incógnita.

En el que finalmente una vez obtenidas las reacciones, fuerzas

nodales equivalentes y desplazamientos; podemos conocer los

esfuerzos que pasa en cualquier punto de la estructura, sus tensiones

máximas y dimensionar las secciones de la estructura.

MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL

Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-

empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).

2. Las características de la sección transversal de la barra: área,

momentos de inercia de la sección y las características geométricas

(longitud de la barra, curvatura, etc.)

3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son

problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. Esto relaciona

a su vez la deformada de la barra al relacionar las fuerzas nodales

equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros

en sus extremos.

Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras

dependen directamente del tipo de estructura que se va a resolver:

a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo

b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.

En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.

c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el

plano del pórtico y dos traslaciones), y como acciones en el extremo

de una barra existen tres acciones (una fuerza axial, un esfuerzo de

corte y un momento flector).

d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones

y tres rotaciones, y como acciones en el extremo de una barra existen

cuatro acciones (una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos

momentos flectores y un momento torsor).

e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un

corrimiento normal al plano de la grilla y dos rotaciones alrededor de

los ejes contenidos en el plano). Los esfuerzos son un cortante y dos

momentos (un torsor y un flector).

En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de

la dimensionalidad de la barra como muestra en la Imagen 4.1.1[16]:

:

En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una

orientación arbitraria α, que conviertes los vectores y matrices entre

los sistemas de referencia absoluto y local, en los distintos tipos de

estructuras como en:

Reticulado plano en una barra : Imagen 4.1.2:

= [17]

Vigas : al ser horizontales no hace falta su transformación mediante

la matriz de rotación.

Pórtico plano en una barra : Imagen 4.1.3

= [18]

Entramado o parrilla Imagen 4.1.4:

= [19]

Barra recta bidimensional de nudos rígidos

Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el

ángulo formado por las dos barras después de la deformación no varía

con el ángulo que formaba antes de su deformación. Este conjunto

permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que

mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de

barras unidas rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez

elemental viene dado como muestra en la Imagen

4.1.1.1http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/skins/common/

images/button_math.png:

= [20]

Donde:

L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de

inercia).

E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).

Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada

más abreviada, introducimos la esbeltez mecánica característica, para

reducir su matriz:

= =

Donde: es la esbeltez mecánica característica.

= [21]

Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo

de la barra (f) con los desplazamientos nodales (d).

Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin

transmitir esfuerzos al nudo rígido. En este caso la matriz de rigidez,

viene dada por (Imagen 4.1.2.1 y 3.1.2.2):

= [22]

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si

hubiera sido al revés, tendríamos que permutar la matriz anterior para

estar en este nuevo caso planteado (Imagen 3.1.2.2):

= [23]

Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

Una barra bidimensional con dos nudos articulados sólo transmiten

esfuerzos en su eje, en que su matriz de rigidez tendrá componentes

diferentes para los grados de libertad longitudinal, dada por:

= [24]

Barra recta tridimensional de nudos rígidos

Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad en cada nudo

(3 de traslación y 3 de orientación), como en este caso la barra está

compuesta por dos nudos la matriz de rigidez será de 12x12. Este tipo

de barras puede transmitir torsiones, esfuerzos a flexión y cortante en

dos direcciones diferentes, que permite que la barra tenga más grados

de libertad y su matriz de rigidez más compleja para definir

correctamente su comportamiento, por lo que se descompone en 3

submatrices (Imagen 3.1.4.1):

= [25]

Estas 3 submatrices son (Imagen 3.1.4.2):

[26]

[27]

Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:

L, A, Iy, Iz,J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su

área transversal, momentos de área en las direcciones Y y Z; y su

módulo de torsión.

E, G se refieren al módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de

elasticidad transversal.

E1=+1, E2= -1 son signos relativos.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

La matriz de rigidez global de la estructura (S) se obtiene mediante la

suma de las rigideces de cada una de las barras, necesitando de la

ayuda de sus submatrices que componen la matriz de la rigidez de la

barra(Imagen 4.2.1).

[28]

[29]

El vector de cargas de la estructura(L) a calcular, se forma mediante la

suma de las cargas aplicadas, incluyendo aquellas cargas que han

sido producidas por cada barra(Imagen 3.2.2).

[30]

[31]

SOLUCIÓN DEL SISTEMA GLOBAL DE ECUACIONESUna vez obtenido el sistema de ecuaciones procederemos a su

cálculo mediante uno de los métodos más conocidos para su

resolución matricial, como[32]:

a) Método directo: son algoritmos que dan una solución exacta

mediante números finitos de operaciones. Estos métodos son:

Gauss

Cholesky

Gauss-Jordan

Método frontal

b) Método iterativo: son algoritmos que dan una solución inicial

inexacta que mediante aproximaciones sucesivas nos da una solución

exacta. Estos métodos son:

Método Jacobi

Método de Gauss-Seidel

Método de gradientes conjugados

MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURASi fuese necesario modificar algunas características de un

elemento estructural o de algún material en concreto según

MÉTODOS GENERALES: Análisis matricial[33], podremos omitir este

proceso de resolución del sistema de ecuaciones tan largo, mediante

un sistema de ecuaciones “modificado” el cuál sería:

{f} = ([K] + [K']){d} [34]

Donde [K´] es la matriz modificada a la matriz [K]

Quedando la expresión definida como:

{f} = [K](I + [K]-1[K']){d} [35]

y, por tanto,

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f} [36]

El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en la

estructura antes de la modificación por lo cual podemos sustituirlo en

la ecuación:

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0 [37]

Con lo que se deduce que el vector de movimiento del sistema

"modificado" se obtiene del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´].

Esta matriz es permitida si las "modificaciones" no alteran mucho a los

nodos de la estructura; así se procederá a ordenar razonadamente

agrupando los g.d.l. afectados.[38]

LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZPara enlazar la matriz de rigidez con las estructuras hiperestáticas, se

tienen que tener en cuenta unas limitaciones muy importantes como

son [39]:

Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke

(relación lineal esfuerzo-deformación)

Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta

efectos de segundo orden.

Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión

Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se

cumplan las anteriores suposiciones.

Todas las cargas se aplican en forma progresiva y simultánea.

Se omiten las deformaciones por cortante

No se considera la rigidez de los nodos

No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión

Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos

actúan las cargas

El centro de cortante y el centro de torsión se asume que

coinciden, siendo así independientes

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos

En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir

con el plano de carga

La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de

orden n. Se dice que A es simétrica si cumple que AT=A ó que A

es anti-simétrica si AT=-A)

La suma de los elementos de cada columna es cero

Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden

a ser los mayores valores de cada una de las filas.

Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una

matriz de rigidez con determinante cero se dice que es una

estructura inestable.

DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZLas diferencias aportadas por el catedrático Diego Miramontes De

León. Análisis Estructural 1. [40] hace una comparativa entre el

cálculo matricial de la flexibilidad y la rigidez. Primeramente hace

una comparativa en los procedimientos ya que uno es el inverso del

otro (Flexibilidad y Rigidez). Como en un principio desprecia la

deformación axial de las barras y considera una incógnita por nudo

para asó obtener sistemas de ecuaciones en el que se puedan

comparar.

ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD ACCIÓN EN RIGIDEZ

Se eliminan todas las incógnitas

quedando una estructura isostática.

En la estructura liberada, aparecen

unos desplazamientos

incongruentes con las condiciones

de apoyo reales. Los

desplazamientos son debidos a la

carga real.

Para eliminar los desplazamientos

incongruentes, se aplican fuerzas

(incógnitas) en cada uno de los

puntos y en las direcciones en

donde se presentan. Utilizándose

así, unos valores unitarios.

La suma de todas las

configuraciones, deben satisfacer

las condiciones geométricas de la

estructura real, los desplazamientos

en cada apoyo deben ser nulos.

Se sujetan todos los nudos para impedir

cualquier movimiento, resultando en una

estructura empotrada en todos sus nudos.

En la estructura empotrada, aparecen

fuerzas de empotramiento incongruentes

con las condiciones de apoyo reales. Los

momentos son debidos a la carga real.

Para eliminar estas fuerzas ficticias, se

aplican desplazamientos (incógnitas) en

cada uno de los puntos y en las

direcciones en las que aparecen las

fuerzas. Utilizándose así, unos valores

unitarios.

La suma de todas las configuraciones

debe satisfacer las condiciones de

equilibrio de la estructura real, es decir, la

suma de los momentos en cada apoyo,

debe ser nula (equilibrio).

CONCLUSIONES APLICADAS AL CAMPO DE ALGEBRA PARA LA EDIFICACIÓNCentrándonos en el cálculo de la rigidez de estructuras hiperestáticas

de barras que se comportan de forma elástica y lineal mediante

matrices, podemos decir, que es un proceso muy complejo en el que

actualmente se ha reducido mediante el uso de programas

informáticos (MATLAB u Octave, éste último con licencia libre);

resolviendo este tipo de matrices de forma rápida y sencilla,

analizando cualquier problema que pueda ocurrir en la estructura.

El método matricial está formado por los tres conjuntos de ecuaciones

(constitutivas, de compatibilidad y equilibrio) relacionando los

desplazamientos de cada tipo de estructura con variables que

dependen de las fuerzas exteriores.

Si en algún caso los resultados obtenidos de la matriz de rigidez tiene

que ser modificado no es necesario volver al proceso de cálculo

anterior, pudiéndose hacer con una modificación mencionada

anteriormente su proceso.

Su relación al campo de algebra para la edificación podemos asociar a

la matriz de rigidez que es una matriz simétrica y dispersa, siendo la

inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando los desplazamientos

con las fuerzas que actúan. También observamos que la suma de los

elementos de cada columna es cero y es invertible, siendo su

determinante distinto de cero, diciéndonos que la estructura es

estable. En caso contrario, si el determinante es cero, la estructura es

inestable.