Matriz inversa

Matriz inversaMtodo Gauss JordanIntroduccinSi es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad:(Siendo I la matriz identidadde igual orden que A)Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en caso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa.Matriz inversa:

Ejemplo:

Multiplico los elementos de las filas de la primer matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos:

Para la fila 1, columna 1: 2.a+(-1).c=2.a-cPara la fila 1, columna 2:2.b+(-1).d=2.b-dPara la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+dAhora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1

Sea A= , hallar si es posible A-1

Sea A= , hallar si es posible A-1

A partir de esta igualdad podemos deducir las siguientes ecuaciones: 2.a-c=12b-d=0 a+c=0 b+d=1 Armar estos sistemas de ecuacionesY resolverlos por alguno de los mtodos vistos (suma, resta, igualacin, sustitucin, etc)En este caso fue resuelto por la suma de las ecuaciones del sistema y el posterior despeje de las incgnitas.Ejemplo:Ejemplo:

Sea A= , hallar si es posible A-1

Ahora que se el valor de mis incgnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de A

Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1Para la fila 1, columna 2:2.(1/3)+(-1).(2/3)=0Para la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d1100 El resultado coincide con los valores de la identidadEjemplo:Sea A= , hallar si es posible A-1

lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A

El mtodo recin explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incgnitas.

es por ello que veremos el mtodo Gauss Jordan.Mtodo Gauss Jordan.Preparacin de la matriz: A=

Para facilitar el entendimiento del mtodo utilizaremos una grillaEn la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicacin original

AI

2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad

Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por l la fila correspondiente.

AI

En este caso elijo el 1 para ahorrar cuentas, ya que debo dividir cada elemento de la fila por el numero que elijo.

Por lo tanto, debido a que eleg el 1 se mantienen los valores de la fila

9Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero.

AI

0010Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

00Que consiste en restarle a dicho elemento el producto contra diagonal dividido por el pivoteSeleccionamos el elemento a transformar Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectngulo imaginario Siendo la diagonal la lnea que va del pivote al 2 la contra diagonal seria la que va del 0 al 1Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta 2-(1.0)/1= 2Y lo ubicamos en la tabla211Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

00Ahora seleccionamos otro elemento a transformarArmamos el rectngulo imaginario Y determinamos los elementos de la contra diagonal para hacer la transformacin2-2 - [1.(-1)]/1 =-2 - (-1) = -2 + 1 = -1-1Y as sucesivamente hasta completar la tabla12Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 0-( 1 . 1 )/1= -1-1-113Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 1-( 1 . 0 )/1= 1-11-114Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 0-( 1 . 0 )/1=0-10-1115Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 -1-( 2 . 0 )/1=-1-10-11-116Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 1-( 2 . -1 )/1=3-10-11-1317Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 0-( 2 . 1 )/1=-2-10-11-13-218Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 0-( 2 . 0 )/1=0-10-11-13-2019Mtodo Gauss Jordan.Mecnica del procedimiento:3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectngulo

AI

002 1-( 2 . 0 )/1=1-10-11-13-20120Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote anterior, y se divide por l la fila correspondiente.-10Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero.00-021Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-0El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectnguloSeleccionamos el elemento a transformar Entre el pivote y el elemento seleccionado hay un rectngulo imaginario Siendo la diagonal la lnea que va del pivote al 1 la contra diagonal seria la que va del 0 al 0Entonces, para determinar este elemento debemos hacer la sig. cuenta 1-(0.0)/1= 1Y lo ubicamos en la tabla122Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-00-(0.-1)/2= 010Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.23Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-03-(-1.-1)/2= 5/210Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.5/224Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-0-2-(-1.-1)/2= -5/210Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/225Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-00-(-1.1)/2= 1/210Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/226Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-01-(-1.0)/2= 110Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/2127Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-00-(0.0)/2= 010Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/21028Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-00-(1.0)/2= 010Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/210029Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-01-(-1.0)/2= 110Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/2100130Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-0-1-(-1.0)/2= -110Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla.-5/25/21001-131Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-13-201-1000-010Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna IComo puede verse aqu aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condicin-5/25/21001-132Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna IComo puede verse aqu aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condicin-5/25/21001-1100-12/51/5001-(-1.0)/5/2= 1Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos133Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/5000-(-1.0)/5/2= 0Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos1034Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/5001-(-1/2.0)/5/2= 1Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10135Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/5001-(-1/2.0)/5/2= 1Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos101036Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos1010-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1-137Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10101/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5-13/538Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10100-(-1/2.1)/5/2= 1/5-13/51/539Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10101-(-1.-5/2)/5/2= 0-13/51/5040Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10100-(1/2.-1)/5/2= 1/5-13/51/501/541Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/500Elijo mi tercer pivoteDivido los elementos de su fila por el pivoteReemplazo por 0 los elementos de la columnaY aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos10100-(-1.1)/5/2= 2/5-13/51/501/52/542Mtodo Gauss Jordan.

AI

002-10-11-1301-1000-010-5/25/21001-1100-12/51/5001010-13/51/501/52/5IA-1 Esta seria nuestra matriz inversa43Mtodo Gauss Jordan.A-1

Entonces, resulta que la inversa de A es:44