Matriz Asociada a la Aplicacion
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ALGEBRA LINEAL
GRUPO 3
INTEGRANTES:
- Jonathan López
- Daniel Villavicencio
- Alisson Alava
- Alejandro Guerrero
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•
APLICACIÓN LINEAL INVERSA
Para que exista la aplicación lineal inversa , entonces, la aplicación lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva.
f(u)=w
x
u
𝑓 −1
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2
Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa
1. Demostrar si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal.
2. Demostrar que es biyectiva.
3. Escalonamos la matriz utilizada para encontrar la imagen. Los valores obtenidos, los reemplazamos en la aplicación lineal inversa.
f(a,b)=x+yt
(a,b)
𝑓 −1
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1. Demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal.
𝑓 :ℝ2→𝑃1(𝑡)(𝑎 ,𝑏)→ 𝑓 (𝑎 ,𝑏)=(2𝑎 )+(𝑏+𝑎) 𝑡
𝑁𝑓 ={(𝑎 ,𝑏)/2𝑎+(𝑏+𝑎) 𝑡=0+0 𝑡 }
{ 2𝑎=0𝑎+𝑏=0
𝑁𝑓 ={(0,0)}dim (𝑁𝑓 )=0
¿
{¿𝑎=0¿𝑏=0
f(a,b)=p+qt
(a,b)
ℝ 2
𝑓 −1
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
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𝐼𝑚𝑔𝑓 =¿
𝐼𝑚𝑔𝑓 ={ (𝑝+𝑞𝑡 )/ (2𝑎+(𝑏+𝑎 )𝑡 )=𝑝+𝑞𝑡 }
{ 2𝑎=𝑝𝑎+𝑏=𝑞
f(a,b)=p+qt
(a,b)
ℝ 2
𝑓 −1
𝑓 1← 𝑓 11 /2 𝑓 2← 𝑓 2− 𝑓 1
𝐼𝑚𝑔𝑓 ={(𝑝+𝑞𝑡 )/𝑝 ,𝑞∈ℝ }
dim (𝐼𝑚𝑔𝑓 )=2 ∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐼𝑚𝑔𝑓 ={𝑃1(𝑡) }
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Otra forma: Teorema de la dimensión
𝐷𝑖𝑚(ℝ2)=𝐷𝑖𝑚(𝑁𝑓 )+𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓 )
f(a,b)=p+qt
(a,b)
ℝ 2
𝑓 −1
2
𝐷𝑖𝑚 ( 𝐼𝑚𝑔𝑓 )=2=𝐷𝑖𝑚 (𝑃1 (𝑡 ))
∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
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2.-Demostramos que es biyectiva
∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑁𝑓 ={(0,0)}
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐼𝑚𝑔𝑓 ={𝑃1(𝑡) }
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3.- A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa.
(𝑝+𝑞𝑡 )→ 𝑓 (𝑝+𝑞𝑡 )=(𝑝2 ,𝑞− 𝑝2 )
𝑓 1← 𝑓 11 /2 𝑓 2← 𝑓 2− 𝑓 1
f(a,b)=p+qt
(a,b)
ℝ 2
𝑓 −1
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VECTOR DE COORDENADAS
Sea (V, K, +, ) un espacio vectorial de dimensión finita con base , para cada v ∈ V existen escalares únicos tales que:
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COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE
El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como , se llaman coordenadas de un vector respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B.
Sea llegamos a encontrar las coordenadas del vector v de la base dada y se escribe de la siguiente forma:
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Sea la base y , encontrar
1.- Hacemos la combinación lineal:
2.- Obtenemos nuestra matriz ampliada con un sistema de ecuaciones, y realizamos operaciones elementales
7
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3.- Obtenemos los escalares
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MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN
LINEAL
ALGEBRA LINEAL
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A toda aplicación lineal f: V W de espacios
vectoriales de dimensión finita n y m
respectivamente, se le puede asociar una
matriz A Mmxn , tal que:
F (x)= AX , donde X=
Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una aplicación lineal f: V W.
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𝑨=[ 𝒇 ]B 2B 1
[𝒗 ]𝑩1❑ [ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2
❑
𝑣 f)= w
𝑉 W
𝑩 2𝑩 1
f
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DEFINICIÓN
Si la base es canónica:
[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2
❑=𝑨× [𝒗 ]𝑩1
❑
[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝐶❑=𝑨× [𝒗 ]𝑪
❑
[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2
❑=[ 𝒇 ]𝑩 2
𝑩 1× [𝒗 ]𝑩1
❑
[ 𝒇 (𝒗 ) ]C2
❑= [ 𝒇 ]C2
C1× [𝒗 ]C1
❑
[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝐶❑=𝑨×𝒗
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PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
• Donde B1 es una base del espacio vectorial de salida, y u1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de salida.
• Donde B2 es una base del espacio vectorial de llegada, y w1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de llegada.
Sea:
𝐵1= {u1 , u 2 ,…u n } 𝐵2= {w 1 , w 2 ,…w m }
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DATOS:
La aplicación lineal, las bases Y ; siendo la
base del espacio vectorial de salida y la base
del espacio vectorial de llegada.
1. Hallar las imágenes de los vectores de
𝐵1= {(1,1,0 ) , (1,0,1 ) , (0,1,1 ) }𝐵2= {1− 𝑡 ,𝑡 ,𝑡− 𝑡 2 }
S
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2. Con las imágenes obtenidas en el paso 1, se expresa como combinación lineal con los vectores B2.
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3. Obtenemos un sistema de ecuaciones de cada una de las combinaciones lineales anterioresPara:
1=𝛾0=−𝛾+𝛽+𝛿0=−𝛿 ( 1
−101
0 0
0 11 0−1 0)
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Para:
( 1−1
01
0 0
0 01 2−1 0)
0=𝛾 ′
2=−𝛾 ′+𝛽 ′+𝛿 ′
0=𝛿 ′
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Para:
1=𝛾0=−𝛾 + 𝛽 +𝛿−2=−𝛿
( 1−1
01
0 0
0 11 0−1 −2)
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3. Unir las 3 matrices ya que solo cambia el termino independiente.
4. Resolver el sistema usando el método de Gauss Jordan.
Matriz asociada a la aplicación lineal
( 1−1
01
0 0
0 11 0−1 0
0 12 00 −2)
𝐹 2=𝐹 2+𝐹 3
(10
01
0 0
0 11 1−1 0
0 12 10 −2)
𝐹 2=𝐹 2+𝐹 1
(10
01
0 0
0 10 11 0
0 12 −10 0 )
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La Matriz asociada a la aplicación lineal es:∴
[ 𝒇 ]𝑩2𝑩1
=