4ARMADURAS APLICACION

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 1

A R M A D U R A S

(ANLISIS DE 2 ORDEN EFECTO P-DELTA)

La fuerza axial es importante para el anlisis de este tipo de estructuras,

considerando a los nudos como articulaciones perfectas, la flexin

(Momentos y fuerza cortante) y la torsin son igual a cero.

El anlisis de segundo orden establece, como ya se ha dicho, el equilibrio

de la estructura en la geometra deformada.

En este caso los esfuerzos que soportan las barras, como es la fuerza

normal, puede diferir simultneamente de los obtenidos aplicando la

teora de primer orden (calculo lineal elstico), es por ello que aplicaremos

la siguiente matriz de rigidez para cada elemento para un anlisis de

segundo orden en armaduras.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURAS CON EFECTO P DELTA

( )

[

]

[

]

EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS

II - 2

(+) Cuando N es de traccin (-) Cuando N es de compresin

Matriz de transformacin

( )

[

]

Criterio de Convergencia:

Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una

iteracin antes y la generada en la iteracin presente

.

|

|

A continuacin presentaremos un ejemplo el cual vamos a resolver en forma

lineal y en forma no lineal, para de esta manera comparar los resultados y ver las

diferencias que tiene la no linealidad con respecto a la linealidad.


II - 3

PROBLEMA DE APLICACIN

Resolver el sistema de armadura mostrado en la figura siguiente y calcular la

fuerza axial de cada elemento para:

- Anlisis de 1er orden

- Anlisis de 2do orden

- Verificar el criterio de convergencia.

Considerar para todos los elementos:

E = 2.1 x 106 kg/cm2 ; A = 0.0005 cm2

SOLUCIN:

N de elementos = 5

GDL=5


II - 4

ANLISIS DE 1ER ORDEN

1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:

Elemento 1:

[

]

[

]

2 1 0 5

1

2

0

5


II - 5

Elemento 2:

[

]

[

]

2 1 3 4

1

2

3

4


II - 6

Elemento 3:

[

]

[

]

2 1 0 0

1

2

0

0


II - 7

Elemento 4:

[

]

[

]

0 0 3 4

0

0

3

4


II - 8

Elemento 5:

[

]

[

]

5 0 3 4

0

5

3

4


II - 9

2. Matriz de Rigidez de la Estructura:

[

]

3. Vector de Fuerzas Externas de la Estructura:

{

}

4. Vector Desplazamiento de la Estructura:

{

}

2 1 3 4 5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5


II - 10

5. Vector de Fuerzas Internas de los elementos:

Elemento 1:

{

}

{

}

Eje local:

( )

( )

( )


II - 11

Elemento 2:

{

}

{

}

Eje local:

( )

( )

( )


II - 12

Elemento 3:

{

}

{

}

Eje local:

( )

( )

( )


II - 13

Elemento 4:

{

}

{

}

Eje local:

( )

( )

( )


II - 14

Elemento 5

{

}

{

}

Eje local:

( )

( )

( )


II - 15

ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

PRIMERA ITERACION (i = 1):


ELEMENTO 1:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

2 1 0 5

1

2

0

5


II - 16

ELEMEMTO 2:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 3:

2 1 3 4

1

2

3

4


II - 17

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 4:

2 1 0 0

1

2

0

0


II - 18

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 5:

0 0 3 4

0

0

3

4


II - 19

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

2. MATRIZ DEL SISTEMA:

[

]

5 0 3 4

0

5

3

4

2 1 3 4 5

1

2

3

4

5


II - 20

3. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA

{

}

4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA

{

}

5. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO POR ELEMENTO:

ELEMENTO 1:

En eje Global:

{

}


II - 21

ELEMENTO 2:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 3:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 4:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 5:

En eje Global:

{

}

6. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS:

ELEMENTO 1:

( )


II - 22

( )

( )



iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual

a 3.75 (pg. 83) y el ser igual a 3.744273 (pg. 93)

|

|

|

| |

|

( )

ELEMENTO 2:

( )

( )

( )


II - 24

ELEMENTO 4:

( )




a 0 (cero) (pg. 84) y el ser igual a -0.000321 (pg. 95)

|

|

|

| |

|

( )

ELEMENTO 5:

( )

( )


II - 25





|

|

|

| |

|

( )

SEGUNDA ITERACION (i = 2):

1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMNTOS:

ELEMENTO 1:

[

]

[

]


II - 26

[

]

[

]

[

]

ELEMEMTO 2:

[

]

[

]

2 1 0 5

1

2

0

5


II - 27

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 3:

[

]

[

]

2 1 3 4

1

2

3

4


II - 28

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 4:

[

]

[

]

2 1 0 0

1

2

0

0


II - 29

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 5:

[

]

[

]

0 0 3 4

0

0

3

4


II - 30

[

]

[

]

[

]


[

]

3. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA

{

}

2 1 3 4 5

1

2

3

4

5

5 0 3 4

0

5

3

4


II - 31

4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA:

{

}


ELEMENTO 1:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 2:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 3:

En eje Global:

{

}


II - 32

ELEMENTO 4:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 5:

En eje Global:

{

}

6. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR ELEMENTO:

ELEMENTO 1:

( )

( )

( )





|

|


II - 34

( )





|

|

|

| |

|

ELEMENTO 4:

( )






II - 35

|

|

|

| |

|

( )

ELEMENTO 5:

( )

( )





|

|

|

| |

|

( )


II - 36

TERCERA ITERACION (i = 3):


ELEMENTO 1:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

2 1 0 5

1

2

0

5


II - 37

ELEMEMTO 2:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

2 1 3 4

1

2

3

4


II - 38

ELEMENTO 3:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 4:

2 1 0 0

1

2

0

0


II - 39

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

ELEMENTO 5:

0

0

3

4

0 3 4 0


II - 40

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]


[

]

2 1 3 4 5

1

2

3

4

5

5 0 3 4

0

5

3

4


II - 41

3. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA:

{

}


ELEMENTO 1:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 2:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 3:

En eje Global:

{

}


II - 42

ELEMENTO 4:

En eje Global:

{

}

ELEMENTO 5:

En eje Global:

{

}

5. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR ELEMENTO:

ELEMENTO 1:

( )

( )

( )






II - 44

( )





|

|

|

| |

|

ELEMENTO 4:

( )






II - 45

|

|

|

| |

|

ELEMENTO 5:

( )

( )





|

|

|

| |

|


II - 46

DIAGRAMA DE ESFUERZOS

ANALIS DE PRIMER ORDEN ANALISIS CON P-DELTA

DIAGRAMAS DE ESFUERZO NORMAL

DEFORMADAS


II - 47

CUADRO COMPARATIVO DE DESPLAZAMIENTOS

COMENTARIOS:

Al realizar el cuadro comparativo de las deformaciones de cada

elemento, observamos que dichos esfuerzos con un anlisis de 2 orden

o efecto p-delta se reducen a comparacin de un anlisis de 1 orden.

ELEMENTO

ANALISIS

1er Orden Sin P- Delta

2er Orden Con P- Delta

Unid

ELEMENTO 1

Extremo "i" -0.001071 -0.00107 Ton

-0.004524 -0.00452 Ton

Extremo "j" 0.00 0.00 Ton

-0.005667 -0.005661 Ton

ELEMENTO 2 Extremo "i"

-0.001071 -0.00107 Ton

-0.004524 -0.00452 Ton


-0.005667 -0.005662 Ton

ELEMENTO 3

Extremo "i" 0.00 0.00 Ton

0.00 0.00 Ton

Extremo "j" -0.001071 -0.00107 Ton

-0.004524 -0.00452 Ton

ELEMENTO 4


0.00 0.00 Ton


-0.005667 -0.005662 Ton

ELEMENTO 5


-0.005667 -0.005661 Ton


-0.005667 -0.005662 Ton


II - 48

CUADRO COMPARATIVO DE FUERZAS INTERNAS

COMENTARIOS:

Al realizar el cuadro comparativo de las fuerzas internas, observamos

que las fuerzas axiales en un anlisis de 2 orden o efecto p-delta se

reducen a comparacin de un anlisis de 1 orden.

Si las cargas son menores, el anlisis con efecto p delta en armaduras

se podra despreciar dado que las variaciones en los resultados del

anlisis de primer orden y segundo orden son mnimas tal como se

demuestra en el ejemplo resuelto.

ESFUERZOS

ANALISIS

1er Orden Sin P- Delta

2er Orden Con P- Delta

Unid

N1 3.75 3.744277 Ton

N2 -3.00 -2.998292 Ton

N3 6.25 6.24599 Ton

N4 0.00 -0.000319 Ton

N5 0.00 -0.002136 Ton


II - 49

PROBLEMA PROPUESTO

Hallar los desplazamientos de los nudos y fuerzas normales en las barras

biarticuladas, mediante un anlisis P-Delta.

Considerar para todos los elementos:

E = 2.1 x 106 kg/cm2

A = 0.0005 cm2

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