4.1 Introducción al método gráfico

La geometría plana se puede usar como una “fotografía” que ilustre muchos de

los elementos importantes de los modelos de programación lineal. En particular,

la geometría plana es útil para proporcionar las bases de enfoque de la solución

gráfica. Esta es una manera simple de resolver un problema de programación

lineal que tenga solamente dos variables de decisión. Aunque la mayoría de los

problemas reales tienen más de dos de estas variables y por lo tanto el método

de solución gráfica no les será aplicable, no obstante, proporciona una buena

base intuitiva para lo que veremos más adelante. En otras palabras, el propósito

de esta parte consiste en proporcionar ideas gráficas en el modelo general de PL.

Esto proporcionará un buen fundamento para el uso de la programación lineal en

diversas aplicaciones al mundo real. El método gráfico se utiliza para la solución

de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones,

condiciones técnicas y el objetivo.

Ejemplo No. 1

Un contratista construye dos modelos de casas marinas, el Atlántico y el Pacífico.

Cada modelo del Atlántico requiere de 1000 pies de madera, 3000 pies cúbicos

de concreto y $2000 de publicidad. Cada modelo del Pacífico requiere de de

2000 pies de madera, 3000 pies cúbicos de concreto y $3000 de publicidad. Los

contratos exigen usar por lo menos 800 pies de madera18000 pies cúbicos de

concreto y $15,000 de publicidad. Si el total que se gasta en cada modelo del

Atlántico es de $3000 y el total en cada modelo del Pacífico es de $4000,

¿cuántos de cada modelo deben construirse para minimizar los costos?

4.2 Algoritmo del procedimiento

Son cuatro los pasos que deben seguirse para resolver en forma gráfica un

problema.

Ilustración 4.1

Paso 1: formular el problema en términos matemáticos.

El planteamiento del problema matemático implica un procedimiento que a su

vez consta de tres pasos:

a) Definir las variables de decisión

b) Plantear en términos matemáticos la función objetivo o de utilidad

c) Plantear en términos matemáticos las restricciones sobre los recursos

Para el problema del contratista se definen las variables de decisión como X1 =

Casas del Atlántico y a X2 =Casas del Pacífico.

Es posible plantear la función Objetivo de la siguiente manera

Esta función Objetivo está sujeta a las restricciones sobre los recursos. Para

plantear las restricciones de este problema, es necesario identificar cada casa

requiere de madera, concreto y gasto en publicidad es las cantidades que se

especifican para cada una de las casas. Las restricciones sobre la disponibilidad

de los materiales a utilizarse. Puede plantearse en términos matemáticos las

relaciones de cada uno de ellos.

Eso significa que cada casa Atlántico requiere de 1000 pies de madera y cada

casa del Pacífico requiere 2000 pies madera y que se debe usar a lo más 8000

pies de madera. De manera similar se tiene que la cantidad de concreto debe

usar a lo mas de 18,000 pies cúbicos

El gasto que se deberá tener en publicidad será cuando mucho de $15,000

Asimismo recordar que no son posibles niveles negativos de construcción por lo

que también debe incluirse restricciones de no negatividad.

En conjunto el problema puede plantearse de la siguiente manera:

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Paso 2: Graficar las

restricciones.

El método gráfico para

resolver un problema de

programación lineal con

dos variables se entiende

mejor concentrándose

primero en las

restricciones y

posteriormente en la

f

u

Gráfica 4.1

Ilustración 2

nción objetivo. En un sistema de coordenadas rectangulares describir

gráficamente todas las restricciones. Esto puede hacerse en cualquier orden.

Para graficar las desigualdades se sustituye en primer término los símbolos (≤)

o (≥) por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una

línea recta y se traza ésta en el plano la región en cual se encuentra cada

restricción cuando se considera la desigualdad. Si graficamos las desigualdades

lineales (las restricciones del problema de programación lineal), obtenemos un

conjunto de puntos llamado un poliedro. Usualmente este poliedro es convexo;

es decir tiene la propiedad de que el segmento de la recta que une cualquier

par de puntos en el conjunto pertenece completamente al conjunto.Ver

Ilustración 4.2

El conjunto que resulta de las restricciones

de un problema de programación lineal

siempre es un un poliedro convexo. Esto y el

hecho de que la intersección de un número

finito de conuntos convexos es convexo, nos

permite resolver problemas de prgramación

lineal.

Cualquier punto (X1 ; X2) en el poliedro convexo formado por las restricciones

del problema de programación lineal se denomina solución factible.

Si no existe tal punto, el problema de programación lineal no tiene solución.

Ejemplo

Un problema de programación lineal consiste en maximizar la función objetivo

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Para determinar los valores de satisfacen todas las restricciones,

considere una restricción a la vez. Cada restricción permite ciertos valores

de que satisfacen la restricción. Estos valores se denominan Valores

Valor factible

Valores para las variables de decisión que satisfacen todas las restricciones.

Ilustración 4. 3

factibles. Aquellos valores que no satisfacen la restricción se llaman Valores

Infactibles.

En la restricción permite sólo valores no negativos tanto para

. Geométricamente estás dos restricciones juntas permiten valores

factibles para las variable que están a la derecha del eje y encima del eje

como se ve en la gráfica 4.1.

Se busca aquellos valores de que satisfacen todas las restricciones, no

sólo las de no negatividad.

Para ver gráficamente qué valores son factibles para la

Restricción para la restricción es decir:

Comience por encontrar aquellos valores de

que satisfacen la igualdad.

Observe que un signo de igualdad ha remplazado al

signo de desigualdad. La gráfica de esta ecuación es la línea recta mostrada en la

siguiente gráfica 4.2

Gráfica 4.2

Los valores factibles para la restricción (4.2) consisten en aquellos valores para

los cuales , no sólo para los que

Los valores factibles para que satisfacen a la línea recta pueden

encontrarse si se toma un punto de observación, que puede ser cualquier punto

que no pertenezca a la recta como puede ser el punto (0,0). Se sustituye el punto

de observación en la ecuación original y se determina si cumple o no con la

desigualdad.

Resolviendo

Dado que el cero es menor que 8000 se cumple con la desigualdad así como con

el punto de observación. Los puntos que satisfacen a la desigualdad se

encuentran sobre la recta y por debajo de ella.

Se indica los puntos abajo de la recta por medio de un sombreado, como se

muestra en la gráfica 4.3

Gráfica 4.3

El proceso anterior se repite para cada una restricción es decir:

1. Remplazar el signo de desigualdad en una restricción por un signo de

igualdad.

2. Dibujar la línea recta correspondiente a la ecuación

3. Identificar la el lado de la línea que satisfaga la desigualdad original

Región Factible

El conjunto de valores para las variables de decisión en un programa lineal que satisface todas las restricciones.

4. Sombrear esa porción de la gráfica que satisfaga todas las restricciones

formuladas hasta el momento. Esto se ha hecho para la restricción (4.3)

,

5. finalmente para la restricción: (4.4) . Se

realizó el mismo procedimiento. Observe que en este caso las

restricciones reducen el área factible ver gráfica 4.4

El área final sombreada de la gráfica se denomina región factible del programa

lineal. Cualquier punto que este dentro de la región factible es una solución

factible y da origen a valores para que satisfagan todas las restricciones.

También se puede ver que la región factible está limitada por líneas rectas que se

juntan en agudos puntos “puntos esquina” etiquetados A - D. Estos puntos esquina

se denominan puntos extremos. (Ver gráfica 4.5)

Paso 3.- Graficar la

función objetivo

Solución Factible

Una solución en la que las variables de decisión son factibles

GRÁFICA 4.5

Para resolver el problema de la programación lineal debe encontrarse un

punto factible que proporcione el mayor valor de la función objetivo:

.

Comience por elegir cualquier punto dentro de la región factible y calcule el

valor de función objetivo en ese punto. Suponga que elige el punto factible

El valor de la función objetivo en ese punto es

3000(20) .

Es momento de preguntarse si: ¿existe otro punto en la región factible que

proporcione un valor mayor de la función objetivo? Para investigarlo, primero

identifique todos los puntos que produzcan el mismo valor de la función objetivo

como el punto actual. Esto significa que debe encontrar todos los puntos que

satisfagan Esto se logra trazando la siguiente

línea de función Objetivo. Como se observa en la siguiente gráfica 4.6

Med

iant

e

ensa

yo

erro

r se

verá

que

todos los valores de las variables de un lado de la línea proporcionan un mejor

valor de la función objetivo que el punto actual; todos los valores del otro lado

proporcionan un peor valor. Para determinar el mejor lado simplemente elija

cualquier punto que no esté en línea de la función objetivo y vea si sus valores

proporcionan un mejor valor la función objetivo que el punto actual

cuyos valores son . Considere el punto y .

El valor de la función objetivo es 3000(40) Como el

objetivo de este problema es maximizar, este valor de 20,000 es mejor que el de

180,000 Por tanto los valores de y está en el mejor lado de la

línea de la función objetivo, como lo índica la flecha sobre la línea punteada. (Ver

gráfica 4.7)

Línea de Función Objetivo

Línea utilizada en el método gráfico en la cual todos los puntos sobre la línea tienen el mismo valor de función objetivo

Gráfica 4 6

GRÁFICA 4.7

Una observación importante es que la nueva línea de la función objetivo es

paralela a la anterior.

En resumen, a partir de un punto inicial factible

1. Trazar la línea de la función objetivo

2. Localizar su mejor lado, y

3. Mover la línea de la función objetivo de manera paralela a sí misma en la

dirección de mejora.

Origina puntos en la región factible cuyos valores de la función objetivos son

cada vez mejores. Para poder resolver gráficamente el problema de

programación lineal gráficamente, sólo se necesita mover la línea de la función

objetivo en forma paralela a sí misma en la dirección de mejora hasta que esté a

punto de dejar la región factible. Este punto final es la solución óptima factible al

programa lineal. El resultado de aplicar es que el punto extremo C es la solución

Con base en la observación de que la solución óptima ocurre en un punto

extremo, un enfoque alternativo para solucionar este problema de programación

lineal es

enumerar a

todos los puntos

extremos de la

región

Punto extremo

El punto esquina de una región factible

Lado de mejora

Solución óptima factible

El punto en la región factible que tiene el mejor valor de la función objetivo.

factible llamados vértices , para calcular el valor de la función objetivo en cada

uno, y seleccionar aquel con el mejor valor esto demuestra a continuación.

(Ver gráfica 4.8)

Obtención de valores numéricos para la solución óptima

Una forma de obtener los valores para variables en esta solución óptima es

leerlas directamente de la gráfica. Este proceso visual no es exacto. Un enfoque

más exacto se basa en la observación de que, en la gráfica 1.9, la solución

óptima ocurre en el punto extremo C. Este punto extremo cae en la

intersección de las dos líneas correspondientes a las restricciones 1 y 2 estas

ecuaciones son:

Puede encontrar los valores exactos para la solución óptima resolviendo estas

dos ecuaciones en las dos incógnitas, X1 y X2. Para ver cómo, use la ecuación 1

para resolver X2 en términos de X1,

Ahora, sustituya es expresión para X2 en la ecuación 2:

Ahora resuelva la ecuación (5) para resolver X1

Finalmente, sustituyendo el valor de X1 (6) en la ecuación de X2 (3) se llega a:

Este proceso de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas ha llevado a la

solución óptima factible exacta de X1 = 4 y X2 = 2 para el programa lineal el

valor correspondiente de la función objetivo en este punto es:

Los resultados para este problema:

Cantidad de casas a construir de Atlántico X1 = 4

Cantidad de casas a construir de Pacífico X2 = 2

La Utilidad Obtenida Z = 20,000

Resumen del procedimiento de solución gráfica para problemas

de maximización

El procedimiento de solución gráfica es un método para resolver problemas de

programación lineal de dos variables.

1. Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones

que satisfagan la restricción.

2. Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen

simultáneamente todas las restricciones.

3. Trazar una línea de función objetivo que muestre los valores de las

variables de decisión que producen un valor especificado para la misma.

4. Mover la línea de función objetivo paralelas hacia los valores mayores de

la función objetivo hasta que un mayor movimiento sacaría a la línea por

completo de la región factible.

5. Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor

máximo encontrado por el procedimiento anterior es una solución

óptima

Variables de holgura

Además de la solución óptima y su contribución a la ganancia asociada,

los tomadores de decisiones desearán información acerca de los

requerimientos de materiales, podemos determinar esta información

sustituyendo los valores de solución óptima, X1 = 4, X2 = 2 en las

restricciones del programa lineal.

Restricción Materiales requeridas para X1 = 4 y X2 = 2

Materiales Disponibles

Materiales no usados

Pies madera

1000(4) +2000(2)=8000 8000 0

Pies cemento

3000(4)+3000(2)=18000 18000 0

Gasto publicidad

2000(4)+3000(2)=14000 15000 1000

Por tanto, la solución completa indica a la administración que se construyen 4

casas del tipo atlántico y 2 del pacífico, requerirán todo los pies de madera y de

cemento disponibles, pero sólo usarán $14000 dólares en publicidad de los

$15000. Los $1000 dólares si usarse se conocen como una holgura. En

terminología de programación lineal, cualquier capacidad no usada o

desocupada para una restricción de ≤ se conoce como una holgura asociada con

la restricción. Por tanto, la restricción del material3 tiene una holgura de $1000

dólares.

Con frecuencia, las variables, llamadas variables de holgura, se agregan a la

formulación de un problema de programación lineal para representar la

capacidad no usada asociada con una restricción. La capacidad no usada no

contribuye a las ganancias, así que las variables de holgura tienen coeficientes

de cero en la función objetivo. De manera más general, las variables de holgura

representan la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de una

restricción ≤. Después de la adición de las variables de holgura a la declaración

matemática del problema se vuelve:

4.1

4.2

4.3

4.4

Siempre que todas las restricciones en un programa lineal se expresen como

igualdades, se dice que están escritas en forma estándar.

Refiriéndose a la forma estándar del problema, vemos que en la solución óptima

(X1 = 4 y X2 = 2) los valores de las variables de holgura son:

Restricción Valor de la variable de holgura

Pies de madera Pies de cemento Gasto de publicidad

¿Podríamos haber usado el análisis gráfico para proporcionar alguna de la

información previa? La respuesta es que si. Al encontrar la solución óptima en la

gráfica 4.9 Vemos que la restricción (4.1) y (4.2) limitan o confinan, la región

factible en este punto. Por tanto, la solución óptima requiere el uso de todos

estos dos recursos. En otras

palabras, la grafica muestra

que en la solución óptima las

restricciones (4.1) y (4.2),

tendrían holgura de cero.

Pero, debido a que la

restricción (4.3), no está

confinada para la región

factible en la solución óptima,

podemos esperar alguna

holgura para este recurso.

Restricciones redundantes.

Algunos problemas de programación lineal pueden tener una o más restricciones

que no afectan a la región factible; es decir, la región factible permanece igual se

incluya o no las restricciones en el problema. Debido a que dicha restricción no

afecta a la región factible y por tanto no puede a la solución óptima, se llama

restricción redundante. Las restricciones redundantes pueden eliminarse del

problema sin causar ningún efecto en la solución óptima.

4.1

4.2

4.3

4.5

Al analizar las restricciones,

podemos observar las

restricciones 4.1 y 4.2

limitan la región factible

del programa lineal. La

GRÁFICA 4.9

GRÁFICA 4.15

GRÁFICA 4.10

restricción 4.3 se puede quitar sin que se vea afectada la solución óptima, es por

tanto una restricción redundante.

(Ver gráfica 4.10)

El programa lineal resultante se observa la misma región

factible. Note que la restricción (4.3) fue eliminada y no

afecta a la solución óptima.

Es posible que no esté consciente de que una restricción

es redundante al formular un problema de programación

lineal, la solución óptima factible no cambia si se incluye

una restricción redundante. El único efecto es que

aumenta el tamaño del programa lineal, lo que a su vez,

puede ocasionar que un programa de computadora se

tome tiempo extra para resolver el problema. La regla

general es: no se preocupe por las restricciones

redundantes; si piensa que necesita una restricción,

inclúyala en la formulación.

Una restricción que es redundante hoy podría no serlo

mañana. Supóngase que el tomador de decisiones del modelo de

programación lineal decide explorar los efectos de una nueva política de

decisión que produzca 7 unidades de X1 y X2 en total en vez de 5. En la gráfica

5.15 se muestra con línea de color rojo La gráfica de la primera restricción

modificada y se ve que la nueva restricción ya no es redundante. En otras

palabras, estrechar el requerimiento de 5 a 7 nos obliga a recortar algunas

decisiones originalmente admisibles

Por esta razón es frecuente que una restricción redundante permanezca en

un modelo. Es una práctica común resolver modelos de planeación varias

veces con diferentes conjuntos de datos con el objeto de desarrollar el

entendimiento de los diferentes escenarios futuros. El tomador de decisiones,

puede saber intuitivamente que hay condiciones interesantes (valores de los

datos) para los cuales estas restricciones pueden llegar a ser importantes y es

por esto que se incluyen en el modelo.

Puntos extremos y solución óptima

Suponga que la contribución a la ganancia para la casa tipo pacifico aumenta de

$ 3000 a $6000 mientras que la contribución a la ganancia de la casa atlántico y

todas las restricciones permanecen sin cambios. El modelo de programación

Es muy posible

que una

restricción

redundante para

un conjunto de

datos no lo es sea

cuando se

cambian algunos

datos

En cualquier

modelo de

programación

lineal, para

un conjunto

fijo de datos,

las

restricciones

inactivas

pueden ser

retiradas sin

afectar la

solución

óptima. Esta

depende por

completo de

las

restricciones

activas

(

2

)

)

GRÁFICA 4.11

completo de este problema nuevo es idéntico al modelo matemático en la

sección 4.2 excepto por la función objetivo revisada:

¿Cómo afecta este cambio en la función objetivo a la solución óptima para el

problema? La siguiente gráfica ¿?? Muestra los valores de la variable de decisión

en este punto son X1 = 0 ; X2 = 4 . El aumento en la ganancia para la casa del

pacifico causo un cambio en la solución óptima.. De hecho, como podría haberse

sospechado, reducimos la construcción de la casa con menor ganancia y

aumentamos la de mayor ganancia.

¿Qué nota acerca de la ubicación de las soluciones óptimas en los problemas de

programación lineal? Al observar con detenimiento las soluciones óptimas

ocurren en uno de los vértices o esquinas de la región factible. En terminología

de programación lineal, estos vértices se denominan puntos extremos de la

región factible. Por tanto el problema tiene 4 puntos extremos (gráfica

4.12).Podemos plantear nuestra observación acerca de la ubicación de las

soluciones óptimas.

“La solución óptima para un problema de programación lineal puede encontrarse

en un punto extremo de la región factible para el problema”.

Gráfica 4.12

Esta propiedad significa que, si está buscando la solución óptima para un

problema de programación lineal, no tiene que evaluar todos los puntos de

solución factibles. De hecho tiene que considerar sólo las soluciones factibles que

ocurren en los extremos de la región. Por lo tanto para el problema, podemos

calcular la solución óptima evaluando los 4 puntos extremos y seleccionando

aquella que proporcione la ganancia más alta.

4.4 Restricciones activas e inactivas

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Además del plan de producción óptimo y de la utilidad óptima, el tomador

de decisiones desea obtener información adicional sobre la solución .Por ejemplo

Se puede preguntar:

1.- ¿Qué cantidad de madera se usará en la solución óptima?

2.- ¿Qué cantidad de concreto se usará en la solución óptima?

3.- ¿Qué cantidad de dinero se usará en publicidad en la solución óptima?

La cantidad de madera que se usan de madera está dada por el primer miembro

de la desigualdad. Es decir:

Y puesto que vamos a asignar los valores óptimos de X1 = 4 y X2= 2, la expresión

se evalúa así:

Cantidad de madera usadas (óptimamente) en la ecuación 4,2:

Esto significa que la respuesta a la pregunta 1 es 8000 y diremos que se usarán

“óptimamente” 8000 pies de madera.

Para contestar la pregunta 2 recordemos que las toneladas de concreto están

dadas por el primer miembro de de desigualdad 5.3 por lo tanto, óptimamente,

Finalmente, para responder a la pregunta 3 emplearemos el primer miembro de

la desigualdad 5.4 para descubrir que,” óptimamente”

14000

Al revisar algunos de los términos importantes, que hemos visto en la solución

óptima se consumen 8000 pies de madera. En el modelo esa es la cantidad

disponible de madera en la ecuación 4.2. En consecuencia se tiene que para la

política óptima, la cantidad de pies de madera empleada es igual a los pies de

madera disponible y que la restricción es satisfecha con igualdad. Pero ¿a qué se

debe eso si la restricción en los pies de madera de la ecuación 4.2 es una

desigualdad, no una igualdad? La repuesta si se interpreta correctamente el

símbolo (≤) La restricción (≤) de la ecuación 4.2 permite usar (<) o (=) para la

cantidad de madera disponible. Por lo tanto la igualdad es aceptable. Lo que no

es permisible es que la cantidad de madera exceda la disponibilidad. De esta

restricción, puesto que no ha quedado madera sin usarse, decimos que es activa,

o en forma equivalente, una restricción obligatoria. Nótese que desde el punto

de vista del tomador de decisiones una restricción activa desempeña un papel

importante. Por ejemplo, si hubiese cualquier producción posterior de X1 y X2

esta restricción activa podría ser violada. En este sentido las restricciones activas

impiden ganar utilidades adicionales.

Aplicando razonamientos análogos a la restricción de la ecuación 4.3 podemos

verificar fácilmente que también es activa.

La restricciones de un programa lineal pueden ser (=), (≤) , ( ≥)

Una restricción de igualdad siempre es activa. Una restricción de desigualdad

ya sea del tipo (≤) o (≥) es activa sólo si se cumple la igualdad entre el primer

miembro y el lado derecho cuando se evalúa para los valores óptimos.

I

d

e

n

t

i

f

i

c

a

c

i

ó

n

d

e

u

n

a

r

e

s

t

r

i

c

c

i

ó

n

a

c

t

i

v

a

D

Si consideramos la ecuación 4.3 donde se deben usar menos o igual de 15,000

dólares en publicidad (el lado derecho de la restricción), mientras que la

respuesta de la pregunta 3 muestra que en realidad se usarán 14000 dólares en

publicidad. Dado que hemos dejado sin usar 1000 dólares de publicidad, se dirá

que hay en el punto óptimo, una holgura de 1000 dólares de publicidad en esta

restricción. Este es un ejemplo de restricción de desigualdad que no es activa en

el punto óptimo. Como se puede suponer, se dice que tal restricción es inactiva

Los términos de activa e inactiva son aplicables a cualquier restricción del

modelo.

En resumen de la terminología

11)) Si el punto óptimo (es decir cuando lo evaluamos en la solución

óptima) el primer miembro de una restricción es igual al lado derecho, se

dice que la restricción es activa u obligatoria. Entonces una restricción de

igualdad es siempre activa. Una restricción de desigualdad puede ser

activa o no.

22)) Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. Para una

restricción del tipo mayor o igual (≥), la diferencia entre el primer

miembro y el lado derecho (exceso) se llama excedente. Para una

restricción del tipo menor o igual (≤) la diferencia entre el segundo

miembro y el primero se llama holgura.

33)) En el punto óptimo, toda restricción de desigualdad de un

modelo tiene un valor de holgura o excedente y para las decisiones

factibles este valor es siempre no negativo. Para una restricción dada, la

holgura o el excedente valen cero si y sólo si la restricción es activa.

Interpretación gráfica de restricciones activas e inactivas

Las restricciones activas e inactivas se podrán identificar a partir de la solución

gráfica. Para ver esto, recordemos la estructura del modelo.

4.1

Identificación de

una restricción

inactiva

Desde el punto de

vista geométrico, una

restricción inactiva es

aquella que no pasa

por la solución

óptima

4.2

4.3

4.4

4.5

Y grafiquemos otra vez las restricciones, pero esta vez etiquetando cada

restricción. Esto se muestra en la siguiente gráfica . La etiqueta (1) se asigna a

la primera línea que graficamos . La etiqueta

(2) va sobre la segunda restricción, etc. En la gráfica se puede ver que

restricciones pasan por el punto óptimo. Dicho de otro modo, la solución óptima

está sobre estas restricciones. Al determinar los valores de X1 y X2

implícitamente reconocemos que las restricciones (1) y (2) son activas. (Ver

gráfica 4.9)

Hemos identificado que la restricción (3) es inactiva, una rápida

comprobación muestra que:

Gráfica 4.13

De esta manera vemos que una restricción inactiva es aquella que no pasa por la

solución óptima.

Cada restricción inactiva tendrá una holgura o un excedente dependiendo de si la

desigualdad correspondiente es o ≥. Sin embargo el valor numérico de la

holgura o del excedente no puede ser obtenido a partir de la gráfica. Se debe

determinar algebraicamente.

Problema de Minimización

El método gráfico para este problema, requiere que tracemos la gráfica de las

líneas de restricción para encontrar la región factible. Al trazar cada línea de

restricción por separado y luego verificar lso puntos en cada lado de la líena,

pueden identificarse las soluciones que satisfacen cada restricción. Al

combinar las soluciones que satisfacen cada restricción en la misma gráfica

obtenemos la región factible que se se muestra en la gráfica 4.14

Para encontrar la

solución de costo

mínimo, ahora

trazamos la línea de la

función objetivo

correspondiente a un

valor de costo total

aprticular. Por

ejemplo, podríamos

comenzar trazando la

línea:

Esta línea se muestra en la

gráfica 4.15. Es evidente que

algunos puntos en la región

factible proporcinarían un

costo total de $1200. Para

encontrar los valores de X1 y

X2 que proporcionan valores

de costo total menores,

movemos la linea d ela

función objetivo hacia abajo a

la izquierda hasta que, si la

movemos mas lejos, estaría

Gráfica 4.14

Gráfica 4.15

fuera de la región fctible por completo. Note que la línea de la función

objetivo:

Cruza la región factible en el punto extremo A =250 y B= 100. Este punto

extremo proporciona la solución de costo mínimo con un valor de de función

objetivo de 800. Delas gráficas podemos ver que al restricción de producción

total y la restricción numero 3 son las confian la región factible. Del mismo

modo que en todo problema de programación lineal, la solución óptima

ocurre en un punto extremo de esta región.

Resumen de procedimiento de solución gráfica para problemas

de minimización

Aquí se resumen lo pasos del procedimiento de solución gráfica para un

problema de minimización:

1. Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones

que la satisfagan.

2. Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen

todas las restricciones de manera simultánea.

3. Trazar una línea de función objetivo que muestre los valores de las

variables de decisión que producen un valor especificado de la misma.

4. Mover las líneas de la función Objetivo paralelas hacia valores más

pequeños de la función objetivo hasta que un movimiento mayor sacaría

a la línea por completo de región factible.

5. Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el más

pequeño es una solución óptima.

Variables excedente

La solución óptima al problema muestra que la producción total deseada de:

se ha logrado usando todo el tiempo de procesamiento

disponible = horas. Además

observe que al restricción que requiere que se cumpla la demanda del producto

X1 se ah satisfecho con X1 = 250 galones. De hecho, la producción del producto X1

excede su mínimo por 250 - 125 = 125 galones. Este exceso de producción para

el producto X1 se conoce como excedente. En terminología de programación

lineal, cualquier cantidad en exceso correspondiente a una restricción ≥ se

conoce como excedente.

Recuerde que una restricción ≤ puede agregarse una variable de holgura

al lado izquierdo de la desigualdad para convertir la restricción a una forma de

igualdad. Con una restricción ≥ puede restarse una variable de excedente del

lado izquierdo de la desigualdad para convertir la restricción a una forma de

igualdad. Del mismo modo que con las variables de holguras, las variables de

excedentes se le da un coeficiente de cero en la función objetivo debido a que no

tienen efecto en su valor. Después de incluir dos variables de excedentes, S1 y S2

para restricción ≥ y una variable de holgura, S3 , para la restricción ≤, el modelo

de programación lineal del problema se vuelve.

Ahora todas las restricciones son igualdades; por tanto, las formulación precedente es la

representación en forma estándar del problema.

En la solución óptima X1 = 250 y X2 = 100, los valores de las variables excedentes y

de holgura son los siguientes.

Restricción Valor de la variable de excedente o holgura

Demanda de para el productoX1 S1 = 125 Producción Total S2 = 0 Tiempo de procesamiento S3 = 0

Revise las graficas 4.14 y 4.15 Observe que las variables de excedente y la de

holgura con valor de cero se asocian con las restricciones que son activas en la

solución óptima, es decir, las restricciones de producción total y tiempo de

procesamiento. El excedente de 125 unidades se asocia con la restricción no

activa en la demanda del producto X1

La cantidad y tipo de de restricciones encontradas en un problema de

programación lineal particular depende de las condiciones específicas existentes

en el problema. Los problemas de programación lineal pueden tener algunas

restricciones ≤, algunas de ≥ y algunas de =. Para una restricción de igualdad, las

soluciones factibles deben situarse directamente en la línea de restricción.

Aquí por ejemplo de un programa lineal con dos variables de decisión X1 y X2 y

las tres formas de restricción:

La representación de la forma estándar de este problema es:

La forma estándar requiere una variable de holgura para la restricción de ≤ y una variable

de excedente para la restricción ≥. Sin embargo, ni la variable de holgura ni la de

excedente se requieren para la tercera restricción debido a que ya está en forma de

igualdad.

Cuando se resuelve en forma gráfica los programas lineales, no es necesario escribir el

problema es su forma estándar, no obstante, es útil poder calcular los valores de las

variables de holgura y de excedente y entender qué significan. Un punto final: La forma

estándar no cambia el problema básico; sólo cambia cómo escribimos las restricciones

para el problema.